Работа силы тяжести зависит только от изменения высоты и равна произведению модуля силы тяжести на вертикальное перемещение точки (рис. 15.6):

где Δh - изменение высоты. При опускании работа положительна, при подъеме отрицательна.

Работа равнодействующей силы

Под действием системы сил точка массой т перемещается из положения М 1 в положение М 2 (рис. 15.7).

В случае движения под действием системы сил пользуются тео­ремой о работе равнодействующей.

Работа равнодействующей на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ системы сил на том же перемещении.

Примеры решения задач

Пример 1. Тело массой 200 кг поднимают по наклонной плос­кости (рис. 15.8).

Определите работу при перемеще­нии на 10 м с постоянной скоростью. Коэффициент трения тела о плоскость f = 0,15.

Решение

1. При равномерном подъеме движущая сила равна сумме сил сопро­тивления движению. Наносим на схему силы, действующие на тело:

1. Используем теорему о работе равнодействующей:

1. Подставляем входящие величины и определяем работу по подъему:

Пример 2. Определите работу силы тяжести при перемещении груза из точки А в точку С по наклонной плоскости (рис. 15.9). Сила тяжести тела 1500 Н. АВ = 6 м, ВС = 4 м.

Решение

1. Работа силы тяжести зависит только от изменения вы­соты груза. Изменение высоты при перемещении из точки А в С:

2. Работа силы тяжести:

Пример 3. Определите работу силы резания за 3 мин. Ско­рость вращения детали 120 об/мин, диаметр обрабатываемой детали 40 мм, сила резания 1 кН (рис. 15.10).

Решение

1. Работа при вращательном движе­нии

где F peз - сила резания.

2. Угловая частота вращения 120 об/мин.

3. Число оборотов за заданное время составляет z = 120 3 = 360 об.

Угол поворота за это время

4. Работа за 3 мин Wp = 1 0,02 2261 = 45,2 кДж.

Пример 4. Тело массой m = 50 кг передвигают по полу при помощи горизонтальной силы Q на расстояние S = 6 м. Определить ра­боту, которую совершит сила трения, если коэф­фициент трения между поверхностью тела и полом f = 0,3 (рис. 1.63).

Решение

Согласно закону Аммонтона - Кулона сила трения

Сила трения направлена в сто­рону, противоположную движению, поэтому работа этой силы отрицательна:

Пример 5. Определить натяжение ветвей ремен­ной передачи (рис. 1.65), если мощность, передаваемая валом, N = 20 кВт, частота вращения вала п = 150 об/мин.

Решение

Вращающий момент, передаваемый валом,

Пример 6. Колесо радиусом R = 0,3м катится без скольжения по горизонтальному рельсу (рис. 1.66). Найти работу трения качения при перемещении центра колеса на расстояние S = 30 м, если вертикальная нагрузка на ось колеса составляет Р = 100 кН. Коэффициент трения качения ко­леса по рельсу равен k = 0,005 см.

Решение

Трение качения воз­никает из-за деформаций колеса и рельса в зоне их контакта. Нор­мальная реакция N смещается вперед по направлению движения и образует с вертикальной силой давления Р на ось колеса пару, плечо которой равно коэффициен­ту трения качения k , а момент

Эта пара стремится повернуть колесо в направлении, противоположном его вращению. Поэтому работа трения качения будет отрицательной и определится как произве­дение постоянного момента трения на угол поворота ко­леса φ , т. е.

Путь, пройденный колесом, можно определить как про­изведение его угла поворота на радиус

Вводя значение φ в выражение работы и подставляя числовые значения, получаем

Контрольные вопросы и задания

1. Какие силы называют движущими?

2. Какие силы называют силами сопротивления?

3. Запишите формулы для определения работы при поступатель­ном и вращательном движениях.

4. Какую силу называют окружной? Что такое вращающий мо­мент?

5. Сформулируйте теорему о работе равнодействующей.

Рассчитаем работу, совершаемую силой тяжести, при движении тела по разным траекториям.

Допустим, что тело массы было поднято на высоту над поверхностью Земли. Определим работу, которую совершит сила тяжести в случае, когда это тело будет свободно падать по вертикали до поверхности Земли.

