Паралелограм є чотирикутником, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Це визначення вже достатньо, тому що інші властивості паралелограма випливають із нього і доводяться у вигляді теорем.

Основними властивостями паралелограма є:

• паралелограм - це опуклий чотирикутник;
• у паралелограма протилежні сторони попарно рівні;
• у паралелограма протилежні кути попарно рівні;
• діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.

Паралелограм - опуклий чотирикутник

Доведемо спочатку теорему про те, що паралелограм є опуклим чотирикутником. Багатокутник є опуклим тоді, коли яка б його сторона не була продовжена до прямої, решта сторін багатокутника виявляться по одну сторону від цієї прямої.

Нехай дано паралелограм ABCD, у якого AB протилежна сторона CD, а BC - протилежна AD. Тоді з визначення паралелограма випливає, що AB | CD, BC | AD.

У паралельних відрізків немає загальних точок, вони перетинаються. Це означає, що CD лежить з одного боку від AB. Оскільки відрізок BC з'єднує точку B відрізка AB з точкою C відрізка CD, а відрізок AD з'єднує інші точки AB і CD, то відрізки BC і AD також лежать з тієї ж сторони від прямої AB, де лежить CD. Таким чином, всі три сторони – CD, BC, AD – лежать по одну сторону від AB.

Аналогічно доводиться, що стосовно іншим сторонам паралелограма три інші сторони лежать з одного боку.

Протилежні сторони та кути рівні

Однією з властивостей паралелограма є те, що у паралелограмі протилежні сторони та протилежні кути попарно рівні. Наприклад, якщо дано паралелограм ABCD, то він має AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Доводиться ця теорема в такий спосіб.

Паралелограм є чотирикутником. Отже, має дві діагоналі. Так як паралелограм - це опуклий чотирикутник, то кожна з них ділить його на два трикутники. Розглянемо в паралелограмі ABCD трикутники ABC та ADC, отримані в результаті проведення діагоналі AC.

У цих трикутників одна сторона загальна – AC. Кут BCA дорівнює куту CAD, як вертикальні при паралельних BC та AD. Кути BAC та ACD також рівні як вертикальні при паралельних AB та CD. Отже, ∆ABC = ∆ADC по двох кутах та стороні між ними.

У цих трикутниках стороні AB відповідає сторона CD, а стороні BC відповідає AD. Отже, AB = CD та BC = AD.

Куту B відповідає кут D, тобто ∠B = ∠D. Кут A паралелограма є сумою двох кутів - ∠BAC і ∠CAD. Кут C дорівнює складається з ∠BCA і ∠ACD. Оскільки пари кутів дорівнюють одна одній, то ∠A = ∠C.

Таким чином, доведено, що у паралелограмі протилежні сторони та кути рівні.

Діагоналі діляться навпіл

Так як паралелограм - це опуклий чотирикутник, то має дві дві діагоналі, і вони перетинаються. Нехай дано паралелограм ABCD, його діагоналі AC і BD перетинаються у точці E. Розглянемо утворені ними трикутники ABE і CDE.

У цих трикутників сторони AB та CD рівні як протилежні сторони паралелограма. Кут ABE дорівнює куту CDE як навхрест, що лежать при паралельних прямих AB і CD. З цієї причини ∠BAE = ∠DCE. Отже, ∆ABE = ∆CDE по двох кутах та стороні між ними.

Також можна помітити, що кути AEB та CED вертикальні, а отже, теж рівні один одному.

Оскільки трикутники ABE і CDE дорівнюють один одному, то рівні і всі відповідні елементи. Стороні AE першого трикутника відповідає сторона другого CE, отже, AE = CE. Аналогічно BE = DE. Кожна пара рівних відрізків складає діагональ паралелограма. Таким чином доведено, що діагоналі паралелограма діляться точкою перетину навпіл.

Паралелограм називається чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, тобто лежать на паралельних прямих (рис.1).

Теорема 1. Про властивість сторін та кутів паралелограма.У паралелограмі протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні сума кутів, що прилягають до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180°.

