Відділ освіти і молодіжної політики адміністрації

Яльчікского району Чуваської Республіки

проект
Прості числа…

Так чи проста їхня історія?

Виконала учениця 7 класу МОУ «Новошімкусская ЗОШ Яльчікского району Чуваської Республіки» Єфімова Марина

Керівник: вчитель математики I категорії МОУ «Новошімкусская ЗОШ Яльчікского району Чуваської Республіки» Кирилова С.М.

с.Нові Шимкус - 2007

1. 
   Визначення простих чисел 3
2. 
   Заслуги Ейлера 3
3. 
   Основна теорема арифметики 4
4. 
   Прості числа Мерса 4
5. 
   Прості числа Ферма 5
6. 
   Решето Ератосфена 5
7. 
   Відкриття П.Л.Чебишева 6
8. 
   Проблема Гольдбаха 7
9. 
   І.М.Віноградов 8
10. 
    висновок 8
11. 
    література 10

Визначення простих чисел

Інтерес до вивчення простих чисел виник у людей в далекій давнині. І викликаний він був не тільки практичною необхідністю. Приваблювала їх надзвичайна магічна сила. Числа, якими можна висловити кількість будь-яких предметів. Несподівані і в той же час природні властивості натуральних чисел, виявлені стародавніми математиками, дивували їх своєю чудовою красою і надихали на нові дослідження.

Повинно бути, одним з перших властивостей чисел, відкритих людиною, було те, що деякі з них можуть бути розкладені на два або більше множників, наприклад,

6 \u003d 2 * 3, 9 \u003d 3 * 3, 30 \u003d 2 * 15 \u003d 3 * 10, в той час як інші, наприклад 3, 7, 13, 37, не можуть бути розкладені подібним чином.

Коли число з \u003d аb є твором двох чисел а і b , то числа а йb називаються множителями або делителями числа с. Кожне число може бути представлено у вигляді добутку двох співмножників. Наприклад, з = 1 * з \u003d з * 1.

простим називається число, яке ділиться тільки саме на себе і на одиницю.

Одиниця, що має тільки один дільник, до простих чисел не відноситься. Чи не відноситься вона і до складових числах. Одиниця займає особливе становище в числовому ряду. Піфагорійці вчили, що одиниця - матір усіх чисел, дух, з якого відбувається весь видимий світ, вона є розум, добро, гармонія.

У Казанському університеті професор Нікольський за допомогою одиниці ухитрився довести існування Бога. Він говорив: «Як не може бути числа без одиниці, так і Всесвіт без єдиного Владики існувати не може».

Одиниця і справді - число унікальне за властивостями: вона ділиться тільки сама на себе, але будь-яке інше число на неї ділиться без залишку, будь-яка її ступінь дорівнює тому ж самому числу - одиниці!

Після поділу на неї жодне число не змінюється, а якщо і поділити будь-яке число на саму себе, вийде знову ж одиниця! Чи не дивно це? Поміркувавши над цим, Ейлер заявив: «Потрібно виключити одиницю з послідовності простих чисел, вона не є ні простим, ні складеним».

Це було вже істотно важливе упорядкування в темному і складному питанні про прості числа.

заслуги Ейлера

Леонард Ейлер

(1707-1783)

У Ейлера вчилися всі - і в Західній Європі, і в Росії. Діапазон його творчості широкий: диференціальне та інтегральне числення, алгебра, механіка, Діоптріка, артилерія, морська наука, теорія руху планет і Місяця, теорія музики - всього не перелічити. У всій цій науковій мозаїці знаходиться і теорія чисел. Ейлер віддав їй чимало сил і чималого домігся. Він, як і багато його попередники, шукав магічну формулу, яка дозволяла б виділити прості числа з нескінченної кількості чисел натурального ряду, т. Е. З усіх чисел, які можна собі уявити. Ейлер написав понад сто творів з теорії чисел.

... Доведено, наприклад, що число простих чисел необмежена, т. Е .: 1) немає найбільшого простого числа; 2) немає останнього простого числа, після якого всі числа були б складовими. Перший доказ цього положення належить вченим стародавньої Греції (V-Ш ст. До н. Е.), Другий доказ - Ейлера (1708-1783).

Основна теорема арифметики

Будь-яке натуральне число, відмінне від 1, або є простим, або може бути представлено у вигляді добутку простих чисел, причому однозначно, якщо не звертати уваги на порядок проходження множників.

Доведення. Візьмемо натуральне число п ≠ 1. Якщо n - просте, то це той випадок, про який сказано у висновку теореми. Тепер припустимо, що n - складене. Тоді воно представлено у вигляді твору п \u003d аb, де натуральні числа а і b менше n. Знову або a і b - прості, тоді все доведено, або хоча б одне з них складене, т. Е. Складено з менших множників і так далі; в кінці кінців ми отримаємо розкладання на прості множники.

Якщо число n не ділиться ні на одне просте, що не перевершує √ n, то воно є простим.

Доведення. Припустимо гидке, нехай n - складене і п = ав, де 1 ≤b і р - простий дільник числа а, значить, і числа n. за умовою п не ділиться ні на одне просте, що не перевершує √ n . отже, р\u003e √n. Але тоді а\u003e √n і √ n ≤ а ≤ b ,

звідки п \u003d аb = √ n√ n = п; прийшли до протиріччя, припущення було невірним, теорема доведена.

Приклад 1. якщо з \u003d 91, то √ з \u003d 9, ... перевіримо прості числа 2, 3, 5, 7. Знаходимо, що 91 = 7 13.

Приклад 2. Якщо з \u003d 1973 то знаходимо √ c = √ 1973 =44, ...

так як жодне просте число до 43 поділяє с, то це число є простим.

Приклад 3. Знайдіть просте число, наступне за простим числом тисячі дев'ятсот сімдесят три. відповідь: 1979.

Прості числа Мерса

Протягом декількох століть йшла погоня за простими числами. Багато математики боролися за честь стати відкривачами найбільшого з відомих простих чисел.

Прості числа Мерса є простими числами спеціального виду M p \u003d 2 p - 1

де р - інше просте число.

Ці числа увійшли в математику давно, вони з'являються ще в евклідових роздумах про сучасних числах. Свою назву вони отримали на честь французького ченця вимір Мерса (1589-1648), який довго займався проблемою сучасних чисел.

Якщо обчислювати числа за цією формулою, одержимо:

M 2 \u003d 2 2 - 1 \u003d 3 - просте;

M 3 \u003d 2 3 - 1 \u003d 7 - просте;

M 5 \u003d 2 5 - 1 \u003d 31-просте;

M 7 \u003d 2 7 - 1 \u003d 127 - просте;

M 11 \u003d 2 11 - 1 \u003d 2047 \u003d 23 * 89

Загальний спосіб знаходження великих простих чисел Мерса полягає в перевірці всіх чисел M p для різних простих чисел р.

Ці числа дуже швидко збільшуються і настільки ж швидко збільшуються витрати праці на їх знаходження.

У дослідженні чисел Мерса можна виділити ранню стадію, що досягла своєї кульмінації в 1750 р, коли Ейлер встановив, що число M 31 є простим. На той час було знайдено вісім простих чисел Мерса: "г

р \u003d 2, р \u003d 3, р \u003d 5 , Р \u003d 7, р \u003d 13, р \u003d 17, р \u003d 19, р =31.

Ейлерову число M 31 залишалося найбільшим з відомих простих чисел більше ста років.

У 1876 р французький математик Лукас встановив, що величезна кількість M 127 - з 39 цифрами. 12 простих чисел Мерса були обчислені за допомогою тільки олівця і паперу, а для обчислення наступних вже використовувалися механічні настільні рахункові машини.

Поява обчислювальних машин з електричним приводом дозволило продовжити пошуки, довівши їх до р = 257.

Однак результати були невтішними, серед них не виявилося нових простих чисел Мерса.

Потім завдання було перекладено на ЕОМ.

