Закон взаимодействия электрических зарядов - закон Кулона - можно сформулировать иначе, в виде так называемой теоремы Гаусса. Теорема Гаусса получается как следствие закона Кулона и принципа суперпозиции. Доказательство основывается на обратной пропорциональности силы взаимодействия двух точечных зарядов квадрату расстояния между ними. Поэтому теорема Гаусса применима к любому физическому полю, где действует закон обратных квадратов и принцип суперпозиции, например к гравитационному полю.

Рис. 9. Линии напряженности электрического поля точечного заряда, пересекающие замкнутую поверхность X

Для того чтобы сформулировать теорему Гаусса, вернемся к картине силовых линий электрического поля неподвижного точечного заряда. Силовые линии уединенного точечного заряда представляют собой симметрично расположенные радиальные прямые (рис. 7). Можно провести любое число таких линий. Обозначим полное их число через Тогда густота силовых линий на расстоянии от заряда, т. е. число линий, пересекающих единицу поверхности сферы радиуса равна Сравнивая это соотношение с выражением для напряженности поля точечного заряда (4), видим, что густота линий пропорциональна напряженности поля. Мы можем сделать эти величины численно равными, надлежащим образом выбрав полное число силовых линий N:

Таким образом, поверхность сферы любого радиуса, охватывающей точечный заряд пересекает одно и то же число силовых линий. Это значит, что силовые линии непрерывны: в промежутке между любыми двумя концентрическими сферами разных радиусов ни одна из линий не обрывается и не добавляется ни одной новой. Поскольку силовые линии непрерывны, то такое же число силовых линий пересекает любую замкнутую поверхность (рис. 9), охватывающую заряд

Силовые линии имеют направление. В случае положительного заряда они выходят наружу из окружающей заряд замкнутой поверхности, как показано на рис. 9. В случае отрицательного заряда они входят внутрь поверхности. Если число выходящих линий считать положительным, а входящих - отрицательным, то в формуле (8) можно опустить знак модуля у заряда и записать ее в виде

Поток напряженности. Введем теперь понятие потока вектора напряженности поля через поверхность. Произвольное поле можно мысленно разбить на малые области, в которых напряженность меняется по модулю и направлению столь мало, что в пределах этой области поле можно считать однородным. В каждой такой области силовые линии представляют собой параллельные прямые и имеют постоянную густоту.

Рис. 10. К определению потока вектора напряженности поля через площадку

Рассмотрим, какое число силовых линий пронизывает малую площадку направление нормали к которой образует угол а с направлением линий напряженности (рис. 10). Пусть - проекция на плоскость, перпендикулярную силовым линиям. Так как число линий, пересекающих одинаково, а густота линий, согласно принятому условию, равна модулю напряженности поля Е, то

Величина а представляет собой проекцию вектора Е на направление нормали к площадке

Поэтому число силовых линий пересекающих площадку равно

Произведение носит название потока напряженности поля через поверхность Формула (10) показывает, что поток вектора Е через поверхность равен числу силовых линий, пересекающих эту поверхность. Отметим, что поток вектора напряженности, как и число проходящих через поверхность силовых линий, есть скаляр.

Рис. 11. Поток вектора напряженности Е через площадку

Зависимость потока от ориентации площадки относительно силовых линий иллюстрируется рис.

Поток напряженности поля через произвольную поверхность представляет собой сумму потоков через элементарные площадки, на которые можно разбить эту поверхность. В силу соотношений (9) и (10) можно утверждать, что поток напряженности поля точечного заряда через любую охватывающую заряд замкнутую поверхность 2 (см. рис. 9), как число выходящих из этой поверхности силовых линий равен При этом вектор нормали к элементарным площадкам замкнутой поверхности следует направлять наружу. Если заряд внутри поверхности отрицателен, то силовые линии входят внутрь этой поверхности и связанный с зарядом поток вектора напряженности поля также отрицателен.

Если внутри замкнутой поверхности находится несколько зарядов, то в соответствии с принципом суперпозиции будут складываться потоки напряженностей их полей. Полный поток будет равен где под следует понимать алгебраическую сумму всех зарядов, находящихся внутри поверхности.

Если внутри замкнутой поверхности электрических зарядов нет или их алгебраическая сумма равна нулю, то полный поток напряженности поля через эту поверхность равен нулю: сколько силовых линий входит в объем, ограниченный поверхностью, столько же и выходит наружу.

Теперь можно окончательно сформулировать теорему Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля Е в вакууме через любую замкнутую поверхность пропорционален полному заряду находящемуся внутри этой поверхности. Математически теорема Гаусса выражается той же формулой (9), где под понимается алгебраическая сумма зарядов. В абсолютной электростатической

системе единиц СГСЭ коэффициент и теорема Гаусса записывается в виде

В СИ и поток напряженности через замкнутую поверхность выражается формулой

Теорема Гаусса широко используется в электростатике. В некоторых случаях с ее помощью легко рассчитываются поля, создаваемые симметрично расположенными зарядами.

