Բնակելի գործչի որոշակի անբաժանելի տարածք առցանց: Գտեք տողերով սահմանափակված գործչի տարածքը Y \u003d F (x), x \u003d g (y)

Առաջադրանք 1. (Curvilinear Trapezium- ի տարածքի հաշվարկման վրա):

Destarular ուղղանկյուն XOY համակարգում համակարգի համակարգում տրված է գործիչ (տես նկարը), առանց առանցքի x, ուղիղ x \u003d b (curvilinear trapezium: Պահանջվում է հաշվարկել Curvilinear Trapezium- ի տարածքը:
Որոշում Երկրաչափությունը մեզ տալիս է բաղադրատոմսեր `բազմակնիների տարածքները հաշվարկելու եւ շրջանի որոշ մասեր (ոլորտ, հատված): Երկրաչափական նկատառումներ օգտագործելով, մենք կկարողանանք գտնել ցանկալի տարածքի միայն մոտավոր արժեքը, վիճելով հետեւյալ կերպ:

Մենք կոտրում ենք հատվածը [ա; B] (curvilinear trapezium) n հավասար մասերի վրա. Այս միջնապատը իրականացվում է x 1-ի կետերի օգնությամբ, ... x k, ... x n-1: Մենք ուղղակիորեն կանցկացնենք ուղղակիորեն, զուգահեռ առանցքներ: Այնուհետեւ նշված Curvilinear Trapezium- ը կոտրվում է N մասերի վրա, N նեղ սյուների վրա: Ամբողջ Trapezium- ի տարածքը հավասար է սյուների տարածքի գումարին:

Դիտարկենք առանձին K-B գույն, այսինքն: Curvilinear Trapezium, որի հիմքը ծառ է տալիս մի հատված: Այն փոխարինեք ուղղանկյունով նույն բազայով եւ F (x k) բարձրությամբ (տես նկար): Ուղղանկյունի տարածքը հավասար է \\ (f (x_k) \\ cdot \\ delta x_k \\), որտեղ \\ (\\ delta x_k \\) հատվածի երկարությունն է. Բնականաբար հաշվի առեք կազմված աշխատանքը K-Th սյունակի տարածքի մոտավոր արժեքով:

Եթե \u200b\u200bհիմա նույնն եք անում մնացած բոլոր սյուների հետ, մենք կգանք հետեւյալ արդյունքի. Տվյալ կոր Traprazion- ի տարածքը մոտավորապես հավասար է N ուղղանկյուններից (տես նկար):
\\ (S_n \u003d f (x_0) \\ delta x_0 + \\ dots + f (x_k) \\ delta x_k + \\ dots + f (x_ (n - 1) \\ delta x_ \\)
Այստեղ, հանուն նշանակման միատեսակության, մենք հավատում ենք, որ A \u003d x 0, b \u003d x n; \\ (\\ Delta x_0 \\) - հատվածի երկարությունը, \\ (\\ delta x_1 \\) - երկարության երկարությունը եւ այլն; Միեւնույն ժամանակ, ինչպես մենք պայմանավորվեցինք վերեւում, \\ (\\ delta x_0 \u003d \\ dots \u003d \\ delta x_ (n-1) \\)

Այսպիսով, \\ (s \\ մոտավորապես s_n \\), եւ սա մոտավոր հավասարություն է, այնքան ավելի ճշգրիտ, որքան ավելի շատ n.
Ըստ սահմանման, կարծում են, որ Curvilinear Trapezium- ի ցանկալի տարածքը հավասար է հաջորդականության սահմանին (S N).
$ $ S \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) s_n $ $

Առաջադրանք 2. (շարժվող կետի մասին)
Նյութական կետը շարժվում է ուղիղ: Ժամանակի արագության կախվածությունը արտահայտվում է V \u003d V (T) բանաձեւով: Գտեք կետի շարժումը ժամանակի ընդմիջումով [Ա; բ]
Որոշում Եթե \u200b\u200bշարժումը համազգեստ էր, ապա առաջադրանքը շատ պարզ կլիներ. S \u003d vt, I.e. S \u003d v (B - A): Անհավասար երթեւեկության համար դուք պետք է օգտագործեք նույն գաղափարները, որոնց հիման վրա հիմնված էր նախորդ առաջադրանքի որոշումը:
1) Մենք բաժանում ենք ժամանակի ընդմիջումը [Ա; B] n հավասար մասերի վրա:
2) հաշվի առեք ժամանակի ընդմիջումը, եւ մենք ենթադրում ենք, որ ժամանակի ընթացքում արագությունը կայուն էր, օրինակ, t k- ի պահին: Այսպիսով, մենք հավատում ենք, որ v \u003d v (t k):
3) Գտեք կետի շարժման մոտավոր արժեքը ժամանակի ընդմիջումով, սա մոտավոր արժեք է ցույց տալիս S k
\\ (S_k \u003d v (t_k) \\ delta t_k \\)
4) Գտեք S- ի մոտավոր շարժումը.
\\ (s \\ մոտավորապես s_n \\) Որտեղ
\\ (S_n \u003d s_0 + \\ dots + s_ (n-1) \u003d v (t_0) \\ delta t_0 + \\ dots + v (t_ (n - 1)) \\ delta t_ (n-1) \\)
5) ցանկալի շարժումը հավասար է հաջորդականության սահմանին (ներ) ին.
$ $ S \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) s_n $ $

Եկեք ամփոփենք: Տարբեր առաջադրանքների լուծումները քշվել են նույն մաթեմատիկական մոդելի վրա: Գիտության եւ տեխնոլոգիաների տարբեր ոլորտներից շատ մարտահրավերներ են տանում նույն մոդելի լուծման գործընթացում: Այսպիսով, այս մաթեմատիկական մոդելը պետք է հատուկ սովորել:

Հատուկ ինտեգրալի հասկացությունը

Դղրդյուն Մաթեմատիկական նկարագրություն Այն մոդելը, որը կառուցվել է երեք համարվող առաջադրանքներ Y \u003d F (X) գործառույթի համար, շարունակական (բայց ոչ պարտադիր չէ, քանի որ այն ենթադրվում էր համարվող առաջադրանքների մեջ) հատվածի վրա [Ա; B]:
1) բաժանել հատվածը [Ա; B] n հավասար մասերի վրա.
2) մենք կազմում ենք $ $ $ s_n \u003d f (x_0) \\ delta x_0 + f (x_1) \\ DELTA X_1 + \\ DOTS + F (x_ (n-1) $
3) հաշվարկել $ $ \\ lim_ (n \\ to \\ infort) s_n $ $

Մաթեմատիկական վերլուծության ընթացքում ապացուցված է, որ շարունակական (կամ կարճաժամկետ շարունակական շարունակական) գործառույթի դեպքում այս սահմանը գոյություն ունի: Նա կանչված է գործառույթից բաղկացած ինտեգրալ Y \u003d F) ըստ հատվածի [a; բ] Եւ նշում.
\\ (\\ in \\ limits_a ^ b f (x) DX \\)
A եւ B համարները կոչվում են ինտեգրման սահմաններ (համապատասխանաբար ստորին եւ վերին):

Եկեք վերադառնանք վերը նշված առաջադրանքներին: 1-ին առաջադրանքով տրված տարածքի սահմանումը այժմ կարող է վերաշարադրել հետեւյալ կերպ.
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)
Ահա վերը նշված ցուցանիշում պատկերված Curvilinear Trapezoid- ի տարածքը: Սա բաղկացած է Հատուկ անբաժանելիության երկրաչափական նշանակությունը:

Տեղափոխման կետի որոշումը `ուղիղ գծով շարժվելով արագությամբ v \u003d v (t) ժամանակահատվածում T \u003d a to t \u003d b- ից, տրված 2-րդ առաջադրանքի մեջ, կարող եք վերաշարադրել այն.

