Возникший в XIII веке город Кенигсберг формально состоял из трех независимых городских поселений, нескольких слобод и поселков. Они располагались на берегах и островах реки Прегель, делившей город на четыре основные части: Альтштадт и Лёбенихт, Кнайпхоф, Ломзе, Фортштадт. Для связи и торговли между городскими поселениями в XIV веке стали строить мосты.

В связи с постоянной военной опасностью со стороны Польши и Литвы, перед каждым из мостов была построена оборонительная или т.н. Присмотровая башня с закрывающимися подъемными или двустворчатыми воротами из дуба с железной кованой обивкой. Да и сами мосты приобретали характер оборонительных сооружений.

Мосты были местом шествий, религиозных и праздничных мероприятий и процессий, а в годы т.н. «Первого русского времени» (1758 - 1762 г.г.), когда Кенигсберг во время Семилетней войны вошел в состав Российской империи, по мостам проходили православные крестные ходы. Один раз такой крестный ход был посвящен православному празднику Водосвятия р.Прегель, что вызвало неподдельный интерес коренных жителей Кенигсберга.

К началу ХХ века все семь мостов были разводными, но в связи с ослаблением и упадком судоходства по р.Прегель сохранившиеся до наших дней 3 моста больше не разводятся.

Лавочный мост, Krämerbrücke

Самый старый из семи мостов Кенигсберга - Лавочный мост (Krämerbrücke), который соединял город Альтштадт (Королевский замок) и остров Кнайпхоф.

Построен в 1286 году, в 1900 году на месте старого деревянного моста возвели новый металлический мост. Название моста свидетельствует о том, что он сам и прилегающая к нему территория р.Преголи были сосредоточением торговли.

При въезде на мост была установлена статуя Ганса Загана - сына кнайпхофского сапожника. По легенде, во время битвы между войсками Тевтонского ордена и Литвинами близ Рудау (п.Мельниково, Зеленоградского района) Ганс подхватил из рук раненого рыцаря орденское знамя. Нацисты, пришедшие к власти в Германии в 1933 году по идейным и нравственным соображениям снесли памятник Загану, т.к. он был - еврей.

В 1972 году снесен в связи со строительством Эстакадного моста.

Лавочный мост. На заднем плане склады и район погрузки судов - Ластадие

Лавочный мост с портовыми складами-амбарами шпайхерами (Speicher) на правой набережной реки Прегель. Районы Лаак и Хундегатт. Слева - остров Кнайпхоф

Зеленый мост, GrüneBrücke

Второй по возрасту мост Кенигсберга - Зеленый мост . Построен в 1322 году. В 1582 году мост сгорел, построен заново к 1590 году и просуществовал в деревянном виде до 1907 года, когда был заменен на металлический мост.

Соединил через старый рукав р.Преголи остров Кнайпхоф и район Фортштадт для проезда от Королевского замка в пригород Понарт. Само название моста произошло от цвета краски, которой красили пролетные строения и опоры моста.

В XVII веке именно у Зеленого моста раздавались письма, прибывавшие в Кенигсберг. В ожидании почты у Зеленого моста собирались деловой люд города и в ожидании корреспонденции обсуждали свои дела. В 1623 году именно около Зеленого моста была построена Кенигсбергская торговая биржа.

В 1972 году зеленый мост, как и Лавочный мост, пал жертвой Эстакадного моста.

Зеленый мост. Вид с острова Кнайпхоф

Вид на Зеленый мост и Торговую биржу

Потроховый (Рабочий) мост, Koettel brücke

В 1377 году после Лавочного и Зеленого мостов выше по течению старого русла р.Прегель построен Потроховый или Рабочий мост, который также соединял остров Кнайпхоф и район Форштадт.

Оба варианта перевода не являются идеальными, т.к. немецкое название моста происходит из Саксонии и в русском варианте примерно означает «вспомогательный, рабочий, предназначенный для провоза мусора» мост. Скорее всего своим названием обязан располагавшейся поблизости скотобойне.

В 1886 году деревянный перестроен в железный.

Во время Второй мировой войны Потроховый мост был разрушен и более не восстанавливался.

Потроховый мост. Вид на Торговую биржу с острова Кнайпхоф

Потроховый мост. Вид с Зеленого моста

Кузнечный мост,Schmitderbrüke

В 1397 в Кенигсберге выше по течению нового русла р.Прегель возведен Кузнечный мост, который, как и Лавочный мост соединял город Альтштадт и остров Кнайпхоф.

Рядом с этим мостом на берегах реки Прегель традиционно размещались кузнецы.

К 1787 году мост сильно износился и обветшал и был заменён новым мостом, но тоже деревянным. В1896 году на месте старого деревянного моста возвели новый металлический мост.

Кузнечный мост разрушен во время Второй мировой войны и больше не восстанавливался.

Кузнечный мост с присмотровой башней

Кузнечный мост

Деревянный мост, Holzbrücke

В 1404 году между Альтштатом и островом Ломзе построен четверный мост, который получил название Деревянный.