Поля симметричных источников. Применим теорему Гаусса для расчета напряженности электрического поля равномерно заряженного по поверхности шара радиуса . Будем для определенности считать его заряд положительным. Распределение зарядов, создающих поле, обладает сферической симметрией. Поэтому такой же симметрией обладает и поле. Силовые линии такого поля направлены по радиусам, а модуль напряженности одинаков во всех точках, равноудаленных от центра шара.

Для того чтобы найти напряженность поля на расстоянии от центра шара, проведем мысленно концентрическую с шаром сферическую поверхность радиуса Поскольку во всех точках этой сферы напряженность поля направлена перпендикулярно ее поверхности и одинакова по модулю, то поток напряженности просто равен произведению напряженности поля на площадь поверхности сферы:

Но эту величину можно выразить и с помощью теоремы Гаусса. Если нас интересует поле вне шара, т. е. при то, например, в СИ и, сравнивая с (13), находим

В системе единиц СГСЭ, очевидно,

Таким образом, снаружи шара напряженность поля такая же, как у поля точечного заряда помещенного в центр шара. Если же интересоваться полем внутри шара, т. е. при то так как весь распределенный по поверхности шара заряд находится вне мысленно проведенной нами сферы. Поэтому поле внутри шара отсутствует:

Аналогично с помощью теоремы Гаусса можно рассчитать электростатическое поле, создаваемое бесконечной заряженной

плоскостью с плотностью постоянной во всех точках плоскости. По соображениям симметрии можно считать, что силовые линии перпендикулярны плоскости, направлены от нее в обе стороны и имеют всюду одинаковую густоту. Действительно, если бы густота силовых линий в разных точках была различной, то перемещение заряженной плоскости вдоль самой себя приводило бы к изменению поля в этих точках, что противоречит симметрии системы - такой сдвиг не должен изменять поле. Другими словами, поле бесконечной равномерно заряженной плоскости является однородным.

В качестве замкнутой поверхности для применения теоремы Гаусса выберем поверхность цилиндра, построенного следующим образом: образующая цилиндра параллельна силовым линиям, а основания имеют площади параллельны заряженной плоскости и лежат по разные стороны от нее (рис. 12). Поток напряженности поля через боковую поверхность равен нулю, поэтому полный поток через замкнутую поверхность равен сумме потоков через основания цилиндра:

Рис. 12. К вычислению напряженности поля равномерно заряженной плоскости

По теореме Гаусса этот же поток определяется зарядом той части плоскости, которая лежит внутри цилиндра, и в СИ равен Сравнивая эти выражения для потока, находим

В системе СГСЭ напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости дается формулой

Для равномерно заряженной пластины конечных размеров полученные выражения приближенно справедливы в области, находящейся достаточно далеко от краев пластины и не слишком далеко от ее поверхности. Вблизи краев пластины поле уже не будет однородным и его силовые линии искривляются. На очень больших по сравнению с размерами пластины расстояниях поле убывает с расстоянием так же, как поле точечного заряда.

В качестве других примеров полей, создаваемых симметрично распределенными источниками, можно привести поле равномерно заряженной по длине бесконечной прямолинейной нити, поле равномерно заряженного бесконечного кругового цилиндра, поле шара,

равномерно заряженного по объему, и т. п. Теорема Гаусса позволяет во всех этих случаях легко рассчитывать напряженность поля.

Теорема Гаусса дает связь между полем и его источниками, в некотором смысле обратную той, что дает закон Кулона, который позволяет определить электрическое поле по заданным зарядам. С помощью теоремы Гаусса можно определить суммарный заряд в любой области пространства, в которой известно распределение электрического поля.

В чем различие концепций дальнодействия и близкодействия при описании взаимодействия электрических зарядов? В какой мере эти концепции можно применить к гравитационному взаимодействию?

Что такое напряженность электрического поля? Что имеют в виду, когда ее называют силовой характеристикой электрического поля?

Каким образом по картине силовых линий можно судить о направлении и модуле напряженности поля в некоторой точке?

Могут ли силовые линии электрического поля пересекаться? Аргументируйте свой ответ.

Нарисуйте качественную картину силовых линий электростатического поля двух зарядов таких, что .

Поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность выражается разными формулами (11) и (12) в системах единиц ГСЭ и в СИ. Как это увязать с геометрическим смыслом потока, определяемого числом силовых линйй, пересекающих поверхность?

Как использовать теорему Гаусса для нахождения напряженности электрического поля при симметричном распределении создающих его зарядов?

Как применить формулы (14) и (15) к вычислению напряженности поля шара с отрицательным зарядом?

Теорема Гаусса и геометрия физического пространства. Посмотрим на доказательство теоремы Гаусса с несколько иной точки зрения. Вернемся к формуле (7), из которой был сделан вывод о том, что через любую окружающую заряд сферическую поверхность проходит одно и то же число силовых линий. Этот вывод связан с тем, что происходит сокращение в знаменателях обеих частей равенства.

В правой части возникло из-за того, что сила взаимодействия зарядов, описываемая законом Кулона, обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами. В левой части появление связано с геометрией: площадь поверхности сферы пропорциональна квадрату ее радиуса.

