\ (\ sqrt (a) = b \) agar \ (b ^ 2 = a \), bu erda \ (a≥0, b≥0 \)

Misollar:

\ (\ sqrt (49) = 7 \) beri \ (7 ^ 2 = 49 \)
\ (\ sqrt (0,04) = 0,2 \) beri \ (0,2 ^ 2 = 0,04 \)

Raqamning kvadrat ildizini qanday chiqarish mumkin?

Raqamning kvadrat ildizini chiqarish uchun siz o'zingizga savol berishingiz kerak: ildiz ostidagi ifoda kvadratdagi qaysi raqamni beradi?

Masalan... Ildizni ajratib oling: a) \ (\ sqrt (2500) \); b) \ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \); c) \ (\ sqrt (0,001) \); d) \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)

a) Qaysi sonning kvadrati \ (2500 \) beradi?

\ (\ sqrt (2500) = 50 \)

b) Qaysi sonning kvadrati \ (\ frac (4) (9) \) beradi?

\ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \) \ (= \) \ (\ frac (2) (3) \)

c) Qaysi sonning kvadrati \ (0,0001 \) beradi?

\ (\ sqrt (0,0001) = 0,01 \)

d) Qaysi sonning kvadrati \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \) beradi? Savolga javob berish uchun siz noto'g'ri tarjima qilishingiz kerak.

\ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) = \ sqrt (\ frac (49) (16)) = \ frak (7) (6) \)

Izoh: \ (- 50 \), \ (- \ frac (2) (3) \), \ (- 0,01 \), \ (- \ frac (7) (6) \) bo'lsa ham, savollarga javob bering. , lekin ular hisobga olinmaydi, chunki kvadrat ildiz har doim ijobiy bo'ladi.

Ildizning asosiy xususiyati

Ma’lumki, matematikada har qanday harakatning aksi bor. Qo'shishda ayirish, ko'paytirishda esa bo'lish mavjud. Kvadratlashtirishning teskarisi kvadrat ildizga teng. Shunday qilib, bu harakatlar bir-birini bekor qiladi:

\ ((\ sqrt (a)) ^ 2 = a \)

Bu ko'pincha ishlatiladigan ildizning asosiy xususiyati (shu jumladan OGE da)

Misol ... (OGE topshirig'i). \ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) \) ifoda qiymatini toping.

Yechim :\ (\ frak ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frak (4 \ cdot (\ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frak (4 \ cdot 6) (36) ) = \ frac (4) (6) = \ frac (2) (3) \)

Misol ... (OGE topshirig'i). \ ((\ sqrt (85) -1) ^ 2 \) ifoda qiymatini toping.

Yechim:

Albatta, kvadrat ildiz bilan ishlashda siz boshqalardan ham foydalanishingiz kerak.

Misol ... (OGE topshirig'i). \ (5 \ sqrt (11) \ cdot 2 \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (22) \) ifoda qiymatini toping.
Yechim:

Javob: \(220\)

Har doim unutiladigan 4 ta qoida

Ildiz har doim ham olinmaydi

Misol: \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \), \ (\ sqrt (200) \), \ (\ sqrt (0,1) \) va boshqalar. - raqamdan ildizni olish har doim ham mumkin emas va bu normaldir!

Sonning ildizi, shuningdek, son

Ayniqsa, \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \) ga murojaat qilish shart emas. Bu raqamlar, lekin butun sonlar emas, ha, lekin bizning dunyomizda hamma narsa butun sonlar bilan o'lchanmaydi.

Ildiz faqat manfiy bo'lmagan raqamlardan chiqariladi

Shuning uchun, darsliklarda siz bunday yozuvlarni ko'rmaysiz \ (\ sqrt (-23) \), \ (\ sqrt (-1) \) va hokazo.

Sarlavha: 8-sinf uchun algebra va geometriya fanidan mustaqil va test ishi.

Qo'llanma 8-sinfda algebra va geometriya kursining barcha muhim mavzulari bo'yicha mustaqil va nazorat ishlarini o'z ichiga oladi.

