Чи не втратьте.Підпишіться і отримайте посилання на статтю собі на пошту.

Що таке парадокс? Парадоксом називаються два несумісних і протилежних твердження, що мають переконливі аргументи кожен в свою сторону. Найбільш яскраво вираженою формою парадоксу є антиномія - міркування, яке доводить еквівалентність тверджень, одне з яких є явне заперечення іншого. І особливу увагу заслуговують саме парадокси в найбільш точних і строгих науках, таких як, наприклад, логіка.

Логіка, як відомо, є абстрактною наукою. У ній немає місця експериментам і будь-яким конкретним фактам в звичайному їхньому розумінні; вона завжди передбачає аналіз реального мислення. Але розбіжності в теорії логіки і практиці реального мислення все ж мають місце бути. І самим явним підтвердженням цьому служать логічні парадокси, а іноді навіть логічна антиномія, що уособлює собою суперечливість самої логічної теорії. Саме це і пояснює значення логічних парадоксів і ту увагу, яка приділяється цим феноменам в логічній науці. Нижче ми познайомимо вас з найяскравішими прикладами логічних парадоксів. Ця інформації буде неодмінно цікава як тим, хто поглиблено вивчає логіку, так і тим, хто просто любить дізнаватися нову і цікаву інформацію.

Почнемо ж ми з парадоксів, складених давньогрецьким філософом Зенон Елейський, які жили в V столітті до н.е. Його парадокси отримали назву «Апорії Зенона» і навіть мають своє трактування.

апорії Зенона

Апорії Зенона є зовні парадоксальними міркуваннями про рух і безлічі. Всього сучасниками Зенона було згадано понад 40 апорії (до речі, слово «Апорія» з давньогрецької мови перекладається як «труднощі») його авторства, проте до нашого часу дійшли тільки дев'ять з них. При бажанні ви можете ознайомитися з ними в працях Аристотеля, Діоген Лаертський, Платона, Фемістій, Філопона, Елія і Сіпмлікія. Ми ж наведемо як приклад три найвідоміші.

Ахіллес і черепаха

Уявімо, що Ахіллес біжить зі швидкістю, яка вдесятеро перевищувала швидкість черепахи, і знаходиться від неї на відстані в тисячу кроків позаду. Поки Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха зробить тільки сто. Поки Ахіллес подолає ще сотню, черепаха встигне зробити десять і т.д. І цей процес буде тривати нескінченно довго і Ахіллес ніколи не наздожене черепаху.

дихотомія

Для того щоб подолати певний шлях, потрібно спочатку подолати його половину, а щоб подолати половину, потрібно подолати половину цієї половини і т.д. Виходячи з цього, рух ніколи так і не почнеться.

Летюча стріла

Летюча стріла завжди залишається на місці, тому що в будь-який момент часу вона перебуває в стані спокою, а оскільки вона в стані спокою в будь-який момент часу, вона знаходиться в стані спокою завжди.

Тут же буде доречно навести ще один парадокс.

парадокс брехуна

Авторство цього парадоксу приписується давньогрецькому жерцеві та провидцю Епіменід. Парадокс звучить так: «Те, що я в даний момент кажу - брехня», тобто виходить: або «Я брешу», або «Моє висловлювання - хибно». Це означає, що якщо висловлювання правдиво, то, грунтуючись на його утриманні, воно є брехнею, але якщо це висловлювання спочатку помилково, то його і твердження - брехня. Виходить, помилково, що це висловлювання - брехня. Отже, висловлювання правдиво - це висновок повертає нас до початку наших міркувань.

У наш час парадокс брехуна розглядається в якості однієї з формулювань парадоксу Рассела.

парадокс Рассела

Парадокс Рассела був відкритий в 1901 році британським філософом Бертраном Расселом, а пізніше його незалежно перевідкрив німецький математик Ернст Цермело (іноді цей парадокс називають «парадоксом Рассела-Цермело»). Даний парадокс демонструє суперечливість логічної системи Фреге, в якій математика зводиться до логіки. У парадоксу Рассела є кілька формулювань:

• Парадокс всемогутності - чи здатне всемогутня істота створити що-небудь, що може обмежити його всемогутність?
• Припустимо, якась бібліотека поставила задачу скласти один великий бібліографічний каталог, в який повинні входити всі і лише ті бібліографічні каталоги, в яких не міститься посилань на самих себе. Питання: чи потрібно включити в цей каталог посилання на нього?
• Наприклад, в якійсь країні вийшов закон про те, що мерам всіх міст заборонено жити в своєму місті, і дозволено жити тільки в «Місті мерів». Де, в такому випадку, буде жити мер цього міста?
• Парадокс цирульника - в селі тільки один цирульник, і йому наказано голити всіх, хто не голиться сам, і не голити тих, хто сам голиться. Питання: хто повинен голити цирульника?

Не менш цікаві й забавні такі парадокси.

Парадокс Буран-Форті

Припущення про те, що ідея про можливість безлічі порядкових чисел може привести до протиріч, а це значить, що суперечливою буде теорія множин, в якій можлива побудова безлічі порядкових чисел.

парадокс Кантора

Припущення про можливість безлічі всіх множин може привести до протиріч, а це значить, що суперечливою буде і теорія, згідно з якою можлива побудова такого безлічі.

парадокс Гільберта

Ідея про те, що якщо всі номери в готелі з безліччю номерів зайняті, в неї в будь-якому випадку можна поселити ще людей, і їх число може бути нескінченним. У цьому парадоксі пояснюється, що закони логіки абсолютно неприйнятні до властивостей нескінченності.

Помилковий висновок Монте-Карло

Висновок про те, що, граючи в рулетку, можна сміливо ставити на червоний колір, якщо чорний випав десять разів поспіль. Даний висновок вважається помилковим з тієї причини, що, відповідно до теорії ймовірностей, на наступ будь-якого подальшого події не робить ніякого впливу подія, йому передує.

Парадокс Ейнштейна-Подольського-Розена

Питання про те, чи здатні розвиваються далеко один від одного процеси і події надавати один на одного вплив? Наприклад, чи впливає якимось чином народження у віддаленій галактиці наднової зірки на погоду в Москві? Як відповідь можна привести наступне: виходячи із законів квантової механіки, такий вплив неможливо через те, що як швидкість світла, так і швидкість перенесення інформації є кінцевими величинами, а Всесвіт є нескінченною.

парадокс близнюків

Питання: чи буде близнюк-мандрівник, який повернувся з космічного мандри на сверхсветовое зорельоті молодше свого брата, який залишався весь цей час на Землі? Якщо виходити з теорії відносності, то на Землі (по земній плину часу) пройшло більше часу, ніж в зорельоті, що летить зі сверхсветовой швидкістю, а значить, близнюк-мандрівник буде молодше.

Парадокс убитого дідуся

Уявіть, що ви опинилися в минулому і вбили свого дідуся до його знайомства з вашою бабусею. Слід висновок, що ви не з'явитеся на світло і не зможете повернутися в минуле, щоб убити дідуся. Представлений парадокс наочно демонструє неможливість подорожей в минуле.

парадокс приречення

Наприклад, людина опиняється в минулому, має статевий контакт зі своєю прабабусею і зачинає її сина, тобто свого діда. Це стає причиною низки нащадків, включаючи батьків цієї людини, а також його самого. Виходить, що якщо б ця людина не здійснив подорож в минуле, він би взагалі ніколи не з'явився на світло.

Це всього лише кілька логічних парадоксів, які займають сьогодні уми багатьох людей. Допитливому розуму не важко відшукати ще не один десяток подібних (наприклад,). Вивченню, спростуванню або доказу кожного з них можна присвятити чималу кількість часу і сил. І, цілком ймовірно, з приводу кожного феномена у вас можуть сформуватися свої особисті оригінальні умовиводи. Але це і говорить нам про те, що, незважаючи на переважання в нашому житті законів логіки і причинно-наслідкових зв'язків, не все в нашому житті залежить від них. Часом аналогічні логічним парадоксів протиріччя виникають у повсякденному житті кожної людини. У будь-якому випадку, це прекрасна їжа для розуму і привід для роздумів.

До речі, стосовно роздумів: на тему логічних парадоксів є дуже цікава книга під назвою «Гедель, Ешер і Бах». Її автором є американський фізик і інформатик Даглас Хофштадтера.

Шановні читачі, було б чудово, якби в своїх коментарях ви привели кілька знайомих вам прикладів логічних парадоксів. А також нам буде цікаво і ваша думка з приводу значення логіки в нашому житті - Проголосуйте за одне з розташованих нижче тверджень.

Відомо, що сформулювати проблему часто важливіше і важче, ніж вирішити її. "У науці, - писав англійський хімік Ф. Содді, - завдання, належним чином поставлена, більш ніж наполовину вирішена. Процес розумової підготовки, необхідний для з'ясування того, що існує певна задача, часто забирає більше часу, ніж саме рішення задачі ".
Форми, в яких проявляється і усвідомлюється проблемна ситуація, дуже різноманітні. Далеко не завжди вона виявляє себе у вигляді прямого питання, що встав на самому початку дослідження. Світ проблем так само складний, як і породжує їх процес пізнання. Виявлення проблем пов'язано з самою суттю творчого, мислення. Парадокси є найбільш цікавий випадок неявних, безвопросних способів постановки проблем. Парадокси звичайні на ранніх стадіях розвитку наукових теорій, коли робляться перші кроки в ще невивченою області і намацуються найзагальніші принципи підходу до неї.

Парадокси і логіка

У широкому сенсі парадокс - це положення, що різко розходиться з загальноприйнятими, устояними, ортодоксальними думками. "Загальновизнані думки і те, що вважають справою давно вирішеною, найчастіше заслуговують дослідження" (ГЛіхтенберг). Парадокс - початок такого дослідження.
Парадокс в більш вузькому і спеціальному значенні - це два протилежних, несумісних твердження, для кожного з яких є здаються переконливими аргументи.
Найбільш різка форма парадоксу - антиномія, міркування, що доводить еквівалентність двох тверджень, одне з яких є запереченням іншого.
Особливою популярністю користуються парадокси в найсуворіших і точних науках - математиці і логіці. І це не випадково.

логіка- абстрактна наука. У ній немає експериментів, немає навіть фактів у звичайному розумінні цього слова. Будуючи свої Логіка виходить в кінцевому рахунку з аналізу реального мислення. Але результати цього аналізу носять синтетичний, нерозчленований характер. Вони не є констатациями будь-яких окремих процесів або подій, які повинна була б пояснити теорія. Такий аналіз можна, очевидно, назвати спостереженням: спостерігається завжди конкретне явище.
Конструюючи нову теорію, учений звичайно відштовхується від фактів, від того, що можна спостерігати в досвіді. Як би не була вільна його творча фантазія, вона повинна вважатися з однією неодмінною обставиною: теорія має сенс тільки в тому випадку, коли вона узгоджується з відносяться до неї фактами. Теорія, що розходиться з фактами і спостереженнями, є надуманою і цінності не має.
Але якщо в логіці немає експериментів, немає фактів і немає самого спостереження, то чим стримується логічна фантазія? Які якщо не факти, то чинники беруться до уваги при створенні нових логічних теорій?
Розбіжність логічної теорії з практикою дійсного мислення нерідко виявляється у формі більш-менш гострого логічного парадоксу, а іноді навіть у формі логічної антиномії, що говорить про внутрішню суперечливість теорії. Цим якраз пояснюється те значення, яке надається парадоксів в логіці, і то велика увага, яким вони в ній користуються.

Варіанти парадокса "брехуна"

Найбільш відомим і, мабуть, найцікавішим з усіх логічних парадоксів є парадокс "Брехун". Он-то головним чином і прославив ім'я відкрив його Евбуліда з Мілета.
Є варіанти цього парадоксу, або антиномії, багато з яких є тільки по видимості парадоксальними.
У найпростішому варіанті "брехуна" людина вимовляє всього одну фразу: "Я брешу". Або говорить: "Висловлювання, яке я зараз вимовляю, є помилковим". Або: "Це висловлення помилкове".

Якщо висловлення помилкове, то говорить сказав правду, і значить, сказане ним не є брехнею. Якщо ж висловлювання не є хибним, а говорить стверджує, що воно помилкове, то це його висловлювання брехливо. Виявляється, таким чином, що, якщо опонент бреше, він говорить правду, і навпаки.

У середні століття поширеною була така формулювання:

- Сказане Платоном - помилково, - говорить Сократ.

- Те, що сказав Сократ, - істина, - говорить Платон.

Виникає питання, хто з них висловлює істину, а хто брехня?
А от сучасна перефразування цього парадоксу. Припустимо, що на лицьовій стороні картки написані тільки слова: "На іншій стороні цієї картки написано справжнє висловлювання". Ясно, що ці слова є осмислене твердження. Перевернувши картку, ми повинні або виявити обіцяне висловлення, або його немає. Якщо воно написано на звороті, то воно є або істинним, або ні. Однак на звороті стоять слова: "На іншій стороні цієї картки написано хибне висловлювання" - і нічого більше. Припустимо, що твердження на лицьовій стороні істинно. Тоді твердження на звороті має бути істинним і, отже, твердження на лицьовій стороні має бути хибним. Але якщо твердження на лицьовій стороні ложно, тоді твердження на звороті також має бути хибним, і, отже, твердження на лицьовій стороні має бути істинним. У підсумку - парадокс.
Парадокс «Брехун» справив величезне враження на греків. І легко зрозуміти чому. Питання, який в ньому ставиться, з першого погляду здається зовсім простим: чи бреше той, хто говорить тільки те, що він бреше? Але відповідь "так" призводить до відповіді "ні", і навпаки. І міркування нітрохи не прояснює ситуацію. За простотою і навіть щоденністю питання воно відкриває якусь неясну і незмірну глибину.
Ходить навіть легенда, що якийсь Філет, зневірившись вирішити цей парадокс, наклав на себе руки. Кажуть також, що один з відомих давньогрецьких логіків, Діодор Кронос, уже на схилі років дав обітницю не приймати їжу до тих пір, поки не знайде рішення "брехуна", і незабаром помер, так нічого і не добившись.
У середні століття цей парадокс був віднесений до так званим нерозв'язним пропозицій і зробився об'єктом систематичного аналіза.В новий час "Брехун" довго не привертав ніякої уваги. У ньому не бачили ніяких, навіть незначних труднощів, що стосуються вживання мови. І тільки в наш, так зване новітнє час розвиток логіки досягло нарешті рівня, коли проблеми, що стоять, як представляється, за цим парадоксом, стало можливим формулювати вже в строгих термінах.
Тепер "Брехун" - цей типовий колишній софізм - нерідко іменується королем логічних парадоксів. Йому присвячена велика наукова література. І тим не менше, як і в разі багатьох інших парадоксів, залишається не зовсім зрозумілим, які саме проблеми ховаються за ним і як слід позбавлятися від нього.

Мова і метамова

Зараз "Брехун" зазвичай вважається характерним прикладом тих труднощів, до яких веде змішання двох мов: мови, на якому говориться про що лежить поза його дійсності, і мови, якою розмовляють про найпершому мовою.

У повсякденній мові немає відмінності між цими рівнями: і про дійсність, і про мову ми говоримо однією і тією ж мовою. Наприклад, людина, рідною мовою якого є російська мова, не бачить ніякої особливої ​​різниці між твердженнями: "Скло прозоро" і "Вірно, що скло прозоро", хоча одне з них говорить про скло, а інше - про висловлювання щодо скла.
Якби у когось виникла думка про необхідність говорити про світ на одній мові, а про властивості цієї мови - на іншому, він міг би скористатися двома різними існуючими мовами, допустимо російською та англійською. Замість того, щоб просто сказати: "Корова - це іменник", сказав би "Корова is a noun", а замість: "Затвердження" Скло не прозоро "помилково" вимовив би "The assertion" Скло не прозоро "is false". При такому використанні двох різних мов сказане про світ ясно відрізнялося б від сказаного про мову, за допомогою якого говорять про мир. Справді, перші висловлювання ставилися б до російської мови, в той час як другі - до англійської.