Նյուտոնի բանաձեւը - Լեյբնիա

Սկսելու համար նրանք կպատասխանեն հարցին. Որն է փոխհարաբերությունները հատուկ անբաժանելի եւ պարզունակ:

Պատասխանը կարելի է գտնել խնդրի մեջ 2. Մի կողմից, շարժման կետը ուղիղ գծով շարժվում է արագությամբ v \u003d v (t) T \u003d A- ից T \u003d B- ից եւ հաշվարկվում է բանաձեւ
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b v (t) dt \\)

Մյուս կողմից, շարժվող կետի կոորդինատը պրիմիտիվ է արագության համար `նշեք դրա s (t); Դա նշանակում է, որ շարժումն արտահայտվում է Formula S \u003d S (B) - S- ի կողմից: Արդյունքում մենք ստանում ենք.
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b v (t) dt \u003d s (b) - - ա) \\)
որտեղ S (t) պարզունակ է v (t) համար:

Մաթեմատիկական վերլուծության ընթացքում ապացուցված է հետեւյալ թեորեմը:
Թեորեմ: Եթե \u200b\u200bգործառույթը y \u003d f (x) շարունակական է հատվածի վրա [ա; B], ապա բանաձեւը վավեր է
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \u003d f (b) -f (a) \\)
որտեղ f (x) պարզունակ է F (x) համար:

Արդյունքում ստացված բանաձեւը սովորաբար կոչվում է Նյուտոնի բանաձեւ - Լեյբնիա Ի պատիվ Իսահակ Նյուտոնի անգլիական ֆիզիկայի (1643-1727) եւ Gottfried Leibnitsa (1646-1716) գերմանացի փիլիսոփա (1646-1716), որը այն ինքնուրույն ստացավ միմյանցից եւ համարյա միաժամանակ:

Գործնականում, F (B) - F (A) ձայնագրման փոխարեն, նրանք օգտագործում են ռեկորդը \\ (\\ ձախ: F (x) \\ ճիշտ | _A ^ B \\) (երբեմն այն կոչվում է Կրկնակի փոխարինում) Եւ, համապատասխանաբար, վերաշարադրել Նյուտոնի բանաձեւը - Լեյբնիտսա այս տեսքով.
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \u003d \\ ձախ: F (x) \\ ճիշտ | _A ^ B \\)

Հատուկ ինտեգրալ հաշվարկելով, առաջին հերթին գտեք պարզունակ, ապա կատարեք կրկնակի փոխարինում:

Հենվելով Նյուտոնի բանաձեւի վրա - Լեյբնիտսա, կարող եք ստանալ հատուկ անբաժանելի երկու հատկություններ:

Գույքը 1. Գործառույթների քանակից անբաժանելիությունը հավասար է ինտեգրալների գումարին.
\\ (\\ int \\ limits_a ^ b (f (x) + g (x)) DX \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx + \\ int \\ limits_a ^ b g (x) dx \\)

Գույքը 2. Մշտական \u200b\u200bբազմապատկիչ կարելի է հասնել ինտեգրալ նշանով.
\\ (\\ int \\ limits_a ^ b kf (x) dx \u003d k \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)

Բնակարանային առանձնահատկությունների հաշվարկ `օգտագործելով հատուկ ինտեգրալ

Ինտեգրալի օգնությամբ հնարավոր է հաշվարկել ոչ միայն curvilinear trapezes- ի տարածքը, այլեւ ավելի բարդ տեսակների հարթ թվեր, օրինակ, նկարում ներկայացված է այդ ցուցանիշում: Նկար P- ը սահմանափակվում է ուղիղ X \u003d A, x \u003d B եւ շարունակական գործառույթների գծապատկերներով Y \u003d F (x), y \u003d g (x) եւ հատվածի վրա: բ] կատարվում է անհավասարությունը \\ (g (x) \\ leq f (x) \\): Նման գործչի հրապարակը հաշվարկելու համար մենք կգործենք հետեւյալ կերպ.
\\ (S \u003d s_ (abcd) \u003d s_ (adcb) - S_ (AABB) \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx - \\ in \\ lim (x) dx \u003d \\)
\\ (\u003d \\ int \\ limits_a ^ b (f (x) -G (x)) DX \\)

Այսպիսով, տարածքը մի գործիչ է, որը սահմանված է ուղիղ x \u003d a, x \u003d B եւ գործառույթների գծապատկերներ Y \u003d F (x), y \u003d g (x), շարունակական է հատվածի վրա [ Ա; բ] կատարվում է անհավասարությունը \\ (g (x) \\ leq f (x) \\), որը հաշվարկվում է բանաձեւով
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b (f (x) -G (x)) DX \\)

Անորոշ ինտեգրալների աղյուսակ (պրիմիտիվ) որոշ գործառույթներ

$ $ \\ int 0 \\ CDOT DX \u003d C $ $ $ $ \\ INT 1 \\ CDOT DX \u003d x ^ c $ $ $ $ \u003d \\ fac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \\; \\; (N \\ neq -1) $ $ $ $ \\ in \\ frac (1) (x) dx \u003d \\ ln | x | + C $ $ $ $ \\ in ^ x dx \u003d e ^ x + c $ ^ x + c $ ^ x dx \u003d \\ frac (^ ^ x) +; \\; (A\u003e 0, \\; \\; a \\ neq 1) $ $ $ $ \\ in \\ cos x dx \u003d \\ sin x + c $ $ $ $ \u003d - \\ cos x + c $ $ $ \\ int \\ frac (\\ cos ^ 2 x) \u003d \\ տեքստ (tg) x + c $ $ $ $ $ \\ frac (dx) (\\ sin ^ 2 x) \u003d - \\ text (CTG) x + C $ $ $ $ \\ int \\ frac (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ տեքստ (arcsin) x + c $ $ $ $ \\ FRAC (DX) (1 + x ^ 2) ) \u003d \\ Տեքստ (arctg) x + c $ $ $ $ \\ int \\ տեքստ (ch) x DX \u003d \\ տեքստ (sh) x + c $ $ $ $ $ \\ text (ch) ) x + c $ $

Գնահատեք `հաշվի առնելով ինտեգրալ դիմումների դիմումները: Այս դասում մենք կվերլուծենք բնորոշ եւ ամենատարածված խնդիրը: Հատուկ ինտեգրալով բնակարանային գործչի հաշվարկներ, Վերջապես, ամենաբարձր մաթեմատիկայում իմաստի բոլոր իմաստը `կգտնվի նրան: Քիչ Մենք պետք է ավելի մոտենանք կյանքում Երկրի Քոթեջի տարածք Տարրական գործառույթները եւ գտնում են դրա տարածքը `օգտագործելով հատուկ ինտեգրալ:

Հաջող նյութական զարգացման համար անհրաժեշտ է.

1) հասկանալ Անորոշ ինտեգրալ գոնե միջին մակարդակի վրա: Այսպիսով, դասերը պետք է ծանոթ լինեն դասին Ոչ.

2) Որպեսզի կարողանանք կիրառել Նյուտոնի լաբնի բանաձեւը եւ հաշվարկել հատուկ ինտեգրալ: Էջում որոշակի ինտեգրալների ջերմ բարեկամություններ հիմնելու համար Որոշակի անբաժանելի: Լուծումների օրինակներ. Առաջադրանքը «հաշվարկի տարածքը որոշակի ինտեգրալի օգնությամբ» միշտ ենթադրում է գծապատկերի կառուցումՀետեւաբար, շենքի գծագրերի ձեր գիտելիքներն ու հմտությունները նույնպես հրատապ խնդիր կլինեն: Նվազագույնի դեպքում դուք պետք է կարողանաք կառուցել ուղիղ, պարաբոլա եւ հիպերբոլա:

Սկսենք curvilinear trapezium- ով: Curvilinear Trapezium- ը հարթ գործիչ է, որը սահմանափակված է որոշ առանձնահատկության գծով: յ. = Զ.(x.), առանցք Եզ: եւ տողեր x. = Ա; x. = Բ.

Curvilinein Trapezium- ի տարածքը թվային հավասար է հատուկ ինտեգրալին

Հատուկ ինտեգրալ (որը գոյություն ունի) ունի շատ լավ երկրաչափական նշանակություն: Դասում Որոշակի անբաժանելի: Լուծումների օրինակներՄենք ասացինք, որ որոշակի ինտեգրալ մի շարք է: Եվ հիմա ժամանակն է մեկ այլ օգտակար փաստ հայտարարելու համար: Երկրաչափության տեսանկյունից որոշակի ինտեգրալ է տարածքը, Ես, Հատուկ ինտեգրալ (եթե այն գոյություն ունի) երկրաչափականորեն համապատասխանում է որոշ գործչի տարածք, Դիտարկենք հատուկ ինտեգրալ

Ինտեգիրան

Նշում է ինքնաթիռի կորը (ցանկության դեպքում այն \u200b\u200bկարելի է գծել), եւ որոշակի ինտեգրալ ինքնին թվային հավասար է համապատասխան Curvilinear Trapezium- ի տարածքին:

Օրինակ 1.