Ishlar qiyinchilikning uch darajasidagi 6 ta variantdan iborat. Didaktik materiallar talabalarning tabaqalashtirilgan mustaqil ishlarini tashkil etish uchun mo'ljallangan.

MAZMUNI
ALGEBRA 4
P-1 Ratsional ifoda. Kasrlarni kamaytirish 4
C-2 Kasrlarni qo'shish va ayirish 5
K-1 Ratsional kasrlar. Kasrlarni qo'shish va ayirish 7
C-3 Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish. Kasrni 10 ning darajasiga ko'tarish
C-4 Ratsional ifodani o'zgartirish 12
S-5 Teskari proporsionallik va uning grafigi 14
K-2 Ratsional kasrlar 16
C-6 18 ning arifmetik kvadrat ildizi
C-7 tenglamasi x2 = a. Funktsiya y = y [x 20
S-8 Ko'paytmaning kvadrat ildizi, kasr, daraja 22
K-3 Arifmetik kvadrat ildiz va uning xossalari 24
C-9 Kvadrat ildizlarda ko‘paytuvchini kiritish va olib tashlash 27
C-10 Kvadrat ildizlari bo'lgan ifodalarni o'zgartirish 28
K-4 Arifmetik kvadrat ildizning xossalarini qo'llash 30
P-11 To‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamalar 32
S-12 Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi 33
S-13 Kvadrat tenglamalar yordamida masalalar yechish. Vyeta teoremasi 34
K-5 Kvadrat tenglamalar 36
P-14 kasr ratsional tenglamalar 38
S-15 Kasr ratsional tenglamalarni qo'llash. Muammoni hal qilish 39
K-6 kasr ratsional tenglamalar 40
C-16 Sonli tengsizliklar xossalari 43
K-7 Sonli tengsizliklar va ularning xossalari 44
S-17 Bitta o‘zgaruvchili chiziqli tengsizliklar 47
S-18 Chiziqli tengsizliklar sistemalari 48
K-8 Chiziqli tengsizliklar va bir o‘zgaruvchili tengsizliklar sistemasi 50
S-19 Salbiy ko'rsatkichli daraja 52
54 butun soni bilan K-9 darajasi
K-10 Yillik test 56
GEOMETRIYA (Pogorelovga ko'ra) 58
S-1 Paralelogrammaning xossalari va belgilari.“58
C-2 to'rtburchak. Romb. Kvadrat 60
K-1 Paralelogramma 62
S-3 Fales teoremasi. Uchburchakning oʻrta chizigʻi 63
C-4 trapesiya. Trapetsiyaning o'rta chizig'i 66
K-2 trapesiya. Uchburchak va trapetsiyaning o'rta chiziqlari ... 68
C-5 Pifagor teoremasi 70
S-6 Pifagor teoremasiga qarama-qarshi teorema. Perpendikulyar va qiya 71
C-7 Uchburchak tengsizligi 73
K-3 Pifagor teoremasi 74
C-8 To‘g‘ri burchakli uchburchak yechimi 76
C-9 Trigonometrik funksiyalarning xossalari 78
K-4 To'g'ri burchakli uchburchak (umumlashtiruvchi test) 80
S-10 Segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari. Nuqtalar orasidagi masofa. Doira tenglamasi 82
C-11 To'g'ri chiziq tenglamasi 84
K-5 Dekart koordinatalari 86
S-12 Harakat va uning xossalari. Markaziy va eksenel simmetriya. 88 ga buriling
S-13. Parallel uzatish 90
S-14 Vektor tushunchasi. Vektorlarning tengligi 92
S-15 Koordinata shaklidagi vektorlar bilan amallar. Kollinear vektorlar 94
S-16 Geometrik shakldagi vektorlar bilan amallar 95
C-17 Dot mahsuloti 98
K-6 vektorlari 99
K-7 Yillik imtihon 102
GEOMETRIYA (Atanasyanga ko'ra) 104
S-1 Paralelogrammaning xossalari va belgilari 104
C-2 to'rtburchak. Romb. Kvadrat 106
K-1 To'rtburchaklar 108
S-3 To'rtburchakning maydoni, kvadrat 109
S-4 Parallelogramma, romb, uchburchakning maydoni 111
S-5 Trapesiya maydoni 113
C-6 Pifagor teoremasi 114
K-2 kvadratlari. Pifagor teoremasi 116
C-7 O'xshash uchburchaklar ta'rifi. Uchburchakning burchak bissektrisa xossasi 118
S-8 Uchburchaklarning o`xshashlik belgilari 120
K-3 Uchburchaklarning o‘xshashligi 122
S-9 Masalani yechishda o‘xshashlikni qo‘llash 124
C-10 To‘g‘ri burchakli uchburchakning tomonlari va burchaklari orasidagi bog‘lanish 126
K-4 Masalani yechishda o'xshashlikni qo'llash. To‘g‘ri burchakli uchburchakning tomonlari va burchaklari orasidagi nisbatlar 128
S-11 130 aylanaga teginish
S-12 Markaz va yozilgan burchaklar 132
S-13 Kesishuvchi akkordlar segmentlari hosilasi haqidagi teorema. Uchburchakning ajoyib nuqtalari 134
S-14 Yozilgan va chegaralangan doiralar 136
K-5 aylanasi 137
C-15 Vektor qo‘shish va ayirish 139
S-16 Vektorni 141 soniga ko'paytirish
S-17 Trapetsiyaning o'rta chizig'i 142
K-6 vektorlari. Masalalar yechishda vektorlarni qo‘llash 144
K-7 Yillik imtihon 146
JAVOBLAR 148
ADABIYOTLAR 157