Якби далі нашому знавцю мов захотілося висловитися з приводу якихось обставин, що стосуються вже англійської мови, він міг би скористатися ще однією мовою. Припустимо німецьким. Для розмови про це останньому можна було б вдатися, покладемо, до іспанської мови і т.д.
Виходить, таким чином, своєрідна драбинка, або ієрархія, мов, кожен з яких використовується для цілком певної мети: на першому кажуть про предметний світ, на другому - про це першому мовою, на третьому - про другу мову і т.д. Таке розмежування мов по області їх застосування - рідкісне явище в звичайному житті. Але в науках, які опікуються проблемами, подібно логіці, мовами, воно іноді виявляється досить корисним. Мова, на якому міркують про світ, зазвичай називають предметною мовою. Мова, що використовується для опису предметної мови, іменують метамовою.

Ясно, що, якщо мова і метамова розмежовуються зазначеним чином, твердження "Я брешу" вже не може бути сформульовано. Воно говорить про хибність того, що сказано на російській мові, і, отже, відноситься до метамови і має бути висловлено англійською мовою. Саме воно має звучати так: "Everything I speak in Russian is false" ( "Все сказане мною російською помилково"); в цьому англійському затвердження нічого не говориться про нього самого, і ніякого парадоксу не виникає.
Розрізнення мови і метамови дозволяє усунути парадокс "брехуна". Тим самим з'являється можливість коректно, без протиріччя визначити класичне поняття істини: істинним є висловлювання, відповідне описуваної їм дійсності.
Поняття істини, як і всі інші семантичні поняття, має відносний характер: воно завжди може бути віднесено до певної мови.

Як показав польський логік АТарскій, класичне визначення істини повинне формулюватися в мові більш широкому, ніж ту мову, для якого воно призначене. Іншими словами, якщо ми хочемо вказати, що означає оборот "висловлення, щире в даній мові", потрібно, крім виразів цієї мови, користуватися також висловами, яких в ньому немає.
Тарський ввів поняття семантично замкнутого мови. Така мова включає, крім своїх виразів, їх імена, а також, що важливо підкреслити, висловлювання про істинність сформульованих в ньому пропозицій.

Межі між мовою і метамовою в семантично замкнутому мові не існує. Засоби його настільки багаті, що дозволяють не тільки щось стверджувати про позамовною реальності, а й оцінювати істинність таких тверджень. Цих коштів достатньо, зокрема, для того, щоб відтворити в мові антиномію "Брехун". Семантично замкнутий мова виявляється, таким чином, внутрішньо суперечливим. Кожен природна мова є, очевидно, семантично замкнутим.
Єдино прийнятний шлях для усунення антиномії, а значить, і внутрішньої суперечливості, згідно Тарського, - відмова від вживання семантично замкнутого мови. Цей шлях прийнятний, звичайно, тільки в разі штучних, формалізованих мов, що допускають ясне підрозділ на мову і метамова. У природних же мовах з їх неясною структурою і можливістю говорити про все на одному і тому ж мовою такий підхід не дуже реальний. Ставити питання про внутрішню несуперечності цих мов не має сенсу. Їх багаті виражальні можливості мають і свою зворотну сторону - парадокси.

Інші рішення парадоксу

Отже, існують висловлювання, говорять про свою власну істинність або хибність. Ідея, що такого роду висловлювання не є осмисленими, дуже стара. Її відстоював ще давньогрецький логік Хрисипп.
У середні століття англійський філософ і логік У.Оккам заявляв, що твердження "Усяке висловлення помилкове" безглуздо, оскільки воно говорить в числі іншого і про свою власну хибність. З цього твердження прямо випливає протиріччя. Якщо будь-яке висловлення помилкове, то це відноситься і до самого даному утвердженню; але те, що воно помилкове, означає, що не всяке висловлювання є хибним.

Аналогічно йде справа і з твердженням "Усяке висловлення правдиве". Воно також має бути віднесено до безглуздих і також веде до протиріччя: якщо кожен вислів істинно, то істинним є і заперечення самого цього висловлювання, тобто вислів, що не всяке висловлювання істинно.
Чому, однак, висловлення не може осмислено говорити про свою власну істинність або хибність?
Вже сучасник Оккама, французький філософ XIV в. Ж. Буридан, не був згоден з його рішенням. З точки зору звичайних уявлень про безглуздість, вираження типу "Я брешу", "Усяке висловлення правдиве (хибне)" і т.п. цілком осмислені. Про що можна подумати, про те можна висловитися, - такий загальний принцип Буридана. Людина може думати про істинність твердження, яке він вимовляє, значить, він може і висловитися про це. Не всі твердження, що говорять про самих себе, відносяться до безглуздим. Наприклад, твердження "Ця пропозиція написано по-російськи" є істинним, а твердження "У цій пропозиції десять слів" помилково. І обидва вони зовсім осмислені. Якщо допускається, що твердження може говорити і про самого себе, то чому воно не здатне зі змістом говорити і про таку свою властивість, як істинність?
Сам Буридан вважав вислів "Я брешу» не безглуздим, а помилковим. Він обгрунтовував це так.

Коли людина стверджує якусь пропозицію, він стверджує тим самим, що воно істинне. Якщо ж пропозиція говорить про себе, що вона сама є хибним, то воно являє собою лише скорочену формулювання більш складного вираження, стверджує одночасно і свою істинність, і свою хибність. Цей вислів суперечливо і, отже, помилково. Але воно не безглуздо.

Аргументація Буридана і зараз іноді вважається переконливою.
Є й інші напрямки критики того рішення парадоксу "Брехун", яке було в деталях розвинене Тарським. Чи справді в семантично замкнутих мовами - а такі ж все природні мови - немає ніякого протиотрути проти парадоксів цього типу?
Якби це було так, то поняття істини можна було б визначити строгим чином тільки в формалізованих мовах. Тільки в них вдається розмежувати предметний мову, на якому міркують про навколишній світ, і метамова, на якому говорять про цю мову. Ця ієрархія мов будується за зразком засвоєння іноземної мови за допомогою рідного. Вивчення такої ієрархії привело до багатьох цікавих висновків, і в певних випадках вона істотна. Але її немає в природній мові. Чи дискредитує це його? І якщо так, то в якій саме мірі? Адже в ньому поняття істини все-таки вживається, і зазвичай без всяких ускладнень. Чи є введення ієрархії єдиним способом виключення парадоксів, подібних "Брехунові?"

У 30-ті роки відповіді на ці питання представлялися безсумнівно ствердними. Однак зараз колишньої одностайності вже немає, хоча традиція усувати парадокси даного типу шляхом "розшаровування" мови залишається панівною.
Останнім часом все більше уваги привертають егоцентричні вираження. У них зустрічаються слова, подібні "я", "це", "тут", "тепер", і їх істинність залежить від того, коли, ким, де вони вживаються.

У затвердження "Це висловлювання є хибним" зустрічається слово "це". До якого саме об'єкту воно відноситься? "Брехун" може говорити про те, що слово "це" не відноситься до сенсу цього твердження. Але тоді до чого воно відноситься, що позначає? І чому цей сенс не може бути все-таки позначений словом "це"?
Не вдаючись тут у деталі, варто відзначити тільки, що в контексті аналізу егоцентричних виразів "Брехун" наповнюється зовсім іншим змістом, ніж раніше. Виявляється, він вже не застерігає від змішування мови і метамови, а вказує на ризики, пов'язані з неправильним вживанням слова "це" і подібних йому егоцентричних слів.
Проблеми, що зв'язували протягом століть з "Брехуном", радикально змінювалися в залежності від того, чи розглядалося він як приклад двозначності, або ж як вираз, зовні видається як зразок змішання мови і метамови, або ж, нарешті, як типовий приклад невірного вживання егоцентричних виразів. І немає впевненості в тому, що з цим парадоксом не опиняться пов'язаними в майбутньому й інші проблеми.

Відомий сучасний фінський логік і філософ Г. фон Врігт писав у своїй роботі, присвяченій "Брехунові", що даний парадокс ні в якому разі не повинен розумітися як локальне, ізольоване перешкоду, переборні одним винахідливим рухом думки. "Брехун" зачіпає багато найбільш важливі теми логіки і семантики. Це і визначення істини, і тлумачення суперечності і докази, і ціла серія важливих відмінностей: між пропозицією і виражається їм думкою, між вживанням вираження і його згадкою, між змістом імені і позначається їм об'єктом.
Аналогічно йде справа і з іншими логічними парадоксами. "Антиномии логіки, - пише фон Врігг, - спантеличили з моменту свого відкриття і, ймовірно, будуть спантеличувати нас завжди. Ми повинні, я думаю, розглядати їх не стільки як проблеми, які очікують рішення, скільки як невичерпне сирий матеріал для роздумів. Вони важливі, оскільки роздуми про них зачіпає найбільш фундаментальні питання всієї логіки, а значить, і всього мислення ".

На закінчення цієї розмови про "брехуном" можна згадати курйозний епізод з того часу, коли формальна логіка ще викладалася в школі. У підручнику логіки, виданому в кінці 40-х років, школярам восьмого класу пропонувалося в якості домашнього завдання - в порядку, так би мовити, розминки - знайти помилку, допущену в цьому простенькому на вигляд затвердження: "Я брешу". І, хай це не здасться дивним, вважалося, що школярі в більшості своїй успішно справлялися з таким завданням.

§ 2. Парадокс Рассела

Самим знаменитим з відкритих вже в нашому столітті парадоксів є антиномія, виявлена ​​Б. Расселом і повідомлена їм в листі до Г. Фергі. Цю ж антиномію обговорювали одночасно в Геттінгені німецькі математики 3. Цермело і Д. Гільберт.
Ідея носилася в повітрі, і її опублікування справило враження бомби, що розірвалася. Цей парадокс викликав в математиці, на думку Гільберта, ефект повної катастрофи. Нависла загроза над найпростішими і важливими логічними методами, звичайнісінькими і корисними поняттями.
Відразу ж стало очевидним, що ні в логіці, ні в математиці за всю довгу історію їх існування не було вироблено анічогісінько, що могло б послужити основою для. усунення антиномії. Явно виявився необхідним відхід від звичних способів мислення. Але з якого місця і в якому напрямку? Наскільки радикальним повинен був стати відмова від усталених способів теоретизування?
З подальшим дослідженням антиномії переконання в необхідності принципово нового підходу неухильно росло. Через півстоліття після її відкриття фахівці з підстав логіки і математики Л. Френкель і І.Бар-Хиллел вже без будь-яких застережень затверджували: "Ми вважаємо, що будь-які спроби вийти з положення за допомогою традиційних (тобто мали ходіння до XX століття) способів мислення , до сих пір незмінно провалювалися, свідомо недостатні для цієї мети ".
Сучасний американський логік X. Каррі писав трохи пізніше про цей феномен: "У термінах логіки, відомої в XIX в., Положення просто не піддавалося поясненню, хоча, звичайно, в наш освічений вік можуть знайтися люди, які побачать (або подумають, що побачать ), в чому ж полягає помилка ".

Парадокс Рассела в первісної його формі пов'язаний з поняттям множини, або класу.
Можна говорити про множини різних об'єктів, наприклад, про безліч всіх людей або про безліч натуральних чисел. Елементом першого безлічі буде всякий окрема людина, елементом другого - кожне натуральне число. Припустимо також самі безлічі розглядати як деякі об'єкти і говорити про множини множин. Можна ввести навіть такі поняття, як безліч всіх множин або безліч всіх понять.

Безліч звичайних множин

Щодо будь-якого довільно взятого безлічі видається осмисленим запитати, чи є воно своїм власним елементом чи ні. Безлічі, що не містять себе в якості елемента, назвемо звичайними. Наприклад, безліч всіх людей не є людиною, так само як безліч атомів - це не атом. Незвичайними будуть безлічі, що є власними елементами. Наприклад, безліч, що об'єднує всі множини, являє собою безліч і, отже, містить саме себе в якості елемента.
Розглянемо тепер безліч всіх звичайних множин. Оскільки воно безліч, про нього теж можна питати, звичайне воно чи незвичайне. Відповідь, проте, виявляється бентежить. Якщо воно звичайне, то, згідно зі своїм визначенням, має містити само себе в якості елемента, оскільки містить всі звичайні множини. Але це означає, що воно є незвичайним безліччю. Допущення, що наше безліч являє собою звичайне безліч, призводить, таким чином, до протиріччя. Значить, воно не може бути звичайним. З іншого боку, воно не може бути також незвичайним: незвичайне безліч містить само себе в якості елемента, а елементами нашого безлічі є тільки звичайні множини. У підсумку приходимо до висновку, що безліч всіх звичайних множин не може бути ні звичайним, ні незвичайним безліччю.

Отже, безліч всіх множин, які не є власними елементами, є свій елемент в тому і тільки тому випадку, коли воно не є таким елементом. Це явне протиріччя. І отримано воно на основі самих правдоподібних припущень і за допомогою безперечних ніби шагов.Протіворечіе говорить про те, що такого безлічі просто не існує. Але чому воно не може існувати? Адже воно складається з об'єктів, які відповідають чітко визначеним умові, причому саме умова не здається якимось винятковим або неясним. Якщо настільки просто і ясно заданий безліч не може існувати, то в чому, власне, полягає відмінність між можливими і неможливими множинами? Висновок про неіснування розглянутого безлічі звучить несподівано і вселяє занепокоєння. Він робить наше загальне поняття безлічі аморфним і хаотичним, і немає гарантії, що воно не здатне породити якісь нові парадокси.

Парадокс Рассела чудовий своєю крайньою спільністю. Для його побудови не потрібні будь-які складні технічні поняття, як у випадку деяких інших парадоксів, досить понять "безліч" і "елемент безлічі". Але ця простота якраз і говорить про його фундаментальності: він зачіпає найглибші підстави наших міркувань про множини, оскільки говорить не про якихось спеціальних випадках, а про множини взагалі.

Інші варіанти парадоксу

Парадокс Рассела не має специфічно математичного характеру. У ньому використовується поняття безлічі, але не будуть зачіпатися якісь особливі, пов'язані саме з математикою його властивості.
Це стає очевидним, якщо переформулювати парадокс в чисто логічних термінах.

Про кожного властивості можна, по всій ймовірності, питати, застосовно воно до самого себе чи ні.
Властивість бути гарячим, наприклад, непріложімо до самого себе, оскільки сама не є палким; властивість бути конкретним теж не відноситься до самого себе, бо це абстрактне властивість. Але ось властивість бути абстрактним, будучи абстрактним, застосовні до самого себе. Назвемо ці непридатні до самих себе властивості незастосовні. Чи застосовно властивість бути незастосовні до самого себе? Виявляється, незастосовні є незастосовні тільки в тому випадку, якщо вона не є такою. Це, звичайно, парадоксально.
Логічна, що стосується властивостей різновид антиномії Рассела, настільки ж парадоксальна, як і математична, що відноситься до множинам, її різновид.
Рассел запропонував також наступний популярний варіант відкритого їм парадоксу.

Уявімо, що рада одного села так визначив обов'язки перукаря: голити всіх чоловіків села, що не голяться самі, і тільки цих чоловіків. Чи повинен він голити самого себе? Якщо так, то він буде ставитися до тих, хто голиться сам, а тих, хто голиться сам, він не повинен голити. Якщо немає, він буде належати до тих, хто не голиться сам, і, значить, він повинен буде голити себе. Ми приходимо, таким чином, до висновку, що цей перукар голить себе в тому і тільки тому випадку, коли він не голить себе. Це, зрозуміло, неможливо. Міркування про перукаря спирається на припущення, що такий перукар існує. Отримане протиріччя означає, що це припущення помилково, і немає такого жителя села, який голив би всіх тих і тільки тих її жителів, що не голяться самі.
Обов'язки перукар не здаються на перший погляд суперечливими, тому висновок, що його не може бути, звучить дещо несподівано. Але цей висновок не являтся все-таки парадоксальним. Умова, яким повинен задовольняти сільський цирульник, насправді внутрішньо суперечливе і, отже, неможливо. Подібного перукаря не може бути в селі з тієї ж причини, з якої в ній немає людини, який був би старше самого себе або який народився б до свого народження.
Міркування про перукаря може бути названо псевдопарадокси. За своїм ходу воно строго аналогічно парадоксу Рассела і цим цікаво. Але воно все-таки не є справжнім парадоксом.