На Деревянном мосту располагалась памятная доска с выдержками «Прусской хроники». Сам десятитомный труд Альбрехта Лухела Давида повествовал о древней языческой Пруссии и истории Тевтонского ордена до 1410 года.

В1904 году на месте старого Деревянного моста возвели новый металлический мост, но название моста осталось прежним. В таком виде Деревянный мост сохранился до сих пор.

Деревянный мост. Вид на остров Кнайпхоф

Высокий мост, Hohebrücke

Построили в Кенигсберге в 1520 году для соединения острова Ломзе и района Форштадт.

Подвергся реконструкции в 1882 году, его деревянные части были заменены металлическими. В этом же году рядом с Высоким мостом в районе Форштадт возвели мостовой домик. Это красивое, небольшое здание в стиле неоготики сохранилось до сих пор.

В 1937 году старый разобрали и рядом соорудили новый из металла с бетонными опорами. От старого Высокого моста сохранились бетонно-кирпичные опоры.

Высокий мост. Вид на остров Ломзе

Высокий мост. Вид с острова Ломзе на район Форштадт

Медовый мост, Honigbrücke

Самый «юный» из семи мостов Кенигсберга соединил остров Ломзе и остров Кнайпхоф.

Существует несколько версий о происхождении названия Медового моста . По одной из них, Безенроде - член Кнайпхофской ратуши оплатил строительство моста бочками мёда, по-другой - медом оплатили постройку торговой лавки возле моста. Но эти версии, вероятно, всего лишь городские легенды.

Скорее всего, название моста происходит от слова «хон», что означает - издевка (насмешка). Построив этот мост, жители острова Кнайпхоф получили кратчайший путь на остров Ломзе, в обход Высокого моста, который принадлежал Альтштадту. Таким образом, стал как бы насмешкой над главным из кёнигсбергских городов - Альтшадтом. За это альтштадцы прозвали кнайпхофцев - медовыми лизунами.

в 1882 году на месте старого Медового моста возведен новый мост из металла.

Медовый мост. Вид на остров Кнайпхоф и Кафедральный собор

Сохранился до наших дней и в основном используется как пешеходный мост, так как в настоящее время на острове Кнайпхоф расположен только Кафедральный собор - главная достопримечательность города Калининграда. В настоящее время молодожены вешают замки со своими именами и датой бракосочетания на перила Медового моста , а ключи от замков ломают и выбрасывают в реку Прегель.

Задача о семи мостах Кенигсберга, Леонард Эйлер и теория графов

С давних времен жители Кенигсберга бились над загадкой: можно ли пройти по всем мостам, пройдя по каждому только один раз? Эту задачу решали и теоретически, на бумаге, и на практике, на прогулках - проходя по этим самым мостам. Никому не удавалось доказать, что это неосуществимо, но и совершить такую «загадочную» прогулку по мостам никто не мог.

В 1736 году известный математик, член Петербургской академии наук Леонард Эйлер взялся решить задачу о семи мостах. В том же году он написал об этом инженеру и математику Мариони. Эйлер писал, что нашел правило, по которому нетрудно вычислить, можно ли пройти по всем мостам и при этом ни по одному не пройти дважды. На семи мостах Кенигсберга сделать это невозможно.

На схеме города (графе) ребра графа соответствуют мостам, а вершины графа (точки, в которых соединяются линии) - частям города. Размышляя над задачей, Эйлер сделал следующие выводы:

• 
  вершины графа могут быть четными и нечетными
• одним росчерком пера можно начертить граф, все вершины которого четные, можно начать в любой вершине графа и закончить этой же вершиной
• число нечетных вершин (таких, к которым ведет нечетное число ребер) должно быть нечетным, граф с четным числом нечетных вершин, не существует
• невозможно начертить одним росчерком граф с более чем двумя нечетными вершинами.

У графа кенигсбергских мостов четыре нечетных вершины, то есть все. Таким образом, пройти по всем мостам, ни по одному не проходя дважды, не представляется возможным.

НОВОСТИ ФОРУМА Рыцари теории эфира

23.02.2020 - 19:17: -> - Карим_Хайдаров. 23.02.2020 - 19:14:

Лавочный мост, Krämerbrücke

Зеленый мост, GrüneBrücke

Потроховый (Рабочий) мост, Koettel brücke

Кузнечный мост, Schmitderbrüke

Деревянный мост, Holzbrücke

Высокий мост, Hohebrücke

Медовый мост, Honigbrücke

С давних времен жители Кенигсберга бились над загадкой: можно ли пройти по всем мостам Кенигсберга, пройдя по каждому только один раз? Эту задачу решали и теоретически, на бумаге, и на практике, на прогулках - проходя по этим самым мостам. Никому не удавалось доказать, что это неосуществимо, но и совершить такую «загадочную» прогулку по мостам никто не мог.

