Biroq, amalda yana ikkita holat keng tarqalgan:

- tizim mos kelmaydi (echimlari yo'q);
- Tizim mos keladi va cheksiz ko'p echimlarga ega.

Eslatma : "Birgalikda ishlash" atamasi tizim hech bo'lmaganda qandaydir yechimga ega ekanligini bildiradi. Bir qator vazifalarda, avvalo, tizimning mosligini tekshirish kerak, buni qanday qilish kerak - maqolaga qarang. matritsalar darajasi.

Ushbu tizimlar uchun barcha yechim usullarining eng universali qo'llaniladi - Gauss usuli... Aslida, "maktab" usuli javobga olib keladi, ammo oliy matematikada noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilishning Gauss usulidan foydalanish odatiy holdir. Gauss usuli algoritmi bilan tanish bo'lmaganlar uchun, iltimos, birinchi navbatda darsni o'rganing Qo'g'irchoqlar uchun Gauss usuli.

Elementar matritsa o'zgarishlarining o'zi aynan bir xil, farq yechimning oxirida bo'ladi. Tizimda hech qanday yechim bo'lmaganda (mos kelmaydigan) bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

1-misol

Ushbu tizimda darhol nima diqqatni tortadi? Tenglamalar soni o'zgaruvchilar sonidan kamroq. Agar tenglamalar soni o'zgaruvchilar sonidan kam bo'lsa, keyin biz darhol tizimning mos kelmaydigan yoki cheksiz ko'p echimlarga ega ekanligini aytishimiz mumkin. Va faqat bilish uchun qoladi.

Yechimning boshlanishi mutlaqo oddiy - biz tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar o'zgarishlardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:

(1) Yuqori chap pog'onada biz +1 yoki -1 olishimiz kerak. Birinchi ustunda bunday raqamlar yo'q, shuning uchun qatorlarni qayta tartibga solish hech narsa bermaydi. Birlik mustaqil ravishda tashkil etilishi kerak va bu bir necha usul bilan amalga oshirilishi mumkin. Men shunday qildim: Birinchi qatorga uchinchi qatorni -1 ga ko'paytiramiz.

(2) Endi biz birinchi ustunda ikkita nol olamiz. Ikkinchi qatorga biz birinchi qatorni 3 ga ko'paytiramiz. Uchinchi qatorga birinchi qatorni 5 ga ko'paytiramiz.

(3) Amalga oshirilgan transformatsiyadan so'ng, har doim qarash tavsiya etiladi va natijada olingan chiziqlarni soddalashtirish mumkinmi? mumkin. Ikkinchi qatorni 2 ga bo'ling, shu bilan birga ikkinchi bosqichda kerakli -1 ni oling. Uchinchi qatorni -3 ga bo'ling.

(4) Ikkinchi qatorni uchinchi qatorga qo'shing.

Ehtimol, hamma elementar o'zgarishlar natijasida paydo bo'lgan yomon chiziqqa e'tibor qaratgan: ... Bunday bo'lishi mumkin emasligi aniq. Haqiqatan ham, biz olingan matritsani qayta yozamiz chiziqli tenglamalar tizimiga qaytish:

Agar elementar o'zgartirishlar natijasida nolga teng bo'lmagan raqam shakldagi qator olingan bo'lsa, u holda tizim mos kelmaydi (echimlari yo'q).

Topshiriqning tugashini qanday yozish mumkin? Keling, oq bo'r bilan chizamiz: "elementar o'zgartirishlar natijasida, shaklning chizig'i, qaerda" olindi va javob bering: tizimda echimlar yo'q (mos kelmaydigan).

Agar shartga ko'ra, tizimni muvofiqligi uchun TADQIQOT ETilishi talab etilsa, u holda kontseptsiyani jalb qilgan holda yanada mustahkam uslubda yechim chiqarish kerak bo'ladi. matritsaning darajasi va Kroneker-Kapelli teoremasi.

E'tibor bering, bu erda Gaussning orqaga qaytishi yo'q - hech qanday yechim yo'q va shunchaki topadigan hech narsa yo'q.

2-misol

Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun namunadir. Toʻliq yechim va oʻquv qoʻllanmasining oxirida javob bering. Yana bir bor eslatib o'tamanki, sizning qaror qabul qilish kursim mening qaror kursimdan farq qilishi mumkin, Gauss algoritmida kuchli "qattiqlik" yo'q.

Yechimning yana bir texnik xususiyati: elementar transformatsiyalarni to'xtatish mumkin birdaniga, shakl chizig'i paydo bo'lishi bilanoq, qaerda. Shartli misolni ko'rib chiqing: deylik, birinchi transformatsiyadan keyin matritsa olinadi ... Matritsa hali bosqichli shaklga tushirilmagan, ammo keyingi elementar o'zgarishlarga ehtiyoj yo'q, chunki shakl chizig'i paydo bo'ldi, bu erda. Siz darhol tizim mos kelmaydi deb javob berishingiz kerak.

Agar chiziqli tenglamalar tizimining yechimlari bo'lmasa, bu deyarli sovg'adir, chunki qisqa yechim, ba'zan tom ma'noda 2-3 bosqichda olinadi.

Ammo bu dunyoda hamma narsa muvozanatli va tizimda cheksiz ko'p echimlar mavjud bo'lgan muammo uzoqroq.

3-misol

Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

4 ta tenglama va 4 ta noma'lum, shuning uchun tizim bitta yechimga ega bo'lishi mumkin yoki hech qanday yechimga ega bo'lmasligi yoki cheksiz ko'p echimga ega bo'lishi mumkin. Qanday bo'lmasin, lekin Gauss usuli bizni baribir javobga olib boradi. Bu uning ko'p qirraliligi.

Boshlanish yana standart. Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:

Hammasi shu, siz qo'rqdingiz.

(1) E'tibor bering, birinchi ustundagi barcha raqamlar 2 ga bo'linadi, shuning uchun biz chap tomonda ikkitadan mamnunmiz. Ikkinchi qatorga -4 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing. Uchinchi qatorga -2 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing. To'rtinchi qatorga -1 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing.

Diqqat! Ko'pchilik to'rtinchi qatordan vasvasaga tushishi mumkin ayirish birinchi qator. Buni qilish mumkin, lekin bu shart emas, tajriba shuni ko'rsatadiki, hisob-kitoblarda xatolik ehtimoli bir necha bor ortadi. Shunchaki qo'shing: To'rtinchi qatorga birinchi qatorni -1 ga ko'paytiring - huddi shunday!

(2) Oxirgi uchta satr proportsionaldir, ulardan ikkitasi o'chirilishi mumkin.

Bu erda yana ko'rsatish kerak e'tiborni kuchaytirdi, lekin chiziqlar haqiqatan ham proportsionalmi? Xavfsiz tomonda bo'lish uchun (ayniqsa choynak uchun) ikkinchi qatorni -1 ga ko'paytirish va to'rtinchi qatorni 2 ga bo'lish ortiqcha bo'lmaydi, natijada uchta bir xil chiziq paydo bo'ladi. Va shundan keyingina ulardan ikkitasini o'chirib tashlang.

Elementar o'zgarishlar natijasida tizimning kengaytirilgan matritsasi bosqichma-bosqich shaklga tushiriladi:

Daftarda topshiriqni to'ldirganda, aniqlik uchun qalam bilan bir xil yozuvlarni qo'yish tavsiya etiladi.

Tegishli tenglamalar tizimini qayta yozamiz:

Bu erda tizimning yagona yechimi "odatiy" kabi hidlamaydi. Hech qanday yomon chiziq ham yo'q. Bu shuni anglatadiki, bu qolgan uchinchi holat - tizimda cheksiz ko'p echimlar mavjud. Ba'zan, shartga ko'ra, tizimning mosligini tekshirish kerak (ya'ni, yechim umuman mavjudligini isbotlash uchun), siz bu haqda maqolaning oxirgi xatboshida o'qishingiz mumkin. Matritsaning darajasini qanday topish mumkin? Ammo hozircha biz asosiy narsalarni tahlil qilamiz:

Tizimning cheksiz ko'p echimlari qisqacha deb ataladigan shaklda yoziladi umumiy tizim yechimi .

Gauss usulining teskari kursidan foydalanib, sistemaning umumiy yechimini topamiz.

Avval bizda qanday o'zgaruvchilar borligini aniqlashimiz kerak Asosiy va qaysi o'zgaruvchilar ozod... Chiziqli algebra atamalari bilan ovora bo'lish shart emas, bundaylar borligini eslash kifoya asosiy o'zgaruvchilar va erkin o'zgaruvchilar.

Asosiy o'zgaruvchilar har doim matritsaning bosqichlarida "o'tiradilar".
Ushbu misolda asosiy o'zgaruvchilar va

Erkin o'zgaruvchilar hamma narsadir qolgan pog'onaga ega bo'lmagan o'zgaruvchilar. Bizning holatlarimizda ulardan ikkitasi bor: - erkin o'zgaruvchilar.

Endi sizga kerak hammasi asosiy o'zgaruvchilar ifodalash faqat orqali erkin o'zgaruvchilar.

Gauss algoritmining teskarisi an'anaviy ravishda pastdan yuqoriga ishlaydi.
Tizimning ikkinchi tenglamasidan biz asosiy o'zgaruvchini ifodalaymiz:

Endi birinchi tenglamani ko'rib chiqamiz: ... Birinchidan, topilgan ifodani unga almashtiramiz:

Asosiy o'zgaruvchini erkin o'zgaruvchilar nuqtai nazaridan ifodalash qoladi:

Oxir-oqibat, biz kerakli narsani oldik - hammasi asosiy o'zgaruvchi (lar) ifodalanadi faqat orqali erkin o'zgaruvchilar:

Aslida, umumiy yechim tayyor:

Umumiy yechimni qanday qilib to'g'ri yozish kerak?
Erkin o'zgaruvchilar umumiy yechimga "o'z-o'zidan" va qat'iy ravishda o'z joylarida yoziladi. Bunday holda, erkin o'zgaruvchilar ikkinchi va to'rtinchi pozitsiyalarda yozilishi kerak:
.

Asosiy o'zgaruvchilar uchun olingan ifodalar va, shubhasiz, siz birinchi va uchinchi pozitsiyalarda yozishingiz kerak:

Erkin o'zgaruvchilarni berish ixtiyoriy qiymatlar, siz cheksiz ko'p topishingiz mumkin shaxsiy echimlar... Eng mashhur qiymatlar noldir, chunki ma'lum bir yechim eng oson. Keling, umumiy yechim bilan almashtiramiz:

- shaxsiy yechim.

Birliklar yana bir shirin juftlik, keling ularni umumiy yechimda almashtiramiz:

- yana bir alohida yechim.