Інший приклад такого ж псевдопарадокси є відоме міркування про каталог.
Якась бібліотека вирішила скласти бібліографічний каталог, в який входили б всі ті і тільки ті бібліографічні каталоги, які не містять посилання на самих себе. Чи повинен такий каталог включати посилання на себе?
Неважко показати, що ідея створення такого каталогу нездійсненна; він просто не може існувати, оскільки повинен одночасно і включати посилання на себе і не включати.
Цікаво відзначити, що складання каталогу всіх каталогів, що не містять посилання на самих себе, можна уявити як нескінченний, ніколи не завершується процес. Припустимо, що в якийсь момент був складений каталог, скажімо К1, що включає, все відмінні від нього каталоги, які містять посилання на себе. Зі створенням К1 з'явився ще один каталог, який не містить посилання на себе. Так як завдання полягає в тому, щоб скласти повний каталог всіх каталогів, що не згадують себе, то очевидно, що К1 не є її вирішенням. Він не згадує один з таких каталогів - самого себе. Включивши в К1 це згадка про нього самого, отримаємо каталог К2. У ньому згадується К1, але не сам К2. Додавши до К2 така згадка, отримаємо КЗ, який знову-таки не повний через те, що не згадує самого себе. І далі без кінця.

§ 3. Парадокси Греллінга і Беррі

Цікавий логічний парадокс був відкритий німецькими логіками К. Греллінга і Л. Нельсоном (парадокс Греллінга). Цей парадокс можна сформулювати дуже просто.

Аутологічні і Гетерологічні слова

Деякі слова, що позначають властивості, володіють тим самим властивістю, яке вони називають. Наприклад, прикметник "російський" саме є російським, "складне" - саме складне, а "пятіслоговое" саме має п'ять складів. Такі слова, що відносяться до самих себе, називаються самозначнимі, або аутологічної.
Подібних слів не так багато, в переважній більшості прикметники не володіють властивостями, які вони називають. "Нове" не є, звичайно, новим, "гаряче" - гарячим, "однослоговие" - складається з одного складу, а "англійське" - англійською. Слова, які не мають властивості, що позначається ними, називаються інозначнимі, або гетерологтескімі. Очевидно, що всі прикметники, що позначають властивості, незастосовні до слів, будуть гетерологичеським.
Це поділ прикметників на дві групи здається ясним і не викликає заперечень. Воно може бути поширене і на іменники: "слово" є словом, "іменник" - іменником, але "годинник" - це не годинник і "дієслово» - не дієслово.
Парадокс виникає, як тільки ставиться питання: до якої з двох груп відноситься саме прикметник "гетерологичеськоє"? Якщо воно аутологічна, воно володіє позначається їм властивістю і має бути ге-терологіческім. Якщо ж воно гетерологичеськоє, воно не має званого їм властивості і має бути тому аутологічна. Маємо парадокс.

За аналогією з цим парадоксом легко сформулювати інші парадокси такої ж структури. Наприклад, є або не є самогубцем той, хто вбиває кожного несамоубійцу і не вбиває жодного самогубця?

Виявилося, що парадокс Грелліга був відомий ще в середні століття як антиномія вирази, які не називає самого себе. Можна уявити собі ставлення до софізмів і парадоксів в новий час, якщо проблема, що вимагала відповіді і викликала жваві суперечки, виявилася раптом забутою і була перевідкриття тільки п'ятсот років по тому!

Ще одна, зовні проста антиномія була вказана на самому початку нашого століття Д. Беррі.

Безліч натуральних чисел нескінченно. І багато тих імен цих чисел, які є, наприклад, в російській мові і містять менше, ніж, припустимо, сто слів, є кінцевим. Це означає, що існують такі натуральні числа, для яких в російській мові немає імен, що складаються менш ніж зі ста слів. Серед цих чисел є, очевидно, найменше число. Його можна назвати за допомогою російського виразу, що містить менше ста слів. Але вираз: "Найменша натуральне число, для якого не існує в російській мові його складне ім'я, доданків менш ніж зі ста слів" є якраз ім'ям цього числа! Це ім'я тільки що сформульовано в російській мові і містить тільки дев'ятнадцять слів. Очевидний парадокс: названим виявилося те число, для якого немає імені!

§ 4. Нерозв'язний суперечка

В основі одного знаменитого парадоксу лежить ніби невелика подія, що трапилася дві з гаком тисячі років тому і не забуте досі.

У знаменитого софіста Протагора, який жив у V ст. до нашої ери, був учень по імені Еватл, що навчався праву. За укладеним між ними договором Еватл повинен був заплатити за навчання лише в тому випадку, якщо виграє свій перший судовий процес. Якщо ж він цей процес програє, то взагалі не зобов'язаний платити. Однак, закінчивши навчання, Еватл не став брати участь в процесах. Це тривало досить довго, терпіння вчителя вичерпалося, і він подав на свого учня в суд. Таким чином, для Еватл це був перший процес. Свою вимогу Протагор обґрунтував так:

- Яким би не було рішення суду, Еватл повинен буде заплатити мені. Він або виграє цей свій перший процес, або програє. Якщо виграє, то заплатить в силу нашого договору. Якщо програє, то заплатить згідно з цим рішенням.

Судячи з усього, Еватл був здібним учнем, оскільки він відповів Протагору:

- Дійсно, я або виграю процес, або програю його. Якщо виграю, рішення суду звільнить мене від обов'язку сплачувати. Якщо рішення суду буде не на мою користь, значить, я програв свій перший процес і не заплачу в силу нашого договору.

Рішення парадоксу "Протагор і Еватл"

Спантеличений таким оборотом справи, Протагор присвятив цій суперечці з Еватл особливе твір "Тяганина про плату". На жаль, воно, як і більша частина написаного Протагором, не дійшло до нас. Проте потрібно віддати належне Протагору, відразу відчув за простим судовим казусом проблему, яка заслуговує спеціального дослідження.

Г. Лейбніц, сам юрист за освітою, також поставився до цієї суперечки всерйоз. У своїй докторській дисертації "Дослідження про заплутані казуси в праві" він намагався довести, що всі випадки, навіть самі заплутані, подібно тяжбі Протагора і Еватл, повинні знаходити правильне вирішення на основі здорового глузду. На думку Лейбніца, суд повинен відмовити Протагору за невчасністю пред'явлення позову, але залишити, проте, за ним право вимагати сплати грошей Еватл пізніше, а саме після першого виграного їм процесу.

Було запропоновано багато інших рішень даного феномена.

Посилалися, зокрема, на те, що рішення суду повинно мати велику силу, ніж приватна домовленість двох осіб. На це можна відповісти, що якби не було цієї домовленості, якою б незначною вона не здавалася, не було б ні суду, ні його рішення. Адже суд повинен винести своє рішення саме по її приводу і на її основі.

Зверталися також до загального принципу, що всяка праця, а значить, і праця Протагора, повинен бути оплачений. Але ж відомо, що цей принцип завжди мав виключення, тим більше в рабовласницькому суспільстві. До того ж він просто непріложім до конкретної ситуації спору: адже Протагор, гарантуючи високий рівень навчання, сам відмовлявся приймати плату в разі невдачі свого учня в першому процесі.

Іноді міркують так. І Протагор і Еватл - обидва мають рацію частково, і жоден з них в цілому. Кожен з них враховує тільки половину можливостей, вигідну для себе. При повному або всебічний розгляд відкриває чотири можливості, з яких тільки половина вигідна для одного із спірних. Яка з цих можливостей реалізується, це вирішить не логіка, а життя. Якщо вирок суддів матиме більшу силу, ніж договір, Еватл повинен буде платити, тільки якщо програє процес, тобто в силу рішення суду. Якщо ж приватна домовленість буде ставиться вище, ніж рішення суддів, то Протагор отримає плату тільки в разі програшу процесу Еватл, тобто в силу договору з Протагором.Ета апеляція до життя остаточно все заплутує. Чим, якщо не логікою, можуть керуватися судді в умовах, коли всі відповідні обставини зовсім зрозумілі? І що це буде за керівництво, якщо Протагор, який претендує на оплату через суд, доб'ється її, лише програвши процес?

Втім, і рішення Лейбніца, здається спочатку переконливим, трохи краще, ніж неясне протиставлення логіки і життя. По суті, Лейбніц пропонує заднім числом замінити формулювання договору і домовитися про те, що першим за участю Еватл судовим процесом, результат якого вирішить питання про оплату, не повинен бути суд за позовом Протагора. Думка ця глибока, але не має відношення до конкретного суду. Якби у вихідній домовленості була така обмовка, потреби в судовому розгляді взагалі не виникло б.

Якщо під рішенням даного труднощі розуміти відповідь на питання, повинен Еватл сплатити Протагору чи ні, то всі ці, як і всі інші мислимі рішення, є, звичайно, неспроможними. Вони являють собою не більш ніж відхід від суті спору, є, так би мовити, софістичними вивертами і хитрощами в безвихідній і нерозв'язною ситуації. Бо ні здоровий глузд, ні якісь загальні принципи, що стосуються соціальних відносин, не здатні вирішити суперечку.
Неможливо виконати разом договір в його первісній формі і рішення суду, яким би останнім не було. Для доказу цього достатньо простих засобів логіки. За допомогою цих же коштів можна також показати, що договір, незважаючи на його цілком невинний зовнішній вигляд, внутрішньо суперечливий. Він вимагає реалізації логічно неможливого положення: Еватл повинен одночасно і сплатити за навчання, і разом з тим не платити.

Правила, заводять в тупик

Людському розуму, що звик не тільки до своєї силі, але і до своєї гнучкості і навіть спритності, важко, звичайно, змиритися з цією абсолютною безвихіддю і визнати себе загнаним в глухий кут. Це особливо важко тоді, коли тупикова ситуація створюється самим розумом: він, так би мовити, оступається на рівному місці і догоджає в свої власні мережі. І тим не менше доводиться визнати, що іноді, і втім, не так уже й рідко, угоди і системи правил, що склалися стихійно або введені свідомо, призводять до нерозв'язних, безвихідним положенням.

Приклад з недавньої шахової життя ще раз підтвердить цю думку.

Міжнародні правила проведення шахових змагань зобов'язують шахістів записувати партію хід за ходом ясно і розбірливо. До недавнього часу в правилах було зазначено також, що шахіст, який пропустив через нестачу часу запис декількох ходів, повинен, "як тільки його цейтнот закінчиться, негайно заповнити свій бланк, записавши пропущені ходи". На основі цієї вказівки один суддя на шаховій олімпіаді 1980 (Мальта) перервав проходила в жорсткому цейтноті партію і зупинив годинник, заявивши, що контрольні ходи зроблені і, отже, пора привести в порядок запису партій.

- Але дозвольте, - скрикнув учасник, який перебував на межі програшу і розраховував тільки на загострення пристрастей в кінці партії, - адже жоден прапорець ще не впав і ніхто ніколи (так теж записано в правилах) не може підказувати, скільки зроблено ходів.
Суддю підтримав, проте, головний арбітр, який заявив, що, дійсно, оскільки цейтнот закінчився, треба, дотримуючись букви правил, приступити до запису пропущених ходів.
Сперечатися в цій ситуації було безглуздо: самі правила завели в глухий кут. Залишалося тільки змінити їх формулювання таким чином, щоб подібні випадки не могли виникнути в майбутньому.
Це і було зроблено на що проходив в той же час конгресі Міжнародної шахової федерації: замість слів "як тільки цейтнот закінчиться" в правилах тепер записано: "як тільки прапорець вкаже на закінчення часу".
Цей приклад наочно показує, як слід чинити у безвихідних ситуаціях. Сперечатися про те, яка сторона права, марно: суперечка неразрешим, і переможця в ньому не буде. Залишається тільки змиритися з цим і подбати про майбутнє. Для цього потрібно так переформулювати вихідні угоди або правила, щоб вони не заводили більше нікого в таку ж безвихідну ситуацію.
Зрозуміло, подібний спосіб дій - ніяке не вирішення нерозв'язного спору і не вихід із безвихідного становища. Це скоріше зупинка перед непереборною перешкодою і дорога в обхід його.

Парадокс "Крокодил і мати"

У Стародавній Греції користувався великою популярністю розповідь про крокодила і матері, що співпадає за своїм логічним змістом з парадоксом "Протагор і Еватл".
Крокодил вихопив у єгиптянки, що стояла на березі річки, її дитини. На її благання повернути дитину крокодил, протоку, як завжди, крокодилячу сльозу, відповів:

- Твоє нещастя зворушило мене, і я дам тобі шанс отримати назад дитини. Вгадай, віддам я його тобі чи ні. Якщо відповіси правильно, я поверну дитини. Якщо не вгадаєш, я його не віддам.

Подумавши, мати відповіла:

- Ти не віддаси мені дитину.

- Ти його не отримаєш, - уклав крокодил. - Ти сказала або правду, або неправду. Якщо те, що я не віддам дитину, - правда, я не віддам його, так як інакше сказане не буде правдою. Якщо сказане - неправда, значить, ти не вгадала, і я не віддам дитину за домовленістю.

Однак матері це міркування не здалося переконливим.

- Але ж якщо я сказала правду, то ти віддаси мені дитину, як ми і домовилися. Якщо ж я не вгадала, що ти не віддаси дитини, то ти повинен мені його віддати, інакше сказане мною НЕ буде неправдою.

Хто має рацію: мати або крокодил? До чого зобов'язує крокодила дану ним обіцянку? До того, щоб віддати дитину або, навпаки, щоб не віддати його? І до того і до іншого одночасно. Ця обіцянка внутрішньо суперечливе, і, таким чином, воно не здійснимо в силу законів логіки.
Місіонер опинився у людожерів і потрапив якраз до обіду. Вони дозволяють йому вибрати, в якому вигляді його з'їдять. Для цього він повинен вимовити якусь висловлювання з умовою, що, якщо це висловлювання виявиться істинним, вони його зварять, а якщо воно виявиться помилковим, його зажарять.

Що слід сказати місіонера?

Зрозуміло, він повинен сказати: "Ви засмажити мене".

Якщо його дійсно зажарять, виявиться, що він висловив істину, і значить, його треба зварити. Якщо ж його зварять, його висловлювання буде хибним, і його слід саме засмажити. Виходу у людожерів не буде: з "засмажити" випливає "зварити", і навпаки.

Цей епізод з хитрим місіонером є, звичайно, ще однією з перефразіровок спору Протагора і Еватл.

Парадокс Санчо Панси

Один старий, відомий ще в Стародавній Греції парадокс обігрується в "Дон Кіхоті" М. Сервантеса. Санчо Панса став губернатором острова Баратарія і вершить суд.
Першим до нього є якийсь приїжджий і каже: - Сеньйор, якесь маєток ділиться на дві половини багатоводної рікою ... Так ось, через цю річку перекинутий міст, і тут же з краю варто шибениця і знаходиться щось на зразок суду, в якому зазвичай засідає четверо суддів, і судять вони на підставі закону, виданого власником річки, мосту і всього маєтку, якою закон складений таким чином: "Всякий проходить по мосту через цю річку що повинна оголосити під присягою: куди і навіщо він йде, і хто скаже правду, тих пропускати, а хто збреше, тих без будь-якого жалю відправляти на що знаходиться тут же шибеницю і стратити ". З того часу, коли цей закон у всій своїй строгості був оприлюднений, багато хто встиг пройти через міст, і як скоро судді задовольнялися, що перехожі кажуть правду, то пропускали їх. Але ось одного разу якась людина, приведений до присяги, присягнувся і сказав: він, мовляв, клянеться, що прийшов за тим, щоб його повісили ось на цю саму шибеницю, і ні за чим іншим. Клятва ця привела суддів в подив, і вони сказали: "Якщо дозволити цій людині безперешкодно слідувати далі, то це буде означати, що він порушив клятву і відповідно до закону Повинен умерти; якщо ж ми його повісимо, то адже він клявся, що прийшов тільки за тим, щоб його повісили на цю шибеницю, отже, клятва його, виходить, що не помилкова, і на підставі того ж самого закону слід пропустити його ". І ось я вас питаю, сеньйор губернатор, що робити суддям з цією людиною, бо вони до сих пір дивуються і коливаються ...
Санчо запропонував, мабуть, не без хитрості: ту половину людини, яка сказала правду, нехай пропустять, а ту, яка збрехала, нехай повісять, і таким чином правила переходу через міст будуть дотримані по всій формі. Цей уривок цікавий в декількох аспектах.
Перш за все він є наочною ілюстрацією того, що з описаним в парадоксі безвихідним становищем цілком може зіткнутися - і не в чистій теорії, а на практиці - якщо не реальна людина, то хоча б літературний герой.

