\ (\ sqrt (a) = b \) kung \ (b ^ 2 = a \), kung saan \ (a≥0, b≥0 \)

Mga halimbawa:

\ (\ sqrt (49) = 7 \) mula noong \ (7 ^ 2 = 49 \)
\ (\ sqrt (0.04) = 0.2 \) mula noong \ (0.2 ^ 2 = 0.04 \)

Paano mo i-extract ang square root ng isang numero?

Upang kunin ang square root ng isang numero, kailangan mong tanungin ang iyong sarili ng tanong: anong numero sa square ang ibibigay ng expression sa ilalim ng root?

Halimbawa... I-extract ang ugat: a) \ (\ sqrt (2500) \); b) \ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \); c) \ (\ sqrt (0.001) \); d) \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)

a) Anong numerong squared ang magbibigay ng \ (2500 \)?

\ (\ sqrt (2500) = 50 \)

b) Anong numerong naka-squad ang magiging \ (\ frac (4) (9) \)?

\ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \) \ (= \) \ (\ frac (2) (3) \)

c) Anong numerong parisukat ang magbibigay ng \ (0.0001 \)?

\ (\ sqrt (0.0001) = 0.01 \)

d) Anong numerong squared ang magbibigay ng \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)? Upang masagot ang tanong, kailangan mong isalin sa mali.

\ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) = \ sqrt (\ frac (49) (16)) = \ frac (7) (6) \)

Magkomento: Bagama't \ (- 50 \), \ (- \ frac (2) (3) \), \ (- 0,01 \), \ (- \ frac (7) (6) \), sagutin din ang mga tanong , ngunit hindi sila isinasaalang-alang, dahil ang square root ay palaging positibo.

Ang pangunahing pag-aari ng ugat

Tulad ng alam mo, sa matematika, anumang aksyon ay may kabaligtaran. Ang pagdaragdag ay may pagbabawas, ang pagpaparami ay may dibisyon. Ang inverse ng squaring ay sa square root. Samakatuwid, kinansela ng mga pagkilos na ito ang isa't isa:

\ ((\ sqrt (a)) ^ 2 = a \)

Ito ang pangunahing pag-aari ng ugat, na kadalasang ginagamit (kabilang ang OGE)

Halimbawa ... (gawain mula sa OGE). Hanapin ang halaga ng expression na \ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) \)

Solusyon :\ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot (\ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot 6) (36 ) = \ frac (4) (6) = \ frac (2) (3) \)

Halimbawa ... (gawain mula sa OGE). Hanapin ang halaga ng expression na \ ((\ sqrt (85) -1) ^ 2 \)

Solusyon:

Siyempre, kapag nagtatrabaho sa isang square root, kailangan mo ring gumamit ng iba.

Halimbawa ... (gawain mula sa OGE). Hanapin ang halaga ng expression na \ (5 \ sqrt (11) \ cdot 2 \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (22) \)
Solusyon:

Sagot: \(220\)

4 rules na laging nakakalimutan

Ang ugat ay hindi palaging kinukuha

Halimbawa: \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \), \ (\ sqrt (200) \), \ (\ sqrt (0,1) \) atbp. - hindi laging posible na kunin ang ugat mula sa isang numero at ito ay normal!

Root ng isang numero, isang numero din

Hindi kinakailangang sumangguni sa \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \), kahit papaano lalo na. Ito ay mga numero, ngunit hindi buong mga numero, oo, ngunit hindi lahat ng bagay sa ating mundo ay sinusukat sa buong mga numero.

Ang ugat ay nakuha lamang mula sa mga hindi negatibong numero

Samakatuwid, sa mga aklat-aralin hindi mo makikita ang mga naturang entry \ (\ sqrt (-23) \), \ (\ sqrt (-1) \), atbp.

Pamagat: Independent at pagsubok na gawain sa algebra at geometry para sa grade 8.