Tenglamalar sistemasi borligini ko'rish oson cheksiz ko'p echimlar(chunki biz bepul o'zgaruvchilarni bera olamiz har qanday qiymatlar)

Har bir muayyan yechim qanoatlantirishi kerak har biriga tizim tenglamasi. Bu yechimning to'g'riligini "tezkor" tekshirish uchun asosdir. Masalan, ma'lum bir yechimni oling va uni asl tizimdagi har bir tenglamaning chap tomoniga ulang:

Hamma narsa bir-biriga mos kelishi kerak. Va siz qabul qilgan har qanday aniq qaror bilan - hamma narsa ham rozi bo'lishi kerak.

Lekin, qat'iy aytganda, ma'lum bir yechimni tekshirish ba'zan aldaydi, ya'ni. ba'zi bir maxsus yechim tizimning har bir tenglamasini qondirishi mumkin, lekin umumiy yechimning o'zi aslida noto'g'ri topilgan.

Shuning uchun umumiy yechimni tekshirish yanada puxta va ishonchli. Olingan umumiy yechimni qanday tekshirish mumkin ?

Bu oson, lekin juda qayg'uli. Siz ifodalarni olishingiz kerak Asosiy o'zgaruvchilar, bu holda va, va ularni tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga qo'ying.

Tizimning birinchi tenglamasining chap tomonida:

Tizimning ikkinchi tenglamasining chap tomonida:


Dastlabki tenglamaning o'ng tomoni olinadi.

4-misol

Tizimni Gauss usulida yeching. Umumiy va ikkita alohida yechim toping. Umumiy yechimni tekshiring.

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun namunadir. Aytgancha, bu erda yana tenglamalar soni noma'lumlar sonidan kamroq bo'ladi, ya'ni tizim yo mos kelmaydigan yoki cheksiz echimlar to'plami bilan darhol aniq bo'ladi. Qaror qabul qilish jarayonining o'zida nima muhim? Diqqat, yana diqqat... Toʻliq yechim va oʻquv qoʻllanmasining oxirida javob bering.

Va materialni birlashtirish uchun yana bir nechta misol

5-misol

Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching. Agar tizimda cheksiz ko'p echimlar bo'lsa, ikkita maxsus yechim toping va umumiy yechimni tekshiring

Yechim: Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:

(1) Birinchi qatorni ikkinchi qatorga qo'shing. Uchinchi qatorga birinchi qatorni 2 ga ko'paytiramiz. To'rtinchi qatorga birinchi qatorni 3 ga ko'paytiramiz.
(2) Uchinchi qatorga -5 ga ko'paytirilgan ikkinchi qatorni qo'shing. To'rtinchi qatorga -7 ga ko'paytirilgan ikkinchi qatorni qo'shing.
(3) Uchinchi va to'rtinchi qatorlar bir xil, biz ulardan birini o'chirib tashlaymiz.

Mana shunday go'zallik:

Asosiy o'zgaruvchilar pog'onada joylashgan, shuning uchun asosiy o'zgaruvchilar.
Bu erda bir qadam qo'ymagan faqat bitta bepul o'zgaruvchi bor:

Orqaga:
Asosiy o‘zgaruvchilarni erkin o‘zgaruvchi ko‘rinishida ifodalaymiz:
Uchinchi tenglamadan:

Ikkinchi tenglamani ko'rib chiqing va unga topilgan ifodani almashtiring:

Birinchi tenglamani ko'rib chiqing va topilgan iboralarni almashtiring va unga:

Ha, oddiy kasrlarni hisoblaydigan kalkulyator hali ham qulay.

Shunday qilib, umumiy yechim:

Yana bir bor, bu qanday paydo bo'ldi? Erkin o'zgaruvchi o'zining to'rtinchi o'rnida yolg'iz o'tiradi. Asosiy o‘zgaruvchilar uchun hosil bo‘lgan ifodalar ham o‘z tartib o‘rinlarini egallagan.

Keling, darhol umumiy yechimni tekshirib ko'raylik. Qora tanlilar uchun ishlang, lekin men buni allaqachon qildim, shuning uchun tuting =)

Biz tizimning har bir tenglamasining chap tomonida uchta qahramonni almashtiramiz:

Tenglamalarning mos keladigan o'ng tomonlari olinadi, shuning uchun umumiy yechim to'g'ri topiladi.

Endi topilgan umumiy yechimdan Biz ikkita maxsus yechimni olamiz. Bu erda faqat bepul o'zgaruvchi - oshpaz. Miyangizni sindirishingiz shart emas.

Mayli, unda - shaxsiy yechim.
Mayli, unda - yana bir alohida yechim.

Javob: Umumiy qaror: , maxsus echimlar: , .

Men bu yerda qora tanlilar haqida eslamasligim kerak edi ... ... chunki miyamga har xil sadistik niyatlar kirib keldi va men mashhur foto-toadni esladim, unda oq xalat kiygan klanlar qora tanlilar ortidan dala bo'ylab yugurishadi. futbolchi. Men jimgina jilmayib o'tiraman. Bilasizmi, qanday chalg'itadi ...

Ko'p matematika zararli, shuning uchun o'zingizning yechimingiz uchun shunga o'xshash yakuniy misol.

6-misol

Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimini toping.

Men allaqachon umumiy yechimni tekshirdim, javobga ishonish mumkin. Sizning qaror yo'nalishingiz mening qarorimdan farq qilishi mumkin, asosiysi umumiy qarorlar bir-biriga to'g'ri keladi.

Ehtimol, ko'pchilik yechimlarda noxush lahzani payqashgandir: ko'pincha Gauss usulining teskari kursida biz oddiy kasrlar bilan skripka qilishimiz kerak edi. Amalda, bu to'g'ri, kasrlar bo'lmagan holatlar kamroq uchraydi. Ruhiy va eng muhimi, texnik jihatdan tayyor bo'ling.

Yechilgan misollarda topilmagan yechimning ba'zi xususiyatlariga to'xtalib o'taman.

Tizimning umumiy yechimiga ba'zan doimiy (yoki doimiylar) kirishi mumkin, masalan:. Bu erda asosiy o'zgaruvchilardan biri doimiy songa teng:. Bunda ekzotik narsa yo'q, bu sodir bo'ladi. Shubhasiz, bu holda har qanday maxsus yechim birinchi holatda A ni o'z ichiga oladi.

Kamdan-kam hollarda, lekin tizimlar mavjud tenglamalar soni o'zgaruvchilar sonidan kattaroqdir... Gauss usuli eng og'ir sharoitlarda ishlaydi, siz xotirjamlik bilan tizimning kengaytirilgan matritsasini standart algoritmga muvofiq bosqichma-bosqich shaklga keltirishingiz kerak. Bunday tizim nomuvofiq bo'lishi mumkin, u cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lishi mumkin va, g'alati, bitta yechimga ega bo'lishi mumkin.

Teorema. Chiziqli tenglamalar tizimi faqat kengaytirilgan matritsaning darajasi tizimning o'zi matritsasining darajasiga teng bo'lsa, izchil bo'ladi.

Chiziqli tenglamalar sistemalari

Barqaror r (A) = r () mos kelmaydigan r (A) ≠ r ().

Shunday qilib, chiziqli tenglamalar tizimlari cheksiz echimlar to'plamiga yoki bitta echimga ega yoki umuman echimga ega emas.

Ishning oxiri -

Ushbu mavzu bo'limga tegishli:

Elementar matritsa transformatsiyalari. Kramer usuli. Vektor ta'rifi

O'zgartirishning ikkita elementi inversiyani hosil qiladi, agar almashtirish yozuvida katta element kichikroqdan oldin bo'lsa .. n ta sondan n-darajadagi n ta xil almashtirish mavjud bo'lsa, buni isbotlaymiz .. jami bo'lsa ham almashtirish deyiladi. inversiyalar soni juft son va shunga mos ravishda toq, agar ..

Agar sizga ushbu mavzu bo'yicha qo'shimcha material kerak bo'lsa yoki siz qidirayotgan narsangizni topa olmasangiz, bizning ish bazamizdagi qidiruvdan foydalanishni tavsiya etamiz:

Qabul qilingan material bilan nima qilamiz:

Agar ushbu material siz uchun foydali bo'lib chiqsa, uni ijtimoiy tarmoqlardagi sahifangizga saqlashingiz mumkin:

Tvit

Ushbu bo'limdagi barcha mavzular:

Kroneker-Kapelli teoremasi
n ta noma’lumli chiziqli tenglamalar tizimini ko‘rib chiqaylik: matritsa va kengaytirilgan matritsani tuzamiz.

Chiziqli tenglamalarning bir jinsli sistemasi haqida tushuncha
Barcha erkin shartlar 0 ga teng bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimi, ya'ni. shakl tizimi bir jinsli deyiladi

Bir hil SLOga yechimlar xossasi
Bir jinsli tenglamalar sistemasi yechimlarining chiziqli birikmasi bu sistemaning yechimi hisoblanadi. x = va y =

Bir jinsli va bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemalarining yechimlari orasidagi bog`lanish
Ikkala tizimni ham ko'rib chiqing: I va

Chiziqli fazoni aniqlashga aksiomatik yondashuv
Ilgari n-oʻlchovli vektor fazo tushunchasi n-haqiqiy sonlarning tartiblangan sistemalari toʻplami sifatida kiritilgan boʻlib, ular uchun haqiqiy songa qoʻshish va koʻpaytirish amallari kiritilgan edi.

Aksiomalardan olingan xulosalar
1. Nol vektorning yagonaligi 2. Qarama-qarshi vektorning yagonaligi

Natijalar isboti
1. Faraz qilaylik. - nolga

Asos. Hajmi. Koordinatalar
Ta'rif 1. L chiziqli fazoning asosi L ga tegishli bo'lgan ikkita shartni qanoatlantiradigan elementlar tizimidir: 1) sistema.