В 1736 году известный математик, член Петербургской академии наук Леонард Эйлер взялся решить задачу о семи мостах. В том же году он написал об этом инженеру и математику Мариони. Эйлер писал, что нашел правило, по которому нетрудно вычислить, можно ли пройти по всем мостам и при этом ни по одному не пройти дважды. На семи мостах Кенигсберга сделать это невозможно.

Именно благодаря этой задаче о мостах на карте старого Кенигсберга появился еще один мост, с помощью которого соединялся остров Ломзе с южной стороной. Это произошло таким образом. Император (кайзер) Вильгельм был известен простотой мышления, быстрой реакцией и солдатской «недалекостью». На одном из приемов, где присутствовал кайзер, приглашенные ученые умы вздумали сыграть с ним шутку: Вильгельму показали карту Кенигсберга, предложив разрешить задачу о мостах. Задача же заведомо была нерешаемой. Вильгельм, к общему удивлению, потребовал перо и бумагу, заявив, что задача разрешима и он решит ее за считанные минуты. Бумагу и чернила нашли, хотя никто не мог поверить, что кайзер Вильгельм обладает решением этой задачи. На поданном листке бумаги кайзер написал: «приказываю построить восьмой мост на острове Ломзе». Новый мост назвали Императорским мостом или Kaiser-brucke.

Этот восьмой мост сделал задачу о мостах легкой забавой даже для ребенка....

Уважаемые HRы, кадровики...

Есть известный математик, член академий, наверняка профессор или даже академик Эйлер, а есть просто кайзер Вильгельм. Эйлер решил что задачу решить невозможно, Вильгельм же доступным образом показал, что это не так. Мне иногда споры с вами напоминают вышеуказанный хрестоматийный пример.

Ну не хочу я что бы у меня работал вот этот эта гражданка больше.

Потому что она оказался плохим работником.

Но мы не можем её уволить...

Это еще почему?

Так ведь...статья такая то, раздел, пункт, абзац...

Мне работник нужен, а не статьи!

Читайте трудовое законодательство...

Читаю. Сам вызываю и сам увольняю. И понимаю, что большинство из вас так и останется на уровне "статья такая то, раздел, пункт, абзац..."

Муниципальное автономное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №6» г.Перми

История математики

Старая-старая задача о мостах Кенигсберга

Выполнил: Железнов Егор,

ученик 10 «а» класса

Руководитель: Орлова Е. В.,

учитель математики

2014, г. Пермь

Введение …………………………………………………………………………..3

История мостов Кенигсберга …………………………………………................4

Задача о семи мостах Кенигсберга ………………………………………….......8

Вычерчивание фигур одним росчерком ……………………………………….12

Заключение ………………………………………………………………………15

Список литературы...…………………………………………………………….16

Приложение 1 ……………………………………………………………………18

Приложение 2 ……………………………………………………………………22

Приложение 3 ……………………………………………………………………23

Приложение 4 ……………………………………………………………………26

Ведение

Кенигсберг – это историческое название Калининграда, центра самой западной области России, знаменитой своим мягким климатом, пляжами и изделиями из янтаря. Калининград обладает богатым культурным достоянием. Здесь в свое время жили и трудились великий философ И. Кант, сказочник Эрнст Теодор Амадей Гофман, физик Франц Нейман и многие другие, чьи имена вписаны в историю науки и творчества. С Кенигсбергом связана одна интересная задача, так называемая задача о мостах Кенигсберга.

Цель нашего исследования: изучить историю возникновения задачи о мостах Кенигберга, рассмотреть её решение, выяснить роль задачи в развитии математики.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

изучить литературу по данной теме;

систематизировать материал;

подобрать задачи в решении которых используется прием решения задачи о мостах Кентгсберга,;

составить библиографический список литературы.

История мостов Кенигсберга

Возникший в город Кёнигсберг (ныне ) состоял из трёх формально независимых городских поселений и ещё нескольких «слобод» и «посёлков». Расположены они были на островах и берегах реки (ныне Преголя), делящей город на четыре главные части: , , и . Для связи между городскими частями уже в стали строить . В связи с постоянной военной опасностью со стороны соседних и , а также по причине междоусобиц между Кёнигсбергскими городами (в - между городами даже произошла война, вызванная тем, что Кнайпхоф перешёл на сторону Польши, а Альтштадт и Лёбенихт остались верны ) в кёнигсбергские мосты имели оборонные качества. Перед каждым из мостов была построена оборонительная башня с закрывающимися подъёмными или двустворчатыми воротами из дуба и с железной кованой обивкой. Да и сами мосты приобретали характер оборонительных сооружений. Опоры некоторых мостов имели пятиугольную форму, типичную для бастионов. Внутри этих опор располагались казематы. Из опор можно было вести огонь через амбразуры.