По направлению движения на тело будет действовать постоянная сила Под действием этой силы тело пройдет расстояние k. По определению работа этой силы будет равна

Предоставим телу возможность двигаться под действием силы тяжести по наклонной плоскости (рис. 5.12) под углом а к горизонту (трения нет). Вдоль наклонной плоскости на тело будет действовать сила Эта сила постоянна во все время движения. Расстояние пройденное телом по наклонной плоскости, может быть выражено через высоту к, на которой сначала находилось тело. Из треугольника видно, что

Зная силу и расстояние I, пройденное телом под действием этой силы, можно подсчитать работу А, совершенную силой тяжести при таком движении:

Значит, при движении по наклонной плоскости работа силы тяжести не зависит от угла наклона плоскости и по-прежнему равна произведению силы тяжести на разность высот, на которых находятся начальная и конечная точки движения:

Предоставим теперь телу возможность спускаться с высоты по какой-нибудь криволинейной траектории (рис. 5.13). Подсчитаем работу, которую совершит сила тяжести при таком движении тела.

Как мы знаем, любую траекторию с нужной точностью всегда можно представить в виде последовательности малых прямолинейных перемещений. Например, участок может быть представлен отрезком прямой.

Каждый такой участок будет наклонной плоскостью малой длины. Как только что было доказано, работа силы тяжести на таком участке не зависит от угла наклона и будет равна произведению силы тяжести на разность высот точек А и В:

Это справедливо для всех участков криволинейной траектории. Поэтому полная работа, совершаемая силой тяжести при движении по любой произвольной криволинейной траектории, всегда будет равна произведению силы тяжести на разность высот начальной и конечной точек движения.

Этот результат имеет необычайно важное значение и может быть выражен так: работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой движется тело, и определяется только начальным и конечным положениями тела.

Этот же результат может быть выражен и другим, еще более общим способом. Допустим, что тело массы спустилось из точки А в точку С по некоторой криволинейной траектории (рис. 5.14). Затем оно из точки С было поднято в точку А по траектории Сила тяжести при всех этих движениях совершала работу. На участке она совершила некоторую положительную работу, пропорциональную разности высот точек На участке (при подъеме с помощью посторонних сил) сила тяжести совершила отрицательную работу. Величина этой работы также пропорциональна разности высот точек

независимости работы силы тяжести от формы траектории можно теперь сформулировать так: работа силы тяжести на любой замкнутой траектории всегда равна нулю.

Это замечательное свойство силы тяжести позволяет значительно упростить решение задач, связанных с расчетом работы этой силы. Таким свойством обладают и многие другие силы, например силы всемирного тяготения (частным случаем которых является сила тяжести), силы упругости, силы электрического поля, создаваемого неподвижными зарядами, и др.

Все силы, работа которых на замкнутой траектории равна нулю, получили название консервативных сил. Замечательное свойство таких сил состоит в том, что затраченную против них работу они полностью возвращают потом обратно при освобождении тела от удерживающих его связей.

Работа силы тяжести. Решение задач

Цель урока: определить формулу для работы силы тяжести; определить, что работы силы тяжести не зависит от траектории движения тела; развить практические навыки по решению задач.

Ход урока.

1.Организационный момент. Приветствие учащихся, проверка отсутствующих, постановка цели урока.

2.Проверка домашней работы.

3.Изучение нового материала. На предыдущем уроке мы с вами определили формулу для определения работы. Какой формулой определяется работа постоянной силы? (А= FScosα )

Что такое А и S ?

Теперь же применим эту формулу для силы тяжести. Но для начала вспомним, чему равна сила тяжести? (F = mg )

Рассмотрим случай а) тело падает вертикально вниз. Как мы с вами знаем сила тяжести всегда направленно строго вниз. Для того чтобы определить направление S необходимо вспомнить определение. (Перемещение-это вектор соединяющий начальную и конечную точку. Направлен он от начала к концу)

Т.о. для определения , Так как направление перемещения и силы тяжести совпадают, то α =0 и работа силы тяжести равна:

Рассмотрим случай б) тело двигается вертикально вверх. Т.к. направление силы тяжести и перемещении противоположны, то то α =0 и работа силы тяжести равна .