Найбільше відоме в даний час просте число має 3376 цифр. Це число було знайдено на ЕОМ в Іллінойському університеті (США). Математичний факультет цього університету був такий гордий своїм досягненням, що зобразив це число на своєму поштовому штемпелі, таким чином відтворюючи його на кожному що надсилається листі для загального огляду.

Прості числа Ферма

Існує ще один тип простих чисел з великою і цікавою історією. Вони були вперше введені французьким юристом П'єром Ферма (1601-1665), який прославився своїми видатними математичними роботами.

П'єр Ферма (1601-1665)
Першими простими числами Ферма були числа, які задовольняли формулі F n \u003d
+ 1.

F 0 \u003d
+ 1 = 3;

F 1 \u003d
+ 1 = 5;

F 2 \u003d
+ 1 = 17;

F 3 \u003d
+ 1 = 257;

F 4 \u003d
+ 1 = 65537.

Однак, це припущення було здано в архів несправджених математичних гіпотез, але після того, як Леонард Ейлер зробив ще один крок і показав, що наступне число Ферма F 5 \u003d 641 6 700 417 є складовим.

Можливо, що історія чисел Ферма була б закінчена, якби числа Ферма не з'явились в зовсім іншому завданні - на побудову правильних багатокутників за допомогою циркуля і лінійки.

Однак жодного простого числа Ферма не було знайдено, і зараз багато математики схильні вважати, що їх більше немає.
решето Ератосфена

Існують таблиці простих чисел, що тягнуться до дуже великих чисел. Як підступитися до складання такої таблиці? Це завдання було, в даному разі, вирішена (близько 200 р. До н.е..) Ератосфеном, математиком з Олександрії. -

Його схема полягає в наступному. Напишемо послідовність всіх цілих чисел від 1 до числа, яким ми хочемо закінчити таблицю.

Почнемо з простого числа 2. Будемо викидати кожне друге число. Почнемо з 2 (крім самого числа 2), т. Е. Парних чисел: 4, 6, 8, 10 і т. Д., Підкреслюємо кожне з них.

Після цієї операції першим неподчеркнутим числом буде 3. Воно просте, тому що не ділиться на 2. Залишаючи число 3 неподчеркнутим, будемо підкреслювати кожне третє число після нього, т. Е. Числа 6, 9, 12, 15 ... Деякі з них були вже підкреслені, оскільки вони є парними. На наступному кроці першим неподчеркнутим числом виявиться число 5; воно просте, тому що не ділиться ні на 2, ні на 3 Залишимо число 5 неподчеркнутим, але підкреслимо кожне п'яте число після нього, т. е. числа 10, 15, 20 ... Як і раніше, частина з них виявилася підкресленою . Тепер найменшим неподчеркнутим числом виявиться число 7. Воно просте, тому що не ділиться ні на одне з менших його простих чисел 2, 3, 5. Повторюючи цей процес, ми врешті-решт отримаємо послідовність неподчеркнутих чисел; всі вони (крім числа 1) є простими. Цей метод відсіювання чисел відомий як «решето Ератосфена». Будь-яка таблиця простих чисел створюється за цим принципом.

Ератосфен створив таблицю простих чисел від 1 до 120 більше 2000 років тому. Він писав на папірусі, натягнутому на рамку, або на восковій дощечці, і не закреслював, як це робимо ми, а проколював складові числа. Виходило щось на зразок решета, через яке «просівали» складені числа. Тому таблицю простих чисел називають «решетом Ератосфена».

Скільки всього простих чисел? Чи є останнім просте число, т. Е. Таке, після якого всі числа будуть складовими? Якщо таке число є, то як його знайти? Всі ці питання цікавили вчених ще в глибоку давнину, але відповідь на них виявилося не так-то просто знайти.

Ератосфен був дотепним людиною. Цей сучасник і друг Архімеда, з яким він постійно листувався, був і математиком, і астрономом, і механіком, що вважалося природним для великих мужів того часу. Він першим виміряв діаметр земної кулі, причому не виходячи з олександрійської бібліотеки, де працював. Точність його вимірювання була разюче високою, навіть вища за ту, з якої виміряв Землю Архімед.

Ератосфен винайшов хитромудрий прилад - мезолабіт, з допомогою якого механічно вирішив відому задачу про подвоєння куба, ніж дуже пишався, і тому віддав розпорядження зобразити цей прилад на колоні в Олександрії. Мало того, він поправив єгипетський календар, додавши один день до чотирьох років - у високосний рік.

Решето Ератосфена - це примітивне і в той же час геніальний винахід, до якого не додумався і Евклід, - наводить на загальновідому думку, що все геніальне просто.

Ератосфеново решето непогано попрацював на дослідників далеко не простих чисел. Йшов час. Йшли пошуки способів вилову простих чисел. Почалося своєрідне змагання на вишукування найбільшого простого числа з найдавніших часів до Чебишева і навіть до наших днів.
Відкриття П.Л. Чебишева

І так, число простих чисел нескінченно. Ми вже бачили, що прості числа розміщуються без будь-якого порядку. Простежимо більш докладно.

2 і 3 - прості числа. Це єдина пара простих чисел, що стоять поруч.

Потім йдуть 3 і 5, 5 і 7, 11 і 13, 17 і 19 і т.д. Це так звані суміжні прості числа або близнюки. Близнюків багато: 29 і 31, 41 і 43, 59 і 61, 71 і 73, 101 і 103, 827 і 829 і т. Д. Найбільша відома зараз пара близнюків така: 10016957 і 10 016 959.

Панфутій Львович Чебишев

Як же розподілені прості числа в натуральному ряду, в якому не буде жодного простого числа? Чи є який-небудь закон в їх розподілі чи ні?

Якщо є, то який? Як знайти його? Але відповідь на ці питання не перебував більше 2000 років.

Перший і дуже великий крок у вирішенні цих питань зробив великий російський вчений Панфутій Львович Чебишев. У 1850 він довів, що між будь-яким натуральним числом (не рівним 1) і числом, в два рази більше його (т. Е. Між n і 2n), знаходиться хоча б одне просте число.
Перевіримо це на нескладних прикладах. Приймемо для n кілька довільних значень n . і знайдемо відповідно значення 2n.

n \u003d 12, 2n \u003d 24;

n \u003d 61, 2n \u003d 122;

n \u003d 37, 2n \u003d 74.

Ми бачимо, що для розглянутих прикладів теорема Чебишева вірна.

Чебишев довів її для будь-якого випадку, для будь-якого n. За цю теорему його назвали переможцем простих чисел. Відкритий Чебишевим закон розподілу простих чисел був воістину фундаментальним законом в теорії чисел після закону, відкритого Евклидом, про нескінченність кількості простих чисел.

Чи не найдобріший, самий захоплений відгук на відкриття Чебишева прийшов з Англії від відомого математика Сильвестра: «... Подальших успіхів теорії простих чисел можна очікувати тоді, коли народиться хтось, настільки перевершує Чебишева своєю проникливістю і вдумливістю, наскільки Чебишев перевершує цими якостями звичайних людей ».

Більш ніж через півстоліття німецький математик Е. Ландау, великий фахівець в теорії чисел, додав до цього висловлювання наступне: «Першим після Евкліда Чебишев пішов правильним шляхом при вирішенні проблеми простих чисел і досяг важливих результатів».
проблема Гольдбаха

Випишемо всі прості числа від 1 до 50:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

А тепер спробуємо будь-яке число від 4 до 50 представити у вигляді суми двох або трьох простих чисел. Візьмемо кілька чисел навмання:

Як бачимо, поставлену задачу ми виконали без праці. А чи завжди це можливо? Будь-яке число можна представити у вигляді суми декількох простих чисел? І якщо можна, то скільки: двох? трьох? десяти?

У 1742 р член Петербурзької академії наук Гольдбах в листі до Ейлера висловив припущення, що будь-яке ціле позитивне число, більше п'яти, являє собою суму не більше ніж трьох простих чисел.

