Զուգահեռագիծը քառանկյուն է, որի հակառակ կողմերը զույգերով զուգահեռ են: Այս սահմանումն արդեն բավարար է, քանի որ զուգահեռագծի մնացած հատկությունները բխում են դրանից և ապացուցվում են թեորեմների տեսքով։

Զուգահեռագծի հիմնական հատկություններն են.

• զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է.
• Զուգահեռագիծն ունի զույգերով հավասար հակառակ կողմեր.
• զուգահեռագծի համար հակառակ անկյունները զույգերով հավասար են.
• զուգահեռագծի անկյունագծերը կիսով չափ կրճատվում են հատման կետով:

Զուգահեռագիծ - ուռուցիկ քառանկյուն

Նախ, մենք ապացուցում ենք այն թեորեմը, որ զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է... Բազմանկյունը ուռուցիկ է, երբ նրա որ կողմն էլ ձգվի ուղիղ գծի վրա, բազմանկյան մյուս կողմերը կլինեն այս ուղիղ գծի մի կողմում:

Թող տրվի ABCD զուգահեռագիծ, որտեղ AB-ը CD-ի հակառակ կողմն է, իսկ BC-ն՝ AD-ի հակառակ կողմը: Այնուհետեւ զուգահեռագծի սահմանումից հետեւում է, որ AB || CD, մ.թ.ա. || ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ.

Զուգահեռ ուղիղները չունեն ընդհանուր կետեր, չեն հատվում։ Սա նշանակում է, որ CD-ն գտնվում է AB-ի մի կողմում: Քանի որ BC հատվածը կապում է AB հատվածի B կետը CD հատվածի C կետի հետ, իսկ AD հատվածը միացնում է այլ AB և CD կետեր, BC և AD հատվածները նույնպես գտնվում են AB գծի նույն կողմում, որտեղ գտնվում է CD: Այսպիսով, բոլոր երեք կողմերը՝ CD, BC, AD, ընկած են AB-ի նույն կողմում։

Նմանապես ապացուցված է, որ զուգահեռագծի մյուս կողմերի նկատմամբ մյուս երեք կողմերը գտնվում են նույն կողմում։

Հակառակ կողմերն ու անկյունները հավասար են

Զուգահեռագծի հատկություններից մեկն այն է զուգահեռագծի մեջ հակառակ կողմերն ու հակառակ անկյունները զույգ-զույգ հավասար են... Օրինակ, եթե զուգահեռագրին տրված է ABCD, ապա այն ունի AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D: Այս թեորեմն ապացուցված է հետևյալ կերպ.

Զուգահեռագիծը քառանկյուն է: Սա նշանակում է, որ այն ունի երկու անկյունագիծ։ Քանի որ զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է, նրանցից որևէ մեկը այն բաժանում է երկու եռանկյունի: Դիտարկենք ABCD զուգահեռագրում ABC և ADC եռանկյունները, որոնք ստացվել են AC անկյունագիծը գծելով:

Այս եռանկյունները ունեն մեկ ընդհանուր կողմ՝ AC: BCA անկյունը հավասար է CAD անկյունին, քանի որ ուղղահայաց BC-ն և AD-ն զուգահեռ են: BAC և ACD անկյունները նույնպես հավասար են ուղղահայաց, երբ AB-ն և CD-ն զուգահեռ են: Հետևաբար, ∆ABC = ∆ADC երկու անկյուններում և նրանց միջև ընկած կողմում:

Այս եռանկյունիներում AB կողմը համապատասխանում է CD կողմին, իսկ BC կողմը համապատասխանում է AD-ին: Այսպիսով, AB = CD և BC = AD:

B անկյունը համապատասխանում է D անկյունին, այսինքն՝ ∠B = ∠D: Զուգահեռագծի A անկյունը երկու անկյունների գումարն է՝ ∠BAC և ∠CAD: C անկյունը հավասար է ∠BCA և ∠ACD: Քանի որ զույգ անկյունները հավասար են միմյանց, ապա ∠A = ∠C:

Այսպիսով, ապացուցված է, որ զուգահեռագծի մեջ հակառակ կողմերն ու անկյունները հավասար են։

Անկյունագծերը կիսով չափ կրճատված են

Քանի որ զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է, այն ունի երկու անկյունագիծ, և դրանք հատվում են: Թող տրվի ABCD զուգահեռագիծը, որի անկյունագծերը AC և BD հատվում են E կետում: Դիտարկենք դրանցից կազմված ABE և CDE եռանկյունները:

Այս եռանկյունները ունեն AB և CD կողմեր, որոնք հավասար են զուգահեռագծի հակառակ կողմերին: ABE անկյունը հավասար է CDE անկյունին, քանի որ դրանք գտնվում են AB և CD զուգահեռ գծերի վրա: Նույն պատճառով, ∠BAE = ∠DCE: Այսպիսով, ∆ABE = ∆CDE երկու անկյան տակ և նրանց միջև գտնվող կողմում:

Կարող եք նաև նկատել, որ AEB և CED անկյունները ուղղահայաց են և, հետևաբար, նաև հավասար են միմյանց:

Քանի որ ABE և CDE եռանկյունները հավասար են միմյանց, ուրեմն դրանց բոլոր համապատասխան տարրերը հավասար են։ Առաջին եռանկյան AE կողմը համապատասխանում է երկրորդի CE կողմին, ինչը նշանակում է, որ AE = CE: Նմանապես BE = DE: Հավասար ուղիղ հատվածների յուրաքանչյուր զույգ կազմում է զուգահեռագծի անկյունագիծը: Այսպիսով, ապացուցվել է, որ զուգահեռագծի անկյունագծերը կիսով չափ կրճատվում են հատման կետով.

Զուգահեռագիծը այն քառանկյունն է, որի հակառակ կողմերը զուգահեռ են, այսինքն՝ ընկած են զուգահեռ ուղիղների վրա (նկ. 1):

Թեորեմ 1. Զուգահեռագծի կողմերի և անկյունների հատկության մասին:Զուգահեռագծի մեջ հակառակ կողմերը հավասար են, հակառակ անկյունները հավասար են, իսկ զուգահեռագծի մի կողմին հարող անկյունների գումարը 180 ° է:

Ապացույց. Այս ABCD զուգահեռագծի վրա գծեք AC անկյունագիծ և ստացեք երկու ABC և ADC եռանկյուններ (նկ. 2):

Այս եռանկյունները հավասար են, քանի որ ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (զուգահեռ գծերով խաչվող անկյուններ), իսկ AC կողմը ընդհանուր է: Δ ABC = Δ ADC հավասարությունից հետևում է, որ AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D: Մի կողմին կից անկյունների գումարը, օրինակ՝ A և D անկյունները, հավասար է 180 °-ի որպես մեկ- զուգահեռ ուղիղ գծերով: Թեորեմն ապացուցված է.

Մեկնաբանություն. Զուգահեռագծի հակառակ կողմերի հավասարությունը նշանակում է, որ զուգահեռ գծերով կտրված զուգահեռ ուղիղները հավասար են:

Եզրակացություն 1. Եթե երկու ուղիղները զուգահեռ են, ապա մի ուղիղի բոլոր կետերը գտնվում են մյուսից նույն հեռավորության վրա:

Ապացույց. Արդարեւ, թող մի || բ (նկ. 3).

B ուղիղ գծի B և C մի քանի կետերից գծենք BA և CD ուղղահայացները a ուղիղ գծի վրա: Քանի որ ԱԲ || CD, ապա ABCD նկարը զուգահեռագիծ է, և հետևաբար AB = CD:

Երկու զուգահեռ ուղիղների միջև հեռավորությունը ուղիղ գծերից մեկի կամայական կետից մյուս ուղիղ գիծ հեռավորությունն է:

Ապացուցվածով այն հավասար է զուգահեռ ուղիղներից մեկի ինչ-որ կետից մյուս ուղիղ գծված ուղղահայաց երկարությանը։

Օրինակ 1.Զուգահեռագծի պարագիծը 122 սմ է, նրա կողմերից մեկը մյուսից մեծ է 25 սմ-ով։Գտե՛ք զուգահեռագծի կողմերը։

Լուծում. Թեորեմ 1-ով զուգահեռագծի հակառակ կողմերը հավասար են: Զուգահեռագծի մի կողմը նշանակենք x-ով, մյուսը՝ y-ով: Այնուհետև $$ \ ձախ \ (\ սկիզբ (մատրիցան) պայմանով 2x + 2y = 122 \\ x - y = 25 \ վերջ (մատրիցան) \ աջ $$ Այս համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք x = 43, y = 18. Այսպիսով, զուգահեռագծի կողմերը 18, 43, 18 և 43 սմ են։

Օրինակ 2.

Լուծում. Թող Նկար 4-ը պատասխանի խնդրի պայմանին:

AB-ը նշանակում ենք x-ով, իսկ BC-ն` y-ով: Ըստ պայմանի զուգահեռագծի պարագիծը 10 սմ է, այսինքն՝ 2 (x + y) = 10, կամ x + y = 5. ABD եռանկյան պարագիծը 8 սմ է Եվ քանի որ AB + AD = x + y. = 5, ապա BD = 8 - 5 = 3: Այսպիսով, BD = 3 սմ:

Օրինակ 3.Գտե՛ք զուգահեռագծի անկյունները՝ իմանալով, որ դրանցից մեկը մյուսից 50 ° մեծ է։

Լուծում. Թող Նկար 5-ը պատասխանի խնդրի պայմանին:

Նշենք A-ից x անկյան աստիճանի չափումը։ Այնուհետև D անկյան աստիճանը հավասար է x + 50 °:

BAD և ADC անկյունները ներքին միակողմանի են AB և DC զուգահեռ ուղիղ գծերով և AD հատվածով: Այնուհետև այս անվանված անկյունների գումարը կլինի 180 °, այսինքն.
x + x + 50 ° = 180 °, կամ x = 65 °: Այսպիսով, ∠ A = ∠ C = 65 °, a ∠ B = ∠ D = 115 °:

Օրինակ 4.Զուգահեռագծի կողմերը 4,5 դմ և 1,2 դմ են։ Սուր անկյան վերևից գծված է կիսորդ: Ո՞ր մասերի է այն բաժանում զուգահեռագծի մեծ կողմը:

Լուծում. Թող Նկար 6-ը պատասխանի խնդրի պայմանին:

AE-ն զուգահեռագծի սուր անկյան կիսորդն է: Հետևաբար, ∠ 1 = ∠ 2:

Զուգահեռագիծը այն քառանկյունն է, որի հակառակ կողմերը զուգահեռ են, այսինքն. պառկել զուգահեռ գծերի վրա

Զուգահեռագրի հատկությունները.
Թեորեմ 22. Զուգահեռագծի հակառակ կողմերը հավասար են:
Ապացույց. ABCD զուգահեռագծի վրա գծե՛ք AC անկյունագիծ: ACD և ACB եռանկյունները հավասար են, քանի որ ունեն ընդհանուր AC կողմ և երկու զույգ հավասար անկյուններ: դրան կից՝ ∠ САВ = ∠ АСD, ∠ АСВ = ∠ DAC (որպես AD և BC զուգահեռ ուղիղներով խաչաձև անկյուններ)։ Այսպիսով, AB = CD և BC = AD, որպես հավասար եռանկյունների համապատասխան կողմեր ​​և այլն: Այս եռանկյունների հավասարությունը ենթադրում է նաև եռանկյունների համապատասխան անկյունների հավասարություն.
Թեորեմ 23. Զուգահեռագծի հակառակ անկյուններն են՝ ∠ A = ∠ C և ∠ B = ∠ D:
Առաջին զույգի հավասարությունը գալիս է ABD և CBD եռանկյունների հավասարությունից, իսկ երկրորդը ՝ ABC և ACD:
Թեորեմ 24. Զուգահեռագծի հարակից անկյունները, այսինքն. մի կողմին հարող անկյուններն ավելանում են մինչև 180 աստիճան։
Դա պայմանավորված է նրանով, որ դրանք ներքին միակողմանի անկյուններ են:
Թեորեմ 25. Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են միմյանց հատման վրա:
Ապացույց. Դիտարկենք BOC և AOD եռանկյունները: Համաձայն առաջին հատկության՝ AD = BC ∠ OAD = ∠ OCB և ∠ ODA = ∠ OBC որպես խաչաձև խաչմերուկ AD և BC զուգահեռ գծերում: Հետևաբար, BOC և AOD եռանկյունները հավասար են կողմի և դրան հարող անկյունների երկայնքով: Այսպիսով, BO = OD և AO = OS, որպես հավասար եռանկյունների համապատասխան կողմեր ​​և այլն:

Զուգահեռագծի նշաններ
Թեորեմ 26. Եթե ​​քառանկյան հակառակ կողմերը զույգերով հավասար են, ապա այն զուգահեռագիծ է։
Ապացույց. Թող ABCD քառանկյունն ունենա համապատասխանաբար AD և BC, AB և CD կողմերը (նկ. 2): Եկեք գծենք շեղանկյուն AC: ABC և ACD եռանկյունները երեք կողմերից հավասար են: Այնուհետև BAC և DCA անկյունները հավասար են և, հետևաբար, AB-ն զուգահեռ է CD-ին: BC և AD կողմերի զուգահեռությունը բխում է CAD և ACB անկյունների հավասարությունից։
Թեորեմ 27. Եթե ​​քառանկյան հակառակ անկյունները զույգերով հավասար են, ապա այն զուգահեռագիծ է:
Թող ∠ A = ∠ C և ∠ B = ∠ D. Քանի որ ∠ А + ∠ В + ∠ С + ∠ D = 360 о, ապա ∠ А + ∠ В = 180 о, իսկ AD և BC կողմերը զուգահեռ են (ուղիղների զուգահեռության հիման վրա)։ Մենք կապացուցենք նաև AB և CD կողմերի զուգահեռականությունը և եզրակացնենք, որ ABCD-ն ըստ սահմանման զուգահեռագիծ է։
Թեորեմ 28. Եթե ​​քառանկյունի հարակից անկյունները, այսինքն. մի կողմին հարող անկյունները գումարում են մինչև 180 աստիճան, այնուհետև այն զուգահեռագիծ է:
Եթե ​​ներքին միակողմանի անկյունները գումարվում են մինչև 180 աստիճան, ապա ուղիղները զուգահեռ են։ Սա նշանակում է, որ AB-ը զուգահեռ է CD-ին, իսկ BC-ն՝ AD-ին: Քառանկյունը պարզվում է, որ զուգահեռագիծ է:
Թեորեմ 29. Եթե ​​քառանկյան անկյունագծերը հատման կետում կիսով չափ բաժանված են, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է։
Ապացույց. Եթե ​​AO = OC, BO = OD, ապա AOD և BOC եռանկյունները հավասար են, քանի որ O գագաթում ունեն հավասար անկյուններ (ուղղահայաց)՝ պարփակված զույգ հավասար կողմերի միջև: Եռանկյունների հավասարությունից եզրակացնում ենք, որ AD և BC հավասար են։ AB և CD կողմերը նույնպես հավասար են, իսկ քառանկյունը՝ ըստ թիվ 1 հատկանիշի, զուգահեռագիծ է ստացվում։
Թեորեմ 30. Եթե ​​քառանկյունն ունի զույգ հավասար, զուգահեռ կողմեր, ապա այն զուգահեռագիծ է։
Թող AB և CD կողմերը լինեն զուգահեռ և հավասար ABCD քառանկյան մեջ: Գծենք AC և BD անկյունագծերը։ Այս ուղիղ գծերի զուգահեռությունը ենթադրում է ABO = CDO և BAO = OCD խաչաձև ընկած անկյունների հավասարություն: ABO և CDO եռանկյունները հավասար են կողմերի և դրան հարող անկյունների վրա: Հետեւաբար, AO = OC, BO = OD, այսինքն. Անկյունագծերը կիսով չափ կրճատվում են հատման կետով, և քառանկյունը, ըստ 4-րդ հատկանիշի, ստացվում է զուգահեռագիծ:

Երկրաչափության մեջ դիտարկվում են զուգահեռագծի հատուկ դեպքեր։

ՉՈՐՍ ԱՆԿՅՈՒՆ.

§43. ԶՈՒԳԱՀԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆ.

1. Զուգահեռագծի սահմանում.

Եթե ​​մի զույգ զուգահեռ ուղիղները հատում ենք մեկ այլ զույգ զուգահեռ ուղիղների հետ, ապա ստանում ենք քառանկյուն, որի հակառակ կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են։

ABDC և EFNM քառանկյուններում (գծանկար 224) ԲԴ || AC և AB || CD;
ԵF || МN և EM || FN.

Այն քառանկյունը, որի հակառակ կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են, կոչվում է զուգահեռագիծ:

2. Զուգահեռագծի հատկությունները.

Թեորեմ. Զուգահեռագծի անկյունագիծը այն բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների։

Թող լինի ABDC զուգահեռագիծ (նկ. 225), որում AB || CD և AC || ԲԴ.

Պահանջվում է ապացուցել, որ անկյունագիծն այն բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների։

Եկեք գծենք CB-ի անկյունագիծը ABDC զուգահեռագրում: Եկեք ապացուցենք դա /\ CAB = /\ CDB.

ԿԲ կողմը սովորական է այս եռանկյունների համար. / ABC = / ВСD, որպես ներքին խաչաձև անկյուններ զուգահեռ AB-ով և CD-ով և հատվածային CB-ով; / ASV = / CBD, ինչպես նաև որպես ներքին խաչաձև ընկած անկյուններ զուգահեռ AC-ով և BD-ով և հատվածային CB-ով (§ 38):

Այստեղից /\ CAB = /\ CDB.

Նույն կերպ կարելի է ապացուցել, որ AD անկյունագիծը զուգահեռագիծը կբաժանի երկու հավասար եռանկյունների ACD և ABD:

Հետեւանքները. 1 . Զուգահեռագծի հակառակ անկյունները հավասար են միմյանց:

/ A = / D, սա բխում է CAB և CDB եռանկյունների հավասարությունից:
Նմանապես / C = / Վ.

2. Զուգահեռագծի հակառակ կողմերը հավասար են միմյանց:

AB = CD և AC = BD, քանի որ դրանք հավասար եռանկյունների կողմեր ​​են և գտնվում են հակառակ հավասար անկյունների վրա:

Թեորեմ 2. Զուգահեռագծի անկյունագծերը կիսով չափ կրճատվում են իրենց հատման կետում:

Թող BC և AD լինեն ABDC զուգահեռագծի անկյունագծերը (նկ. 226): Եկեք ապացուցենք, որ AO = OD և CO = OB:

Դա անելու համար, օրինակ, համեմատեք հակադիր եռանկյունների ցանկացած զույգ /\ ԱՕԲ և /\ COD.

Այս եռանկյուններում AB = CD, որպես զուգահեռագծի հակառակ կողմեր;
/ 1 = / 2, որպես ներքին անկյուններ խաչի մեջ, որը ընկած է զուգահեռ AB-ի և CD-ի և հատվածային AD-ի հետ;
/ 3 = / 4 նույն պատճառով, քանի որ ԱԲ || CD-ն և ԿԲ-ն իրենց հատվածն են (§ 38):

Այստեղից հետևում է, որ /\ AOV = /\ COD. Իսկ հավասար եռանկյունների մեջ հակառակ հավասար անկյուններում կան հավասար կողմեր։ Հետևաբար, AO = OD և CO = OB:

Թեորեմ 3. Զուգահեռագծի մի կողմին կից անկյունների գումարը հավասար է 2 դ .

Ապացուցեք ինքներդ ձեզ.

3. Զուգահեռագծի նշաններ.

Թեորեմ. Եթե ​​քառանկյան հակառակ կողմերը զույգերով հավասար են, ապա այս քառանկյունը զուգահեռագիծ է։

Թողեք ABDC քառանկյունում (նկ. 227) AB = CD և AC = BD: Փաստենք, որ այս պայմանով ԱԲ || CD և AC || ВD, այսինքն՝ ABDC քառանկյունը զուգահեռագիծ է:
Եկեք մի հատվածով միացնենք դրա երկու հակադիր գագաթները՝ քառանկյուն, օրինակ՝ C և B։ Քառանկյուն ABDC բաժանված երկու հավասար եռանկյունների. /\ CAB և /\ CDB. Փաստորեն, նրանք ունեն ընդհանուր կողմ CB, AB = CD և AC = BD ըստ պայմանի: Այսպիսով, մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մյուսի երեք կողմերին, հետևաբար /\ CAB = /\ CDB.

Հետևաբար, հավասար եռանկյունները, որոնք հակառակ հավասար կողմերին ունեն, ունեն հավասար անկյուններ
/ 1 = / 2 և / 3 = / 4.

1-ին և 2-րդ անկյունները ներքին խաչաձև անկյուններ են CB ուղիղ գծի AB և CD ուղիղ գծերի խաչմերուկում: Ուստի ԱԲ || CD.

Նույն կերպ 3-րդ և 4-րդ անկյունները ներքին խաչաձև անկյուններ են CB ուղիղ գծի CA և BD գծերի հատման կետում, հետևաբար, CA || ԲԴ (§ 35).

Այսպիսով, ABDC քառանկյան հակառակ կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են, հետևաբար, այն զուգահեռագիծ է, ինչն էլ պահանջվում էր ապացուցել։

Թեորեմ 2. Եթե ​​քառանկյան երկու հակադիր կողմերը հավասար են և զուգահեռ, ապա այս քառանկյունը զուգահեռագիծ է։

Թողեք քառանկյուն ABDС AB = CD և AB || CD. Փաստենք, որ այս պայմաններում ABDC քառանկյունը զուգահեռագիծ է (նկ. 228):

C և B գագաթները միացնենք CB հատվածով, AB և CD ուղիղների զուգահեռության պատճառով 1 և 2 անկյունները, որպես խաչի մեջ ընկած ներքին անկյուններ, հավասար են (§ 38):
Այնուհետև CAB եռանկյունը հավասար է CDB եռանկյունին, քանի որ նրանք ունեն ընդհանուր կողմ CB,
AB = CD թեորեմի պայմանով և / 1 = / 2, ինչպես ապացուցված է: Այս եռանկյունների հավասարությունը ենթադրում է 3 և 4 անկյունների հավասարություն, քանի որ դրանք գտնվում են հավասար եռանկյունների հակառակ հավասար կողմերից:

Բայց 3 և 4 անկյունները ներքին խաչաձև անկյուններ են, որոնք ձևավորվում են CB ուղիղ գծերի AC և BD ուղիղների հատման կետում, հետևաբար, AC || ԲԴ (§ 35), այսինքն՝ քառանկյունը
ABDC - զուգահեռագիծ:

Զորավարժություններ.

1. Ապացուցեք, որ եթե քառանկյան անկյունագծերը իրենց փոխհատման կետում կիսով չափ կրճատված են, ապա այս քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

2. Ապացուցեք, որ քառանկյունը, որի գումարը ներքին անկյուններըերկու հարակից կողմերից յուրաքանչյուրին կից հավասար է 2-ի դ, կա զուգահեռագիծ։

3. Կառուցեք զուգահեռագիծ երկու կողմերի երկայնքով և նրանց միջև անկյուն.

ա) օգտագործելով զուգահեռագծի հակառակ կողմերի զուգահեռությունը.
բ) օգտագործելով զուգահեռագծի հակառակ կողմերի հավասարությունը.

4. Կառուցե՛ք զուգահեռագիծ երկու հարակից կողմերի երկայնքով և շեղանկյուն:

5. Կառուցեք զուգահեռագիծ նրա երկու անկյունագծով և նրանց միջև եղած անկյունով:

6. Կառուցեք զուգահեռագիծ նրա կողմի երկայնքով և երկու անկյունագծով:

Խնդիր 1... Զուգահեռագծի անկյուններից մեկը 65 ° է։ Գտե՛ք զուգահեռագծի մնացած անկյունները:

∠C = ∠A = 65 ° որպես զուգահեռագծի հակառակ անկյուններ:

∠А + ∠В = 180 ° որպես զուգահեռագծի մի կողմին կից անկյուններ:

∠В = 180 ° - ∠А = 180 ° - 65 ° = 115 °:

∠D = ∠B = 115 ° որպես զուգահեռագծի հակառակ անկյուններ:

Պատասխան՝ ∠А = ∠С = 65 °; ∠В = ∠D = 115 °:

Նպատակ 2.Զուգահեռագծի երկու անկյունների գումարը 220 ° է: Գտե՛ք զուգահեռագծի անկյունները:

Քանի որ զուգահեռագիծն ունի 2 հավասար սուր անկյուն և 2 հավասար բութ անկյուն, մեզ տրվում է երկու բութ անկյունների գումարը, այսինքն. ∠В + ∠D = 220 °: Այնուհետեւ ∠В = ∠D = 220 ° : 2 = 110 °:

∠А + ∠В = 180 ° որպես զուգահեռագծի մի կողմին հարող անկյուններ, հետևաբար ∠А = 180 ° - ∠В = 180 ° - 110 ° = 70 °: Այնուհետեւ ∠C = ∠A = 70 °:

Պատասխան՝ ∠А = ∠С = 70 °; ∠В = ∠D = 110 °:

Նպատակ 3.Զուգահեռագծի անկյուններից մեկը 3 անգամ մեծ է մյուսից։ Գտե՛ք զուգահեռագծի անկյունները:

Թող ∠A = x: Այնուհետև ∠B = 3x: Իմանալով, որ զուգահեռագծի մի կողմի անկյունների գումարը 180 ° է, մենք կկազմենք հավասարում։

x = 180 : 4;

Մենք ստանում ենք՝ ∠A = x = 45 °, և ∠B = 3x = 3 ∙ 45 ° = 135 °:

Զուգահեռագծի հակառակ անկյունները հավասար են, հետևաբար.

∠А = ∠С = 45 °; ∠В = ∠D = 135 °:

Պատասխան՝ ∠А = ∠С = 45 °; ∠В = ∠D = 135 °:

Առաջադրանք 4.Ապացուցեք, որ եթե քառանկյունն ունի երկու կողմ զուգահեռ և հավասար, ապա այս քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

Ապացույց.

Եկեք գծենք անկյունագծային BD և դիտարկենք Δ ADB և Δ CBD:

AD = BC պայմանով: BD կողմը տարածված է: ∠1 = ∠2 որպես ներքին խաչաձև գծեր AD և BC զուգահեռ (ըստ պայմանի) գծերով և BD հատվող գծերով: Հետևաբար, Δ ADB = Δ CBD երկու կողմերի վրա և նրանց միջև եղած անկյունը (եռանկյունների հավասարության 1-ին նշան): Հավասար եռանկյուններում համապատասխան անկյունները հավասար են, ինչը նշանակում է, որ ∠3 = ∠4: Եվ այս անկյունները ներքին խաչաձև են AB և CD ուղիղ գծերի և հատվածային BD-ի վրա: Սա ենթադրում է AB և CD ուղիղների զուգահեռություն։ Այսպիսով, տրված ABCD քառանկյունում հակառակ կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են, հետևաբար, ըստ սահմանման, ABCD-ն զուգահեռագիծ է, ինչը մենք պետք է ապացուցեինք։

Առաջադրանք 5.Զուգահեռագծի երկու կողմերը կապված են որպես 2 : 5, իսկ պարագիծը 3,5 մ Գտե՛ք զուգահեռագծի կողմերը:

∙ (AB + AD):

Մեկ մասը նշանակենք x-ով։ ապա AB = 2x, AD = 5x մետր: Իմանալով, որ զուգահեռագծի պարագիծը 3,5 մ է, մենք կազմում ենք հավասարումը.

2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;

2 ∙ 7x = 3,5;

x = 3,5 : 14;

Մի մասը 0,25 մ է: Այնուհետև AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 մ; մ.թ. = 5 ∙ 0,25 = 1,25 մ.

Փորձաքննություն.

Զուգահեռագիծ պարագիծ P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (մ):

Քանի որ զուգահեռագծի հակառակ կողմերը հավասար են, ապա CD = AB = 0,25 մ; BC = AD = 1,25 մ.

Պատասխան՝ CD = AB = 0,25 մ; BC = AD = 1,25 մ.