Т.о. образом если сравнить две формулы по модулю, то они будут одинаковы.

Рассмотрим случай в) тело движется по наклонной плоскости. Работа силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения тела, совершённого под действием данной силы, то есть работа сила тяжести в данном случае будет равна , где – угол между векторами силы тяжести и перемещения. На рисунке видно, что перемещение () представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, а высота h – катет. Согласно свойству прямоугольного треугольника:

.Следовательно

Т.о. какой можно сделать вывод? (что работа силы тяжести не зависит от траектории движения.)

Рассмотрим последний пример, когда траектория движения будет замкнутая линия. Кто скажет чему будет равна работа и почему? (А=0, т.к. перемещение равно 0)

Отметим!: работа силы тяжести при движении тела по замкнутой траектории равна нулю.

4. Закрепление материала.

Задача 1. Охотник стреляет со скалы под углом 40° к горизонту. За время падения пули работа силы тяжести составила 5 Дж. Если пуля вошла в землю на расстоянии 250 м от скалы, то какова её масса?

Задача 2. Находясь на Нептуне, тело совершило перемещение так, как показано на рисунке. При этом перемещении работа силы тяжести составила 840 Дж. Если масса данного тела равна 5 кг, то каково ускорение свободного падения на Нептуне?

5. Домашнее задание.

Работа силы тяжести. Силу тяжести Р материальной точки массой т вблизи поверхности Земли можно считать постоянной, равной mg

направленной по вертикали вниз.

Работа А силы Р на перемещении от точки М 0 до точки М

где h = z 0 - z x - высота опускания точки.

Работа силы тяжести равна произведению этой силы на высоту опус­кания (работа положительна) или высоту подъема (работа отрицатель­на). Работа силы тяжести не зависит от формы траектории между точками М 0 и М|, и если эти точки совпадают, то ра­бота силы тяжести равна нулю (случай замкнутого пути). Она равна нулю также, если точки М 0 и М лежат в одной и той же горизонтальной плос­кости.

Работа линейной силы упругости. Линейной силой упругости (или линейной восстанавливающей силой) называют силу, действую­щую по закону Гука (рис. 63):

F = - с r ,

где r - расстояние от точки статического равновесия, где сила равна нулю, до рассматриваемой точки М; с - постоянный коэффициент- коэффициент жесткости.

А=--().

По этой формуле и вычисляют работу линейной силы упругости. Если точка М 0 совпадает сточкой статического равновесия О, то тогда r 0 =0 и для работы силы на перемещении от точки О до точки М имеем

Величина r - кратчайшее расстояние между рассматриваемой точ­кой и точкой статического равновесия. Обозначим его λ и назовем де­формацией. Тогда

Работа линейной силы упругости на перемещении из состояния ста­тического равновесия всегда отрицательна и равна половине произве­дения коэффициента жесткости на квадрат деформации. Работа линейной силы упругости не зависит от формы перемещения и работа по любому замкнутому перемещению равна нулю. Она также равна нулю, если точки Мо и М лежат на одной сфере, описанной из точки статического равновесия.

Работа переменной силы при криволинейном движении.

Работа силы на криволинейном участке

Рассмотрим общий случай нахождения работы переменной силы, точка приложения которой движется по криволинейной траектории. Пусть точка М приложения переменной силы F движется по произвольной непрерывной кривой. Обозначим через вектор бесконечно малого перемещения точки М. Этот вектор направлен по касательной к кривой в ту же сторону, что и вектор скорости.

Элементарной работой переменной силы F на бесконечно малом перемещении

ds называется скалярное произведение векторов F и ds :

где а - угол между векторами F и ds

То есть элементарная работа силы равна произведению модулей векторов силы и бесконечно малого перемещения, умноженному на косинус угла между этими векторами.

Разложим вектор силы F на две составляющие: - направленную по касательной к траектории - и - направленную по нормали. Линия действия силы

перпендикулярна касательной к траектории, по которой движется точка, и ее работа равна нулю. Тогда:

dA = F t ds .