Hajmi: px

Ko'rsatishni quyidagi sahifadan boshlang:

Transkripsiya

1 1 Tenglamalar sistemasi yechimlari soni Grafik dinamik usul Parametrni o'z ichiga olgan tenglamalar sistemasi yechimlari sonini topish uchun quyidagi texnika foydalidir. Biz tenglamalarning har birining grafiklarini ma'lum bir o'zgarmas qiymat uchun tuzamiz. parametr va tuzilgan grafiklarning umumiy nuqtalari sonini toping Har bir umumiy nuqta tizimning yechimlaridan biridir.parametr va parametr bilan tenglama grafigi qanday o zgartirilishini, grafiklarning umumiy nuqtalari qanday paydo bo lishini va yo q bo lishini ko rsating. o'rganish rivojlangan tasavvurni talab qiladi Tasavvurni o'rgatish uchun bir qator tipik muammolarni ko'rib chiqing. Keling, parametrning maxsus qiymatlarini echimlar soni o'zgargan qiymatlar deb ataylik. bir-biriga tegilsa yoki grafiklardan birining burchak nuqtasi boshqa grafga tushadi.Qoidaga ko'ra, bir nuqtadan o'tayotganda yechimlar soni ikkiga o'zgaradi va bunday nuqtaning o'zida u bittadan farq qiladi. n ning kichik o'zgarishi bilan yechimlar parametr Biri a parametriga bog'liq, ikkinchisi esa o'zgaruvchiga bog'liq bo'lmagan tenglamalar sistemasining yechimlar sonini topish talab qilinadigan masalalarni ko'rib chiqaylik x va y tizimlaridagi o'zgaruvchilar Sonlar xi, yi, r berilgan konstantalar deb hisoblanadi. Har bir yechim jarayonida parametr qiymati o‘zgarganda parametrli tenglama grafigi qanday o‘zgarishini ikkala tenglamaning grafiklarini chizamiz.Keyin esa soni haqida xulosa chiqaramiz. yechimlar (tuzatilgan grafiklarning umumiy nuqtalari) .Interfaol rasmda parametrsiz tenglamaning grafigi ko‘k rangda, parametrli tenglamaning dinamik grafigi qizil rangda ko‘rsatilgan.Mavzuni o‘rganish uchun (1 7-topshiriqlar). ) InMA faylidan foydalaning 11, 5 parametrli tizim yechimlari soni Tadqiqot uchun (8-topshiriq) GInMA faylidan foydalaning (x x0) + (y y0) = r parametrli tizim yechimlari soni; 1 (x x1) + y = a (x x0) + (y y 0) = r sistemaning yechimlari sonini toping; y = kx + a (x x0) + (y y0) = r sistemaning yechimlari sonini toping; 3 y = ax + y1 (x x0) + (y y0) = r sistemaning yechimlari sonini toping; 4 (x x1) + y = a (x x0) + y y0 = r sistemaning yechimlari sonini toping; 5 (x x0) + (y y0) = a (x x0) + (y y0) = r sistemaning yechimlari sonini toping; 6 y = x a + y1 x x0 + y y0 = r sistemaning yechimlari sonini toping; 7 (x x0) + (y y0) = a f (x, y) = 0 sistemaning yechimlari sonini toping; g (x, y, a) = 0 8 BB sistemasining yechimlar sonini toping Shelomovskiy Tematik to'plamlar, cmdru /

2 1 Tenglamalar grafiklari silliq egri chiziqlar (x x0) + (y y0) = r; 1-topshiriq (x x1) + y = a sistemaning yechimlari sonini toping Yechish: Birinchi tenglamaning grafigi markazi O nuqtada (x0; y0) joylashgan r radiusli doira ikkinchi tenglamaning grafigi aylanadir. A nuqtada abscissa o'qi markazida joylashgan radiusning a (x1 ; 0) Doira markazi harakatsiz, radius parametrni aniqlaydi Parametr moduli oshganda, doira "shishiradi" Parametrning maxsus qiymatlari Ildizlar soni o'zgaradigan qiymatlar, ya'ni ikkinchi grafik doirasi birinchi doiraga tegadigan parametr qiymatlari. doiralar markazdan markazga masofaga teng: a ± r = AO a = ± AO ± r Tadqiqot: o'zgaruvchilar qiymatini va parametrni o'zgartirib, tizimning echimlar sonini toping. umumiy o'q qachon. doiralar vertikaldir. Umuman olganda, Pifagor uchburchagidan foydalaning Masalan, x0 x1 = 3, y0 = ± 4 Odatda, kichik mo larda bo'lgani kabi Ikki mos kelmaydigan doiralar eng ko'p ikkita umumiy nuqtaga ega bo'lishi mumkinligi sababli, umumiy holatda echimlar soni ikkitadan ko'p emas Tegishli nuqtalarda, parametrning oraliq qiymatlari bilan yechimlar soni bittaga teng. uchta turli nuqta (x 1) + (y y0) = 9 bo'lgan ikkita parametr; (x x1) + y = a (x x0) + (y y0) = r tenglamalar tizimining yechimlari; Topshiriq y = kx + a sistemaning yechimlari sonini toping Yechish: Birinchi tenglamaning grafigi markazi O (x0; y0) nuqtada joylashgan r radiusli doiradir. Ikkinchi tenglamaning grafigi parallel chiziqlar turkumidir. A (0; a) nuqtalardan o'tuvchi va doimiy qiyalikga ega bo'lgan to'g'ri chiziqlarning moyillik burchagi tangensi k ga teng Parametrni oshirganda, to'g'ri chiziqlar yuqoriga siljiydi.Parametrning maxsus qiymatlari bu qiymatlardir bunda ildizlar soni o'zgaradi, ya'ni to'g'ri chiziqlar doiraga tegadigan parametr qiymatlari. cmdru /

3 3 Hosil bo'lgan tenglamani yechib, ikkita aloqa nuqtasining koordinatalarini topamiz: kr x = x0 ±; x0 x 1 + k = kk (y y0) + (y y0) = rry y0 y = y0 1+ k Olingan ifodalarni to‘g‘ri chiziq tenglamasiga qo‘yib, parametrning birlik nuqtalardagi qiymatini topamiz: a = y 0 kx0 ± r 1 + k Tadqiqot : O‘zgaruvchilar qiymatini va parametrni o‘zgartirib, sistemaning yechimlari sonini toping.Tadqiqotni to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘lganda eng oddiy k = 0 holatdan boshlash ma’qul. abscissa o'qiga. Keyin ildiz chiqarilgan holatlarni ko'rib chiqing (masalan, k = 3), mashhur holatga e'tibor bering k = 1 parametrning kichik va katta qiymatlari uchun hech qanday yechim yo'q, chunki to'g'ri. chiziq va aylana ikkitadan ko'p bo'lmagan umumiy nuqtaga ega bo'lishi mumkin, echimlar soni ikkitadan ko'p bo'lmasligi mumkin Parametrning tangensga mos keladigan qiymatlari uchun eritmalar soni bittaga teng, oraliq qiymatlar ikkinchi parametr.Ijodiy topshiriq Ma'lumki, bu tenglamalar sistemasi ko'pi bilan bitta yechimga ega bo'ladi.Tenglamalar sistemasi yechimiga ega bo'lgan parametrning qiymatini toping: (x) + (y 3) = r; y = x + a (x x0) + (y y0) = r; 3 y = ax + y1 sistemaning yechimlari sonini toping Yechish: Birinchi tenglamaning grafigi markazi O (x0; y0) nuqtada joylashgan r radiusli doiradir. Ikkinchi tenglamaning grafigi to‘g‘ri chiziqlar turkumidir. A nuqtadan o'tuvchi (0; y1) to'g'ri chiziqlarning og'ish burchagi tangensi ( a) parametr qiymatini aniqlaydi.Parametr ortganda, grafik va abscissa o'qining musbat yo'nalishi orasidagi burchak ortadi. , u holda har qanday mumkin boʻlgan toʻgʻri chiziq aylanani ikki nuqtada kesib oʻtadi Aylana va toʻgʻri chiziqning ogʻish burchagi tangenslarini tenglashtirib teginish shartini topamiz Hosil boʻlgan tenglamani yechib, ikkita teginish nuqtasining koordinatalarini topamiz: VV. Shelomovskiy tematik to'plamlari, cmdru /

4 4 ar x = x0 ±; x0 x 1 + a = aa (y y0) + (y y0) = rry y0 y = y0 1+ a Olingan ifodalarni to‘g‘ri chiziq tenglamasiga qo‘yib, (y1 y 0) parametrning qiymatini topamiz. r yagona nuqtalar Agar x0 = 0 bo'lsa, u holda parametrning maxsus qiymatlari a = ± r Agar y0 = y1, x0 r bo'lsa, u holda parametrning maxsus qiymatlari a = ± (y1 y 0) rr x0 Agar x0 = ± r bo'lsa, aylana r (y1 y 0) A (0; u1) nuqtadan o'tuvchi vertikal chiziqqa tegadi va parametrning qiymati a = Boshqa hollarda, x0 (y1 y 0) a = x0 (y 0) y1) ± r (x0 + (y 0 y1) r) r x0 Tadqiqot: O‘zgaruvchilar qiymatini va parametrni o‘zgartirib, tizim yechimlari sonini toping. O‘rganishni eng oddiy holatdan boshlash maqsadga muvofiqdir y0 = y1, x0< r, когда точка А(0; у1) внутри окружности и число решений всегда равно двум Рассмотрите случай х0 = r, когда число решений легко найти (х0 = r =, y0 = 3, y1 =) Затем рассмотрите случаи, когда корень хорошо извлекается (например, х0 = 3, y0 = 4, r =, y1 =) Поскольку прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек, число решений не более двух При значениях параметра, соответствующих касанию, число решений равно единице, при остальных значениях параметра нулю или двум (x + 3) + (y 5) = r ; при всех y = ax + 1 Творческое задание Известно, что система уравнений значениях параметра, кроме одного, имеет два решения Найдите то значение параметра, при котором система уравнений имеет единственное решение (x x0) + (y y0) = r ; 4 Задание Найдите число решений системы (x x1) + y = a Решение: В ходе решения строим графики каждого из уравнений и исследуем число общих точек построенных графиков График первого уравнения это пара окружностей одинакового радиуса r Центры окружностей O и Q имеют одинаковую ординату y0 и ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

