Таблица первообразных

Определение. Функция F(x) на заданном промежутке называется первообразной для функции f(x) , для всех x из этого промежутка, если F"(x)=f(x) .

Операция нахождение первообразной для функции называется интегрированием . Она является обратной к операции дифференцирования.

Теорема. Всякая непрерывная на промежутке функция (x) имеет первообразную на этом же промежутке.

Теорема (основное свойство первообразной). Если на некотором промежутке функция F(x) является первообразной для функции f(x ), то на этом промежутке первообразной для f(x) будет также функция F(x)+C , где C произвольная постоянная.

Из этой теоремы выплывает, что когда f(x) имеет на заданном промежутке первообразную функцию F(x) , то этих первобытных множество. Придавая C произвольных числовых значений, каждый раз будем получать первообразную функцию.

Для нахождения первообразных пользуются таблицей первообразных . Она получается из таблицы производных.

Понятие неопределенного интеграла

Определение. Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается .

При этом f(x) называется подынтегральной функцией , а f(x) dx - подынтегральным выражением .

Следовательно, если F(x) , является первообразной для f(x) , то .

Свойства неопределенного интеграла

Понятие определенного интеграла

Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b] функции f(x) , отрезком [а; b] , и прямыми x=a и x=b .

Полученная фигура называется криволинейной трапецией . Вычислим ее площадь.

Для этого разобьем отрезок [а; b] на n равных отрезков. Длины каждого из отрезков равняются Δx .

Это динамический рисунок GeoGebra .
Красные элементы можно изменять

Рис. 1. Понятие определенное интеграла

На каждом отрезке, построим прямоугольники с высотами f(x k-1) (Рис. 1).

Площадь каждого такого прямоугольника равняется S k = f(x k-1)Δx k .

Площадь всех таких прямоугольников равняется .

Эту сумму называют интегральной суммой для функции f(x) .

Если n→∞ то площадь построенной таким образом фигуры будет все менее отличаться от площади криволинейной трапеции.

Определение. Граница интегральной суммы, когда n→∞ называется определенным интегралом , и записывается так:.

читается: "интеграл от a к b f от xdx "

Число а называется нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования, отрезок [а; b] – промежутком интегрирования.

Свойства определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница

Определенный интеграл тесно связан с первообразной и неопределенным интегралом формулой Ньютона-Лейбница

.

Использование интеграла

Интегральное исчисление широко используется при решении разнообразных практических задач. Рассмотрим некоторые из них.

Вычисление объемов тел

Пусть задана функция, которая задает площадь поперечного сечения тела в зависимости от некоторой переменной S = s(x), x[а; b] . Тогда объем данного тела можно найти интегрируя данную функцию в соответствующих пределах.
Если нам задано тело, которое получено вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции ограниченной некоторой функцией f(x), x [а; b] . (Рис. 3). То площади поперечных сечений можно вычислить по известной формуле S = π f 2 (x) . Поэтому формула объема такого тела вращения

Первообразная.

Первообразную легко понять на примере.

Возьмем функцию у = х 3 . Как мы знаем из предыдущих разделов, производной от х 3 является 3х 2:

(х 3)" = 3х 2 .

Следовательно, из функции у = х 3 мы получаем новую функцию: у = 3х 2 .
Образно говоря, функция у = х 3 произвела функцию у = 3х 2 и является ее «родителем». В математике нет слова «родитель», а есть родственное ему понятие: первообразная.

То есть: функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 .

Определение первообразной:

В нашем примере (х 3)" = 3х 2 , следовательно у = х 3 – первообразная для у = 3х 2 .

Интегрирование.

Как вы знаете, процесс нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием. А обратная операция называется интегрированием.

Пример-пояснение :

у = 3х 2 + sin x .

Решение :

Мы знаем, что первообразной для 3х 2 является х 3 .

Первообразной для sin x является –cos x .

Складываем два первообразных и получаем первообразную для заданной функции:

у = х 3 + (–cos x ),

у = х 3 – cos x .