Для того, чтобы вычислить работу переменной силы F на конечном участке кривой от а до Ь, следует вычислить интеграл от элементарной работы:

Потенциальная и кинетическая энергии.

Потенциальной энергией П мат ериальной точки в рассматривае мой точке силового поля М называют работу , которую совершают силы по ля, действующие на материальную точку при перемещении ее из точки M в начальную точку M 0 , т. е.

П = Амм 0

П = =-U =- U

Постоянная С 0 одна и та же для всех точек поля, зависящая от того, какая точка поля выбрана за начальную. Очевидно, что потенциаль­ную энергию можно ввести только для потенциального силового поля, в котором работа не зависит от формы перемещения между точками М и М 0 . Непотенциальное силовое поле не имеет потенциальной энер­гии, для него не существует и силовой функции.

dA = dU = -dП; А = U - U 0 = П 0 - П

Из приведенных формул следует, что П определяется с точностью до произвольной постоянной, которая зависит от выбора начальной точки, но эта произвольная постоян­ная не влияет на вычисляемые через потенциальную энергию силы и рабо­ту этих сил. Учитывая это:

П = - U + const или П = - U .

Потенциальную энергию в какой- либо точке поля с точностью до произвольной постоянной можно оп­ределить как значение силовой функ­ции в этой же точке, взятое со зна­ком минус.

Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная сумме кинетических энергий всех точек системы:

Кинетическая энергия является характеристикой и поступатель­ного, и вращательного движений системы. Кинетическая энергия является величиной скалярной и притом су­щественно положительной. Поэтому она не зависит от направлений движения частей системы и не характеризует изменений этих на­правлений.

Отметим еще следующее важное обстоятельство. Внутренние силы действуют на части системы по взаимно противоположным на­правлениям. На изменения кинетической энергии влияет действие и внешних и внутренних сил

Равнопеременное движение точки.

Равнопеременное движение точки - движение, при к-ром касат. ускорение ω т точки (в случае прямолинейного движения полное ускорение ω )постоянно. Закон равнопеременного движения точки и закон изменения её скорости υ при этом движении даются равенствами:

где s - измеренное вдоль дуги траектории расстояние точки от выбранного на траектории начала отсчёта, t - время, s 0 - значение s в нач. момент времени t = = 0. - нач. скорость точки. Когда знакиυ и ω одинаковы, равнопеременное движение. является ускоренным, а когда разные - замедленным.

При поступат. равнопеременном движении твёрдого тела всё сказанное относится к каждой точке тела; при равномерном вращении вокруг неподвижной оси угл. ускорение e тела постоянно, а закон вращения и закон изменения угл. скорости ω тела даются равенствами

где φ - угол поворота тела, φ 0 - значение φ в нач. момент времени t = 0, ω 0 - нач. угл. скорость тела. Когда знаки ω и ε совпадают, вращение является ускоренным, а когда не совпадают - замедленным.

Работа постоянной силы при прямолинейном движени.

Определим работу для случая, когда действующая сила постоянна по величине и направлению, а точка ее приложения перемещается по прямолинейной траектории. Рассмотрим материальную точку С, к которой приложена постоянная по значению и направлению сила(рис. 134, а).

За некоторый промежуток времени t точка С переместилась в положение С1 по прямолинейной траектории на расстояние s.

Работа W постоянной силы при прямолинейном движении точки ее приложения равна произведению модуля силы F на рас­стояние s и на косинус угла между направлением силы и направле­нием перемещения, т. е.

Угол α между направлением силы и направлением движения может меняться в пределах от 0 до 180°. При α < 90° работа положительна, при α > 90° - отрицательна, при α = 90° работа равна нулю.

Если сила составляет с направлением движения острый угол, она называется движущей силой, работа силы всегда положительна. Если угол между направлениями силы и перемещения тупой, сила оказывает сопротивление движению, совершает отрицательную работу и носит название силы сопротивления. Примерами сил сопротивления могут служить силы резания, трения, сопротивле­ния воздуха и другие, которые всегда направлены в сторону, про­тивоположную движению.

Когда α = 0°, т. е. когда направление силы совпадает с направлением скорости, тогда W = F s, так как cos 0° = 1. Произведение F cos α есть проекция силы на направление движения материальной точки. Следовательно, работу силы можно определить как произведение перемещения s и проекции силына направление движения точки.