Пропорциональность площади поверхности квадрату линейных размеров - это отличительная черта евклидовой геометрии в трехмерном пространстве. Действительно, пропорциональность площадей именно квадратам линейных размеров, а не какой-либо иной целой степени, характерно для пространства

трех измерений. То, что этот показатель степени равен точно двум, а не отличается от двойки пусть даже на ничтожно малую величину, свидетельствует о неискривленности этого трехмерного пространства, т. е. о том, что его геометрия именно евклидова.

Таким образом, теорема Гаусса - это проявление свойств физического пространства в фундаментальном законе взаимодействия электрических зарядов.

Идея о тесной связи фундаментальных законов физики со свойствами пространства высказывалась многими выдающимися умами еще задолго до установления самих этих законов. Так, И. Кант за три десятилетия до открытия закона Кулона писал о свойствах пространства: «Трехмерность происходит, по-видимому, оттого, что субстанции в существующем мире действуют одна на другую таким образом, что сила действия обратно пропорциональна квадрату расстояния».

Закон Кулона и теорема Гаусса фактически представляют один и тот же закон природы, выраженный в различных формах. Закон Кулона отражает концепцию дальнодействия, в то время как теорема Гаусса исходит из представления о силовом поле, заполняющем пространство, т. е. из концепции близкодействия. В электростатике источником силового поля является заряд, и связанная с источником характеристика поля - поток напряженности - не может измениться в пустом пространстве, где нет других зарядов. Поскольку поток можно наглядно представлять себе как совокупность силовых линий поля, то неизменность потока проявляется в непрерывности этих линий.

Теорема Гаусса, основанная на обратной пропорциональности взаимодействия квадрату расстояния и на принципе суперпозиции (аддитивности взаимодействия), применима к любому физическому полю, в котором действует закон обратных квадратов. В частности, она справедлива и для гравитационного поля. Ясно, что это не просто случайное совпадение, а отражение того, что и электрическое, и гравитационное взаимодействия разыгрываются в трехмерном евклидовом физическом пространстве.

На какой особенности закона взаимодействия электрических зарядов основана теорема Гаусса?

Докажите, основываясь на теореме Гаусса, что напряженность электрического поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния. Какие свойства симметрии пространства используются в этом доказательстве?

Каким образом геометрия физического пространства отражается в законе Кулона и теореме Гаусса? Какая особенность этих законов свидетельствует об евклидовом характере геометрии и трехмерности физического пространства?

Черноуцан А. И. Силовые линии и теорема Гаусса //Квант. - 1990. - № 3. - С. 52-55.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Из школьного курса физики вы знаете, что наглядное представление об электрическом поле можно получить по картинке силовых линий (договоримся под «электрическим» полем здесь понимать электростатическое поле). Проводя касательную к силовой линии, мы узнаём направление вектора напряженности (стрелки на линиях укажут, куда именно направить этот вектор), сравнивая густоту силовых линий в разных местах (т. е. число силовых линий, проходящих через единичную площадку перпендикулярно к ней), выясняем, где и во сколько раз больше величина напряженности. Однако значение силовых линий этим не исчерпывается.

Хорошо знакомое вам свойство непрерывности линий в пустом пространстве отражает, на самом деле, важнейшее свойство электрического поля. Сформулируем его: электрическое поле устроено так, что можно проводить силовые линии, соблюдая правило густоты и не обрывая их при этом в пустом пространстве между зарядами; линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных; на каждом заряде начинается (или заканчивается) число линий, пропорциональное его величине.

Вы удивлены? Вам это свойство кажется очевидным, само собой разумеющимся? Это далеко не так. Будь закон Кулона чуть-чуть иным, и провести силовые линии непрерывно уже не удалось бы. Возьмем, к примеру, точечный заряд. По мере удаления от него густота силовых линий уменьшается. Так, при увеличении расстояния от заряда в 2 раза густота линий уменьшится в 4 раза (число линий не изменится, а площадь поверхности сферы увеличится в 4 раза). Во столько же раз уменьшится и напряженность электрического поля. Но только благодаря тому, что в законе Кулона стоит \(~\frac{1}{r^2}\)! Если бы, например, там было \(~\frac{1}{r^3}\), то напряженность уменьшилась бы не в 4, а в 8 раз, и для соблюдения правила густоты половину силовых линий пришлось бы оборвать на пути от r до 2r . И это в пустом пространстве!

Математически строгим выражением свойства непрерывности силовых линий электрического поля является теорема Гаусса. Для того чтобы сформулировать и доказать ее, нам надо сначала перейти от качественного языка силовых линий к точным количественным представлениям. Начнем с того, что несколько перефразируем свойство непрерывности линий.

Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность. Если внутри поверхности зарядов нет, то число вышедших из нее линий в точности равно числу вошедших. Удобно входящие линии учитывать наряду с выходящими, но приписывать им знак «минус». Тогда можно сказать, что полное число выходящих из «пустой» поверхности силовых линий равно нулю. Если же внутри поверхности находится какой-нибудь заряд, то, очевидно, что полное число линий, выходящих из поверхности, будет пропорционально величине этого заряда . Это и есть качественная формулировка теоремы Гаусса. Но - пойдем дальше.

