Դիտարկենք հետևյալ խնդրի լուծումը. Տղայի քայլը 75 սմ է, իսկ աղջկանը՝ 60 սմ։Պետք է գտնել ամենափոքր հեռավորությունը, որով նրանք երկուսն էլ կատարում են մի ամբողջ շարք քայլեր։

Լուծում.Ամբողջ ճանապարհը, որով տղաները կգնան, պետք է առանց մնացորդի բաժանվի 60-ի և 70-ի, քանի որ նրանք պետք է կատարեն քայլերի յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ։ Այսինքն՝ պատասխանը պետք է լինի և՛ 75-ի, և՛ 60-ի բազմապատիկ:

Սկզբում մենք կգրենք բոլոր բազմապատիկները 75 թվի համար: Ստանում ենք.

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Այժմ եկեք դուրս գրենք այն թվերը, որոնք կլինեն 60-ի բազմապատիկ: Ստանում ենք.

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Այժմ մենք գտնում ենք այն թվերը, որոնք գտնվում են երկու շարքերում:

• Թվերի ընդհանուր բազմապատիկները կլինեն թվերը՝ 300, 600 և այլն։

Դրանցից ամենափոքրը 300-ն է: Այս դեպքում այն ​​կկոչվի 75-ի և 60-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ:

Վերադառնալով խնդրի վիճակին, ամենափոքր հեռավորությունը, որով տղաները կատարում են ամբողջ թվով քայլեր, կլինի 300 սմ: Տղան այս ճանապարհը կանցնի 4 քայլով, իսկ աղջկան անհրաժեշտ կլինի 5 քայլ:

Նվազագույն ընդհանուր բազմակի որոշում

• Երկուսի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը բնական թվեր a և b կոչվում է ամենափոքր բնական թիվը, որը բազմապատիկ է և՛ a-ի, և՛ b-ի:

Երկու թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար անհրաժեշտ չէ անընդմեջ գրել այս թվերի բոլոր բազմապատիկները։

Դուք կարող եք օգտագործել հետևյալ մեթոդը.

Ինչպես գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը

Նախ, դուք պետք է այս թվերը դասավորեք պարզ գործոնների մեջ:

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Այժմ դուրս գրենք բոլոր այն գործոնները, որոնք կան առաջին թվի (2,2,3,5) տարրալուծման մեջ և դրան գումարենք երկրորդ (5) թվի տարրալուծման բոլոր բացակայող գործոնները։

Արդյունքում մենք ստանում ենք մի շարք պարզ թվեր 2,2,3,5,5. Այս թվերի արտադրյալը կլինի այս թվերի համար ամենաքիչ ընդհանուր գործակիցը: 2 * 2 * 3 * 5 * 5 = 300:

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու ընդհանուր սխեման

• 1. Թվերը տարրալուծիր պարզ գործակիցների:
• 2. Գրի՛ր դրանցից մեկի մաս կազմող պարզ գործոնները:
• 3. Այս գործոններին ավելացրեք բոլոր նրանք, որոնք գտնվում են մնացածի քայքայման մեջ, բայց ոչ ընտրվածի մեջ։
• 4. Գտի՛ր դուրս գրված բոլոր գործոնների արտադրյալը:

Այս մեթոդը ունիվերսալ է: Այն կարող է օգտագործվել բնական թվերի ցանկացած թվի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար:

Նկատի առեք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու երեք եղանակ:

Գտեք ֆակտորինգով

Առաջին ճանապարհը ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելն է՝ այս թվերը պարզ գործոնների վերածելով:

Ենթադրենք, մենք պետք է գտնենք 99, 30 և 28 թվերի LCM-ը: Դա անելու համար մենք այս թվերից յուրաքանչյուրը տարրալուծում ենք պարզ գործոնների.

Որպեսզի ցանկալի թիվը բաժանվի 99-ի, 30-ի և 28-ի, անհրաժեշտ և բավարար է, որ այդ բաժանարարների բոլոր պարզ գործակիցները մտնեն դրա մեջ: Դա անելու համար մենք պետք է այս թվերի բոլոր պարզ գործակիցները հասցնենք առավելագույն հնարավոր հզորության և բազմապատկենք դրանք միասին.