Гольдбах випробував дуже багато чисел і ні разу не зустрів такого числа, яке не можна було б розкласти на суму двох або трьох простих складових успіху. Але чи буде так завжди, він не довів. Довго вчені займалися цим завданням, яка названа «проблемою Гольдбаха» і сформульована таким чином.

Потрібно довести або спростувати пропозицію:

всяке число, більше одиниці, є сумою не більше трьох простих чисел.

Майже 200 років видатні вчені намагалися вирішити проблему Гольдбаха-Ейлера, але безуспішно. Багато хто прийшов до висновку про неможливість її вирішити.

Але рішення її, і майже повністю, було знайдено в 1937 р радянським математиком І.М. Виноградовим.

І.М. Виноградов

Іван Матвійович Виноградов є одним з найбільших сучасних математиків. Народився він 14 вересня 1891 року в селі Мілолюб Псковської губернії. У 1914 році закінчив Петербурзький університет і був залишений для підготовки до професорського звання.

Свою першу наукову роботу І.М. Виноградов написав в 1915 р З тих пір він написав більше 120 різних наукових робіт. У них він дозволив багато завдань, над якими вчені всього світу працювали десятки і сотні років.

Іван Матвійович Виноградов
За заслуги в області математики І.М. Виноградов усіма вченими світу визнаний одним з перших математиків сучасності, обраний до числа членів багатьох академій світу.

Ми пишаємося нашим чудовим співвітчизником.

Висновок.
З класу - в світовий простір

Розмову про прості числа почнемо захоплюючою розповіддю про уявному подорожі з класу в світовий простір. Це уявну подорож придумав відомий радянський педагог-математик професор Іван Кузьмич Андронов (рід. В 1894 р). «... а) подумки візьмемо прямолінійний провід, що виходить з класної кімнати в світовий простір, що пробиває земну атмосферу, що минає туди, де Місяць здійснює обертання, і далі - за вогненна куля Сонця, і далі - в світову нескінченність;

б) подумки підвісимо на провід через кожен метр електричні лампочки, нумеруя їх, починаючи з найближчої: \u200b\u200b1, 2, 3, 4, ..., 100, ..., 1000, ..., 1 000 000 ...;

в) мислення включимо ток з таким розрахунком, щоб загорілися всі лампочки з простими номерами і тільки з простими номерами; :.

г) подумки долетимо поблизу проводу.

Перед нами розгорнеться наступна картина.

1. Лампочка з номером 1 не горить. Чому? Тому що одиниця не є простим число.

2. Дві наступні лампочки з номерами 2 і 3 горять, так як 2 і 3 - обидва прості числа. Чи можуть в подальшому зустрітися дві суміжні палаючі лампочки? Ні, не можуть. Чому? Будь-яке просте число, крім двох, є число непарне, а суміжні з простим по ту і іншу сторону будуть числа парні, а будь-яке парне, відмінне від двох, є складовим числом, так як ділиться на два.

3. Далі спостерігаємо пару лампочок, що горять через одну лампочку з номерами 3 і 5, 5 і 7 і т. Д. Зрозуміло, чому вони горять: це близнюки. Помічаємо, що в подальшому вони зустрічаються рідше; всі пари близнюків, як і пари простих чисел, мають вигляд 6n ± 1; наприклад

6*3 ± 1 дорівнює 19 і 17

або 6 * 5 ± 1 одно 31 і 29, ...;

але 6 * 20 ± 1 одно 121 і119- ця пара не близнюк, так як є пара складених чисел.

Долітає до пари близнюків 10 016 957 і 10 016 959. Чи будуть і далі пари близнюків? Сучасна наука поки відповіді не дає: невідомо, чи існує кінцеве або нескінченне безліч пар близнюків.

4. Але ось починає діяти закон великого проміжку, заповненого тільки складовими номерами: летимо в темряві, дивимося назад - темрява, і попереду не видно світла. Згадуємо властивість, відкрите Евклидом, і сміливо рухаємося вперед, бо попереду повинні бути світяться лампочки, і попереду їх повинно бути безліч.

5. Залетівши в таке місце натурального ряду, де вже кілька років нашого руху проходить в темряві, згадуємо властивість, доведене Чебишевим, і заспокоюємось, впевнені, що у всякому разі, треба летіти не більше того, що пролетіли, щоб побачити хоча б одну світиться лампочку ».
література
1. Великий майстер індукції Леонард Ейлер.

2. За сторінками підручника математики.

3. Прудников Н.І. П.Л. Чебишев.

4. Сербський І. А. Що ми знаємо і чого не знаємо про прості числа.

5. Видавничий дім «Перше вересня». Математика №13, 2002 г.

6. Видавничий дім «Перше вересня». Математика №4, 2006 р

Молоков Максим

В цьому році ми вивчили тему «Прості і складені числа», і мені стало цікаво, хто з вчених займався їх вивченням, як отримати прості числа, крім тих, які містяться на форзаці нашого підручника (від 1 до 1000), це стало метою виконання цієї роботи.
завдання:
1. Вивчити історію відкриття простих чисел.
2. Ознайомитись з сучасними методами відшукання простих чисел.
3. Дізнатися про те, в яких наукових областях застосовуються прості числа.
4. Чи є серед російських вчених імена тих, хто займався вивченням простих чисел.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій створіть собі аккаунт (обліковий запис) Google і увійдіть в нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Історія простих чисел МБОУ СУХОВСЬКИЙ ЗОШ Автор: учень 6 класу Молоков Максим Керівник: вчитель математики Бабкіна Л. А. п. Новосуховий грудень 2013 рік

В цьому році ми вивчили тему «Прості і складені числа», і мені стало цікаво, хто з вчених займався їх вивченням, як отримати прості числа, крім тих, які містяться на форзаці нашого підручника (від 1 до 1000), це стало метою виконання цієї роботи. Завдання: 1. Вивчити історію відкриття простих чисел. 2. Ознайомитись з сучасними методами відшукання простих чисел. 3. Дізнатися про те, в яких наукових областях застосовуються прості числа. 4. чи є серед російських вчених імена тих, хто займався вивченням простих чисел.

Всякий, хто вивчає прості числа, буває зачарований і одночасно відчуває власне безсилля. Визначення простих чисел так просто і очевидно; знайти чергове просте число так легко; розкладання на прості множники - таке природне дію. Чому ж прості числа настільки завзято чинять опір нашим спробам осягнути порядок і закономірності їх розташування? Може бути, в них взагалі немає порядку, або ж ми такі сліпі, що не бачимо його? Ч. Узерелл.

Піфагор та його учні вивчали питання про подільність чисел. Число, яка дорівнює загальній кількості всіх його подільників (без самого числа), вони називали досконалим числом. Наприклад, числа 6 (6 \u003d 1 + 2 + 3), 28 (28 \u003d 1 + 2 + 4 + 7 + 14) вчинені. Наступні вчинені числа - 496, 8128, 33550336 .. Піфагор (VI ст. До н.е.)

Піфагорійці знали тільки перші три скоєних числа. Четверте - 8128 - стало відомим в першому столітті н.е. П'яте - 33550336 - було знайдено в XV в. До 1983 р Було відомо вже 27 скоєних чисел. Але до сих пір вчені не знають, чи є непарні досконалі числа, чи є найбільше досконале число.

Інтерес древніх математиків до простих чисел пов'язаний з тим, що будь-яке число або просте, або може бути представлено у вигляді добутку простих чисел, тобто прості числа - це як би цеглинки, з яких будуються інші натуральні числа.

Ви, напевно, звернули увагу, що прості числа в ряду натуральних чисел зустрічаються нерівномірно - в одних частинах ряду їх більше, в інших - менше. Але чим далі ми просуваємося по числовому ряду, тим рідше зустрічаються прості числа.

