Funktsiyalarni o'rganish va ularning grafiklarini qurishda mos yozuvlar nuqtalari xarakterli nuqtalar - uzilish, ekstremum, burilish, koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari. O'rnatish uchun differentsial hisobdan foydalanish mumkin xususiyatlari funksiyalarning o'zgarishi: ortib boruvchi va kamayuvchi, maksimal va minimal, grafikning qavariq va botiqlik yo'nalishi, asimptotalarning mavjudligi.

Funksiya grafigining eskizini asimptota va ekstremum nuqtalar topilgandan so‘ng chizish mumkin (va kerak) va o‘rganish davomida funksiyani o‘rganish uchun pivot jadvalini to‘ldirish qulay.

Odatda, quyidagi funktsiyalarni o'rganish sxemasidan foydalaniladi.

1.Funksiyaning aniqlanish sohasi, uzluksizlik intervallari va uzilish nuqtalarini toping.

2.Funksiyani tenglik yoki toqlik (grafaning eksenel yoki markaziy simmetriyasi) uchun o‘rganing.

3.Asimptotlarni toping (vertikal, gorizontal yoki qiya).

4.Funksiyaning ortish va kamayish oraliqlarini, ekstremum nuqtalarini toping va tekshiring.

5.Egri chiziqning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini, uning egilish nuqtalarini toping.

6.Egri chiziqning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini toping, agar ular mavjud bo'lsa.

7.Tadqiqotning umumiy jadvalini tayyorlang.

8.Yuqoridagi nuqtalar bo'yicha bajarilgan funktsiyani o'rganishni hisobga olgan holda grafik tuzing.

Misol. Funktsiyani o'rganish

va uning grafigini tuzing.

7. Funksiyani o'rganishning yig'ma jadvalini tuzamiz, bu erda barcha xarakterli nuqtalarni va ular orasidagi intervallarni kiritamiz. Funktsiyaning paritetini hisobga olib, biz quyidagi jadvalni olamiz:

				Jadvalning xususiyatlari
[-1, 0[			Ortib bormoqda	Qavariq
				(0; 1) - maksimal nuqta
]0, 1[			Kamayadi	Qavariq
				Burilish nuqtasi, o'qi bilan shakllar ho'kiz to'g'ri burchak

To'liq tadqiqot qiling va funktsiyani chizing

y (x) = x2 + 81 - x.y (x) = x2 + 81 - x.

1) Funktsiyani aniqlash maydoni. Funktsiya kasr bo'lgani uchun siz maxrajning nollarini topishingiz kerak.

1 - x = 0, ⇒x = 1,1 - x = 0, ⇒x = 1.

Funktsiya sohasidan x = 1x = 1 yagona nuqtani chiqarib tashlaymiz va quyidagilarni olamiz:

D (y) = (- ∞; 1) ∪ (1; + ∞).D (y) = (- ∞; 1) ∪ (1; + ∞).

2) Keling, uzilish nuqtasi yaqinida funksiyaning harakatini tekshiramiz. Keling, bir tomonlama chegaralarni topaylik:

Chegaralar cheksizlikka teng bo'lgani uchun x = 1x = 1 nuqta ikkinchi turdagi uzilishdir, x = 1x = 1 to'g'ri chiziq vertikal asimptotadir.

3) Funksiya grafigining koordinata o’qlari bilan kesishish nuqtalarini aniqlaymiz.

Ordinata o'qi OyOy bilan kesishish nuqtalarini toping, ular uchun x = 0x = 0 ni tenglashtiramiz:

Shunday qilib, OyOy o'qi bilan kesishish nuqtasi (0; 8) (0; 8) koordinatalariga ega.

OxOx ​​abscissa o'qi bilan kesishish nuqtalarini toping, ular uchun y = 0y = 0 qo'yamiz:

Tenglamaning ildizlari yo'q, shuning uchun OxOx o'qi bilan kesishish nuqtalari yo'q.

Har qanday xx uchun x2 + 8> 0x2 + 8> 0 ekanligini unutmang. Shuning uchun x∈ (−∞; 1) x∈ (−∞; 1) funksiya uchun y> 0y> 0 (musbat qiymatlarni oladi, grafik abscissadan yuqori), x∈ (1; + ∞) uchun x∈ (1; + ∞) funksiya y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funktsiya juft ham, toq ham emas, chunki:

5) Keling, funktsiyani davriylik uchun ko'rib chiqaylik. Funktsiya davriy emas, chunki u kasrli ratsional funktsiyadir.