Введем скалярную величину Φ - ее называют потоком вектора напряженности через некоторую маленькую площадку:

\(~\Phi = ES \cos \alpha\) . (1)

Здесь \(~\vec E\) - напряженность поля в месте нахождения выбранной площадки (раз площадка маленькая, поле можно считать однородным), S - площадь площадки, α - угол между вектором \(~\vec E\) и вектором \(~\vec n\) нормали к площадке. Посмотрите на рисунок 1: число силовых линий, пронизывающих площадку S , равно произведению их густоты на площадь поперечной площадки \(~S_{\perp} = S \cos \alpha\). Так как густота линий пропорциональна Е , полное число силовых линий, проходящих через площадку, пропорционально потоку Φ . Всем силовым линиям, выходящим из некоторой замкнутой поверхности, соответствует поток через всю эту поверхность (т. е. сумма потоков через отдельные маленькие участки поверхности). Чтобы выходящие линии давали положительный вклад в поток, а входящие - отрицательный, договоримся, чтобы нормаль к поверхности всюду «смотрела» наружу.

Теперь понятно, что теорему Гаусса можно сформулировать так: поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность пропорционален полному заряду, заключенному внутри этой поверхности . Чтобы доказать эту теорему, а заодно и вычислить коэффициент пропорциональности, рассмотрим сначала простое, но очень важное свойство величины Φ .

Запишем формулу (1) в виде \(~\Phi = (E \cos \alpha) S = E_n S\), где E n - проекция вектора \(~\vec E\) на направление нормали \(~\vec n\). Если поле создается несколькими зарядами, то по принципу суперпозиции \(~\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 + \ldots + \vec E_k\). Но проекция суммы векторов равна сумме проекций: E n = E 1n + E 2n + … + E kn . Отсюда получаем, что полный поток вектора напряженности равен сумме потоков, создаваемых отдельными зарядами: Φ = Φ 1 + Φ 2 + … + Φ k . Поэтому можно говорить о вкладе в полный поток от каждого отдельного заряда.

Докажем вначале, что вклад в поток от точечного заряда q , находящегося вне замкнутой поверхности, равен нулю. Рассмотрим два маленьких участка поверхности, отсекаемых узким конусом (рис. 2). Имеем

\(~\begin{matrix} \Phi_1 = E_1 S_1 \cos \alpha_1 = -E_1 S_{1 \perp} \\ \Phi_2 = E_2 S_2 \cos \alpha_2 = E_2 S_{2 \perp} \end{matrix}\) ,

где \(~E_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2_1}\) , \(~E_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2_2}\) .

Из подобия следует, что

\(~\frac{r^2_1}{r^2_2} = \frac{S_{1 \perp}}{S_{2 \perp}}\) .

Таким образом,

\(~\Phi_1 = -\Phi_2\) , или \(~\Phi_1 + \Phi_2 = 0\).

Аналогичное взаимное уничтожение потоков происходит и для любой другой пары соответствующих участков.

Вычислим теперь вклад в поток от точечного заряда, находящегося внутри замкнутой поверхности. Окружим заряд сферической поверхностью радиусом r (рис. 3). Рассуждая аналогично предыдущему, получим, что в этом случае Φ 1 = Φ 2 , т. е. что поток через рассматриваемую произвольную поверхность равен потоку через сферу. А поток через сферу вычислить легко:

\(~\Phi = ES = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2} 4 \pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}\) .

Таким образом, мы пришли к окончательной формулировке теоремы Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен полному заряду, заключенному внутри этой поверхности, деленному на электрическую постоянную, т. е.

\(~\Phi = \frac{\sum q_{vnutr}}{\varepsilon_0}\) . (2)

Перейдем теперь к самому приятному - начнем пожинать плоды. Первое применение теоремы Гаусса - это вычисление напряженности электрического поля. Сразу оговоримся, что круг задач, решаемых таким способом, не очень широк (в отличие от способа, основанного на использовании принципа суперпозиции). Но все же он существует. Если мы, например, заранее знаем направление вектора напряженности во всех интересующих нас точках пространства, если удалось выбрать замкнутую поверхность, для которой вычисление потока вектора напряженности является простым, то тогда, может быть, нас ждет успех. Но зато какой успех!

Как известно, много лет потребовалось Ньютону, чтобы доказать, что сила притяжения материальной частицы к шару (Земле) не изменится, если всю массу шара сконцентрировать в его центре. Для проведения доказательства с помощью принципа суперпозиции ему пришлось существенно развить интегральное исчисление. А теперь смотрите, как мы просто справимся с практически такой же задачей. Возьмем шар, равномерно заряженный зарядом Q , и вычислим поле вне его - на расстоянии r от его центра (рис. 4). Из соображений симметрии ясно, что вектор напряженности поля \(~\vec E\) всюду направлен по радиусу. Выразим поток вектора напряженности через сферу радиусом r двумя способами. По определению потока

\(~\Phi = ES = 4 \pi E r^2\) ,

а по теореме Гаусса

\(~\Phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}\) .