Ang manwal ay naglalaman ng independyente at kontrol na gumagana sa lahat ng pinakamahalagang paksa ng kurso ng algebra at geometry sa grade 8.

Ang mga gawa ay binubuo ng 6 na variant ng tatlong antas ng kahirapan. Ang mga materyal na didactic ay inilaan para sa samahan ng magkakaibang independiyenteng gawain ng mga mag-aaral.

NILALAMAN
ALGEBRA 4
P-1 Rational Expression. Pagbawas ng mga fraction 4
C-2 Pagdaragdag at Pagbabawas ng mga Fraction 5
K-1 Rational fractions. Pagdaragdag at Pagbabawas ng mga Fraction 7
C-3 Multiplikasyon at paghahati ng mga fraction. Pagtaas ng isang fraction sa kapangyarihan ng 10
P-4 Rational Expression Transformation 12
С-5 Inverse proportionality at ang graph nito 14
К-2 Rational fractions 16
C-6 Arithmetic square root ng 18
C-7 Equation x2 = a. Function y = y [x 20
С-8 Square root ng isang produkto, fraction, power 22
K-3 Arithmetic square root at mga katangian nito 24
C-9 Pagpapakilala at pagtanggal ng multiplier sa square roots 27
C-10 Pag-convert ng mga expression na naglalaman ng square roots 28
K-4 Paglalapat ng mga katangian ng arithmetic square root 30
P-11 Hindi Kumpletong Quadratic Equation 32
С-12 Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation 33
С-13 Paglutas ng problema gamit ang mga quadratic equation. Ang teorama ni Vieta 34
K-5 Quadratic Equation 36
P-14 Fractional Rational Equation 38
С-15 Application ng fractional rational equation. Paglutas ng problema 39
K-6 Fractional Rational Equation 40
C-16 Mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay ng numero 43
K-7 Mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero at ang kanilang mga katangian 44
С-17 Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable 47
С-18 Mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay 48
K-8 Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay at mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable 50
С-19 Degree na may negatibong indicator 52
K-9 Degree na may integer 54
К-10 Taunang pagsusulit 56
GEOMETRY (Ayon kay Pogorelov) 58
С-1 Mga katangian at palatandaan ng paralelogram. "58
C-2 Parihaba. Rhombus. Square 60
K-1 Paralelogram 62
С-3 teorama ni Thales. Midline ng tatsulok 63
C-4 Trapesium. Gitnang linya ng trapezoid 66
K-2 Trapesium. Mga gitnang linya ng isang tatsulok at isang trapezoid ... 68
C-5 Pythagorean Theorem 70
С-6 Ang kabaligtaran na theorem sa Pythagorean theorem. Perpendikular at pahilig 71
C-7 Hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok 73
K-3 Pythagorean Theorem 74
C-8 Right Triangle Solution 76
C-9 Mga katangian ng trigonometriko function 78
K-4 Right-angled triangle (pagsusulit sa pangkalahatan) 80
С-10 Coordinates ng segment midpoint. Distansya sa pagitan ng mga puntos. Equation ng bilog 82
C-11 Equation ng isang tuwid na linya 84
K-5 Cartesian coordinate 86
С-12 Movement at mga katangian nito. Central at axial symmetry. Lumiko 88
S-13. Parallel transfer 90
С-14 Vector na konsepto. Pagkakapantay-pantay ng mga vector 92
С-15 Mga aksyon na may mga vector sa coordinate form. Mga collinear na vector 94
С-16 Mga aksyon na may mga vector sa geometric na anyo 95
C-17 Dot product 98
K-6 Vectors 99
К-7 Taunang pagsusuri 102
GEOMETRY (Ayon kay Atanasyan) 104
С-1 Mga katangian at palatandaan ng isang paralelogram 104
C-2 Parihaba. Rhombus. Square 106
К-1 Quadrangles 108
С-3 Lugar ng isang parihaba, parisukat 109
С-4 Lugar ng parallelogram, rhombus, tatsulok 111
С-5 Trapezium area 113
C-6 Pythagorean Theorem 114
K-2 Squares. Pythagoras' theorem 116
C-7 Kahulugan ng mga katulad na tatsulok. Angle bisector property ng isang tatsulok 118
С-8 Mga palatandaan ng pagkakatulad ng mga tatsulok 120
K-3 Pagkakatulad ng mga tatsulok 122
С-9 Paglalapat ng pagkakatulad sa paglutas ng problema 124
C-10 Relasyon sa pagitan ng mga gilid at anggulo ng isang tamang tatsulok 126
К-4 Paglalapat ng pagkakatulad sa paglutas ng problema. Mga ratio sa pagitan ng mga gilid at anggulo ng isang tamang tatsulok 128
С-11 Tangent sa bilog 130
С-12 Gitna at mga nakasulat na sulok 132
С-13 Theorem sa produkto ng mga segment ng intersecting chords. Ang Kahanga-hangang mga Punto ng Triangle 134
С-14 Inscribed at circumscribed circles 136
K-5 Circumference 137
C-15 Pagdaragdag at pagbabawas ng vector 139
С-16 Multiplikasyon ng isang vector sa numerong 141
С-17 Gitnang linya ng trapezoid 142
K-6 Vectors. Paglalapat ng mga Vector sa Paglutas ng Problema 144
К-7 Taunang pagsusuri 146
MGA SAGOT 148
MGA SANGGUNIAN 157