Виникає питання: чи існує останнє (найбільше) просте число? Давньогрецький математик Евклід (III ст. До н.е.) у своїй книзі ( «Начала»), колишній протягом 2000 років основним підручником математики, довів, що простих чисел нескінченно багато, тобто за кожним простим числом є більше просте число Евклід (III ст. до н.е.)

Для відшукання простих чисел інший грецький математик Ератосфен придумав такий спосіб. Він записував все числа від одного до якогось числа, а потім викреслювати одиницю, яка не є не простим, чи не складеним числом, потім викреслювати через одне все числа, що йдуть після 2 числа, кратні двом, тобто 4,6,8, і т.д.

Першим залишилися числом після двох було 3. Далі викреслюємо через два все числа, що йдуть після трьох (числа кратні 3, тобто 6,9,12, і т.д.). Зрештою залишалися невикреслених тільки прості числа.

Так як греки робили записи на покритих воском табличках або на тягнуть папірусі, а цифри не викреслювали, а виколювали голкою, то таблиця в кінці обчислень нагадувала решето. Тому метод Ератосфена називають решетом Ератосфена: в цьому решеті «відсіваються» прості числа від складових.

Отже, простими числами від 2 до 60 є 17 чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59. таким способом і в нині складають таблиці простих чисел, але вже за допомогою обчислювальних машин.

Евклід (III ст. До н.е.) довів, що між натуральним числом n і n! обов'язково знайдеться хоча б одне просте число. Тим самим він довів, що натуральний ряд чисел нескінченний. В середині Х I Х ст. російський математик і механік Пафнутій Львович Чебишев довів сильнішу теорему, ніж Евклід. Між натуральним числом n і числом в 2 рази більше його, тобто 2 n міститься хоча б одне просте число. Тобто, в теоремі Евкліда число n! замінив числом 2n. Пафнутій Львович Чебишев (1821-1894) російський математик і механік

Виникає наступне питання: «Якщо так важко знайти таке просте число, то де і для чого ці числа можна використовувати на практиці?» Найбільш поширеним прикладом використання простих чисел є застосування їх в криптографії (шифрування даних). Найбезпечніші і важко дешіфруемие методи криптографії засновані на застосуванні простих чисел, що мають в складі більше трьох сотень цифр.

Висновок Проблема відсутності закономірностей розподілу простих чисел займає розуми людства ще з часів давньогрецьких математиків. Завдяки Евклиду ми знаємо, що простих чисел нескінченно багато. Ерастофен запропонував перший алгоритм тестування чисел на простоту. Чебишев і багато інших відомих математики намагалися і намагаються донині розгадати загадку простих чисел. На сьогоднішній момент знайдено і запропоновано безліч витончених алгоритмів, закономірностей, але всі вони можуть бути лише для кінцевого ряду простих чисел або простих чисел спеціального виду. Переднім же краєм науки в дослідженнях простих чисел на нескінченності вважається доказ гіпотези Рімана. Вона входить в сімку невирішених проблем тисячоліття, за доказ або спростування якої математичним інститутом Клея запропонована премія в 1.000.000 $.

Інтернет - джерела і література http://www.primenumb.ru/ http://www.bestpeopleofrussia.ru/persona/Pafnutiy-Chebyshev/bio/ http://uchitmatematika.ucoz.ru/index/vayvayvayjajavvvjavvvvva/0-7 Підручник «Математика» для шостого класу освітніх установ /Н.Я. Виленкин, В.І. Жохов, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбург - М. Мнемозина 2010 г. /

Вступ

Просте число - це натуральне число, яке має рівно два різних натуральних дільники: одиницю і самого себе. Всі інші числа, крім одиниці, називаються складовими. Таким чином, всі натуральні числа, бомльшіе одиниці, розбиваються на прості і складові. Вивченням властивостей простих чисел займається теорія чисел.

Основна теорема арифметики стверджує, що кожне натуральне число, більше одиниці, представимо у вигляді добутку простих чисел, причому єдиним способом з точністю до порядку проходження сомножителей. Таким чином, прості числа - елементарні «будівельні блоки» натуральних чисел.

Подання натурального числа у вигляді добутку простих називається розкладанням на прості або факторизації числа.

З історії простих чисел

Грецький математик Ератосфен, що жив більше ніж за 2000 років до н.е., склав першу таблицю простих чисел. Ератосфен народився в місті Кирене, здобув освіту в Олександрії під керівництвом Каллімаха і Лисаний, в Афінах слухав філософів Аристона Хиосського і Аркесилая, тісно зблизився зі школою Платона. В 246г. до.н.е., після смерті Каллімаха, цар Птолемей Евергет викликав Ератосфена з Афін і доручив йому завідувати Олександрійської бібліотекою. Ератосфен працював у багатьох областях науки: філологія, граматика, історія, література, математика, хронологія, астрономія, географія і музика.

Для відшукання простих чисел Ератосфен придумав такий спосіб. Він записав все числа від 1 до якогось числа, а потім викреслив одиницю, яка не є ні простим, ні складеним числом, потім викреслював через одне все числа, що йдуть після 2 (числа, кратні 2, тобто 4,6 , 8, і т.д.). Першим залишилися числом після 2 був 3. Далі викреслювалися все числа кратні 3, тобто 6,9,12, і т.д. Зрештою залишалися невикреслених тільки прості числа. (Рис.1)

Так як греки робили записи на покритих воском табличках або на натягнутому папірусі, а цифри не викреслювали, а виколювали голкою, то таблиця в кінці обчислень нагадувала решето. Тому метод Ератосфена називають решетом Ератосфена: в цьому решеті «відсіваються» прості числа від складових. Таким способом в даний час складають таблиці простих чисел, але вже за допомогою обчислювальних машин.

Прості числа в природі і їх використання людиною

1) Періодичні цикади

Люди змінили навколишній світ, побудували неймовірні міста, і розробили вражаючі технології, які привели до появи сучасного світу. Захований під зовнішньою оболонкою планети, де ми живемо, невидимий світ складається з чисел, послідовностей і геометрії. Математика - це код, який надає сенс усього всесвіту.

У лісах Теннесі цього літа частина коду, про який йде мова, в прямому сенсі слова зросла прямо із землі. Кожні 13 років приблизно на 6 тижнів хор комах зачаровує всіх, хто стає свідком цього рідкісного природного явища. Виживання цих цикад, яких можна знайти тільки в східних регіонах північної Америки, залежить від дивних властивостей деяких з найбільш фундаментальних чисел в математиці - простих чисел, чисел, що діляться тільки на самих себе і інших.

Цикади з'являються тут періодично, але їх поява завжди відбувається в ті роки, числа яких складаються з простих чисел. У випадку з виводком, який з'явився навколо Нешвіллі в цьому році, то з моменту їх минулого появи минуло 13 років. Вибір 13-дітні циклу не здається випадковим. У різних частинах північної Америки є ще два виводка, життєвий цикл яких також становить 13 років. Вони виникають в різних регіонах і в різні роки, але між появами цих живих істот проходить рівно 13 років. До того ж, існує ще 12 виводків комах, які з'являються через кожні 17 років.

Ви можете прийняти ці числа за абсолютно випадкові. Але це дуже цікаво, що не існує цикад з циклом життя, рівним 12, 14, 15, 16 або 18 років. Однак, подивіться на цих цикад очима математика і картина починає прояснюватися. Тому, що числа 13 і 17 обидва є неподільними, це дає цикад еволюційні переваги між іншими тваринами, цикли життя яких є періодичними, а не простими числами. Візьмемо, наприклад, хижака, який з'являється в лісах кожні шість років. Тоді восьми- або Дев'ятирічні цикли життя цикад будуть збігатися з циклами життя хижаків, в той час як семирічні цикли життя будуть збігатися з циклом життя хижака набагато рідше.

Ці комахи втрутилися в математичний код, щоб вижити.