6) Keling, funktsiyani ekstremal va monotonlik uchun ko'rib chiqaylik. Buning uchun funktsiyaning birinchi hosilasini topamiz:

Birinchi hosilani nolga tenglashtiramiz va statsionar nuqtalarni topamiz (bunda y ′ = 0y ′ = 0):

Biz uchta muhim nuqtani oldik: x = -2, x = 1, x = 4x = -2, x = 1, x = 4. Funksiyaning butun sohasini berilgan nuqtalar bilan oraliqlarga ajratamiz va har bir oraliqda hosilaning belgilarini aniqlaymiz:

x∈ (−∞; −2), (4; + ∞) x∈ (−∞; −2), (4; + ∞) uchun y ′ hosilasi<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈ (−2; 1), (1; 4) x∈ (−2; 1), (1; 4) y> 0y> 0 hosilasi uchun funktsiya bu intervallarda ortadi.

Bunda x = −2x = −2 mahalliy minimal nuqta (funksiya kamayadi va keyin ortadi), x = 4x = 4 mahalliy maksimal nuqta (funktsiya ortadi, keyin esa kamayadi).

Funktsiyaning ushbu nuqtalardagi qiymatlarini topamiz:

Shunday qilib, minimal nuqta (−2; 4) (- 2; 4), maksimal nuqta (4; −8) (4; −8).

7) Keling, funktsiyani burilish va qavariq uchun ko'rib chiqaylik. Funktsiyaning ikkinchi hosilasini topamiz:

Ikkinchi hosilani nolga tenglashtiramiz:

Olingan tenglamaning ildizlari yo'q, shuning uchun burilish nuqtalari yo'q. Bundan tashqari, x∈ (−∞; 1) x∈ (−∞; 1) y ′ ′> 0y ″> 0 bajarilganda, ya’ni x∈ (1; + ∞) x∈ (1); + ∞) y ′ ′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Funktsiyaning cheksizlikda, ya'ni da harakatini tekshiramiz.

Chegaralar cheksiz bo'lgani uchun gorizontal asimptotlar yo'q.

y = kx + by = kx + b ko'rinishdagi qiya asimptotalarni aniqlashga harakat qilaylik. Biz k, bk, b qiymatlarini taniqli formulalar bo'yicha hisoblaymiz:

Biz funksiyaning bitta qiya asimptotaga ega ekanligini tushundik y = −x − 1y = −x − 1.

9) Qo'shimcha nuqtalar. Grafikni aniqroq qurish uchun funktsiyaning boshqa nuqtalarda qiymatini hisoblab chiqamiz.

y (−5) = 5,5, y (2) = - 12, y (7) = - 9,5.y (−5) = 5,5, y (2) = - 12, y (7) = - 9,5.

10) Olingan ma'lumotlarga asoslanib, biz grafik tuzamiz, uni x = 1x = 1 (ko'k), y = −x - 1y = −x - 1 (yashil) asimptotalari bilan to'ldiramiz va xarakterli nuqtalarni (ordinata bilan binafsha kesishuv) belgilaymiz. eksa, to'q sariq ekstremal, qora qo'shimcha nuqtalar):

4-topshiriq: Geometrik, Iqtisodiy masalalar (qaysi biri ekanligini bilmayman, bu erda yechim va formulalari bo'lgan masalalarning taxminiy tanlovi)

3.23-misol. a

Yechim. x va y y
y = a - 2 × a / 4 = a / 2. X = a / 4 yagona kritik nuqta bo'lganligi sababli, ushbu nuqtadan o'tganda hosilaning belgisi o'zgaradimi yoki yo'qligini tekshiramiz. Xa / 4 S uchun "> 0 va x> a / 4 S" uchun< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

3.24-misol.

Yechim.
R = 2, H = 16/4 = 4.

3.22-misol. f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 funksiyaning ekstremal qismini toping.