Вихід, запропонований Санчо Панса, ні, звісно, ​​рішенням парадоксу. Але це було як раз те рішення, до якого тільки і залишалося вдатися в його становищі.
Колись Олександр Македонський замість того, щоб розв'язувати хитрий гордіїв вузол, чого ще нікому не вдалося зробити, просто розрубав його. Подібним же чином вчинив і Санчо. Намагатися вирішити головоломку на її власних умовах було марно - вона просто нерозв'язна. Залишалося відкинути ці умови і ввести своє.
І ще один момент. Сервантес цим епізодом явно засуджує непомірно формальний, пронизаний духом схоластичної логіки масштаб середньовічної справедливості. Але якими поширеними в його час - а це було близько чотирьохсот років тому - були відомості з області логіки! Не тільки самому Сервантесу відомий цей феномен. Письменник знаходить можливим приписати свого героя, безграмотного селянина, здатність зрозуміти, що перед ним нерозв'язна задача!

§ 5. Інші парадокси

Наведені парадокси - це міркування, підсумок яких - протиріччя. Але в логіці є й інші типи парадоксів. Вони також вказують на якісь труднощі і проблеми, але роблять це в менш різкою і безкомпромісній формі. Такі, зокрема, парадокси, що розглядаються далі.

Парадокси неточних понять

Більшість понять не тільки природної мови, але і мови науки є неточними, або, як їх ще називають, розмитими. Нерідко це виявляється причиною нерозуміння, суперечок, а то і просто веде до тупикових ситуацій.
Якщо поняття неточне, межа області об'єктів, до яких воно застосовно, позбавлена ​​різкості, розмита. Візьмемо, наприклад, поняття "купа". Одне зерно (піщинка, камінь і т.п.) - це ще не купа. Тисяча зерен - це вже, очевидно, купа. А три зерна? А десять? З додатком якого за рахунком зерна утворюється купа? Не дуже ясно. Точно так же, як не ясно, з вилученням якого зерна купа зникає.
Неточним емпіричні характеристики "великий", "важкий", "вузький" і т.д. Неточні такі звичайні поняття, як "мудрець", "кінь", "дім" і т.п.
Немає піщинки, прибравши яку ми могли б сказати, що з її усуненням залишився вже не можна назвати будинком. Але ж це означає здається, що ні в який момент поступової розбирання будинок - аж до повного його зникнення - немає підстав заявляти, що вдома немає! Висновок явно парадоксальний і обескураживающий.
Неважко помітити, що міркування про неможливість утворення купи проводиться за допомогою добре відомого методу математичної індукції. Одне зерно не утворює купи. Якщо п зерен не утворюють купи, то n + 1 зерно не утворюють купи. Отже, ніяке число зерен не може утворити купи.
Можливість цього і подібних йому доказів, що призводять до безглуздих висновків, означає, що принцип математичної індукції має обмежену область застосування. Він не повинен застосовуватися в міркуваннях з неточними, розпливчастими поняттями.

Хорошим прикладом того, що ці поняття здатні приводити до нерозв'язних спорів, може служити цікавий судовий процес, що відбувся в 1927 р в США. Скульптор К. Бранкузі звернувся до суду з вимогою визнати свої роботи витворами мистецтва. У числі робіт, що відправляються в Нью-Йорк на виставку, була і скульптура "Птах", яка зараз вважається класикою абстрактного стилю. Вона являє собою модульовану колону з полірованої бронзи близько півтора метрів висоти, що не має ніякої зовнішньої схожості з птахом. Митники категорично відмовилися визнати абстрактні твори Бранкузі художніми творами. Вони провели їх по графі "Металева лікарняна начиння і предмети домашнього вжитку" і наклали на них велику мито. Обурений Бранкузі подав до суду.

Митницю підтримали художники - члени Національної академії, відстоювали традиційні прийоми в мистецтві. Вони виступали на процесі свідками захисту і категорично наполягали на тому, що спроба видати "Птаха" за твір мистецтва - просто шахрайство.
Цей конфлікт рельєфно підкреслює труднощі оперування поняттям "твір мистецтва". Скульптура за традицією вважається видом образотворчого мистецтва. Але ступінь подібності скульптурного зображення оригіналу може варіюватися в дуже широких межах. І в якийсь момент скульптурне зображення, все більше віддаляється від оригіналу, перестає бути твором мистецтва і стає "металевої начинням"? На це питання так само важко відповісти, як на питання про те, де проходить межа між будинком і його руїнами, між конем з хвостом і конем без хвоста і т.п. До слова сказати, модерністи взагалі переконані, що скульптура - це об'єкт виразної форми і вона зовсім не зобов'язана бути зображенням.

Звернення з неточними поняттями вимагає, таким чином, відомої обережності. Чи не краще тоді взагалі відмовитися від них?

Німецький філософ Е. Гуссерль був схильний вимагати від знання такого крайнього строгості і точності, яка не зустрічається навіть в математиці. Біографи Гуссерля з іронією згадують у зв'язку з цим випадок, що стався з ним в дитинстві. Йому був подарований складаний ножик, і, вирішивши зробити лезо гранично гострим, він точив його до тих пір, поки від леза нічого не залишилося.
Більш точні поняття в багатьох ситуаціях краще неточних. Цілком виправдано звичайне прагнення до уточнення використовуваних понять. Але воно повинно, звичайно, мати свої межі. Навіть в мові науки значна частина понять неточна. І це пов'язано не з суб'єктивними і випадковими помилками окремих вчених, а з самою природою наукового пізнання. У природній мові неточних понять переважна більшість; це говорить, крім усього іншого, про його гнучкості і прихованої силі. Той, хто вимагає від усіх понять граничної точності, ризикує взагалі залишитися без мови. "Позбавте слова будь-якої двозначності, будь-якої невизначеності, - писав французький естетик Ж. Жубер, - перетворите їх ... в однозначні цифри - з промови піде гра, а разом з нею - красномовство і поезія: все, що є рухомого і мінливого в уподобаннях душі, не зможе знайти свого вираження. Але що я кажу: позбавите ... Скажу більше. Позбавте слова всякої неточності - і ви позбудетеся навіть аксіом ".
Довгий час і логіки, і математики не звертали уваги на труднощі, пов'язані з розмитими поняттями і відповідними їм множинами. Питання ставилося так: поняття повинні бути точними, а все розпливчасте негідно серйозного інтересу. В останні десятиліття ця надмірно сувора установка втратила, однак, привабливість. Побудовано логічні теорії, спеціально враховують своєрідність міркувань з неточними поняттями.
Активно розвивається математична теорія так званих розмитих множин, нечітко окреслених сукупностей об'єктів.
Аналіз проблем неточності - це крок на шляху зближення логіки з практикою звичайного мислення. І можна припускати, що він принесе ще багато цікавих результати.

Парадокси індуктивної логіки

Ні, мабуть, такого розділу логіки, в якому не було б своїх власних парадоксів.
У індуктивної логіці є свої парадокси, з якими активно, але поки без особливого успіху борються вже майже півстоліття. Особливо цікавий парадокс підтвердження, відкритий американським філософом К.Гемпелем. Природно вважати, що загальні положення, зокрема наукові закони, підтверджуються своїми позитивними прикладами. Якщо розглядається, скажімо, вислів "Все А є В", то позитивними його прикладами будуть об'єкти, що володіють властивостями А і В. Зокрема, підтверджують приклади для висловлювання "Усі ворони чорні" - це об'єкти, які є і воронами, і чорними. Дане висловлювання рівносильно, однак, висловлення "Всі предмети, які не є чорними, що не ворони", і підтвердження останнього повинно бути також підтвердженням першого. Але "Все не чорнило не ворона" підтверджується кожним бува, не чорного предмета, який не є вороною. Виходить, таким чином, що спостереження "Корова біла", "Черевики коричневі" і т.п. підтверджують висловлювання "Усі ворони чорні".

З невинних, здавалося б, посилок випливає несподіваний парадоксальний результат.

У логіці норм занепокоєння викликає цілий ряд її законів. Коли вони формулюються в змістовних термінах, невідповідність їх традиційним уявленням про належному і забороненому стає очевидним. Наприклад, один із законів говорить, що з розпорядження "Надішліть листа!" випливає розпорядження "Надішліть листа або спаліть його!".
Інший закон стверджує, що, якщо людина порушила одну зі своїх обов'язків, він отримує право робити все, що завгодно. З такого роду "законами повинно бути" наша логічна інтуїція ніяк не хоче миритися.
У логіці знання посилено обговорюється парадокс логічного всезнання. Він стверджує, що людина знає все логічні наслідки, що випливають з прийнятих ним положень. Наприклад, якщо людині відомі п'ять постулатів геометрії Евкліда, то, значить, він знає і всю цю геометрію, оскільки вона випливає з них. Але це не так. Людина може погоджуватися з постулатами і разом з тим не вміти довести теорему Піфагора і тому сумніватися, що вона взагалі вірна.

§ 6. Що таке логічний парадокс

Ніякого вичерпного переліку логічних парадоксів не існує, та він і неможливий.
Розглянуті парадокси - це тільки частина з усіх виявлених до теперішнього часу. Цілком ймовірно, що в майбутньому відкриють і багато інших парадокси, і навіть абсолютно нові їх типи. Саме поняття парадоксу не є настільки певним, щоб вдалося скласти список хоча б уже відомих парадоксів.
"Теоретико-множинні парадокси є дуже серйозною проблемою, не для математики, однак, а скоріше для логіки і теорії пізнання", - пише австрійський математик і логік К.Гедель. "Логіка несуперечлива. Не існує ніяких логічних парадоксів ", - стверджує математик Д.Бочвар. Такого роду розбіжності іноді істотні, іноді словесні. Справа в чому в тому, що саме розуміється під логічним парадоксом.

Своєрідність логічних парадоксів

Необхідною ознакою логічних парадоксів вважається логічний словник.
Парадокси, що відносяться до логічних, повинні бути сформульовані в логічних термінах. Однак в логіці немає чітких критеріїв розподілу термінів на логічні і нелогічні. Логіка, що займається правильністю міркувань, прагне звести поняття, від яких залежить правильність практично застосовуваних висновків, до мінімуму. Але цей мінімум не визначений однозначно. Крім того, в логічних термінах можна сформулювати і нелогічні твердження. Чи використовує конкретний парадокс тільки чисто логічні посилки, далеко не завжди вдається визначити однозначно.
Логічні парадокси не відокремлюються жорстко від всіх інших парадоксів, подібно до того як останні не відмежовуються ясно від усього непарадоксального і узгоджується з панівними уявленнями. На перших порах вивчення логічних парадоксів здавалося, що їх можна виділити по порушенню деякого, ще не дослідженого положення або правила логіки. Особливо активно претендував на роль такого правила введений Б. Рассела принцип порочного кола. Цей принцип стверджує, що сукупність об'єктів не може містити членів, визначених тільки за допомогою цієї ж сукупності.
Все парадокси мають одну загальну властивість - самопріменімості, або циркулярний. У кожному з них об'єкт, про який йде мова, характеризується за допомогою деякої сукупності об'єктів, до якої він сам належить. Якщо ми виділяємо, наприклад, самого хитрого людини, ми робимо це за допомогою сукупності людей, до якої відноситься і дана людина. І якщо ми говоримо: "Це висловлення помилкове", ми характеризуємо цікавить нас вислів шляхом посилання на включає його сукупність всіх неправдивих висловлювань.

У всіх парадокси має місце самопріменімості понять, а значить, є як би рух по колу, що приводить врешті-решт до вихідного пункту. Прагнучи охарактеризувати цікавий для нас об'єкт, ми звертаємося до тієї сукупності об'єктів, яка включає його. Однак виявляється, що сама вона для своєї визначеності потребує даному об'єкті і не може бути ясним чином зрозуміла без нього. У цьому колі, можливо, і криється джерело парадоксів.
Ситуація ускладнюється, однак, тим, що таке коло є в багатьох абсолютно непарадоксальних міркуваннях. Циркулярним є безліч самих звичайних, нешкідливих і разом з тим зручних способів вираження. Такі приклади, як "найбільший з усіх міст", "найменше з усіх натуральних чисел", "один з електронів атома заліза" і т.п., показують, що далеко не всякий випадок самопріменімості веде до протиріччя і що вона важлива не тільки в звичайній мові, але і в мові науки.
Проста посилання на використання самопріменяемих понять недостатня, таким чином, для дискредитації парадоксів. Необхідний ще якийсь додатковий критерій, що відокремлює самопріменімості, що веде до парадоксу, від всіх інших її випадків.
Було багато пропозицій з цього приводу, але вдалого уточнення циркулярної так і не було знайдено. Неможливим виявилося охарактеризувати циркулярний таким чином, щоб кожне циркулярний міркування вело до парадоксу, а кожен парадокс був підсумком деякого циркулярного міркування.
Спроба знайти якийсь специфічний принцип логіки, порушення якого було б відмінною рисою всіх логічних парадоксів, ні до чого певного не привела.
Безсумнівно корисною була б якась класифікація парадоксів, підрозділяються їх на типи і види, групує одні парадокси і що протиставляє їх іншим. Однак і в цій справі нічого сталого не було досягнуто.

Англійська логік Ф.Рамсей, який помер в 1930 році, коли йому ще не виповнилося й двадцяти семи років, запропонував розділити всі парадокси на синтаксичні та семантичні. До перших належить, наприклад, парадокс Рассела, до других - парадокси "брехуна", Греллінга і ін.
На думку Рамсея, парадокси першої групи містять тільки поняття, що належать логіці чи математики. Другі включають такі поняття, як "істина", "визначність", "іменування", "мова", які не є строго математичними, а стосуються радше до лінгвістики або навіть теорії пізнання. Семантичні парадокси зобов'язані, як здається, своїм виникненням не якийсь помилку в логіці, а смутності або двозначності деяких нелогічних понять, тому поставлені ними проблеми стосуються мови і повинні вирішуватися лінгвістикою.

Рамсею здавалося, що математикам і логіка нема чого цікавитися семантичними парадоксами. Надалі виявилося, однак, що деякі з найбільш значних результатів сучасної логіки було напрацьовано саме в зв'язку з більш глибоким вивченням саме цих нелогічних парадоксів.
Запропоноване Рамсея розподіл парадоксів широко використовувалося на перших порах і зберігає деяке значення і тепер. Разом з тим стає все ясніше, що цей поділ досить-таки розпливчасто і спирається переважно на приклади, а не на поглиблений порівняльний аналіз двох груп парадоксів. Семантичні поняття зараз отримали точні визначення, і важко не визнати, що ці поняття дійсно відносяться до логіки. З розвитком семантики, яка визначає свої основні поняття в термінах теорії множин, відмінність, проведене Рамсея, все більше стирається.

Парадокси і сучасна логіка

Які висновки для логіки випливають з су ществованія парадоксів?
Перш за все наявність великого числа парадоксів говорить про силу логіки як науки, а не про її слабкості, як це може здатися.

