Однак на практиці широко поширені ще два випадки:

- Система несумісна (не має рішень);
– Система спільна і має безліч рішень.

Примітка : термін «спільність» має на увазі, що система має хоч якесь рішення. У ряді завдань потрібно попередньо дослідити систему на спільність, як це зробити – див. рангу матриць.

Для цих систем застосовують найбільш універсальний із усіх способів вирішення – метод Гауса. Насправді, до відповіді призведе і «шкільний» спосіб, але у вищій математиці прийнято використовувати гаусівський метод послідовного виключення невідомих. Ті, хто не знайомий з алгоритмом методу Гауса, будь ласка, спочатку вивчіть урок метод Гауса для чайників.

Самі елементарні перетворення матриці – такі самі, різниця буде наприкінці рішення. Спочатку розглянемо кілька прикладів, коли система немає рішень (несовместная).

Приклад 1

Що відразу впадає в око в цій системі? Кількість рівнянь – менше, ніж кількість змінних. Якщо кількість рівнянь менша, ніж кількість змінних, то відразу можна сказати, що система або несумісна, або має безліч рішень. І це залишилося лише з'ясувати.

Початок рішення цілком звичайний - запишемо розширену матрицю системи і за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

(1) На лівій верхній сходинці нам потрібно отримати +1 або –1. Таких чисел у першому стовпці немає, тож перестановка рядків нічого не дасть. Одиниці доведеться організувати самостійно, і зробити це можна кількома способами. Я вчинив так: До першого рядка додаємо третій рядок, помножений на -1.

(2) Тепер отримуємо два нулі у першому стовпці. До другого рядка додаємо перший рядок, помножений на 3. До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на 5.

(3) Після виконаного перетворення завжди доцільно подивитися, а чи не можна спростити отримані рядки? Можна, можливо. Другий рядок ділимо на 2, заразом отримуючи необхідну -1 на другій сходинці. Третій рядок ділимо на -3.

(4) До третього рядка додаємо другий рядок.

Напевно, всі звернули увагу на поганий рядок, який вийшов у результаті елементарних перетворень: . Зрозуміло, що так не може бути. Дійсно, перепишемо отриману матрицю назад у систему лінійних рівнянь:

Якщо результаті елементарних перетворень отримано рядок виду , де – число, відмінне від нуля, система несумісна (немає рішень) .

Як записати закінчення завдання? Намалюємо білою крейдою: «в результаті елементарних перетворень отримано рядок виду , де» і дамо відповідь: система не має рішень (несумісна).

Якщо ж за умовою потрібно ДОСЛІДЖУВАТИ систему на спільність, тоді необхідно оформити рішення у більш солідному стилі із залученням поняття рангу матриці та теореми Кронекера-Капеллі.

Зверніть увагу, що тут немає жодного зворотного ходу алгоритму Гауса – рішень немає і знаходити нічого.

Приклад 2

Розв'язати систему лінійних рівнянь

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. Знову нагадую, що ваш хід рішення може відрізнятися від мого ходу рішення, алгоритм Гауса не має сильної «жорсткості».

Ще одна технічна особливість рішення: елементарні перетворення можна припиняти одразу жяк тільки з'явився рядок виду, де. Розглянемо умовний приклад: припустимо, що після першого перетворення вийшла матриця . Матриця ще не приведена до ступінчастого вигляду, але в подальших елементарних перетвореннях немає жодної необхідності, тому що з'явився рядок виду , де . Слід одразу дати відповідь, що система несумісна.

Коли система лінійних рівнянь не має рішень – це майже подарунок, зважаючи на те, що виходить коротке рішення, іноді буквально на 2-3 дії.

Але все в цьому світі врівноважене, і завдання, в якому система має безліч рішень – якраз довше.

Приклад 3

Розв'язати систему лінійних рівнянь

Тут 4 рівнянь і 4 невідомих, таким чином, система може мати або єдине рішення, або не мати рішень, або мати безліч рішень. Як би там не було, але метод Гауса у будь-якому випадку приведе нас до відповіді. У цьому й універсальність.

Початок знову стандартний. Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Ось і все, а ви боялися.

(1) Зверніть увагу, що всі числа в першому стовпці поділяються на 2, тому на лівій верхній сходинці нас влаштовує двійка. До другого рядка додаємо перший рядок, помножений на -4. До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на -2. До четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на -1.

Увага!У багатьох може виникнути спокуса з четвертого рядка віднятиперший рядок. Так робити можна, але не потрібно, досвід показує, що ймовірність помилки у обчисленнях збільшується у декілька разів. Тільки складаємо: До четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на –1 – саме так!

(2) Останні три рядки пропорційні, два з них можна видалити.

Тут знову треба виявити підвищена увага, а чи справді рядки пропорційні? Для перестрахування (особливо чайнику) не зайвим буде другий рядок помножити на -1, а четвертий рядок розділити на 2, отримавши в результаті три однакові рядки. І лише після цього видалити дві з них.

В результаті елементарних перетворень розширена матриця системи наведена до ступінчастого вигляду:

При оформленні завдання у зошиті бажано для наочності робити такі самі позначки олівцем.

Перепишемо відповідну систему рівнянь:

"Звичайним" єдиним рішенням системи тут і не пахне. Поганого рядка теж немає. Значить, це третій випадок, що залишився – система має нескінченно багато рішень. Іноді за умовою слід досліджувати спільність системи (тобто довести, що рішення взагалі існує), про це можна прочитати в останньому параграфі статті Як знайти ранг матриці?Але поки що розбираємо ази:

Безліч рішень системи коротко записують у вигляді так званого загального вирішення системи .

Загальне рішення системи знайдемо за допомогою зворотного ходу методу Гаусса.

Спочатку потрібно визначити, які змінні у нас є базисними, а які змінні вільними. Не обов'язково морочитися термінами лінійної алгебри, досить запам'ятати, що ось такі базисні змінніі вільні змінні.

Базисні змінні завжди сидять строго на сходах матриці..
У цьому прикладі базовими змінними є і

Вільні змінні – це все рештазмінні, яким не дісталося сходинки. У нашому випадку їх дві: вільні змінні.

Тепер потрібно всі базисні зміннівисловити тільки через вільні змінні.

Зворотний хід алгоритму Гауса традиційно працює знизу нагору.
З другого рівняння системи виражаємо базисну змінну:

Тепер дивимося на перше рівняння: . Спочатку в нього підставляємо знайдений вираз:

Залишилося висловити базисну змінну через вільні змінні:

У результаті вийшло те, що потрібно – всібазисні змінні (і) виражені тільки черезвільні змінні:

Власне, загальне рішення готове:

Як правильно записати загальне рішення?
Вільні змінні записуються у загальне рішення «самі собою» і суворо своїх місцях. У цьому випадку вільні змінні слід записати на другій та четвертій позиції:
.

Отримані вирази для базисних змінних і, очевидно, потрібно записати на першій та третій позиції:

Надаючи вільним змінним довільні значення, можна знайти нескінченно багато приватних рішень. Найпопулярнішими значеннями є нулі, оскільки приватне рішення виходить найпростіше. Підставимо у загальне рішення:

- Приватне рішення.

Іншою солодкою парочкою є одиниці, підставимо у загальне рішення:

- Ще одне приватне рішення.

Легко помітити, що система рівнянь має нескінченно багато рішень(оскільки вільним змінним ми можемо надати будь-якізначення)

кожнеприватне рішення має задовольняти кожномурівняння системи. На цьому ґрунтується «швидка» перевірка правильності рішення. Візьміть, наприклад, часткове рішення і підставте його в ліву частину кожного рівняння вихідної системи:

Все має зійтися. І з будь-яким отриманим вами приватним рішенням – також все має зійтися.

Але, строго кажучи, перевірка приватного рішення іноді дурить, тобто. якесь приватне рішення може задовольняти кожному рівнянню системи, а саме загальне рішення насправді знайдено неправильно.

Тому ґрунтовніша і надійніша перевірка загального рішення. Як перевірити отримане загальне рішення ?

Це нескладно, але досить нудно. Потрібно взяти вирази базиснихзмінних, у разі і , і підставити їх у ліву частину кожного рівняння системи.

У ліву частину першого рівняння системи:

У ліву частину другого рівняння системи:


Отримано праву частину вихідного рівняння.

Приклад 4

Вирішити систему методом Гаусса. Знайти спільне рішення та два приватні. Здійснити перевірку загального рішення.

Це приклад самостійного рішення. Тут, до речі, знову кількість рівнянь менша, ніж кількість невідомих, а отже, відразу зрозуміло, що система буде або несумісною, або з безліччю рішень. Що важливо у самому процесі вирішення? Увага, і ще раз увага. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

І ще пара прикладів для закріплення матеріалу

Приклад 5

Розв'язати систему лінійних рівнянь. Якщо система має нескінченно багато рішень, знайти два приватні рішення і зробити перевірку загального рішення

Рішення: Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

(1) До другого рядка додаємо перший рядок. До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на 2. До четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на 3.
(2) До третього рядка додаємо другий рядок, помножений на –5. До четвертого рядка додаємо другий рядок, помножений на -7.
(3) Третій і четвертий рядки однакові, один з них видаляємо.

Ось така краса:

Базисні змінні сидять на сходах, тому базисні змінні.
Вільна змінна, якій не дісталося сходинки тут лише одна:

Зворотній хід:
Висловимо базисні змінні через вільну змінну:
Із третього рівняння:

Розглянемо друге рівняння і підставимо в нього знайдений вираз:

Розглянемо перше рівняння і підставимо в нього знайдені вирази:

Так, все-таки зручний калькулятор, який вважає прості дроби.

Таким чином, загальне рішення:

Ще раз, як воно вийшло? Вільна змінна самотньо сидить на своєму законному четвертому місці. Отримані висловлювання для базисних змінних теж зайняли свої порядкові місця.

Відразу здійснимо перевірку загального рішення. Робота для негрів, але вона у мене вже виконана, тому ловіть =)

Підставляємо трьох богатирів , у ліву частину кожного рівняння системи:

Отримано відповідні праві частини рівнянь, отже, загальне рішення знайдено правильно.

Тепер із знайденого загального рішення отримаємо два приватні рішення. Шеф-кухарем тут виступає єдина вільна змінна. Ламати голову не треба.

Нехай тоді - Приватне рішення.
Нехай тоді - Ще одне приватне рішення.

Відповідь: Загальне рішення: , приватні рішення: , .

Даремно я тут про негрів згадав... ...бо в голову полізли всілякі садистські мотиви і згадалася відома фотожаба, на якій ляльки-кланці в білих балахонах біжать полем за чорношкірим футболістом. Сиджу, тихо посміхаюсь. Знаєте, як відволікає….

Багато математики шкідливе, тому схожий заключний приклад самостійного рішення.

Приклад 6

Знайти загальне рішення системи лінійних рівнянь.

Перевірку загального рішення в мене вже зроблено, відповіді можна довіряти. Ваш хід рішення може відрізнятись від мого ходу рішення, головне, щоб збіглися загальні рішення.

Напевно, багато хто помітив неприємний момент у рішеннях: дуже часто при зворотному ході методу Гауса нам довелося возитися зі звичайними дробами. Насправді це справді так, випадки, коли дробів немає – зустрічаються значно рідше. Будьте готові морально і, найголовніше, технічно.

Зупинюся на деяких особливостях рішення, які не зустрілися у прикладах, які вирішують.

До загального рішення системи іноді може входити константа (або константи), наприклад: . Тут з базисних змінних дорівнює постійному числу: . У цьому немає нічого екзотичного, то буває. Очевидно, що в даному випадку будь-яке приватне рішення міститиме п'ятірку на першій позиції.

Рідко, але зустрічаються системи, у яких кількість рівнянь більша за кількість змінних. Метод Гауса працює в найсуворіших умовах, слід незворушно привести розширену матрицю системи до ступінчастого вигляду за стандартним алгоритмом. Така система може бути несумісною, може мати безліч рішень, і, як не дивно, може мати єдине рішення.

Теорема. Система лінійних рівнянь спільна тоді лише тоді, коли ранг розширеної матриці дорівнює рангу самої матриці системи.

Системи лінійних рівнянь

Спільні r(A)=r() несумісні r(A)≠r().

Таким чином, системи лінійних рівнянь мають або безліч рішень, або одне рішення, або не мають рішень зовсім.

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Елементарні перетворення матриці. Метод крамаря. Визначення вектора

Два елементи перестановки утворюють інверсію якщо в записі перестановки більший елемент передує меншому. існує n різних перестановок n ого ступеня з n чисел доведемо цю.

Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Твітнути

Всі теми цього розділу:

Теорема Кронекера-Капеллі
Розглянемо систему лінійних рівнянь з n невідомими: Складемо матрицю та розширену матрицю

Поняття однорідної системи лінійних рівнянь
Система лінійних рівнянь, все вільні члени у яких рівні 0, тобто. система виду називається однорідною

Властивість рішень однорідної СЛУ
Лінійна комбінація розв'язків однорідної системи рівнянь сама є розв'язком цієї системи. x=і y=

Зв'язок між рішеннями однорідних та неоднорідних систем лінійних рівнянь
Розглянемо обидві системи: I та

Аксіоматичний підхід до визначення лінійного простору
Раніше було введено поняття n-вимірного векторного простору як сукупності впорядкованих систем n-дійсних чисел, для яких були введені операції складання та множення на дійсне год.

Наслідки з аксіом
1. Єдиність нульового вектора 2. Єдиність протилежного вектора

Доказ наслідків
1. Припустимо, що. -нульово

Базис. Розмірність. Координати
Визначення 1. Базисом лінійного простору L називається система елементів, що належать L, що задовольняє двом умовам: 1) система

Розмір: px

Починати показ зі сторінки:

Транскрипт

1 1 Кількість рішень системи рівнянь Графічний динамічний метод Для знаходження кількості рішень системи рівнянь, що містять параметр, корисний наступний прийом Будуємо графіки кожного з рівнянь при деякому фіксованому значенні параметра і знаходимо число загальних точок побудованих графіків параметр і уявляємо, як трансформується графік рівняння з параметром, як з'являються і зникають загальні точки графіків Таке дослідження вимагає розвиненої уяви Для тренування уяви розглянемо ряд типових завдань Назвемо особливими значеннями параметра ті значення, при яких змінюється число рішень стосуються один одного або кутова точка одного з графіків потрапляє на інший графік Як правило, при переході через особливу точку число рішень змінюється на два, а в самій такій точці воно на одиницю відрізняється від числа рішень при невеликій зміні араметра Розглянемо задачі, в яких потрібно знайти число розв'язків системи рівнянь, одне з яких залежить від параметра а, а інше не залежить , як змінюється графік рівняння з параметром при зміні значення параметра Потім робимо висновок про кількість рішень (загальних точок побудованих графіків) На інтерактивному малюнку графік рівняння без параметра показано синім кольором, а динамічний графік рівняння з параметром показаний червоним кольором Для вивчення теми ) використовуйте файл InMA 11, 5 Число рішень системи з параметром Для досліджень (завдання 8) використовуйте файл GInMA Число рішень системи з параметром (x x0) + (y y0) = r; 1 Знайдіть число розв'язків системи (x x1) + y = a (x x0) + (y y 0) = r; Знайдіть число розв'язків системи y = kx + a (x x0) + (y y0) = r; 3 Знайдіть число розв'язків системи y = ax + y1 (x x0) + (y y0) = r; 4 Знайдіть число розв'язків системи (x x1) + y = a (x x0) + y y0 = r; 5 Знайдіть число розв'язків системи (x x0) + (y y0) = a (x x0) + (y y0) = r; 6 Знайдіть число розв'язків системи y = x a + y1 x x0 + y y0 = r; 7 Знайдіть число розв'язків системи (x x0) + (y y0) = a f (x, y) = 0; g (x, y, a) = 0 8 Знайдіть число рішень системи ВР Шеломовський Тематичні комплекти, cmdru/

2 1 Графіки рівнянь гладкі криві (x x0) + (y y0) = r; 1 Завдання Знайдіть число розв'язків системи (x x1) + y = a Розв'язання: Графік першого рівняння це коло радіуса r із центром у точці О(х0; у0) Графік другого рівняння це коло радіуса a із центром на осі абсцис у точці А(х1 0) Центр кола нерухомий, радіус визначає параметр При збільшенні модуля параметра коло «роздмухується» Особливі значення параметра ті значення, при яких змінюється число коренів, тобто значення параметра, при яких коло другого графіка стосується кола першого Умова торкання кола модуль суми або різниці радіусів кіл дорівнює міжцентровій відстані: а ± r = АО а = ± АО ± r Дослідження: Змінюючи значення змінних і параметра, знайдіть число рішень системи Почати дослідження бажано з найпростіших випадків у0 = 0, коли загальна вісь кіл горизонтальна, і х0 = х1, коли загальна вісь кіл вертикальна У загальному випадку користуйтеся трикутниками Піфагора Наприклад, х0 х1 = 3, у0 = ±4 Типово, що як при малих по мо дулю, так і при великих за модулем значеннях параметра рішень немає Оскільки два несхожі кола можуть мати не більше двох загальних точок, число рішень у загальному випадку не більше двох У точках торкання число рішень дорівнює одиниці, при проміжних значеннях параметра двом Творче завдання Знайдіть значення параметра, у якому три різні точки (x 1) + (y y0) = 9; є рішеннями системи рівнянь (x x1) + y = a (x x0) + (y y0) = r; Завдання Знайдіть число розв'язків системи y = kx + a Рішення: Графік першого рівняння це коло радіуса r з центром у точці О(х0; у0) Графік другого рівняння це сімейство паралельних прямих, що проходять через точки А(0; а) і мають постійний нахил Тангенс кута нахилу прямих дорівнює k При збільшенні параметра прямі переміщаються вгору Особливі значення параметра ті значення, при яких змінюється кількість коренів, тобто значення параметра, при яких прямі стосуються кола cmdru/

3 3 Вирішуючи отримане рівняння, знаходимо координати двох точок дотику: kr x = x0 ± ; x0 x 1 + k = kk (y y0) + (y y0) = rry y0 y = y0 1+ k Підставивши отримані вирази до рівняння прямої, знайдемо значення параметра в особливих точках: a = y 0 kx0 ± r 1 + k Дослідження : Змінюючи значення змінних і параметра, знайдіть число рішень системи Почати дослідження бажано з найпростішого випадку k = 0, коли прямі паралельні осі абсцис Потім розгляньте випадки, коли корінь вилучається (наприклад, k = 3), приділіть увагу популярному випадку і при великих значеннях параметра рішень немає Оскільки пряма і коло можуть мати не більше двох загальних точок, число рішень не більше двох При значеннях параметра, відповідних дотику, число рішень дорівнює одиниці, при проміжних значеннях параметра двом Творче завдання Відомо, що дана система рівнянь має не більше одного рішення Знайдіть значення параметра, при якому система рівнянь має розв'язок: (x) + (y 3) = r ; y = x + a (x x0) + (y y0) = r; 3 Знайдіть число розв'язків системи y = ax + y1 Рішення: Графік першого рівняння це коло радіуса r з центром у точці О(х0; у0) Графік другого рівняння це сімейство прямих, що проходять через точку А(0; у1) Тангенс кута нахилу прямих ( а) визначає значення параметра При збільшенні параметра зростає кут між графіком і позитивним напрямом осі абсцис. , то будь-яка можлива пряма перетинає коло у двох точках Умову торкання знаходимо, прирівнюючи тангенси кута нахилу кола та прямої Вирішуючи отримане рівняння, знаходимо координати двох точок торкання: ВВ Шеломовський Тематичні комплекти, cmdru/

4 4 ar x = x0 ±; x0 x 1 + a = aa (y y0) + (y y0) = rry y0 y = y0 1+ a Підставивши отримані вирази до рівняння прямої, знайдемо значення параметра в (y1 y 0) r особливих точках Якщо x0 = 0, то особливі значення параметра a = ± r Якщо y0 = y1, x0 r, то особливі значення параметра a = ± (y1 y 0) rr x0 Якщо х0 = ± r, то коло стосується вертикальної прямої, що проходить через точку r (y1 y 0) А(0; у1) та значення параметра a = В інших випадках x0 (y1 y 0) a = x0 (y 0 y1) ± r (x0 + (y 0 y1) r) r x0 Дослідження: Змінюючи значення змінних та параметра, знайдіть число розв'язків системи Почати дослідження бажано з найпростішого випадку y0 = y1, x0< r, когда точка А(0; у1) внутри окружности и число решений всегда равно двум Рассмотрите случай х0 = r, когда число решений легко найти (х0 = r =, y0 = 3, y1 =) Затем рассмотрите случаи, когда корень хорошо извлекается (например, х0 = 3, y0 = 4, r =, y1 =) Поскольку прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек, число решений не более двух При значениях параметра, соответствующих касанию, число решений равно единице, при остальных значениях параметра нулю или двум (x + 3) + (y 5) = r ; при всех y = ax + 1 Творческое задание Известно, что система уравнений значениях параметра, кроме одного, имеет два решения Найдите то значение параметра, при котором система уравнений имеет единственное решение (x x0) + (y y0) = r ; 4 Задание Найдите число решений системы (x x1) + y = a Решение: В ходе решения строим графики каждого из уравнений и исследуем число общих точек построенных графиков График первого уравнения это пара окружностей одинакового радиуса r Центры окружностей O и Q имеют одинаковую ординату y0 и ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

5 5 однакові за модулем, але різні за знаком абсциси ±x0 Графіки показані синім та фіолетовим кольором Графік другого рівняння це коло радіуса a з центром на осі абсцис у точці А(х1; 0) Особливі значення параметра ті значення, при яких змінюється число коренів , тобто значення параметра, при яких коло другого графіка стосується кіл першого Умови дотику сума або різниця радіусів кіл дорівнює міжцентровій відстані: а ± r = АТ, а ± r = АQ Дослідження: Змінюючи значення змінних і параметра, знайдіть число рішень системи Користуйтеся цілими значеннями для однієї міжцентрової відстані (наприклад, х0 = 6, y0 = 3, r = 3, х1 =). x 6) + (yy 0) = r; Творче завдання Відомо, що система рівнянь при (x x1) + y = a деякому значенні параметра має рівно два рішення. При цьому значенні параметра графіки стосуються Знайдіть це значення параметра (x x0) + y y0 = r; 5 Знайдіть число розв'язків системи (x x0) + (y y0) = a Розв'язання: Графік першого рівняння складається з пари парабол, які стикуються при y = y0 Рівняння парабол y = y0 ± (r (x x0)) y = y0, вертикальну вісь симетрії х = х0 Центр симетрії точка (x0, у0) Другий графік це коло радіусом а, центр якого розташований в центрі симетрії парабол Число коренів змінюється при такому значенні параметра, при якому відбувається торкання кола другого графіка з вершинами парабол У точці торкання: х = х0, y = y0 ± r = y = y0 ± а, значить, а = ± r Число коренів змінюється при такому значенні параметра, при якому відбувається внутрішній торкання кола другого графіка з параболами Щоб знайти це значення, переходимо від системи рівнянь до рівняння з однією змінною: (yy 0) = a (x x0) = (r (x x0)) Це квадратне рівняння для (xx 0) Воно має один корінь, якщо дискримінант дорівнює нулю: ВВ Шеломовський cmdru/

6 6 D = (r 0,5) (ra) = 0, a = ± r 1 4 Число коренів змінюється при такому значенні параметра, при якому відбувається перетин кола та параболи в точках зламу першого графіка, тобто при y = y0 Дослідження : Змінюючи значення змінних і параметра, знайдіть число розв'язків системи Користуйтеся значеннями r = 1, 4 і 9 Зверніть увагу на те, що параметри х0 і y0 не впливають на відповідь задачі. = r; 6 Знайдіть число розв'язків системи (x x0) + (y y0) = a Розв'язання: Графік першого рівняння це квадрат, нахилений під кутом 45 до осей координат, довжина половини діагоналі якого дорівнює r Другий графік це коло радіусом а, центр якого розташований у центрі симетрії квадрата Число коренів змінюється при тому значенні параметра, при якому коло проходить через вершини квадрата При цьому y = у0, а = ±r Число коренів змінюється при тому значенні параметра, при якому відбувається внутрішній дотик кола зі сторонами квадрата від системи рівнянь до рівняння з однією змінною: (yy 0) = a (x x0) = (rx x0) Це квадратне рівняння для xx 0 Воно має один корінь, якщо дискримінант дорівнює нулю При цьому a = ± r Радіус кола в цьому випадку відноситься до радіусу у попередньому випадку, як sin 45: 1 ВВ Шеломовський Тематичні комплекти, cmdru/

7 7 (x x0) + (y y0) = r; 7 Знайдіть число розв'язків системи y = xa + y1 Графік першого рівняння це коло з центром O(x0; y0) Графік другого рівняння складається з двох променів із загальним початком це «пташка, крила вгору», вершина графіка розташована в точці А(а; у1) Число коренів змінюється при тому значенні параметра, при яких «крило» другого графіка стосується кола або вершина графіка лежить на цьому колі Тангенс кута нахилу «правого крила» до осі абсцис дорівнює 1, значить пряма, rx = x ± це крило, стосується кола в точках (хk; уk), таких, що r yk = y0 Умова торкання уk = хk а + у1 а = хk уkа + у1 = x0 y0 + у1 ± r Оскільки «крило» це промінь, що йде вгору , додається умова, що ордината вершини має бути не більше, ніж ордината точки торкання, тобто у1 уk y0 у1 ± r Аналогічно записуємо умови торкання з «лівим крилом» Якщо вершина графіка лежить на колі, то її координати задовольняють рівнянню кола: (а x0) + (у1 у0) = r Змінюючи значення параметра, досліджуйте чис ло рішень системи, тобто кількість загальних точок графіків У особливих точках число коренів непарне, в решті точках число коренів парне (x) + (yy 0) = r, Творче завдання Відомо, що система рівнянь при y = xa + y1, деякому значенні параметра має три рішення Знайдіть значення параметра, якщо відомо, що при цьому ординати двох рішень збігаються f (x, y) = 0; g (x, y, a) = 0 8 Знайдіть число розв'язків системи Задайте функції самостійно за зразком та досліджуйте кількість розв'язків ВР Шеломовський Тематичні комплекти, cmdru/

8 8 ВВ Шеломовський Тематичні комплекти, cmdru/

9 9 Завдання С5 (Семенов Ященко) Варіант 1 Знайдіть усі значення а, при кожному з яких безліччю розв'язків нерівності 4 x 1 x+ 3 a 3 є відрізок 3 a 4 x Розмірковуємо Виконаємо перетворення xb 1, 1 xb 1, 4 x 1 x+ 3 axb 3=, b=3 a 3 a 4 xx (x) 0, (x +1) b 1 0 Граничні лінії площини x 3a: x = 0, x =, x= 3a, x=± 3 aa= (x+ 1) 1 4 Якщо 0 х, то b< 4x, b (x +1) 1 Так как 4x >(x +1) 1, то b (x +1) 1 Якщо 0 > х то b > 4x, (x +1) 1 b Рішення є при 1 b Наприклад, x = 1 Якщо x >, то b > 4x, (x +1) 1 b Так як 4x< (x +1) 1, то (x +1) 1 b Значит, решения таковы Если 3а >8, то х [ 3 a+ 1 1,0] [, 3 a +1 1] Якщо 3а = 8, то х [ 4,0] х [ 3 a +1 1,0] [ 3 a+1 1, ] Якщо 0< 3а < 8, то Если 3а = 0, то х [,0) (0, ] Если 1< 3а < 0, то х [ 3 a +1 1, 3 a+1 1] [ 0, ] Если 1 = 3а, то х 1 } Если 1 >3а, то х Рішення Нехай 1 3а Тоді x = 1 задовольняє нерівності, 4 x 1 x+ 3 a 16+3 a 3 a 3 = 3 =, протиріччя, це число поза відрізком 3 a 4 x 3 a+ 4 3 a +4 Нехай 1 > 3а Тоді xb 1, 4 x 1 x+3 axb 3=, b=3 a< 1 3 a 4 x 1 x b 1, x (x) 0, (x +1) b 1 0 Числа из промежутка 0 х удовлетворяют обоим неравенствам Если x >, то перша нерівність не виконана ВВ Шеломовський Тематичні комплекти, cmdru/

10 10 Якщо 0 > х, то b (x +1) 1, друга нерівність не виконана Відповідь: 1 > 3а Варіант 3 Знайдіть усі значення а, при кожному з яких має хоча б один корінь рівняння a +7 xx + x +5 = a+ 3 x 4 a +1 Розмірковуємо Нехай f (a, x)=a +7 xx + x +5 a 3 x 4 a+1 Особлива точка функції х + 1 = 0 Якщо х = 1, то рівняння має вигляд a +10 a 1 a =0 Легко знайти його чотири рішення Потрібно довести, що вихідна функція завжди більша за цю Рішення Нехай f (a, x)=a + 7 xx + x +5 a 3 x 4 a+1 Рівняння f (a, x)=0 Тоді f(a, 1)=a +10 a 1 a =0 Різниця f(a, x) f(a, 1)=7 x +1 +5(x + x +5)+ 3 4 a 3 x 4 a+1 3(xa 4 ax 1) 0 Значить, рівняння f (a, x)=0 має коріння лише у випадку, якщо f (a, 1) 0 Рівняння f (a, 1)=0 має чотири корені a 1= , a = , a 3= , a 4 = Функція f (a, 1) 0 (не позитивна) при a Наприклад, якщо а = 10, тобто корінь При решті значень а x= f (a, x) f (a, 1)>0 Коренів немає Відповідь: [ 5 15, 5+ 15] Варіант 5 Знайдіть усі значення а, при кожному з яких має хоча б один корінь ур авнення a +11 x+ +3 x + 4 x +13=5 a+ xa + Використовуємо функцію f(a,)=a +9 5 a 4 a =0 і нерівність f(a, x) f(a,) (x+ + ax a+) 0 Відповідь: [ , ] Варіант 9 Знайдіть число коренів рівняння x + 4x 5 3a = x + a 1 Розмірковуємо Вважаємо відомим наступне (очевидне) твердження Нехай функції f(x) та g(x) задані на деякому проміжку Нехай похідна однієї більше на проміжку, ніж інший Нехай різниця значень функцій на лівому кінці має один знак, на правому інший Тоді рівняння f(x) = g(x) має на проміжку рівно один корінь Розв'язання Позначимо f(x, a) = 3а + x + a, g(x) = x + 4x Рівняння f(x, a) = g(x) ВР Шеломовський Тематичні комплекти, cmdru/

11 11 Особливі точки функції g(x) це мінімуми при x = 1 і x = 5 і максимум при x = Значення g(1) = g(5) = 1, g() = 10 Функція має вісь симетрії x = 3 При великих за модулем значеннях ікса квадратична функція g(x) більша за лінійну f(x, a) Нахил функції поза відрізком [ 5,1] визначаємо похідною (x + 4x 5)" = x при x > 1 Функція g(x) при x > 1 монотонно зростає з коефіцієнтом більше, ніж 6 У силу симетрії, функція g(x) монотонно зменшується з коефіцієнтом більше, ніж 6 при x< 5 Наклон g(x) равен 1 только на промежутке (5, 1) При этом производная (x 4x + 5)" = x 4 = 1 Значит, в точке x = 5 наклон равен 1 Функция f(x, a) = 3а + x + a монотонно убывает с коэффициентом 1 при x + а < 0 и монотонно возрастает с коэффициентом 1 при x + а >0 Значення у ряді точок f(а, a) = 3а, f(5, a) = 3а + 5a, f(, a) = 3а + a, f(1, a) = 3а + 1+ a Графіки f (x, a) і g(x) стосуються, якщо рівні їх нахили Дотик можливий при x = 5 При цьому g(x) = 39/4 f(x, a) = 4а + x = 39/4, 4a = 49 /4, a = 49/16 Аналізуємо коріння рівняння f(x, a) = g(x) Якщо a<, f(5, a) = а +5 < 1, f(1, a) = а 1 < 5 f(x, a) < g(x), так как в промежутке 5 < x < 1 f(x, a) < 1 < g(x) Если x >1, g(x) зростає швидше, ніж f(x, a), тобто усюди f(x, a)< g(x) Если x < 5, g(x) убывает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x) Других корней нет Если a =, f(5, a) = 1, f(1, a) = 5 f(5,) = g(5) Один корень х = 5 Во всех других точках f(x, a) < g(x), как и в предыдущем случае Если < a < 0, f(5, a) = а +5 >1, f(1, a) = 4а + 1< 1f(, a) = а + < 10 При x >f(x, a)< g(x), корней нет При x < f(1,a) >1 При x< 5 быстро убывающая g(x) пересекает медленно убывающую левую ветвь f(x,а), один корень При 5 < x < возрастающая g(x) пересекает убывающую f(x,а), один корень, всего корней два, один при x < 5, второй при 5 < x < Если a = 0, f(5, a) = 5, f(1, a) = 1 f(1, a) = g(1), один корень х = 1 Как и раньше, один корень при x < 5, один корень при 5 < x < Всего корней три Если 0 < a < 3, корней 4, два на левой ветке f(х, a) при x <, два на правой при x >Якщо a = 3, f(3, 3) = 8 = g(3), f(, 3) = 10 = g(), коріння 4, один два на лівій гілці f(х, a) при x< 5, один в вершине f(х, 3) при x = 3, один в вершине g(x) при x =, один при x >1 Якщо 3< a < 49/16, корней 4, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, два на правой ветви g(x) при 3 < x <, один при x >1 Якщо a = 49/16, то число коренів 3 один на лівій гілці f(х, a) при x< 5, один в точке касания при x = 5, один при x >1 Якщо a > 49/16, то число коренів, одне на лівій гілці f(х, a) при x< 5, один на правой при x >1 Відповідь: немає коренів при a< ; один корень при a =, два корня при < a < 0 или 49/16 < a, три корня при a = 0 или а = 49/16, четыре корня при 0 < a < 49/16 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

12 1 Варіант 10 Знайдіть усі значення параметра a, для кожного з яких має два корені рівняння 4x 3x x + a = 9 x 3 Рішення Позначимо f(x, a) = 4x 3x x + a, g(x) = 9 x 3 Особлива точка функції g(x) це x = 3 Функція монотонно зменшується з коефіцієнтом 9 при x< 3 и монотонно возрастает с коэффициентом 9 при x >3 Функція f(x, a) є шматково лінійною з коефіцієнтами 8, 6, або 0 Значить, вона не зменшується за іксом, швидкість її зростання менша, ніж у правої гілки функції 9 x 3 f(3, a) = a Графік цього вираз суть ламана з вершинами (1, 1), (3, 3), (6, 1) Значення функції позитивні при а (4, 18) Знайденого слідує Якщо f(3, a)< 0, уравнение не может иметь корней, так как g(x) >f(x, a) Якщо f(3, a) = 0, рівняння має рівно один корінь x = 3 Для інших іксів g(x)> f(x, a) Якщо f(3, a) > 0, рівняння має рівно два корені, один при x< 3, когда пересекаются убывающая ветвь g(x) и монотонно не убывающая f(x, a) Другой при x >3, коли гілка g(x), що швидко зростає, перетинає повільно зростаючу гілка f(x, a) Відповідь: а (4, 18) Варіант 11 Знайдіть усі значення параметра a, для кожного з яких при будь-якому значенні параметра b має хоча б одне рішення система рівнянь (1+ 3 x)a +(b 4 b+5) y =, xy +(b) x y+ a + a=3 Розмірковуємо Система має вигляд (1+ 3 x)a +(1+(b) ) y =, Зручно xy +(b) xy=4 (a+ 1) a (1+3 x) =1, Видно рішення x = y = 0 і xy =4 (a +1) відповідні значення параметра a = 1 a = 3 проаналізувати особливу точку b = Тоді (1+ 3 x)a +(1+(b)) y =, xy +(b) xy=4 (a+ 1) Рішення Запишемо систему у вигляді Розв'язання x = y = 0 існує завжди при a = 1 або a = 3 Якщо b =, то система має вигляд (1+3 x)a +1 y =, або xy =4 (a +1) (1+3 x)a=1, xy =4 (a +1) Якщо a > 1 або a< 3 система не имеет решений, так как их не имеет второе уравнение Если 1 < a < 3, из второго уравнения получим, что x >0, з першого знайдемо a = 0 Нехай a = 0 Тоді для b = 4 з першого рівняння отримаємо, що у = 0 При цьому друге рівняння не має рішення Відповідь: 1 або 3 ВВ Шеломовський Тематичні комплекти cmdru/

13 13 Варіант 14 Знайдіть усі значення параметра, при кожному з яких модуль різниці коренів рівняння x 6x a 4a = 0 приймає найбільше значення , Завдання можна вирішувати для відрізка x=3± 1 (a) Найбільша різниця коренів дорівнює при a = Відповідь: Варіант 15 Знайдіть усі значення параметра, при кожному з яких рівняння (4 4 k) sin t =1 має хоч одне рішення на відрізку [3 π; 5 π ] cos t 4 sin t Розв'язання Через періодичність функцій синус і косинус, завдання можна вирішувати для відрізка t [ π ; 15 π], потім від кожного отриманого рішення відняти 4π Перетворимо рівняння до вигляду + 4 k sin t cos t =0 cos t 4 sin t На відрізку t [ π ; 15 π] синус монотонно убуває від нуля до мінус одиниці, косинус монотонно наростає від мінус одиниці до нуля t = 15π дорівнює 4k Якщо k 0, чисельник позитивний і рівняння не має коріння. k Рівняння має корінь, якщо чисельник нуль, а знаменник не нуль, тобто у випадку 4k =+ 4 k sin t cos t + k Відповідь: k [ 05,+)\1+ ) Варіант 18 Знайдіть усі значення параметра при кожному з яких має єдине рішення система рівнянь (xa 5) +(y 3 a +5) =16, (xa) +(y a+1)=81 з центром у точці (a + 5, 3a 5) та радіусом 4 Друге рівняння окружно сть з центром у точці (a +, a 1) радіусом 9 ВВ Шеломовський Тематичні комплекти, cmdru/

14 14 Система має єдине рішення якщо кола стосуються При цьому відстань між центрами дорівнює = 13 або 0 4 = 5 Квадрат міжцентрової відстані: ((a + 5) (a +)) + ((3a 5) (a 1)) = aa + 5 Якщо відстань 5, то a = 0 або a = 1 Якщо відстань 13, то a = 8 або a = 9 Відповідь: 8, 0, 1, 9 Варіант 1 Знайдіть усі значення параметра при кожному з яких має рівно два невід'ємні рішення рівняння 10 0,1 xa 5 x + a =004 x Рішення Виконуємо перетворення 5 xa 5 x + a =5 x Позначимо t = 5x 1 В силу монотонності показової функції 5x кожен корінь t 1 породжує рівно один корінь x 0 Рівняння набуде вигляду ta t+ at =0 Якщо at, то t + 3t + a = 0 немає коріння, більшого, ніж 1 Якщо t > at/, то tt + 3a = 0 При t > 1 функція монотонно зростає, корінь тільки один Якщо 1/ > t/ > a, то t 3t a = 0 При t > 1 функція t 3t монотонно убуває від при t = 1 до 5 при t = 15 і далі монотонно зростає Значить, при 5 > a коріння два, при менших а немає коренів при великих а корінь рівно оді н Відповідь: 5 > a Варіант Знайдіть залежно від параметра число розв'язків системи x (a+1) x+ a 3= y, y (a+1) y + a 3= x Розмірковуємо Система має вигляд f(x)= y, f(y)= x, або f(f(х)) = x Одне з рішень f(x)= x Друге рішення знаходимо, віднімаючи рівняння Рішення Віднімемо з першого рівняння друге Отримаємо (x + ya)(xy) = 0 Нехай x = у Підставимо у перше рівняння, перетворимо Отримаємо (xa 1) = 4 + а Нехай x + у = а Підставимо у перше рівняння, перетворимо: (xa) = 3 + а Якщо a<, корней нет Если a =, то x = y = a + 1, единственное решение Если 15 >a >, тобто пара розв'язків x= y = a+ 1± 4+ a Якщо a = 15, то два рішення: x = y = a, x = y = a + Якщо 15< a то решения x= y =a+ 1± 4+ a, x=a± 3+ a, y= a x Ответ: a < нет решений, а = одно, 15 a >, два рішення, a > 15 чотири рішення ВВ Шеломовський Тематичні комплекти, cmdru/

15 15 Варіант 4 Знайдіть усі значення а, при кожному з яких не має коріння рівняння 7 x 6 +(4 ax)3 +6 x +8 a=4 x Розмірковуємо 8a 4x = (4a x), 7x6 = (3x)3 Значить, рівняння включає суму і суму кубів однакових виразів. (3 x) 3 x (4 ax)+(4 ax) +)=0 Другий множник це неповний квадрат різниці збільшений на Він позитивний Виділивши в першому множнику квадрат, отримаємо 1 1 3(x) + 4 a = Це рівняння не має коренів, якщо 4 a >0, a > 3 1 Відповідь: 1а > 1 Варіант 8 Знайдіть значення а, при кожному з яких найбільше значення функції xax не менше одиниці Рішення Якщо xa, функція f(x,a) = xax Вона максимальна при x = 0,5, максимум дорівнює 0,5 а При a< 0,5 наибольшее значение функции 0,5 а 1 при 075 а Если x < a, функция f(x,a) = a x x Она максимальна при x = 0,5, максимум равен a + 05 При a >0,5 найбільше значення функції a + 0,5 1 при а 0,75 Відповідь: а 0,75 або 075 а Пара функцій Знайти діапазон позитивних значень а, для кожного з яких знайдеться таке b, що система рівнянь: y = х4 + а, х = 8y + b має парне число рішень Рішення: З першого рівняння випливає, що у > 0, друге рівняння можна перетворити 8 на вигляд: y=, х (b; +) Искдючим у: xbf (x) = xa = 0; f `(x) = 4 x 3 + x b (x b)3 Кожен корінь отриманого рівняння породжує одно рішення вихідної системи При b 0 функція f(x) монотонно зростаюча і рівняння має рівно один корінь При негативних b< 0 функция f(x) монотонно возрастает от минус бесконечности до f(х1), уменьшается до f(х) и вновь монотонно возрастает при положительных иксах до плюс бесконечности Уравнение может иметь чётное число корней два только если корень совпадает с минимумом или максимумом функции, то есть в точке корня производная равна нулю, то есть f(х1) = g(х1) = 0 Исключая корень из уравнений, найдём: а = (4х1 + х14) Полученная функция имеет максимум при х1 = 1 (а = 3; b = 1,5), поэтому для любого a (0; 3) существуют х1, х х1 и b, при которых число корней равно два Однако при а = 3 х ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

16 16 = х1, обидва корені збігаються і рівняння f(х) = 0 має тільки один корінь Похідна f`(x) позитивна при х b і за х + Вона дорівнює нулю за умови f `(x) = 0 g (x) = x (xb) + 1 = 0 Останнє рівняння може мати один або два корені, причому тільки при негативних іксах Позначимо їх х1 та х: g(х1) = g(х) = 0 Відповідь: a(0; 3) ВВ Шеломовський Тематичні комплекти, cmdru/

Приклади розв'язання завдань типу С5 для ЄДІ 013 Більшість малюнків у комплекті інтерактивні. Ви можете змінювати параметри та рівняння графіків. Вхід в інтерактивні файли виконується за допомогою клацання по

Тема 41 «Завдання з параметром» Основні формулювання завдань з параметром: 1) Знайти всі значення параметра, при кожному з яких виконується певна умова.) Розв'язати рівняння чи нерівність з

1 Функції, їх графіки та пов'язані з ними докази Зміст 1 Коріння та їх кількість...1 1.1 Коріння рівняння...1 1.1.a Коріння рівняння...1 1. Кількість коренів... 1. Кількість коренів... 1.4 Функціональне

Завдання 18 Критерії оцінки завдань 18 Зміст критерію Балли Обґрунтовано отримано правильну відповідь. 4 За допомогою вірного міркування отримано безліч значень а, відрізняється від шуканого кінцевим числом

Лінійне рівняння a x = b має: єдине рішення при a 0; безліч рішень, при a = 0, b = 0; не має рішень, при a = 0, b 0. Квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0 має: два різні

ВИДИ ГРАФІКІВ Формула: y = kx + b k означає нахил прямої b показує, на скільки одиниць пряма зміщена вгору або вниз щодо початку координат При позитивному k пряма зростає ПРИКЛАДИ: y =

C5 При кожному значенні а розв'яжіть систему Пари, що дають рішення системи, повинні задовольняти умови З другого рівняння системи знаходимо Залишилось помітити, що тоді Рівняння за умов і має при,

Завдання 23 314690. Побудуйте графік функції перетинатиме по- та визначте, за яких значень пряма будований графік у трьох точках. Побудуємо графік функції (див. рисунок). З графіка видно, що пряма

Завдання з параметром (графічний прийом рішення) Введение Застосування графіків щодо завдань із параметрами надзвичайно ефективно. Залежно від способу їх застосування виділяють два основні підходи.

Система підготовки учнів до ЄДІ з математики профільного рівня. (Завдання з параметром) Теоретичний матеріал Визначення. Параметром називається незалежна змінна, значення якої завдання вважається

Завдання для самостійного вирішення. Знайдіть область визначення функції 6x. Знайдіть тангенс кута нахилу до осі абсцис дотичної, що проходить через точку М (;) графіка функції. Знайдіть тангенс кута

Вебінар 5 Тема: Повторення Підготовка до ЄДІ (завдання 8) Завдання 8 Знайдіть усі значення параметра a, при кожному з яких рівняння a a 0 має сім або вісім рішень Нехай, тоді t t Вихідне рівняння

Оскільки правильна відповідь Система вимагає виконання двох і більше умов причому ми шукаємо ті значення невідомої величини які задовольняють відразу всім умовам Зобразимо розв'язання кожної з нерівностей

Розділ 8 Функції та графіки Змінні та залежності між ними. Дві величини і називаються прямо пропорційними, якщо їх відношення постійно, тобто якщо =, де постійне число, що не змінюється зі зміною

Тема 36 «Властивості функцій» Властивості функції розберемо на прикладі про графік довільної функції y = f(x): 1. Область визначення функції це безліч усіх значень змінної x, які мають відповідні

Загальні відомості Завдання з параметрами Рівняння з модулем задачі типу завдань С 5 1 Підготовка до ЄДІ Діхтяр М.Б. 1. Абсолютною величиною, або модулем числа х, називається саме число х, якщо х 0; число x,

Ірраціональні нерівності Нерівності, в яких змінна міститься під знаком кореня, називаються ірраціональними Основним методом розв'язання ірраціональних нерівностей є метод зведення вихідного

Кафедра математики та інформатики Елементи вищої математики Навчально-методичний комплекс для студентів СПО, які навчаються із застосуванням дистанційних технологій Модуль Диференціальне обчислення Упорядник:

Квадратична функція в різних задачах Дихтяр МБ Квадратичною функцією (квадратним тричленом) називається функція виду у ax bx c, де abc, задані числа і Квадратичні функції у

Система завдань на тему «Рівняння дотичної» Визначте знак кутового коефіцієнта дотичної, проведеної до графіка функції y f (), у точках з абсцисами a, b, c а) б) Вкажіть точки, в яких похідна

РІВНЯННЯ І НЕРАВЕНСТВА З МОДУЛЯМИ Гущин Д. Д. www.mathnet.spb.ru 1 0. Найпростіші рівняння. До найпростіших (не обов'язково простих) рівнянь ми відноситимемо рівняння, які вирішуються одним з наведених нижче

МОДУЛЬ «Застосування безперервності та похідної. Застосування похідної дослідження функцій». Застосування безперервності. Метод інтервалів.. Стосовна до графіка. Формула Лагранжа. 4. Застосування похідної

Р Е Ш Е Н І Є З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р І А Н Т А Е Г Е - 2001 П О М А Т Е М А Т І К Е Частина 1 А1. Знайдіть значення виразу. 1. 15 2. 10 3. 5 4. Рішення. Відповідь: 1. А2. Спростіть вираз. 1.

Методика формування компетентнісного компонента математичної культури учнів класів Система вивчення навчальних модулів з математики І. К. Сиротіна, старший викладач кафедри інформаційних технологій

Алгебра 0 клас Тема Тригонометричні функції та перетворення Основні поняття Буквою Z позначається безліч цілей чисел: Z (0; ; ; ;) Арксинусом числа а, що належить проміжку [-; ], називається

111 Функції Базовий рівень Зміст 11101 Системи координат 1110 Поняття функції 7 1110 Область визначення функції 10 11104 Область (множина) значень функції 1 11105 Зростання та зменшення функції

Глава ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ Т-0 Дослідження функції за графіком Т-0 Відповідність між графіком раціональної функції та формулою Т-0 Побудова графіка за властивостями Т-04 Паралельне перенесення графіка Т-05 Симетричне

Єдиний державний іспит з математики, 7 рік демонстраційна версія Частина A Знайдіть значення виразу 6p p при p = Рішення Використовуємо властивість ступеня: Підставимо в отриманий вираз Правильний

Заняття 8 Основні тригонометричні формули (продовження) Тригонометричні функції Перетворення твору тригонометричних функцій на суму Формули для перетворення твору синуса та косинуса

ФУНКЦІЇ. Концепція функції. Припустимо, швидкість руху людини становить 5 км/год. Якщо прийняти час у дорозі за x годин, а пройдений шлях за y км, то залежність пройденого шляху від часу в дорозі можна

Загальні відомості ЄДІ Профільний рівень Завдання 0 Завдання з параметрами Квадратні рівняння та рівняння з квадратним тричленом Дихтяр МБ Рівняння f(a) x + g(a) x + ϕ (a) = 0, де f (a) 0, є

Навколо завдань 18 із ЄДІ 2017 О.В. Шевкін, [email protected]Анотація: У статті розібрано різні способи вирішення ряду завдань із параметром. Ключові слова: рівняння, нерівність, параметр, функція,

Криві другого порядку Окружність Еліпс Гіпербола Парабола Нехай на площині задана прямокутна декартова система координат. Кривий другого порядку називається безліч точок, координати яких задовольняють

Різні підходи до вирішення задач С С С5 ЄДІ 9- року Підготовка до ЄДІ (матеріал для лекції для вчителів) Прокоф'єв АА [email protected]Завдання З Приклад (ЄДЕС) Розв'яжіть систему рівнянь y si (si)(7 y)

1 Квитки 9 10. Рішення Квиток 9 1. Дана лінійна функція f(x). Відомо, що відстань між точками перетину графіків y = x та y = f(x) дорівнює 10, а відстань між точками перетину графіків y =

Кафедра математики та інформатики Математичний аналіз Навчально-методичний комплекс для студентів ВПО, які навчаються із застосуванням дистанційних технологій Модуль 4 Додатки похідної Упорядник: доцент

Лекція 5 на площині. Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку причому постійні А, не рівні нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним

8 клас Рішення 017-018 р.р. Завдання Завдання 1 Знайти суму кубів коренів рівняння (х 7) (х х) 0. Для вирішення рівняння скористаємося методом заміни змінної. Позначимо у = х + х 7, тоді х + х = (х

Розглянемо таку задачу: потрібно скласти рівняння дотичної l, проведеної до графіка функції в точці Відповідно до геометричного змісту похідної

ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ Достатні умови зростання та зменшення функції: Якщо похідна функції, що диференціюється, позитивна всередині деякого проміжку Х, то вона зростає на цьому проміжку Якщо

Вебінар 7 (6-7) Тема: Параметри ЄДІ Профіль Завдання 8 Знайдіть усі значення параметра, при кожному з яких безліч значень функції 5 5 5 містить відрізок Знайдіть усі значення параметра для кожного

5.0. 014 р. Класна робота. Рівняння та системи рівнянь із параметрами. Досвід вступних іспитів до вузів показує, що розв'язання рівнянь та нерівностей, що містять параметри, спричиняє великі труднощі

Л.А. Штраус, І.В. Баринова Завдання з параметром в ЄДІ Методичні поради y=-x 0 -a- -a х -5 Ульяновськ 05 Штраус Л.А. Завдання з параметром у ЄДІ [Текст]: методичні рекомендації/Л.А. Штраус, І.В.

Лекція 13 Тема: Криві другого ладу Криві другого ладу на площині: еліпс, гіпербола, парабола. Виведення рівнянь кривих другого порядку з їх геометричних властивостей. Дослідження форми еліпса,

Математика 8 клас 2 ЗМІСТ ПРОГРАМИ Розділ 1. Алгебраїчні дроби (24 години) Поняття алгебраїчного дробу. Основна властивість алгебраїчного дробу. Скорочення алгебраїчних дробів. Додавання та віднімання

Тема 10 "Графіки елементарних функцій". 1. Лінійна функція f(x) = kx + b. Графік – пряма лінія. 1) Область визначення D(f) = R.) Область значень E(f) = R. 3) Нулі функції у = 0 при x = k/b. 4) Екстремумів

П0 Похідна Розглянемо деяку функцію f (), що залежить від аргументу Нехай ця функція визначена в точці 0 та деякому її околиці, безперервна в цій точці та її околицях Розглянемо невелике

Завдання з параметрами (10 11 класи) Параметри це ті ж числа, просто заздалегідь не відомі 1 Лінійні рівняння та нерівності з параметрами Лінійна функція: - Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Варіант Знайти область визначення функції: y + Область визначення цієї функції визначається нерівністю Крім того знаменник не повинен звертатися в нуль Знайдемо коріння знаменника:

КВИТОК 15 Фізтех 017. Квитки 15 16. Рішення 1. Відомо, що з трьох послідовних натуральних значень аргументу квадратична функція f(x) приймає значення 1, 1 і 5 відповідно. Знайдіть найменше

Побудова графіків функций 1. План дослідження функції при побудові графика 1. Знайти область визначення функції. Часто корисно враховувати безліч значень функції. Дослідити спеціальні властивості функції:

Розглянемо графік функції y=f(x) і дотичну в точці P 0 (x 0 ; f(x 0)). Знайдемо кутовий коефіцієнт, що стосується графіка в цій точці. Кут нахилу дотичної Р 0

Геометричний зміст похідної, дотична 1. На малюнку зображено графік функції y=f(x) та дотична до нього в точці з абсцисою x 0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x 0. Значення

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Московський фізико-технічний інститут (державний університет) Заочна фізико-технічна школа МАТЕМАТИКА Розв'язання задач із параметрами (01 015

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ Зміст КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ... 4. та дослідження квадратних рівнянь... 4.. Квадратне рівняння з числовими коефіцієнтами... 4.. Вирішити та дослідити квадратні рівняння щодо

Рівняння, нерівності, системи з параметром Відповідями до завдань є слово, словосполучення, число чи послідовність слів, чисел. Запишіть відповідь без пробілів, ком та інших додаткових символів.

РОЗДІЛ ЗАВДАННЯ З ПАРАМЕТРАМИ Коментар Завдання з параметрами традиційно є складними завданнями у структурі ЄДІ, що вимагають від абітурієнта не лише володіння всіма методами та прийомами рішення різних

Математика. Зібрання завдань (14 квітня 01). Завдання з параметром-. Завдання 1. При яких значеннях параметра існує єдине рішення рівняння 4 + 1 = + a ax x x x a Завдання. Знайти усі дійсні

І. В. Яковлєв Матеріали з математики MathUs.ru Метод інтервалів Метод інтервалів це метод вирішення так званих раціональних нерівностей. Загальне поняття раціональної нерівності ми обговоримо пізніше, а тепер

Диференціальне обчислення Введення в математичний аналіз Межа послідовності та функції. Розкриття невизначеностей у межах. Похідна функції. Правила диференціювання. Застосування похідної

Частина I(Варіант 609) A Внесіть множник під знак кореня 8 q A) q 8) q 8) q 8) q 8 8 8 qq Вірна відповідь) Знайдіть значення виразу),5) Вірна відповідь) 9 при a = aa)) 8 A log 8 Знайдіть значення

Рішення А Зобразимо всі дані числа на числовій осі Те з них, яке розташоване лівіше за всіх і є найменшим Це число 4 Відповідь: 5 А Проаналізуємо нерівність На числовій осі безліч чисел, що задовольняють

6..Н. Похідна 6..Н. Похідна. Зміст 6..0.Н. Похідна Вступ.... 6..0.Н. Похідна складної функції. 5 6..0.Н. Похідні від функцій з модулями. 7 6..0.Н. Зростання та спадання

Якщо система

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 ,

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m. (5.1)

виявилася спільною, т. е. матриці системи A і матриця розширеної системи (зі стовпцем вільних членів) A|b мають один і той же ранг, то можуть представитися дві можливості - a) r = n; б) r< n:

а) якщо r = n, маємо n незалежних рівнянь з n невідомими, причому визначник D цієї системи відмінний від нуля. Така система має єдине рішення, одержуване ;

б) якщо r< n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Перенесемо зайві невідомі x r+1 , x r+2 ,..., x n , які називають вільними, у праві частини; наша система лінійних рівнянь набуде вигляду:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1r x r = b 1 - a 1 , r+1 x r+1 -... - a 1n x n,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2r x r = b 2 - a 2 , r+1 x r+1 -... - a 2n x n,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

a r1 x 1 + a r2 x 2 +... + a rr x r = b r - a r, r+1 x r+1 -... - a rn x n.

Її можна вирішити щодо x 1 , x 2 ,..., x r , оскільки визначник цієї системи (r-го порядку) відрізняється від нуля. Надаючи вільним невідомим довільні числові значення, отримаємо за формулами Крамера відповідні числові значення x 1 , x 2 ,..., x r. Таким чином, при r< n имеем бесчисленное множество решений.

Система (5.1) називається однорідний, якщо всі b i = 0, тобто вона має вигляд:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n xn = 0, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n xn = 0, (5.5) ... ... . .. ... ... ... a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn xn = 0.

З теореми Кронекера-Капеллі випливає, що вона завжди спільна, тому що додавання стовпця з нулів не може підвищити рангу матриці. Це, втім, видно і безпосередньо - система (5.5) свідомо має нульове, або тривіальне рішення x 1 = x 2 =... = x n = 0. Нехай матриця А системи (5.5) має ранг r. Якщо r = n, то нульове рішення буде єдиним розв'язком системи (5.5); при r< n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений. Всякий ненулевой вектор - столбец X= (x 1 , x 2 ,..., x n) T называется власним вектором лінійного перетворення (квадратної матриці A ), якщо знайдеться таке число λ, що виконуватиметься рівність

Число λ називається власним значенням лінійного перетворення (матриці A ), відповідним вектором X. Матриця A має порядок n. У математичній економіці велику роль відіграють так звані продуктивні матриці. Доведено, що матриця A є продуктивною тоді і лише тоді, коли всі власні значення матриці A за модулем менше одиниці. Для знаходження власних значень матриці A перепишемо рівність AX = λX у вигляді (A - λE)X = 0, де E- одинична матриця n-го порядку або в координатній формі:

(a 11 -λ)x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n =0,

a 21 x 1 + (a 22 -λ) x 2 +... + a 2n x n = 0, (5.6)

... ... ... ... ... ... ... ... ... a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + (a nn -λ) xn = 0 .

Отримали систему лінійних однорідних рівнянь, що має ненульові рішення і тоді, коли визначник цієї системи дорівнює нулю, тобто.

Отримали рівняння n-го ступеня щодо невідомого λ, яке називається характеристичним рівнянням матриці A, багаточлен називається характеристичним багаточленом матриці A, а його коріння - характеристичними числами, чи власними значеннями, матриці A. Для знаходження власних матриці A векторне рівняння (A - λE)X = 0 або у відповідну систему однорідних рівнянь (5.6) потрібно підставити знайдені значення λ і вирішувати звичайним чином. Приклад 2.16. Дослідити систему рівнянь та вирішити її, якщо вона спільна.

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 = 1, 3x 1 - x 2 + x 3 + 4x 4 + 3x 5 = 4, x 1 + 5x 2 - 9x 3 - 8x 4 + x 5 =0 .

Рішення.Будемо знаходити ранги матриць A і A|b методом елементарних перетворень, водночас наводячи систему до ступінчастого вигляду:

Очевидно, що r(A) = r( A|b) = 2. Вихідна система рівносильна наступній, наведеній до ступінчастого вигляду:

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 = 1, - 4x 2 + 7x 3 + 7x 4 = 1.

Оскільки визначник при невідомих x 1і x 2відмінний від нуля, їх можна прийняти в якості головних і переписати систему у вигляді:

x 1 + x 2 = 2x 3 + x 4 - x 5 + 1, - 4x 2 = - 7x 3 - 7x 4 + 1,

Звідки x 2 = 7/4 x 3 + 7/4 x 4 -1/4, x 1 = 1/4 x 3 -3/4 x 4 - x 5 + 5/4 - загальне рішення системи, що має безліч рішень . Надаючи вільним невідомим x 3 , x 4 , x 5конкретні числові значення, отримуватимемо приватні рішення. Наприклад, при х 3 = х 4 = х 5 = 0 х 1 = 5/4, х 2 = - 1/4. Вектор C(5/4 - 1/4, 0, 0, 0) є приватним рішенням даної системи. Приклад 2.17.Дослідити систему рівнянь та знайти загальне рішення залежно від значення параметра а.

2x 1 - x 2 + x 3 + x 4 = 1, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2, x 1 + 7x 2 - 4x 3 + 11x 4 = a.

Рішення.Даній системі відповідає матриця . Маємо А ~

отже, вихідна система рівносильна такій:

x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2,

5x 2 - 3x 3 + 7x 4 = a-2,

Звідси видно, що система спільна лише за a=5. Загальне рішення у цьому випадку має вигляд:

x 2 = 3/5 + 3/5x 3 - 7/5x 4 x 1 = 4/5 - 1/5x 3 - 6/5x 4.

приклад 2.18. З'ясувати, чи буде лінійно залежною система векторів:

a 1 =(1, 1, 4, 2),

a 2 = (1, -1, -2, 4),

a 3 = (0, 2, 6, -2),

a 4 =(-3, -1, 3, 4),

a 5 =(-1, 0, - 4, -7),

Рішення.Система векторів є лінійно залежною, якщо знайдуться такі числа x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ,з яких хоча б одне відмінно від нуля
(див. п. 1. розд. I), що виконується векторна рівність:

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3+x4 a 4+x5 a 5 = 0.

У координатному записі воно рівносильне системі рівнянь:

x 1 + x 2 - 3x 4 - x 5 = 0, x 1 - x 2 + 2x 3 - x 4 = 0, 4x 1 - 2x 2 + 6x 3 +3x 4 - 4x 5 = 0, 2x 1 + 4x 2 - 2x3 + 4x4 - 7x5 = 0.

Отже, отримали систему лінійних однорідних рівнянь. Вирішуємо її шляхом виключення невідомих:

Система приведена до ступінчастого вигляду, що дорівнює 3, отже, однорідна система рівнянь має рішення, відмінні від нульового (r< n). Определитель при неизвестных x 1 , x 2 , x 4відмінний від нуля, тому їх можна вибрати як головні і переписати систему у вигляді:

x 1 + x 2 - 3x 4 = x 5, -2x 2 + 2x 4 = -2x 3 - x 5, - 3x 4 = - x 5.

Маємо: x 4 = 1/3 x 5 x 2 = 5/6 x 5 + x 3 x 1 = 7/6 x 5 -x 3 . Система має безліч рішень; якщо вільні невідомі x 3і x 5не рівні нулю одночасно, те й головні невідомі відмінні від нуля. Отже, векторне рівняння

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3+x4 a 4+x5 a 5 = 0