Отсюда получаем

\(~E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}\)

Поле заряженного шара вне его совпадает с полем точечного заряда, помещенного в центр шара.

Другой пример: найдем напряженность поля бесконечной заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ (рис. 5). Из симметрии понятно, что вектор \(~\vec E\) всюду перпендикулярен плоскости. Выберем замкнутую поверхность в виде цилиндра, расположенного симметрично относительно плоскости. Поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, а через каждое основание площадью S он равен ES , т. е.

\(~\Phi = 2 ES\) .

Но по теореме Гаусса

\(~\Phi = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0}\) .

Приравнивая правые части обоих равенств, получаем

\(~E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\) .

Наконец, последний пример. Он касается одного очень важного свойства проводников. Покажем, что статические заряды проводника всегда располагаются на его поверхности. Доказательство очень простое. Раз напряженность поля внутри проводника равна нулю (иначе возникло бы движение свободных зарядов), то поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность, проведенную внутри проводника, равен нулю. А это означает, что равен нулю и заряд внутри любой сколь угодно малой поверхности в толще проводника. Следовательно, все заряды проводника действительно располагаются на его поверхности.

А теперь - важное замечание. Доказательство электронейтральности объема проводника опирается на теорему Гаусса, которая, как и свойство непрерывности силовых линий, верна только в том случае, если в законе Кулона стоит \(~\frac{1}{r^2}\). Вывод: справедливость закона Кулона можно проверить экспериментально. Для этого достаточно убедиться в электронейтральности толщи проводника.

Вот видите, как много интересного может рассказать лишь одна теорема - теорема Гаусса.

В ряде случаев теорема Гаусса позволяет найти напряженность электрического поля протяженных заряженных тел, не прибегая к вычислению громоздких интегралов. Обычно это относится к телам, чья геометрическая форма обладает определенными элементами симметрии (шар, цилиндр, плоскость). Рассмотрим некоторые примеры применения теоремы Гаусса для расчета напряженности электрических полей.

Пример 1 . Поле равномерно заряженной плоскости.

Электрическое поле, создаваемое бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскостью, является однородным – в каждой точке пространства вне плоскости его напряженность всюду одинакова. Направлено это поле перпендикулярно к плоскости в обе стороны (рис.2.5). Поэтому для потока вектора напряженности поля через произвольно выбранную цилиндрическую поверхность, опирающуюся на элемент плоскости ΔS, можем написать: , откуда , где - поверхностная плотность заряда. Размерность в СИ: .

Таким образом, искомая напряженность электрического поля равномернозаряженной плоскости .

Пример 2 . Поле равномерно заряженной нити (цилиндра).

В данном случае электрическое поле обладает аксиальной симметрией – не зависит от азимутального угла φ и координаты z и направлено вдоль радиус-вектора (рис.2.6). Поэтому для потока вектора через выбранную цилиндрическую поверхность с осью, совпадающей с заряженной нитью, имеем: , где - элемент цилиндрической поверхности; l – длина произвольного участка нити.

С другой стороны, по теореме Гаусса этот поток равен: причем , - линейная плотность заряда нити. Отсюда находим: .

Искомая напряженность электрического поля равномерно заряженной нити : .

Пример 3 . Поле равномерно заряженного шара.

а) Металлический шар . При равновесии заряды равномерно распределяются по внешней поверхности заряженного шара (рис.2.7). Поэтому при < (внутри шара) электрическое поле отсутствует: .

Вне шара ( > ) электрическое поле, созданное равномерно распределенными по его поверхности зарядами, обладает сферической симметрией (направлено по радиальным линиям), поэтому, согласно теореме Гаусса:

.

Видим, что электрическое поле равномерно заряженного металлического шара не зависит от радиуса шара и совпадает с полем точечного заряда .

б) Диэлектрический шар .

Рассмотрим шар, с условной диэлектрической проницаемостью ε = 1, равномерно заряженный по объему с плотностью заряда (рис.2.8).

Размерность объемной плотности заряда в СИ: .

Полный заряд шара, очевидно, есть: .

Имеем по теореме Гаусса:

1) Внутри шара (r < R) : , где Δq = - заряд внутренней области шара, ограниченной выбранной сферической поверхностью радиуса r . Отсюда находим: .

2) Вне шара (r > R) : , откуда = ,

то есть вне заряженного диэлектрического шара электрическое поле такое же , как и в случае металлического шара.

На рис.2.9 показан качественный ход зависимостей E(r) для металлического и диэлектрического шаров.

металл Рис.2.9 . Зависимость E(r). диэлектрик

1.4 Теорема Гаусса. Вектор электрической индукции.

Теорема Гаусса.

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя теорему Гаусса, определяющую поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность .

Рассмотрим поток вектора напряженности через сферическую поверхность радиуса r , охватывающую точечный заряд q , находящийся в ее центре

Этот результат справедлив для любой замкнутой поверхности произвольной формы ,охватывающей заряд.