PAUNANG SALITA .
1. Ang isang medyo maliit na libro ay naglalaman ng isang buong hanay ng mga pagsusulit (kabilang ang mga huling pagsusulit) para sa buong kurso ng ika-8 baitang algebra at geometry, kaya sapat na upang bumili ng isang hanay ng mga aklat bawat klase.
Ang mga test paper ay idinisenyo para sa isang aralin, independiyenteng trabaho - para sa 20-35 minuto, depende sa paksa. Para sa kaginhawaan ng paggamit ng aklat, ang pamagat ng bawat independyente at pagsubok na gawain ay nagpapakita ng paksa nito.

2. Ang koleksyon ay nagbibigay-daan para sa magkakaibang kontrol ng kaalaman, dahil ang mga gawain ay ipinamamahagi sa tatlong antas ng pagiging kumplikado A, B at C. Ang Antas A ay tumutugma sa ipinag-uutos na mga kinakailangan ng programa, B - sa average na antas ng pagiging kumplikado, ang mga gawain ng antas C ay nilayon para sa mga mag-aaral na may tumaas na interes sa matematika, at para din sa paggamit sa mga silid-aralan, paaralan, paaralan ng gramatika at mataas na paaralan na may advanced na pag-aaral ng matematika. Para sa bawat antas, mayroong 2 magkatabing katumbas na opsyon (tulad ng karaniwang nakasulat sa pisara), kaya sapat na ang isang aklat sa mesa para sa aralin.

Libreng i-download ang e-book sa isang maginhawang format, panoorin at basahin:
I-download ang aklat na Self-study at mga pagsusulit sa algebra at geometry para sa grade 8. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, mabilis at libreng pag-download.

• Independent at control work sa geometry para sa grade 11. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004
• Independent at pagsubok sa algebra at geometry para sa ika-9 na baitang. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004
• Independent at control works sa algebra at geometry, grade 8, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013

Tumingin ulit ako sa karatula ... And let's go!

Magsimula tayo sa isang simple:

Saglit lang. ito, na nangangahulugang maaari tayong sumulat ng ganito:

Nakuha ko? Narito ang susunod na para sa iyo:

Ang mga ugat ng mga nagresultang numero ay hindi eksaktong nakuha? Hindi mahalaga - narito ang ilang mga halimbawa:

Ngunit paano kung ang mga kadahilanan ay hindi dalawa, ngunit higit pa? Pareho! Gumagana ang root multiplication formula sa anumang bilang ng mga salik:

Ngayon ganap sa aking sarili:

Mga sagot: Magaling! Sumang-ayon, ang lahat ay napakadali, ang pangunahing bagay ay upang malaman ang talahanayan ng pagpaparami!