Ответ :
для функции у = 3х 2 + sin x у = х 3 – cos x .

Пример-пояснение :

Найдем первообразную для функции у = 2 sin x .

Решение :

Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .

Следовательно, для функции у = 2 sin x первообразной является функция у = –2 cos x .
Коэффициент 2 в функции у = 2 sin x соответствует коэффициенту первообразной, от которой эта функция образовалась.

Пример-пояснение :

Найдем первообразную для функции y = sin 2x .

Решение :

Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .

Применяем нашу формулу при нахождении первообразной для функции y = cos 2x :

1
y = - · (–cos 2x ),
2

cos 2x
y = – ----
2

cos 2x
Ответ : для функции y = sin 2x первообразной является функция y = – ----
2

(4)

Пример-пояснение .

Возьмем функцию из предыдущего примера: y = sin 2x .

Для этой функции все первообразные имеют вид:

cos 2x
y = – ---- + C .
2

Пояснение .

Возьмем первую строчку. Читается она так: если функция y = f(x )равна 0, то первообразной для для нее является 1. Почему? Потому что производная единицы равна нулю: 1" = 0.

В таком же порядке читаются и остальные строчки.

Как выписывать данные из таблицы? Возьмем восьмую строчку:

(-cos x )" = sin x

Пишем вторую часть со знаком производной, затем знак равенства и производную.

Читаем: первообразной для функции sin x является функция -cos x .

Или: функция -cos x является первообразной для функции sin x .

Документ

Некотором промежутке Х. Если для любого хХ F"(x) = f(x), то функция F называется первообразной для функции f на промежутке Х. Первообразную для функции можно попытаться найти...

Первообразной для функции

Документ

... . Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех x(a;b) выполняется равенство F(x) = f(x). Например, для функции x2 первообразной будет функция x3 ...

Основы интегрального исчисления Учебное пособие

Учебное пособие

... ; 5. Найти интеграл. ; B) ; C) ; D) ; 6. Функция называется первообразной к функции на множестве, если: для всех; в некоторой точке; для всех; в некоторой... интервалом. Определение 1. Функция называется первообразной для функции на множестве, ...

Первообразная Неопределённый интеграл

Документ

Интегрирования. Первообразная . Непрерывная функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на промежутке X , если для каждого F’ (x) = f (x). П р и м е р. Функция F (x) = x 3 является первообразной для функции f (x) = 3x ...

СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР Утверждено Учебно-методическим управлением по высшему образованию ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ (С ПРОГРАММОЙ) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей

Методические указания

Вопросы для самопроверки Дайте определение первообразной функции . Укажите геометрический смысл совокупности первообразных функций . Что называется неопределенным...

Цель:

• Формирование понятия первообразной.
• Подготовка к восприятию интеграла.
• Формирование вычислительных навыков.
• Воспитание чувства прекрасного (умение видеть красоту в необычном).

Математический анализ - совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений.

Если до настоящего времени мы изучали раздел математического анализа, называемого диффренциальным исчислением, суть которого заключается в изучении функции в “малом”.

Т.е. исследование функции в достаточно малых окрестностях каждой точки определения. Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала) и применении к исследованию функций.

Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом, т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального исчисления.

Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление.

Пример №1 .

Пусть (х)`=3х 2 .
Найдем f(х).

Решение:

Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х 3 , ибо (х 3)`=3х 2
Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно.
В качестве f(х) можно взять
f(х)= х 3 +1
f(х)= х 3 +2
f(х)= х 3 -3 и др.

Т.к.производная каждой из них равно 3х 2 . (Производная постоянной равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х 3 +С, где С - любое постоянное действительное число.

Любую из найденных функций f(х) называют ПЕРВООБРАЗНОЙ для функции F`(х)= 3х 2

Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х 3 первообразная для f(х)=3х 2 на (- ∞ ; ∞).
Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х 3)`=3х 2

Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных (смотри пример № 1).

