Сравнение натуральных чисел. Тема:" Сравнение натуральных чисел" Способы сравнения натуральных чисел

5 класс

Цель :

Ход урока

I . Актуализация опорных знаний

Математический диктант

Ответы на вопросы учащиеся записывают в тетрадях.

Какие из чисел 3; 12; 14 являются корнями уравнения?

Х+21=24
49-х=47
2х-10=18

Составьте уравнение к задаче, приняв неизвестное число за х. Найдите это число. (Можно найти устно, записав только ответ.)

Ваня задумал число. Если к этому числу при бавить 12, а из полученной суммы вычесть 19, получится 31. Какое число задумал Ваня ?

II . Изучение нового материала

Относительно двух различных натуральных чисел всегда можно сказать, какое из них больше, а какое меньше. Это значит, что натуральные числа можно сравнивать.

Результат сравнения записывается в виде неравенств помощью знаков <; (меньше) и > (больше). Напр. 2<5 (читаем: два меньше пяти) или 5>2 (читаем: пять больше двух).

Правила:

Если два натуральных числа имеют различное число знаков (цифр), то больше число, в котором знаков больше.

Например,

3421 >803; 5703<21844.

2. Если два натуральных числа имеют одинаковое число знаков, то большим является число, в котором больше единиц в наивысшем разряде. Если же число единиц в этом разряде одинаково, то сравниваются разряды на одну ступень ниже и т. д.

Наименьшее натуральное число - единица (1).

Наибольшего натурального числа не существует: для любо го данного натурального числа можно назвать натуральное число, которое больше данного. Поэтому говорят, что ряд натуральных чисел 1, 2, 3, ... неограничен.

Число 0 меньше любого натурального числа. Любое натуральное число больше числа 0.

Свойство координатного луча:

На координатном луче большее число расположено правее, а меньшее – левее.

А В

0 1 2 3 4 5 6 7 8 потам собирает для проверки тетради с домашним заданием.

VI . Домашнее задание

Ясно, что 5 меньше 7, а 171 больше 19. Этот результат сравнения записывают с помощью знаков (больше): 5 19 Такие записи называют неравенствами 19 Такие записи называют неравенствами"> 19 Такие записи называют неравенствами"> 19 Такие записи называют неравенствами" title="Ясно, что 5 меньше 7, а 171 больше 19. Этот результат сравнения записывают с помощью знаков (больше): 5 19 Такие записи называют неравенствами"> title="Ясно, что 5 меньше 7, а 171 больше 19. Этот результат сравнения записывают с помощью знаков (больше): 5 19 Такие записи называют неравенствами">

Сравнивать можно одновременно и три числа Например, число 17 больше 15, но меньше 20. Это записывают с помощью двойного неравенства: 15

1. Посчитать количество цифр в каждом из чисел. Больше то число, у которого цифр больше: > 99 124 396"> 99 124 396"> 99 124 396" title="1. Посчитать количество цифр в каждом из чисел. Больше то число, у которого цифр больше: 594 321 505 > 99 124 396"> title="1. Посчитать количество цифр в каждом из чисел. Больше то число, у которого цифр больше: 594 321 505 > 99 124 396">

2. Если два многозначных числа имеют одинаковое количество цифр, то сравнивать их нужно по разрядам: 7256 > 7249 582 647 7249 582 647 7249 582 647 7249 582 647 title="2. Если два многозначных числа имеют одинаковое количество цифр, то сравнивать их нужно по разрядам: 7256 > 7249 582 647

Сравнение в жизни мы используем постоянно. Например, длинная дорога или короткая, высокий или низкий человек, много игрушек или мало, большая емкость или маленькая. Так, что же такое сравнение натуральных чисел?

Сравнение натуральных чисел – это определение какое из больше, а какое меньше.

Способы сравнения натуральных чисел.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9 ,10, 11, 12, 13, 14, 15, …

1) Всегда числа, стоящие справа в больше чисел, стоящих слева.
Например, сравним числа 7 и 9. Число 9 стоит правее числа 7, следовательно, число 9 больше 7.

Единица, является самым маленьким натуральным числом.

Любое натуральное число больше нуля.

2) Всегда больше то натуральное число, у которого больше.

Сравним два числа 45 и 190. Сразу понятно, что число 190 больше числа 45. Мы сделали такой вывод потому, что число 190 является трехзначным числом, а 45 – двухзначным числом. У числа 190 есть разряд сотен, десятков и единиц, а у числа 45 только разряд десятков и единиц.

3) Если количество разрядов одинаково, то мы будем сравнивать величины цифр разрядов, начиная с (слева направо).
Например, сравним числа 478 и 399. Оба числа являются трехзначными, поэтому подробно рассмотрим сотен. У первого числа 478 разряд сотен равен 4, а у второго числа 399 разряд сотен равен 3. Следовательно, первое число 478 больше второго числа 399, потому что 4 больше 3.