, , , .

Սա սովորական առաջադրանքի ձեւակերպում է: Որոշման կարեւորագույն կետը նկարչություն կառուցելն է, Եւ նկարը պետք է կառուցվի ՃԻՇՏ.

Նկարչություն կառուցելիս խորհուրդ եմ տալիս հետեւյալ կարգը. առաջին Ավելի լավ է կառուցել բոլոր ուղիղը (եթե դրանք) եւ միայն ավելի ուշ - Պարաբոլներ, հիպերբոլաներ, այլ գործառույթների ժամանակացույցներ: Ստուգման շինարարության տեխնիկայով կարելի է գտնել Տեղեկատու նյութ Տարրական գործառույթների գծապատկերներն ու հատկությունները, Այնտեղ կարող եք գտնել նաեւ շատ օգտակար նյութեր `կապված մեր դասի հետ` նյութը. Ինչպես արագ կառուցել պարաբոլա:

Այս առաջադրանքի մեջ որոշումը կարող է նմանվել այսպիսին:

Կատարեք նկարչություն (Նշեք, որ հավասարումը յ. \u003d 0 սահմանում է առանցքը Եզ:):

Գործադուլը Curvilinear Trapezion- ը չի լինի, այստեղ ակնհայտ է, թե որ տարածքն է խոսքը: Որոշումը շարունակվում է այսպես.

Հատվածի վրա [-2; 1] գործառույթի ժամանակացույց յ. = x. 2 + 2 է գտնվում Առանցքի վրաԵզ:, այսպես.

Պատասխան: .

Ովքեր դժվարանում են որոշակի ինտեգրալի եւ Նյուտոն-Լեյբնյայի բանաձեւի օգտագործման հետ կապված

Վերաբերում է դասախոսությանը Որոշակի անբաժանելի: Լուծումների օրինակներ, Առաջադրանքն ավարտվելուց հետո միշտ էլ օգտակար է նայում նկարչությանը եւ գնահատմանը, իրականը պարզվեց: Այս դեպքում «աչքերի վրա» մենք հաշվում ենք գծապատկերների բջիջների քանակը. Դե, մոտավորապես 9-ը կփորձեն, թվում է, ճշմարտությունը: Միանգամայն պարզ է, որ եթե մենք լինեինք, պատասխանենք, պատասխանեք. 20 քառակուսի միավոր, ակնհայտ է, որ սխալ է որոշվում, 20 բջիջների գործիչում, այն հստակորեն տեղավորվում է: Եթե \u200b\u200bպատասխանը բացասական է պարզվել, խնդիրը նույնպես սխալ է որոշվում:

Օրինակ 2.

Հաշվարկեք ձեւի, սահմանափակ գծերի տարածքը xY. = 4, x. = 2, x. \u003d 4 եւ առանցք Եզ:.

Սա օրինակ է Որոշել, Ամբողջական լուծում եւ պատասխան դասի վերջում:

Ինչ անել, եթե գտնվում է curvilinear trapezium- ը առանցքի տակԵզ:?

Օրինակ 3.

Հաշվարկեք ձեւի, սահմանափակ գծերի տարածքը յ. = e - X., x. \u003d 1 եւ կոորդինատ առանցքներ:

Լուծում. Կատարել նկարը.

Եթե \u200b\u200bcurvilinear trapezium Լիովին տեղակայված առանցքի տակ Եզ: , ապա դրա տարածքը կարելի է գտնել բանաձեւով.

Այս դեպքում:

Ուշադրություն Մի շփոթեք երկու տեսակի առաջադրանքների.

1) Եթե հրավիրվում եք լուծելու պարզ ինտեգրալ առանց որեւէ երկրաչափական նշանակության, ապա դա կարող է լինել բացասական:

2) Եթե ձեզ հրավիրում եք գտնել գործչի գործիչը `օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ, ապա տարածքը միշտ դրական է: Այդ իսկ պատճառով պարզապես համարվող բանաձեւը հայտնվում է մինուս:

Գործնականում այդ ցուցանիշը առավել հաճախ տեղակայված է վերին եւ ստորին կես ինքնաթիռում, եւ, հետեւաբար, ամենապարզ դպրոցական գծապատկերներից, անցեք ավելի իմաստալից օրինակների:

Օրինակ 4.

Գտեք տարածքի հարթ ձեւի սահմանափակ գծերը յ. = 2x. – x. 2 , յ. = -x..

Լուծում. Նախ պետք է գծապատկեր նկարել: Տարածք դեպի առաջադրանքներ կառուցելիս մեզ առավել հետաքրքրում է տողերի խաչմերուկային կետերը: Գտեք պարաբոլայի խաչմերուկի կետերը յ. = 2x. – x. 2 եւ ուղղակիորեն յ. = -x., Դա կարելի է անել երկու եղանակով: Առաջին մեթոդը վերլուծական է: Մենք լուծում ենք հավասարումը.

Այսպիսով, ինտեգրման ստորին սահմանը Ա = 0, վերին սահմանը ինտեգրում Բ \u003d 3. Հաճախ հաճախ ավելի շահավետ եւ արագ է կառուցել հոսքի տողերը, մինչդեռ ինտեգրման սահմանները հստակեցված են, կարծես «իրենք»: Այնուամենայնիվ, վերջից հետո սահմանները գտնելու վերլուծական միջոց, երբեմն անհրաժեշտ է կիրառել, եթե, օրինակ, ժամանակացույցը բավականաչափ մեծ է, կամ վերապատրաստված շինարարությունը չի բացահայտել ինտեգրման սահմանները (դրանք կարող են լինել կոտորակ կամ իռացիոնալ): Մենք վերադառնում ենք մեր առաջադրանք. Ավելի ռացիոնալ նախ կառուցեք ուղիղ գիծ եւ միայն դրանից հետո պարաբոլա: Կատարել նկարը.

Կրկնեք դա ընթացիկ շինարարության մեջ, ինտեգրման սահմանները առավել հաճախ պարզում են «ինքնաբերաբար»:

Եվ հիմա աշխատանքային բանաձեւը.

Եթե \u200b\u200bհատվածի վրա [ Ա; Բ] Որոշ շարունակական գործառույթ Զ.(x.) Ավելի կամ հավասար Որոշ շարունակական գործառույթ Գամասեղ(x.) Այնուհետեւ համապատասխան ցուցանիշի տարածքը կարելի է գտնել բանաձեւով.

Այստեղ, կարիք չկա մտածելու, թե որտեղ է գործիչը գտնվում առանցքի կամ առանցքի տակ, եւ կարեւոր է, թե որն է վերեւում գտնվող գրաֆիկը(հարաբերական մեկ այլ ժամանակացույցի) Եւ ինչ - ներքեւում.

Այս օրինակում ակնհայտ է, որ Պարաբոլայի հատվածում գտնվում է ուղիղ եւ, հետեւաբար, 2-ից x. – x. 2-ը պետք է հանվի x..

Լուծման ավարտը կարող է այսպիսին լինել.

The անկալի ցուցանիշը սահմանափակվում է պարաբոլայով յ. = 2x. – x. 2 վերեւ եւ ուղիղ յ. = -x. Ներքեւում:

2-րդ հատվածում: x. – x. 2 ≥ -x., Համաձայն համապատասխան բանաձեւի.

Պատասխան: .

Փաստորեն, ստորին կիսամյակի ընթացքում Curvilinear Trapezium- ի տարածքի դպրոցի բանաձեւը (տես համարը 3) - Մասնավոր գործ Բանաձեւեր

Քանի որ առանցքը Եզ: Վավեր է հավասարման միջոցով յ. \u003d 0, եւ գործառույթի ժամանակացույց Գամասեղ(x.) Տեղակայված առանցքի տակ Եզ:Շոշափել

Եվ այժմ մի քանի օրինակ `անկախ որոշման համար

Օրինակ 5.