Пример № 2. Функция F(х)=х есть первообразная для всех f(х)= 1/х на промежутке (0; +), т.к. для всех х из этого промежутка, выполняется равенство.
F`(х)= (х 1/2)`=1/2х -1/2 =1/2х

Пример № 3. Функция F(х)=tg3х есть первообразная для f(х)=3/cos3х на промежутке (-п/2; п/2),
т.к. F`(х)=(tg3х)`= 3/cos 2 3х

Пример № 4. Функция F(х)=3sin4х+1/х-2 первообразная для f(х)=12cos4х-1/х 2 на промежутке (0;∞)
т.к. F`(х)=(3sin4х)+1/х-2)`= 4cos4х-1/х 2

Лекция 2.

Тема: Первообразная. Основное свойство первообразной функции.

При изучении первообразной будем опираться на следующее утверждение. Признак постоянства функции: Если на промежутке J производная Ψ(х) функции равна 0, то на этом промежутке функция Ψ(х) постоянна.

Это утверждение можно продемонстрировать геометрически.

Известно, что Ψ`(х)=tgα, γде α-угол наклона касательной к графику функции Ψ(х) в точке с абсциссой х 0 . Если Ψ`(υ)=0 в любой точке промежутка J, то tgα=0 δля любой касательной к графику функции Ψ(х). Это означает, что касательная к графику функции в любой его точке параллельна оси абсцисс. Поэтому на указанном промежутке график функции Ψ(х) совпадает с отрезком прямой у=С.

Итак, функция f(х)=с постоянна на промежутке J, если f`(х)=0 на этом промежутке.

Действительно, для произвольного х 1 и х 2 из промежутка J по теореме о среднем значении функции можно записать:
f(х 2)- f(х 1)=f`(с) (х 2 - х 1), т.к. f`(с)=0, то f(х 2)= f(х 1)

Теорема: (Основное свойство первообразной функции)

Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.

Доказательство:

Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J.
Допустим существует Φ(х)- другая первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х),
тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0, для х Є J.
Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на промежутке J.
Следовательно, Φ(х)- F(х) = С.
Откуда Φ(х)= F(х)+С.
Это значит, что если F(х) - первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.
Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Пример: Найти множество первообразных функции f (х) = cos х. Изобразить графики первых трех.

Решение: Sin х - одна из первообразных для функции f (х) = cos х
F(х) = Sin х+С –множество всех первообразных.

F 1 (х) = Sin х-1
F 2 (х) = Sin х
F 3 (х) = Sin х+1

Геометрическая иллюстрация: График любой первообразной F(х)+С можно получить из графика первообразной F(х) при помощи параллельного переноса r (0;с).

Пример: Для функции f (х) = 2х найти первообразную, график которой проходит через т.М (1;4)

Решение: F(х)=х 2 +С – множество всех первообразных, F(1)=4 - по условию задачи.
Следовательно, 4 = 1 2 +С
С = 3
F(х) = х 2 +3

Этот урок — первый из серии видео, посвященных интегрированию. В нём мы разберём, что такое первообразная функции, а также изучим элементарные приёмы вычисления этих самых первообразных.

На самом деле здесь нет ничего сложного: по существу всё сводится к понятию производной, с которым вы уже должны знакомы.:)

Сразу отмечу, что, поскольку это самый первый урок в нашей новой теме, сегодня не будет никаких сложных вычислений и формул, но то, что мы изучим сегодня, ляжет в основу гораздо более сложных выкладок и конструкций при вычислении сложных интегралов и площадей.

Кроме того, приступая к изучению интегрирования и интегралов в частности, мы неявно предполагаем, что ученик уже, как минимум, знаком к понятиям производной и имеет хотя бы элементарные навыки их вычисления. Без четкого понимания этого, делать в интегрировании совершенно нечего.

Однако здесь же кроется одна из самых частых и коварных проблем. Дело в том, что, начиная вычислять свои первые первообразные, многие ученики путают их с производными. В результате на экзаменах и самостоятельных работах допускаются глупые и обидные ошибки.

Поэтому сейчас я не буду давать четкого определения первообразной. А взамен предлагаю вам посмотреть, как она считается на простом конкретном примере.

Что такое первообразная и как она считается

Мы знаем такую формулу:

\[{{\left({{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]

Считается эта производная элементарно:

\[{f}"\left(x \right)={{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{x}^{2}}\]

Посмотрим внимательно на полученное выражение и выразим ${{x}^{2}}$:

\[{{x}^{2}}=\frac{{{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}}{3}\]

Но мы можем записать и так, согласно определению производной:

\[{{x}^{2}}={{\left(\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)}^{\prime }}\]

А теперь внимание: то, что мы только что записали и есть определением первообразной. Но, чтобы записать ее правильно, нужно написать следующее:

Аналогично запишем и такое выражение:

Если мы обобщим это правило, то сможем вывести такую формулу:

\[{{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}\]

Теперь мы можем сформулировать четкое определение.

Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции.

Вопросы о первообразной функции

Казалось бы, довольно простое и понятное определение. Однако, услышав его, у внимательного ученика сразу возникнет несколько вопросов:

1. Допустим, хорошо, эта формула верна. Однако в этом случае при $n=1$ у нас возникают проблемы: в знаменателе появляется «ноль», а на «ноль» делить нельзя.
2. Формула ограничивается только степенями. Как считать первообразную, например, синуса, косинуса и любой другой тригонометрии, а также констант.
3. Экзистенциальный вопрос: а всегда ли вообще можно найти первообразную? Если да, то как быть с первообразной суммы, разности, произведения и т.д.?

На последний вопрос я отвечу сразу. К сожалению, первообразная, в отличие от производной, считается не всегда. Нет такой универсальной формулы, по которой из любой исходной конструкции мы получим функцию, которая будет равна этой сходной конструкции. А что касается степеней и констант — сейчас мы об этом поговорим.

Решение задач со степенными функциями

\[{{x}^{-1}}\to \frac{{{x}^{-1+1}}}{-1+1}=\frac{1}{0}\]

Как видим, данная формула для ${{x}^{-1}}$ не работает. Возникает вопрос: а что тогда работает? Неужели мы не можем посчитать ${{x}^{-1}}$? Конечно, можем. Только давайте для начала вспомним такое:

\[{{x}^{-1}}=\frac{1}{x}\]

Теперь подумаем: производная какой функции равна $\frac{1}{x}$. Очевидно, что любой ученик, который хоть немного занимался этой темой, вспомнит, что этому выражению равна производная натурального логарифма:

\[{{\left(\ln x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x}\]

Поэтому мы с уверенностью можем записать следующее:

\[\frac{1}{x}={{x}^{-1}}\to \ln x\]

Эту формулу нужно знать, точно так же, как и производную степенной функции.

Итак, что нам известно на данный момент:

• Для степенной функции — ${{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}$
• Для константы — $=const\to \cdot x$
• Частный случай степенной функции — $\frac{1}{x}\to \ln x$

А если простейшие функции мы начнем умножать и делить, как тогда посчитать первообразную произведения или частного. К сожалению, аналогии с производной произведения или частного здесь не работают. Какой-либо стандартной формулы не существует. Для некоторых случаев существуют хитрые специальные формулы — с ними мы познакомимся на будущих видеоуроках.

Однако запомните: общей формулы, аналогичной формуле для вычисления производной частного и произведения, не существует.

Решение реальных задач

Задача № 1

Давайте каждую из степенных функций посчитаем отдельно:

\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]

Возвращаясь к нашему выражению, мы запишем общую конструкцию:

Задача № 2

Как я уже говорил, первообразные произведений и частного «напролом» не считаются. Однако здесь можно поступить следующим образом:

Мы разбили дробь на сумму двух дробей.