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Այսպիսով, LCM (99, 30, 28) = 13 860: 13 860-ից փոքր ոչ մի այլ թիվ չի բաժանվում 99-ի, 30-ի կամ 28-ի:

Այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար անհրաժեշտ է դրանք դասավորել պարզ գործակիցների, այնուհետև յուրաքանչյուր պարզ գործոն վերցնել ամենամեծ ցուցիչով, որին համապատասխանում է, և բազմապատկել այս գործոնները միասին:

Քանի որ համատեղ պարզ թվերը չունեն ընդհանուր պարզ գործակիցներ, նրանց ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է այս թվերի արտադրյալին: Օրինակ՝ երեք թվեր՝ 20, 49 և 33, փոխադարձաբար պարզ են: Ահա թե ինչու

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340:

Նույնը պետք է անել, երբ փնտրում ենք տարբեր պարզ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Օրինակ, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231:

Ընտրությամբ գտնելը

Երկրորդ ճանապարհը հարմարեցման միջոցով գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Օրինակ 1. Երբ տրված թվերից ամենամեծը ամբողջությամբ բաժանվում է մյուս տրված թվերի վրա, այս թվերի LCM-ը հավասար է դրանցից մեծին: Օրինակ՝ տրված են չորս թվեր՝ 60, 30, 10 և 6։ Նրանցից յուրաքանչյուրը բաժանվում է 60-ի, հետևաբար.

LCM (60, 30, 10, 6) = 60

Հակառակ դեպքում, նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար օգտագործվում է հետևյալ ընթացակարգը.

1. Որոշի՛ր տրված թվերի ամենամեծ թիվը։
2. Այնուհետև մենք գտնում ենք թվեր, որոնք մեծագույն թվի բազմապատիկն են՝ այն բազմապատկելով բնական թվերով աճման կարգով և ստուգելով՝ արդյոք մնացած թվերը բաժանվում են ստացված արտադրյալի վրա։

Օրինակ 2. Տրված են 24, 3 և 18 երեք թվեր: Որոշե՛ք դրանցից ամենամեծը. սա 24 թիվն է: Հաջորդը, գտե՛ք թվեր, որոնք 24-ի բազմապատիկ են՝ ստուգելով, թե արդյոք դրանցից յուրաքանչյուրը բաժանվում է 18-ի և 3-ի.

24 1 = 24 - բաժանվում է 3-ի, բայց չի բաժանվում 18-ի:

24 2 = 48 - բաժանվում է 3-ի, բայց չի բաժանվում 18-ի:

24 3 = 72 - բաժանվում է 3-ի և 18-ի:

Այսպիսով, LCM (24, 3, 18) = 72:

Գտնել՝ հաջորդաբար գտնելով LCM-ը

Երրորդ ճանապարհը ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելն է՝ հաջորդաբար գտնելով LCM-ը:

Երկու տրված թվերի LCM-ն հավասար է այս թվերի արտադրյալին, որը բաժանվում է նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի վրա:

Օրինակ 1. Գտնենք տրված երկու թվերի LCM-ն՝ 12 և 8։ Որոշեք նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը՝ GCD (12, 8) = 4։ Բազմապատկեք այս թվերը.

Մենք աշխատանքը բաժանում ենք իրենց GCD-ի.

Այսպիսով, LCM (12, 8) = 24:

Երեք կամ ավելի թվերի LCM-ն գտնելու համար օգտագործեք հետևյալ ընթացակարգը.

1. Նախ գտե՛ք տրված թվերից ցանկացած երկուսի LCM-ը:
2. Այնուհետև, գտնված ամենափոքր ընդհանուր բազմակի և երրորդ տրված թվի LCM-ն:
3. Այնուհետև ստացված նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկի LCM-ն և չորրորդ թիվը և այլն:
4. Այսպիսով, LCM-ի որոնումները շարունակվում են այնքան ժամանակ, քանի դեռ կան թվեր։

Օրինակ 2. Գտնենք տրված երեք թվերի LCM-ն՝ 12, 8 և 9։ 12 և 8 թվերի LCM-ն, որոնք արդեն գտել ենք նախորդ օրինակում (սա 24 թիվն է)։ Մնում է գտնել 24-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը և տրված երրորդ թիվը՝ 9: Որոշեք դրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը՝ GCD (24, 9) = 3. LCM-ը բազմապատկեք 9 թվով.