Օրինակ 6.

Գտեք թվերի տարածքը սահմանափակ տողեր

Հատուկ ինտեգրալով տարածքը հաշվարկելու խնդիրների լուծման ընթացքում երբեմն տեղի է ունենում զվարճալի դեպք: Նկարչությունն ավարտվում է ճիշտ, հաշվարկներ `ճիշտ, բայց, աննկատելիությամբ, ... Գտնված տարածքը գործիչը չէ:

Օրինակ 7.

Նախ կատարեք նկարը.

Գնահատեք, թե ում տարածքը պետք է գտնենք, ստվերավորված է կապույտ գույնով(Ուշադիր նայեք վիճակի վրա, քան այդ ցուցանիշը սահմանափակ է): Բայց գործնականում, ինտենսիվ, հաճախ որոշում են, որ դուք պետք է գտնեք գործչի տարածքը, որը ստվերում է Կանաչ!

Այս օրինակը նույնպես օգտակար է նրանով, որ այն համարվում է դրա մեջ երկու հատուկ ինտեգրալների չափը: Իրոք.

1) հատվածի վրա [-1; 1] առանցքի վրա Եզ: Տեղակայված ժամանակացույցը յ. = x.+1;

2) առանցքի վերեւում գտնվող հատվածի վրա Եզ: Գտնվում է հիպերբոլայի գծապատկեր յ. = (2/x.).

Հասկանալի է, որ հրապարակը կարող է (եւ անհրաժեշտություն) քայքայվել, այնպես որ.

Պատասխան:

Օրինակ 8:

Հաշվարկեք ձեւի, սահմանափակ գծերի տարածքը

Պատկերացրեք հավասարումը «դպրոցի» ձեւում

Եվ կատարեք ընթացիկ նկարը.

Խաղարկությունից պարզ է, որ վերին սահմանը մենք ունենք «լավ». Բ = 1.

Բայց որն է ստորին սահմանը: Հասկանալի է, որ սա ամբողջ թվով չէ, բայց ինչ:

Միգուցե, Ա\u003d (- 1/3): Բայց որտեղ է երաշխիքը, որ նկարը կատարվում է իդեալական ճշգրտությամբ, կարող է դա լինել Ա\u003d (- 1/4): Եվ եթե մենք, ընդհանուր առմամբ, ոչ պատշաճ ժամանակացույց ենք կառուցել:

Նման դեպքերում դուք պետք է լրացուցիչ ժամանակ ծախսեք եւ վերլուծեք ինտեգրման սահմանները վերլուծական:

Գտեք գծապատկերների խաչմերուկը

Դա անելու համար լուծեք հավասարումը.

Հետեւաբար, Ա=(-1/3).

Հետագա լուծումը չնչին է: Հիմնական բանը `փոխարինող եւ նշանների մեջ շփոթվել: Հաշվարկները ամենապարզ չեն: Կտրվածքի վրա

, ,

Համաձայն համապատասխան բանաձեւի.

Պատասխան:

Դասի ավարտին ավելի բարդ համարեք երկու առաջադրանք:

Օրինակ 9.

Հաշվարկեք ձեւի, սահմանափակ գծերի տարածքը

Լուծում. Show ույց տվեք այս ձեւը նկարչության մեջ:

Նկարը ստուգելու համար հարկավոր է իմանալ արտաքին տեսք սինուսոիդներ: Ընդհանուր առմամբ, օգտակար է իմանալ բոլոր տարրական գործառույթների գծապատկերները, ինչպես նաեւ որոշ սինուսային արժեքներ: Դրանք կարելի է գտնել արժեքների աղյուսակում եռանկյունաչափ գործառույթներ, Որոշ դեպքերում (օրինակ, այս դեպքում) թույլատրվում է ստեղծել սխեմատիկ նկարչություն, որի վրա սկզբունքորեն պետք է արտացոլվեն գծապատկերներն ու ինտեգրման սահմանները:

Ինտեգրման սահմաններով այստեղ խնդիրներ չկան, դրանք ուղղակիորեն հետեւում են վիճակին.

- «X» - ը տատանվում է զրոյից մինչեւ «PI»: Մենք կազմում ենք հետագա լուծում.

Կտրված գրաֆիկի գործառույթի վրա յ. \u003d SIN 3. x. Գտնվում է առանցքի վերեւում Եզ:, այսպես.

(1) Ինչպես ինտեգրվել սպիքային եւ կոսմինները տարօրինակ աստիճանի մեջ, կարող եք դասին նայել Տրիգոնոմետրիկ գործառույթներից ինտեգրալներ, Միացրեք մեկ սինուս:

(2) Մենք օգտագործում ենք հիմնական տրիգոնոմետրիկ ինքնությունը ձեւով

(3) Մենք կփոխարինենք փոփոխականին Շոշափել \u003d Cos. x., ապա `տեղակայված առանցքի վերեւում, այնպես որ.

Նշում: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, թե ինչպես է ընդունվում Կուբայում շոշափելի անբաժանելիությունը, հիմնականի հետեւանքը եռանկյունաչափ ինքնություն

Իրականում, գործչի տարածքը գտնելու համար անորոշ եւ սահմանված անբաժանելիության նման գիտելիք չկա: Առաջադրանքը «հաշվարկի տարածքը որոշակի ինտեգրալի օգնությամբ» միշտ ենթադրում է գծապատկերի կառուցումՀետեւաբար, շատ ավելի համապատասխան խնդիր կլինի ձեր նկարների գծագրերի գիտելիքներն ու հմտությունները: Այս առումով օգտակար է թարմացնել հիմնական տարրական գործառույթների գրաֆիկայի հիշատակը, եւ գոնե կարողանալ ուղիղ եւ հիպերբոլա կառուցել:

Curvilinear Trapezion- ը կոչվում է հարթ գործիչ, սահմանափակված առանցքի, ուղիղ եւ շարունակական ժամանակացույցով `գործառույթի մի հատվածի վրա, որը չի փոխում նշանը այս ընդմիջումով: Թող այս ցուցանիշը գտնվի ոչ պակաս Abscissa առանցքը.

Ապա curvilinein Trapezium- ի տարածքը թվային հավասար է հատուկ ինտեգրալին, Հատուկ ինտեգրալ (որը գոյություն ունի) ունի շատ լավ երկրաչափական նշանակություն:

Երկրաչափության տեսանկյունից որոշակի ինտեգրալ է տարածքը.

Ես, Հատուկ ինտեգրալ (եթե այն գոյություն ունի) երկրաչափականորեն համապատասխանում է որոշակի ձեւի տարածքին: Օրինակ, հաշվի առեք հատուկ ինտեգրալ: Ինտեգիրտ ֆունկցիան ինքնաթիռի վրա կորի է դնում, որը գտնվում է առանցքի վերեւում (որը ցանկանում է նկարել նկարը), եւ հատուկ ինտեգրալը ինքնին հավասար է համապատասխան Curvilinear trapezium տարածքին:

Օրինակ 1.

Սա սովորական առաջադրանքի ձեւակերպում է: Առաջին I. Ամենակարեւոր պահը Լուծումներ - շենքի նկարչություն, Եւ նկարը պետք է կառուցվի ՃԻՇՏ.

Այս առաջադրանքի մեջ որոշումը կարող է նմանվել այսպիսին:
Կատարեք նկարը (նշեք, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը).

Սեգմենտի ժամանակացույցի վրա տեղակայված է գործառույթ Առանցքի վրա, այսպես.

Պատասխան:

Առաջադրանքն ավարտվելուց հետո միշտ էլ օգտակար է նայում նկարչությանը եւ գնահատմանը, իրականը պարզվեց: Այս դեպքում «աչքերի վրա» մենք հաշվում ենք գծապատկերների բջիջների քանակը. Դե, մոտավորապես 9-ը կփորձեն, թվում է, ճշմարտությունը: Միանգամայն պարզ է, որ եթե մենք լինեինք, պատասխանենք, պատասխանեք. 20 քառակուսի միավոր, ակնհայտ է, որ սխալ է որոշվում, 20 բջիջների գործիչում, այն հստակորեն տեղավորվում է: Եթե \u200b\u200bպատասխանը բացասական է պարզվել, խնդիրը նույնպես սխալ է որոշվում:

Օրինակ 3.