Посчитаем:

Хорошая новость состоит в том, что зная формулы вычисления первообразных, вы уже способны считать более сложные конструкции. Однако давайте пойдем дальше и расширим наши знания еще чуть-чуть. Дело в том, что многие конструкции и выражения, которые, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к ${{x}^{n}}$, могут быть представлены в виде степени с рациональным показателем, а именно:

\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\]

\[\sqrt[n]{x}={{x}^{\frac{1}{n}}}\]

\[\frac{1}{{{x}^{n}}}={{x}^{-n}}\]

Все эти приемы можно и нужно комбинировать. Степенные выражения можно

• умножать (степени складываются);
• делить (степени вычитаются);
• умножать на константу;
• и т.д.

Решение выражений со степенью с рациональным показателем

Пример № 1

Посчитаем каждый корень отдельно:

\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]

\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{4}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{4}}}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{{{x}^{\frac{5}{4}}}}{\frac{5}{4}}=\frac{4\cdot {{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]

Итого всю нашу конструкцию можно записать следующим образом:

Пример № 2

\[\frac{1}{\sqrt{x}}={{\left(\sqrt{x} \right)}^{-1}}={{\left({{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{-1}}={{x}^{-\frac{1}{2}}}\]

Следовательно, мы получим:

\[\frac{1}{{{x}^{3}}}={{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-3+1}}}{-3+1}=\frac{{{x}^{-2}}}{-2}=-\frac{1}{2{{x}^{2}}}\]

Итого, собирая все в одно выражение, можно записать:

Пример № 3

Для начала заметим, что $\sqrt{x}$ мы уже считали:

\[\sqrt{x}\to \frac{4{{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]

\[{{x}^{\frac{3}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{3}{2}+1}}}{\frac{3}{2}+1}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{5}{2}}}}{5}\]

Перепишем:

Надеюсь, я никого не удивлю, если скажу, что то, что мы только что изучали — это лишь самые простые вычисления первообразных, самые элементарные конструкции. Давайте сейчас рассмотрим чуть более сложные примеры, в которых помимо табличных первообразных еще потребуется вспомнить школьную программу, а именно, формулы сокращенного умножения.

Решение более сложных примеров

Задача № 1

Вспомним формулу квадрата разности:

\[{{\left(a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}\]

Давайте перепишем нашу функцию:

Первообразную такой функции нам сейчас предстоит найти:

\[{{x}^{\frac{2}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{5}{3}}}}{5}\]

\[{{x}^{\frac{1}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{4}{3}}}}{4}\]

Собираем все в общую конструкцию:

Задача № 2

В этом случае нам нужно раскрыть куб разности. Вспомним:

\[{{\left(a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}\cdot b+3a\cdot {{b}^{2}}-{{b}^{3}}\]

С учетом этого факта можно записать так:

Давайте немного преобразуем нашу функцию:

Считаем как всегда — по каждому слагаемому отдельно:

\[{{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-2}}}{-2}\]

\[{{x}^{-2}}\to \frac{{{x}^{-1}}}{-1}\]

\[{{x}^{-1}}\to \ln x\]

Запишем полученную конструкцию:

Задача № 3

Сверху у нас стоит квадрат суммы, давайте его раскроем:

\[\frac{{{\left(x+\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\frac{{{x}^{2}}+2x\cdot \sqrt{x}+{{\left(\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}}{x}+\frac{2x\sqrt{x}}{x}+\frac{x}{x}=x+2{{x}^{\frac{1}{2}}}+1\]

\[{{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]

Давайте напишем итоговое решение:

А теперь внимание! Очень важная вещь, с которой связана львиная доля ошибок и недопониманий. Дело в том, что до сих пор считая первообразные с помощью производных, приводя преобразования, мы не задумывались о том, чему равна производная константы. А ведь производная константы равна «нулю». А это означает, что можно записать такие варианты:

1. ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}$
2. ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+1$
3. ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+C$

Вот это очень важно понимать: если производная функции всегда одна и та же, то первообразных у одной и той же функции бесконечно много. Просто к нашим первообразным мы можем дописывать любые числа-константы и получать новые.