5 5 kattaligi bo'yicha bir xil, ammo abscissa ± x0 belgisida farqlanadi Grafiklar ko'k va binafsha rangda ko'rsatilgan. Ikkinchi tenglamaning grafigi A nuqtada abscissa o'qida markazlashtirilgan a radiusli doiradir (x1; 0) Maxsus qiymatlar Parametrning ildizlar soni o'zgargan qiymatlari, ya'ni ikkinchi grafik doirasi birinchisining doiralariga tegadigan parametr qiymatlari. Yig'indi yoki ayirmaga tegish shartlari doiralar radiusi markazdan markazga masofaga teng: a ± r = AO va ± r = AQ Tadqiqot: o'zgaruvchilar va parametrlarning qiymatini o'zgartirib, tizimning yechimlari sonini toping Butun sonlar qiymatlaridan foydalaning. markazdan markazga bitta masofa uchun (masalan, x0 = 6, y0 = 3, r = 3, x1 =) Odatda, kichik modul va parametrning katta qiymatlari uchun hech qanday yechim yo'q. teginish nuqtalari, ildizlar soni toq, boshqa nuqtalarda ildizlar soni juft ( x 6) + (yy 0) = r; Ijodiy topshiriq Ma'lumki (x x1) + y = a parametrning ba'zi bir qiymati uchun tenglamalar tizimi aniq ikkita echimga ega.Parametrning ushbu qiymati uchun grafiklar (x x0) parametrining ushbu qiymatini toping ga teging. y y0 = r; 5 (x x0) + (y y0) = a sistemaning yechimlar sonini toping Yechish: Birinchi tenglamaning grafigi y = y0 da birlashtirilgan bir juft paraboladan iborat y = y0 ± (r) parabolalarning tenglamalari. (x x0)) Ularning gorizontal simmetriya o'qi y = y0, simmetriyaning vertikal o'qi x = x0 Simmetriya nuqtasi markazi (x0, y0) Ikkinchi grafik a radiusli aylana bo'lib, uning markazi markazda joylashgan. Parabolalarning simmetriya markazi Ikkinchi grafik doirasi parabola cho'qqilariga tegib turgan parametrning shunday qiymatida ildizlar soni o'zgaradi Tangens nuqtasida: x = x0, y = y0 ± r = y = y0 ± a, ya'ni a = ± r Ildizlar soni parabolalar bilan ikkinchi grafik doirasining ichki tangensi sodir bo'ladigan parametrning shunday qiymatida o'zgaradi.Bu qiymatni topish uchun tenglamalar tizimidan o'ting. bir o'zgaruvchiga ega tenglama: (yy 0) = a (x x0) = (r (x x0)) Bu (xx 0) uchun kvadrat tenglama, agar diskriminant nolga teng bo'lsa, u bitta ildizga ega: VV Shelomovskiy Tematik to'plamlar, cmdru. /

6 6 D = (r 0,5) (ra) = 0, a = ± r 1 4 Aylana va parabola kesishishi ning uzilish nuqtalarida sodir bo ladigan parametrning shunday qiymatida ildizlar soni o zgaradi. birinchi grafik, ya'ni y = y0 da Tadqiqot : O'zgaruvchilarning qiymatini va parametrni o'zgartirib, tizimga yechimlar sonini toping r = 1, 4 va 9 qiymatlaridan foydalaning x0 va y0 parametrlarini unutmang. muammoning javobiga ta'sir qilmaydi Parametrning kichik va katta qiymatlari uchun x x0 + y y0 = r echimlari yo'q; 6 (x x0) + (y y0) = a sistemaning yechimlari sonini toping Yechish: Birinchi tenglamaning grafigi koordinata o‘qlariga 45 burchak ostida qiya bo‘lgan kvadrat, diagonalining yarmi uzunligi. qaysi r bo'ladi Ikkinchi grafik a radiusli aylana bo'lib, uning markazi kvadratning markaziy simmetriyasida joylashgan Aylana kvadratning uchlari orqali o'tadigan parametr qiymatida ildizlar soni o'zgaradi. holat, y = y0, a = ± r Kvadrat tomonlari bilan aylananing ichki tangensi yuzaga keladigan parametr qiymatida ildizlar soni o'zgaradi. Bu qiymatni topish uchun tenglamalar tizimidan tenglamaga o'ting. bitta o'zgaruvchi bilan: (yy 0) = a (x x0) = (rx x0) Bu xx 0 uchun kvadrat tenglama, agar diskriminant nolga teng bo'lsa, u bitta ildizga ega bo'ladi Bu holda, a = ± r doira radiusi. bu holat oldingi holatda radiusga ishora qiladi, chunki sin 45: 1 VV Shelomovskiy Tematik to'plamlar, cmdru /

7 7 (x x0) + (y y0) = r; 7 y = xa + y1 sistemaning yechimlar sonini toping Birinchi tenglamaning grafigi markazi O (x0; y0) bo'lgan aylana bo'lib, ikkinchi tenglamaning grafigi umumiy kelib chiqishi bo'lgan ikkita nurdan iborat bu “qush. , qanotlari yuqoriga”, grafikning yuqori qismi A nuqtada joylashgan (a; y1) Ildizlar soni ikkinchi grafikning "qanoti" doiraga yoki grafikning yuqori qismiga tegib turgan parametr qiymatida o'zgaradi. shu aylana ustida yotadi.bu qanot aylanaga (xk; yk) nuqtalarda shunday tegadiki, r yk = y0 teginish sharti yk = xk a + y1 a = xk yka + y1 = x0 y0 + y1 ± r "qanot" bo'lgani uchun. yuqoriga koʻtarilayotgan nur boʻlsa, choʻqqi ordinatasi tutashgan nuqtaning ordinatasidan koʻp boʻlmasligi sharti qoʻshiladi, yaʼni u1 uk y0 u1 ± r Xuddi shunday, “ bilan aloqa qilish shartlarini yozamiz. chap qanot" Agar grafikning tepasi aylana ustida yotsa, uning koordinatalari aylananing tenglamasini qanoatlantiradi: (a x0) + (y1 y0) = r. sistema yechimlari, ya'ni grafiklarning umumiy nuqtalari soni Birlik nuqtalarda ildizlar soni toq, boshqa nuqtalarda esa ildizlar soni juft (x) + (yy 0) = r, Ijodiy vazifa Ma'lum. y = xa + y1 uchun tenglamalar sistemasi, ba'zi qiymat parametrlari uchta yechimga ega ekanligini, agar ikkita yechimning ordinatalari f (x, y) = 0 ga to'g'ri kelishi ma'lum bo'lsa, parametrning ushbu qiymatini toping; g (x, y, a) = 0 8 Tizimning yechimlar sonini toping.. Model boʻyicha funksiyalarni oʻzingiz aniqlang va yechimlar sonini V. V. Shelomovskiy Tematik toʻplamlar, cmdru / oʻrganing.

8 8 VV Shelomovskiy Tematik to'plamlar, cmdru /

9 9 C5 topshiriqlari (Semyonov Yashchenko) 1-variant a ning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun 4 x 1 x + 3 a 3 tengsizlikning yechimlari to'plami 3 a 4 x o'ylab ko'ring xb 1 o'zgarishlarni amalga oshiring. , 1 xb 1, 4 x 1 x + 3 axb 3 =, b = 3 a 3 a 4 xx (x) 0, (x +1) b 1 0 X 3a tekislikning chegara chiziqlari: x = 0, x =, x = 3a, x = ± 3 aa = (x + 1) 1 4 Agar 0 x bo'lsa, u holda b< 4x, b (x +1) 1 Так как 4x >(x +1) 1, keyin b (x +1) 1 Agar 0> x bo'lsa, b> 4x, (x +1) 1 b 1 b uchun yechim bor Masalan, x = 1 Agar x> bo'lsa, u holda b > 4x, (x +1) 1 b 4x dan beri< (x +1) 1, то (x +1) 1 b Значит, решения таковы Если 3а >8, u holda x [3 a + 1 1.0] [, 3 a +1 1] Agar 3a = 8 boʻlsa, x [4.0] x [3 a +1 1.0] [3 a + 1 1,] 0 boʻlsa< 3а < 8, то Если 3а = 0, то х [,0) (0, ] Если 1< 3а < 0, то х [ 3 a +1 1, 3 a+1 1] [ 0, ] Если 1 = 3а, то х 1 } Если 1 >3a, keyin x Yechish 1 3a bo‘lsin, keyin x = 1 tengsizlikni qanoatlantirsin, 4 x 1 x + 3 a 16 + 3 a 3 a 3 = 3 =, ziddiyat, bu 3 a 4 x 3 a segmentidan tashqaridagi son. + 4 3 a +4 1> 3a boʻlsin, u holda xb 1, 4 x 1 x + 3 axb 3 =, b = 3 a boʻlsin.< 1 3 a 4 x 1 x b 1, x (x) 0, (x +1) b 1 0 Числа из промежутка 0 х удовлетворяют обоим неравенствам Если x >, keyin birinchi tengsizlik qondirilmaydi VV Shelomovskiy Tematik to'plamlar, cmdru /

10 10 Agar 0> x bo'lsa, b (x +1) 1 bo'lsa, ikkinchi tengsizlik bajarilmaydi Javob: 1> 3a 3-variant a ning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun a +7 xx + x + tenglamasi. 5 kamida bitta ildizga ega = a + 3 x 4 a +1 Fikrlash f (a, x) = a +7 xx + x +5 a 3 x 4 a + 1 funktsiyaning birlik nuqtasi x + 1 = 0 bo'lsa x = 1, u holda tenglama a +10 a 1 a = 0 ko'rinishga ega bo'ladi. To'rtta yechim topish oson. Asl funktsiya har doim bundan katta ekanligini isbotlash kerak Yechim f (a, x) = a + bo'lsin. 7 xx + x +5 a 3 x 4 a + 1 Tenglama f (a, x) = 0 Unda f (a, 1) = a +10 a 1 a = 0 Farq f (a, x) f (a, 1) ) = 7 x +1 +5 (x + x +5) + 3 4 a 3 x 4 a + 1 3 (xa 4 ax 1) 0 Demak, f (a, x) = 0 tenglama faqat f bo‘lganda ildizlarga ega bo‘ladi. (a, 1) 0 f (a, 1) = 0 tenglamaning to‘rtta ildizi bor a 1 =, a =, a 3 =, a 4 = a uchun f (a, 1) 0 (musbat emas) funksiyasi Masalan, a = 10 bo'lsa, ya'ni ildiz ax = f (a, x) ning boshqa qiymatlari uchun f (a, 1)> 0 Ildiz yo'q Javob: [5 15, 5+ 15] Variant 5 Barcha qiymatlarni toping a ning har biri uchun kamida bitta ur ildiziga ega a +11 x + +3 x + 4 x + 13 = 5 a + xa + f (a,) = a +9 5 a 4 a = 0 funksiyasidan va f (a, x) f (a,) tengsizlikdan foydalaning. ) (x + + ax a +) 0 Javob: [,] 9-variant x + 4x 5 tenglamaning ildizlari sonini toping 3a = x + a 1 O‘ylash Quyidagi (aniq) gapni ma’lum deb hisoblaymiz f ( funksiyalari bo‘lsin. x) va g (x) qaysidir oraliqda berilsin Birining hosilasi oraliqda ikkinchisidan katta boʻlsin Chap tomondagi funksiyalar qiymatlari ayirmasi bitta, oʻng tomonda boshqa belgiga ega boʻlsin. f (x) = g (x) tenglama oraliqda aynan bitta ildizga ega Yechish f (x, a) = 3a + x + a, g (x) = x + 4x tenglamani belgilang f (x, a) = g ( x) VV Shelomovskiy Tematik to'plamlar, cmdru /