2) Криптографія

Цикади виявили користь використання простих чисел для свого виживання, однак люди зрозуміли, що ці числа є не тільки ключем до виживання, а й величезною кількістю будівельного матеріалу в математиці. Кожне число, по суті, являє собою сукупність простих чисел, а сукупність чисел становить математику, а з математики ви отримаєте цілий науковий світ.

Прості числа знаходять захованими в природі, але людство навчилося їх використовувати.

Розуміння фундаментального характеру цих чисел і використання їх властивостей людьми, в буквальному сенсі поставило їх в основу всіх кодів, яких охороняють світові кібер-секрети.

Криптографія, завдяки якій наші кредитні картки залишаються в безпеці, коли ми купуємо щось онлайн, використовує ті ж числа, які захищають цикад в Північній Америці - прості числа. Кожен раз, коли ви вводите номер своєї кредитної картки на вебсайті, ви покладаєтеся на те, що прості числа збережуть ваші таємниці і інформацію про вас в секреті. Для кодування вашої кредитної картки ваш комп'ютер отримує публічний номер Н з вебсайту, який і буде використовуватися для здійснення операцій з вашої кредитної картки.

Це перемішує ваші дані так, що закодоване письмо може бути послано через інтернет. Вебсайт використовує прості числа, на які ділять число Н, щоб розкодувати послання. Хоча Н є відкритим числом, прості числа, з яких воно складається, є секретними ключами, які розшифровують дані. Причиною, через яку таке кодування є настільки безпечним, є те, що дуже легко перемножити прості числа між собою, але розкласти число на прості практично неможливо.

3) Загадки простих чисел

Прості числа є атомами арифметики, гідрогеном і оксигенів світу чисел. Але всупереч їх фундаментального характеру, вони також являють собою одну з найбільших загадок математики. Тому що, проходячи по всесвіту чисел практично неможливо передбачити, де ви зустрінете таке просте число.

Ми знаємо, що кількість простих чисел йде в нескінченність, але пошук закономірності появи простих чисел є найбільшою загадкою математики. Приз в мільйон доларів обіцяно тому, хто зможе розкрити таємницю цих чисел. Загадка про те, коли перший раз цикади почали користуватися простими числами, щоб вижити є такою ж складною, як і сама загадка простих чисел.

Прості числа - «примхливі». Таблиці простих чисел виявляють великі «неправильності» в розподілі простих чисел

Строкатість картини розподілу простих чисел збільшується ще більше, якщо відзначити, що існують пари простих чисел, які відокремлені в натуральному ряду тільки одним числом ( «близнюки»). Наприклад. 3 і 5, 5 і 7, 11 і 13, 10016957 та 10016959. З іншого боку, існують пари простих чисел, між якими багато складових. Наприклад, всі 153 числа від 4652354 до 4652506 є складовими.

За перебування простих чисел з більш ніж 100 000 000 і 1 000 000 000 десяткових цифр EFF призначила грошові призи відповідно в 150 000 і 250 000 доларів США.

МОУ «Частоозерская середня загальноосвітня школа»

Дослідницька робота по темі:

«Числа правлять світом!»

Роботу виконала:

учениця 6а класу.

Керівник:,

учитель математики.

с. Частоозерье.

I. Вступ. -3стр.

II. Основна частина. -4стр.

· Математика у стародавніх греків. - 4стор.

· Піфагор Самоський. -6стр.

· Піфагор і числа. -8стр.

2. Числа прості і складові. -10стр.

3. Проблема Гольдбаха. -12стр.

4. Ознаки подільності. -13стр.

5. Цікаві властивості натуральних чісел.-15стор.

6. Числові фокуси. -18стр.

III. Висновок. -22стр.

IV. Список літератури. -23стр.

I. Вступ.

актуальність:

Вивчаючи на уроках математики тему «Подільність чисел», вчитель запропонував підготувати повідомлення про історію відкриття простих і складених чисел. При підготовці повідомлення, мене зацікавили слова Піфагора «Числа правлять світом!»

Виникли питання:

· Коли виникла наука про числах?

· Хто вніс вклад в розвиток науки про числа?

· Значення чисел в математиці?

Вирішила детально вивчити і узагальнити матеріал про числах і їх властивості.

Мета дослідження:вивчити прості і складені числа і показати їх роль в математиці.

Об'єкт дослідження:прості і складені числа.

гіпотеза: Якщо, за словами Піфагора «Числа правлять світом,

то яка їхня роль в математиці.

Завдання дослідження:

I. Зібрати і узагальнити всіляку інформацію про простих і складових числах.

II. Показати значення чисел в математиці.

III. Показати цікаві властивості натуральних чисел.

Методи дослідження:

· Теоретичний аналіз літератури.

· Метод систематизації та обробки даних.

II. Основна частина.

1. Історія виникнення науки про числа.

· Математика у стародавніх греків.

І в Єгипті, і в Вавилоні числами користувалися в основному для вирішення практичних завдань.

Положення змінилося, коли математикою зайнялися греки. В їх руках математика з ремесла стала наукою.

Грецькі племена стали селитися на північних і східних берегах Середземного моря близько чотирьох тисяч років тому.

Велика частина греків осіла на балканському півострові - там, де зараз держава Греція. Решта розселилися по островам Середземного моря і по березі Малої Азії.

Греки були відмінними моряками. Їх легкі гостроносі кораблі у всіх напрямках борознили Середземне море. Вони везли посуд і прикраси з Вавилона, бронзова зброя з Єгипту, шкури звірів і хліб з берегів Чорного моря. І звичайно, як і в інших народів, разом з товарами кораблі привозили в Грецію знання. Але греки не просто

вчилися у інших народів. Дуже скоро вони обігнали своїх вчителів.

Грецькі майстри будували дивовижної краси палаци і храми, які потім тисячі років служили зразком для архітекторів усіх країн.

Грецькі скульптори створювали з мармуру чудові статуї. А з грецьких вчених почалася не тільки «справжня» математика, але і дуже багато інших наук, які ми вивчаємо в школі.

А знаєте, чому греки обігнали в математиці всі інші народи? Тому, що вони добре вміли сперечатися.

Чим же суперечки можуть допомогти науці?

У стародавні часи Греція складалася з багатьох маленьких держав. Мало не кожне місто з навколишніми селами був окремою державою. Кожен раз, коли доводилося вирішувати який-небудь важливий державний питання, городяни збиралися на площу, обговорювали його. Сперечалися про те, як зробити краще, а потім голосували. Зрозуміло, що вони були хорошими сперечальниками: на таких зборах доводилося спростовувати супротивників, міркувати, доводити свою правоту. Стародавні греки вважали, що суперечка допомагає знайти саме кращі. Саме правильне рішення. Вони навіть придумували такий вислів: «У суперечці народжується істина».

І в науці греки стали чинити так само. Як на народних зборах. Вони не просто заучували правила, а дошукувались причини: чому правильно робити так, а не інакше. Кожне правило грецькі математики намагалися пояснити, довести, що воно не вірне. Вони сперечалися один з одним. Міркували, намагалися знайти в міркуваннях помилки.

Доведуть одне правило - міркування ведуть до іншого, більш складного, потім - до третього, до четвертого. З правил складалися закони. А з законів - наука математика.

Ледве народившись, грецька математика відразу семимильними кроками пішла вперед. Їй допомагали чудові чоботи скороходи, яких раніше у інших народів не було. Вони називалися «міркування» і «доказ».

· Піфагор Самоський.

Про числах першим почав міркувати грек Піфагор, який народився на острові Самос в VI столітті та нашої ери.

Тому його часто називають Піфагором Самосским. Багато легенд розповідали греки про це мислителя.

Піфагор рано виявив здібності до наук, і батько Мнесарх відвіз його до Сирії, в Тир, щоб там його навчали халдейські мудреці. Вона дізнається про таїнства єгипетських жерців. Захопившись бажанням увійти в їхнє коло і стати присвяченим, Піфагор починає готуватися до подорожі до Єгипту. Рік він проводить в Фінікії, в школі жерців. Потім побуває в Єгипет, в Гелиополис. Але місцеві жерці були непривітні.