MUQADDIMA .
1. Bitta nisbatan kichik kitobda 8-sinf algebra va geometriya fanining butun kursi bo‘yicha testlarning to‘liq to‘plami (shu jumladan yakuniy testlar) mavjud, shuning uchun har bir sinf uchun bitta kitob to‘plamini xarid qilish kifoya.
Test topshiriqlari darsga, mustaqil ish uchun - mavzuga qarab 20-35 daqiqaga mo'ljallangan. Kitobdan foydalanish qulayligi uchun har bir mustaqil va test ishining nomi uning mavzusini aks ettiradi.

2. To'plam bilimlarni tabaqalashtirilgan nazorat qilish imkonini beradi, chunki topshiriqlar A, B va C murakkablikning uchta darajasi bo'yicha taqsimlanadi. A darajasi majburiy dastur talablariga, B - o'rtacha murakkablik darajasiga, S darajasidagi vazifalarga mos keladi. matematikaga qiziqishi yuqori bo'lgan talabalar uchun, shuningdek, matematikani chuqur o'rganadigan sinflar, maktablar, gimnaziyalar va litseylarda foydalanish uchun mo'ljallangan. Har bir daraja uchun 2 ta qo'shni ekvivalent variant mavjud (ular odatda doskada yoziladi), shuning uchun dars uchun stol ustidagi bitta kitob etarli.

Elektron kitobni qulay formatda bepul yuklab oling, tomosha qiling va o'qing:
8-sinf uchun algebra va geometriyadan mustaqil ish va testlar kitobini yuklab oling. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, tez va bepul yuklab olish.

• 11-sinf uchun geometriyadan mustaqil va nazorat ishlari. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004 y
• 9-sinf uchun algebra va geometriya fanidan mustaqil va test ishi. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 y
• Algebra va geometriya fanidan mustaqil va nazorat ishlari, 8-sinf, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013 y.

Men yana belgiga qaradim ... Va ketaylik!

Oddiydan boshlaylik:

Bir daqiqa. bu, ya'ni biz shunday yozishimiz mumkin:

Tushundim? Mana sizga keyingisi:

Olingan raqamlarning ildizlari aniq olinmaganmi? Bu muhim emas - bu erda bir nechta misollar:

Ammo omillar ikkita emas, balki ko'proq bo'lsa-chi? Bir xil! Ildizni ko'paytirish formulasi har qanday omillar bilan ishlaydi:

Endi butunlay o'z-o'zidan:

Javoblar: Juda qoyil! Qabul qilaman, hamma narsa juda oson, asosiysi ko'paytirish jadvalini bilishdir!