Виявлення парадоксів не випадково збіглося з періодом найбільш інтенсивного розвитку сучасної логіки і найбільших її успіхів.
Перші парадокси були відкриті ще до виникнення логіки як особливої ​​науки. Багато парадокси були виявлені в середні століття. Пізніше вони опинилися, однак, забутими і були знову відкриті вже в нашому столітті.
Середньовічним логіка не були відомі поняття "безліч" і "елемент безлічі", введені в науку тільки зо другій половині XIX ст. Але чуття на парадокси було вигострить в середні століття настільки, що вже в той давній час висловлювалися певні побоювання з приводу самопріменімості понять. Найпростішим їх прикладом є поняття "бути власним елементом", яке фігурує в багатьох нинішніх парадокси.
Однак такі побоювання, як і взагалі всі застереження, що стосуються парадоксів, які не були до нашого століття в належній мірі систематичними і певними. Вони не вели до будь-яких чітким пропозицій про перегляд звичних способів мислення і вираження.
Тільки сучасна логіка витягла із забуття саму проблему парадоксів, відкрила або перевідкрив більшість конкретних логічних парадоксів. Вона показала далі, що способи мислення, традиційно досліджувались логікою, абсолютно недостатні для усунення парадоксів, і вказала принципово нові прийоми поводження з ними.
Парадокси ставлять важливе питання: у чому, власне, підводять нас деякі звичайні методи освіти понять і методи міркувань? Адже вони представлялися абсолютно природними і переконливими, поки не виявилося, що вони парадоксальні.

Парадоксами підривається віра в те, що звичні прийоми теоретичного мислення самі по собі і без всякого особливого контролю за ними забезпечують надійне просування до істини.
Вимагаючи радикальних змін в надмірно довірливому підході до теоретизування, парадокси є різку критику логіки в її наївній, інтуїтивної формі. Вони грають роль фактора, який контролює і ставить обмеження на шляху конструювання дедуктивних систем логіки. І цю їхню роль можна порівняти з роллю експерименту, котрий перевіряє правильність гіпотез в таких науках, як фізика і хімія, і що змушує вносити в ці гіпотези зміни.
Парадокс в теорії говорить про несумісність припущень, що лежать в її основі. Він виступає як своєчасно виявлений симптом хвороби, без якого її можна було б і прогледіти.
Зрозуміло, хвороба проявляється різноманітне, і її врешті-решт вдається розкрити і без таких гострих симптомів, як парадокси. Скажімо, підстави теорії множин були б проаналізовані і уточнені, якби навіть ніякі парадокси в цій області не було виявлено. Але не було б тієї різкості і невідкладності, з якою поставили проблему перегляду теорії множин виявлені в ній парадокси.

Парадоксів присвячена велика література, запропоновано велике число їх пояснень. Але жодне з цих пояснень не є загальновизнаним, і скільки-небудь повної згоди в питанні про походження парадоксів і способи позбавлення від них немає.
"За останні шістдесят років сотні книг і статей були присвячені цілі дозволу парадоксів, однак результати разюче бідні в порівнянні з витраченими зусиллями", - пише А.Френкель. "Схоже на те, - підсумовує свій аналіз парадоксів Х.Каррі, - що потрібна повна реформа логіки, і математична логіка може стати головним інструментом для проведення цієї реформи".

план:

I. Вступ

II. апорії Зенона

Ахілл і черепаха

дихотомія

III . парадокс брехуна

IV . парадокс Рассела

I . Вступ.

Парадокс - це два протилежних, несумісних твердження, для кожного з яких є здаються переконливими аргументи. Найбільш різка форма парадоксу - антиномія,міркування, що доводить еквівалентність двох тверджень, одне з яких є запереченням іншого.

Особливою популярністю користуються парадокси в найсуворіших і точних науках - математиці і логіці. І це не випадково.

Логіка - абстрактна наука. У ній немає експериментів, немає навіть фактів у звичайному розумінні цього слова. Будуючи свої Логіка виходить в кінцевому рахунку з аналізу реального мислення. Але результати цього аналізу носять синтетичний характер. Вони не є констатациями будь-яких окремих процесів або подій, які повинна була б пояснити теорія. Такий аналіз можна, очевидно, назвати спостереженням: спостерігається завжди конкретне явище.

Конструюючи нову теорію, учений звичайно відштовхується від фактів, від того, що можна спостерігати в досвіді. Як би не була вільна його творча фантазія, вона повинна вважатися з однією неодмінною обставиною: теорія має сенс тільки в тому випадку, коли вона узгоджується з відносяться до неї фактами. Теорія, що розходиться з фактами і спостереженнями, є надуманою і цінності не має.

Але якщо в логіці немає експериментів, немає фактів і немає самого спостереження, то чим стримується логічна фантазія? Які якщо не факти, то чинники беруться до уваги при створенні нових логічних теорій?

Розбіжність логічної теорії з практикою дійсного мислення нерідко виявляється у формі більш-менш гострого логічного парадоксу, а іноді навіть у формі логічної антиномії, що говорить про внутрішню суперечливість теорії. Цим якраз пояснюється те значення, яке надається парадоксів в логіці, і то велика увага, яким вони в ній користуються.

Один з перших і, можливо, кращих парадоксів був записаний Евбулід, грецьким поетом і філософом, що жив на Криті в VI столітті до н. е. У цьому парадоксі критянин Епіменід стверджує, що всі крітяни - брехуни. Якщо він говорить правду, то він бреше. Якщо він бреше, то він каже правду. Так хто ж Епіменід - брехун чи ні?

Інший грецький філософ Зенон Елейський склав серію парадоксів про нескінченність - так звані "апорії" Зенона.

Те, що сказав Платон, є брехня.
Сократ

Сократ говорить тільки правду.
Платон

II. Апорії Зенона.

Великий внесок у розвиток теорії простору і часу, в дослідження проблем руху внесли Елейська школа (жителі міста Елея в південній Італії). Філософія елеатів спиралася на висунуту Парменід (учителем Зенона) ідею про неможливість небуття. Будь-яка думка, стверджував Парменід, завжди є думка про існуючий. Тому неіснуючого немає. Немає і руху, так як світовий простір заповнено всі цілком, а значить, світ єдиний, в ньому немає частин. Будь-яке безліч є обман почуттів. З цього випливає висновок про неможливість виникнення, знищення. За Парменід ніщо не виникає і не знищується. Цей філософ був першим, хто почав доводити висунуті мислителями положення

Елеати доводили свої припущення запереченням твердження, зворотного припущенням. Зенон пішов далі свого вчителя, що дало підставу Арістотелем бачити в Зенона родоначальника "діалектики" - цим терміном тоді називалося мистецтво досягати істини в суперечці шляхом з'ясування протиріч у судженні супротивника і шляхом знищення цих протиріч.

Ахілл і черепаха.Почнемо розгляд зеноновських труднощів з апорії про рух " Ахілл і черепаха ". Ахілл - герой і, як би ми зараз сказали, видатний спортсмен. Черепаха, як відомо, одне з найбільш повільних тварин. Проте, Зенон стверджував, що Ахілл програє черепасі змагання в бігу. Приймемо наступні умови. Нехай Ахілла відокремлює від фінішу відстань 1, а черепаху - ½. Рухатися Ахілл і черепаха починають одночасно. Нехай для визначеності Ахілл біжить в 2 рази швидше черепахи (тобто дуже повільно йде). Тоді, пробігши відстань ½, Ахілл виявить, що черепаха встигла за той же час подолати відрізок ¼ і як і раніше знаходиться попереду героя. Далі картина повторюється: пробігши четверту частину шляху, Ахілл побачить черепаху на одній восьмій частині шляху попереду себе і т. Д. Отже, всякий раз, коли Ахілл долає відділяє його від черепахи відстань, остання встигає поповзти від нього і як і раніше залишається попереду. Таким чином, Ахілл ніколи не наздожене черепаху. Почавши рух, Ахілл ніколи не зможе його завершити.

Знаючі математичний аналіз зазвичай вказують, що ряд сходиться до 1. Тому, мовляв, Ахілл подолає весь шлях за кінцевий проміжок часу і, безумовно, обжене черепаху. Але ось що пишуть з цього приводу Д. Гільберт і П. Бернайс:

"Зазвичай цей парадокс намагаються обійти міркуванням про те, що сума нескінченного числа цих тимчасових інтервалів все-таки сходиться і, таким чином, дає кінцевий проміжок часу. Однак це міркування абсолютно не впливає на один істотно парадоксальний момент, а саме парадокс, який полягає в тому, що якась нескінченна послідовність наступних один за одним подій, послідовність, завершаемості якої ми не можемо собі навіть уявити (не тільки фізично, але хоча б в принципі) , насправді все-таки повинна завершитися ".

Принципова незавершаемость даної послідовності полягає в тому, що в ній відсутня останній елемент. Всякий раз, вказавши черговий член послідовності, ми можемо вказати і наступний за ним. Цікаве зауваження, також вказує на парадоксальність ситуації, зустрічаємо у Г. Вейля:

"Уявімо собі обчислювальну машину, яка виконувала б першу операцію за ½ хвилини, другу - за ¼ хвилини, третю - за ⅛ хвилини і т. Д. Така машина могла б до кінця першої хвилини" перерахувати "весь натуральний ряд (написати, наприклад, рахункове число одиниць). Ясно, що робота над конструкцією такої машини приречена на невдачу. Так чому ж тіло, що вийшло з точки А, досягає кінця відрізка В, "відрахувавши" рахункове безліч точок А 1, А 2, ..., А n, ...? "

дихотомія . Міркування дуже просте. Для того, щоб пройти весь шлях, рух тіло спочатку має пройти половину шляху, але щоб подолати цю половину, треба пройти половину половини і т. Д. До нескінченності. Іншими словами, при тих же умовах, що і в попередньому випадку, ми будемо мати справу з перевернутим поруч точок: (½) n, ..., (½) 3, (½) 2, (½) 1. Якщо в разі апорії Ахілл і черепахавідповідний ряд не мав останньої точки, то в дихотоміїцей ряд не має першої точки. Отже, робить висновок Зенон, рух не може розпочатися. А оскільки рух не тільки не може закінчитися, але і не може розпочатися, руху немає. Існує легенда, про яку згадує А. С. Пушкін у вірші «Рух»:

І рухи немає, сказав мудрець брадатий.

Інший змовчав і став перед ним ходити.

Сильніше б не міг заперечити;

Хвалили все відповідь хитромудрий.

Але, панове, кумедний випадок цей

Інший приклад на пам'ять мені призводить:

Адже кожен день перед нами сонце ходить,

Проте ж прав впертий Галілей.

Дійсно, згідно з легендою, один з філософів так і "заперечив" Зенону. Зенон велів бити його палицями: адже він не збирався заперечувати чуттєве сприйняття руху. Він говорив про його негаданій, Про те, що суворе роздуми про рух призводить до нерозв'язних протиріч. Тому, якщо ми хочемо позбутися апорії в надії, що це взагалі можливо (а Зенон якраз вважав, що неможливо), то ми повинні вдаватися до теоретичних аргументів, а не посилатися на чуттєву очевидність. Розглянемо одне цікаве теоретичне заперечення, яке було висунуто проти апорії Ахілл і черепаха .

"Уявімо собі, що по дорозі в одному напрямку рухаються прудконогий Ахілл і дві черепахи, з яких Черепаха-1 трохи ближче до Ахілла, ніж Черепаха-2. Щоб показати, що Ахілл не зможе перегнати Черепаху-1, міркуємо наступним чином. За той час, як Ахілл пробіжить розділяє їх спочатку відстань, Черепаха-1 встигне втекти кілька вперед, поки Ахілл буде пробігати цей новий відрізок, вона знову-таки просунеться далі, і таке становище буде нескінченно повторюватися. Ахілл буде все ближче і ближче наближатися до Черепаху-1, але ніколи не зможе її перегнати. Такий висновок, звичайно ж, суперечить нашим досвідом, але логічного протиріччя у нас поки немає.

Нехай, проте, Ахілл візьметься наздоганяти більш далеку Черепаху-2, не звертаючи ніякої уваги на ближню. Той же спосіб міркування дозволяє стверджувати, що Ахілл зуміє впритул наблизитися до Черепаху-2, але це означає, що він пережене Черепаху-1. Тепер ми приходимо вже до логічного протиріччя ".

Тут важко щось заперечити, якщо залишатися в полоні образних уявлень. Необхідно виявити формальну суть справи, що дозволить перевести дискусію в русло строгих міркувань. Першу апорію можна звести до наступних трьох тверджень:

2. Будь-який відрізок можна представити у вигляді нескінченної послідовності відбувають за довжиною відрізків ....

3. Оскільки нескінченна послідовність а i (1 ≤ i< ω) не имеет последней точки, невозможно завершить движение, побывав в каждой точке этой последовательности.

Проілюструвати отриманий висновок можна по-різному. Найбільш відома ілюстрація - "найшвидше ніколи не зможе наздогнати саме повільне" - була розглянута вище. Але можна запропонувати більш радикальну картину, в якій обливалися потом Ахілл (вийшов з пункту А) безуспішно намагається наздогнати черепаху, спокійнісінько гріються на Сонце (в пункті В) і навіть не мислячу тікати. Суть апорії від цього не змінюється. Ілюстрацією тоді стане куди більш гостре висловлювання - "найшвидше ніколи не зможе наздогнати нерухоме". Якщо перша ілюстрація парадоксальна, то друга - тим більше.

При цьому ніде не стверджується, що спадні послідовності відрізків ai для і ai "для повинні бути однакові. Навпаки, якщо відрізки і нерівні по довжині між собою, їх розбиття на нескінченні послідовності відбувають відрізків виявляться різними. У наведеному міркуванні Ахілла відокремлює від черепах 1 і 2 різні відстані. Тому ми маємо два різних відрізка і з загальною початковою точкою А. Нерівні відрізки і породжують різні нескінченні послідовності точок, і неприпустимо використовувати одну з них замість іншої. тим часом саме ця "незаконна" операція застосовується в аргументах про двох черепахам.

Якщо не змішувати ілюстрації і істота апорії, то можна стверджувати, що апорії Ахіллі дихотоміясиметричні по відношенню один до одного. Справді, дихотоміятакож водиться до наступних трьох тверджень:

1. Який би не був відрізок, що рухається від А до В тіло повинно побувати у всіх точках відрізка.

2. Будь-який відрізок можна представити у вигляді нескінченної послідовності відбувають за довжиною відрізків ... ....

3. Оскільки нескінченна послідовність b i не має першої точки, неможливо побувати в кожній з точок цієї послідовності.

Таким чином, Апорія Ахіллгрунтується на тезі про неможливість завершити рух через необхідність відвідати послідовно кожну з точок нескінченного ряду, впорядкованого за типом ω (т. е. за типом порядку на натуральних числах), який не має останнього елемента. В свою чергу дихотоміястверджує неможливість початку руху через наявність нескінченного ряду точок, упорядкованих за типом ω * (так впорядковані цілі від'ємні числа), який не має першого елемента.

Проаналізувавши більш ретельно дві наведені апорії, ми виявимо, що обидві вони спираються на припущення про безперервностіпростору і часу в сенсі їх нескінченну подільність. Таке припущення безперервності відрізняється від сучасного, але мало місце в давнину. Без допущення тези про те, що будь-який просторовий або часовий інтервал можна розділити на менші по довжині інтервали, обидві апорії руйнуються. Зенон прекрасно це розумів. Тому він наводить аргумент, що виходить із прийняття допущення про дискретностіпростору і часу, т. е. допущення про існування елементарних, далі неподільних, довжин і часів.

стадій . Отже, припустимо існування неподільних відрізків простору і інтервалів часу. Розглянемо наступну схему, на якій кожна клітина таблиці представляє неподільний блок простору. Є три ряди об'єктів А, В і С, що займають по три блоки простору, причому перший ряд залишається нерухомим, а ряди В і С починають одночаснерух в напрямку, зазначеному стрілками:

кінцеве положення

Ряд С, стверджує Зенон, за неподільним момент часу пройшов одне неподільне місце нерухомого ряду А (місце А1). Однак за той же самий час ряд З пройшов два місця ряду В (блоки В2 і В3). Згідно Зенону, це суперечливо, т. К. Мав зустрітися момент проходження блоку В2, зображений на наступною схемою:

У 3	В 2	В 1
З 1	С2	С3

проміжне становище

Але де в цей проміжне положення знаходився ряд А? Для нього просто не залишається відповідного місця. Залишається або визнати, що руху немає, або погодитися з тим, що ряд А ділимо нема на три, а на більшу кількість місць. Але в останньому випадку ми знову повертаємося до допущенню про нескінченну подільність простору і часу, знову потрапляючи в глухий кут апорії дихотоміяі Ахілл. При будь-якому результаті рух виявляється неможливим.