проявивши наполегливість і витримавши виключно важкі вступні випробування, Піфагор домагається свого - його приймають в касту.21 рік пробув він в Єгипті, досконало вивчив усі види єгипетського листа, прочитав безліч папірусів. Факти, відомі єгиптянам в математиці, наштовхують його на власні математичні відкриття.

Мудрець говорив: «У світі є при речі, до яких потрібно прагнути. Це, по-перше, прекрасне і славне, по-друге, корисне для життя, по-третє, що доставляє задоволення. Однак насолоду буває двоякого роду: одне, що вгамовує розкошами наше обжерливість, згубно; інше - праведне і необхідне для життя ».

Центральне місце в філософії вихованців і прихильників Піфагора займали числа:

« Де немає числа і заходи - там хаос і химери »,

«Саме мудре - це число»,

«Числа правлять світом».

Тому багато хто вважає Піфагора батьком нумерації - складної, оповитою таємницею науки, що описують в ньому події, яка розкриває минуле і майбутнє, пророкує долі людей.

· Піфагор і числа.

Числа Древніми греками, а разом з ними Пифагором і піфагорійцями, мислилися зримо у вигляді камінчиків, розкладених на піску або на лічильної дошці - абаці.

Числа камінчики розкладалися в вигляді правильних геометричних фігур, ці фігури класифікувалися, так виникли числа, сьогодні іменовані фігурними: лінійні числа (т. Е. Прості числа) - числа, які діляться на одиницю і на саме себе і, отже, представимо у вигляді послідовності точок, збудованих в лінію

https://pandia.ru/text/79/542/images/image006_30.jpg "width \u003d" 312 "height \u003d" 85 src \u003d "\u003e

тілесні числа, що виражаються твором трьох співмножників

https://pandia.ru/text/79/542/images/image008_20.jpg "width \u003d" 446 "height \u003d" 164 src \u003d "\u003e

квадратні числа:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image010_15.jpg "width \u003d" 323 "height \u003d" 150 src \u003d "\u003e

і. т.д. саме від фігурних чисел пішов вислів « Звести число в квадрат або куб».

Піфагор не обмежився плоскими фігурами. З точок він став складати піраміди, куби та інші тіла і вивчати пірамідальні, кубічні і інші числа (див. Рис.1). До слова сказати, назвою куб числа ми теж користуємося і сьогодні.

Але числами, отримують з різних фігур, Піфагор не задовольнився. Адже він проголосив, що числа правлять світом. Тому йому довелося придумувати, як за допомогою чисел зображати такі поняття, як справедливість, досконалість, дружба.

Щоб зобразити досконалість, Піфагор взявся за подільники чисел (при цьому дільник 1 він брав, а саме число не брав). Всі подільники числа він складав, і якщо сума виявлялася менше числа, воно оголошувалося недостатнім, а якщо більше - надмірною. І тільки в разі, коли сума в точності дорівнювала числу, його оголошували досконалим. Схожим чином зображували числа дружби - два числа називали дружніми, якщо кожне з них дорівнювало сумі дільників іншого числа. Наприклад, число 6 (6 \u003d 1 + 2 + 3)-абсолютно, число 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 17) - абсолютно. Наступні вчинені числа - 496, 8128,.

2.Число прості і складові.

Про дружніх або досконалі числа сучасна математика згадує з посмішкою як про дитяче захоплення.

А введені Пифагором поняття простого і складеного чисел є досі предметом серйозних досліджень, за які математики отримують високі наукові нагороди.

З досвіду обчислень люди знали, що кожне число є або простим, або твором кількох простих чисел. Але вони не вміли цього доводити. Піфагор або хтось із його послідовників знайшов доказ цього твердження.

Тепер легко пояснити роль простих чисел в математиці: вони є тими цеглинками, з яких за допомогою множення будують інші числа.

Відкриття закономірностей в ряду чисел - дуже приємна подія для математиків: адже ці закономірності можна використовувати для побудови гіпотез, для перевірки доказів і формул. Одне з займають математиків властивостей простих чисел полягає в тому, що вони відмовляються підкорятися хоч який-небудь закономірності.

Єдиний спосіб визначити, просте чи числа 100 895 598 169, - скористатися досить трудомістким «решетом Ератосфена».

На таблиці представлений один з варіантів цього решета.

У цій таблиці всі прості числа, менші 48, обведені кружками. Знайдені вони так: 1 має єдиний дільник - себе, тому 1 цієї статті не вважається простим числом. 2 - найменше (і єдине парне) просте число. Всі інші парні числа діляться на 2, а значить мають, принаймні три дільника; тому вони не прості і можуть бути викреслені. Наступне невикреслене число - 3; воно має рівно два подільника, тому вона просте. Всі інші числа, кратні трьом (т. Е. Такі, які можна розділити на 3 без залишку), викреслюються. Тепер першою невикреслене число - 5; воно просте, а все його кратні можна викреслити.

Продовжуючи викреслювати кратні, можна відсіяти все прості числа, менше 48.

3. Проблема Гольдбаха.

З простих чисел можна отримати будь-яке число з допомогою множення. А що буде, якщо складати прості числа?

Що жив в Росії в XVIII столітті математик Гольдбах вирішив складати непарні прості числа лише попарно. Він виявив дивовижну річ: кожен раз йому вдавалося уявити парне число у вигляді суми двох простих чисел. (Як це було за часів Гольдбаха, ми вважаємо 1 простим числом).

4 \u003d 1 +3, 6 \u003d 3 + 3, 8 \u003d 3 + 5. і т. Д.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image016_5.jpg "width \u003d" 156 "height \u003d" 191 src \u003d "\u003e

Про своє спостереження Гольдбах написав великому математику

XVIII століття Леонарда Ейлера, який був членом Петербурзької Академії наук. Перевіривши ще багато парних чисел, Ейлер переконався, що всі вони є сумами двох простих чисел. Але парних чисел нескінченно багато. Тому обчислення Ейлера давали лише надію на те, що властивістю, яке помітив Гольдбах, мають всі числа. Однак спроби довести, що це завжди буде так, ні до чого не привели.

Двісті років міркували математики над проблемою Гольдбаха. І тільки російському вченому Івану Матвійовичу Виноградову вдалося зробити вирішальний крок. Він встановив, що будь-який досить велике натуральне число є

сумою трьох простих чисел. Але число, починаючи з якого вірне твердження Виноградова, неймовірно велике.

4. Ознаки подільності.

489566: 11 = ?

Щоб дізнатися, яке дане число - просте або складене, не завжди потрібно заглядати в таблицю простих чисел. Часто для цього достатньо скористатися ознаками подільності.

· Ознака подільності на 2.

Якщо запис натурального числа закінчується парної цифрою, то це число парне і ділиться на 2 без залишку.

· Ознака подільності на 3.

Якщо сума цифр числа ділиться на 3, то і число ділиться на 3.

· Ознака подільності на 4.

Натуральне число, що містить не менше трьох цифр, ділиться на 4, якщо ділиться на 4 число, утворене двома останніми цифрами цього числа.

· Ознака подільності на 5.

Якщо запис натурального числа закінчується цифрою 0 або 5, то це число ділиться на 5 без залишку.

· Ознака подільності на 7 (на13).

Натуральне число ділиться на 7 (на 13), якщо алгебраїчна сума чисел, що утворюють межі по три цифри (починаючи з цифри одиниць), взятих зі знаком «+» для непарних граней і зі знаком «мінус» для парних граней, ділилася на, складемо алгебраїчну суму граней, починаючи з останньої межі і чергуючи знаки + і -: + 254 \u003d 679. число 679 ділиться на 7, значить і дане число ділиться на 7.

· Ознака подільності на 8.

Натуральне число, що містить не менше чотирьох цифр, ділиться на 8, якщо ділиться на 8 число, утворене трьома останніми цифрами.

