Mga filter ng Butterworth. Pagkalkula ng isang filter na may katangian ng Butterworth Pagpapasiya ng pagkakasunud-sunod ng filter
MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF UKRAINE
Kharkov National University of Radio Electronics
Kagawaran ng REU
TRABAHO NG KURSO
PAGKUKULANG AT PALIWANAG NA TALA
BUTTERWORTH HIGH PASS FILTER
Kharkov 2008
Teknikal na gawain
Magdisenyo ng isang high-pass filter (HPF) na may approximation ng amplitude-frequency response (AFC) ng isang Butterworth polynomial, tukuyin ang kinakailangang pagkakasunud-sunod ng filter kung ang mga parameter ng AFC ay tinukoy (Fig. 1): K 0 = 26 dB
U m Sa =250mV
kung saan ang maximum na koepisyent ng paghahatid ng filter;
Pinakamababang transmission coefficient sa passband;
Pinakamataas na nakuha ng filter sa delay band;
dalas ng cutoff;
Ang dalas kung saan mas mababa ang nakuha ng filter.
Figure 1 – Butterworth high-pass filter pattern.
Magbigay ng bahagyang sensitivity sa mga paglihis sa mga halaga ng elemento.
ABSTRAK
Settlement at explanatory note: 26 pp., 11 figures, 6 tables.
Layunin ng trabaho: synthesis ng isang aktibong RC high-pass filter circuit at pagkalkula ng mga bahagi nito.
Paraan ng pananaliksik: pagtatantya ng frequency response ng filter ng Butterworth polynomial.
Ang tinatayang function ng paglipat ay ipinatupad gamit ang isang aktibong filter. Ang filter ay binuo ng isang cascade na koneksyon ng mga independiyenteng link. Gumagamit ang mga aktibong filter ng non-inverting finite gain amplifier, na ipinapatupad gamit ang operational amplifier.
Ang mga resulta ng trabaho ay maaaring gamitin upang i-synthesize ang mga filter para sa radio engineering at kagamitan sa sambahayan.
Panimula
1. Pagsusuri ng mga katulad na pamamaraan
3.1 Pagpapatupad ng high-pass filter normalization
3.2 Pagtukoy sa kinakailangang pagkakasunud-sunod ng filter
3.3 Kahulugan ng Butterworth polynomial
3.4 Baligtarin ang paglipat mula sa normal tungo sa dinisenyong high-pass na filter
3.5Transition mula sa transfer function sa circuit
3.6 Transition mula sa transfer function sa circuit
4. Pagkalkula ng mga elemento ng circuit
5. Pamamaraan para sa pagsasaayos ng binuong filter
Panimula
Hanggang kamakailan lamang, ang mga resulta ng paghahambing ng mga digital at analog na aparato sa mga kagamitan sa radyo at teknikal na paraan ng telekomunikasyon ay hindi maaaring maging sanhi ng isang pakiramdam ng kawalang-kasiyahan. Ang mga digital na bahagi, na ipinatupad sa malawakang paggamit ng mga integrated circuit (IC), ay nakikilala sa pamamagitan ng kanilang disenyo at pagkakumpleto ng teknolohiya. Ang sitwasyon ay naiiba sa mga analog signal processing unit, na, halimbawa, sa telekomunikasyon ay umabot sa 40 hanggang 60% ng dami at bigat ng kagamitan sa komunikasyon. Malaki, na naglalaman ng isang malaking bilang ng mga hindi mapagkakatiwalaan at labor-intensive na paikot-ikot na mga elemento, sila ay mukhang napakalungkot laban sa backdrop ng mga malalaking integrated circuit na nagbigay sila ng opinyon ng isang bilang ng mga eksperto tungkol sa pangangailangan para sa "kabuuang digitalization" ng mga elektronikong kagamitan.
Ang huli, gayunpaman, tulad ng anumang iba pang sukdulan, ay hindi humantong (at hindi maaaring humantong) sa mga resulta na sapat sa mga inaasahan. Ang katotohanan, tulad ng sa lahat ng iba pang mga kaso, ay lumabas sa isang lugar sa gitna. Sa ilang mga kaso, ang kagamitan na binuo sa mga functional na analog unit, ang elemental na batayan kung saan ay sapat sa mga kakayahan at limitasyon ng microelectronics, ay lumalabas na mas epektibo.