Доведення. У даному паралелограмі ABCD проведемо діагональ АС і отримаємо два трикутники ABC та ADC (рис.2).

Ці трикутники рівні, оскільки ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (нахрест лежачі кути при паралельних прямих), а сторона АС загальна. З рівності ΔABC = ΔADC випливає, що АВ = CD, ВС = AD, ∠B = ∠D. Сума кутів, що прилягають до однієї сторони, наприклад кутів А і D, дорівнює 180° як односторонніх при паралельних прямих. Теорему доведено.

Зауваження. Рівність протилежних сторін паралелограма означає, що відрізки паралельних, що відсікаються паралельними, рівні.

Наслідок 1. Якщо дві прямі паралельні, то всі точки однієї прямої знаходяться на тій самій відстані від іншої прямої.

Доведення. Справді, нехай || b (рис.3).

Проведемо з якихось двох точок В і С прямої b перпендикуляри ВА і CD до прямої а. Оскільки АВ || CD, то фігура ABCD - паралелограм, а отже, АВ = CD.

Відстанню між двома паралельними прямими називається відстань від довільної точки однієї з прямих до іншої прямої.

За доведеним воно дорівнює довжині перпендикуляра, проведеного з якоїсь точки однієї з паралельних прямих до іншої прямої.

приклад 1.Периметр паралелограма дорівнює 122 см. Одна з його сторін більша за іншу на 25 см. Знайти сторони паралелограма.

Рішення. За теоремою 1 протилежні сторони паралелограма рівні. Позначимо одну сторону паралелограма через х, іншу через у. Тоді за умовою $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Вирішуючи цю систему, отримаємо х = 43, у = 18. Таким чином, сторони паралелограма дорівнюють 18, 43, 18 і 43 см.

приклад 2.

Рішення. Нехай умові завдання відповідає рисунок 4.

Позначимо АВ через х, а ПС через у. За умовою периметр паралелограма дорівнює 10 см, тобто 2(x + у) = 10 або х + у = 5. Периметр трикутника ABD дорівнює 8 см. А так як АВ + AD = х + у = 5 то BD = 8-5 = 3 . Отже, BD = 3 див.

приклад 3.Знайти кути паралелограма, знаючи, що один з них більший за інший на 50°.

Рішення. Нехай умові завдання відповідає рисунок 5.

Позначимо градусний захід кута А через х. Тоді градусний захід кута D дорівнює х + 50°.

Кути BAD та ADC внутрішні односторонні при паралельних прямих АВ та DC та січній AD. Тоді сума цих названих кутів становитиме 180°, тобто.
х + х + 50 ° = 180 °, або х = 65 °. Таким чином, ∠A = ∠C = 65°, a ∠B = ∠D = 115°.

приклад 4.Сторони паралелограма дорівнюють 4,5 дм та 1,2 дм. З вершини гострого кута проведено бісектрису. На які частини вона ділить велику сторону паралелограма?

Рішення. Нехай умові завдання відповідає рисунок 6.

АЕ - бісектриса гострого кута паралелограма. Отже, ∠1 = ∠2.

Паралелограм називається чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, тобто. лежать на паралельних прямих

Властивості паралелограма:
Теорема 22. Протилежні сторони паралелограма рівні.
Доведення. У паралелограмі АВСD проведемо діагональ АС. Трикутники АСD та АСВ рівні, як мають спільну сторону АС та дві пари рівних кутів. прилеглих до неї: ∠ САВ = ∠ АСD, ∠ АСВ = ∠ DAC (як навхрест лежачі кути при паралельних прямих AD і ВС). Отже, АВ=CD та ВС=AD, як відповідні сторони рівних трикутників, ч.т.д. З рівності цих трикутників також випливає рівність відповідних кутів трикутників:
Теорема 23. Протилежні кути паралелограма дорівнюють: ∠ А = ∠ С і ∠ В = ∠ D.
Рівність першої пари йде з рівності трикутників АВD та CBD, а другої – АВС та ACD.
Теорема 24. Сусідні кути паралелограма, тобто. кути, що прилягають до одного боку, становлять у сумі 180 градусів.
Це так, тому що вони є односторонніми внутрішніми кутами.
Теорема 25. Діагоналі паралелограма ділять один одного в точці їхнього перетину навпіл.
Доведення. Розглянемо трикутники ВОС та АОD. За першою властивістю AD=ВС ∠ ОАD=∠ ОСВ і ∠ ОDА=∠ ОВС як навхрест, що лежать при паралельних прямих AD і ВС. Тому трикутники ВОС і АОD рівні по стороні і кутам, що прилягають до неї. Отже, ВО=ОD і АО=ОС, як відповідні сторони рівних трикутників, т.д.