33. Силы инерции твердого тела

В классической механикепредставления осилахи их свойствах основываются назаконах Ньютонаи неразрывно связаны с понятиеминерциальная система отсчёта.

Действительно, физическая величина, называемая силой, вводится в рассмотрение вторым законом Ньютона, при этом сам закон формулируется только для инерциальных систем отсчёта. Соответственно, понятие силы первоначально оказывается определённым только для таких систем отсчёта.

Уравнение второго закона Ньютона, связывающее ускорениеимассуматериальной точкис действующей на неё силой, записывается в виде

Из уравнения непосредственно следует, что причиной ускорения тел являются только силы, и наоборот: действие на тело не скомпенсированных сил обязательно вызывает его ускорение.

Третий закон Ньютона дополняет и развивает сказанное о силах во втором законе.

сила есть мера механического действия на данное материальное тело других тел

в соответствии с третьим законом Ньютона силы способны существовать лишь попарно, при этом природа сил в каждой такой паре одинакова.

любая сила, действующая на тело, имеет источник происхождения в виде другого тела. Иначе говоря, силы обязательно представляют собой результат взаимодействия тел.

Никакие другие силы в механике в рассмотрение не вводятся и не используются. Возможность существования сил, возникших самостоятельно, без взаимодействующих тел, механикой не допускается.

Хотя в наименованиях эйлеровых и даламберовых сил инерции содержится слово сила , эти физические величины силами в смысле, принятом в механике, не являются.

34. Понятие о плоскопараллельном движении твердого тела

Движение твердого тела называется плоскопараллельным, если все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой фиксированной плоскости (основной плоскости). Пусть некоторое тело V совершает плоское движение, π - основная плоскость. Из определенияплоскопараллельного движения и свойств абсолютно твердого тела следует, что любой отрезок прямой АВ, перпендикулярный плоскости π, будет совершать поступательное движение. То есть траектории, скорости и ускорения всех точек отрезка АВ будут одинаковы. Таким образом, движение каждой точки сечения s параллельного плоскости π, определяет собой движение всех точек тела V, лежащих на отрезке перпендикулярном сечению в данной точке. Примерами плоскопараллельного движения являются: качение колеса по прямолинейному отрезку, так как все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости, перпендикулярной оси колеса; частным случаем такого движения являетсявращение твердого тела вокруг неподвижной оси, в самом деле, все точки вращающегося тела движутся в плоскостях параллельных некоторой перпендикулярной оси вращения неподвижной плоскости.

35. Силы инерции при прямолинейном и криволинейном движении материальной точки

Сила, с которой точка сопротивляется изменению движения, называется силой инерции материальной точки. Сила инерции направлена противоположно ускорению точки и равна массе, умно­женной на ускорение.

При прямолинейном движении направление ускорения совпадает с траекторией. Сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению, и численное значение ее определяется по формуле:

При ускоренном движении направления ускорения и скорости совпадают и сила инерции направлена в сторону, противоположную движению. При замедленном движении, когда ускорение направлено в сторону, обратную скорости, сила инерции действует по направлению движения.

При криволинейном и неравномерном движении ускорение может быть разложено на нормальную аn и касательную at составляющие. Аналогично сила инерции точки также складывается из двух составляющих: нормальной и касательной.

Нормальная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на нормальное ускорение и направлена противоположно этому ускорению:

Касательная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на касательное ускорение и направлена противоположно этому ускорению:

Очевидно, что полная сила инерции точки М равна геометрической сумме нормальной и касательной составляющих, т. е.

Учитывая, что касательная и нормальная составляющие взаимно перпендикулярны, полная сила инерции:

36. Теоремы о сложении скоростей и ускорений точки при сложном движении

Теорема о сложении скоростей:

В механикеабсолютная скоростьточки равнавекторнойсумме еёотносительнойипереноснойскоростей:

Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости (относительно неподвижной системы) той точки подвижной системы отсчета, в которой находится тело.

при сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей. Величина абсолютной скорости определяется где α – угол между векторами и.