Если одинаковые мы сравниваем следующий меньший разряд цифр.
Сравним числа 7890 и 7860. Начинаем сравнивать высший разряд единиц тысяч он у обоих чисел равен 7. Следующий разряд сотен, также равен у обоих чисел 8. А вот разряд десятков различен. У первого числа 7890 разряд десятков равен 9, а у второго числа 7860 равен 6. Далее делаем вывод, первое число 7890 больше 7860, потому что разряд десятков у первого числа больше чем у второго. Проще сказать, 9 больше 6.

\(\left(\begin{array}{c}78 \color{blue} {9}0\\ 78\color{red} {6}0\end{array}\right)\)

4) Если при сравнении все цифры разрядов двух натуральных чисел одинаковы, значит числа равны.
Например, сравним числа 4890765 и 4890765. Видно, что у обоих чисел все цифры разрядов одинаковы, следовательно, они равны.

\(\left(\begin{array}{c}4890765\\ 4890765\end{array}\right)\)

Неравенство и знаки неравенства.

Чтобы не писать словами больше, меньше или равно в математике придумали обозначения. Больше (>), меньше (<), равно (=) . Например, 3 больше 2 математическая запись будет выглядеть так 3>2. Или 6 меньше 10, мы запишем как 6<10. 8 равно 8, запишем 8=8.

Выражения 3>2, 6<10 и 8=8 называются в математики неравенствами.

Такая запись 2<3<4 называется двойным неравенством .

Вопросы к теме:
Назовите наименьшее натуральное число?
Ответ: единица.

Назовите наибольшее натуральное число?
Ответ: натуральный ряд чисел бесконечен, поэтому наибольшего натурального числа не существует.

Какое из чисел больше шестизначное или семизначное число?
Ответ: семизначное число больше шестизначного.

Разобраны примеры с ответами на типичные задания темы.
Пример №1:
Прочитайте неравенство: а) 5<12 б) 6>1 в) 7=7
Ответ: а) пять меньше двенадцати б) шесть больше одного в) семь равено семи.

Пример №2:
Запишите неравенство: а) 4 меньше 8 б) 10 больше 9 в) 11 равно 11.
Ответ: а) 4<8 б) 10>9 в) 11=11.

Пример №3:
Верны ли неравенства? Проверьте знаки сравнения: а) 5<6 б) 7<3 в) 22>23 г) 5=55
Ответ: а) верно б) неверно в) неверно г) неверно.

Пример №4:
Сравните числа, поставьте правильно знаки неравенства (<, >, =): а)3 и 3 б)4 и 9 в)8 и 3
Ответ: а) 3=3 б) 4<9 в) 8>3

Пример №5:

Посмотрите на рисунок и составьте неравенство.

При счете натуральные числа называют по порядку: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... .

Из двух натуральных чисел меньше то, которое при счете называют раньше, и больше то, которое при счете называют позже. Единица – самое маленькое натуральное число. Число 4 меньше, чем. 7, а число 8 больше, чем 7.

Точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее точки с большей координатой.

Например, точка А(4) лежит левее точки В(7) (рис. 16). Нуль меньше любого натурального числа.

Рис. 16. Координатный луч

Результат сравнения двух чисел записывают в виде неравенства , применяя знаки < (меньше) и > (больше). Например, 4 < 7, 8 > 7. Число 3 меньше, чем 6, и больше, чем 2. Это записывают в виде двойного неравенства 2 < 3 < 6. Так как нуль меньше, чем единица, то записывают 0 < 1.

Многозначные числа сравнивают так. Число 2305 больше, чем 984, потому что 2305 – четырехзначное число, а 984 – трехзначное. Числа 2305 и 1178 – четырехзначные, но 2305>1178, потому что в первом числе больше тысяч, чем во втором. В четырехзначных числах 2305 и 2186 поровну тысяч, но сотен в первом числе больше, и потому 2305 > 2186.

Знаками < и > обозначают также результат сравнения отрезков. Если отрезок АВ короче отрезка CD, то пишут:

Если же отрезок АВ длиннее отрезка CD, то пишут:

Неравенства читают так: левую часть в именительном падеже, а правую – в родительном падеже.

Например: 55<128 – пятьдесят пять меньше ста двадцати восьми.

Немало различных способов записи, чисел было создано людьми. В Древней Руси числа обозначали буквами с особым знаком «~» (титло), который писали над буквой (рис. 17).

Рис. 17. Запись чисел в Древней Руси

Первые девять букв алфавита обозначали единицы, следующие девять букв – десятки, а последние девять букв – сотни. Число десять тысяч называли словом «тьма» (и теперь мы говорим: «народу – тьма тъмущая»).

Современная достаточно простая и удобная десятичная система записи чисел была заимствована европейцами у арабов, которые в свою очередь переняли ее у индусов. Поэтому цифры, которыми мы сейчас пользуемся, европейцы называют «арабскими», а арабы – «индийскими». Эта система была введена в Европе примерно в 1120 году английским ученым-путешественником Аделардом . К 1600 году она была принята в большинстве стран мира.

Русские названия чисел тесно связаны с десятичной системой счисления. Например, семнадцать означает «семь на десять», семьдесят – «семь десятков», а семьсот – «семь сотен».