Yechim. f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x -2) (x - 3) bo'lgani uchun, u holda funksiyaning kritik nuqtalari x 1 = 2 va x 2 = 3. Ekstrema faqat shu nuqtalarda bo'lishi mumkin. X 1 = 2 nuqtadan o'tganda hosila o'zining plyus belgisini minusga o'zgartirganidek, bu nuqtada funktsiya maksimalga ega bo'ladi x 2 = 3 nuqtadan o'tganda hosila minusdan plyusga ishorani o'zgartiradi. x 2 = 3 nuqtada funktsiya minimumga ega. Funktsiya qiymatlarini nuqtalarda hisoblash
x 1 = 2 va x 2 = 3, biz funktsiyaning ekstremalini topamiz: maksimal f (2) = 14 va minimal f (3) = 13.

3.23-misol. Tosh devor yaqinida to'rtburchaklar maydonni qurish kerak, shunda u uch tomondan simli to'r bilan o'ralgan, to'rtinchi tomondan esa devorga ulashgan. Buning uchun bor a ishlaydigan metr to'r. Qaysi nisbatda sayt eng katta maydonga ega bo'ladi?

Yechim. Biz saytning tomonlarini bilan belgilaymiz x va y... Saytning maydoni S = xy. Mayli y devorga ulashgan tomonning uzunligi. Keyin, shartga ko'ra, 2x + y = a tengligi bajarilishi kerak. Shuning uchun, y = a - 2x va S = x (a - 2x), bu erda
0 ≤ x ≤ a / 2 (saytning uzunligi va kengligi salbiy bo'lishi mumkin emas). S "= a - 4x, a - 4x = 0 uchun x = a / 4, qaerdan
y = a - 2 × a / 4 = a / 2. X = a / 4 yagona kritik nuqta bo'lganligi sababli, ushbu nuqtadan o'tganda hosilaning belgisi o'zgaradimi yoki yo'qligini tekshiramiz. Xa / 4 S uchun "> 0 va x> a / 4 S" uchun< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

3.24-misol. V = 16p ≈ 50 m 3 hajmli yopiq silindrsimon tankni ishlab chiqarish talab qilinadi. Tankning o'lchamlari (radiusi R va balandligi H) qanday bo'lishi kerak, shuning uchun uni ishlab chiqarish uchun eng kam material sarflanadi?

Yechim. Tsilindrning umumiy sirt maydoni S = 2pR (R + H). Tsilindrning hajmini bilamiz V = pR 2 H Þ H = V / pR 2 = 16p / pR 2 = 16 / R 2. Demak, S (R) = 2p (R 2 + 16 / R). Bu funksiyaning hosilasini toping:
S "(R) = 2p (2R- 16 / R 2) = 4p (R- 8 / R 2). R 3 = 8 bo'lganda S" (R) = 0, shuning uchun,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Shunga o'xshash ma'lumotlar.

Funktsiyani to'liq o'rganish va uning grafigini tuzish uchun quyidagi sxemadan foydalanish tavsiya etiladi:

1) funksiya sohasini toping;

2) funksiya va vertikal asimptotalarning uzilish nuqtalarini toping (agar ular mavjud bo'lsa);

3) funksiyaning cheksizlikdagi harakatini tekshirish, gorizontal va qiya asimptotalarni topish;

4) funksiyani juftlik (toqlik) va davriylik (trigonometrik funksiyalar uchun) uchun tekshirish;

5) funksiyaning monotonligining ekstremal va intervallarini toping;

6) qavariqlik oraliqlarini va burilish nuqtalarini aniqlash;

7) iloji bo'lsa, koordinata o'qlari bilan kesishgan nuqtalarni va grafikni aniqlaydigan ba'zi qo'shimcha nuqtalarni toping.

Funktsiyani o'rganish uning grafigini qurish bilan bir vaqtda amalga oshiriladi.

9-misol Funktsiyani o'rganing va grafikni chizing.

1. Ta'rif doirasi:;

2. Funksiya nuqtalarda buziladi
,
;

Vertikal asimptotalarning mavjudligi uchun funktsiyani ko'rib chiqamiz.

;
,
─ vertikal asimptota.

;
,
─ vertikal asimptota.

3. Qiyma va gorizontal asimptotalarning mavjudligi funksiyasini tekshiramiz.

Streyt
─ qiya asimptota agar
,
.

,
.

Streyt
─ gorizontal asimptota.

4. Funksiya juft, chunki
... Funksiyaning pariteti ordinata o'qiga nisbatan grafikning simmetriyasini ko'rsatadi.

5. Funksiyaning monotonlik va ekstremallik oraliqlarini toping.

Kritik nuqtalarni topamiz, ya'ni. hosila 0 bo'lgan yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar:
;
... Bizda uch ochko bor
;

... Ushbu nuqtalar butun o'qni to'rtta bo'shliqqa ajratadi. Keling, belgilarni aniqlaylik ularning har birida.