Основна думка апорії Зенона елейскої полягає в тому, що дискретність, множинність і рух характеризують лише чуттєву картину світу, але вона свідомо недостовірна. Справжня картина світу осягається тільки мисленням і теоретичним дослідженням.

Якщо не вникати в глибину апорії, можна ставитися до них зверхньо і дивуватися, як це Зенон не додумався до очевидних речей. Але про Зенона не перестають сперечатися, а історія науки показує, що якщо про щось довго сперечаються, то це, як правило, не дарма. Безсумнівно, роздуми над апорії допомогли створити математичний аналіз, відіграли певну роль у фізичній революції ХХ століття і, цілком можливо, що в фізиці XXI століття їх значення буде ще більш істотним.

III . Парадокс брехуна.

Уже майже дві з половиною тисячі років однією з логічних загадок, мучать людей, які намагаються гармонізувати підстави свого мислення, є «парадокс брехуна». Незважаючи на те, що в даний час відомі десятки семантичних, логічних і математичних парадоксів і апорії, «парадокс брехуна» займає особливе місце:

По-перше, він є найбільш доступним з безлічі парадоксів і, в силу цього, найбільш відомим з них.

По-друге, він первинний по відношенню до багатьох інших парадоксів і, отже, останні не підлягають ремонту, поки не вирішено «парадокс брехуна».

Найпростішим варіантом парадоксу брехуна є вислів "Я брешу". Якщо висловлення помилкове, то говорить сказав правду, і значить, сказане ним не є брехнею. Якщо ж висловлювання не є хибним, а говорить стверджує, що воно помилкове, то це його висловлювання брехливо. Виявляється, таким чином, що, якщо опонент бреше, він говорить правду, і навпаки.

«Парадокс брехуна» має і ряд інших схожих один на одного формулювань. Нижче наведені лише деякі з них:

- «Все крітяни - брехуни» (тезу, висловлену критянином Епіменід);

- «Я висловлюю зараз помилкове пропозиція»;

- «Все, що X стверджує в проміжок часу Р - брехня»;

- «Це твердження помилкове»;

- «Це твердження не належить до класу справжніх висловлювань".

Хоча наведений список далеко не повний, він дає певне уявлення про суть проблеми. Логічна проблема полягає в тому, що припущення про хибність наведених висловлювань веде до їх істинності і навпаки.

Стародавніх греків дуже займало, яким чином, здавалося б, цілком осмислене твердження не може бути ні істинним, ні хибним без того, щоб при цьому не виникло протиріччя. Філософ Хрізіпп написав шість трактатів про парадокс брехуна, жоден з яких не зберігся до нашого часу. Ходить легенда, що якийсь Філет, зневірившись вирішити цей парадокс, наклав на себе руки. Кажуть також, що один з відомих давньогрецьких логіків, Діодор Кронос, уже на схилі років дав обітницю не приймати їжу до тих пір, поки не знайде рішення «брехуна», і незабаром помер, так нічого і не добившись.

У середні століття цей парадокс був віднесений до так званим нерозв'язним пропозицій і зробився об'єктом систематичного аналізу. Тепер «Брехун» - цей типовий колишній софізм - нерідко іменується королем логічних парадоксів. Йому присвячена велика наукова література. І тим не менше, як і в разі багатьох інших парадоксів, залишається не зовсім зрозумілим, які саме проблеми ховаються за ним і як слід позбавлятися від нього.

Розглянемо перше формулювання: приписуване Епіменід твердження логічно суперечливо, якщо припустити, що брехуни завжди брешуть, а нелжеци завжди говорять правду. При такому припущенні твердження "Все крітяни брехуни" не може бути істинним, бо тоді Епіменід був би брехуном і, отже, те, що він стверджує, було б неправдою. Але це твердження не може бути і помилковим, бо це означало б, що крітяни говорять тільки правду і, отже, те, що сказав Епіменід, також істинно.

Історія логіки знає безліч спроб і підходів до вирішення даного феномена. Одна з перших - спроба вистави "парадокса брехуна" як софізму. Суть такого уявлення у тому, що в реальному житті жоден брехун не говорить тільки брехня. Отже, парадокс - софізм, заснований на помилковою посилці.

Але таке пояснення прийнятно лише для першої (ранньої) формулювання парадоксу, але не "знімає" парадокс в його більш точних сучасних формулюваннях. Існує кілька рішень парадоксу брехуна в його сучасному формулюванні. Яке з рішень правильне? Всі правильні. Як таке може бути? Тому, що парадокс - це міркування, що веде до протиріччя. Позбутися від протиріччя можна різними способами. Всі вони зводяться до заміни деякого сумнівного шматочка міркувань на більш правильний. В результаті виходить міркування, аналогічне раніше, але без видимих ​​протиріч. Крім того, різні рішення наводяться через різні види логік.

Замінювати можна різні шматочки. В кожному випадку вийдуть різні рішення, а яке з них віддати перевагу - справа смаку. Одному самим сумнівним видається один шматочок, іншому - інший. Іноді найперший сумнівний шматочок помітний і очевидний.

Мабуть, найпоширенішим варіантом вирішення парадоксу брехуна є поділ мови і метамови:

Зараз «Брехун» зазвичай вважається характерним прикладом тих труднощів, до яких веде змішання двох мов: мови, на якому говориться про що лежить поза його дійсності, і мови, якою розмовляють про найпершому мовою.

У повсякденній мові немає відмінності між цими рівнями: і про дійсність, і про мову ми говоримо однією і тією ж мовою. Наприклад, людина, рідною мовою якого є російська мова, не бачить ніякої особливої ​​різниці між твердженнями: «Скло прозоро» і «Вірно, що скло прозоро», хоча одне з них говорить про скло, а інше - про висловлювання щодо скла.

Якби у когось виникла думка про необхідність говорити про світ на одній мові, а про властивості цієї мови - на іншому, він міг би скористатися двома різними існуючими мовами, допустимо російською та англійською. Замість того, щоб просто сказати: «Корова - це іменник», сказав би «Корова isanoun», а замість: «Твердження« Скло не прозоро »- помилково» вимовив би «Theassertion« Скло не прозоро »isfalse». При такому використанні двох різних мов сказане про світ ясно відрізнялося б від сказаного про мову, за допомогою якого говорять про мир. Справді, перші висловлювання ставилися б до російської мови, в той час як другі - до англійської.

Якби далі нашому знавцю мов захотілося висловитися з приводу якихось обставин, що стосуються вже англійської мови, він міг би скористатися ще однією мовою. Припустимо німецьким. Для розмови про це останньому можна було б вдатися, покладемо, до іспанської мови і т.д.

Виходить, таким чином, своєрідна драбинка, або ієрархія, мов, кожен з яких використовується для цілком певної мети: на першому кажуть про предметний світ, на другому - про це першому мовою, на третьому - про другу мову і т.д. Таке розмежування мов по області їх застосування - рідкісне явище в звичайному житті. Але в науках, які опікуються проблемами, подібно логіці, мовами, воно іноді виявляється досить корисним. Мова, на якому міркують про світ, зазвичай називають предметною мовою.Мова, що використовується для опису предметної мови, іменують метамовою.

Ясно, що, якщо мова і метамова розмежовуються зазначеним чином, твердження «Я брешу» уже не може бути сформульовано. Воно говорить про хибність того, що сказано на російській мові, і, отже, відноситься до метамови і має бути висловлено англійською мовою. Саме воно має звучати так: «EverythingIspeakinRussianisfalse» ( «Все сказане мною російською помилково»); в цьому англійському затвердження нічого не говориться про нього самого, і ніякого парадоксу не виникає.

Розрізнення мови і метамови дозволяє усунути парадокс «брехуна». Тим самим з'являється можливість коректно, без протиріччя визначити класичне поняття істини: істинним є висловлювання, відповідне описуваної їм дійсності.

Поняття істини, як і всі інші семантичні поняття, має відносний характер: воно завжди може бути віднесено до певної мови.

Як показав польський логік АТарскій, класичне визначення істини повинне формулюватися в мові більш широкому, ніж ту мову, для якого воно призначене. Іншими словами, якщо ми хочемо вказати, що означає зворот «висловлювання, істинне в даній мові», потрібно, крім виразів цієї мови, користуватися також висловами, яких в ньому немає.

Тарський ввів поняття семантично замкнутого мови.Така мова включає, крім своїх виразів, їх імена, а також, що важливо підкреслити, висловлювання про істинність сформульованих в ньому пропозицій. Межі між мовою і метамовою в семантично замкнутому мові не існує. Засоби його настільки багаті, що дозволяють не тільки щось стверджувати про позамовною реальності, а й оцінювати істинність таких тверджень. Цих коштів достатньо, зокрема, для того, щоб відтворити в мові антиномію «Брехун». Семантично замкнутий мова виявляється, таким чином, внутрішньо суперечливим. Кожен природна мова є, очевидно, семантично замкнутим.

Єдино прийнятний шлях для усунення антиномії, а значить, і внутрішньої суперечливості, згідно Тарського, - відмова від вживання семантично замкнутого мови. Цей шлях прийнятний, звичайно, тільки в разі штучних, формалізованих мов, що допускають ясне підрозділ на мову і метамова. У природних же мовах з їх неясною структурою і можливістю говорити про все на одному і тому ж мовою такий підхід не дуже реальний. Ставити питання про внутрішню несуперечності цих мов не має сенсу. Їх багаті виражальні можливості мають і свою зворотну сторону - парадокси.

Існують і інші рішення парадоксу брехуна, наприклад, рішення Оккама і рішення Буридана:

Отже, існують висловлювання, говорять про свою власну істинність або хибність. Ідея, що такого роду висловлювання не є осмисленими, дуже стара. Її відстоював ще давньогрецький логік Хрісіпп.В середні століття англійський філософ і логік У.Оккам заявляв, що твердження «Будь-яке висловлення помилкове» безглуздо, оскільки воно говорить в числі іншого і про свою власну хибність. З цього твердження прямо випливає протиріччя. Якщо будь-яке висловлення помилкове, то це відноситься і до самого даному утвердженню; але те, що воно помилкове, означає, що не всяке висловлювання є хибним. Аналогічно йде справа і з твердженням «Усяке висловлення правдиве». Воно також має бути віднесено до безглуздих і також веде до протиріччя: якщо кожен вислів істинно, то істинним є і заперечення самого цього висловлювання, тобто вислів, що не всяке висловлювання істинно.

Чому, однак, висловлення не може осмислено говорити про свою власну істинність або хибність? Вже сучасник Оккама, французький філософ XIV в. Ж. Буридан, не був згоден з його рішенням. З точки зору звичайних уявлень про безглуздість, вираження типу «Я брешу», «Усяке висловлення правдиве (хибне)» і т.п. цілком осмислені. Про що можна подумати, про те можна висловитися, - такий загальний принцип Буридана. Людина може думати про істинність твердження, яке він вимовляє, значить, він може і висловитися про це. Не всі твердження, що говорять про самих себе, відносяться до безглуздим. Наприклад, твердження «Ця пропозиція написано по-російськи» є істинним, а твердження «У цій пропозиції десять слів» помилково. І обидва вони зовсім осмислені. Якщо допускається, що твердження може говорити і про самого себе, то чому воно не здатне зі змістом говорити і про таку свою властивість, як істинність?

Сам Буридан вважав вислів «Я брешу" не безглуздим, а помилковим. Він обгрунтовував це так. Коли людина стверджує якусь пропозицію, він стверджує тим самим, що воно істинне. Якщо ж пропозиція говорить про себе, що вона сама є хибним, то воно являє собою лише скорочену формулювання більш складного вираження, стверджує одночасно і свою істинність, і свою хибність. Цей вислів суперечливо і, отже, помилково. Але воно не безглуздо.

Аргументація Буридана і зараз іноді вважається переконливою.

Є й інші напрямки критики того рішення парадоксу «Брехун», яке було в деталях розвинене Тарським. Чи справді в семантично замкнутих мовами - а такі ж все природні мови - немає ніякого протиотрути проти парадоксів цього типу?

Якби це було так, то поняття істини можна було б визначити строгим чином тільки в формалізованих мовах. Тільки в них вдається розмежувати предметний мову, на якому міркують про навколишній світ, і метамова, на якому говорять про цю мову. Ця ієрархія мов будується за зразком засвоєння іноземної мови за допомогою рідного. Вивчення такої ієрархії привело до багатьох цікавих висновків, і в певних випадках вона істотна. Але її немає в природній мові. Чи дискредитує це його? І якщо так, то в якій саме мірі? Адже в ньому поняття істини все-таки вживається, і зазвичай без всяких ускладнень. Чи є введення ієрархії єдиним способом виключення парадоксів, подібних «Брехунові?»

У 30-ті роки відповіді на ці питання представлялися безсумнівно ствердними. Однак зараз колишньої одностайності вже немає, хоча традиція усувати парадокси даного типу шляхом «розшаровування» мови залишається панівною.

Останнім часом все більше уваги привертають егоцентричні вираження.У них зустрічаються слова, подібні «я», «це», «тут», «тепер», і їх істинність залежить від того, коли, ким, де вони употребляются.В затвердження «Це висловлювання є хибним» зустрічається слово «це» . До якого саме об'єкту воно відноситься? «Брехун» може говорити про те, що слово «це» не відноситься до сенсу цього твердження. Але тоді до чого воно відноситься, що позначає? І чому цей сенс не може бути все-таки позначений словом «це»?

Не вдаючись в деталі, варто відзначити тільки, що в контексті аналізу егоцентричних виразів «Брехун» наповнюється зовсім іншим змістом, ніж раніше. Виявляється, він вже не застерігає від змішування мови і метамови, а вказує на ризики, пов'язані з неправильним вживанням слова «це» і подібних йому егоцентричних слів.

Проблеми, що зв'язували протягом століть з «Брехуном», радикально змінювалися в залежності від того, чи розглядалося він як приклад двозначності, або ж як вираз, зовні видається як зразок змішання мови і метамови, або ж, нарешті, як типовий приклад невірного вживання егоцентричних виразів. І немає впевненості в тому, що з цим парадоксом не опиняться пов'язаними в майбутньому й інші проблеми.

Відомий сучасний фінський логік і філософ Г. фон Врігт писав у своїй роботі, присвяченій «Брехунові», що даний парадокс ні в якому разі не повинен розумітися як локальне, ізольоване перешкоду, переборні одним винахідливим рухом думки. «Брехун» торкається багатьох найбільш важливі теми логіки і семантики. Це і визначення істини, і тлумачення суперечності і докази, і ціла серія важливих відмінностей: між пропозицією і виражається їм думкою, між вживанням вираження і його згадкою, між змістом імені і позначається їм об'єктом.

"Парадокс брехуна" (як це не дивно), вкрай близький за своєю логічною формою і характером логічної помилки багатьом іншим "парадоксів", які прийнято вважати цілком самостійними. До їх числа належить і знаменитий "парадокс Рассела".

III . парадокс Рассела

Самим знаменитим з відкритих вже в минулому столітті парадоксів є антиномія, виявлена ​​Б. Расселом і повідомлена їм в листі до Г. Фергі. Рассел відкрив свій парадокс, що відноситься до області логіки і математики, в 1902р. Цю ж антиномію обговорювали одночасно в Геттінгені німецькі математики 3. Цермело (1871- 1953) і Д. Гільберт. Ідея носилася в повітрі, і її опублікування справило враження бомби, що розірвалася. Цей парадокс викликав в математиці, на думку Гільберта, ефект повної катастрофи. Нависла загроза над найпростішими і важливими логічними методами, звичайнісінькими і корисними поняттями. Виявилося, що в теорії множин Кантора, яка із захопленням була прийнята більшістю математиків, є дивні протиріччя, від яких неможливо, або, по крайней мере, дуже важко, позбутися. Парадокс Рассела (точніше, Рассела - Цермело) особливо яскраво виявив ці протиріччя. Над його дозволом, так само, як і над вирішенням інших знайдених парадоксів канторовской теорії множин, працювали найвидатніші математики тих років.