Ang kasapatan sa kasong ito ay maaaring matiyak sa pamamagitan ng paglipat sa mga aktibong RC circuit, ang elemental na batayan kung saan ay hindi kasama ang mga inductors at mga transformer, na sa panimula ay hindi ipinatupad ng microelectronics.
Ang bisa ng naturang paglipat ay kasalukuyang tinutukoy, sa isang banda, sa pamamagitan ng mga tagumpay ng teorya ng mga aktibong RC circuit, at sa kabilang banda, sa pamamagitan ng mga tagumpay ng microelectronics, na nagbigay sa mga developer ng mataas na kalidad na linear integrated circuits, kabilang ang pinagsamang mga operational amplifier (OP-amps). Ang mga op-amp na ito, na may mahusay na pag-andar, ay lubos na nagpayaman ng analog circuitry. Ito ay lalong maliwanag sa circuitry ng mga aktibong filter.
Hanggang sa 60s, pangunahing mga passive na elemento ang ginamit upang ipatupad ang mga filter, i.e. inductors, capacitors at resistors. Ang pangunahing problema sa pagpapatupad ng naturang mga filter ay ang laki ng mga inductor (sa mababang frequency ay nagiging napakalaki). Sa pagbuo ng pinagsamang mga operational amplifier noong dekada 60, lumitaw ang isang bagong direksyon sa disenyo ng mga aktibong filter batay sa mga op-amp. Ang mga aktibong filter ay gumagamit ng mga resistor, capacitor at op-amp (aktibong bahagi), ngunit walang mga inductors. Kasunod nito, halos ganap na pinalitan ng mga aktibong filter ang mga passive. Sa kasalukuyan, ang mga passive na filter ay ginagamit lamang sa mga matataas na frequency (sa itaas ng 1 MHz), sa labas ng frequency range ng pinakamalawak na ginagamit na mga op amp. Ngunit kahit na sa maraming mga high-frequency na device, tulad ng mga radio transmitters at receiver, ang mga tradisyonal na RLC filter ay pinapalitan ng quartz at surface acoustic wave filter.
Sa ngayon, sa maraming mga kaso, ang mga analog na filter ay pinapalitan ng mga digital. Ang pagpapatakbo ng mga digital na filter ay pangunahing tinitiyak ng software, kaya mas nababaluktot ang mga ito sa paggamit kumpara sa mga analog. Gamit ang mga digital na filter, posible na ipatupad ang mga function ng paglilipat na napakahirap makuha gamit ang mga maginoo na pamamaraan. Gayunpaman, hindi pa maaaring palitan ng mga digital na filter ang mga analog na filter sa lahat ng sitwasyon, kaya nananatili ang pangangailangan para sa pinakasikat na analog na filter, ang mga aktibong RC filter.
1. Pagsusuri ng mga katulad na pamamaraan
Ang mga filter ay frequency-selective device na pumasa o tumatanggi sa mga signal na nasa ilang frequency band.
Maaaring uriin ang mga filter ayon sa kanilang mga katangian ng dalas:
1. Mga low-pass na filter (LPF) - pumasa sa lahat ng mga oscillation na may mga frequency na hindi mas mataas kaysa sa isang tiyak na cutoff frequency at isang pare-parehong bahagi.
2. High-pass filters (LPF) - pumasa sa lahat ng vibrations na hindi bababa sa isang partikular na cutoff frequency.
3. Bandpass filters (BPFs) – pumasa sa mga oscillations sa isang partikular na frequency band, na tinutukoy ng isang tiyak na antas ng frequency response.
4. Band-suppression filters (BPFs) - antalahin ang mga oscillation sa isang partikular na frequency band, na tinutukoy ng isang tiyak na antas ng frequency response.
5. Notch filters (RF) - isang uri ng BPF na may makitid na delay band at tinatawag ding plug filter.
6. Phase filters (PF) - perpektong may pare-parehong transmission coefficient sa lahat ng frequency at idinisenyo upang baguhin ang phase ng input signal (sa partikular, para sa time delay ng mga signal).