11 11 g (x) funksiyaning yagona nuqtalari x = 1 va x = 5 da minimal va x = qiymatidagi maksimal qiymatlar g (1) = g (5) = 1, g () = 10 funktsiya simmetriya o'qiga ega x = 3 Katta modul x qiymatlarida kvadrat funktsiya g (x) chiziqli f (x, a) funktsiyadan kattaroqdir [5,1] segmentdan tashqari funktsiyaning qiyaligi quyidagicha aniqlanadi. hosila (x + 4x 5) "= x x> 1 uchun x funktsiya g (x) x> 1 uchun 6 dan katta koeffitsient bilan monoton ravishda ortadi Simmetriya tufayli g (x) funktsiya dan kattaroq koeffitsient bilan monoton ravishda kamayadi. x uchun 6< 5 Наклон g(x) равен 1 только на промежутке (5, 1) При этом производная (x 4x + 5)" = x 4 = 1 Значит, в точке x = 5 наклон равен 1 Функция f(x, a) = 3а + x + a монотонно убывает с коэффициентом 1 при x + а < 0 и монотонно возрастает с коэффициентом 1 при x + а >0 Bir qator nuqtalardagi qiymatlar f (a, a) = 3a, f (5, a) = 3a + 5 a, f (, a) = 3a + a, f (1, a) = 3a + 1 + a f (x, a) va g (x) grafiklari, agar ularning qiyaliklari teng bo'lsa tegadi. Tegish x = 5 da mumkin Bundan tashqari, g (x) = 39/4 f (x, a) = 4a + x = 39/ 4, 4a = 49/4, a = 49/16 f (x, a) = g (x) tenglamaning ildizlarini tahlil qiling, agar a<, f(5, a) = а +5 < 1, f(1, a) = а 1 < 5 f(x, a) < g(x), так как в промежутке 5 < x < 1 f(x, a) < 1 < g(x) Если x >1, g (x) f (x, a) dan tezroq ortadi, ya'ni hamma joyda f (x, a)< g(x) Если x < 5, g(x) убывает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x) Других корней нет Если a =, f(5, a) = 1, f(1, a) = 5 f(5,) = g(5) Один корень х = 5 Во всех других точках f(x, a) < g(x), как и в предыдущем случае Если < a < 0, f(5, a) = а +5 >1, f (1, a) = 4a + 1< 1f(, a) = а + < 10 При x >f (x, a)< g(x), корней нет При x < f(1,a) >1 x uchun< 5 быстро убывающая g(x) пересекает медленно убывающую левую ветвь f(x,а), один корень При 5 < x < возрастающая g(x) пересекает убывающую f(x,а), один корень, всего корней два, один при x < 5, второй при 5 < x < Если a = 0, f(5, a) = 5, f(1, a) = 1 f(1, a) = g(1), один корень х = 1 Как и раньше, один корень при x < 5, один корень при 5 < x < Всего корней три Если 0 < a < 3, корней 4, два на левой ветке f(х, a) при x <, два на правой при x >Agar a = 3 bo'lsa, f (3, 3) = 8 = g (3), f (, 3) = 10 = g (), ildizlar 4, x uchun f (x, a) chap shoxiga bitta ikkita.< 5, один в вершине f(х, 3) при x = 3, один в вершине g(x) при x =, один при x >1 bo'lsa 3< a < 49/16, корней 4, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, два на правой ветви g(x) при 3 < x <, один при x >1 Agar a = 49/16 bo'lsa, u holda ildizlar soni 3 ga teng bo'lib, x uchun f (x, a) chap novdada bittasi.< 5, один в точке касания при x = 5, один при x >1 Agar a> 49/16 bo'lsa, u holda ildizlar soni, bir chap shoxda f (x, a) x uchun< 5, один на правой при x >1 Javob: a uchun ildiz yo'q< ; один корень при a =, два корня при < a < 0 или 49/16 < a, три корня при a = 0 или а = 49/16, четыре корня при 0 < a < 49/16 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

12 1 10-variant a parametrining barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun tenglama ikkita ildizga ega 4x 3x x + a = 9 x 3 Yechish f (x, a) = 4x 3x x + a, g (x) ni belgilang. ) = 9 x 3 g (x) funksiyaning yagona nuqtasi x = 3 funktsiya x da 9 koeffitsienti bilan monoton ravishda kamayadi.< 3 и монотонно возрастает с коэффициентом 9 при x >3 f (x, a) funksiya koeffitsientlari 8, 6 yoki 0 bo‘lgan qismli chiziqli bo‘lib, u x da kamaymaydi, uning o‘sish tezligi 9 x 3 f (3) funksiyaning o‘ng bo‘liminikidan kamroq ekanligini bildiradi. , a) = a Bu ifodaning grafigi uchlari (1, 1), (3, 3), (6, 1) boʻlgan koʻp chiziqdir) funktsiyaning qiymatlari a (4, 18) dan musbat. topilgan u quyidagicha bo'lsa, f (3, a)< 0, уравнение не может иметь корней, так как g(x) >f (x, a) Agar f (3, a) = 0 bo'lsa, tenglama aynan bitta ildizga ega bo'ladi x = 3 Boshqa xes uchun g (x)> f (x, a) f (3, a)> 0 bo'lsa, tenglamaning ikkita ildizi bor, biri x uchun< 3, когда пересекаются убывающая ветвь g(x) и монотонно не убывающая f(x, a) Другой при x >3, tez o'sib boruvchi g (x) novdasi sekin o'sib boruvchi f (x, a) novdasini kesib o'tganda Javob: a (4, 18) 11-variant a parametrining barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun istalgan qiymat uchun. b parametrining kamida bitta yechimi tenglamalar tizimi (1+ 3 x) a + (b 4 b + 5) y =, xy + (b) xy + a + a = 3 Fikrlash Tizim shaklga ega. (1+ 3 x) a + (1+ (b) ) y =, Qulay xy + (b) xy = 4 (a + 1) a (1 + 3 x) = 1, yechimni ko'ramiz x = y = 0 va xy = 4 (a +1) parametrning mos qiymatlari a = 1 va a = 3 yagona nuqtani tahlil qiladi b = Keyin (1+ 3 x) a + (1+ (b)) y =, xy + (b) xy = 4 (a + 1) Yechim sistemani shunday yozing Yechim x = y = 0 har doim a = 1 yoki a = 3 uchun mavjud bo'lsa, b = bo'lsa, sistema (1+ 3 x) ko'rinishga ega bo'ladi. a +1 y =, yoki xy = 4 (a +1) (1 + 3 x) a = 1, xy = 4 (a +1) Agar a> 1 yoki a< 3 система не имеет решений, так как их не имеет второе уравнение Если 1 < a < 3, из второго уравнения получим, что x >0, birinchisidan a = 0 bo'lsin, a = 0 bo'lsin, keyin b = 4 uchun birinchi tenglamadan y = 0 ekanligini olamiz Bu holda, ikkinchi tenglamaning yechimi yo'q Javob: 1 yoki 3 BB Shelomovskiy Tematik to'plamlar, cmdru. /

13 13 14-variant parametrning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun x 6x a 4a = 0 tenglamaning ildizlari orasidagi farq moduli eng katta qiymatni oladi Yechim Tenglamani (x 3) ko'rinishda yozing. = 1 (a) Uning yechimi = 0, chunki sinus va kosinus funktsiyalarining davriyligi , muammoni x = 3 ± 1 segmenti uchun yechish mumkin (a) Ildizlarning eng katta farqi a da tengdir = Javob: Variant 15 Parametrning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun (4 4 k) sin t = 1 tenglama segmentida kamida bitta yechimga ega [3 p; 5 p] cos t 4 sin t Yechish Sinus va kosinus funksiyalarining davriyligi tufayli masalani t [p oraliqda yechish mumkin; 15 p], keyin har bir olingan yechimdan 4p ayiriladi.Tenglamani + 4 k sin t cos t = 0 cos t 4 sin t ko rinishga keltiring t segmentida [p; 15 p] sinus monoton ravishda noldan minus birgacha kamayadi, kosinus monoton ravishda minus birdan nolga oshadi Mahrama 4tgt = 1 da yo'qoladi, ya'ni sin t = 1 4 da cos t = t = p da bo'ladi. 1 ga teng, t = 15p da 4k ga teng Agar k 0 bo‘lsa, pay musbat va tenglamaning ildizlari yo‘q Agar k> 0 bo‘lsa, payning ikkala o‘zgaruvchan hadi ham kamayadi, ya’ni pay monoton ravishda o‘zgaradi Demak, pay nolni oladi. qiymat bir marta agar k 05 va undan kichikroq qiymatlar uchun musbat bo'lsa k Agar pay nolga teng bo'lsa va maxraj nolga teng bo'lmasa, ya'ni 4k = + 4 k sin t cos t + k bo'lsa, tenglama ildizga ega bo'ladi. : k [05, +) \ 1+) 18-variant parametrning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun tenglamalar tizimi (xa 5) + (y 3 a +5) = 16, (xa) + (ya + 1) = 81 yagona yechimga ega.Fikrlash Har bir tenglama aylanani tasvirlaydi.Yechish aylanalar tangensi holatida yagonadir Yechish Birinchi tenglama markazi (a + 5, 3a 5) nuqtada va radiusda joylashgan doirani aniqlaydi. 4 Ikkinchi tenglama aylanadir st radiusi 9 BB bo'lgan nuqtada (a +, a 1) markazlashtirilgan Shelomovskiy Tematik to'plamlar, cmdru /