Мосты были местом шествий, религиозных и праздничных процессий, а в годы так называемого «Первого русского времени» (-), когда во время Семилетней войны Кёнигсберг ненадолго вошёл в состав , по мостам проходили крестные ходы. Один раз такой крестный ход даже был посвящён православному празднику Водосвятия реки Прегель, вызвавшему неподдельный интерес у жителей Кёнигсберга.

К концу 19 века в Кёнигсберге было построено 7 основных мостов (Приложение 1).

Самый старый из семи мостов Лавочный мост (Krämerbrücke/ Крэмер-брюке). Он был построен в 1286 году. Само название моста говорит само за себя. Площадь, которая прилегала к нему, была местом оживлённой торговли. Он связывал два средневековых города Альтштадт и Кнайпхоф. Построен он был сразу же в камне. В 1900 году он был перестроен и сделан разводным. По мосту стали ходить трамваи. Во время войны он был сильно разрушен, но восстановлен, пока в 1972 году не был демонтирован.

Вторым по возрасту был Зелёный мост (Grüne Brücke/Грюне-брюке) . Он был построен в . Этот мост связал остров Кнайпхоф с южным берегом Прегеля. Он так же был каменным и трёхпролётным. В 1907 году мост был перестроен, средний пролёт стал разводным и по нему стали ходить трамваи. Во время войны этот мост сильно пострадал, был восстановлен, а в 1972 году - демонтирован. Название моста происходит от цвета краски, в который традиционно красили опоры и пролётное строение моста. В у Зелёного моста гонец раздавал прибывшие в Кёнигсберг письма. В ожидании корреспонденции здесь собирались деловые люди города. Здесь же в ожидании почты они обсуждали свои дела. Неудивительно, что именно в непосредственной близости от Зелёного моста в была построена кёнигсбергская торговая . В на другом берегу Прегеля, но также в непосредственной близости от Зелёного моста было построено новое здание торговой биржи, сохранившееся до сих пор (ныне Дворец культуры моряков). В 1972 году вместо Зелёного и Лавочного мостов был построен Эстакадный мост.

После Лавочного и Зелёного был построен Рабочий мост (Koettelbrucke/ Кёттель или Киттель-брюке), также соединявший Кнайпхоф и Форштадт. Иногда название также переводят как Потроховой мост. И тот, и другой вариант перевода не является идеальным, так как немецкое название происходит из и по-русски означает примерно «рабочий, вспомогательный, предназначенный для провоза мусора» и.т.п. Этот мост был построен в . Он соединил город Кнайпхоф с пригородом Форштадт. Мост был наполовину каменным, а пролёты - деревянные настилы. В 1621 году, во время сильного наводнения, мост сорвало и унесло в реку. Мост возвратили на место. В 1886 году его заменили новым, стальным, трёхпролётным, разводным. По нему тоже ходили трамваи. Мост был разрушен во время и позднее не восстанавливался.

Семь мостов Кенигсберга – Википедия (ru /wikipedia .ord )

Теория графов – сайт www .ref .by /refs

Приложение 1

Лавочный мост

Зеленый мост

Потроховый мост

Кузнечный мост

Деревянный мост

Высокий мост

Медовый мост. Вид сбоку на

бывший разводной пролёт.

Медовый мост. Остатки разводного механизма.

Кайзера мост

Приложение 2

Леонард Эйлер

Немецкий и русский математик, механик и физик. Родился 15 апреля 1707 г. в Базеле. Учился в Базельском университете (в 1720–1724 гг.), где его учителем был Иоганн Бернулли. В 1722 г. получил степень магистра искусств. В 1727 г. переехал в Санкт-Петербург, получив место адъюнкт-профессора в недавно основанной Академии наук и художеств. В 1730 г. стал профессором физики, в 1733 г. – профессором математики. За 14 лет своего первого пребывания в Петербурге Эйлер опубликовал более 50 работ. В 1741–1766 гг. работал в Берлинской академии наук под особым покровительством Фридриха II и написал множество сочинений, охватывающих по существу все разделы чистой и прикладной математики. В 1766 г. по приглашению Екатерины II Эйлер возвратился в Россию. Вскоре после прибытия в Санкт-Петербург полностью потерял зрение из-за катаракты, но благодаря великолепной памяти и способностям проводить вычисления в уме до конца жизни занимался научными исследованиями: за это время им было опубликовано около 400 работ, общее же их число превышает 850. Умер Эйлер в Санкт-Петербурге 18 сентября 1783 г.

Труды Эйлера свидетельствуют о необычайной разносторонности автора. Широко известен его трактат по небесной механике «Теория движения планет и комет». Автор книг по гидравлике, кораблестроению, артиллерии. Наибольшую известность принесли Эйлеру исследования в области чистой математики.

Приложение 3

Задачи

З
адача 1 (задача о мостах Ленинграда). В одном из залов Дома занимательной науки в Санкт-Петербурге посетители показывали схему мостов города (рис.). Требовалось обойти все 17 мостов, соединяющих острова и берега Невы, на которых расположен Санкт-Петербург. Обойти надо так, чтобы каждый мост был пройден один раз.