Figure 1.1 – Mga pangunahing uri ng mga filter
Gamit ang mga aktibong filter ng RC, imposibleng makakuha ng mga perpektong hugis ng mga katangian ng dalas sa anyo ng mga parihaba na ipinapakita sa Fig. 1.1 na may mahigpit na pare-parehong pakinabang sa passband, walang katapusang attenuation sa supression band at isang walang katapusang slope ng roll-off kapag paglipat mula sa passband patungo sa suppression band. Ang pagdidisenyo ng isang aktibong filter ay palaging isang paghahanap para sa isang kompromiso sa pagitan ng perpektong anyo ng katangian at ang pagiging kumplikado ng pagpapatupad nito. Ito ay tinatawag na "proximation problem." Sa maraming kaso, ginagawang posible ng mga kinakailangan para sa kalidad ng pagsasala na makamit gamit ang pinakasimpleng mga filter sa una at pangalawang order. Ang ilang mga circuit ng naturang mga filter ay ipinakita sa ibaba. Ang pagdidisenyo ng isang filter sa kasong ito ay bumaba sa pagpili ng isang circuit na may pinaka-angkop na pagsasaayos at kasunod na pagkalkula ng mga halaga ng mga rating ng elemento para sa mga tiyak na frequency.
Gayunpaman, may mga sitwasyon kung saan maaaring mas mahigpit ang mga kinakailangan sa pag-filter, at maaaring kailanganin ang mga circuit na mas mataas kaysa sa una at pangalawa. Ang pagdidisenyo ng mga filter na may mataas na pagkakasunud-sunod ay isang mas kumplikadong gawain, na siyang paksa ng gawaing kursong ito.
Nasa ibaba ang ilang pangunahing first-second order scheme na may mga pakinabang at disadvantage ng bawat isa.
1. Low-pass filter-I at low-pass filter-I batay sa isang non-inverting amplifier.
Figure 1.2 – Mga filter batay sa isang non-inverting amplifier:
a) LPF-I, b) HPF-I.
Ang mga bentahe ng mga filter na circuit ay pangunahing kasama ang kadalian ng pagpapatupad at pagsasaayos, ang mga disadvantages ay mababa ang dalas ng pagtugon sa slope at mababang pagtutol sa self-excitation.
2. Low-pass filter-II at low-pass filter-II na may multi-loop na feedback.
Figure 1.3 – Mga filter na may multi-loop na feedback:
a) LPF-II, b) HPF-II.
Talahanayan 2.1 – Mga kalamangan at kawalan ng low-pass filter-II na may multi-loop na feedback
Talahanayan 2.2 – Mga kalamangan at kawalan ng HPF-II na may multi-loop na feedback
2. LPF-II at HPF-IISallen-Kay.
Larawan 1.4 – Mga filter ng Sallen-Kay:
a) LPF-II, b) HPF-II
Talahanayan 2.3 – Mga kalamangan at kawalan ng Sallen-Kay low-pass filter-II.
Talahanayan 2.4 – Mga kalamangan at kawalan ng HPF-II Sallen-Kay.
3. LPF-II at HPF-II batay sa mga impedance converter.
Figure 1.5 – Low-pass filter II circuit batay sa mga impedance converter:
a) LPF-II, b) HPF-II.
Talahanayan 2.3 – Mga kalamangan at kawalan ng LPF-II at HPF-II batay sa mga impedance converter.
2. Pagpili at pagbibigay-katwiran ng filter circuit
Ang mga paraan ng disenyo ng filter ay naiiba sa mga tampok ng disenyo. Ang disenyo ng mga passive RC filter ay higit na tinutukoy ng block diagram
Ang mga aktibong filter ng AF ay inilarawan sa matematika ng isang function ng paglilipat. Ang mga uri ng pagtugon sa dalas ay binibigyan ng mga pangalan ng mga polynomial ng transfer function. Ang bawat uri ng frequency response ay ipinapatupad ng isang tiyak na bilang ng mga pole (RC circuits) alinsunod sa isang naibigay na slope ng frequency response. Ang pinakasikat ay ang mga pagtatantya ng Butterworth, Bessel, at Chebyshev.
Ang filter ng Butterworth ay may pinakamaraming flat frequency response; sa suppression band, ang slope ng transition section ay 6 dB/oct bawat poste, ngunit mayroon itong nonlinear phase response; ang input pulse voltage ay nagdudulot ng oscillation sa output, kaya ang filter ay ginagamit para sa tuluy-tuloy na signal.