(-∞; -1) va (-1; 0) oraliqlarda funksiya ortib boradi, (0; 1) va (1; + ∞) ─ oraliqlarida esa kamayadi. Bir nuqtani kesib o'tishda
hosila belgisi plyusdan minusga o'zgaradi, shuning uchun bu nuqtada funktsiya maksimalga ega
.

6. Qavariq intervallarni, burilish nuqtalarini toping.

Qaysi nuqtalarni toping 0 yoki mavjud emas.

haqiqiy ildizlarga ega emas.
,
,

Ballar
va
haqiqiy o'qni uchta intervalgacha bo'ling. Keling, belgini aniqlaylik har bir intervalda.

Shunday qilib, oraliqlarda egri
va
qavariq pastga, oraliqda (-1; 1) qavariq yuqoriga; nuqtalarda funktsiya beri hech qanday burilish nuqtalari mavjud emas
va
aniqlanmagan.

7. O’qlar bilan kesishish nuqtalarini toping.

Eksa bilan
funktsiya grafigi (0; -1) nuqtada va o'q bilan kesishadi
grafik ustma-ust tushmaydi, chunki bu funksiyaning numeratori haqiqiy ildizlarga ega emas.

Berilgan funksiyaning grafigi 1-rasmda keltirilgan.

1-rasm ─ Funksiya grafigi

Hosila tushunchasining iqtisodiyotda qo‘llanilishi. Funksiyaning elastikligi

Iqtisodiy jarayonlarni o'rganish va boshqa qo'llaniladigan muammolarni hal qilish uchun ko'pincha funktsiyaning elastikligi tushunchasi qo'llaniladi.

Ta'rif. Funksiyaning elastikligi
funktsiyaning nisbiy o'sish nisbati chegarasi deyiladi o'zgaruvchining nisbiy o'sishiga da
,. (Vii)

Funksiyaning egiluvchanligi funksiya o‘zgarishining taxminan foizini ko‘rsatadi
mustaqil o'zgaruvchini o'zgartirganda 1% ga.

Funktsiyaning elastikligi talab va iste'molni tahlil qilishda qo'llaniladi. Agar talabning egiluvchanligi (mutlaq qiymatda)
, agar talab elastik deb hisoblanadi
─ neytral, agar
─ narxga (yoki daromadga) nisbatan noelastik.

10-misol Funksiyaning elastikligini hisoblang
uchun elastiklik indeksining qiymatini toping = 3.

Yechish: funktsiyaning elastikligi formulasi (VII) bo'yicha:

Shunday qilib, x = 3 bo'lsin
Bu shuni anglatadiki, agar tushuntirish o'zgaruvchisi 1% ga oshsa, u holda bog'liq o'zgaruvchining qiymati 1,42% ga oshadi.

11-misol Talab amal qilsin narx haqida shaklga ega
, qayerda ─ doimiy koeffitsient. X = 3 den narxdagi talab funksiyasining elastiklik indeksining qiymatini toping. birliklar

Yechish: (VII) formula bo‘yicha talab funksiyasining elastikligini hisoblang.

Taxmin qilib
pul birliklari, biz olamiz
... Bu shuni anglatadiki, narxda
pul birliklari 1% narx oshishi talabning 6% pasayishiga olib keladi, ya'ni. talab elastik.