Ildizlarning bo'linishi

Biz ildizlarning ko'payishini aniqladik, endi bo'linish xususiyatiga o'tamiz.

Eslatib o'taman, umumiy formula quyidagicha ko'rinadi:

Bu shuni anglatadiki bo'lakning ildizi ildizlarning qismiga teng.

Keling, buni misollar bilan aniqlaylik:

Bu hammasi ilm. Mana bir misol:

Hamma narsa birinchi misoldagidek silliq emas, lekin siz ko'rib turganingizdek, hech qanday murakkab narsa yo'q.

Ammo shunga o'xshash ibora paydo bo'lsa nima bo'ladi:

Siz formulani teskari yo'nalishda qo'llashingiz kerak:

Va bu erda bir misol:

Siz ushbu iborani ham uchratishingiz mumkin:

Hammasi bir xil, faqat bu erda siz kasrlarni qanday tarjima qilishni eslab qolishingiz kerak (agar esingizda bo'lmasa, mavzuni ko'rib chiqing va qaytib keling!). Esingizdami? Endi biz qaror qilamiz!

Ishonchim komilki, siz hamma narsani, hamma narsani engdingiz, endi hokimiyatda ildiz otishga harakat qilaylik.

Koʻrsatkich koʻtarish

Kvadrat ildiz kvadrat bo'lsa nima bo'ladi? Bu oddiy, keling, raqamning kvadrat ildizining ma'nosini eslaylik - bu kvadrat ildizi teng bo'lgan raqam.

Xo'sh, agar biz kvadrat ildizi kvadratga teng bo'lgan sonni ko'tarsak, nima bo'ladi?

Xo'sh, albatta,!

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:

Bu oddiy, to'g'rimi? Va agar ildiz boshqa darajada bo'lsa? Hammasi joyida; shu bo'ladi!

Xuddi shu mantiqqa rioya qiling va darajalar bilan xususiyatlarni va mumkin bo'lgan harakatlarni eslang.

"" mavzusidagi nazariyani o'qing va hamma narsa sizga aniq bo'ladi.

Misol uchun, bu erda bir ifoda bor:

Bu misolda daraja juft, lekin agar u toq bo'lsa-chi? Shunga qaramay, quvvat xususiyatlarini qo'llang va hamma narsani hisoblang:

Bu bilan hamma narsa aniq ko'rinadi, lekin raqamning ildizini qanday qilib kuchga chiqarish mumkin? Masalan, bu:

Juda oddiy, to'g'rimi? Va agar daraja ikkidan ortiq bo'lsa? Biz daraja xususiyatlaridan foydalangan holda bir xil mantiqqa amal qilamiz:

Xo'sh, hamma narsa aniqmi? Keyin misollarni o'zingiz hal qiling:

Va bu erda javoblar:

Ildiz belgisi ostida kirish

Biz ildizlar bilan nima qilishni o'rganmadik! Raqamni ildiz belgisi ostida kiritishni mashq qilishgina qoladi!

Bu oson!

Aytaylik, biz raqamni yozib oldik

U bilan nima qilishimiz mumkin? Albatta, uchtasini ildiz ostida yashiring, uchtasi kvadrat ildiz ekanligini unutmang!

Nega bizga bu kerak? Ha, misollarni yechishda imkoniyatlarimizni kengaytirish uchun:

Ildizlarning bu xususiyati sizga qanday yoqadi? Bu hayotni ancha osonlashtiradimi? Men uchun bu to'g'ri! Faqat Biz kvadrat ildiz belgisi ostida faqat ijobiy raqamlarni kiritishimiz mumkinligini yodda tutishimiz kerak.

Ushbu misolni o'zingiz hal qiling -
Siz boshqardingizmi? Keling, nimani olishingiz kerakligini ko'rib chiqaylik:

Juda qoyil! Raqamni ildiz belgisi ostiga kiritishga muvaffaq bo'ldingiz! Keling, bir xil darajada muhim narsaga o'tamiz - keling, kvadrat ildizni o'z ichiga olgan raqamlarni qanday solishtirishni ko'rib chiqaylik!