Ang Bessel filter ay may linear phase response at isang maliit na steepness ng transition section ng frequency response. Ang mga signal ng lahat ng mga frequency sa passband ay may parehong mga pagkaantala sa oras, kaya angkop ito para sa pag-filter ng mga square wave pulse na kailangang ipadala nang walang pagbaluktot.
Ang filter ng Chebyshev ay isang filter ng pantay na mga alon sa SP, isang mass-flat na hugis sa labas nito, na angkop para sa tuluy-tuloy na mga signal sa mga kaso kung saan kinakailangan na magkaroon ng matarik na slope ng frequency response sa likod ng cutoff frequency.
Ang mga simpleng first- at second-order na filter circuit ay ginagamit lamang kapag walang mahigpit na kinakailangan para sa kalidad ng pagsasala.
Ang isang cascade na koneksyon ng mga seksyon ng filter ay isinasagawa kung ang isang order ng filter na mas mataas kaysa sa pangalawa ay kinakailangan, iyon ay, kapag kinakailangan upang bumuo ng isang katangian ng paglipat na may napakalaking pagpapalambing ng mga signal sa pinigilan na banda at isang malaking attenuation slope ng frequency response. Ang resultang transfer function ay nakukuha sa pamamagitan ng multiply ng partial transfer coefficients
Ang mga circuit ay binuo ayon sa parehong pamamaraan, ngunit ang mga halaga ng mga elemento
Iba ang R, C, at nakadepende sa mga cutoff frequency ng filter at mga slat nito: f zr.f / f zr.l
Gayunpaman, dapat tandaan na ang cascade connection ng, halimbawa, dalawang second-order na Butterworth na filter ay hindi gumagawa ng pang-apat na order na Butterworth filter, dahil ang resultang filter ay magkakaroon ng ibang cutoff frequency at ibang frequency response. Samakatuwid, kinakailangang piliin ang mga koepisyent ng mga solong link sa paraang ang susunod na produkto ng mga function ng paglilipat ay tumutugma sa napiling uri ng approximation. Samakatuwid, ang pagdidisenyo ng isang AF ay magdudulot ng mga kahirapan sa pagkuha ng perpektong katangian at ang pagiging kumplikado ng pagpapatupad nito.
Salamat sa napakalaking input at maliit na resistensya ng output ng bawat link, ang kawalan ng pagbaluktot ng tinukoy na function ng paglipat at ang posibilidad ng independiyenteng regulasyon ng bawat link ay natiyak. Ang pagsasarili ng mga link ay ginagawang posible na malawakang ayusin ang mga katangian ng bawat link sa pamamagitan ng pagbabago ng mga parameter nito.
Sa prinsipyo, hindi mahalaga kung aling pagkakasunud-sunod ang mga bahagyang filter ay inilagay, dahil ang resultang paglipat ng function ay palaging magiging pareho. Gayunpaman, mayroong iba't ibang praktikal na mga alituntunin tungkol sa pagkakasunud-sunod kung saan dapat ikonekta ang mga bahagyang filter. Halimbawa, upang maprotektahan laban sa self-excitation, isang pagkakasunud-sunod ng mga link ay dapat ayusin sa pagkakasunud-sunod ng pagtaas ng bahagyang paglilimita ng dalas. Ang ibang pagkakasunud-sunod ay maaaring humantong sa self-excitation ng pangalawang link sa rehiyon ng frequency response surge nito, dahil ang mga filter na may mas mataas na cutoff frequency ay karaniwang may mas mataas na quality factor sa cutoff frequency region.
Ang isa pang pamantayan ay nauugnay sa mga kinakailangan para sa pagliit ng antas ng ingay sa input. Sa kasong ito, ang pagkakasunud-sunod ng mga link ay nababaligtad, dahil ang filter na may pinakamababang limitasyon sa dalas ay pinapahina ang antas ng ingay na nagmumula sa mga nakaraang link ng cascade.
3. Topological modelo ng filter at boltahe transfer function
3.1 Sa talatang ito, ang pagkakasunud-sunod ng Butterworth high-pass filter ay pipiliin at ang uri ng paglipat ng function nito ay tutukuyin ayon sa mga parameter na tinukoy sa mga teknikal na detalye:
Figure 2.1 – Template ng high-pass na filter ayon sa mga teknikal na detalye.
Topological na modelo ng filter.
3.2 Pagpapatupad ng high-pass filter normalization
Batay sa mga kundisyon ng pagtutukoy, nakita namin ang mga kundisyon ng hangganan ng dalas ng filter na kailangan namin. At pinapa-normalize natin ito sa pamamagitan ng transmission coefficient at ng frequency.
Sa likod ng gear ratio:
K max =K 0 -K p =26-23=3dB
K min =K 0 -K z =26-(-5)=31dB
Sa dalas:
3.3 Pagtukoy sa kinakailangang pagkakasunud-sunod ng filter
I-round n sa pinakamalapit na integer value: n = 3.
Kaya, upang matugunan ang mga kinakailangan na tinukoy ng pattern, kailangan ng isang third-order na filter.
3.4 Kahulugan ng Butterworth polynomial
Ayon sa talahanayan ng normalized na paglipat ng mga function ng Butterworth filter, nakita namin ang third-order Butterworth polynomial:
3.5 Baliktarin ang paglipat mula sa na-normalize patungo sa dinisenyong high-pass na filter
Isagawa natin ang reverse transition mula sa normalized na high-pass na filter patungo sa dinisenyong high-pass na filter.
· scaling sa pamamagitan ng transmission coefficient:
Pag-scale ng dalas:
Gumagawa kami ng kapalit
Bilang resulta ng scaling, nakukuha namin ang transfer function na W(p) sa form:
Figure 2.2 – Dalas na tugon ng idinisenyong Butterworth high-pass filter.
3.6 Transition mula sa paglipat ng function sa circuit
Isipin natin ang transfer function ng idinisenyong third-order high-pass na filter bilang isang produkto ng mga transfer function ng dalawang aktibong first-at second-order na high-pass na filter, i.e. bilang
At 
,
nasaan ang transmission coefficient sa isang walang katapusang mataas na frequency;
- dalas ng poste;
– filter quality factor (ang ratio ng gain sa frequency sa gain sa passband).
Ang paglipat na ito ay patas, dahil ang kabuuang pagkakasunud-sunod ng mga aktibong filter na konektado sa serye ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga order ng mga indibidwal na filter (1 + 2 = 3).
Ang kabuuang transmission coefficient ng filter (K0 = 19.952) ay matutukoy ng produkto ng transmission coefficient ng mga indibidwal na filter (K1, K2).
Ang pagpapalawak ng function ng paglipat sa mga quadratic na kadahilanan, nakuha namin ang:
Sa ekspresyong ito
. (2.5.1)
Madaling mapansin na ang mga pole frequency at kalidad na mga kadahilanan ng mga function ng paglilipat ay iba.
Para sa unang function ng paglipat:
dalas ng poste;
Ang kadahilanan ng kalidad ng HPF-I ay pare-pareho at katumbas ng .
Para sa pangalawang function ng paglipat:
dalas ng poste;
salik ng kalidad
Upang ang mga amplifier ng pagpapatakbo sa bawat yugto ay napapailalim sa humigit-kumulang pantay na mga kinakailangan para sa mga katangian ng dalas, ipinapayong ipamahagi ang kabuuang koepisyent ng paghahatid ng buong filter sa pagitan ng bawat isa sa mga yugto sa kabaligtaran na proporsyon sa kadahilanan ng kalidad ng mga kaukulang yugto, at piliin ang maximum na dalas ng katangian (dalas ng pagkakamit ng pagkakaisa ng op-amp) sa lahat ng mga yugto.
Dahil sa kasong ito ang high-pass na filter ay binubuo ng dalawang cascade, ang kondisyon sa itaas ay maaaring isulat bilang:
. (2.5.2)
Ang pagpapalit ng expression (2.5.2) sa (2.5.1), makuha namin ang:
;
Suriin natin ang kawastuhan ng pagkalkula ng mga koepisyent ng paghahatid. Ang kabuuang transmission coefficient ng filter sa mga oras ay matutukoy ng produkto ng mga coefficient ng mga indibidwal na filter. I-convert natin ang IdB coefficient sa ilang beses:
Yung. tama ang mga kalkulasyon.
Isulat natin ang katangian ng paglipat na isinasaalang-alang ang mga halaga na kinakalkula sa itaas ():
.
3.7 Pagpili ng third-order active high-pass filter circuit
Dahil, ayon sa gawain, kinakailangan upang matiyak ang isang bahagyang sensitivity sa mga paglihis ng mga elemento, pipiliin namin bilang unang yugto ng HPF-I batay sa isang non-inverting amplifier (Fig. 1.2, b), at ang pangalawa - HPF-II batay sa mga impedance converter (ICC), ang diagram kung saan ay ipinapakita sa Fig. 1.5, b.
Para sa HPF-I batay sa isang non-inverting amplifier, ang pagtitiwala ng mga parameter ng filter sa mga halaga ng mga elemento ng circuit ay ang mga sumusunod:
Para sa HPF-II batay sa KPS, ang mga parameter ng filter ay nakasalalay sa mga nominal na halaga ng mga elemento tulad ng sumusunod:
; (3.4)
;
4. Pagkalkula ng mga elemento ng circuit
· Pagkalkula ng unang yugto (HPF I) na may mga parameter
Piliin natin ang R1 batay sa mga kinakailangan para sa halaga ng input resistance (): R1 = 200 kOhm. Pagkatapos mula sa (3.2) sinusundan iyon
.
Piliin natin ang R2 = 10 kOhm, pagkatapos ay mula sa (3.1) sinusundan nito iyon
· Pagkalkula ng ikalawang yugto (HPF II) na may mga parameter
. .
Pagkatapos 
(ang koepisyent sa numerator ay pinili upang makuha ang rating ng kapasidad mula sa karaniwang serye ng E24). Kaya C2 = 4.3 nF.
Mula sa (3.3) ito ay sumusunod na
Mula sa (3.1) ito ay sumusunod na
Hayaan 
. Kaya C1 = 36 nF.
Talahanayan 4.1 – Mga rating ng elemento ng filter
Mula sa data sa Talahanayan 4.1 maaari nating simulan ang modelo ng filter circuit.
Ginagawa namin ito gamit ang isang espesyal na programang Workbench5.0.
Ang simulation diagram at mga resulta ay ipinapakita sa Fig. 4.1. at Fig. 4.2, a-b.
Figure 4.1 – Third-order Butterworth high-pass filter circuit.
Figure 4.2 – Nagreresultang frequency response (a) at phase response (b) ng filter.
5. Pamamaraan para sa pagtatakda at pagsasaayos ng binuong filter
Upang ang isang tunay na filter ay makapagbigay ng nais na tugon sa dalas, ang mga resistensya at kapasidad ay dapat mapili nang may mahusay na katumpakan.
Ito ay napakadaling gawin para sa mga resistors, kung sila ay kinuha na may tolerance na hindi hihigit sa 1%, at mas mahirap para sa mga capacitor, dahil ang kanilang mga tolerances ay nasa rehiyon ng 5-20%. Dahil dito, ang kapasidad ay kinakalkula muna, at pagkatapos ay kinakalkula ang paglaban ng mga resistors.
5.1 Pagpili ng uri ng mga capacitor
· Pipili kami ng uri ng low-frequency ng mga capacitor dahil sa mas mababang halaga ng mga ito.
Ang mga maliliit na sukat at bigat ng mga capacitor ay kinakailangan
· Kailangan mong pumili ng mga capacitor na may kaunting pagkawala hangga't maaari (na may maliit na dielectric loss tangent).
Ilang parameter ng pangkat K10-17 (kinuha mula sa):
Mga sukat, mm.
Timbang, g0.5…2
Pinahihintulutang paglihis ng kapasidad,%
Pagkawala ng tangent0.0015
Paglaban sa pagkakabukod, MOhm1000
Saklaw ng temperatura ng pagpapatakbo, – 60…+125
5.2 Pagpili ng uri ng risistor
· Para sa idinisenyong filter circuit, upang matiyak ang mababang temperatura ng pag-asa, kinakailangan na pumili ng mga resistor na may pinakamababang TCR.
· Ang mga napiling resistors ay dapat magkaroon ng isang minimum na intrinsic capacitance at inductance, kaya pipili kami ng isang non-wire na uri ng resistors.
· Gayunpaman, ang mga non-wire resistors ay may mas mataas na antas ng kasalukuyang ingay, kaya kinakailangan ding isaalang-alang ang parameter ng antas ng self-ingay ng mga resistors.
Ang uri ng precision resistors C2-29V ay nakakatugon sa mga tinukoy na kinakailangan (mga parameter na kinuha mula sa):
Na-rate na kapangyarihan, W 0.125;
Saklaw ng nominal resistances, Ohm;
TKS (sa hanay ng temperatura),
TKS (sa hanay ng temperatura 
),
Intrinsic na antas ng ingay, µV/V1…5
Pinakamataas na operating boltahe DC
at AC, V200
5.3 Pagpili ng uri ng mga operational amplifier
· Ang pangunahing pamantayan kapag pumipili ng op-amp ay ang mga katangian ng dalas nito, dahil ang mga tunay na op-amp ay may hangganan na bandwidth. Upang ang mga katangian ng dalas ng op-amp ay hindi makakaapekto sa mga katangian ng idinisenyong filter, kinakailangan na para sa dalas ng pagkakaisa ng pagkakamit ng op-amp sa i-th na yugto ang sumusunod na kaugnayan ay nasiyahan:
Para sa unang cascade: .
Para sa pangalawang cascade: .
Sa pamamagitan ng pagpili ng mas malaking halaga, nalaman namin na ang dalas ng pagkakaisa ng op-amp ay hindi dapat mas mababa sa 100 KHz.
· Dapat na sapat ang laki ng op-amp gain.
· Ang supply boltahe ng op-amp ay dapat tumugma sa boltahe ng mga power supply, kung alam. Kung hindi, ipinapayong pumili ng isang op-amp na may malawak na hanay ng mga boltahe ng supply.
· Kapag pumipili ng op-amp para sa multi-stage na high-pass na filter, mas mabuting pumili ng op-amp na may pinakamababang posibleng offset na boltahe.
Ayon sa reference na libro, pipili kami ng isang op-amp ng uri 140UD6A, na structurally dinisenyo sa isang housing ng uri 301.8-2. Ang mga op amp ng ganitong uri ay mga pangkalahatang layunin na mga op amp na may panloob na pagwawasto ng dalas at proteksyon ng output sa panahon ng mga maiikling circuit ng pag-load at may mga sumusunod na parameter:
Supply boltahe, V
Supply boltahe, V
Kasalukuyang pagkonsumo, mA
Offset na boltahe, mV
Op-amp boltahe makakuha
Ang dalas ng pagkakaisa, MHz1
5.4 Pamamaraan para sa pag-set up at pagsasaayos ng binuong filter
Ang pag-set up ng filter na ito ay hindi napakahirap. Ang mga parameter ng tugon ng dalas ay "nababagay" gamit ang mga resistors ng una at pangalawang yugto nang nakapag-iisa sa bawat isa, at ang pagsasaayos ng isang parameter ng filter ay hindi nakakaapekto sa mga halaga ng iba pang mga parameter.
Ang pag-setup ay isinasagawa tulad ng sumusunod:
1. Ang pakinabang ay itinakda ng resistors R2 ng una at R5 ng ikalawang yugto.
2. Ang dalas ng poste ng unang yugto ay nababagay sa pamamagitan ng risistor R1, ang dalas ng poste ng ikalawang yugto ng risistor R4.
3. Ang kadahilanan ng kalidad ng pangalawang yugto ay kinokontrol ng risistor R8, ngunit ang kadahilanan ng kalidad ng unang yugto ay hindi adjustable (pare-pareho para sa anumang mga halaga ng elemento).
Ang resulta ng gawaing kursong ito ay ang pagkuha at pagkalkula ng circuit ng isang naibigay na filter. Ang isang high-pass na filter na may pagtatantya ng mga katangian ng dalas ng isang Butterworth polynomial na may mga parameter na ibinigay sa mga teknikal na detalye ay nasa ikatlong pagkakasunud-sunod at ito ay isang dalawang-yugtong konektadong high-pass na filter ng unang pagkakasunud-sunod (batay sa isang non-inverting amplifier ) at pangalawang order (batay sa mga impedance converter). Ang circuit ay naglalaman ng tatlong operational amplifier, walong resistors at tatlong capacitor. Gumagamit ang circuit na ito ng dalawang power supply na 15 V bawat isa.