Funktsiyani to'liq o'rganish va uning grafigini tuzish uchun quyidagi sxema tavsiya etiladi:
A) aniqlash sohasini, uzilish nuqtalarini toping; uzilish nuqtalari yaqinidagi funksiyaning harakatini o‘rganing (bu nuqtalarda funksiyaning chap va o‘ngdagi chegaralarini toping). Vertikal asimptotalarni belgilang.
B) funksiyaning juft yoki toqligini aniqlang va simmetriya borligi haqida xulosa chiqaring. Agar funktsiya juft bo'lsa, OY o'qiga nisbatan simmetrik bo'lsa; funktsiya toq bo'lsa, koordinataga nisbatan simmetrik; va agar - umumiy shaklning funktsiyasi.
C) funksiyaning OY va OX koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini toping (agar iloji bo‘lsa), funksiyaning doimiy ishorasi intervallarini aniqlang. Funksiyaning doimiy ishorali intervallari chegaralari funksiya nolga teng (funksiyaning nollari) yoki mavjud bo‘lmagan nuqtalar va ushbu funksiya sohasi chegaralari bilan aniqlanadi. Funktsiya grafigi OX o'qi ustida joylashgan oraliqlarda va bu o'qning ostida joylashgan.
D) funksiyaning birinchi hosilasini toping, uning nollarini va doimiylik intervallarini aniqlang. Funktsiya ortib borayotgan va kamaygan oraliqlarda. Ekstrema (funksiya va hosila mavjud bo'lgan nuqtalar va u orqali o'tishda u ishorani o'zgartiradi. Agar u ishorani ortiqcha dan minusga o'zgartirsa, bu nuqtada funktsiya maksimalga, agar minusdan minusga o'zgaradigan bo'lsa) borligi haqida xulosa chiqaring. ortiqcha, keyin minimal). Ekstremum nuqtalarda funksiya qiymatlarini toping.
E) ikkinchi hosilani, uning nollarini va doimiylik oraliqlarini toping. Qaerda intervallarda< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) tenglamalari ko'rinishga ega bo'lgan qiya (gorizontal) asimptotalarni toping ; qayerda
.
Da funktsiya grafigi ikkita qiya asimptotaga ega bo'ladi va x ning har bir qiymati at va b ning ikkita qiymatiga mos kelishi mumkin.
G) jadvalni aniqlashtirish uchun qo'shimcha nuqtalarni toping (agar kerak bo'lsa) va grafikni tuzing.

1-misol Funktsiyani ko'rib chiqing va grafigini tuzing. Yechish: A) ta’rif doirasi; funksiya aniqlanish sohasida uzluksiz; - sinish nuqtasi, chunki ; ... Keyin vertikal asimptota.
B)
bular. y (x) umumiy funktsiyadir.
C) Grafikning OY o'qi bilan kesishish nuqtalarini toping: x = 0 ni o'rnatamiz; keyin y (0) = - 1, ya'ni. funktsiya grafigi (0; -1) nuqtada o'qni kesib o'tadi. Funktsiyaning nollari (grafaning OX o'qi bilan kesishish nuqtalari): biz y = 0 ni o'rnatamiz; keyin
.
Kvadrat tenglamaning diskriminanti noldan kichik, shuning uchun ham nollar mavjud emas. U holda doimiylik oraliqlarining chegarasi funksiya mavjud bo'lmagan x = 1 nuqtadir.
Funktsiyaning har bir oraliqdagi belgisi ma'lum qiymatlar usuli bilan aniqlanadi:

Diagrammadan ko'rinib turibdiki, intervalda funksiya grafigi OX o'qi ostida, intervalda esa OX o'qi ustida joylashgan.
D) Kritik nuqtalar mavjudligini aniqlang.
.
Kritik nuqtalar (qaerda yoki mavjud emas) tengliklardan topiladi va.

Biz olamiz: x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2. Keling, yordamchi jadval tuzamiz

1-jadval

(Birinchi qatorda bu nuqtalar OX o'qi bo'linadigan kritik nuqtalar va intervallar mavjud; ikkinchi qatorda kritik nuqtalardagi lotin qiymatlari va intervallardagi belgilar ko'rsatilgan. Belgilar usul bilan aniqlanadi. uchinchi qator y (x) funktsiyasining kritik nuqtalardagi qiymatlarini ko'rsatadi va funktsiyaning xatti-harakati ko'rsatilgan - raqamli o'qning mos keladigan oraliqlarida ortib borayotgan yoki kamaygan.
E) Funksiyaning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini toping.
; D bandidagi kabi jadval tuzing); faqat ikkinchi qatorda biz belgilarni yozamiz, uchinchisida esa qavariq turini ko'rsatamiz. Chunki ; u holda faqat bitta kritik nuqta x = 1 bo'ladi.
jadval 2

X = 1 nuqtasi burilish nuqtasidir.
E) Qiya va gorizontal asimptotalarni toping

U holda y = x qiya asimptotadir.
G) Olingan ma’lumotlardan foydalanib, funksiya grafigini tuzamiz

2-misol Funksiyani to‘liq o‘rganish va uning grafigini tuzish. Yechim.