Ознаки паралелограма
Теорема 26. Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, він є паралелограмом.
Доведення. Нехай у чотирикутника АВСD сторони AD і ВС, АВ та CD відповідно рівні (рис2). Проведемо діагональ АС. Трикутник АВС і ACD рівні по трьох сторонах. Тоді кути ВАС та DСА рівні і, отже, АВ паралельна CD. Паралельність сторін ЗС і AD випливає з рівності кутів CAD та АСВ.
Теорема 27. Якщо протилежні кути чотирикутника попарно рівні, він є паралелограмом.
Нехай ∠ А = ∠ С і ∠ В = ∠ D. Т.к. ∠ А+∠ В+∠ С+∠ D=360 про, то ∠ А+∠ В=180 про сторони AD і ВС паралельні (за ознакою паралельності прямих). Також доведемо і паралельність сторін АВ і CD і зробимо висновок, що АВСD є паралелограмом за визначенням.
Теорема 28. Якщо сусідні кути чотирикутника, тобто. кути, що прилягають до одного боку, становлять у сумі 180 градусів, він є паралелограмом.
Якщо внутрішні односторонні кути у сумі становлять 180 градусів, то прямі пралельні. Значить АВ парал CD і НД парал AD. Чотирьохкутник виявляється паралелограмом за визначенням.
Теорема 29. Якщо діагоналі чотирикутника взаємно діляться у точці перетину навпіл, то чотирикутник – паралелограм.
Доведення. Якщо АО=ОС, ВО=ОD, то трикутники АOD і ВОС рівні, що мають рівні кути (вертикальні) при вершині О, укладені між парами рівних сторін. З рівності трикутників укладаємо, що AD і НД рівні. Також рівні сторони АВ та CD, і чотирикутник виявляється паралелограмом за ознакою 1.
Теорема 30. Якщо чотирикутник має пару рівних, паралельних між собою сторін, він є паралелограмом.
Нехай у чотирикутнику АВСD сторони АВ і CD паралельні та рівні. Проведемо діагоналі АС та ВD. З паралельності цих прямих випливає рівність навхрест лежачих кутів АВО=СDО і ВАО=ОСD. Трикутники АВО і СДО рівні по стороні і кутам, що прилягають до неї. Тому АТ = ОС, ВО = ОD, тобто. діагоналі точкою перетину діляться навпіл і чотирикутник виявляється паралелограмом за ознакою 4.

У геометрії розглядають окремі випадки паралелограма.

ЧОТИРИКУТНИКИ.

§43. ПАРАЛЕЛОГРАМ.

1. Визначення паралелограма.

Якщо пару паралельних прямих перетнемо іншою парою паралельних прямих, то отримаємо чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

У чотирикутниках АВDС та ЕFNМ (чорт. 224) ВD || АС та АВ || CD;
ЕF || МN та ЕМ || FN.

Чотирьохкутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, називається паралелограмом.

2. Властивості паралелограма.

Теорема. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

Нехай є паралелограм АВDС (чорт. 225), у якому АВ | СD та АС || ВD.

Потрібно довести, що діагональ ділить його на два рівні трикутники.

Проведемо в паралелограмі АВСС діагональ СВ. Доведемо, що /\ САВ = /\ СDВ.