Відразу ж стало очевидним, що ні в логіці, ні в математиці за всю довгу історію їх існування не було вироблено анічогісінько, що могло б послужити основою для усунення антиномії. Явно виявився необхідним відхід від звичних способів мислення. Але з якого місця і в якому напрямку? Наскільки радикальним повинен був стати відмова від усталених способів теоретизування? З подальшим дослідженням антиномії переконання в необхідності принципово нового підходу неухильно росло. Через півстоліття після її відкриття фахівці з підстав логіки і математики Л. Френкель і І.Бар-Хиллел вже без будь-яких застережень затверджували: «Ми вважаємо, що будь-які спроби вийти з положення за допомогою традиційних (тобто мали ходіння до XX століття) способів мислення , до сих пір незмінно провалювалися, свідомо недостатні для цієї мети ». Сучасний американський логік X. Каррі писав трохи пізніше про цей феномен: «У термінах логіки, відомої в XIX в., Положення просто не піддавалося поясненню, хоча, звичайно, в наш освічений вік можуть знайтися люди, які побачать (або подумають, що побачать ), в чому ж полягає помилка ».

Парадокс Рассела в первісної його формі пов'язаний з поняттям множини, або класу. Можна говорити про множини різних об'єктів, наприклад, про безліч всіх людей або про безліч натуральних чисел. Елементом першого безлічі буде всякий окрема людина, елементом другого - кожне натуральне число. Припустимо також самі безлічі розглядати як деякі об'єкти і говорити про множини множин. Можна ввести навіть такі поняття, як безліч всіх множин або безліч всіх понять. Щодо будь-якого довільно взятого безлічі видається осмисленим запитати, чи є воно своїм власним елементом чи ні. Безлічі, що не містять себе в якості елемента, назвемо звичайними. Наприклад, безліч всіх людей не є людиною, так само як безліч атомів - це не атом. Незвичайними будуть безлічі, що є власними елементами. Наприклад, безліч, що об'єднує всі множини, являє собою безліч і, отже, містить саме себе в якості елемента.

Розглянемо тепер безліч всіх звичайних множин. Оскільки воно безліч, про нього теж можна питати, звичайне воно чи незвичайне. Відповідь, проте, виявляється бентежить. Якщо воно звичайне, то, згідно зі своїм визначенням, має містити само себе в якості елемента, оскільки містить всі звичайні множини. Але це означає, що воно є незвичайним безліччю. Допущення, що наше безліч являє собою звичайне безліч, призводить, таким чином, до протиріччя. Значить, воно не може бути звичайним. З іншого боку, воно не може бути також незвичайним: незвичайне безліч містить само себе в якості елемента, а елементами нашого безлічі є тільки звичайні множини. У підсумку приходимо до висновку, що безліч всіх звичайних множин не може бути ні звичайним, ні незвичайним безліччю.

Отже, безліч всіх множин, які не є власними елементами, є свій елемент в тому і тільки тому випадку, коли воно не є таким елементом. Це явне протиріччя. І отримано воно на основі самих правдоподібних припущень і за допомогою безперечних ніби кроків. Протиріччя говорить про те, що такого безлічі просто не існує. Але чому воно не може існувати? Адже воно складається з об'єктів, які відповідають чітко визначеним умові, причому саме умова не здається якимось винятковим або неясним. Якщо настільки просто і ясно заданий безліч не може існувати, то в чому, власне, полягає відмінність між можливими і неможливими множинами? Висновок про неіснування розглянутого безлічі звучить несподівано і вселяє занепокоєння. Він робить наше загальне поняття безлічі аморфним і хаотичним, і немає гарантії, що воно не здатне породити якісь нові парадокси.

Парадокс Рассела чудовий своєю крайньою спільністю. Для його побудови не потрібні будь-які складні технічні поняття, як у випадку деяких інших парадоксів, досить понять «безліч» і «елемент безлічі». Але ця простота якраз і говорить про його фундаментальності: він зачіпає найглибші підстави наших міркувань про множини, оскільки говорить не про якихось спеціальних випадках, а про множини взагалі.

Інші варіанти парадоксу Парадокс Рассела не має специфічно математичного характеру. У ньому використовується поняття безлічі, але не будуть зачіпатися якісь особливі, пов'язані саме з математикою його властивості.

Це стає очевидним, якщо переформулювати парадокс в чисто логічних термінах. Про кожного властивості можна, по всій ймовірності, питати, застосовно воно до самого себе чи ні. Властивість бути гарячим, наприклад, непріложімо до самого себе, оскільки сама не є палким; властивість бути конкретним теж не відноситься до самого себе, бо це абстрактне властивість. Але ось властивість бути абстрактним, будучи абстрактним, застосовні до самого себе. Назвемо ці непридатні до самих себе властивості незастосовні. Чи застосовно властивість бути незастосовні до самого себе? Виявляється, не застосувати є незастосовні тільки в тому випадку, якщо вона не є такою. Це, звичайно, парадоксально. Логічна, що стосується властивостей різновид антиномії Рассела, настільки ж парадоксальна, як і математична, що відноситься до множинам, її різновид.

Рассел запропонував також наступний популярний варіант відкритого їм парадоксу. Уявімо, що рада одного села так визначив обов'язки цирульника: голити всіх чоловіків села, що не голяться самі, і тільки цих чоловіків. Чи повинен він голити самого себе? Якщо так, то він буде ставитися до тих, хто голиться сам, а тих, хто голиться сам, він не повинен голити. Якщо немає, він буде належати до тих, хто не голиться сам, і, значить, він повинен буде голити себе. Ми приходимо, таким чином, до висновку, що цей цирульник голить себе в тому і тільки тому випадку, коли він не голить себе. Це, зрозуміло, неможливо.

Міркування про цирульник спирається на припущення, що такий цирульник існує. Отримане протиріччя означає, що це припущення помилково, і немає такого жителя села, який голив би всіх тих і тільки тих її жителів, що не голяться самі. Обов'язки цирульника Чи не здаються на перший погляд суперечливими, тому висновок, що його не може бути, звучить дещо несподівано. Але цей висновок не є все-таки парадоксальним. Умова, яким повинен задовольняти сільський цирульник, насправді внутрішньо суперечливе і, отже, неможливо. Подібного перукаря не може бути в селі з тієї ж причини, з якої в ній немає людини, який був би старше самого себе або який народився б до свого народження.

Міркування про цирульник може бути названо псевдопарадокси. За своїм ходу воно строго аналогічно парадоксу Рассела і цим цікаво. Але воно все-таки не є справжнім парадоксом.

Інший приклад такого ж псевдопарадокси є відоме міркування про каталог. Якась бібліотека вирішила скласти бібліографічний каталог, в який входили б всі ті і тільки ті бібліографічні каталоги, які не містять посилання на самих себе. Чи повинен такий каталог включати посилання на себе? Неважко показати, що ідея створення такого каталогу нездійсненна; він просто не може існувати, оскільки повинен одночасно і включати посилання на себе і не включати.

Цікаво відзначити, що складання каталогу всіх каталогів, що не містять посилання на самих себе, можна уявити як нескінченний, ніколи не завершується процес. Припустимо, що в якийсь момент був складений каталог, скажімо К1, що включає, все відмінні від нього каталоги, які містять посилання на себе. Зі створенням К1 з'явився ще один каталог, який не містить посилання на себе. Так як завдання полягає в тому, щоб скласти повний каталог всіх каталогів, що не згадують себе, то очевидно, що К1 не є її вирішенням. Він не згадує один з таких каталогів - самого себе. Включивши в К1 це згадка про нього самого, отримаємо каталог К2. У ньому згадується К1, але не сам К2. Додавши до К2 така згадка, отримаємо КЗ, який знову-таки не повний через те, що не згадує самого себе. І далі без кінця.

Можна згадати ще один логічний парадокс - "парадокс голландських мерів", подібний до парадоксом цирульника. Кожен муніципалітет в Голландії повинен мати мера, і два різних муніципалітету не можуть мати одного і того ж мера. Іноді виявляється, що мер не проживає в своєму муніципалітеті. Припустимо, що виданий закон, згідно з яким деяка територія Sвиділяється виключно для таких мерів, які не живуть в своїх муніципалітетах, і велить усім цим мерам оселитися на цій території. Припустимо, далі, що цих мерів виявилося стільки, що територія Sсама утворює окремий муніципалітет. Де повинен проживати мер цього Особливої ​​Муніципалітету S? Просте міркування показує, що якщо мер Особливої ​​Муніципалітету проживає на території S, то він не повинен проживати там, і навпаки, якщо він не проживає на території, то він якраз і повинен жити на цій території. Те, що цей парадокс аналогічний парадоксу цирульника, абсолютно очевидно.

Рассел одним з перших запропонував варіант вирішення "свого" парадокса. Запропоноване ним рішення, отримало назву "теорії типів": безліч (клас) і його елементи відносяться до різних логічним типами, тип безлічі вище типу його елементів, що усуває парадокс Рассела (теорія типів був використана Расселом і для вирішення знаменитого парадоксу "Брехун") . Багато математики, однак, не прийняли расселовского рішення, вважаючи, що воно накладає дуже жорсткі обмеження на математичні твердження.

Аналогічно йде справа і з іншими логічними парадоксами. «Антиномии логіки, - пише фон Врігг, - спантеличили з моменту свого відкриття і, ймовірно, будуть спантеличувати нас завжди. Ми повинні, я думаю, розглядати їх не стільки як проблеми, які очікують рішення, скільки як невичерпне сирий матеріал для роздумів. Вони важливі, оскільки роздуми про них зачіпає найбільш фундаментальні питання всієї логіки, а значить, і всього мислення ».

Список використаної літератури:

1 Френкель А.А., Бар-Хиллел І. "Підстави теорії множин"

2. B.Russell."Introduction to mathematical philosophy".

3. Russell B. "The principles of mathematics".

4. Задоя А.І. "Введення в логіку"

5. Гільберт Д. - Аккерман В., "Основи теоретичної логіки".

6. Лакофф Дж. "Прагматика у природній логіці. Нове в лінгвістиці ".

7. Якобсон Р. "Погляди Боаса на граматичне значення."

план:

I.Вступ

II.апорії Зенона

Ахілл і черепаха

дихотомія

III. парадокс брехуна

IV. парадокс Рассела

I. Вступ.

Парадокс - це два протилежних, несумісних твердження, для кожного з яких є здаються переконливими аргументи. Найбільш різка форма парадоксу - антиномія,міркування, що доводить еквівалентність двох тверджень, одне з яких є запереченням іншого.

Особливою популярністю користуються парадокси в найсуворіших і точних науках - математиці і логіці. І це не випадково.

Логіка - абстрактна наука. У ній немає експериментів, немає навіть фактів у звичайному розумінні цього слова. Будуючи свої Логіка виходить в кінцевому рахунку з аналізу реального мислення. Але результати цього аналізу носять синтетичний характер. Вони не є констатациями будь-яких окремих процесів або подій, які повинна була б пояснити теорія. Такий аналіз можна, очевидно, назвати спостереженням: спостерігається завжди конкретне явище.

Конструюючи нову теорію, учений звичайно відштовхується від фактів, від того, що можна спостерігати в досвіді. Як би не була вільна його творча фантазія, вона повинна вважатися з однією неодмінною обставиною: теорія має сенс тільки в тому випадку, коли вона узгоджується з відносяться до неї фактами. Теорія, що розходиться з фактами і спостереженнями, є надуманою і цінності не має.

Але якщо в логіці немає експериментів, немає фактів і немає самого спостереження, то чим стримується логічна фантазія? Які якщо не факти, то чинники беруться до уваги при створенні нових логічних теорій?

Розбіжність логічної теорії з практикою дійсного мислення нерідко виявляється у формі більш-менш гострого логічного парадоксу, а іноді навіть у формі логічної антиномії, що говорить про внутрішню суперечливість теорії. Цим якраз пояснюється те значення, яке надається парадоксів в логіці, і то велика увага, яким вони в ній користуються.

Один з перших і, можливо, кращих парадоксів був записаний Евбулід, грецьким поетом і філософом, що жив на Криті в VI столітті до н. е. У цьому парадоксі критянин Епіменід стверджує, що всі крітяни - брехуни. Якщо він говорить правду, то він бреше. Якщо він бреше, то він каже правду. Так хто ж Епіменід - брехун чи ні?

Інший грецький філософ Зенон Елейський склав серію парадоксів про нескінченність - так звані "апорії" Зенона.

Те, що сказав Платон, є брехня.
Сократ

Сократ говорить тільки правду.
Платон

II.Апорії Зенона.

Великий внесок у розвиток теорії простору і часу, в дослідження проблем руху внесли Елейська школа (жителі міста Елея в південній Італії). Філософія елеатів спиралася на висунуту Парменід (учителем Зенона) ідею про неможливість небуття. Будь-яка думка, стверджував Парменід, завжди є думка про існуючий. Тому неіснуючого немає. Немає і руху, так як світовий простір заповнено всі цілком, а значить, світ єдиний, в ньому немає частин. Будь-яке безліч є обман почуттів. З цього випливає висновок про неможливість виникнення, знищення. За Парменід ніщо не виникає і не знищується. Цей філософ був першим, хто почав доводити висунуті мислителями положення

Елеати доводили свої припущення запереченням твердження, зворотного припущенням. Зенон пішов далі свого вчителя, що дало підставу Арістотелем бачити в Зенона родоначальника "діалектики" - цим терміном тоді називалося мистецтво досягати істини в суперечці шляхом з'ясування протиріч у судженні супротивника і шляхом знищення цих протиріч.

Ахілл і черепаха.Почнемо розгляд зеноновських труднощів з апорії про рух " Ахілл і черепаха ". Ахілл - герой і, як би ми зараз сказали, видатний спортсмен. Черепаха, як відомо, одне з найбільш повільних тварин. Проте, Зенон стверджував, що Ахілл програє черепасі змагання в бігу. Приймемо наступні умови. Нехай Ахілла відокремлює від фінішу відстань 1, а черепаху - ½. Рухатися Ахілл і черепаха починають одночасно. Нехай для визначеності Ахілл біжить в 2 рази швидше черепахи (тобто дуже повільно йде). Тоді, пробігши відстань ½, Ахілл виявить, що черепаха встигла за той же час подолати відрізок ¼ і як і раніше знаходиться попереду героя. Далі картина повторюється: пробігши четверту частину шляху, Ахілл побачить черепаху на одній восьмій частині шляху попереду себе і т. Д. Отже, всякий раз, коли Ахілл долає відділяє його від черепахи відстань, остання встигає поповзти від нього і як і раніше залишається попереду. Таким чином, Ахілл ніколи не наздожене черепаху. Почавши рух, Ахілл ніколи не зможе його завершити.

Знаючі математичний аналіз зазвичай вказують, що ряд сходиться до 1. Тому, мовляв, Ахілл подолає весь шлях за кінцевий проміжок часу і, безумовно, обжене черепаху. Але ось що пишуть з цього приводу Д. Гільберт і П. Бернайс:

"Зазвичай цей парадокс намагаються обійти міркуванням про те, що сума нескінченного числа цих тимчасових інтервалів все-таки сходиться і, таким чином, дає кінцевий проміжок часу. Однак це міркування абсолютно не впливає на один істотно парадоксальний момент, а саме парадокс, який полягає в тому, що якась нескінченна послідовність наступних один за одним подій, послідовність, завершаемості якої ми не можемо собі навіть уявити (не тільки фізично, але хоча б в принципі) , насправді все-таки повинна завершитися ".

Принципова незавершаемость даної послідовності полягає в тому, що в ній відсутня останній елемент. Всякий раз, вказавши черговий член послідовності, ми можемо вказати і наступний за ним. Цікаве зауваження, також вказує на парадоксальність ситуації, зустрічаємо у Г. Вейля:

"Уявімо собі обчислювальну машину, яка виконувала б першу операцію за ½ хвилини, другу - за ¼ хвилини, третю - за ⅛ хвилини і т. Д. Така машина могла б до кінця першої хвилини" перерахувати "весь натуральний ряд (написати, наприклад, рахункове число одиниць). Ясно, що робота над конструкцією такої машини приречена на невдачу. Так чому ж тіло, що вийшло з точки А, досягає кінця відрізка В, "відрахувавши" рахункове безліч точок А 1, А 2, ..., А n, ...? "

дихотомія. Міркування дуже просте. Для того, щоб пройти весь шлях, рух тіло спочатку має пройти половину шляху, але щоб подолати цю половину, треба пройти половину половини і т. Д. До нескінченності. Іншими словами, при тих же умовах, що і в попередньому випадку, ми будемо мати справу з перевернутим поруч точок: (½) n, ..., (½) 3, (½) 2, (½) 1. Якщо в разі апорії Ахілл і черепахавідповідний ряд не мав останньої точки, то в дихотоміїцей ряд не має першої точки. Отже, робить висновок Зенон, рух не може розпочатися. А оскільки рух не тільки не може закінчитися, але і не може розпочатися, руху немає. Існує легенда, про яку згадує А. С. Пушкін у вірші «Рух»:

І рухи немає, сказав мудрець брадатий.