Ildizlarni taqqoslash

Nega biz kvadrat ildizni o'z ichiga olgan raqamlarni solishtirishni o'rganishimiz kerak?

Juda oddiy. Ko'pincha, imtihonda topilgan katta va uzun iboralarda biz mantiqsiz javob olamiz (bu nima ekanligini eslaysizmi? Bugun siz va men bu haqda gaplashdik!)

Qabul qilingan javoblarni koordinatali chiziqqa joylashtirishimiz kerak, masalan, tenglamani echish uchun qaysi interval mos kelishini aniqlash uchun. Va bu erda muammo paydo bo'ladi: imtihonda kalkulyator yo'q va usiz qaysi raqam kattaroq va qaysi biri kamroq ekanligini qanday tasavvur qilish mumkin? Shunaqa!

Masalan, qaysi biri kattaroq ekanligini aniqlang: yoki?

Siz darhol aniqlay olmaysiz. Xo'sh, keling, sonni ildiz belgisi ostida kiritishning tahlil qilingan xususiyatidan foydalanamiz?

Keyin davom eting:

Va, shubhasiz, ildiz belgisi ostidagi raqam qanchalik katta bo'lsa, ildizning o'zi ham shunchalik katta bo'ladi!

Bular. agar, keyin,.

Bundan qat'iy xulosa chiqaramiz. Va hech kim bizni boshqacha ishontira olmaydi!

Ko'p sonlardan ildizlarni ajratib olish

Bundan oldin biz omilni ildiz belgisi ostida kiritdik, ammo uni qanday chiqarish mumkin? Siz shunchaki uni faktorga kiritishingiz va olingan narsani chiqarib olishingiz kerak!

Boshqa yo'lni bosib, boshqa omillarga ajralish mumkin edi:

Yomon emas, a? Ushbu yondashuvlarning har biri to'g'ri, sizga eng mos keladiganini tanlang.

Faktoring nostandart vazifalarni hal qilishda juda foydali:

Biz qo'rqmaymiz, lekin harakat qilamiz! Keling, har bir omilni ildiz ostida alohida omillarga ajratamiz:

Endi oʻzingiz sinab koʻring (kalkulyatorsiz! U imtihonda boʻlmaydi):

Bu oxirimi? Yarim yo'lda to'xtamang!

Hammasi shu, unchalik qo'rqinchli emas, to'g'rimi?

Bo'ldimi? Yaxshi, shunday!

Endi ushbu misolni hal qilishga harakat qiling:

Bunga misol qilib, yorilish qiyin bo'lgan yong'oqni keltirish mumkin, shuning uchun siz unga qanday yondashishni tushunolmaysiz. Lekin, albatta, biz buni qiyinlashtira olamiz.

Xo'sh, faktoringni boshlaylikmi? Darhol e'tibor bering, siz raqamni quyidagiga bo'lishingiz mumkin (bo'linish mezonlarini eslang):

Endi o'zingiz sinab ko'ring (yana kalkulyatorsiz!):

Xo'sh, ishladimi? Yaxshi, shunday!

Keling, xulosa qilaylik

1. Manfiy bo'lmagan sonning kvadrat ildizi (arifmetik kvadrat ildiz) kvadrati teng bo'lgan manfiy bo'lmagan sondir.
   .
2. Agar biror narsaning kvadrat ildizini olsak, biz har doim bitta salbiy bo'lmagan natijaga erishamiz.
3. Arifmetik ildiz xususiyatlari:
4. Kvadrat ildizlarni solishtirganda shuni esda tutish kerakki, ildiz belgisi ostidagi raqam qanchalik katta bo'lsa, ildizning o'zi ham shunchalik katta bo'ladi.

Kvadrat ildizni qanday yoqtirasiz? Hammasi tushunarli?

Biz sizga kvadrat ildiz imtihonida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsani suvsiz tushuntirishga harakat qildik.

Endi seni navbating. Siz uchun qiyin mavzumi yoki yo'qmi bizga yozing.

Siz yangi narsalarni o'rgandingizmi yoki hamma narsa allaqachon aniq edi.

Izohlarda yozing va imtihonlaringizga omad tilaymiz!