14 14 Agar aylanalar tegsa, tizim o'ziga xos yechimga ega. Bu holda markazlar orasidagi masofa = 13 yoki 0 4 = 5 markazdan markazga masofaning kvadrati: ((a + 5) (a +) ) + ((3a 5) (a 1)) = aa + 5 Agar masofa 5 boʻlsa, a = 0 yoki a = 1 Agar masofa 13 boʻlsa, a = 8 yoki a = 9 Javob: 8, 0, 1, 9 1-variantning har biri uchun ikkita manfiy bo'lmagan yechim tenglamasiga ega bo'lgan barcha parametr qiymatlarini toping 10 0,1 xa 5 x + a = 004 x Yechim O'zgartirishlarni bajaring 5 xa 5 x + a = 5 x t ni belgilang. = 5x 1 5x ko'rsatkichli funktsiyaning monotonligi tufayli har bir ildiz t 1 aynan bitta x 0 ildiz hosil qiladi Tenglama ta t + at = 0 ko'rinishini oladi. dan 1 Agar t> at / bo'lsa, u holda tt + 3a = 0 t> 1 uchun funktsiya monoton ravishda ortadi, faqat bitta ildiz mavjud Agar 1 /> t /> a bo'lsa, u holda t 3t a = 0 t> 1 uchun funktsiya t 3t monoton ravishda t = 1 dan 5 ga t = 15 da kamayadi va keyin monoton ravishda ortadi. Bu 5> a uchun ikkita ildiz bor, kichik a uchun ildiz yo'q, katta a uchun ildiz aynan odi ekanligini anglatadi. n Javob: 5> a Variant Parametrga qarab tizim yechimlari sonini toping x (a + 1) x + a 3 = y, y (a + 1) y + a 3 = x Fikrlash Tizimda mavjud f (x) = y, f (y) = x yoki f (f (x)) = x ko'rinish f (x) = x yechimlardan biri Tenglamalarni ayirish orqali ikkinchi yechimni topamiz Yechish dan ikkinchisini ayiramiz. birinchi tenglamani olamiz (x + ya) (xy) = 0 Birinchi tenglamada x = y o'rniga qo'ying, o'zgartiring Biz (xa 1) = 4 + a ni olamiz x + y = a Birinchi tenglamada o'rniga qo'ying, o'zgartiring: (xa) = 3 + a Agar a<, корней нет Если a =, то x = y = a + 1, единственное решение Если 15 >a>, ya'ni yechimlar juftligi x = y = a + 1 ± 4+ a Agar a = 15 bo'lsa, ikkita yechim: x = y = a, x = y = a + 15 bo'lsa.< a то решения x= y =a+ 1± 4+ a, x=a± 3+ a, y= a x Ответ: a < нет решений, а = одно, 15 a >, ikkita yechim, a> 15 to'rtta yechim VV Shelomovskiy Tematik to'plamlar, cmdru /

15 15 4-variant a ning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun tenglamada ildiz yo'q 7 x 6 + (4 ax) 3 +6 x +8 a = 4 x O'ylab ko'ring 8a 4x = (4a x), 7x6 = (3x) 3 Demak, tenglama bir xil ifodalarning kublari yig‘indisi va yig‘indisini o‘z ichiga oladi. Bundan foydalanish mumkin Yechish Tenglamani (3 x) 3 + (4 ax) 3+ (3 x + 4) ko‘rinishga aylantiramiz. ax) = 0 Kublar yig'indisini kengaytiring (3 x + 4 ax) ( (3 x) 3 x (4 ax) + (4 ax) +) = 0 Ikkinchi omil - ga oshirilgan farqning to'liq bo'lmagan kvadrati. ijobiy Birinchi omildagi kvadratni tanlab, biz 1 1 3 (x) + 4 a = Bu tenglamaning ildizlari yo'q, agar 4 a> 0 bo'lsa, a> 3 1 Javob: 1a> 1 8-variant qiymatlarni toping ​ning a, ularning har biri uchun xax funksiyaning maksimal qiymati bittadan kam emas Yechish Agar xa, f (x, a) = xax funksiyasi x = 0,5 uchun maksimal, a uchun maksimal 0,5 a.< 0,5 наибольшее значение функции 0,5 а 1 при 075 а Если x < a, функция f(x,a) = a x x Она максимальна при x = 0,5, максимум равен a + 05 При a >0,5 - funktsiyaning eng katta qiymati a + 0,5 1 0,75 Javob: a 0,75 yoki 075 a funktsiya juftligi a ning musbat qiymatlari oralig'ini toping, ularning har biri uchun shunday b bo'ladiki, tenglamalar tizimi : y = x4 + a, x = 8y + b ning yechimlari juft songa ega Yechish: Birinchi tenglamadan y> 0 bo lib, ikkinchi tenglamani quyidagi ko rinishga keltirish mumkin: y =, x (b; +) y dan tashqari: xbf (x) = xa = 0; f `(x) = 4 x 3 + xb (xb) 3 Olingan tenglamaning har bir ildizi dastlabki sistemaning aynan bitta yechimini hosil qiladi b 0 da f (x) funksiya monoton ortib boradi va tenglama aynan bitta ildizga ega At manfiy. b< 0 функция f(x) монотонно возрастает от минус бесконечности до f(х1), уменьшается до f(х) и вновь монотонно возрастает при положительных иксах до плюс бесконечности Уравнение может иметь чётное число корней два только если корень совпадает с минимумом или максимумом функции, то есть в точке корня производная равна нулю, то есть f(х1) = g(х1) = 0 Исключая корень из уравнений, найдём: а = (4х1 + х14) Полученная функция имеет максимум при х1 = 1 (а = 3; b = 1,5), поэтому для любого a (0; 3) существуют х1, х х1 и b, при которых число корней равно два Однако при а = 3 х ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

16 16 = x1, ikkala ildiz mos keladi va f (x) = 0 tenglama faqat bitta ildizga ega. Hosil f` (x) xb va x uchun musbat + f `(x) = 0 shartida nolga teng. g (x) = x (xb) + 1 = 0 Oxirgi tenglama bir yoki ikkita ildizga ega bo'lishi mumkin va faqat manfiy x uchun ularni x1 va x deb belgilaymiz: g (x1) = g (x) = 0 Javob: a (0; 3) BB Shelomovskiy tematik to'plamlari, cmdru /

Imtihon uchun C5 tipidagi vazifalarni hal qilish misollari 013 To'plamdagi chizmalarning aksariyati interaktivdir. Grafiklarning parametrlari va tenglamalarini o'zgartirishingiz mumkin. Onlayn fayllar ustiga bosish orqali kiritiladi

41-mavzu “Parametrli vazifalar” Parametrli topshiriqlarning asosiy formulalari: 1) Parametrning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun ma’lum shart bajariladi.) Tenglama yoki tengsizlikni yeching.

1 Funktsiyalar, ularning grafiklari va tegishli isbotlari Mundarija 1 Ildizlar va ularning soni ... 1 1.1 Tenglama ildizlari ... 1 1.1.a Tenglama ildizlari ... 1 1. Ildizlar soni ... 1. Ildizlar soni . .. 1.4 Funktsional

18-topshiriq 18-topshiriqlarni baholash mezonlari Mezon mazmuni Ballar To‘g‘ri javobni asosli ravishda oldi. 4 To'g'ri mulohazalar yordamida kerakli qiymatdan cheklangan son bilan farq qiluvchi a qiymatlari to'plami olindi.

a x = b chiziqli tenglama quyidagilarga ega: yagona yechim, a 0 da; cheksiz yechimlar to'plami, a = 0, b = 0 uchun; a = 0, b 0 uchun yechimlari yo'q. ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tenglamada quyidagilar mavjud: ikki xil

GRAFIKA TURLARI Formula: y = kx + b k to'g'ri chiziqning qiyaligini bildiradi b to'g'ri chiziq koordinata boshidan necha birlik yuqoriga yoki pastga siljiganligini ko'rsatadi.Ijobiy k uchun to'g'ri chiziq ortadi MISOLLAR: y =

C5 a ning har bir qiymati uchun tizimni yeching. Tizimning yechimini beradigan juftlar shartlarni qondirishi kerak. Tizimning ikkinchi tenglamasidan biz topamiz.

23-topshiriq 314690. Funksiya grafigini chizing va uch nuqtada toʻgʻri chiziq grafigi qanday qiymatlarda kesishishini aniqlang. Funksiya grafigini tuzamiz (rasmga qarang). Grafik to'g'ri chiziq ekanligini ko'rsatadi

Parametrli masalalar (grafik yechim) Kirish Parametrli masalalarni o'rganishda grafiklardan foydalanish nihoyatda samaralidir. Ularni qo'llash usuliga qarab ikkita asosiy yondashuv mavjud.

Talabalarni profil darajasidagi matematikadan yagona davlat imtihoniga tayyorlash tizimi. (parametr bilan bog'liq muammolar) Nazariy material Ta'rif. Mustaqil o'zgaruvchiga parametr deyiladi, uning qiymati masalada ko'rib chiqiladi

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar. 6x funksiyaning sohasini toping. Funksiya grafigining M (;) nuqtasidan o‘tuvchi tangensning abtsissa o‘qiga moyillik burchagi tangensini toping. Burchakning tangensini toping

Webinar 5 Mavzu: Takrorlash Imtihonga tayyorgarlik (8-topshiriq) 8-topshiriq a parametrining barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun a a 0 tenglamasi yetti yoki sakkizta yechimga ega bo'lsin, keyin t t Asl tenglama

Chunki to'g'ri javob Tizim ikki yoki undan ortiq shartlarning bajarilishini talab qiladi va biz bir vaqtning o'zida barcha shartlarni qondiradigan noma'lum miqdor qiymatlarini qidiramiz. Keling, har bir tengsizlikning echimini tasvirlaylik.

8-bob Funksiyalar va grafiklar O'zgaruvchilar va ular orasidagi bog'liqliklar. Ikki miqdor va agar ularning nisbati o'zgarmas bo'lsa, to'g'ridan-to'g'ri proportsional deyiladi, ya'ni = bo'lsa, bu erda o'zgarish bilan o'zgarmaydigan doimiy son.

36-mavzu “Funksiyalarning xossalari” Ixtiyoriy funksiya y = f (x) grafigiga misol yordamida funksiya xossalarini tahlil qilaylik: 1. Funksiya sohasi o‘zgaruvchining barcha qiymatlari to‘plamidir. tegishli bo'lgan x

Umumiy ma'lumot Parametrli topshiriqlar C 5 1 Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik Dixtyar M.B. 1. X sonining mutlaq qiymati yoki moduli x sonining o'zi, agar x 0 bo'lsa; x raqami,

Irratsional tengsizliklar O'zgaruvchining ildiz belgisi ostida joylashgan tengsizliklar irratsional deb ataladi.

Matematika va informatika kafedrasi “Oliy matematika fani elementlari” O‘quv-uslubiy majmua Masofaviy texnologiyalardan foydalangan holda tahsil olayotgan o‘rta maxsus ta’lim talabalari uchun Modul Differentsial hisob Tuzuvchi:

Turli masalalarda kvadrat funktsiya Dixtyar MB Asosiy ma'lumotlar Kvadrat funksiya (kvadrat uch a'zo) u ax bx c ko'rinishdagi funktsiya bo'lib, bu erda abc, berilgan sonlar va Kvadrat funksiyalar u.

“Tangens tenglamasi” mavzusidagi topshiriqlar tizimi y f () funksiya grafigiga chizilgan tangens qiyaligining belgisini a, b, c abscissali nuqtalarda aniqlang a) b) hosila qaysi nuqtalarda joylashganligini ko’rsating.