Dibisyon ng mga ugat

Nalaman natin ang pagpaparami ng mga ugat, ngayon ay bumaba tayo sa pag-aari ng dibisyon.

Ipaalala ko sa iyo na ang formula sa pangkalahatan ay ganito:

Ibig sabihin nito ang ugat ng quotient ay katumbas ng quotient ng mga ugat.

Buweno, alamin natin ito sa mga halimbawa:

Science lang yan. Narito ang isang halimbawa:

Ang lahat ay hindi kasing makinis tulad ng sa unang halimbawa, ngunit, tulad ng nakikita mo, walang kumplikado.

Ngunit paano kung ang isang expression na tulad nito ay dumating sa:

Kailangan mo lamang ilapat ang formula sa kabaligtaran na direksyon:

At narito ang isang halimbawa:

Maaari mo ring makita ang expression na ito:

Ang lahat ay pareho, dito lamang kailangan mong tandaan kung paano isalin ang mga praksyon (kung hindi mo matandaan, tingnan ang paksa at bumalik!). Naalala? Ngayon kami ang magpapasya!

Sigurado ako na nakaya mo ang lahat, lahat, ngayon subukan nating bumuo ng mga ugat sa kapangyarihan.

Exponentiation

Ngunit ano ang mangyayari kung ang square root ay squared? Ito ay simple, tandaan ang kahulugan ng square root ng isang numero - ito ay isang numero na ang square root ay katumbas ng.

Kaya, kung itataas natin ang isang numero na ang square root ay katumbas ng square, ano ang makukuha natin?

Aba, syempre,!

Tingnan natin ang mga halimbawa:

Simple lang diba? At kung ang ugat ay nasa ibang antas? ayos lang!

Sundin ang parehong lohika at tandaan ang mga katangian at posibleng mga aksyon na may mga degree.

Basahin ang teorya sa paksang "" at ang lahat ay magiging napakalinaw sa iyo.

Halimbawa, narito ang isang expression:

Sa halimbawang ito, ang antas ay pantay, ngunit paano kung ito ay kakaiba? Muli, ilapat ang mga katangian ng kapangyarihan at salik ang lahat:

Sa pamamagitan nito, tila malinaw ang lahat, ngunit paano i-extract ang ugat ng isang numero sa isang kapangyarihan? Halimbawa, ito ay:

Medyo simple, tama? At kung ang degree ay higit sa dalawa? Sinusunod namin ang parehong lohika gamit ang mga katangian ng degree:

Well, malinaw na ba ang lahat? Pagkatapos ay lutasin ang mga halimbawa sa iyong sarili:

At narito ang mga sagot:

Panimula sa ilalim ng root sign

Ano ang hindi natin natutunang gawin sa mga ugat! Ito ay nananatili lamang sa pagsasanay sa pagpasok ng numero sa ilalim ng root sign!

Madali lang!

Sabihin nating naisulat na natin ang numero

Ano ang magagawa natin dito? Well, siyempre, itago ang tatlo sa ilalim ng ugat, remembering na ang tatlo ay ang square root ng!

Bakit kailangan natin ang mga ito? Oo, para lang mapalawak ang aming mga kakayahan kapag nagresolba ng mga halimbawa:

Paano mo gusto ang pag-aari na ito ng mga ugat? Ginagawa ba nitong mas madali ang buhay? Para sa akin, tama! Tanging dapat nating tandaan na maaari lamang nating ipakilala ang mga positibong numero sa ilalim ng square root sign.

Lutasin ang halimbawang ito sa iyong sarili -
Inayos mo ba? Tingnan natin kung ano ang dapat mong makuha:

Magaling! Nagawa mong ipasok ang numero sa ilalim ng root sign! Lumipat tayo sa isang pantay na mahalaga - tingnan natin kung paano ihambing ang mga numerong naglalaman ng square root!