Մենք աշխատանքը բաժանում ենք իրենց GCD-ի.

Այսպիսով, LCM (12, 8, 9) = 72:

Սահմանում.Ամենամեծ բնական թիվը, որով a և b թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի, կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր գործոնը (gcd)այս թվերը.

Գտե՛ք 24-ի և 35-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:
24-ի բաժանարարները կլինեն 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 թվերը, իսկ 35-ի բաժանարարները կլինեն 1, 5, 7, 35 թվերը։
Մենք տեսնում ենք, որ 24 և 35 թվերն ունեն միայն մեկ ընդհանուր բաժանարար՝ թիվ 1: Նման թվերը կոչվում են. փոխադարձաբար պարզ.

Սահմանում.Բնական թվերը կոչվում են փոխադարձաբար պարզեթե նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (GCD) 1 է:

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար (GCD)կարելի է գտնել առանց տրված թվերի բոլոր բաժանարարները դուրս գրելու։

Գործոնավորելով 48 և 36 թվերը՝ ստանում ենք.
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Այս թվերից առաջինի տարրալուծման մեջ ընդգրկված գործոններից ջնջեք նրանք, որոնք ներառված չեն երկրորդ թվի տարրալուծման մեջ (այսինքն՝ երկու երկուսը)։
Մնում են 2 * 2 * 3 գործակիցները։ Նրանց արտադրյալը 12 է։ Այս թիվը 48 և 36 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։ Գտնվում է նաև երեք և ավելի թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը։

Գտնել ամենամեծ ընդհանուր գործոնը

2) նշված թվերից մեկի տարրալուծման մեջ ներառված գործոններից ջնջել նրանք, որոնք ներառված չեն այլ թվերի տարրալուծման մեջ.
3) գտնել մնացած գործոնների արտադրյալը.

Եթե ​​այս բոլոր թվերը բաժանվում են դրանցից մեկի վրա, ապա այս թիվը ամենամեծ ընդհանուր գործոնըտրված թվեր.
Օրինակ՝ 15-ի, 45-ի, 75-ի և 180-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 15-ն է, քանի որ մնացած բոլոր թվերը բաժանվում են դրանով՝ 45, 75 և 180։

Նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ (LCM)

Սահմանում. Նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ (LCM) a և b բնական թվերը կոչվում են ամենափոքր բնական թիվը, որը և՛ a-ի, և՛ b-ի բազմապատիկն է։ 75 և 60 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) կարելի է գտնել առանց այս թվերի բազմապատիկները անընդմեջ դուրս գրելու: Դա անելու համար մենք 75-ը և 60-ը տարրալուծում ենք պարզ գործակիցների՝ 75 = 3 * 5 * 5 և 60 = 2 * 2 * 3 * 5:
Դուրս գրենք այս թվերից առաջինի տարրալուծման մեջ ընդգրկված գործոնները և դրանց ավելացնենք երկրորդ թվի տարրալուծումից բացակայող 2 և 2 գործոնները (այսինքն՝ միավորենք գործակիցները):
Ստանում ենք հինգ գործակից 2 * 2 * 3 * 5 * 5, որոնց արտադրյալը 300 է։ Այս թիվը 75-ի և 60-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է։

Գտե՛ք նաև երեք և ավելի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Դեպի գտնել նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկըմի քանի բնական թվեր, ձեզ հարկավոր է.
1) դրանք տարրալուծել հիմնական գործոնների.
2) գրել թվերից մեկի տարրալուծման մեջ ներառված գործոնները.
3) դրանց գումարել մնացած թվերի ընդլայնումներից բացակայող գործոնները.
4) գտնել ստացված գործոնների արտադրյալը.