Інший змовчав і став перед ним ходити.

Сильніше б не міг заперечити;

Хвалили все відповідь хитромудрий.

Але, панове, кумедний випадок цей

Інший приклад на пам'ять мені призводить:

Адже кожен день перед нами сонце ходить,

Проте ж прав впертий Галілей.

Дійсно, згідно з легендою, один з філософів так і "заперечив" Зенону. Зенон велів бити його палицями: адже він не збирався заперечувати чуттєве сприйняття руху. Він говорив про його негаданій, Про те, що суворе роздуми про рух призводить до нерозв'язних протиріч. Тому, якщо ми хочемо позбутися апорії в надії, що це взагалі можливо (а Зенон якраз вважав, що неможливо), то ми повинні вдаватися до теоретичних аргументів, а не посилатися на чуттєву очевидність. Розглянемо одне цікаве теоретичне заперечення, яке було висунуто проти апорії Ахілл і черепаха.

"Уявімо собі, що по дорозі в одному напрямку рухаються прудконогий Ахілл і дві черепахи, з яких Черепаха-1 трохи ближче до Ахілла, ніж Черепаха-2. Щоб показати, що Ахілл не зможе перегнати Черепаху-1, міркуємо наступним чином. За той час, як Ахілл пробіжить розділяє їх спочатку відстань, Черепаха-1 встигне втекти кілька вперед, поки Ахілл буде пробігати цей новий відрізок, вона знову-таки просунеться далі, і таке становище буде нескінченно повторюватися. Ахілл буде все ближче і ближче наближатися до Черепаху-1, але ніколи не зможе її перегнати. Такий висновок, звичайно ж, суперечить нашим досвідом, але логічного протиріччя у нас поки немає.

Нехай, проте, Ахілл візьметься наздоганяти більш далеку Черепаху-2, не звертаючи ніякої уваги на ближню. Той же спосіб міркування дозволяє стверджувати, що Ахілл зуміє впритул наблизитися до Черепаху-2, але це означає, що він пережене Черепаху-1. Тепер ми приходимо вже до логічного протиріччя ".

Тут важко щось заперечити, якщо залишатися в полоні образних уявлень. Необхідно виявити формальну суть справи, що дозволить перевести дискусію в русло строгих міркувань. Першу апорію можна звести до наступних трьох тверджень:

1. Який би не був відрізок, що рухається від А до В тіло повинно побувати у всіх точках відрізка.

2. Будь-який відрізок можна представити у вигляді нескінченної послідовності відбувають за довжиною відрізків ....

3. Оскільки нескінченна послідовність а i (1 ≤ i< ω) не имеет последней точки, невозможно завершить движение, побывав в каждой точке этой последовательности.

Проілюструвати отриманий висновок можна по-різному. Найбільш відома ілюстрація - "найшвидше ніколи не зможе наздогнати саме повільне" - була розглянута вище. Але можна запропонувати більш радикальну картину, в якій обливалися потом Ахілл (вийшов з пункту А) безуспішно намагається наздогнати черепаху, спокійнісінько гріються на Сонце (в пункті В) і навіть не мислячу тікати. Суть апорії від цього не змінюється. Ілюстрацією тоді стане куди більш гостре висловлювання - "найшвидше ніколи не зможе наздогнати нерухоме". Якщо перша ілюстрація парадоксальна, то друга - тим більше.

Вчені та мислителі з давніх часів люблять розважати себе і колег постановкою нерозв'язних завдань і формулюванням різного роду парадоксів. Деякі з подібних уявних експериментів зберігають актуальність протягом тисяч років, що свідчить про недосконалість багатьох популярних наукових моделей і «дірках» в загальноприйнятих теоріях, давно вважаються фундаментальними. Пропонуємо вам подумати над найцікавішими і дивовижними парадоксами, які, як зараз висловлюються, «підірвали мозок» не одному поколінню логіків, філософів і математиків.

1. Апорія «Ахіллес і черепаха»

Парадокс Ахіллеса і черепахи - одна з апорії (логічно вірних, але суперечливих висловлювань), сформульованих давньогрецьким філософом Зенон Елейський в V-му столітті до нашої ери. Суть її в наступному: легендарний герой Ахіллес вирішив позмагатися в бігу з черепахою. Як відомо, черепахи не відрізняються спритністю, тому Ахіллес дав супернику фору в 500 м. Коли черепаха долає цю дистанцію, герой пускається в погоню зі швидкістю в 10 разів більшою, тобто поки черепаха повзе 50 м, Ахіллес встигає пробігти дані їй 500 м фори . Потім бігун долає наступні 50 м, але черепаха в цей час відповзає ще на 5 м, здається, що Ахіллес ось-ось її наздожене, однак суперниця все ще попереду і поки він біжить 5 м, їй вдається просунутися ще на півметра і так далі. Дистанція між ними нескінченно скорочується, але по ідеї, герою так і не вдається наздогнати повільну черепаху, вона не набагато, але завжди випереджає його.

Звичайно, з точки зору фізики парадокс не має сенсу - якщо Ахіллес рухається набагато швидше, він в будь-якому випадку вирветься вперед, проте Зенон, в першу чергу, хотів продемонструвати своїми міркуваннями, що ідеалізовані математичні поняття «точка простору» і «момент часу" не занадто підходять для коректного застосування до реального руху. Апорія виявляє розбіжність між математично обґрунтованою ідеєю, що ненульові інтервали простору і часу можна ділити нескінченно (тому черепаха повинна завжди залишатися попереду) і реальністю, в якій герой, звичайно, виграє гонку.

2. Парадокс тимчасової петлі

Парадокси, що описують подорожі в часі, давно служать джерелом натхнення для письменників-фантастів і творців науково-фантастичних фільмів і серіалів. Існує кілька варіантів парадоксів тимчасової петлі, один з найпростіших і наочних прикладів подібної проблеми привів у своїй книзі «The New Time Travelers» ( «Нові мандрівники в часі») Девід Тумі, професор з Університету Массачусетсу.

Уявіть собі, що мандрівник у часі купив в книжковому магазині екземпляр шекспірівського «Гамлета». Потім він відправився в Англію часів Королеви-діви Єлизавети I і відшукавши Вільяма Шекспіра, вручив йому книгу. Той переписав її і видав, як власний твір. Проходять сотні років, «Гамлета» переводять на десятки мов, нескінченно перевидають, і одна з копій виявляється в тому самому книжковому магазині, де мандрівник у часі купує її і віддає Шекспіру, а той знімає копію і так далі ... Кого в такому випадку потрібно вважати автором безсмертної трагедії?

3. Парадокс дівчинки і хлопчика

У теорії ймовірностей цей парадокс також називають «Діти містера Сміта» або «Проблеми місіс Сміт». Вперше він був сформульований американським математиком Мартіном Гарднером в одному з номерів журналу «Scientific American». Вчені сперечаються над парадоксом вже кілька десятиліть і існує кілька способів його дозволу. Поміркувавши над проблемою, ви можете запропонувати і свій власний варіант.

У сім'ї є двоє дітей і точно відомо, що один з них - хлопчик. Яка ймовірність того, що друга дитина теж має чоловічу стать? На перший погляд, відповідь цілком очевидна - 50 на 50, або він дійсно хлопчик, або дівчинка, шанси повинні бути рівними. Проблема в тому, що для двухдетних сімей існує чотири можливих комбінації підлог дітей - дві дівчинки, два хлопчика, старший хлопчик і молодша дівчинка і навпаки - дівчинка старшого віку і хлопчик молодшого. Першу можна виключити, так як один з дітей зовсім точно хлопчик, але в такому випадку залишаються три можливих варіанти, а не два і ймовірність того, що друге чадо теж хлопчик - один шанс з трьох.

4. Парадокс Журдена з карткою

Проблему, запропоновану британським логіком і математиком Філіпом Журденом на початку XX-го століття, можна вважати одним з різновидів знаменитого парадоксу брехуна.

Уявіть собі - ви тримаєте в руках листівку, на якій написано: «Затвердження на зворотному боці листівки істинно». Перевернувши листівку, ви виявляєте фразу «Затвердження на іншій стороні ложно». Як ви розумієте, протиріччя в наявності: якщо перше твердження правдиво, то друге теж відповідає дійсності, але в такому випадку перше повинно виявитися помилковим. Якщо ж перша сторона листівки брехлива, то фразу на другий також не можна вважати справжньою, а це значить, перше твердження знову-таки стає правдою ... Ще більш цікавий варіант парадокса брехуна - в наступному пункті.

5. Софізм «Крокодил»

На березі річки стоять мати з дитиною, раптом до них підпливає крокодил і затягує дитини в воду. Невтішна мати просить повернути її чадо, на що крокодил відповідає, що згоден віддати його цілим і неушкодженим, якщо жінка правильно відповість на його питання: «Чи повернеться він її дитини?». Зрозуміло, що у жінки два варіанти відповіді - так чи ні. Якщо вона стверджує, що крокодил віддасть їй дитину, то все залежить від тварини - порахувавши відповідь правдою, викрадач відпустить дитини, якщо ж він скаже, що мати помилилася, то дитини їй не бачити, згідно з усіма правилами договору.

Негативна відповідь жінки все значно ускладнює - якщо він виявляється вірним, викрадач повинен виконати умови угоди і відпустити дитя, але таким чином відповідь матері не відповідатиме дійсності. Щоб забезпечити брехливість такої відповіді, крокодилу потрібно повернути дитину матері, але це суперечить договору, адже її помилка повинна залишити чадо у крокодила.

Варто зазначити, що угода, запропонована крокодилом, містить логічне протиріччя, тому його обіцянку неможливо. Автором цього класичного софізму вважається оратор, мислитель і політичний діяч Коракс Сіракузького, що жив в V-му столітті до нашої ери.

6. Апорія «Дихотомія»

Ще один парадокс від Зенона елейскої, що демонструє некоректність ідеалізованої математичної моделі руху. Проблему можна поставити так - скажімо, ви поставили собі за мету пройти якусь вулицю вашого міста від початку і до кінця. Для цього вам необхідно подолати першу її половину, потім половину половини,, далі половину наступного відрізка і так далі. Інакше кажучи - ви проходите половину всього відстані, потім чверть, одну восьму, одну шістнадцяту - кількість зменшуються відрізків шляху прямує до нескінченності, так як будь-яку частину можна розділити надвоє, значить пройти весь шлях цілком неможливо. Формулюючи кілька надуманий на перший погляд парадокс, Зенон хотів показати, що математичні закони суперечать реальності, адже насправді ви можете без труднощів пройти все відстань без залишку.

7. Апорія «Летюча стріла»

Знаменитий парадокс Зенона елейскої зачіпає глибокі розбіжності в уявленнях вчених про природу руху і часу. Апорія сформульована так: стріла, випущена з лука, залишається нерухомою, так як в будь-який момент часу вона мешкає, не здійснюючи переміщення. Якщо в кожен момент часу стріла спочиває, значить вона завжди знаходиться в стані спокою і не рухається взагалі, так як немає моментів часу, в який стріла переміщається в просторі.

Видатні уми людства століттями намагаються розв'язати парадокс стріли, що летить, проте з логічної точки зору він складений абсолютно вірно. Для його спростування потрібно пояснити, яким чином кінцевий часовий відрізок може складатися з нескінченного числа моментів часу - довести це не вдалося навіть Арістотелем, переконливо критикував апорію Зенона. Аристотель справедливо вказував, що відрізок часу можна вважати сумою деяких неподільних ізольованих моментів, проте багато вчених вважають, що його підхід не відрізняється глибиною і не спростовує наявність парадокса. Варто відзначити, що постановкою проблеми стріли, що летить Зенон прагнув спростувати можливість руху, як таку, а виявити суперечності в ідеалістичних математичних концепціях.

8. Парадокс Галілея

У своїй праці «Бесіди і математичні докази, що стосуються двох нових галузей науки» Галілео Галілей запропонував парадокс, що демонструє цікаві властивості нескінченних множин. Вчений сформулював два суперечать один одному судження. Перше: є числа, що представляють собою квадрати інших цілих чисел, наприклад 1, 9, 16, 25, 36 і так далі. Існують і інші числа, у яких немає цього властивості - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 і тому подібні. Таким чином, загальна кількість точних квадратів і звичайних чисел повинно бути більше, ніж кількість тільки точних квадратів. Друге судження: для кожного натурального числа знайдеться його точний квадрат, а для кожного квадрата існує цілий квадратний корінь, тобто, кількість квадратів дорівнює кількості натуральних чисел.

На підставі цього протиріччя Галілей зробив висновок, що міркування про кількість елементів застосовані тільки до кінцевих множин, хоча пізніше математики ввели поняття, потужності безлічі - з його допомогою була доведена вірність другого судження Галілея і для нескінченних множин.

9. Парадокс мішка картоплі

Припустимо, у якогось фермера є мішок картоплі вагою рівно 100 кг. Вивчивши його вміст, фермер виявляє, що мішок зберігався в вогкості - 99% його маси складає вода і 1% інші речовини, що містяться в картоплі. Він вирішує трохи висушити картопля, щоб вміст води в ньому знизилося до 98% і переносить мішок в сухе місце. На наступний день виявляється, що, один літр (1 кг) води дійсно випарувався, але вага мішка зменшився з 100 до 50 кг, як таке може бути? Давайте порахуємо - 99% від 100 кг це 99 кг, значить співвідношення маси сухого залишку і маси води спочатку було одно 1/99. Після сушіння вода налічує 98% від загальної маси мішка, значить співвідношення маси сухого залишку до маси води тепер становить 1/49. Так як маса залишку не змінилася, залишилася вода важить 49 кг.

Звичайно, уважний читач відразу виявить грубу математичну помилку в розрахунках - уявний жартівливий «парадокс мішка картоплі» можна вважати відмінним прикладом того, як за допомогою на перший погляд «логічних» і «науково підкріплених» міркувань можна буквально на порожньому місці збудувати теорію, яка суперечить здоровому глузду.

10. Парадокс воронів

Проблема також відома, як парадокс Гемпеля - друга назва вона отримала на честь німецького математика Карла Густава Гемпеля, автора її класичного варіанта. Проблема формулюється досить просто: кожен ворон має чорний колір. З цього випливає, що все, що не чорного кольору, не може бути вороном. Цей закон називається логічна контрапозиции, тобто якщо якась посилка «А» має наслідок «Б», то заперечення «Б» рівнозначно запереченню «А». Якщо людина бачить чорного ворона, це зміцнює його впевненість, що всі ворони мають чорне забарвлення, що цілком логічно, проте відповідно до контрапозиции і принципом індукції, закономірно стверджувати, що спостереження предметів не чорного кольору (скажімо, червоних яблук) також доводить, що всі ворони пофарбовані в чорний колір. Іншими словами - те, що людина живе в Санкт-Петербурзі доводить, що він живе не в Москві.

З точки зору логіки парадокс виглядає бездоганно, проте він суперечить реальному житті - червоні яблука жодним чином не можуть підтверджувати той факт, що всі ворони чорного кольору.

Як працює «мозгопочта» - передача повідомлень від мозку до мозку через інтернет

10 таємниць світу, які наука, нарешті, розкрила

10 головних питань про Всесвіт, відповіді на які вчені шукають прямо зараз

8 речей, які не може пояснити наука

2500-річна наукова таємниця: чому ми позіхаємо

3 найдурніших аргументу, якими противники Теорії еволюції виправдовують своє невігластво

Чи можна за допомогою сучасних технологій реалізувати здібності супергероїв?