MODULLAR BILAN TENGLAMALAR VA TENGSIZLIKLAR Gushchin D. D. www.mathnet.spb.ru 1 0. Eng oddiy tenglamalar. Biz eng oddiy (sodda emas) tenglamalarga murojaat qilamiz, ular quyidagi usullardan biri bilan yechilgan.

MODUL “Uzluksizlik va hosilaviylikni qo‘llash. Hosilni funksiyalarni o‘rganishda qo‘llash”. Uzluksizlikni qo'llash .. Intervallar usuli .. Grafikga teginish. Lagrange formulasi. 4. Hosilning qo‘llanilishi

R E W E N I E Z A D A CH R E A L N O G O V A R I A N T A E G E - 2001 P O M A T E M A T I K E 1-qism A1. Ifodaning ma'nosini toping. 1. 15 2. 10 3. 5 4. Yechish. Javob: 1. A2. Ifodani soddalashtiring. 1.

Sinf o'quvchilarining matematik madaniyatining kompetentsiya komponentini shakllantirish metodikasi Matematika bo'yicha o'quv modullarini o'rganish tizimi I. K. Sirotina, Axborot texnologiyalari kafedrasi katta o'qituvchisi.

Algebra 0 sinf Mavzu Trigonometrik funksiyalar va o'zgartirishlar Tayanch tushunchalar Z harfi butun sonlar to'plamini bildiradi: Z (0;;;;) a sonining [- intervaliga tegishli yoyi; ] deyiladi

111 Funktsiyalar Asosiy daraja Mundarija 11101 Koordinata tizimlari 1110 Funksiya tushunchasi 7 1110 Funksiya sohasi 10 11104 Funksiya qiymatlari sohasi (to'plami) 1 11105 O'sish va kamaytirish funktsiyalari

Bob TEST TOPSHIRIQLARI T-0 Grafik bo'yicha funktsiyani tadqiq qilish T-0 Ratsional funktsiya grafigi va T-0 formula o'rtasidagi muvofiqlik T-04 xossalariga ko'ra grafikni qurish T- grafigini parallel uzatish. 05 Simmetrik

Matematikadan yagona davlat imtihoni, 7 yillik demo versiyasi A qism 6p p ifoda qiymatini p da toping = Yechish Darajaning xususiyatidan foydalaning: Hosil boʻlgan ifodani oʻrniga qoʻying Toʻgʻri

8-dars Asosiy trigonometrik formulalar (davomi) Trigonometrik funksiyalar Trigonometrik funksiyalar ko’paytmasini yig’indiga aylantirish Sinus va kosinus ko’paytmasini aylantirish formulalari

FUNKSIYALAR. Funktsiya tushunchasi. Aytaylik, odamning tezligi soatiga 5 km. Agar sayohat vaqtini x soat, bosib o‘tgan yo‘lni y km deb olsak, bosib o‘tgan masofaning sayohat vaqtiga bog‘liqligi quyidagicha bo‘lishi mumkin.

Umumiy ma’lumot Yagona davlat imtihoni Profil darajasi 0-topshiriq Parametrli masalalar Kvadrat tenglamalar va kvadrat uch hadli Dixtyar MB tenglamalar f (a) x + g (a) x + s (a) = 0,

2017 yil imtihonidan 18-topshiriq atrofida A.V. Shevkin, [elektron pochta himoyalangan] Annotatsiya: Maqolada parametr bilan bir qator vazifalarni hal qilishning turli usullari muhokama qilinadi. Kalit so‘zlar: tenglama, tengsizlik, parametr, funksiya,

Ikkinchi tartibli egri chiziqlar Doira ellips giperbola Parabola Tekislikda to'rtburchak dekart koordinatalar tizimi berilgan bo'lsin. Ikkinchi tartibli egri chiziq koordinatalarini qanoatlantiradigan nuqtalar to'plamidir

Muammolarni hal qilishda turli yondashuvlar S S S5 FOYDALANISH 9 yillik FOYDALANIShga tayyorgarlik (o‘qituvchilar uchun ma’ruza uchun material) Prokofyev A.A. [elektron pochta himoyalangan] Masalalar C Misol (FOYDALANISH C) y si (si) tenglamalar tizimini yeching (7 y)

1-bilet 9 10. Yechimlar 9-bilet 1. f (x) chiziqli funksiya berilgan. Ma'lumki, y = x va y = f (x) grafiklarning kesishish nuqtalari orasidagi masofa 10 ga, grafiklarning kesishish nuqtalari orasidagi masofa esa y = ga teng.

Matematika va informatika kafedrasi Matematik tahlil Masofaviy texnologiyalardan foydalangan holda tahsil olayotgan HPE talabalari uchun o‘quv-uslubiy majmua 4-modul Hosiliy ilovalar Tuzuvchi: dotsent

Samolyotda 5-ma'ruza. Ta'rif. Tekislikdagi har qanday to'g'ri chiziq birinchi tartibli tenglama bilan aniqlanishi mumkin va A, B konstantalari bir vaqtning o'zida nolga teng emas. Bu birinchi tartibli tenglama umumiy deyiladi

8-sinf Qarorlari 017-018 1-topshiriq (x x 7) (x x) tenglamaning ildizlari kublari yig’indisini toping 0. Tenglamani yechish uchun o’zgaruvchini o’zgartirish usulidan foydalanamiz. Biz y = x + x 7 ni, keyin x + x = (x

HOZILMA FUNKSIYANI QO'LLANISH Tangens tenglamasi Quyidagi masalani ko'rib chiqamiz: hosila geometrik ma'nosiga ko'ra, funktsiya grafigiga nuqtada chizilgan l tangensi tenglamasini tuzish talab qilinadi.

FUNKSIYALARNI O‘RGANISH Funksiyaning ortishi va kamayishi uchun yetarli shartlar: Differensiallanuvchi funksiyaning hosilasi ma’lum X oralig‘ida musbat bo‘lsa, u holda bu oraliqda ortadi.

Webinar 7 (6-7) Mavzu: Imtihon parametrlari Profil 8-topshiriq Barcha parametr qiymatlarini toping, ularning har biri uchun 5 5 5 funksiya qiymatlari to'plami segmentni o'z ichiga oladi Parametrning barcha qiymatlarini toping , har biriga

5.0. 014. Salqin ish. Parametrli tenglamalar va tenglamalar sistemalari. Universitetga kirish imtihonlari tajribasi shuni ko'rsatadiki, parametrlarni o'z ichiga olgan tenglamalar va tengsizliklarni yechish juda qiyin.

L.A. Strauss, I.V. Barinova USEda parametr bilan bog'liq muammolar Uslubiy tavsiyalar y = -x 0 -a- -a x -5 Ulyanovsk 05 Strauss L.A. Imtihondagi parametrli vazifalar [Matn]: ko'rsatmalar / L.A. Strauss, I.V.

13-ma'ruza Mavzu: Ikkinchi tartibli egri chiziqlar Tekislikdagi ikkinchi tartibli egri chiziqlar: ellips, giperbola, parabola. Geometrik xossalari asosida ikkinchi tartibli egri chiziqlar uchun tenglamalar chiqarish. Ellips shaklini tekshirish,

Matematika 8-sinf 2 DASTUR MAZMUNI 1-bo'lim. Algebraik kasrlar (24 soat) Algebraik kasr haqida tushuncha. Algebraik kasrning asosiy xossasi. Algebraik kasrlarni qisqartirish. Qo‘shish va ayirish

10-mavzu “Elementar funksiyalar grafiklari”. 1. Chiziqli funksiya f (x) = kx + b. Grafik to'g'ri chiziqdir. 1) Ta'rif sohasi D (f) = R.) E (f) = R qiymatlar diapazoni. 3) x = k / b da y = 0 funktsiyaning nollari. 4) ekstremal

P0 Hosila Argumentga qarab ba'zi f () funksiyasini ko'rib chiqaylik. Bu funktsiya 0 nuqtada va uning qo'shnisining bir qismida aniqlansin, shu nuqtada va uning qo'shnilarida uzluksiz bo'lsin.

Parametrlar bilan bog'liq masalalar (10 11 sinf) Parametrlar bir xil raqamlar, faqat oldindan ma'lum emas 1 Chiziqli tenglamalar va parametrli tengsizliklar Chiziqli funktsiya: - qiya chiziqli to'g'ri chiziq tenglamasi.

Variant Funksiyaning aniqlanish sohasini toping: y + Berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi tengsizlik bilan aniqlanadi Bundan tashqari, maxraj yo‘qolib ketmasligi kerak.Maxrajning ildizlarini toping: Natijalarni birlashtirish.

15-BILET Phystech 017. Chiptalar 15 16. Yechim 1. Ma’lumki, argumentning ketma-ket uchta natural qiymatlari uchun f (x) kvadrat funksiyasi mos ravishda 1, 1 va 5 qiymatlarni oladi. Eng kichigini toping

Funksiyalarning grafigini tuzish 1. Grafikni qurishda funktsiyani o'rganish rejasi 1. Funktsiya sohasini toping. Ko'pincha funktsiyaning bir nechta qiymatlarini hisobga olish foydalidir. Funktsiyaning maxsus xususiyatlarini o'rganing:

Hosilning geometrik ma'nosi y = f (x) funktsiyaning grafigini va P 0 (x 0; f (x 0)) nuqtadagi teginish chizig'ini ko'rib chiqing. Ushbu nuqtadagi grafaga teginish qiyaligini toping. Tangensning qiyalik burchagi P 0

Hosilaning geometrik ma'nosi, tangens 1. Rasmda y = f (x) funksiyaning grafigi va abtsissa x 0 bo'lgan nuqtada unga tegish ko'rsatilgan. f (x) funksiyaning hosilasi qiymatini toping. ) nuqtada x 0. Qiymat

Rossiya Federatsiyasi Ta'lim va fan vazirligi Moskva fizika-texnika instituti (Davlat universiteti) sirtqi Fizika-texnika maktabi MATEMATIKA Parametrli masalalarni yechish (01 015)

Kvadrat tenglamalar Mundarija Kvadrat tenglamalar ... 4. va kvadrat tenglamalarni tekshirish ... 4 .. Sonli koeffitsientli kvadrat tenglama ... 4 .. Kvadrat tenglamalarni yechish va tekshirish.

Tenglamalar, tengsizliklar, parametrli tizimlar Vazifalarga javoblar so'z, ibora, son yoki so'zlar ketma-ketligi, raqamlardir. Javobingizni bo'sh joy, vergul yoki boshqa qo'shimcha belgilarsiz yozing.

Parametrlar bilan bog'liq bo'lim muammolari Sharh Parametrlar bilan bog'liq muammolar an'anaviy ravishda imtihon tuzilishidagi qiyin vazifalar bo'lib, abituriyentdan nafaqat turli xil muammolarni hal qilishning barcha usullari va usullarini o'zlashtirishni talab qiladi.