Теорема о сложении ускорений (ТЕОРЕМА КОРИОЛИСА)

aкор = aпер + aот + aкор

Формула выражает следующую теорему Кориолиса о сложении уско-

рений:1 при сложном движении ускорение точки равно геометрической

сумме трех ускорений: относительного, переносного и поворотного, или

кориолисова.

aкор = 2(ω × vот)

37.Принцип Даламбера

принцип Даламбера для материальной точки: в каждый момент движения материальной точки активные силы, реакции связей и сила инерции образуют уравновешенную систему сил.

Д’Аламбера принцип - в механике: один из основных принципов динамики, согласно которому, если к заданнымсилам, действующим на точки механической системы, и реакциям наложенных связей присоединитьсилы инерции, то получится уравновешенная система сил.

Согласно данному принципу, для каждой i-той точки системы верно равенство

где - действующая на эту точку активная сила,- реакция наложенной на точку связи,- сила инерции, численно равная произведению массыточки на её ускорениеи направленная противоположно этому ускорению ().

Фактически, речь идёт о выполняемом отдельно для каждой из рассматриваемых материальных точек переносе слагаемого ma справа налево во втором законе Ньютона() и нареканию этого слагаемого Д’Аламберовой силой инерции.

Принцип Д’Аламбера позволяет применить к решению задач динамики более простые методы статики, поэтому им широко пользуются в инженерной практике, т. н. метод кинетостатики. Особенно удобно им пользоваться для определения реакций связей в случаях, когда закон происходящего движения известен или найден из решения соответствующих уравнений.

Вычислим работу силы тяжести mg , совершаемую при перемещении материальной точки (тела) массой m из положения 1 в положение 2. Используя формулу (4.2) получим,

Из чертежа видно, что dScos=dh; тогда выражение для А 12 можно преобразовать так:

Полученное выражение для А 12 показывает, что независимо от вида траектории работа по перемещению материальной точки (тела) в поле тяжести зависит только от ее начальной и конечной высоты:

4.1.2. Работа силы всемирного тяготения

Вычислим работу, совершаемую силой всемирного тяготения со стороны тела массой М при перемещении тела массой m из положения, характеризуемого радиус-вектором r 1 в положение с радиус-вектором r 2 (см. рис. 4.5).

Гравитационное поле является центральным, поскольку сила тяготения действует вдоль линии соединяющей материальную точку m (или центр масс этого тела) с центром О поля тяготения. По определению работы (4.2) имеем:

,

где сила F определяется законом (2.12).

Из рисунка видно, что dScos=dr, поэтому dA=F(r)dr, и для А 12 имеем:

Полученное выражение не содержит сведений о траектории движения тела, и можно утверждать, что работа центральной силы зависит только от начального и конечного расстояния r 1 иr 2 движущейся точки до силового центра.

4.1.3. Работа силы упругости

Вывод формулы для работы силы упругости проводится аналогично выводу для силы всемирного тяготения. Эта работа равна

Здесь r 1 и r 2 – величина абсолютной деформации тела в начальном и конечном состояниях. Эти деформации представляют собой координаты точки приложения внешней (деформирующей) силы при условии, что начало координат соответствует недеформированному состоянию тела. Как в ранее рассмотренных случаях, работа силы оказывается независимой от формы траектории точки приложения силы, и определяется только ее начальным и конечным положениями.

Глава 5. Энергия

Энергия – это способность тела (системы) совершать работу.

Энергия служит универсальной количественной мерой движения и взаимодействия всех видов материи. Различают два вида механической энергии: потенциальную и кинетическую.

5.1. Потенциальная энергия

Пусть на материальную точку или механическую систему действуют только консервативные и гироскопические силы, не зависящие от времени. Говоря иначе, материальная точка находится в стационарном поле сил. Примем условно за нулевое какое-либо состояние системы. Рассматривая иные состояния, назовем потенциальной энергией системы в некотором ином состоянии величину U, равную работе консервативных сил, совершаемой при переводе системы из этого состояния в нулевое.

Потенциальной энергией системы в некотором состоянии называют скалярную величину U, равную работе консервативных сил совершаемой при переводе системы из этого состояния в состояние, условно принятое за нулевое.