Հաշվարկեք ձեւի, սահմանափակ գծերի եւ կոորդինատների առանցքների տարածքը:

Որոշում: Կատարել նկարը.

Եթե \u200b\u200bգտնվում է curvilinear trapezium- ը առանցքի տակ(կամ գոնե ոչ ավելի Այս առանցքը), ապա դրա տարածքը կարելի է գտնել բանաձեւով.

Այս դեպքում:

Ուշադրություն Մի շփոթեք երկու տեսակի առաջադրանքների:

Օրինակ 4.

Գտեք հարթ գործչի, սահմանափակ գծերի տարածքը ,.

Որոշում: Նախ պետք է նկարել: Ընդհանրապես, տարածքի առաջադրանքներ կառուցելիս մենք առավել հետաքրքրում ենք գծերի խաչմերուկային կետերը: Գտեք պարաբոլայի խաչմերուկի կետերը եւ ուղղակիորեն: Դա կարելի է անել երկու եղանակով: Առաջին մեթոդը վերլուծական է: Մենք լուծում ենք հավասարումը.

Այսպիսով, ստորին ինտեգրման սահմանը, ինտեգրման վերին սահմանը:

Հնարավորության դեպքում այս եղանակն ավելի լավ է, մի օգտագործեք.

Շատ ավելի ձեռնտու է եւ ավելի արագ, գծի տողերը կառուցելու համար, մինչդեռ ինտեգրման սահմանները հստակեցված են, կարծես «իրենք»: Այնուամենայնիվ, վերջից հետո սահմանները գտնելու վերլուծական միջոց, երբեմն անհրաժեշտ է կիրառել, եթե, օրինակ, ժամանակացույցը բավականաչափ մեծ է, կամ վերապատրաստված շինարարությունը չի բացահայտել ինտեգրման սահմանները (դրանք կարող են լինել կոտորակ կամ իռացիոնալ): Եվ այսպիսի օրինակ, մենք նույնպես համարում ենք:

Մենք վերադառնում ենք մեր առաջադրանք. Ավելի ռացիոնալ նախ կառուցեք ուղիղ գիծ եւ միայն դրանից հետո պարաբոլա: Կատարել նկարը.

Եվ հիմա աշխատանքային բանաձեւըԵթե \u200b\u200bհատվածի վրա որոշակի շարունակական գործառույթ Ավելի կամ հավասար Որոշ շարունակական գործառույթ, գործչի տարածքը, որը սահմանափակվում է այս գործառույթների եւ ուղղակի գծապատկերներով, կարելի է գտնել բանաձեւով.

Այստեղ այլեւս անհրաժեշտ չէ մտածել, թե որտեղ է գտնվում այդ ցուցանիշը `առանցքի վրա կամ առանցքի տակ, եւ, կոպիտ ասած, կարեւոր է, թե որն է վերեւում գտնվող գրաֆիկը(հարաբերական մեկ այլ ժամանակացույցի) Եւ ինչ - ներքեւում.

Այս օրինակում ակնհայտ է, որ Պարաբոլայի հատվածում տեղակայված է ուղիղ, եւ, հետեւաբար, անհրաժեշտ է հանել

Լուծման ավարտը կարող է այսպիսին լինել.

The անկալի գործիչը սահմանափակվում է պարաբոլայով վերեւից եւ ուղիղ ներքեւից:
Հատվածի վրա, համապատասխան բանաձեւի համաձայն.

Պատասխան:

Օրինակ 4.

Հաշվարկեք ձեւի, սահմանափակ գծերի տարածքը ,,,,

ՈրոշումԱռաջին անգամ արեք նկարը.

Գնահատեք, թե ում տարածքը պետք է գտնենք, ստվերավորված է կապույտ գույնով (Ուշադիր նայեք վիճակի վրա, քան այդ ցուցանիշը սահմանափակ է): Գործնականում, «Glitch» - ը հաճախ առաջանում է մտքի մեջ, որը դուք պետք է գտնեք գործչի տարածք, որը ստվերում է կանաչով:

Այս օրինակը դեռ օգտակար է եւ այն փաստը, որ դրա մեջ գործչի տարածքը համարվում է երկու հատուկ ինտեգրալ:

Իրոք:

1) Ուղիղ ժամանակացույցը գտնվում է առանցքի հատվածի հատվածում.

2) Առանցքի գերեզմանի վրա կա հիպերբլների գրաֆիկ:

Հասկանալի է, որ հրապարակը կարող է (եւ անհրաժեշտություն) քայքայվել, այնպես որ.

Այս հոդվածից դուք կսովորեք, թե ինչպես գտնել թվերի տարածք, որը սահմանափակվում է տողերով, օգտագործելով ամբողջական հաշվարկներ օգտագործելով: Առաջին անգամ ավագ դպրոցում մենք հանդիպում ենք նման առաջադրանքի, երբ մենք պարզապես անցանք որոշակի ինտեգրալների ուսումնասիրություն եւ ժամանակն է սկսել գործնականում ձեռք բերված գիտելիքների երկրաչափական մեկնաբանությունը:

Այսպիսով, այն, ինչ կպահանջվի հաջողությամբ լուծել գործչի տարածքի որոնման խնդիրը ինտեգրալների օգնությամբ.

Հմտություն, որն իրավասու է կառուցել նկարներ;
Հատուկ ինտեգրալ լուծելու ունակություն `հայտնի Նյուտոն-Լեյբնիկ բանաձեւի օգնությամբ.
«Տեսնելու» ավելի շահավետ լուծման տարբերակը - I.E. Հասկացեք, թե ինչպես նման դեպքում ավելի հարմար կլինի ինտեգրման իրականացնել: X առանցքի երկայնքով (եզ) կամ խաղի առանցքը (OY):
Դե, որտեղ առանց ճիշտ հաշվարկների?) Սա ներառում է հասկացողություն, թե ինչպես լուծել այդ այլ տեսակի ինտեգրալները եւ ճիշտ թվային հաշվարկները:

Ալգորիթմը `գործչի տարածքը հաշվարկելու խնդիրը, սահմանափակ տողերը.

1. Կառուցել նկար: Խորհուրդ է տրվում դա անել մի կտոր վանդակի վրա, մեծ մասշտաբով: Մենք բաժանորդագրվում ենք մատիտ յուրաքանչյուր գծապատկերում այս գործառույթի անվանումը: Գրաֆիկների ստորագրությունը կատարվում է բացառապես հետագա հաշվարկման հարմարության համար: Desired անկալի գործչի գրաֆիկ ստանալուց հետո, շատ դեպքերում այն \u200b\u200bկտեսնվի անմիջապես, թե որ ինտեգրման սահմանները կօգտագործվեն: Այսպիսով, մենք խնդիրը լուծում ենք գրաֆիկական մեթոդով: Այնուամենայնիվ, պատահում է, որ սահմանների արժեքները կոտորակային կամ իռացիոնալ են: Հետեւաբար, կարող եք լրացուցիչ հաշվարկներ կատարել, գնալ քայլ երկու:

2. Եթե \u200b\u200bինտեգրման սահմանները հստակ չեն նշվում, մենք գտնում ենք գծապատկերների խաչմերուկային կետերը միմյանց հետ, եւ մենք նայում ենք, թե արդյոք մեր գրաֆիկական լուծումը վերլուծական է:

3. Հաջորդը, անհրաժեշտ է վերլուծել նկարը: Կախված նրանից, թե ինչպես են գործում գործառույթների գրաֆիկները, գործչի տարածքը գտնելու տարբեր մոտեցումներ կան: Նկատի առնել Տարբեր օրինակներ Ինտեգրալների օգնությամբ գործչի տարածքը գտնելու համար:

3.1. Առավել դասական եւ պարզ առաջադրանքի տարբերակն այն է, երբ դուք պետք է գտնեք Curvilinear Trapezium- ի տարածքը: Ինչ է curvilinear trapeze- ը: Սա հարթ գործիչ է, որը սահմանափակվում է x առանցքով (y \u003d 0)ուղիղ x \u003d A, x \u003d b եւ ցանկացած կորի շարունակական ընդմիջումից Ա նախքան Բ, Միեւնույն ժամանակ, այս ցուցանիշը ոչ բացասական է եւ ցածր չէ Abscissa Axis- ից: Այս դեպքում Curvilineear Trapezium- ի տարածքը թվայինորեն հավասար է Նյուտոնի Labrender Formula- ի կողմից հաշվարկված հատուկ ինտեգրալին.