1). Funktsiyani aniqlash maydoni.
Shubhasiz, bu funktsiya butun son chizig'ida aniqlanadi, chunki "" va "" nuqtalari bundan mustasno bu nuqtalarda maxraj nolga teng va shuning uchun funktsiya mavjud emas, to'g'ri chiziqlar esa vertikal asimptotlardir.

2). Argument cheksizlikka moyil bo'lganda funktsiyaning harakati, uzilish nuqtalarining mavjudligi va qiya asimptotalarning mavjudligini tekshirish.
Keling, avvalo cheksizlikka chapga va o'ngga yaqinlashganda funksiya qanday ishlashini tekshirib ko'raylik.

Shunday qilib, uchun, funktsiya 1 ga intiladi, ya'ni. - gorizontal asimptota.
Uzluksizlik nuqtalari yaqinida funktsiyaning harakati quyidagicha aniqlanadi:


Bular. chap tarafdagi uzilish nuqtalariga yaqinlashganda, funksiya cheksiz kamayadi, o'ngda esa cheksiz ortadi.
Egri asimptotaning mavjudligi tenglikni hisobga olgan holda aniqlanadi:

Egri asimptotlar yo'q.

3). Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari.
Bu erda ikkita holatni ko'rib chiqish kerak: Ox o'qi bilan va Oy o'qi bilan kesishish nuqtasini toping. Ox o'qi bilan kesishish belgisi funktsiyaning nol qiymati, ya'ni. tenglamani yechish kerak:

Bu tenglamaning ildizlari yo'q, shuning uchun bu funksiya grafigida Ox o'qi bilan kesishish nuqtalari mavjud emas.
Oy o'qi bilan kesishish belgisi x = 0. Bu holda,
,
bular. - funksiya grafigining Oy o'qi bilan kesishish nuqtasi.

4).Ekstremum nuqtalarni va ortish va pasayish intervallarini aniqlash.
Ushbu muammoni o'rganish uchun biz birinchi hosilani aniqlaymiz:
.
Birinchi hosilaning qiymatini nolga tenglashtiramiz.
.
Kasr, uning numeratori nolga teng bo'lsa, nolga teng, ya'ni. ...
Funksiyaning ortish va kamayish intervallarini aniqlaymiz.

Shunday qilib, funktsiya bitta ekstremum nuqtasiga ega va ikkita nuqtada mavjud emas.
Shunday qilib, funktsiya oraliqlarda ortadi va va intervallarda kamayadi.

5). Burilish nuqtalari va konveks va botiqlik joylari.
Funktsiya harakatining bu xarakteristikasi ikkinchi hosila yordamida aniqlanadi. Avval burilish nuqtalarining mavjudligini aniqlaylik. Funktsiyaning ikkinchi hosilasi

At va funksiya botiq;

uchun va funksiya qavariq.

6). Funksiya grafigini tuzish.
Nuqtalardagi topilgan qiymatlardan foydalanib, biz funktsiyaning sxematik grafigini tuzamiz:

3-misol Funktsiyani o'rganish va uning grafigini tuzing.

Yechim
Berilgan funksiya umumiy davriy bo'lmagan funksiyadir. Uning grafigi kelib chiqishi orqali o'tadi, chunki.
Berilgan funktsiya sohasi o'zgaruvchining barcha qiymatlari bo'lib, kasrning maxraji yo'qoladi va bundan tashqari.
Demak, va nuqtalar funksiyaning uzilish nuqtalari hisoblanadi.
Chunki ,

Chunki ,
, keyin nuqta ikkinchi turdagi tanaffus nuqtasidir.
To'g'ri chiziqlar va funksiya grafigining vertikal asimptotalari.
Egri asimptotalar tenglamalari, bu erda, .
Da ,
.
Shunday qilib, for va funksiya grafigi bitta asimptotaga ega.
Funksiyaning ortish va kamayish intervallari va ekstremum nuqtalari topilsin.
.
Funktsiyaning birinchi hosilasi at va demak, at va funksiyasi ortadi.
Qachon, demak, qachon, funksiya kamayadi.
uchun mavjud emas,.
, shuning uchun, uchun funksiyaning grafigi botiq.
Da , shuning uchun, uchun funksiyaning grafigi qavariq.

Nuqtalardan o'tayotganda, belgisini o'zgartiradi. Agar funktsiya aniqlanmagan bo'lsa, shuning uchun funktsiya grafigida bitta burilish nuqtasi mavjud.
Keling, funktsiyani chizamiz.