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю ,так как число линий напряженности,входящих в поверхность,равно числу линий напряженности, выходящих из нее.

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов .Согласно принципу суперпозиции напряженностьполя ,создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей , создаваемых каждым зарядом в отдельности. Поэтому

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме :потоквектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на ε 0 .

В общем случае электрические заряды могут быть распределены с некоторой объемной плотностью , различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд объема V, охватываемого замкнутой поверхностью S равен и теорему Гаусса следует записать в виде .

Электростатическое поле – это особый вид материи, с помощью которой происходит взаимодействие заряженных тел.

Закон Кулона :сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами q 1 и q 2 прямопропорциональна величинам этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:

Где (e 0 – электрическая постоянная);

e – диэлектрическая проницаемость среды, показывающая во сколько раз сила взаимодействия зарядов в данной среде меньше, чем в вакууме.

Элект­рические поля, которые создаются неподвижными электрическими зарядами, называ­ются электростатическими .

Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина , определяемая силой, действующей на пробный точечный положительный заряд q 0 , помещенный в эту точку поля, то есть:

Электростатическое поле может быть изображено графически с помощьюсиловых линий .Силовая линия - это такая линия, касательная в каждой точке к которой совпадает по направлению с вектором напряженности электростатическго поля в данной точке (рис. 1, 2).

Если поле создается точечным зарядом, то силовые линии – это радиальные прямые, выходящие из положительного заряда (рис. 2, а ), и входя­щие в отрицательный заряд (рис. 2, б ).

Рис. 1 Рис. 2

С помощью силовых линий можно характеризовать не только направление, но и величину напряженности электростатического поля, связывая ей с густотой силовых линий. Большей густоте силовых линий соответствует большая величина напряженности (рис. 1, 2). Количественно числу силовых линий, прони­зывающих единичную площадку, расположенную перпендикулярно силовым линиям, ставится в соответствие величина напряженности электростатического поля. В этом случае определенному заряду q , создающему поле, соответствует определенное число N силовых линий, выходящих (для ) из заряда или входящих (для ) в заряд, а именно: .

Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную площадку S характкризуется числом силовых линий, пронизывающих данную площадку S.

Если площадка S перпендикулярна силовым линиям (рис. 3), то поток Ф Е вектора напряженности через данную площадку S : .

Рис. 3 Рис. 4

Рис. 3

Если же площадка S расположена неперпендикулярно силовым линиям электро-статического поля (рис. 4), то поток вектора через данную площадку S :

,

где α – угол между векторами напряженности и нормали к площадке S .

Для того, чтобы найти поток Ф Е вектора напряженности через произвольную поверхность S , необходиморазбить эту поверхность на элементарные площадки dS (рис. 5),определить элементарный поток dФ Е через каждую площадку dS по формуле:

,

а затем все эти элементарные потоки dФ Е сложить, что приводит к интегрированию:

,

где α – угол между векторами напряженности и нормали к данной элементарной площадке dS .

Если ввести вектор (рис. 5) как вектор, равный по величине площади площадки dS и направленный по вектору нормали к площадке dS , то величина , где a – угол между векторами и может быть записана в виде скалярного произведения векторов и , то есть, как , а полученное соотношение для потока вектора примет вид:

.

Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля.

Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля связывает между собой величину потока Ф Е вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность S с величинойзаряда q , заключенного внутри данной замкнутой поверхности S (рис. 6).

Рис. 6

Поскольку все силовые линии, выходящие из заряда (для ) или входящие в заряд (для ), пронизываютпроизвольную замкнутую поверхность S , охватывающую этот заряд (рис. 6), то величина потока Ф Е вектора через эту поверхность S будет определяться числом N силовых линий выходящих из заряда (для ) или входящих в заряд (для ):

.

Это соотношение есть теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля.

Таккак поток считается положитель­ным, если силовые линии выходят из поверхности S , и отрицательным для линий, входящих в поверхность S, то в случае, если внутри произвольной замкнутой поверхности S находится не один, а несколько (n ) разноименных зарялов, то теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля формулируется следующим образом:

поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произ­вольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e 0 :

.

Тема 2. Работа сил электростатического поля. Потенциал

Если в электростатическом поле, создаваемом точечным зарядом q , перемещается другой пробный заряд q 0 из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис. 7), то при этом совершается работа сил электростатического поля.

Элементарная работа dA силы на элементарном перемещении равна: .

Из рисунка 7 видно, что .

Тогда ().

Работа А при перемещении заряда q 0 вдоль траектории от точки 1 до точки 2 :

То есть работа при перемещении заряда из точки 1 в

точку 2 в электростатическом поле не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной и конечной точек. Поэтому электростатическое поле точечного заряда является потенциальным .

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q 0 из точки 1 в точку 2 , выражается следующим образом:

,

где φ 1 и φ 2 – потенциалы электростатического поля в точках 1 и 2 .

Потенциал электростатического поля определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной С , то есть для поля точечного заряда q :

.

Тогда , .