Matematika. Vazifalar to'plami (14 aprel 01). Parametrli vazifalar -. Masala 1. a parametrining qaysi qiymatlari uchun 4 + 1 = + a ax x x x a Masala tenglamasining yagona yechimi mavjud. Hammasini to'g'ri deb toping

IV Yakovlev Matematika bo'yicha materiallar MathUs.ru Intervallar usuli Intervallar usuli ratsional tengsizliklar deb ataladigan narsalarni yechish usulidir. Ratsional tengsizlikning umumiy tushunchasini keyinroq muhokama qilamiz, lekin hozir

Differentsial hisob Hisoblash ketma-ketlik chegarasi va funktsiyalariga kirish. Ichidagi noaniqliklarni oshkor qilish. Funktsiyaning hosilasi. Farqlash qoidalari. Hosila qo'llanilishi

I qism (609-variant) A Ildiz belgisi ostidagi omilni kiriting 8 q A) q 8) q 8) q 8) q 8 8 8 qq To‘g‘ri javob) Ifodaning qiymatini toping), 5) To‘g‘ri javob) 9 uchun a = aa)) 8 A log 8 Qiymatni toping

Yechimlar A Bu raqamlarning barchasini son o‘qida ifodalaylik. Ularning chap tomonida joylashgan va eng kichigi bo‘lgan raqam bu 4-raqam Javob: 5 A Tengsizlikni tahlil qilamiz.

6..N. Hosil 6..N. Hosil. Mundarija 6..0.N. Hosila Kirish .... 6..0.N. Kompleks funktsiyaning hosilasi .... 5 6..0.N. Modulli funksiyalardan olingan .... 7 6..0.N. Ko'tarilish va pasayish

Agar tizim

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2,

a m1 x 1 + a m1 x 2 + ... + a mn x n = b m. (5.1)

qo'shma bo'lib chiqdi, ya'ni A sistemaning matritsalari va kengaytirilgan tizim matritsalari (erkin shartlar ustuni bilan) A | b bir xil darajaga ega, keyin ikkita imkoniyat paydo bo'lishi mumkin - a) r = n; b) r< n:

a) agar r = n bo'lsa, bizda n ta noma'lumli n ta mustaqil tenglama mavjud va bu tizimning D determinanti nolga teng emas. Bunday tizim tomonidan olingan yagona yechim mavjud;

b) agar r< n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Odatda erkin deb ataladigan qo'shimcha x r + 1, x r + 2, ..., x n noma'lumlarni o'ng tomonlarga o'tkazing; Bizning chiziqli tenglamalar tizimimiz quyidagi shaklni oladi:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1r x r = b 1 - a 1, r + 1 x r + 1 -... - a 1n x n,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2r x r = b 2 - a 2, r + 1 x r + 1 -... - a 2n x n,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

a r1 x 1 + a r2 x 2 + ... + a rr x r = b r - a r, r + 1 x r + 1 -... - a rn x n.

Uni x 1, x 2, ..., x r uchun yechish mumkin, chunki bu sistemaning (r-tartibdagi) determinanti nolga teng emas. Erkin noma'lumlarga o'zboshimchalik bilan raqamli qiymatlarni belgilash orqali biz Kramer formulalaridan foydalanib, x 1, x 2, ..., x r uchun mos keladigan raqamli qiymatlarni olamiz. Shunday qilib, r uchun< n имеем бесчисленное множество решений.

Tizim (5.1) chaqiriladi bir hil agar barcha b i = 0 bo'lsa, u quyidagi ko'rinishga ega:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n xn = 0, a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n xn = 0, (5.5) ... .... .. ... ... ... a m1 x 1 + a m1 x 2 + ... + a mn xn = 0.

Kroneker-Kapelli teoremasidan kelib chiqadiki, u har doim izchil bo'ladi, chunki nol ustunini qo'shish matritsaning darajasini oshira olmaydi. Biroq, buni to'g'ridan-to'g'ri ko'rish mumkin - sistema (5.5) albatta nolga yoki ahamiyatsiz yechimga ega x 1 = x 2 = ... = x n = 0. (5.5) tizimning A matritsasi r darajali bo'lsin. Agar r = n bo'lsa, u holda nol yechim (5.5) sistemaning yagona yechimi bo'ladi; da r< n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений. Всякий ненулевой вектор - столбец X= (x 1 , x 2 ,..., x n) T называется Chiziqli transformatsiyaning xos vektori (kvadrat matritsa A ), tenglikka teng bo'ladigan l soni bo'lsa

l raqami chaqiriladi Chiziqli transformatsiyaning o'ziga xos qiymati (matritsalar A ), X vektorga mos keladi. A matritsa n tartibli. Matematik iqtisodda, deb atalmish mahsuldor matritsalar... A matritsaning barcha xos qiymatlari mutlaq qiymatda bittadan kichik bo'lgandagina va faqat A matritsasi unumli ekanligi isbotlangan. A matritsasining o'ziga xos qiymatlarini topish uchun biz AX = lX tengligini (A - lE) X = 0 ko'rinishida qayta yozamiz, bu erda E - n-tartib birlik matritsasi yoki koordinata ko'rinishida:

(a 11 -l) x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = 0,

a 21 x 1 + (a 22 -l) x 2 + ... + a 2n x n = 0, (5.6)

... ... ... ... ... ... ... ... ... a n1 x 1 + a n2 x 2 + ... + (a nn -l) xn = 0 ...

Biz chiziqli bir hil tenglamalar tizimini oldik, agar bu tizimning determinanti nolga teng bo'lsa va faqat nolga teng bo'lmagan echimlarga ega bo'lgan, ya'ni.

deb ataladigan noma'lum l ga nisbatan n-darajali tenglamani oldik matritsaning xarakteristik tenglamasi A, ko'phad deyiladi matritsaning xarakterli polinomi A va uning ildizlari matritsaning xarakterli raqamlari yoki xos qiymatlari A. A xosmatritsalarini vektor tenglamasiga (A - lE) X = 0 yoki mos keladigan bir jinsli tenglamalar tizimiga (5.6) topish uchun l ning topilgan qiymatlari almashtirilishi va odatdagi usulda echilishi kerak. 2.16-misol... Tenglamalar tizimini tadqiq qiling va agar mos kelsa, uni yeching.

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 = 1, 3x 1 - x 2 + x 3 + 4x 4 + 3x 5 = 4, x 1 + 5x 2 - 9x 3 - 8x 4 + x 5 = 0 ...

Yechim. A va A | b matritsalarining darajalarini elementar o'zgartirishlar usuli bilan topamiz, bir vaqtning o'zida tizimni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:

Shubhasiz, r (A) = r ( A | b) = 2. Dastlabki tizim quyidagiga ekvivalent bo'lib, bosqichma-bosqich shaklga keltiriladi:

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 = 1, - 4x 2 + 7x 3 + 7x 4 = 1.

Noma'lumlar uchun determinant bo'lgani uchun x 1 va x 2 nolga teng bo'lsa, ular asosiy sifatida qabul qilinishi va tizimni quyidagicha qayta yozish mumkin:

x 1 + x 2 = 2x 3 + x 4 - x 5 + 1, - 4x 2 = - 7x 3 - 7x 4 + 1,

X 2 = 7/4 x 3 + 7/4 x 4 -1/4, x 1 = 1/4 x 3 -3/4 x 4 - x 5 + 5/4 - bu tizimning umumiy yechimi cheksiz ko'p echimlar ... Noma'lumlarga bepul berish x 3, x 4, x 5 maxsus raqamli qiymatlar, biz maxsus echimlarni olamiz. Masalan, x 3 = x 4 = x 5 = 0 x 1 = 5/4, x 2 = - 1/4 uchun. Vektor C (5/4, - 1/4, 0, 0, 0) bu tizimning alohida yechimidir. 2.17-misol. Tenglamalar sistemasini tekshirib, parametr qiymatiga qarab umumiy yechim toping a.

2x 1 - x 2 + x 3 + x 4 = 1, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2, x 1 + 7x 2 - 4x 3 + 11x 4 = a.

Yechim. Ushbu tizim matritsaga mos keladi ... Bizda A ~ bor

shuning uchun asl tizim quyidagiga ekvivalentdir:

x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2,

5x 2 - 3x 3 + 7x 4 = a-2,

Bu tizim faqat a = 5 uchun mos ekanligini ko'rsatadi. Bu holatda umumiy yechim:

x 2 = 3/5 + 3 / 5x 3 - 7 / 5x 4, x 1 = 4/5 - 1 / 5x 3 - 6 / 5x 4.

Misol 2.18. Vektor sistemaning chiziqli bog'liqligini aniqlang:

a 1 =(1, 1, 4, 2),

a 2 = (1, -1, -2, 4),

a 3 = (0, 2, 6, -2),

a 4 =(-3, -1, 3, 4),

a 5 =(-1, 0, - 4, -7),

Yechim. Agar shunday raqamlar mavjud bo'lsa, vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, ulardan kamida bittasi nolga teng
(1. I bandga qarang) vektor tengligi amal qiladi:

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 + x 5 a 5 = 0.

Koordinata yozuvida u tenglamalar tizimiga ekvivalentdir:

x 1 + x 2 - 3x 4 - x 5 = 0, x 1 - x 2 + 2x 3 - x 4 = 0, 4x 1 - 2x 2 + 6x 3 + 3x 4 - 4x 5 = 0, 2x 1 + 4x 2 - 2x 3 + 4x 4 - 7x 5 = 0.

Shunday qilib, biz chiziqli bir hil tenglamalar tizimini oldik. Biz buni noma'lumlarni yo'q qilish orqali hal qilamiz:

Tizim 3 ga teng bosqichli shaklga keltiriladi, ya'ni bir hil tenglamalar tizimi noldan (r) boshqa echimlarga ega.< n). Определитель при неизвестных x 1, x 2, x 4 nolga teng emas, shuning uchun ular asosiy sifatida tanlanishi va tizimni quyidagicha qayta yozish mumkin:

x 1 + x 2 - 3x 4 = x 5, -2x 2 + 2x 4 = -2x 3 - x 5, - 3x 4 = - x 5.

Bizda: x 4 = 1/3 x 5, x 2 = 5 / 6x 5 + x 3, x 1 = 7/6 x 5 -x 3. Tizimda son-sanoqsiz echimlar mavjud; bepul noma'lum bo'lsa x 3 va x 5 bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmasa, asosiy noma'lumlar ham nolga teng bo'lmaydi. Shuning uchun vektor tenglama

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 + x 5 a 5 = 0