И перерезавши кварталы,

Всплывают вдруг из темноты

Санкт-Петербургские каналы,

Санкт-Петербургские мосты!

(Н. Агнивцев)

Докажите, что требуемый уникурсальный обход всех мостов Санкт-Петербурга того времени возможен, но не может быть замкнутым, т. е. оканчиваться в пункте, от которого начинался.

Задача 2. На озере находится семь островов, которые соединены между собой так, как показано на рисунке. На какой остров должен доставить путешественников катер, чтобы они могли пройти по каждому мосту и только один раз? Почему нельзя доставить путешественников на остров A? 17

Задача 3. (В поисках сокровищ) .

На рис. изображен план подземелья, в одной из комнат которого скрыты богатства рыцаря. Чтобы безопасно проникнуть в эту комнату, надо, войти через определенные ворота в одну из крайних комнат подземелья, пройти последовательно через все 29 дверей, выключая сигнализацию тревоги. Проходить дважды через одни и те же двери нельзя. Определить номер комнаты в которой скрыты сокровища и ворота через которые нужно войти? 20

З

адача 4 . Павлик -заядлый велосипедист - изобразил на классной доске часть плана местности и поселка (рис.8), где он жил прошлым летом. По рас­сказу Павлика, недалеко от поселка, расположившегося по берегам реки Оя, есть маленькое глубокое озерцо, питающееся подземными источника­ми. От него и берет начало Оя, ко­торая при входе поселок разде­ляется на две отдельные речушки, соединенные естественным каналом так, что образуется зеленый остро­ вок (на рисунке отмечен буквой А) с пляжем и спортплощадкой. Далек о за поселком обе речушки, сли­ваясь, образуют широкую реку. Павлик утверждает, что, возвра­щаясь на велосипеде со спортивной площадки, находящейся на острове, домой (на рисунке буква D ), он проезжает по одному разу по всем восьми мостикам, показанным на плане, ни разу не прерывая движе­ния. Наши знатоки теории таких головоломок отметили буквами А, В, С, D участки поселка, разъединен­ные речкой (участки - это узлы се­ти, мосты - ветви), и установили, что уникурсальный маршрут, начи­нающийся в А (нечетном узле), воз­можен, но закончиться он должен непременно в В - во втором нечет­ном узле, остальные два узла С и D - четные. Но ведь и Павлик го­ворит правду: его маршрут из А в D действительно пролегал по всем восьми мостикам и был уникурсальным. В чем же здесь дело? Как вы полагаете?

Задача 5 . Английский математик Л.Кэрролл (автор всемирно известных книг «Алиса в стране чудес», «Алиса в Зазеркалье» и др.) любил задавать своим маленьким друзьям головоломку на обход фигуры (рис.9) единым росчерком пера и не проходя дважды ни одного участка контура. Пересечение линий допускалось. Такая задача решается просто.

Усложним ее дополнительным требованием: при каждом переходе через узел (считая узлами точки пересечения линий на рисунке) направление обхода должно изменяться на 90°. (Начиная обход с любого узла, придется сделать 23 поворота) 6 .

Задача 6 . (Муха в банке) Муха забралась в банку из-под сахара. Банка имеет форму куба. Сможет ли муха последовательно обойти все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру. Подпрыгивать и перелетать с места на место не разрешается. 22

Задача 7 . На рисунке изображена птица. Можно ли нарисовать ее одним росчерком?

Задача 8 . На рис.10 пред­ставлен эскиз одного из портретов Эйлера. Художник воспроизвел его одним росчерком пера (только воло­сы нарисованы отдельно). Где на ри­сунке расположены начало и конец уникурсального контура? Повторите движение пера художника (волосы и пунктирные линии на рисунке не включаются в маршрут обхода) 6 .

Рис.10

З

адача 9 . Начертить одним росчерком следующие фигуры. (Такие фигуры называются уникурсальными (от латинского unus – один, cursus –путь)).

Приложение 4

Решение задач

1

.

3 . Для решения нужно построить граф, где вершины – номера комнат, а ребра – двери.

Нечетные вершины: 6, 18. Так как количество нечетных вершин = 2, то безопасно проникнуть в комнату с сокровищами можно.

Начать путь нужно через ворота В , а закончить в комнате № 18 .

5. Пример требуемого обхода дан на рисунке

6 . Ребра и вершины куба образуют граф, все 8 вершин которого имеют кратность 3 и, следовательно, требуемый условием обход невозможен.

7. Взяв за вершины графа точки пересечения линии, получим 7 вершин, только две из которых имеют нечетную степень. Поэтому в этом графе существует эйлеров путь, а значит, его (т.е. птицу) можно нарисовать одним росчерком. Начать путь нужно в одной нечетной вершине, а закончить в другой.