Նկատի ունեցեք, որ եթե այս թվերից մեկը բաժանվում է մնացած բոլոր թվերի վրա, ապա այս թիվը այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է։
Օրինակ, 12-ի, 15-ի, 20-ի և 60-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 60-ն է, քանի որ այն բաժանվում է այս բոլոր թվերի վրա:

Պյութագորասը (մ.թ.ա. VI դ.) և նրա աշակերտները ուսումնասիրել են թվերի բաժանելիության հարցը։ Թիվ, որը հավասար է նրա բոլոր բաժանարարների գումարին (առանց թվի), նրանք կատարյալ թիվ են անվանել։ Օրինակ՝ 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) թվերը կատարյալ են։ Հաջորդ կատարյալ թվերն են 496, 8128, 33 550 336: Պյութագորացիները գիտեին միայն առաջին երեք կատարյալ թվերը: Չորրորդը՝ 8128 թվականը, հայտնի է դարձել 1-ին դարում։ n. Ն.Ս. Հինգերորդը՝ 33 550 336 - գտնվել է 15-րդ դարում։ 1983 թվականին արդեն հայտնի էին 27 կատարյալ թվեր։ Բայց մինչ այժմ գիտնականները չգիտեն՝ կա՞ն կենտ կատարյալ թվեր, կա՞ արդյոք ամենամեծ կատարյալ թիվը։
Հին մաթեմատիկոսների հետաքրքրությունը պարզ թվերի նկատմամբ պայմանավորված է նրանով, որ ցանկացած թիվ կամ պարզ է կամ կարող է ներկայացվել որպես պարզ թվերի արտադրյալ, այսինքն՝ պարզ թվերը նման են աղյուսների, որոնցից կառուցված են մնացած բնական թվերը։
Հավանաբար նկատել եք, որ բնական թվերի շարքում պարզ թվերն առաջանում են անհավասարաչափ՝ շարքի որոշ մասերում դրանք ավելի շատ են, որոշներում՝ ավելի քիչ: Բայց որքան առաջ ենք շարժվում թվերի շարքով, այնքան քիչ են տարածված պարզ թվերը: Հարց է առաջանում՝ կա՞ արդյոք վերջին (ամենամեծ) պարզ թիվ։ Հին հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսը (մ.թ.ա. III դար) իր «Սկիզբները» գրքում, որը երկու հազար տարվա ընթացքում եղել է մաթեմատիկայի հիմնական դասագիրքը, ապացուցել է, որ կան անսահման շատ պարզ թվեր, այսինքն՝ յուրաքանչյուր պարզի հետևում էլ ավելի մեծ պարզ թիվ կա։ .
Պարզ թվեր գտնելու համար նման մեթոդ է հնարել նույն ժամանակների մեկ այլ հույն մաթեմատիկոս՝ Էրատոստենեսը։ Նա գրեց բոլոր թվերը 1-ից մինչև ինչ-որ թիվ, այնուհետև հատեց միավորը, որը ոչ պարզ է, ոչ բաղադրյալ թիվ, այնուհետև խաչեց բոլոր թվերը 2-ից հետո (2-ի բաժանվող թվեր, այսինքն՝ 4, 6, 8 և այլն): .). 2-ից հետո մնացած առաջին թիվը 3-ն էր: Այնուհետև 3-ից հետո բոլոր թվերը (թվերը, որոնք 3-ի բազմապատիկ են, այսինքն՝ 6, 9, 12 և այլն) խաչվեցին երկուսից հետո: վերջում չխաչված մնացին միայն պարզ թվերը։

Բայց շատ բնական թվեր հավասարապես բաժանվում են այլ բնական թվերի։

Օրինակ:

12 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի;

36 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի, 18-ի, 36-ի:

Այն թվերը, որոնցով թիվը հավասարապես բաժանվում է (12-ի համար դա 1, 2, 3, 4, 6 և 12 է) կոչվում են. բաժանարարներ... Բնական թվերի բաժանարար աբնական թիվ է, որը բաժանում է տրված թիվը աառանց մնացորդի. Այն բնական թիվը, որն ունի երկուից ավելի բաժանարար, կոչվում է կոմպոզիտային .

Նկատի ունեցեք, որ 12 և 36 թվերն ունեն ընդհանուր գործոններ։ Սրանք թվեր են՝ 1, 2, 3, 4, 6, 12։ Այս թվերի ամենամեծ բաժանարարը 12-ն է։ Երկու տրված թվերի ընդհանուր բաժանարարը։ աև բ- սա այն թիվն է, որով տրված երկու թվերն էլ բաժանվում են առանց մնացորդի աև բ.