До сих пор используются и римские цифры, которые употреблялись в Древнем Риме уже около 2600 лет тому назад.

I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, С - 100, D - 500, М - 1000.

Остальные числа записываются этими цифрами с применением сложения и вычитания. Так, например, число XXVII означает 27, так как

10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27.

Если меньшая по значению цифра (I, X, С) стоит перед большей, то ее значение вычитается.

Например, IV означает 4(5 - 1 = 4), IX означает 9(10 – 1 = 9), ХС означает 90. Таким образом, число MCMLXXXIX означает 1989. так как:

1000 + (1000 - 100) + 50 + 10 + 10 + 10 + (10 - 1) = 1989.

В настоящее время римские цифры обычно применяются при нумерации глав и разделов книг, месяцев года, для обозначений дат значительных событий, годовщин.

Для вычислений запись чисел с помощью римских цифр неудобна. В этом вы можете убедиться сами, если попробуете выполнить, например, сложение чисел CCXCVII и ХLIХ или деление числа CCXCVII на число IX.

Справочник - Математика

Сравнивать натуральные числа очень легко. Всегда можно сказать, какое из двух различных натуральных чисел меньше, а какое больше. Скажем: «7 меньше 12» или «12 больше 7».

Например, если на уроке рисования у Оли было 12 цветных карандашей, а у Игоря 7, то ясно, что у Оли карандашей больше, чем у Игоря, а у Игоря их меньше, чем у Оли.

При сравнении двух чисел в записи слово меньше заменяют знаком «<», а слово больше — знаком «>». Запишем сказанное с помощью знаков сравнения: 7< 12 или 12 > 7.

Обратите внимание: острый «клювик» значков «больше» и «меньше» всегда направлен в сторону меньшего из двух чисел.

Если бы и у Оли и у Игоря было бы по 12 или по 7 карандашей, мы бы сказали, что у них равное количество карандашей, потому что 12 равно 12, а 7 равно 7.

Слово равно при записи заменяют знаком «=».

Две подруги Настя и Аня решили посчитать, кто из них за неделю в школе получил больше пятёрок. Настя считала: «1,2, 3, 4, 5, 6, 7». Всего у Насти 7 пятёрок. Затем считала Аня: «1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9». Всего у Ани 9 пятерок. Понятно, что Аня за неделю получила пятёрок больше, чем Настя: 9 > 7.

При сравнении двух натуральных чисел больше то, которое стоит в натуральном ряду правее.

Когда числа большие, иногда трудно сразу определить, какое из них правее в натуральном ряду.

При сравнении двух натуральных чисел с разным количеством цифр больше то число, в котором цифр больше.

Например: 93 < 256, потому что в первом числе две цифры, а во втором — три.

Многозначные натуральные числа с одинаковым количеством цифр сравниваются поразрядно, начиная со старшего разряда.

Сначала сравниваются единицы самого старшего разряда, потом следующего, следующего и так далее. Например, сравниваем числа 5791 и 5319.

Рассуждай так:

5 791 =5 т. 7 с. 9 д. 1 ед.

5 319-5 т. З с. 1 д. 9 ед.

Сравниваю единицы тысяч. В разряде единиц тысяч числа 5 791 - 5 единиц, в разряде единиц тысяч числа 5 319-5 единиц. Сравнив единицы тысяч, ещё не получаю ответа на вопрос, какое из чисел больше. Рассуждаю дальше. Сравниваю сотни. В разряде сотен числа 5 791 — 7 единиц, в разряде сотен числа 5 319 - 3 единицы, сравнив, получаю 7 > 3, поэтому 5 791 > 5 319.

Числа можно располагать в порядке убывания и в порядке возрастания. Если в записи нескольких натуральных чисел каждое следующее число меньше предыдущего, то говорят, что числа записаны в порядке убывания.

Давай запишем числа 7,11,21, 791, 2 в порядке убывания. Рассуждай так:

Отыщу большее число. Числа 7 и 2 — однозначные, 11 и 21 — двузначные, 791 — трёхзначное число и, следовательно, самое большое. Пишу на первом месте 791. Из двузначных чисел 11 и 21 большее 21. Пишу за числом 791 число 21, а затем 11. Из чисел 7 и 2 большее 7. За числом 11 пишу 7, а затем 2.

791, 21, 11, 7, 2 — запись данных чисел в порядке их убывания.

Если в записи нескольких натуральных чисел каждое следующее число больше предыдущего, то говорят, что числа записаны в порядке возрастания.

А теперь запишем числа 12, 5, 31, 279, 268 в порядке возрастания. Рассуждай так:

Среди чисел 12, 5, 31, 279, 268 отыщу меньшее. Числа 279 и 268 — трехзначные, 12 и 31 — двузначные, 5 — однозначное. Меньшее число — 5. На первом месте пишу число 5. Из двухзначеных чисел 12 меньше, 31 большее. За числом 5 пишу 12, затем 31. 5, 12, 31 3. Из трёхзначных чисел 268 меньшее, 279 большее. За числом 31 пишу 268, затем 279. 5, 12, 31, 268, 279 — запись данных чисел в порядке их возрастания.