Օրինակ 1. y \u003d x2 - 3x + 3, x \u003d 1, x \u003d 3, y \u003d 0.

Որ տողերն է նկարը սահմանափակվում: Մենք ունենք պարաբոլա y \u003d x2 - 3x + 3որը գտնվում է առանցքի վերեւում Թեթ, դա ոչ բացասական է, քանի որ Այս պարաբոլայի բոլոր կետերը դրական են: Հաջորդը, ուղղակի x \u003d 1: մի քանազոր x \u003d 3:ովքեր վազում են առանցքի զուգահեռ ԴուքՁախ եւ աջ գծի սահմանափակող գծերն են: Լավ y \u003d 0:Նա X առանցք է, որը սահմանափակում է ստորեւ նշված ցուցանիշը: Արդյունքում ստացված գործիչը ստվերում է, ինչպես երեւում է ձախից նկարից: Այս դեպքում դուք կարող եք անմիջապես սկսել լուծել խնդիրը: Մենք ունենք Curvilinear Trapezium- ի մի պարզ օրինակ, որը հետագայում լուծում է Նյուտոն-Լեյբնիկ բանաձեւի օգնությամբ:

3.2. Նախորդ կետում 3.1-ում գործը ապամոնտաժվում է, երբ Curvilinear Trapezium- ը գտնվում է x առանցքի վերեւում: Այժմ քննարկենք գործը, երբ առաջադրանքի պայմանները նույնն են, բացառությամբ, որ գործառույթը գործում է X առանցքի տակ: Newton-Labriender- ի ստանդարտ բանաձեւը ավելացվում է մինուս: Ինչպես լուծել նման առաջադրանքը հետագա համարում:

Օրինակ 2. , Հաշվարկեք ձեւի, սահմանափակ գծերի տարածքը y \u003d x2 + 6x + 2, x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0.

Այս օրինակում մենք ունենք պարաբոլա y \u003d x2 + 6x + 2որը ծագում է առանցքից Թեթ, Ուղիղ x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0, Այստեղ y \u003d 0: Սահմանափակում է ցանկալի ցուցանիշը վերեւից: Ուղիղ x \u003d -4: մի քանազոր x \u003d -1: Սրանք սահմաններ են, որոնց շրջանակներում հաշվարկվելու է հատուկ ինտեգրալ: Գծի տարածքը գտնելու խնդրի լուծման սկզբունքը գրեթե ամբողջովին համընկնում է թիվ 1. Միակ տարբերությունն այն է, որ նշված գործառույթը դրական չէ, եւ ամեն ինչ նույնպես շարունակական է ընդմիջումով [-4; -1] , Ինչ չի նշանակում դրական: Ինչպես երեւում է գործիչից, նշված գործիչը, որը գտնվում է նշված ICS- ի մեջ, ունի բացառապես «բացասական» կոորդինատներ, որոնք մենք պետք է տեսնենք եւ հիշենք խնդիրը լուծելիս: Գործչի տարածքը փնտրում է Newton Labitsa բանաձեւ, միայն սկզբում մինուս նշանով:

Հոդվածը չի ավարտվել:

Նախորդ բաժնում, որը նվիրված է որոշակի անբաժանելիության երկրաչափական նշանակության վերլուծությանը, մենք ստացանք մի շարք բանաձեւեր `curvilinear trapezium տարածքը հաշվարկելու համար.

Yandex.rtb R-A-339285-1

S (g) \u003d ∫ a b f (x) D x շարունակական եւ ոչ բացասական գործառույթների համար y \u003d f (x) հատվածի վրա [a; բ]

S (g) \u003d - ∫ a b f (x) D x շարունակական եւ ոչ դրական գործառույթի համար y \u003d f (x) հատվածի վրա [a; բ]

Այս բանաձեւերը կիրառելի են համեմատաբար պարզ առաջադրանքներ լուծելու համար: Իրականում մենք ամենից հաճախ պետք է աշխատենք ավելի բարդ թվերի հետ: Այս առումով, այս բաժինը մենք նվիրում ենք Ալգորիթմների վերլուծությանը `թվերի տարածքը հաշվարկելու համար, որոնք սահմանափակ են գործառույթներով, այսինքն: Քանի որ y \u003d f (x) կամ x \u003d g (y):

Թեորեմ

Թող Y \u003d F 1 (x) եւ Y \u003d F 2 (x) գործառույթները որոշվեն եւ շարունակական են միջերեսի վրա [Ա; B], F 1 (x) ≤ F 2 (x) միջոցով ցանկացած արժեքի համար x- ից: բ] Այնուհետեւ FICES G- ի տարածքը հաշվարկելու բանաձեւը, որը սահմանվում է X \u003d A, x \u003d B, Y \u003d F 1 (x) եւ Y \u003d F 2 (x): ABF 2 (x) - F 1 (x) DX.

Նմանատիպ բանաձեւը կիրառելի կլինի գործչի տարածքի վրա, որը սահմանափակված է Y \u003d C, Y \u003d D, X \u003d g 1 (y) եւ x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ CD (G 2 (y) - G 1 (y) dy.

Վկայություն

Մենք վերլուծելու ենք այն երեք դեպքերը, որոնց համար բանաձեւը արդար կլինի:

Առաջին դեպքում, հաշվի առնելով տարածքի հավելողականության գույքը, բնօրինակ գործչի գումարի եւ Curvilineear Trapezium G 1-ի տարածքի գումարը հավասար է Գծապատկեր G 2-ի տարածքին: Դա նշանակում է որ

Հետեւաբար, S (G) \u003d s (g 2) - s (g 1) \u003d ∫ ABF 2 (x) DX - ∫ ABF 1 (x) DX \u003d ∫ AB (F 2 (x)) DX

Կատարեք վերջին անցումը, որը մենք կարող ենք օգտագործել հատուկ անբաժանելիության երրորդ սեփականությունը:

Երկրորդ դեպքում հավասարությունը ճշմարիտ է. S (G) \u003d S (G 2) s (g 1) \u003d ∫ ABF 2 (x) DX + - ∫ AB (F 2 (x) ) - F 1 (x)) DX

Գրաֆիկական պատկերազարդումը կանդրադառնա.

Եթե \u200b\u200bերկու գործառույթները ոչ դրական են, մենք ստանում ենք. S (G) \u003d S (G 2) - S (G 1) \u003d - ∫ ABF 2 (x) DX \u003d ∫ AB (F 2 (x) - F 1 (x)) DX: Գրաֆիկական պատկերազարդումը կանդրադառնա.

Եկեք դիմենք ընդհանուր գործի քննարկմանը, երբ Y \u003d F 1 (x) եւ y \u003d f 2 (x) հատում է o x առանցքը:

Խաչմերուկի կետերը Մենք նշում ենք որպես X I, i \u003d 1, 2,: , , , N - 1: Այս կետերը կոտրում են հատվածը [Ա; B] N մասերի X I - 1; x i, i \u003d 1, 2,. , , , n, որտեղ α \u003d x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Հետեւաբար,

S (g) \u003d σ i \u003d 1 n s \u003d 1 n s) \u003d σ i \u003d 1 n ∫ xixif 2 (x) - F 1 (x) dx \u003d \u003d x (x) - F (x) )) DX \u003d ∫ ABF 2 (x) - F 1 (x) DX

Մենք կարող ենք իրականացնել վերջին անցումը `օգտագործելով հատուկ անբաժանելիության հինգերորդ հատկությունները:

Գծապատկերում պատկերված ենք ընդհանուր գործի մեջ:

Formula s (g) \u003d ∫ a b f 2 (x) - F 1 (x) D X- ը կարելի է համարել ապացուցված:

Եվ հիմա մենք անցնում ենք թվերի տարածքը հաշվարկելու օրինակների վերլուծությանը, որոնք սահմանափակվում են Y \u003d F (x) եւ x \u003d g (y) տողերով:

Յուրաքանչյուր օրինակից հաշվի առնելով մենք կսկսենք ժամանակացույցի կառուցում: Պատկերը թույլ կտա մեզ ավելի շատ ներկայացնել համատեղ թվեր որպես ասոցիացիաներ Պարզ թվեր, Եթե \u200b\u200bգծապատկերների եւ թվերի կառուցումը նրանց համար դժվարացնում է, կարող եք ուսումնասիրել հիմնական տարրական գործառույթների, գործառույթների գծապատկերների երկրաչափական փոխարկումը, ինչպես նաեւ գործառնական հետազոտության ընթացքում շինարարական գծապատկերներ:

Օրինակ 1.