Ընդհանուր բազմապատիկբազմակի թվեր այն թիվն է, որը բաժանվում է այս թվերից յուրաքանչյուրի վրա: Օրինակ 9, 18 և 45 թվերն ունեն 180-ի ընդհանուր բազմապատիկ: Բայց 90-ը և 360-ը նաև նրանց ընդհանուր բազմապատիկն են: Բոլոր j ընդհանուր բազմապատիկների մեջ միշտ կա ամենափոքրը, այս դեպքում այն ​​90 է: Այս թիվը կոչվում է. ամենափոքրըընդհանուր բազմապատիկ (LCM).

LCM-ը միշտ բնական թիվ է, որը պետք է մեծ լինի այն թվերից ամենամեծից, որոնց համար այն որոշվել է:

Նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ (LCM): Հատկություններ.

Փոխադրելիություն:

Ասոցիատիվություն:

Մասնավորապես, եթե և են համապարփակ թվեր, ապա.

Երկու ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը մև nբոլոր մյուս ընդհանուր բազմապատիկների բաժանարարն է մև n... Ընդ որում՝ ընդհանուր բազմապատիկների բազմությունը m, nհամընկնում է LCM-ի բազմապատիկների բազմության հետ ( m, n).

Համար ասիմպտոտիկները կարող են արտահայտվել որոշ թվային-տեսական ֆունկցիաներով:

Այսպիսով, Չեբիշևի գործառույթը... Եվ.

Սա բխում է Landau ֆունկցիայի սահմանումից և հատկություններից g (n).

Ինչ է բխում պարզ թվերի բաշխման օրենքից.

Գտնելով ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM):

LCM ( ա, բ) կարելի է հաշվարկել մի քանի եղանակով.

1. Եթե հայտնի է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, կարող եք օգտագործել դրա հարաբերությունը LCM-ի հետ.

2. Թող հայտնի լինի երկու թվերի կանոնական տարրալուծումը պարզ գործոնների.

որտեղ p 1, ..., p k- տարբեր պարզ թվեր, և դ 1, ..., դ կև e 1, ..., e k- ոչ բացասական ամբողջ թվեր (դրանք կարող են լինել զրո, եթե տարրալուծման ժամանակ բացակայում է համապատասխան պարզը):

Այնուհետև LCM ( ա,բ) հաշվարկվում է բանաձևով.

Այլ կերպ ասած, LCM տարրալուծումը պարունակում է բոլոր պարզ գործոնները, որոնք ներառված են թվերի ընդլայնումներից առնվազն մեկում ա, բ, և վերցված է այս գործոնի երկու ցուցիչներից ամենամեծը:

Օրինակ:

Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի հաշվարկը կարող է կրճատվել երկու թվերի LCM-ի մի քանի հաջորդական հաշվարկների.

Կանոն.Մի շարք թվերի LCM-ն գտնելու համար անհրաժեշտ է.

- թվերը տարրալուծել պարզ գործոնների.

- փոխանցել ամենամեծ ընդլայնումը ցանկալի արտադրանքի գործոնների մեջ (գործոնների արտադրյալը մեծ թվովտրվածներից), այնուհետև ավելացրեք այլ թվերի ընդլայնման գործոններ, որոնք առաջին թվի մեջ չեն լինում կամ ավելի քիչ են լինում դրանում.

- պարզ գործակիցների ստացված արտադրյալը կլինի տվյալ թվերի LCM:

Ցանկացած երկու կամ ավելի բնական թվեր ունեն իրենց LCM-ն: Եթե ​​թվերը միմյանց բազմապատիկ չեն կամ ընդլայնման մեջ չունեն նույն գործակիցները, ապա դրանց LCM-ն հավասար է այս թվերի արտադրյալին։

28 թվի պարզ գործակիցները (2, 2, 7) լրացվել են 3 գործակցով (թիվ 21), ստացված արտադրյալը (84) կլինի ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է 21-ի և 28-ի։

Ամենամեծ 30 թվի պարզ գործակիցները լրացվել են 25 թվի 5 գործակցով, ստացված 150 արտադրյալը մեծ է 30 ամենամեծ թվից և բաժանվում է բոլոր տրված թվերի վրա՝ առանց մնացորդի։ Սա ամենափոքր հնարավոր արտադրյալն է (150, 250, 300 ...), որը տրված բոլոր թվերի բազմապատիկն է։

2,3,11,37 թվերը պարզ են, ուստի դրանց LCM-ն հավասար է տրված թվերի արտադրյալին։

Կանոնը... Պարզ թվերի LCM-ը հաշվարկելու համար հարկավոր է այս բոլոր թվերը բազմապատկել միմյանց միջև:

Մեկ այլ տարբերակ.

Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) գտնելու համար անհրաժեշտ է.

1) յուրաքանչյուր թիվ ներկայացնել որպես իր պարզ գործակիցների արտադրյալ, օրինակ.

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) գրեք բոլոր պարզ գործոնների հզորությունները.

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) գրի՛ր այս թվերից յուրաքանչյուրի բոլոր պարզ բաժանարարները (գործակիցները).

4) ընտրել դրանցից յուրաքանչյուրի ամենաբարձր աստիճանը, որը գտնվել է այս թվերի բոլոր ընդլայնումների մեջ.

5) բազմապատկել այս աստիճանները.

Օրինակ... Գտեք 168, 180 և 3024 թվերի LCM:

Լուծում... 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1:

Մենք գրում ենք բոլոր պարզ գործոնների ամենամեծ հզորությունները և բազմապատկում դրանք.

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15 120:

Առցանց հաշվիչը թույլ է տալիս արագ գտնել երկու կամ ցանկացած այլ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Հաշվիչ՝ GCD և LCM գտնելու համար

Գտեք GCD և LCM

Գտնվել է GCD և NOC՝ 5806

Ինչպես օգտագործել հաշվիչը

• Մուտքագրեք թվերը մուտքագրման դաշտում
• Եթե ​​մուտքագրեք սխալ նիշեր, մուտքագրման դաշտը կնշվի կարմիրով
• սեղմեք «Գտեք GCD և LCM» կոճակը

Ինչպես մուտքագրել թվեր

• Թվերը մուտքագրվում են բաժանված բացատով, կետով կամ ստորակետով
• Մուտքագրված թվերի երկարությունը սահմանափակված չէ, ուստի երկար թվերի GCD և LCM գտնելը դժվար չի լինի

Ի՞նչ են GCD-ն և NOC-ը:

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարըբազմակի թվեր - սա ամենամեծ բնական ամբողջ թիվն է, որով բոլոր սկզբնական թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի: Ամենամեծ ընդհանուր գործոնը կրճատվում է որպես Gcd.
Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըմի քանի թվեր են ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է սկզբնական թվերից յուրաքանչյուրի վրա՝ առանց մնացորդի։ Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կրճատվում է որպես ՀԱՕԿ.

Ինչպե՞ս ստուգել, ​​որ թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է մեկ այլ թվի:

Պարզելու համար, թե արդյոք մի թիվը բաժանվում է մյուսի վրա առանց մնացորդի, կարող եք օգտագործել թվերի բաժանելիության որոշ հատկություններ։ Այնուհետև դրանք համադրելով՝ կարելի է ստուգել դրանցից մի քանիսի բաժանելիությունը և դրանց համակցությունները։

Թվերի բաժանելիության որոշ նշաններ

1. Թվի 2-ի բաժանելիության չափանիշը
Որոշելու համար, թե արդյոք թիվը բաժանվում է երկուսի (լինի այն զույգ), բավական է նայել այս թվի վերջին թվանշանին. եթե այն 0, 2, 4, 6 կամ 8 է, ապա թիվը զույգ է, ինչը նշանակում է. այն բաժանվում է 2-ի։
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938-ը բաժանվում է 2-ի։
Լուծում:նայեք վերջին թվանշանին` 8 - ուրեմն թիվը բաժանվում է երկուսի:

2. Թվի 3-ի բաժանելիության նշանը
Թիվը բաժանվում է 3-ի, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է երեքի։ Այսպիսով, որոշելու համար, թե արդյոք թիվը բաժանվում է 3-ի, դուք պետք է հաշվարկեք թվանշանների գումարը և ստուգեք, թե արդյոք այն բաժանվում է 3-ի: Նույնիսկ եթե թվանշանների գումարը շատ մեծ է, կարող եք նորից կրկնել նույն գործընթացը:
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938-ը բաժանվում է 3-ի:
Լուծում:հաշվում ենք թվանշանների գումարը՝ 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27,27-ը բաժանվում է 3-ի, ինչը նշանակում է, որ թիվը բաժանվում է երեքի։