Сторона СВ загальна цих трикутників; / АВС = / ВСD, як внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних АВ і СD і січній СВ; / АСВ = / СВD, теж як внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних АС і ВD і січній CB (§ 38).

Звідси /\ САВ = /\ СDВ.

Таким же шляхом можна довести, що діагональ AD розділить паралелограм на два рівні трикутники АСD і АВD.

Наслідки. 1 . Протилежні кути паралелограма рівні між собою.

/ А = / D, це випливає з рівності трикутників САВ та СDВ.
Аналогічно та / З = / Ст.

2. Протилежні сторони паралелограма рівні між собою.

АВ = СD та АС = ВD, оскільки це сторони рівних трикутників і лежать проти рівних кутів.

Теорема 2. Діагоналі паралелограма у точці їх перетину діляться навпіл.

Нехай ВС та AD - діагоналі паралелограма AВDС (чорт. 226). Доведемо, що АТ = OD та СО = ОВ.

Для цього порівняємо якусь пару протилежно розташованих трикутників, наприклад /\ AОВ та /\ СОD.

У цих трикутниках АВ = СD як протилежні сторони паралелограма;
/ 1 = / 2, як кути внутрішні навхрест лежать при паралельних АВ і СD і січній AD;
/ 3 = / 4 з тієї ж причини, оскільки АВ | СD і СВ – їхня січна (§ 38).

Звідси слідує що /\ AОВ = /\ СОD. На рівних трикутниках проти рівних кутів лежать рівні сторони. Отже, АТ = OD та СО = ОВ.

Теорема 3. Сума кутів, що прилягають до одного боку паралелограма, дорівнює 2 d .

Довести самостійно.

3. Ознаки паралелограма.

Теорема. Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, цей чотирикутник - паралелограмм.

Нехай у чотирикутнику AВСС (чорт. 227) АВ = СD і АС = ВD. Доведемо, що за цієї умови АВ || СD та АС || ВD, тобто чотирикутник АВDC – паралелограм.
З'єднаємо відрізком якісь дві протилежні вершини цього - чотирикутника, наприклад С і В. Чотирьохкутник АВСС розбився на два рівні трикутники: /\ СAВ та /\ СDВ. Справді, сторона СВ вони загальна, АВ = СD і АС = ВD за умовою. Таким чином, три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого, тому /\ СAВ = /\ СDВ.

У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути, тому
/ 1 = / 2 та / 3 = / 4.

Кути 1-ї та 2-ї є внутрішніми навхрест лежачими кутами при перетині прямих АВ і СD прямий СВ. Отже, АВ | СD.

Так само кути 3-ї та 4-ї є внутрішніми навхрест лежачими кутами при перетині прямих СА і ВD прямий СВ, отже, СА || ВD (§ 35).

Таким чином, протилежні сторони чотирикутника АВDС попарно паралельні, отже він паралелограм, що і потрібно довести.

Теорема 2. Якщо дві протилежні сторони чотирикутника рівні і паралельні, цей чотирикутник - паралелограмм.

Нехай у чотирикутнику АВDС АВ = СD та АВ || СD. Доведемо, що за цих умов чотирикутник АВDС-паралелограм (чорт. 228).

З'єднаємо відрізком СВ вершини С і В. Внаслідок паралельності прямих АВ і СD кути 1 і 2, як кути внутрішні навхрест лежать, рівні (§ 38).
Тоді трикутник САВ дорівнює трикутнику СDВ, оскільки сторона СВ у них загальна,
АВ = СD за умовою теореми та / 1 = / 2 за доведеним. З рівності цих трикутників випливає рівність кутів 3 і 4, оскільки вони лежать проти рівних сторін у рівних трикутниках.

Але кути 3 і 4 - це внутрішні навхрест лежачі кути, утворені при перетині прямих АС і ВD прямий СВ, отже, АС || ВD (§ 35), тобто чотирикутник
АВDС-паралелограм.

Вправи.

1. Довести, що й діагоналі чотирикутника у точці їх взаємного перетину діляться навпіл, цей чотирикутник - паралелограмм.