Անհրաժեշտ է որոշել գործչի տարածքը, որը սահմանափակվում է պարաբոլա y \u003d - x 2 + 6 x - 5 եւ ուղիղ գծերով y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4 ,

Որոշում

Lines ուցադրել գծերը գծապատկերում Cartesian համակարգված համակարգում:

Հատվածի վրա [1; 4] Պարաբոլա y \u003d - x 2 + 6 x - 5-ը գտնվում է ուղիղ y \u003d - 1 3 x - 1 2: Այս առումով, պատասխան ստանալու համար մենք օգտագործում ենք բանաձեւը ավելի վաղ, ինչպես նաեւ Նյուտոն-Լեյբնիցա բանաձեւի համաձայն հատուկ ինտեգրալ հաշվարկելու մեթոդ.

S (g) \u003d ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 DX \u003d \u003d ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 \u003d \u003d - 1 3 · 4 + 19 6 · 4 · 4 - 9 2 · 4 - 1 3 · 1 + 19 6 · 1 1 - 9 2 · 1 \u003d - 64 3 + \u003d - 64 3 + \u003d - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 \u003d 13

Պատասխան, S (G) \u003d 13

Դիտարկենք ավելի բարդ օրինակ:

Օրինակ 2.

Անհրաժեշտ է հաշվարկել գործչի տարածքը, որը սահմանափակվում է Y \u003d x + 2, y \u003d x, x \u003d 7:

Որոշում

Այս դեպքում մենք ունենք ընդամենը մեկ ուղիղ գիծ, \u200b\u200bորը գտնվում է Abscissa Axis- ին զուգահեռ: Սա x \u003d 7 է: Դա մեզանից պահանջում է գտնել ինքնուրույն ինտեգրման երկրորդ սահմանը:

Մենք կառուցում ենք ժամանակացույց եւ դրա վրա գծեր ենք բերում, տվյալներ առաջադրանքի վիճակի վերաբերյալ:

Աչքերի առջեւ աղյուսակ ունենալը մենք կարող ենք հեշտությամբ որոշել, որ ինտեգրման ստորին սահմանը կլինի ժամանակացույցի խաչմերուկի հատման կետի աբսցիսային եւ պարաբոլա y \u003d x + 2 հատակի: Abscissa- ն գտնելու համար օգտագործեք հավասարություն.

y \u003d x + 2 o d Z: x ≥ - 2 x 2 \u003d x + 2 2 x 2 - x - 2 \u003d 0 D \u003d (- 1) 2 - 4 · 1) \u003d 9 x 1 \u003d 1 + 9 2 \u003d 2 ∈ O DZX 2 \u003d 1 - 9 2 \u003d - 1 ∉ Օդ

Ստացվում է, որ խաչմերուկի ափսենը X \u003d 2 է:

Մենք ձեր ուշադրությունը հրավիրում ենք այդ փաստի վրա Ընդհանուր օրինակ Y \u003d x + 2 գծի գծապատկերում y \u003d x հատվում է կետում (2; 2), ուստի նման մանրամասն հաշվարկները կարող են անտեղի թվալ: Մենք բերեցինք այստեղ Մանրամասն լուծում Պարզապես այն պատճառով, որ ավելին Բարդ դեպքեր Որոշումը կարող է այնքան ակնհայտ չլինել: Սա նշանակում է, որ տողերի խաչմերուկի կոորդինատները ավելի լավ են միշտ վերականգնել վերլուծականորեն:

Ընդմիջումով [2; 7] Գործառույթի գրաֆիկը Y \u003d X- ը գտնվում է գործառույթի գծապատկերի վերեւում y \u003d x + 2: Կիրառեք հաշվարկային հրապարակի բանաձեւը.

S (G) \u003d ∫ 2 7 (x - x + 2) DX \u003d x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 \u003d 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 · 2 + 2 3 2 \u003d 49 2 - 18 - 2 + 16 3 \u003d 59 6

Պատասխան, S (G) \u003d 59 6

Օրինակ 3.

Անհրաժեշտ է հաշվարկել գործչի տարածքը, որը սահմանափակված է գործառույթների գծապատկերներով y \u003d 1 x եւ y \u003d - x 2 + 4 x - 2:

Որոշում

Դիմեք գծերը ժամանակացույցի վրա:

Որոշեք ինտեգրման սահմանները: Դա անելու համար մենք սահմանում ենք գծերի խաչմերուկային կետերի կոորդինատները, որոնք հավասարեցնում են 1 X եւ - x 2 + 4 x - 2-ը: Եթե \u200b\u200bX- ը զրո չէ, հավասարությունը 1 x \u003d x 2 + 4 x - 2-ը դառնում է երրորդ աստիճանի համարժեք հավասարություն - X 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 `ամբողջ թվով գործակիցներով: Հիշողության մեջ ալգորիթմը թարմացնելու համար մենք կարող ենք լուծելով նման հավասարումները, կապ հաստատելով «խորանարդ հավասարումների լուծույթ» բաժնի հետ:

Այս հավասարման արմատը x \u003d 1: - 1 3 + 4 · 1 - 2 · 1 - 1 \u003d 0:

Բաժանելով արտահայտությունը - X 3 + 4 x 2 - 2 x - 1-ը մեկ ցատկում X - 1, մենք ստանում ենք. - X 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 - (x 2 - 3 x - 1) \u003d 0:

Մնացած արմատները, որոնք մենք կարող ենք գտնել x 2 - 3 x - 1 \u003d 0:

x 2 - 3 x - 1 \u003d 0 D \u003d (- 3) 2 - 4 · 1) \u003d 13 x 1 \u003d 3 + 13 2 ≈ 3: 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0: 3.

Մենք գտանք միջակայք x ∈ 1; 3 + 13 2, որի վրա նկարը եզրափակվում է կապույտ եւ կարմիր գծի տակ: Դա օգնում է մեզ որոշելու գործչի տարածքը.

S (g) \u003d ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xDx \u003d - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 3 3 + 2 · 3 + 13 2 - 2 · 3 + 13 2 - LN 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 - 2 - 2 · 1 - LN 1 \u003d 7 + 13 2 ,

Պատասխան, S (G) \u003d 7 + 13 3 - LN 3 + 13 2

Օրինակ 4.

Անհրաժեշտ է հաշվարկել գործչի տարածքը, որը սահմանափակվում է Y \u003d x 3, Y \u003d - մատյան 2 x + 1 եւ առանցքի առանցքի:

Որոշում

Մենք կիրարկենք բոլոր տողերը ժամանակացույցով: Մենք կարող ենք ձեռք բերել գործառույթի գործառույթ Y \u003d - Մուտք 2 X + 1-ից `Graph Y \u003d Log 2 X- ից, եթե մենք այն տեղադրում ենք Abscissa Axis- ի հետ եւ մեկ միավոր բարձրացրեք վերեւում: Abscissa առանցքի հավասարումը y \u003d 0:

Նշեք տողերի խաչմերուկի կետերը:

Ինչպես երեւում է գործիչից, գործառույթների գծապատկերները Y \u003d x 3 եւ y \u003d 0 հատում են կետում (0; 0): Սա ձեռք է բերվում, քանի որ x \u003d 0 հավասարման միակ վավեր արմատն է x 3 \u003d 0:

x \u003d 2-ը հավասարման միակ արմատն է. Մուտքագրեք 2 x + 1 \u003d 0, այնպես որ գործառույթների գծապատկերները Y \u003d - Մուտք 2) կետում (2; 0):

x \u003d 1-ը հավասարման միակ արմատն է x 3 \u003d - մատյան 2 x + 1: Այս կապակցությամբ գործառույթների գծապատկերները y \u003d x 3 եւ y \u003d - մատյան 2 x + 1 հատում կետում (1; 1): Վերջին հայտարարությունը կարող է անհասկանալի լինել, բայց հավասարումը x 3 \u003d - Մուտք 2 X + 1-ը չի կարող ունենալ մեկից ավելի արմատ, քանի որ Y \u003d x 3-ը խստորեն նվազում է ,