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами электростатического поля, при перемещении пробного точечного заряда q 0 из точки 1 в точку 2 :

.

Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

Напряженность и потенциал φ электростатического поля связаны между собой следующим образом:

= – grad φ

или , где

– единичные векторы координатных осей Ох , Оy , Оz , соответственно.

Знак минус в приведенной формуле означает, что вектор напряженности электростатического поля направлен в сторону максимального убывания потенциала j .

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля используютсяэквипотенциальные поверхности, то естьповерхности, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение.

Например, для поля, созданного точечным зарядом q , потенциал j определяется выражением: , а эквипотенциальными поверхностями являются кон­центрические сферы (рис. 8).

Из этого рисунка видно, что в случае точечного заряда силовые линии поля (штриховые линии на рисунке) нормальны (перпендикулярны) к эквипотенциальным поверхностям (сплошные линии на рисунке).

Это свойство нормального взаимного расположения силовых линий и эквипотенциальных поверхностей электростатического поля является общим для любых случаев электростатического поля.

Таким образом, зная расположение силовый линий электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности этого электростатического поля и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей электростатического поля можно построить силовые линии электростатического поля.

Магнитное поле

Тема 3. Магнитное поле. Закон Био-Савара-Лапласа

Электрический ток создает поле, действующее на магнитную стрелку. Стрелка ориентируется по касательной к окружности, лежащей в плоскости, перпендикуляной к проводнику с током (рис. 9).

Основной характеристикой магнитного поля является вектор индукция . Принято, что вектор индукция магнитного поля направлен в сторону север-ного полюса магнитной стрелки, помещенной в данную точку поля (рис. 9).

По аналогии с электрическим полем, магнитное поле также может быть изображено графически с помощью силовых линий (линий индукции магнитного поля ).

Силовая линия – это такая линия, касательная к которой в каждой точке совпадает по направлению с вектором индукции магнитного поля. Силовые линии магнитного поля, в отличие от силовых линий электростатического поля, являются замкнутыми и охватывают проводники с током. Направление силовых линий задается правилом правого винта (правилом буравчика): головка винта, ввинчиваемого по направлению тока, враща­ется в направлении линий Рис. 9

магнитной индукции (рис. 9).

Для нескольких источников магнитного поля согласно принципу суперпозиции магнитных полей индукция результирующего магнитного поля равна векторной сумме индукций всех отдельных магнитных полей:

Вектор индукции магнитного поля, создаваемого проводником с током , можно определить с помощью закона Био-Савара-Лапласа. При этомнеобходимо учесть то, что закон Био-Савара-Лапласа позволяет найти модуль и направление лишьвектора индукции магнитного поля, создаваемого элементом проводника с током . Поэтому для определения вектора индукции магнитного поля, создаваемого проводником с током , необходимо первоначально разбить этот проводник на элементы проводника , для каждого элемента с помощью закона Био-Савара-Лапласа найти вектор индукции , а затем, используя принцип суперпозиции магнитных полей, сложить векторно все найденные вектора индукции .

Рассмотрим поле точечного заряда $q$, найдем поток вектора напряжённости ($\overrightarrow{E}$) через замкнутую поверхность $S$. Будем считать, что заряд находится внутри поверхности. Поток вектора напряженности через любую поверхность равен количеству линий вектора напряженности, которые выходят наружу (начинаются на заряде, если $q>0$) или количеству линий $\overrightarrow{E}$входящих внутрь, если $q \[Ф_E=\frac{q}{{\varepsilon }_0}\ \left(1\right),\]

где знак потока совпадает со знаком заряда.

Теорема Остроградского - Гаусса в интегральной форме

Допустим, что внутри поверхности S находится N точечных зарядов, величины $q_1,q_2,\dots q_N.$ Из принципа суперпозиции мы знаем, что результирующая напряженность поля всех N зарядов может быть найдена как сумма напряженностей полей, которые создаются каждым из зарядов, то есть:

Следовательно, для потока системы точечных зарядов можно записать:

Используем формулу (1), получаем, что:

\[Ф_E=\oint\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\sum\limits^N_{i=1}{q_i\ }\left(4\right).\]

Уравнение (4) значит, что поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, которые находятся внутри данной поверхности, деленой на электрическую постоянную. Это теорема Остроградского - Гаусса в интегральной форме. Данная теорема является следствием закона Кулона. Значение данной теоремы заключается в том, что она позволяет довольно просто вычислять электрические поля при различных распределениях зарядов.

Как следствие теоремы Остроградского - Гаусса надо сказать, что поток вектора напряженности ($Ф_E$) через замкнутую поверхность в случае при котором заряды находятся вне данной поверхности, равен нулю.

В том случае, когда можно не учитывать дискретность зарядов используют понятие объемной плотности заряда ($\rho $), если заряд распределен по объему. Она определена как:

\[\rho =\frac{dq}{dV}\left(5\right),\]

где $dq$ - заряд, который можно считать точечным, $dV$ -- малый объем. (Относительно $dV$ необходимо сделать следующее замечание. Данный объем мал настолько, чтобы плотность заряда в нем можно было считать постоянной, но достаточно велик, чтобы не начала проявляться дискретность заряда). Суммарный заряд, который находится в полости, можно найти как:

\[\sum\limits^N_{i=1}{q_i\ }=\int\limits_V{\rho dV}\left(6\right).\]

В таком случае формулу (4) перепишем в виде:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV}\left(7\right).\]

Теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме

Используя формулу Остроградского - Гаусса для любого поля векторной природы, с помощью которой осуществляется переход от интегрирования по замкнутой поверхности к интегрированию по объему:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{a}\overrightarrow{dS}=\int\nolimits_V{div}}\overrightarrow{a}dV\ \left(8\right),\]

где $\overrightarrow{a}-$вектор поля (в нашем случае это $\overrightarrow{E}$), $div\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\nabla }\overrightarrow{a}=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}$ -- дивергенция вектора $\overrightarrow{a}$ в точке с координатами (x,y,z), которая отображает векторное поле на скалярное. $\overrightarrow{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial }{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{k}$ - оператор набла. (В нашем случае будет $div\overrightarrow{E}=\overrightarrow{\nabla }\overrightarrow{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}$) -- дивергенция вектора напряженности. Следуя вышесказанному, формулу (6) перепишем как:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=\int\nolimits_V{div}}\overrightarrow{E}dV=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV}\left(9\right).\]

Равенства в уравнении (9) выполняются для любого объема, а это осуществимо только, если функции, которые находятся в подынтегральных выражениях, равны в каждой токе пространства, то есть мы можем записать, что:

Выражение (10) -- теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме. Трактовка ее такова: заряды являются источниками электрического поля. Если $div\overrightarrow{E}>0$, то в этих точках поля (заряды положительные) мы имеем источники поля, если $div\overrightarrow{E}

Задание: Заряд равномерно распределен по объему, в этом объеме выделена кубическая поверхность, со стороной b. Она вписана в сферу. Найдите отношение потоков вектора напряженности сквозь эти поверхности.

Согласно теореме Гаусса поток ($Ф_E$) вектора напряженности $\overrightarrow{E}$ через замкнутую поверхность при равномерном распределении заряда по объему равен:

\[Ф_E=\frac{1}{{\varepsilon }_0}Q=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV=\frac{\rho }{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{dV}=\frac{\rho V}{{\varepsilon }_0}}\left(1.1\right).\]

Следовательно, нам необходимо определить объемы куба и шара, если шар описать вокруг этого куба. Для начала, объем куба ($V_k$) если сторона его b равен:

Найдем объем шара ($V_{sh}$) по формуле:

где $D$ -- диаметр шара и (так как шар описан вокруг куба), главная диагональ куба. Следовательно, нам необходимо выразить диагональ куба через его сторону. Это легко сделать, если использовать теорему Пифагора. Для вычисления диагонали куба, например, (1,5) нам сначала необходимо найти диагональ квадрата (нижнего основания куба) (1,6). Длина диагонали (1,6) равна:

В таком случает длина диагонали (1,5) равна:

\[{D=D}_{15}=\sqrt{b^2+{(\sqrt{b^2+b^2\ \ \ })}^2}=b\sqrt{3}\ \left(1.5\right).\]

Подставим в (1.3) найденный диаметр шара, получим:

Теперь мы можем найти потоки вектора напряженности через поверхность куба, она равна:

\[Ф_{Ek}=\frac{\rho V_k}{{\varepsilon }_0}=\frac{\rho b^3}{{\varepsilon }_0}\left(1.7\right),\]

через поверхность шара:

\[Ф_{Esh}=\frac{\rho V_{sh}}{{\varepsilon }_0}=\frac{\rho }{{\varepsilon }_0}\frac{\sqrt{3}}{2}\pi b^3\ \left(1.8\right).\]

Найдем отношение $\frac{Ф_{Esh}}{Ф_{Ek}}$:

\[\frac{Ф_{Esh}}{Ф_{Ek}}=\frac{\frac{с}{\varepsilon_0}\frac{\sqrt{3}}{2} \pi b^3}{\frac{сb^3}{\varepsilon_0}}=\frac{\pi}{2}\sqrt{3}\ \approx 2,7\left(1.9\right).\]

Ответ: Поток через поверхность шара в 2,7 раза больше.

Задание: Докажите, что заряд проводника располагается на его поверхности.

Используем для доказательства теорему Гаусса. Выделим в проводнике замкнутую поверхность произвольной формы около поверхности проводника (рис.2).

Допустим, что заряды внутри проводника есть, запишем с теорему Остроградского - Гаусса для дивергенции поля имеем для любой точки поверхности S:

где $\rho -плотность\ $внутреннего заряда. Однако поля внутри проводника нет, то есть $\overrightarrow{E}=0$, следовательно, $div\overrightarrow{E}=0\to \rho =0$. Теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме локальна, то есть, она записана для точки поля, мы специальным образом точку не выбирали, следовательно, плотность заряда равна нулю в любой точке поля внутри проводника.