Неслучайно, в пояснении к тем задачам, которые мы только что решали, было написано «Запишите общий вид первообразных». Т.е. уже заранее предполагается, что их не одна, а целое множество. Но, на самом деле, они отличаются лишь константой $C$ в конце. Потому в наших задачах мы исправим то, что мы не дописали.

Еще раз переписываем наши конструкции:

В таких случаях следует дописывать, что $C$ — константа — $C=const$.

Во второй нашей функции мы получим следующую конструкцию:

И последняя:

И вот теперь мы действительно получили то, что от нас требовалось в исходном условии задачи.

Решение задач на нахождение первообразных с заданной точкой

Сейчас, когда мы знаем о константах и об особенностях записи первообразных, вполне логично возникает следующий тип задач, когда из множества всех первообразных требуется найти одну-единственную такую, которая проходила бы через заданную точку. В чем состоит эта задача?

Дело в том, что все первообразные данной функции отличаются лишь тем, что они сдвинуты по вертикали на какое-то число. А это значит, что какую бы точку на координатной плоскости мы не взяли, обязательно пройдет одна первообразная, и, причем, только одна.

Итак, задачи, которые сейчас мы будем решать, сформулированы следующем образом: не просто найти первообразную, зная формулу исходной функции, а выбрать именно такую из них, которая проходит через заданную точку, координаты которой будут даны в условии задачи.

Пример № 1

Для начала просто посчитаем каждое слагаемое:

\[{{x}^{4}}\to \frac{{{x}^{5}}}{5}\]

\[{{x}^{3}}\to \frac{{{x}^{4}}}{4}\]

Теперь подставляем эти выражения в нашу конструкцию:

Эта функция должна проходить через точку $M\left(-1;4 \right)$. Что значит, что она проходит через точку? Это значит, что если вместо $x$ поставить везде $-1$, а вместо $F\left(x \right)$ — $-4$, то мы должны получить верное числовое равенство. Давайте так и сделаем:

Мы видим, что у нас получилось уравнение относительно $C$, поэтому давайте попробуем его решить:

Давайте запишем то самое решение, которое мы искали:

Пример № 2

В первую очередь необходимо раскрыть квадрат разности по формуле сокращенного умножения:

\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]

Исходная конструкция запишется следующим образом:

Теперь давайте найдем $C$: подставим координаты точки $M$:

\[-1=\frac{8}{3}-12+18+C\]

Выражаем $C$:

Осталось отобразить итоговое выражение:

Решение тригонометрических задач

В качестве финального аккорда к тому, что мы только что разобрали, предлагаю рассмотреть две более сложные задачи, в которых содержится тригонометрия. В них точно так же потребуется найти первообразные для всех функций, затем выбрать из этого множества одну-единственную, которая проходит через точку $M$ на координатной плоскости.

Забегая наперед, хотел бы отметить, что тот прием, который мы сейчас будем использовать для нахождения первообразных от тригонометрических функций, на самом деле, является универсальным приемом для самопроверки.

Задача № 1

Вспомним следующую формулу:

\[{{\left(\text{tg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]

Исходя из этого, мы можем записать:

Давайте подставим координаты точки $M$ в наше выражение:

\[-1=\text{tg}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+C\]

Перепишем выражение с учетом этого факта:

Задача № 2

Тут будет чуть сложнее. Сейчас увидите, почему.

Вспомним такую формулу:

\[{{\left(\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]

Чтобы избавится от «минуса», необходимо сделать следующее:

\[{{\left(-\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]

Вот наша конструкция

Подставим координаты точки $M$:

Итого запишем окончательную конструкцию:

Вот и все, о чем я хотел сегодня вам рассказать. Мы изучили сам термин первообразных, как считать их от элементарных функций, а также как находить первообразную, проходящую через конкретную точку на координатной плоскости.

Надеюсь, этот урок хоть немного поможет вам разобраться в этой сложной теме. В любом случае, именно на первообразных строятся неопределенные и неопределенные интегралы, поэтому считать их совершенно необходимо. На этом у меня все. До новых встреч!