2. Довести, що чотирикутник, у якого сума внутрішніх кутів, що належать до кожної з двох сусідніх сторін, дорівнює 2 dє паралелограм.

3. Побудувати паралелограм по обидва боки та кут між ними:

а) використовуючи паралельність протилежних сторін паралелограма;
б) використовуючи рівність протилежних сторін паралелограма.

4. Побудувати паралелограм з двох суміжних сторін і діагоналі.

5. Побудувати паралелограм за двома його діагоналями та кутом між ними.

6. Побудувати паралелограм з його боку та двом діагоналям.

Завдання 1. Один із кутів паралелограма дорівнює 65°. Знайти інші кути паралелограма.

∠C =∠A = 65° як протилежні кути паралелограма.

∠А +∠В = 180° як кути, що належать до однієї сторони паралелограма.

∠В = 180 ° - ∠А = 180 ° - 65 ° = 115 °.

∠D =∠B = 115° як протилежні кути паралелограма.

Відповідь: ∠А = ∠С = 65°; ∠В =∠D = 115°.

Завдання 2.Сума двох кутів паралелограма дорівнює 220 °. Знайти кути паралелограма.

Оскільки паралелограма є 2 рівних гострих кута і 2 рівних тупих кута, то нам дана сума двох тупих кутів, тобто. ∠В +∠D = 220°. Тоді ∠В =∠D = 220° : 2 = 110 °.

∠А +∠В = 180° як кути, що належать до однієї сторони паралелограма, тому ∠А = 180° - ∠В = 180° - 110° = 70°. Тоді ∠C =∠A = 70°.

Відповідь: ∠А = ∠С = 70°; ∠В =∠D = 110°.

Завдання 3.Один з кутів паралелограма в 3 рази більший за інший. Знайти кути паралелограма.

Нехай ∠А = х. Тоді ∠В = 3х. Знаючи, що сума кутів паралелограма, що належать до однієї його сторони, дорівнює 180°, складемо рівняння.

х = 180 : 4;

Отримуємо: ∠А = х = 45°, а ∠В = 3х = 3 ∙ 45° = 135°.

Протилежні кути паралелограма рівні, отже,

∠А =∠С = 45°; ∠В =∠D = 135°.

Відповідь: ∠А = ∠С = 45°; ∠В =∠D = 135°.

Завдання 4.Доведіть, що якщо чотирикутник має дві сторони паралельні і рівні, то цей чотирикутник – паралелограм.

Доведення.

Проведемо діагональ BD і розглянемо ADB і CBD.

AD = BC за умовою. Сторона BD – загальна. ∠1 = ∠2 як внутрішні навхрест, що лежать при паралельних (за умовою) прямих AD і BC і січній BD. Отже, Δ ADB = Δ CBD з обох сторін і куту між ними (1-а ознака рівності трикутників). У рівних трикутниках відповідні кути рівні, отже, ∠3 =∠4. А ці кути є внутрішніми навхрест лежачими при прямих AB та CD та січній BD. Звідси випливає паралельність прямих AB і CD. Таким чином, у даному чотирикутнику ABCD протилежні сторони попарно паралельні, отже, за визначенням ABCD – паралелограм, що потрібно було довести.

Завдання 5.Дві сторони паралелограма відносяться як 2 : 5, а периметр дорівнює 3,5 м. Знайти сторони паралелограма.

∙ (AB+AD).

Позначимо одну частину через х. тоді AB = 2x, AD = 5x метрів. Знаючи, що периметр паралелограма дорівнює 3,5 м, складемо рівняння:

2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;

2 ∙ 7x = 3,5;

x = 3,5 : 14;

Одна частина становить 0,25 м. Тоді AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 м; AD = 5 ∙ 0,25 = 1,25 м-коду.

Перевірка.

Периметр паралелограма P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5(м).

Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то CD = AB = 0,25 м; BC = AD = 1,25 м-коду.

Відповідь: CD = AB = 0,25 м; BC = AD = 1,25 м-коду.