· Ознака подільності на 9.

Якщо сума цифр числа ділиться на 9, то й саме число ділиться на 9.

· Ознака подільності на 10.

Якщо натуральне число закінчується 0, то воно ділиться на 10.

· Ознака подільності 11.

Натуральне число ділиться на 11, якщо алгебраїчна сума його цифр, взятих зі знаком «плюс», якщо цифри знаходяться на непарних місцях (починаючи з цифри одиниць), і взятих зі знаком «мінус», якщо цифри знаходяться на парних місцях, ділиться на, 7 - 1 + 5 \u003d 11, ділиться на 11).

· Ознака подільності на 25.

Натуральне число, що містить не менше трьох цифр, ділиться на 25, якщо ділиться на 25 число, утворене двома останніми цифрами цього числа.

· Ознака подільності на 125.

Натуральне число, що містить не менше чотирьох чисел, ділиться на 125, якщо на 125 ділиться число, утворене трьома останніми цифрами цього числа.

5. Цікаві властивості натуральних чисел.

У натуральних чисел є багато цікавих властивостей, які виявляються при виконанні над ними арифметичних дій. Але помітити ці властивості все ж буває легше, ніж довести їх. Наведемо кілька таких властивостей.

1) .Возьмём навмання якусь натуральне число, наприклад 6, і запишемо все його подільники: 1, 2, 3,6. Для кожного з цих чисел запишемо, скільки у нього подільників. Так як у 1 тільки один дільник (саме це число), у 2 і 3 по два подільника, а у 6 маємо 4 дільника, то отримуємо числа 1, 2, 2, 4. У них є чудова особливість: якщо звести ці числа в куб і скласти відповіді, вийде в точності така ж сума яку ми отримали б, спочатку служив ці числа, а потім звівши суму в квадрат, іншими словами,

https://pandia.ru/text/79/542/images/image019_3.jpg "width \u003d" 554 "height \u003d" 140 src \u003d "\u003e

Підрахунки показують, що і зліва і справа відповідь один і той же, а іменно324.

Яке б число ми не взяли, помічена нами властивість буде виконуватися. Ось тільки довести це досить складно.

2) . Візьмемо будь-чотиризначне число, наприклад 2519, і розставимо його цифри спочатку в порядку убування, а потім в порядку зростання: і З більшого числа віднімемо менше: \u003d 8262. З отриманим числом виконаємо те ж саме: 86 \u003d 6354. І ще один такий же крок: 65 \u003d 3087. Далі, \u003d 8352, \u003d 6174. Ви не набридло вичитати? Зробимо все ж ще один крок: \u003d 6174. Знову вийшло 6174.

Ось тепер ми, як кажуть програмісти, «зациклилися»: скільки б раз ми тепер не вичитали, нічого крім 6174, не отримаємо. Може бути, справа в тому, що так було підібрано вихідне число 2519? виявляється, воно тут ні до чого: яке б чотиризначне число ми не взяли, після не більше ніж семи кроків обов'язково вийде це ж число 6174.

3) . Намалюємо кілька кіл із загальним центром і на внутрішньому колу запишемо будь-які чотири натуральних числа. Для кожної пари сусідніх чисел віднімемо з більшого менший і результат запишемо наступного кола. Виявляється, якщо повторити це досить багато раз, на одній із околиць все числа виявляться рівними нулю, а тому і далі нічого, крім нулів, виходити не буде. На малюнку показано це для випадку, коли на внутрішньому колу написані числа 25, 17, 55, 47.

4) . Візьмемо будь-яке число (хоч тисячезначное), записане в десятковій системі числення. Зведено всі його цифри в квадрат і складемо. З сумою виконаємо те ж саме. Виявляється, після декількох кроків ми отримаємо або число 1, після чого інших чисел не буде, або 4, після чого ми маємо числа 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 і знову отримаємо 4. Значить, циклу не уникнути і тут.

5. Складемо таку нескінченну таблицю. У першому стовпці напишемо числа 4, 7, 10, 13, 16, ... (кожне наступне на 3 більше попереднього). Від числа 4 проведемо вправо рядок, збільшуючи на кожному кроці числа на 3. Від числа 7 поведемо рядок, збільшуючи числа на 5, від числа 10 на 7 і т. Д. Виходить така таблиця:

Якщо взяти будь-яке число з цієї таблиці, помножити його на 2 і до твору додати 1, то завжди вийде складене число. Якщо виконати те ж саме з числом, що не входять в цю таблицю, то отримуємо просте число. Наприклад, візьмемо з таблиці число 45. Число 2 * 45 + 1 \u003d 91 складене, воно дорівнює 7 * 13. А числа 14 в таблиці немає, і число 2 * 14 + 1 \u003d 29 просте.

Цей чудовий спосіб відрізняти прості числа від складових придумав в 1934 році індійський студент Сундар. Спостереження за числами дозволяють відкривати і інші чудові затвердження. Властивості світу чисел воістину невичерпні.

Числові фокуси.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image022_2.jpg "width \u003d" 226 "height \u003d" 71 "\u003e

Адже якщо поруч з тризначним числом ще раз написати це ж число, то початкове число збільшиться на 1001 (наприклад, 289 289 \u003d 289https: //pandia.ru/text/79/542/images/image024_3.jpg "width \u003d" 304 " height \u003d "74"\u003e

А чотиризначні числа повторюють один раз і ділять на 73 137. Розгадка в рівність

https://pandia.ru/text/79/542/images/image026_6.jpg "width \u003d" 615 "height \u003d" 40 src \u003d "\u003e

Зауважимо, що куби чисел 0, 1, 4, 5, 6 і 9 закінчуються тією ж цифрою (наприклад, https://pandia.ru/text/79/542/images/image028_4.jpg "width \u003d" 24 "height \u003d "24 src \u003d"\u003e. jpg "width \u003d" 389 "height \u003d" 33 "\u003e

Крім цього, треба запам'ятати наступну таблицю, яка показує, з чого починаються п'яті ступеня наступних чисел:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image032_2.jpg "width \u003d" 200 height \u003d 28 "height \u003d" 28 "\u003e Значить, треба приписати до спочатку написаному на дошці п'ятизначний числу попереду цифру 3, а з отриманого числа відняти 3.

Щоб глядачі не розгадали фокуса, можна зменшити першу цифру якогось із чисел на кілька одиниць і на стільки ж одиниць зменшити відповідну цифру в сумі. Наприклад, на малюнку зменшена, на 2 перша цифра в третьому доданку і на стільки ж відповідна цифра в сумі.

Висновок.

Зібравши і узагальнивши матеріал про простих і складових числах, прийшла до висновку:

1. Вчення про числа йде в стародавні часи і має багату історію.

2. Велика роль простих чисел в математиці: вони є тими цеглинками, з яких за допомогою множення будуються всі інші числа.

3. Натуральні числа мають багато цікавих властивостей. Властивості світу чисел воістину невичерпні.

4. Підготовлений мною матеріал можна сміливо використовувати на уроках математики та заняттях математичного гуртка. Цей матеріал допоможе більш глибше підготуватися до різних видів олімпіад.

Властивості простих чисел вперше почали вивчати математики Стародавньої Греції. Математики піфагорейської школи (500 - 300 до н.е.) в першу чергу цікавилися містичними і нумерологічних властивостями простих чисел. Вони першими прийшли до ідей про вчинені і дружніх числах.

У досконалого числа сума його власних дільників дорівнює йому самому. Наприклад, власні дільники числа 6: 1, 2 і 3. 1 + 2 + 3 \u003d 6. У числа 28 подільники - це 1, 2, 4, 7 і 14. При цьому, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 \u003d 28.

Числа називаються дружніми, якщо сума власних дільників одного числа дорівнює іншому, і навпаки - наприклад, 220 і 284. Можна сказати, що досконале число є дружнім для самого себе.