8. Начать обход надо с нечетного узла в уголке правого глаза и закончить в нечетном узле брови над левым глазом (пунктирные линии в сеть не входят). Все остальные узлы на рисунке четные.

9 .

Рассмотрев эту задачу, в 1736 году Эйлер доказал, что это невозможно, причем он рассмотрел более общую задачу: какие местности, разделенные рукавами рек и соединенные мостами, возможно обойти, побывав на каждом мосту ровно один раз, а какие невозможно.

кенигсбергских мостов">

Несколько модифицируем задачу. Каждую из рассматриваемых местностей, разделенных рекой, обозначим точкой, а соединяющие их мосты – отрезком линии (не обязательно прямой). Тогда вместо плана будем работать просто с некой фигурой, составленной из отрезков кривых и прямых. Такие фигуры в современной математике называются графами, отрезки – ребрами, а точки, которые соединяют ребра – вершинами. Тогда исходная задача эквивалентна следующей: можно ли начертить данный граф, не отрывая карандаша от бумаги, то есть таким образом, чтобы каждое его ребро пройти ровно один раз.

Такие графы, которые можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги, называются уникурсальными (от латинского unus cursus – один путь), или эйлеровыми. Итак, задача ставится таким образом: при каких условиях граф уникурсален? Ясно, что уникурсальный граф не перестанет быть уникурсальным, если изменить длину или форму его ребер, а также изменить расположение вершин – лишь бы не менялось соединение вершин ребрами (в том смысле, что если две вершины соединены, они должны оставаться соединенными, а если разъединены – то разъединенными).

Если граф уникурсален, то и топологически эквивалентный ему граф тоже будет уникурсальным. Уникурсальность, таким образом, является топологическим свойством графа.

Во-первых, надо отличать связные графы от несвязных. Связными называются такие фигуры, что любые две точки можно соединить каким-нибудь путем, принадлежащим этой фигуре. Например, большая часть букв русского алфавита связны, но вот буква Ы – нет: невозможно перейти с ее левой половинки на правую по точкам, принадлежащим этой букве. Связность – это топологическое свойство: оно не меняется при преобразованиях фигуры без разрывов и склеек. Понятно, что если граф уникурсален, то он обязан быть связным.

Во-вторых, рассмотрим вершины графа. Будем называть индексом вершины число ребер, встречающихся в этой вершине. Теперь зададимся вопросом: чему могут равняться индексы вершин уникурсального графа.

Здесь может быть два случая: линия, вычерчивающая граф, может начинаться и заканчиваться в одной и той же точке (назовем ее «замкнутый путь»), а может в разных (назовем ее «незамкнутый путь»). Попробуйте сами нарисовать такие линии – с какими хотите самопересечениями – двойными, тройными и т. д. (для наглядности лучше, чтобы ребер было не больше 15).

Нетрудно видеть, что в замкнутом пути все вершины имеют четный индекс, а в незамкнутом – ровно две имеют нечетный (это начало и конец пути). Дело в том, что, если вершина не является начальной или конечной, то, придя в нее, надо затем из нее выйти – таким образом, сколько ребер входят в нее, столько же выходят из нее, а всего число входящих и исходящих ребер будет четным. Если начальная вершина совпадает с конечной, то ее индекс также четен: сколько ребер из нее вышло, столько же и вошло. А если начальная точка не совпадает с конечной, то их индексы нечетные: из начальной точки нужно один раз выйти, а затем, если в нее и вернемся, то выйти снова, если еще раз вернемся – опять выйти, и т. д.; а в конечную нужно придти, а если из нее потом и выходим, то опять нужно вернуться, и т. д.

Итак, чтобы граф был уникурсальным, необходимо, чтобы все его вершины имели четный индекс либо чтобы число вершин с нечетным индексом равнялось двум.

Посчитайте индексы его вершин и убедитесь, что он никак не может быть уникурсальным. Вот поэтому-то у вас ничего не получалось, когда вы хотели обойти все мосты...

Возникает вопрос: а если в связном графе нет вершин с нечетным индексом либо таких вершин ровно две, то обязательно ли граф уникурсален? Можно строго доказать, что да! Таким образом, уникурсальность однозначно связана с числом вершин с нечетным индексом.

Упражнение: постройте на схеме кенигсбергских мостов еще один мост – там, где захотите – чтобы полученные мосты можно было бы обойти, побывав на каждом ровно по разу; реально проделайте такой путь.

Теперь еще один интересный факт: оказывается, любую систему местностей, соединенных мостами, можно обойти, если необходимо побывать на каждом мосту ровно два раза! Попробуйте это доказать самостоятельно.