Հետագա լուծումը ներառում է մի քանի տարբերակ:

1-ին տարբերակ

Գծապատկեր g Մենք պատկերացնում ենք որպես abscissa առանցքի վերեւում գտնվող երկու կորած Trapezes- ի գումարը, որոնցից առաջինը գտնվում է X ∈ 0 հատվածի կեսից ցածր: 1, իսկ երկրորդը `կարմիր գծի ներքեւում, X ∈ 1 հատվածում; 2-ը Սա նշանակում է, որ տարածքը հավասար կլինի S (G) \u003d ∫ 0 1 x 3 D x + ∫ 1 2 (- մատյան 2 x + 1) D x:

2-րդ տարբերակը:

Գծապատկ G- ն կարող է ներկայացվել որպես երկու թվերի տարբերություն, որոնցից առաջինը գտնվում է Abscissa Axis- ի վերեւում եւ կապույտ գծի ներքեւում X ∈ 0 հատվածում: 2, իսկ երկրորդը `կարմիր եւ կապույտ գծերի միջեւ X ∈ 1 հատվածի վրա; 2-ը Սա մեզ թույլ է տալիս գտնել տարածքը հետեւյալ կերպ.

S (g) \u003d ∫ 0 2 x 3 D x - ∫ 1 2 x 3 - (- Մուտք 2 x + 1) D x

Այս դեպքում տարածքը գտնելու համար ստիպված կլինի օգտագործել ձեւի ձեւը (g) \u003d ∫ C D (G 2 (y) - G 1 (y)) D Y: Փաստորեն, գործիչը սահմանափողով տողերը կարող են ներկայացվել որպես փաստարկից գործառույթներ y:

Թույլատրեց հավասարումներ y \u003d x 3 եւ - Մուտք 2 x + 1 հարաբերական x- ի հետ.

y \u003d x 3 ⇒ x \u003d y 3 y \u003d - մատյան 2 x + 1 ⇒ Մուտք 2 x \u003d 1 - Y ⇒ x \u003d 2 1 - y

Մենք ստանում ենք ցանկալի տարածք.

S (G) \u003d ∫ 0 1 (2 1 - Y - Y 3) DY \u003d - 2 1 - y Ln 2 - Y 4 4 0 1 \u003d - 1 4 4 - 0 - 2 - 0 LN 2 - 0 4 4 \u003d 1 LN 2 - 1 4 + 2 LN 2 \u003d 1 LN 2 - 1 4

Պատասխան, S (G) \u003d 1 LN 2 - 1 4

Օրինակ 5.

Անհրաժեշտ է հաշվարկել գործչի տարածքը, որը սահմանափակվում է Y \u003d x, Y \u003d 2 3 x - 3, Y \u003d - 1 2 x + 4:

Որոշում

Կարմիր գիծը կկիրառվի ժամանակացույցի գծում, նշված գործառույթը y \u003d x. Կապույտ Y \u003d - 1 2 x + 4, սեւ գույնով, մենք նշում ենք Y \u003d 2 3 x - 3 գիծը:

Նշեք խաչմերուկի կետերը:

Գտեք գործառույթների գծապատկերների խաչմերուկի կետեր Y \u003d x եւ y \u003d - 1 2 x + 4:

x \u003d - 1 2 x + 4 o D Z: x ≥ 0 x \u003d - 1 2 x + 4 2 ⇒ x \u003d 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 \u003d 0 D \u003d (- 20) 2 - 4 · 1 · 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 \u003d 20 - 144 - 144 2 \u003d 4 p r o in e p k a: x 1 \u003d 16 \u003d 4, - 1 2 x 1 + 4 \u003d - 1 2 x 1 \u003d 16 n Ես ուտում եմ XP եւ N եւ Ix 2 \u003d 4 \u003d 2, - 1 2 x 2 + 4 \u003d - 1 2 ⇒ x 2 \u003d 4 Ես գտնվում եմ Լիեցիրենեմուրայում N եւ NI ⇒ (4; 2) Tohkaperesen եւ ես y \u003d x եւ y \u003d - 1 2 x + 4

Մենք կգտնենք գործառույթների գծապատկերների խաչմերուկի կետը y \u003d x եւ y \u003d 2 3 x - 3:

x \u003d 2 3 x - 3 o D Z: x ≥ 0 x \u003d 2 3 x - 3 2 ⇔ x \u003d 4 9 x 2 - 4 x 4 x 41 \u003d 0 D \u003d (- 45) 2 - 4 · 4 · 81 \u003d 729 x \u003d 45 + 729 8 \u003d 9, x 2 45 - 729 8 \u003d 9 4 П О Е Р K A: x 1 \u003d 9 \u003d 2 \u003d 2 3 · 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 Ես Liemiraneni ⇒ (9; 3) toh to aperecechiy \u003d x եւ y \u003d 2 x 2 \u003d 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 · 9 4 - 3 \u003d - 3 2 ⇒ x 2 \u003d 9 4 n e i l i e t with i r e n e m u r a in n e n i

Մենք կգտնենք տողերի խաչմերուկի կետը y \u003d - 1 2 x + 4 եւ y \u003d 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 \u003d 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 \u003d 4 x - 18 ⇔ 7 x \u003d 42 ⇔ x \u003d 6 \u003d 2 3 · 6 \u003d 1 ⇒ (6 ; 1) t մասին hkanereceniy \u003d - 1 2 x + 4 եւ y \u003d 2 3 x - 3

Թիվ 1 մեթոդ:

Պատկերացրեք ցանկալի գործչի տարածքը որպես անհատական \u200b\u200bգործիչների ոլորտների գումար:

Այնուհետեւ գործչի ցուցանիշը հավասար է.

S (G) \u003d ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 DX + ∫ 6 9 x - 2 3 x \u003d 2 3 x 3 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 \u003d 2 3 · 6 3 4 - 2 4 - 4 - 4 --4 - 2 3 · 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 · 6 - 6 2 3 + 3 · 6 \u003d - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 \u003d 11 3

Թիվ 2 մեթոդ:

Բնօրինակ գործչի տարածքը կարող է ներկայացվել որպես երկու այլ թվերի գումար:

Այնուհետեւ մենք լուծում ենք գծի հավասարումը x- ի համեմատ, եւ միայն դրանից հետո մենք կիրառում ենք գործչի գործիչը հաշվարկելու բանաձեւը:

y \u003d x ⇒ x \u003d y 2 to r եւ n եւ ես l եւ i l եւ i y \u003d 2 3 x - 3 ⇒ x \u003d 3 2 y + 9 2 h e r n i l ⇒ ⇒ x \u003d - 2 y + 8 s եւ nil եւ ni

Այսպիսով, տարածքը հավասար է.

S (g) \u003d ∫ 1 2 3 2 Y + 9 2 - - 2 Y + 8 DY + ∫ 2 3 3 3 3 9 2 - Y 2 DY \u003d ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 3 2 Y + 9 2 - Y 2 DY \u003d 7 4 Y 2 - 7 4 Y 1 + - Y 3 3 + 3 Y2 4 + 9 2 Y 2 3 \u003d 7 4 · 2 - 7 4 · 2 - 7 4 · 1 2 - 7 4 · 1 - 3 3 3 + 2 4 + 9 2 · 3 - - 2 3 3 + 3 2 4 + 9 2 4 + 9 \u003d 11 3

Ինչպես տեսնում եք, արժեքները համընկնում են:

Պատասխան, S (G) \u003d 11 3

Արդյունքները

Գծի տարածքը գտնելու համար, որը սահմանափակվում է նշված գծերով, մենք պետք է ինքնաթիռով գծեր կառուցենք, գտնենք դրանց խաչմերուկի կետերը, տարածքը գտնելու բանաձեւը: Այս բաժնում մենք համարեցինք ամենատարածված առաջադրանքների ընտրանքները:

Եթե \u200b\u200bտեքստում սխալ եք նկատում, ընտրեք այն եւ սեղմեք Ctrl + Enter