На час появи роботи Евкліда «Начала» в 300 році до н.е. вже було доведено кілька важливих фактів щодо простих чисел. У книзі IX «Начал» Евклід довів, що простих чисел нескінченна кількість. Це, до речі, один з перших прикладів використання докази від протилежного. Також він доводить Основну теорему арифметики - кожне ціле число можна представити єдиним чином у вигляді добутку простих чисел.

Також він показав, що якщо число 2 n -1 є простим, то число 2 n-1 * (2 n -1) буде досконалим. Інший математик, Ейлер, в 1747 році зумів показати, що все парні досконалі числа можна записати в такому вигляді. До цього дня невідомо, чи існують непарні досконалі числа.

У році 200 році до н.е. грек Ератосфен придумав алгоритм для пошуку простих чисел під назвою «Решето Ератосфена».

А потім сталася велика перерва в історії дослідження простих чисел, пов'язаний зі Середніми століттями.

Наступні відкриття були зроблені вже на початку 17-го століття математиком Ферма. Він довів гіпотезу Альбера Жирара, що будь-яке просте число виду 4n + 1 можна записати унікальним чином у вигляді суми двох квадратів, і також сформулював теорему про те, що будь-яке число можна представити у вигляді суми чотирьох квадратів.

Він розробив новий метод факторизації великих чисел, і продемонстрував його на числі 2027651281 \u003d 44021? 46061. Також він довів Малу теорему Ферма: якщо p - просте число, то для будь-якого цілого a буде вірно a p \u003d a modulo p.

Це твердження доводить половину того, що було відомо як «китайська гіпотеза», і датується 2000 роками раніше: ціле n є простим тоді і тільки тоді, якщо 2 n -2 ділиться на n. Друга частина гіпотези виявилася помилковою - наприклад, 2 341 - 2 ділиться на 341, хоча число 341 складене: 341 \u003d 31? 11.

Мала теорема Ферма послужила основою безлічі інших результатів в теорії чисел і методів перевірки чисел на приналежність до простих - багато з яких використовуються і до цього дня.

Ферма багато листувався зі своїми сучасниками, особливо з монахом на ім'я Марен Мерсенн. В одному з листів він висловив гіпотезу про те, що числа виду 2 n +1 завжди будуть простими, якщо n є ступенем двійки. Він перевірив це для n \u003d 1, 2, 4, 8 і 16, і був упевнений, що в разі, коли n не є ступенем двійки, число не обов'язково виходило простим. Ці числа називаються числами Ферма, і лише через 100 років Ейлер показав, що наступне число, 2 32 + 1 \u003d 4294967297 ділиться на 641, і отже, не є простим.

Числа виду 2 n - 1 також служили предметом досліджень, оскільки легко показати, що якщо n - складене, то і саме число теж складене. Ці числа називають числами Мерсенна, оскільки він активно їх вивчав.

Але не всі числа виду 2 n - 1, де n - просте, є простими. Наприклад 2 11 - 1 \u003d 2047 \u003d 23 * 89. Вперше це виявили в 1536 році.

Багато років числа такого виду давали математикам найбільші відомі прості числа. Що число M 19, було доведено Катальді в 1588 році, і протягом 200 років було найбільшим відомим простим числом, поки Ейлер не довів, що M 31 також просте. Цей рекорд протримався ще сто років, а потім Люкас показав, що M 127 - просте (а це вже число з 39 цифр), і після нього дослідження продовжилися вже з появою комп'ютерів.

У 1952 була доведена простота чисел M 521, M 607, M 1279, M 2203 та M 2281.

До 2005 року знайдено 42 простих чисел Мерсенна. Найбільше з них, M 25964951, складається з 7816230 цифр.

Робота Ейлера справила величезний вплив на теорію чисел, в тому числі і простих. Він розширив Малу теорему Ферма і ввів? -Функцію. Факторізовано 5-е число Ферма 2 32 +1, знайшов 60 пар дружніх чисел, і сформулював (але не зміг довести) квадратичний закон взаємності.

Він першим ввів методи математичного аналізу і розробив аналітичну теорію чисел. Він довів, що не тільки гармонійний ряд? (1 / n), але і ряд виду

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Одержуваний сумою величин, зворотних до простих чисел, також розходиться. Сума n членів гармонійного ряду зростає приблизно як log (n), а другий ряд розходиться повільніше, як log [log (n)]. Це означає, що, наприклад, сума зворотних величин до всіх знайденим на сьогоднішній день простих чисел дасть всього 4, хоча ряд все одно розходиться.

На перший погляд здається, що прості числа розподілені серед цілих досить випадково. Наприклад, серед 100 чисел, що йдуть прямо перед 10000000, зустрічається 9 простих, а серед 100 чисел, що йдуть відразу після цього значення - всього 2. Але на великих відрізках прості числа розподілені досить рівномірно. Лежандр і Гаус займалися питаннями їх розподілу. Гаусс якось розповідав одному, що в будь-які вільні 15 хвилин він завжди підраховує кількість простих в черговий 1000 чисел. До кінця життя він порахував всі прості числа в проміжку до 3 мільйонів. Лежандр і Гаус однаково вирахували, що для великих n щільність простих чисел становить 1 / log (n). Лежандр оцінив кількість простих чисел в проміжку від 1 до n, як

? (N) \u003d n / (log (n) - 1.08366)

А Гаусс - як логарифмический інтеграл

? (N) \u003d? 1 / log (t) dt

З проміжком інтегрування від 2 до n.

Твердження про щільності простих чисел 1 / log (n) відомо як Теорема про розподіл простих чисел. Її намагалися довести протягом всього 19 століття, а прогресу досягли Чебишев і Ріман. Вони зв'язали її з гіпотезою Рімана - по цю пору не доведеною гіпотезою про розподіл нулів дзета-функції Рімана. Щільність простих чисел була одночасно доведена Адамаром і Валле-Пуссена в 1896 році.

В теорії простих чисел є ще безліч невирішених питань, деяким з яких вже багато сотень років:

• гіпотеза про прості числа-близнята - про нескінченну кількість пар простих чисел, що відрізняються один від одного на 2
• гіпотеза Гольдбаха: будь-парне число, починаючи з 4, можна представити у вигляді суми двох простих чисел
• нескінченно чи кількість простих чисел виду n 2 + 1?
• чи завжди можна знайти просте число між n 2 and (n + 1) 2? (Факт, що між n і 2n завжди є просте число, було доведено Чебишева)
• нескінченно число простих чисел Ферма? чи є взагалі прості числа Ферма після 4-го?
• чи існує арифметична прогресія з послідовних простих чисел для будь-якої заданої довжини? наприклад, для довжини 4: 251, 257, 263, 269. Максимальна зі знайдених довжина дорівнює 26.
• нескінченно число наборів з трьох послідовних простих чисел в арифметичній прогресії?
• n 2 - n + 41 - просте число для 0? n? 40. Нескінченно чи кількість таких простих чисел? Те ж питання для формули n 2 - 79 n + 1601. Ці числа прості для 0? n? 79.
• нескінченно чи кількість простих чисел виду n # + 1? (N # - результат перемноження всіх простих чисел, менших n)
• нескінченно чи кількість простих чисел виду n # -1?
• нескінченно чи кількість простих чисел виду n! + 1?
• нескінченно чи кількість простих чисел виду n! - 1?
• якщо p - просте, чи завжди 2 p -1 не містить серед множників квадратів простих чисел
• чи містить послідовність Фібоначчі нескінченну кількість простих чисел?

Найбільші близнюки серед простих чисел - це 2003663613? 2 195000 ± 1. Вони складаються з 58711 цифр, і були знайдені в 2007 році.

Найбільше факторіальною просте число (виду n! ± 1) - це 147 855! - 1. Воно складається з 142 891 цифр і було знайдено в 2002.

Найбільше прайморіальное просте число (число виду n # ± 1) - це 1098133 # + 1.

Ви можете допомогти і перевести трохи коштів на розвиток сайту