НОВОСТИ ФОРУМА Рыцари теории эфира

01.10.2019 - 05:20: -> - Карим_Хайдаров. 30.09.2019 - 12:51:

Более 10 лет в газете «Новые КОЛЁСА Игоря РУДНИКОВА» под рубрикой «Прогулки по Кёнигсбергу» печатаются статьи, посвящённые истории нашего города. Из более чем 500 очерков-прогулок для книги мы выбрали 34 – грустных и весёлых, трагических и эпических. В главах – зарисовки обычаев и быта кёнигсбержцев, основанные на исторических фактах, легендах и преданиях: мода и архитектура, полиция, военные и пожарные, рестораны и кафе, университет и школы, историческая связь Кёнигсберга с Россией и многое другое… Фотографии Кёнигсберга и иллюстрации художника С. Фёдорова, сделанные специально для этой книги, дадут нам возможность представить этот город-«Атлантиду».

Семь мостов Кёнигсберга

Задачу Эйлера решили война и советская власть

Известно, что великий швейцарский математик Леонард Эйлер создал целое направление науки, решая задачу о семи кёнигсбергских мостах.

Зря топтать башмаки

Существует легенда, что жители Кёнигсберга любили прогуливаться по улицам трёх «слившихся» в единое целое средневековых городов: Альтштадта, Лёбенихта и Кнайпхофа, – но терпеть не могли зря топтать свои башмаки. А города эти были соединены между собой семью мостами. И вот будто бы экономные горожане однажды задумались: а можно ли пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать лишь один раз и вернуться к месту, откуда начал прогулку?

Эйлера задача заинтересовала. «Никто ещё до сих пор не смог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно… Для решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторское искусство», – так писал он своему коллеге, итальянскому математику и инженеру.

В конце концов, выстроив сложнейший алгоритм, Эйлер получил отрицательный ответ. Пройти по всем мостам лишь по одному разу и, описав круг, вернуться в исходную точку оказалось невозможным.

Лавочный, Зелёный и Кузнечный

Итак, самым старым был мост Лавочный (Кремербрюкке). Его построили в 1286 году по инициативе бургомистрата Альтштадта (только что получившего городские права). Связывал он Альтштадт с островом Кнайпхоф, на котором ещё не было городского поселения.

Рядом с Лавочным мостом была построена будка – как пишется в немецких бумагах, «для складирования возможного хлама». В 1339 году мост упоминается как названный в честь святого Георга, но в 1397 году он обретает новое имя: Когенбрюкке, то есть Мост Судов (купеческие корабли назывались тогда в Ганзе когами). В 1548 году это имя стало официальным, изменившись на одну букву: Кокенбрюкке.

В 1787 году мост реконструировали. Убрали «будку для хлама». В 1900-м на месте деревянного Кокенбрюкке был сооружён новый, из металла. Он благополучно пережил войну и был снесён в 1972 году при строительстве моста Эстакадного.

Лавочный мост и старые портовые склады

Потроховый мост

Далее – Зелёный (Грюнебрюкке). Был сооружён в 1322 году через рукав реки Прегель, для того чтобы обеспечить движение из пригородов Понарта к Королевскому замку. В 1582 году сгорел. Через шесть лет был построен заново, опять из дерева. В этом виде просуществовал до 1907 года, потом его заменили на металлический, был разводным. Механизм приводился в движение вручную. Войну пережил. «Приговорили» его в том же 1972-м, при строительстве Эстакадного.

В 1379-м, по инициативе альтштадтцев и по решению магистра Тевтонского ордена Винриха, был построен мост, параллельный Лавочному. Он получил название Кузнечный (Шмидебрюкке). Тоже имел при себе будку «для хлама».

К 1787 году Кузнечный мост обветшал и был заменён на новый, тоже деревянный. В металле его построили в 1846 году. Вместо будки поставили башенку для паровой установки – разводного механизма.

Во время штурма Кёнигсберга его разрушили и больше не восстановили.

Потроховый, Высокий и Деревянный

Параллельно Зелёному шёл Потроховый (Мясной) мост (Кёттельбрюкке), расположенный у скотобойни, перед зданием Биржи (ныне Дворец культуры моряков). Его соорудили в 1377 году на средства жителей Кнайпхофа, чтобы он связывал их с Форштадтом – районом складских помещений. Там, в Форштадте, вначале хранились запасы древесины для отопления.

Частично Потроховый мост был разрушен ещё до штурма города в апреле 1945-го, и его пролёты пошли на ремонт Деревянного моста (Хальцбрюкке). Деревянный цел и поныне, он связывает бывший Альтштадт с Октябрьским островом (бывшим островом Ломзе). Если присмотреться, то можно увидеть, что ковка перил различна: в одних местах её элементы – дубовые листья, в других, заимствованных с Потрохового, – колечки.

В 1377 году было получено разрешение на строительство Высокого (Хоэбрюкке) моста (соединяет Октябрьский остров с нынешней улицей Дзержинского). В конце XIX века его деревянный вариант сменился сооружением из кирпича и металла. Кстати, рядом с этим мостом – единственное на весь город уцелевшее здание подъёмных механизмов – башенка, именуемая Мостовым домиком. (Она совсем было уже заваливалась в Прегель, но несколько лет назад её восстановили.)