3. Թվի 5-ի բաժանելիության նշանը
Թիվը բաժանվում է 5-ի, երբ նրա վերջին թվանշանը զրո կամ հինգ է։
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938-ը բաժանվում է 5-ի։
Լուծում:նայեք վերջին թվանշանին. 8 նշանակում է, որ թիվը ՉԻ բաժանվում հինգի:

4. Թվի 9-ի բաժանելիության նշանը
Այս հատկանիշը շատ նման է երեքի բաժանելիությանը. թիվը բաժանվում է 9-ի, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի։
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938-ը բաժանվում է 9-ի։
Լուծում:հաշվում ենք թվանշանների գումարը՝ 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27.27-ը բաժանվում է 9-ի, ինչը նշանակում է, որ թիվը բաժանվում է իննի։

Ինչպես գտնել երկու թվերի gcd և LCM

Ինչպես գտնել երկու թվերի gcd-ն

Մեծ մասը պարզ ձևովհաշվարկելով ամենամեծը ընդհանուր բաժանարարերկու թվեր՝ գտնել այս թվերի բոլոր հնարավոր բաժանարարները և ընտրել ամենամեծը:

Դիտարկենք այս մեթոդը՝ օգտագործելով GCD-ն գտնելու օրինակը (28, 36).

1. Գործակից երկու թվերն էլ՝ 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
2. Մենք գտնում ենք ընդհանուր գործակիցները, այսինքն՝ նրանք, որոնք ունեն երկու թվերն էլ՝ 1, 2 և 2։
3. Մենք հաշվարկում ենք այս գործակիցների արտադրյալը՝ 1 · 2 · 2 = 4 - սա 28 և 36 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։

Ինչպես գտնել երկու թվերի LCM

Երկու թվերի ամենափոքր բազմապատիկը գտնելու երկու ամենատարածված եղանակ կա: Առաջին ճանապարհն այն է, որ դուք կարող եք դուրս գրել երկու թվերի առաջին բազմապատիկները, ապա դրանցից ընտրել այնպիսի թիվ, որը կլինի ընդհանուր երկու թվերի համար և միևնույն ժամանակ ամենափոքրը: Եվ երկրորդը՝ գտնել այս թվերի GCD-ն: Դիտարկենք միայն այն։

LCM-ը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել սկզբնական թվերի արտադրյալը և այն բաժանել նախկինում գտնված GCD-ի վրա: Եկեք գտնենք LCM-ն նույն 28 և 36 թվերի համար.

1. Գտե՛ք 28 և 36 թվերի արտադրյալը՝ 28 36 = 1008
2. GCD (28, 36), ինչպես արդեն հայտնի է, հավասար է 4-ի
3. LCM (28, 36) = 1008/4 = 252:

Գտեք GCD և LCM մի քանի թվերի համար

Ամենամեծ ընդհանուր գործոնը կարելի է գտնել ոչ թե երկու, այլ մի քանի թվերի համար: Դրա համար մեծագույն ընդհանուր գործոնի համար փնտրվող թվերը տարրալուծվում են պարզ գործակիցների, այնուհետև գտնվում է այդ թվերի ընդհանուր պարզ գործակիցների արտադրյալը: Նաև մի քանի թվերի GCD-ն գտնելու համար կարող եք օգտագործել հետևյալ հարաբերությունները. Gcd (a, b, c) = gcd (gcd (a, b), c).

Նման հարաբերությունը վավեր է ամենափոքր ընդհանուր բազմակի համար. LCM (a, b, c) = LCM (LCM (a, b), c)

Օրինակ:Գտեք GCD և LCM 12, 32 և 36 համարների համար:

1. Նախ հաշվարկեք թվերը՝ 12 = 1 2 2 3, 32 = 1 2 2 2 2 2 2, 36 = 1 2 2 3 3:
2. Գտնենք ընդհանուր գործոնները՝ 1, 2 և 2։
3. Նրանց արտադրանքը կտա GCD՝ 1 2 2 = 4
4. Եկեք հիմա գտնենք LCM-ը. դրա համար մենք նախ գտնում ենք LCM-ը (12, 32). 12 · 32/4 = 96:
5. Բոլոր երեք թվերի LCM-ը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել GCD-ն (96, 36). 96 = 1 2 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2 2 3 = 12:
6. LCM (12, 32, 36) = 96 36/12 = 288: