\(\sqrt{a}=b\), если \(b^2=a\), где \(a≥0,b≥0\)

Примеры:

\(\sqrt{49}=7\), так как \(7^2=49\)
\(\sqrt{0,04}=0,2\),так как \(0,2^2=0,04\)

Как извлечь квадратный корень из числа?

Чтобы извлечь квадратный корень из числа, надо задать себе вопрос: какое число в квадрате даст выражение под корнем?

Например . Извлеките корень: а)\(\sqrt{2500}\); б) \(\sqrt{\frac{4}{9}}\); в) \(\sqrt{0,001}\); г) \(\sqrt{1\frac{13}{36}}\)

а) Какое число в квадрате даст \(2500\)?

\(\sqrt{2500}=50\)

б) Какое число в квадрате даст \(\frac{4}{9}\) ?

\(\sqrt{\frac{4}{9}}\) \(=\)\(\frac{2}{3}\)

в) Какое число в квадрате, даст \(0,0001\)?

\(\sqrt{0,0001}=0,01\)

г) Какое число в квадрате даст \(\sqrt{1\frac{13}{36}}\)? Чтобы дать ответ на вопрос, нужно перевести в неправильную.

\(\sqrt{1\frac{13}{36}}=\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{7}{6}\)

Замечание : Хотя \(-50\), \(-\frac{2}{3}\) , \(-0,01\),\(- \frac{7}{6}\) , тоже отвечают на поставленные вопросы, но их не учитывают, так как квадратный корень – всегда положителен.

Главное свойство корня

Как известно, в математике у любого действия есть обратное. У сложения – вычитание, у умножения – деление. Обратное действие возведению в квадрат - извлечение квадратного корня. Поэтому эти действия компенсируют друг друга:

\((\sqrt{a})^2=a\)

Это и есть главное свойства корня, которое чаще всего используется (в том числе и в ОГЭ)

Пример . (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения \(\frac{(2\sqrt{6})^2}{36}\)

Решение : \(\frac{(2\sqrt{6})^2}{36}=\frac{4 \cdot (\sqrt{6})^2}{36}=\frac{4 \cdot 6}{36}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)

Пример . (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения \((\sqrt{85}-1)^2\)

Решение:

Конечно, при работе с квадратным корнем нужно использовать и другие .

Пример . (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения \(5\sqrt{11} \cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{22}\)
Решение:

Ответ: \(220\)

4 правила про которые всегда забывают

Корень не всегда извлекается

Пример : \(\sqrt{2}\),\(\sqrt{53}\),\(\sqrt{200}\),\(\sqrt{0,1}\) и т.д. – извлечь корень из числа не всегда возможно и это нормально!

Корень из числа, тоже число

Не надо относится к \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{53}\), как-то особенно. Это числа, да не целые, да , но не все в нашем мире измеряется в целых числах.

Корень извлекается только из неотрицательных чисел

Поэтому в учебниках вы не увидите вот таких записей \(\sqrt{-23}\),\(\sqrt{-1}\),и т.п.

Название: Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса.

Пособие содержит самостоятельные и контрольные работы по всем важнейшим темам курса алгебры и геометрии 8 класса.

Работы состоят из 6 вариантов трех уровней сложности. Дидактические материалы предназначены для организации дифференцированной самостоятельной работы учащихся.

СОДЕРЖАНИЕ
АЛГЕБРА 4
С-1 Рациональные выражение. Сокращение дробей 4
С-2 Сложение и вычитание дробей 5
К-1 Рациональные дроби. Сложение и вычитание дробей 7
С-3 Умножение и деление дробей. Возведение дроби в степень 10
С-4 Преобразование рациональных выражений 12
С-5 Обратная пропорциональность и ее график 14
К-2 Рациональные дроби 16
С-6 Арифметический квадратный корень 18
С-7 Уравнение х2 = а. Функция у = у[х 20
С-8 Квадратный корень из произведения, дроби, степени 22
К-3 Арифметический квадратный корень и его свойства 24
С-9 Внесение и вынесение множителя в квадратных корнях 27
С-10 Преобразование выражений, содержащих квадратные корни 28
К-4 Применение свойств арифметического квадратного корня 30
С-11 Неполные квадратные уравнения 32
С-12 Формула корней квадратного уравнения 33
С-13 Решение задач с помощью квадратных уравнений. Теорема Виета 34
К-5 Квадратные уравнения 36
С-14 Дробные рациональные уравнения 38
С-15 Применение дробных рациональных уравнений. Решение задач 39
К-6 Дробные рациональные уравнения 40
С-16 Свойства числовых неравенств 43
К-7 Числовые неравенства и их свойства 44
С-17 Линейные неравенства с одной переменной 47
С-18 Системы линейных неравенств 48
К-8 Линейные неравенства и системы неравенств с одной переменной 50
С-19 Степень с отрицательным показателем 52
К-9 Степень с целым показателем 54
К-10 Годовая контрольная работа 56
ГЕОМЕТРИЯ (По Погорелову) 58
С-1 Свойства и признаки параллелограмма". 58
С-2 Прямоугольник. Ромб. Квадрат 60
К-1 Параллелограмм 62
С-3 Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника 63
С-4 Трапеция. Средняя линия трапеции 66
К-2 Трапеция. Средние линии треугольника и трапеции....68
С-5 Теорема Пифагора 70
С-6 Теорема, обратная теореме Пифагора. Перпендикуляр и наклонная 71
С-7 Неравенство треугольника 73
К-3 Теорема Пифагора 74
С-8 Решение прямоугольных треугольников 76
С-9 Свойства тригонометрических функций 78
К-4 Прямоугольный треугольник (обобщающая контрольная работа) 80
С-10 Координаты середины отрезка. Расстояние между точками. Уравнение окружности 82
С-11 Уравнение прямой 84
К-5 Декартовы координаты 86
С-12 Движение и его свойства. Центральная и осевая симметрии. Поворот 88
С-13. Параллельный перенос 90
С-14 Понятие вектора. Равенство векторов 92
С-15 Действия с векторами в координатной форме. Коллинеарные векторы 94
С-16 Действия с векторами в геометрической форме 95
С-17 Скалярное произведение 98
К-6 Векторы 99
К-7 Годовая контрольная работа 102
ГЕОМЕТРИЯ (По Атанасяну) 104
С-1 Свойства и признаки параллелограмма 104
С-2 Прямоугольник. Ромб. Квадрат 106
К-1 Четырехугольники 108
С-3 Площадь прямоугольника, квадрата 109
С-4 Площадь параллелограмма, ромба, треугольника 111
С-5 Площадь трапеции 113
С-6 Теорема Пифагора 114
К-2 Площади. Теорема Пифагора 116
С-7 Определение подобных треугольников. Свойство биссектрисы угла треугольника 118
С-8 Признаки подобия треугольников 120
К-3 Подобие треугольников 122
С-9 Применение подобия к решению задач 124
С-10 Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 126
К-4 Применение подобия к решению задач. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 128
С-11 Касательная к окружности 130
С-12 Центральные и вписанные углы 132
С-13 Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд. Замечательные точки треугольника 134
С-14 Вписанная и описанная окружности 136
К-5 Окружность 137
С-15 Сложение и вычитание векторов 139
С-16 Умножение вектора на число 141
С-17 Средняя линия трапеции 142
К-6 Векторы. Применение векторов к решению задач 144
К-7 Годовая контрольная работа 146
ОТВЕТЫ 148
ЛИТЕРАТУРА 157

ПРЕДИСЛОВИЕ .
1. В одной сравнительно небольшой книге содержится полный набор проверочных работ (включая итоговые контрольные работы) по всему курсу алгебры и геометрии 8-го класса, благодаря чему достаточно приобрести один комплект книг на класс.
Контрольные работы рассчитаны на урок, самостоятельные работы - на 20-35 минут, в зависимости от темы. Для удобства пользования книгой в названии каждой самостоятельной и контрольной работы отражена ее тематика.

2. Сборник позволяет осуществить дифференцированный контроль знаний, так как задания распределены по трем уровням сложности А, Б и В. Уровень А соответствует обязательным программным требованиям, Б - среднему уровню сложности, задания уровня В предназначены для учеников, проявляющих повышенный интерес к математике, а также для использования в классах, школах, гимназиях и лицеях с углубленным изучением математики. Для каждого уровня приведено 2 расположенных рядом равноценных варианта (как они обычно записываются на доске), поэтому на уроке достаточно одной книги на парте.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса. Ершова А.П., Голобородько В.В., 2004 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

• Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 11 класса. Голобородько В.В., Ершова А.П., 2004
• Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 9 класса. Ершова А.П., Голобородько В.В., 2004
• Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии, 8 класс, Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С., 2013

Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!

Начнем с простенького:

Минуууточку. это, а это значит, что мы можем записать вот так:

Усвоил? Вот тебе следующий:

Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда - вот тебе такие примеры:

А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:

Теперь полностью самостоятельно:

Ответы: Молодец! Согласись, все очень легко, главное знать таблицу умножения!

Деление корней

С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.

Напомню, что формула в общем виде выглядит так:

А значит это, что корень из частного равен частному корней.

Ну что, давай разбираться на примерах:

Вот и вся наука. А вот такой пример:

Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.

А что, если попадется такое выражение:

Надо просто применить формулу в обратном направлении:

А вот такой примерчик:

Еще ты можешь встретить такое выражение:

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

Возведение в степень

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа - это число, квадратный корень которого равен.

Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен, в квадрат, то что получаем?

Ну, конечно, !

Рассмотрим на примерах:

Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.

Почитай теорию по теме « » и тебе все станет предельно ясно.

Вот, к примеру, такое выражение:

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:

Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

А вот и ответы:

Внесение под знак корня

Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня!

Это совсем легко!

Допустим, у нас записано число

Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка - корень квадратный из!

Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:

Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак квадратного корня мы можем только положительные числа.

Реши самостоятельно вот этот пример -
Справился? Давай смотреть, что у тебя должно получиться:

Молодец! У тебя получилось внести число под знак корня! Перейдем к не менее важному - рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!

Сравнение корней

Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?

Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)

Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!

Например, определи, что больше: или?

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?

Тогда вперед:

Ну и, очевидно, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень!

Т.е. если, значит, .

Отсюда твердо делаем вывод, что. И никто не убедит нас в обратном!

Извлечение корней из больших чисел

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:

Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:

А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!

Вот и все, не так все и страшно, правда?

Получилось? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

А пример-то - крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

Ну что, начнем раскладывать на множители? Сразу заметим, что можно поделить число на (вспоминаем признаки делимости):

А теперь, попробуй сам (опять же, без калькулятора!):

Ну что, получилось? Молодец, все верно!

Подведем итоги

1. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен.
   .
2. Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.
3. Свойства арифметического корня:
4. При сравнении квадратных корней необходимо помнить, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.

Как тебе квадратный корень? Все понятно?

Мы постарались объяснить тебе без воды все что нужно знать на экзамене про квадратный корень.

Теперь твоя очередь. Напиши нам сложная это для тебя тема или нет.

Узнал ты что-то новое или все было и так ясно.

Пиши в комментариях и удачи на экзаменах!