Поскольку работа консервативных сил не зависит от траектории движения материальной точки, то ее потенциальная энергия зависит только от начального состояния системы. Это означает, что потенциальная энергия системы определяется ее состоянием. Возможность произвольно выбрать нулевое состояние (нулевого уровня потенциальной энергии) означает, что потенциальная энергия системы определяется не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной С, зависящей от сделанного выбора. Действительно, если за нулевое состояние условно принять состояние, изображаемое точкой О (см. рис.5.1), то потенциальная энергия U М системы, находящейся в состоянии, изображаемом точкой M, равна работе А МО, совершенной силами поля при переходе из состояния М в состояние О.

Если принять за начальное точку О I , то потенциальная энергия точки М будет равна работе
по перемещению из М в О I . Вследствие консервативности сил поля работа по траектории МО равна работе по траектории МО I О:

А МО =
+
.

Заметим, что работа
вполне определенная величина, зависящая только от выбора точек О и О I . Таким образом, при изменении положения начальной точки О потенциальная энергия изменяется на постоянную величину:

.

Из сказанного выше следует, что потенциальная энергия в положении О равна нулю. Однако ее можно считать равной не нулю, а некоторому произвольному значению. Тогда, при переходе системы из состояния М в нулевое, необходимо говорить не о потенциальной энергии состояния М, а о разности потенциальных энергий в состоянии М и О. Произвол в выборе постоянной C не влияет ни на теоретические выводы, ни, тем более, на ход физических процессов. Существенной оказывается не абсолютная величина потенциальной энергии U, а ее изменение –
, которое не содержит произвольной постоянной С.

Пусть система перешла из состояния M в состояние N. Работу A MN , совершенную при этом консервативными силами, можно выразить через потенциальные энергии состояний M и N.

Пусть (см. рис. 5.2) этот переход осуществлен через точку О, по траектории MON. Тогда A MN =A MON =A MO +A ON . По определению потенциальной энергии можно записать: U M =A MO +C, U N = A NO +C, где С – одна и та же постоянная. Имеем:

Разность потенциальных энергии начального и конечного состояний U M -U N представляет собой ее убыль (убыль равна приращению, взятому с противоположным знаком). Полученное соотношение играет важную роль: оно позволяет утверждать, что:

работа консервативных сил, действующих на тела механической системы равна убыли потенциальной энергии системы:

Конкретный вид функции U, определяющей величину потенциальной энергии зависит от характера действующих сил, или от природы силового поля. В разделах 4.1.1 – 4.1.3 получены выражения для работы консервативных сил различной природы. Сравнивая соотношения (4.11), (4.12) и (4.13) с соотношением (5.1) легко придти к выводу, что потенциальная энергия:

в поле силы тяжести определяется соотношением

в поле силы упругости определяется соотношением

.

Определение потенциальной энергии в поле силы всемирного тяготения имеет особенность. Соотношение (4.12) получено непосредственным вычислением работы силы всемирного тяготения:

Как правило, тела считают равной нулю. Это оправдано тем, что на бесконечно большом расстоянии (r 2 =) сила тяготения обращается в ноль и энергия взаимодействия отсутствует, т. е. U  =0. Из формулы (4.17) следует, что А 1  =-U=U  -U 1 .

Итак, имеем для потенциальной энергии в поле тяготения соотношение

Замечания

1. При выводе соотношения (4.12) не учитывалось возможное движение центра притяжения. Можно показать, что полученное соотношение остается справедливым и при учете движения тяготеющего центра. Величина работы зависит только от относительного перемещения тяготеющих тел и не зависит от абсолютных перемещений каждого из них.

2. Потенциальная энергия системы в наиболее общем случае представляет собой сумму

,

где
– внешняя потенциальная энергия системы, связанная с действием на неё внешних консервативных сил. Эта составляющая потенциальной энергии всегда аддитивна. Внутренняя потенциальная энергия системы
, обусловленная действием внутренних консервативных сил, должна учитывать взаимодействие всех частей системы, и, в общем случае, не является аддитивной величиной. Условие аддитивности полной потенциальной энергии выполнимо только в случае слабого взаимодействия частей системы, когда им можно пренебречь.