В 1937 году чуть восточнее был построен новый мост из металла и бетона. Именно он существует и по сей день. Правда, с той поры он не модернизировался, хотя, по плану, текущей реконструкции должны были подвергнуться все мосты Кёнигсберга.

А может, оно и к лучшему? Очевидцы вспоминают, как в 1996 году сапёры – наши, калининградские, – при ремонте Эстакадного моста взрывали бетонное покрытие толовыми шашками! Притом что конструкции этого рода очень чувствительны даже не к ударной волне, а просто к синхронному колебанию. Известен ведь случай, когда довольно крепкий мост обрушился от того, что рота солдат прошлась по нему в ногу…

Императорский и Медовый

Сохранился и мост Медовый (Хонигбрюкке), построенный в 1542 году. По преданию, своим «вкусным» названием он обязан… взятке, которую будто бы получил обер-бурграф Базенраде от кнайпхофского городского совета. За разрешение на строительство моста, связующего Кнайпхоф с островом Ломзе, минуя Альтштадт. Будто бы кнайпхофцы поставили Базенраде целую бочку меда, – а рассерженные альтштадтцы прозвали их за это «медовыми лизунами».

Так или иначе, Медовый пережил Вторую мировую. И сейчас ведёт он к Кафедральному собору с улицы Октябрьской. Чуть было не прикончила его баржа под названием «Алые паруса» – помните, был такой плавучий ресторанчик на Преголе. Во время сильного ветра баржу сорвало с якоря и она протаранила носом перила моста. Аккурат по центру. Но… местные умельцы благополучно решили проблему с помощью автогена. А баржу оттащили на металлолом.

…Другие кёнигсбергские мосты появились значительно позже и к задаче Эйлера отношения не имеют.

Так, построенный в 1905 году Императорский мост (Кайзербрюкке) связывал остров Ломзе с Форштадтом. Частично мост пострадал во время войны. Один его пролёт сохранялся до середины восьмидесятых, а потом его пустили на металлолом.

Железнодорожный и Берлинский

Старый Железнодорожный мост связывал старый Южный и Восточный вокзалы с альтштадтским складским районом. В 1929 году его признали аварийным, через четыре года разобрали. А после войны первые переселенцы восстановили мост, хотя и не в прежнем виде.

Новый Железнодорожный – более известный как двухъярусный – был взорван немецкими сапёрами во время штурма Кёнигсберга. Советские сапёры «навели» его сразу после войны. Разводился он тогда, не поднимаясь вверх обеими половинками, а «разъезжаясь» в стороны путём поворота.

Кстати, именно он остался в истории советского кинематографа. В фильме «Встреча на Эльбе», который снимался в Калининграде в 1948–1949 годах, есть кадр: бывшие друзья и союзники, русские и американцы, толпятся по обеим сторонам реки – типа, Эльбы, – а американцы разводят мост, знаменуя тем самым начало холодной войны.

Так вот, в роли «моста через Эльбу» снимался наш двухъярусный. Реконструировали его в конце пятидесятых и сделали поднимающимся.

А вот Берлинский (Пальмбургский) – тот, что за посёлком Борисово, по окружной дороге в сторону Исаково, – так и застыл в «полусведённом» состоянии. Точно закоченел в судороге. Его взорвали в сорок пятом, перед штурмом.

Высокий мост

Во времена правления первого секретаря обкома КПСС Коновалова одна часть моста была сведена. Строители приступили ко второй, но из Москвы на них гневно прикрикнули: «Неметчину восстанавливаете?!» В результате специальная техника была отправлена на металлолом, а мост так и остался… историческим памятником. Общей кёнигсбергско-калининградской истории. Хотя восстановить его – не проблема.

Монстр поперёк проспекта

…Кстати, когда строился Эстакадный мост, ширина его проезжей части совпадала с суммарной шириной Лавочного и Кузнечного. Дешевле было восстановить два параллельных моста – Кузнечный и Потроховый – и осуществлять по ним движение. Но… тогда во всём царила гигантомания, требовались строительные объёмы.

Ещё смешнее – и трагичнее! – произошло с тем монстром, который торчит поперёк Московского проспекта. Архитекторы – авторы этого «чуда» – утверждают, что действовали на основании немецкого проекта реконструкции Кёнигсберга. На самом деле в немецких планах был предусмотрен совсем другой мост – от проспекта Калинина до Литовского Вала. А это место было выбрано исключительно из меркантильных соображений: под снос подпадало много жилых домов, людей требовалось расселять… Значит, должно было вестись новое строительство, это большой объём капиталовложений… А архитектор получал процент от вала: чем больше объём работ, тем внушительней гонорар. И вот… мы имеем то, что имеем.

…В общем, задачка Эйлера имеет сегодня совсем другое решение. По оставшимся в Калининграде мостам вполне реально описать круг, не повторяя «простые движения». Вот только… захочется ли? И дело даже совсем не в ботинках.