Paghahambing ng mga ugat

Bakit dapat nating matutunan na ihambing ang mga numero na naglalaman ng square root?

Napakasimple. Kadalasan, sa malalaki at mahahabang ekspresyon na nakatagpo sa pagsusulit, nakakakuha tayo ng hindi makatwiran na sagot (naaalala mo ba kung ano ito? Napag-usapan na natin ito ngayon!)

Kailangan nating ilagay ang mga natanggap na sagot sa isang linya ng coordinate, halimbawa, upang matukoy kung aling pagitan ang angkop para sa paglutas ng equation. At narito ang isang sagabal: walang calculator sa pagsusulit, at kung wala ito paano isipin kung aling numero ang mas malaki at alin ang mas mababa? Iyon lang!

Halimbawa, tukuyin kung alin ang mas malaki: o?

Hindi mo masasabi kaagad. Well, gamitin natin ang nasuri na pag-aari ng pagpasok ng isang numero sa ilalim ng root sign?

Pagkatapos ay magpatuloy:

At, malinaw naman, mas malaki ang numero sa ilalim ng root sign, mas malaki ang ugat mismo!

Yung. kung, kung gayon,.

Mula dito matatag nating hinuhusgahan iyon. At walang sinuman ang kumbinsihin sa amin kung hindi man!

Pagkuha ng mga ugat mula sa malalaking numero

Bago iyon, ipinakilala namin ang kadahilanan sa ilalim ng root sign, ngunit paano ito mailabas? Kailangan mo lang i-factor at i-extract ang na-extract!

Posibleng kumuha ng ibang landas at mabulok sa iba pang mga salik:

Hindi masama, ha? Ang alinman sa mga pamamaraang ito ay tama, magpasya kung ano ang pinakaangkop sa iyo.

Ang pag-factor ay lubhang kapaki-pakinabang kapag nilulutas ang mga hindi karaniwang gawain tulad nito:

Hindi kami natatakot, ngunit kumikilos kami! I-decompose natin ang bawat salik sa ilalim ng ugat sa magkakahiwalay na salik:

Ngayon subukan ito sa iyong sarili (nang walang calculator! Wala ito sa pagsusulit):

Ito na ba ang wakas? Huwag huminto sa kalahati!

Yun lang, hindi naman nakakatakot diba?

Nangyari? Magaling, tama iyan!

Ngayon subukang lutasin ang halimbawang ito:

At ang isang halimbawa ay isang matigas na nuwes na basagin, kaya hindi mo lang maisip kung paano ito lapitan. Ngunit kami, siyempre, maaari itong mahirapan.

Well, simulan natin ang factoring? Tandaan kaagad na maaari mong hatiin ang isang numero sa pamamagitan ng (tandaan ang pamantayan ng divisibility):

Ngayon, subukan ito sa iyong sarili (muli, nang walang calculator!):

Well, anong nangyari? Magaling, tama iyan!

I-summarize natin

1. Ang square root (arithmetic square root) ng isang di-negatibong numero ay isang hindi-negatibong numero na ang parisukat ay katumbas ng.
   .
2. Kung kukunin lang natin ang square root ng isang bagay, palagi tayong nakakakuha ng isang hindi negatibong resulta.
3. Arithmetic root properties:
4. Kapag inihambing ang mga square root, dapat tandaan na mas malaki ang numero sa ilalim ng root sign, mas malaki ang ugat mismo.

Paano mo gusto ang square root? Malinaw ang lahat?

Sinubukan naming ipaliwanag sa iyo nang walang tubig ang lahat ng kailangan mong malaman sa square root exam.

Ngayon ay iyong turn. Sumulat sa amin kung ito ay isang mahirap na paksa para sa iyo o hindi.

May bago ka bang natutunan o malinaw na ang lahat.

Sumulat sa mga komento at good luck sa iyong mga pagsusulit!