Ang pagpili ng circuit para sa bawat yugto ng pangkalahatang filter ay isinasagawa batay sa mga teknikal na pagtutukoy (upang matiyak ang mababang sensitivity sa mga paglihis sa mga halaga ng mga elemento) na isinasaalang-alang ang mga pakinabang at disadvantages ng bawat uri ng mga filter circuit. ginamit bilang mga yugto ng pangkalahatang filter.
Ang mga halaga ng mga elemento ng circuit ay pinili at kinakalkula sa paraang mas malapit hangga't maaari sa karaniwang nominal na serye ng E24, at upang makuha din ang pinakamataas na posibleng input impedance ng bawat yugto ng filter.
Pagkatapos ng pagmomodelo ng filter circuit gamit ang ElectronicsWorkbench5.0 package (Larawan 5.1), nakuha ang mga katangian ng dalas (Larawan 5.2), pagkakaroon ng mga kinakailangang parameter na ibinigay sa mga teknikal na pagtutukoy (Larawan 2.2).
Kasama sa mga bentahe ng circuit na ito ang kadalian ng pag-set up ng lahat ng mga parameter ng filter, independiyenteng setting ng bawat yugto nang hiwalay, at mababang sensitivity sa mga paglihis mula sa mga nominal na halaga ng mga elemento.
Ang mga disadvantages ay ang paggamit ng tatlong operational amplifier sa filter circuit at, nang naaayon, ang pagtaas ng gastos nito, pati na rin ang medyo mababang input resistance (mga 50 kOhm).
Listahan ng ginamit na panitikan
1. Zelenin A.N., Kostromitsky A.I., Bondar D.V. – Mga aktibong filter sa mga operational amplifier. – Kh.: Teletekh, 2001. ed. pangalawa, tama. at karagdagang – 150 pp.: may sakit.
2. Resistors, capacitors, transformers, chokes, switching devices REA: Reference/N.N. Akimov, E.P. Vashukov, V.A. Prokhorenko, Yu.P. Khodorenok. – Mn.: Belarus, 2004. – 591 p.: ill.
Mga analog integrated circuit: Reference/A.L. Bulychev, V.I. Galkin, 382 pp.: V.A. Prokhorenko. – 2nd ed., binago. at karagdagang - Mn.: Belarus, 1993. - sumpain.
Pahina 1 ng 2
Tukuyin natin ang pagkakasunud-sunod ng filter batay sa mga kinakailangang kundisyon ayon sa graph para sa pagpapalambing sa stopband sa aklat ni G. Lam “Analog and Digital Filters” Kabanata 8.1 p.215.
Malinaw na ang filter na pang-4 na order ay sapat para sa kinakailangang pagpapalambing. Ang graph ay ipinapakita para sa kaso kapag w c = 1 rad/s, at, nang naaayon, ang dalas kung saan ang kinakailangang attenuation ay kinakailangan ay 2 rad/s (4 at 8 kHz, ayon sa pagkakabanggit). Pangkalahatang graph para sa paglipat ng function ng isang Butterworth filter:
Tinukoy namin ang pagpapatupad ng circuit ng filter:
aktibong pang-apat na order na low-pass na filter na may kumplikadong negatibong feedback:
Upang ang nais na circuit ay magkaroon ng nais na tugon ng amplitude-frequency, ang mga elementong kasama dito ay maaaring mapili nang hindi masyadong mataas ang katumpakan, na isang bentahe ng circuit na ito.
Pang-apat na order na aktibong low pass na filter na may positibong feedback:
Sa circuit na ito, ang gain ng operational amplifier ay dapat magkaroon ng isang mahigpit na tinukoy na halaga, at ang transmission coefficient ng circuit na ito ay hindi hihigit sa 3. Samakatuwid, ang circuit na ito ay maaaring itapon.
Pang-apat na order na aktibong low pass na filter na may ohmic na negatibong feedback
Ang filter na ito ay binuo sa apat na op-amp, na nagpapataas ng ingay at sa pagiging kumplikado ng pagkalkula ng circuit na ito, kaya itinatapon din namin ito.
Mula sa isinasaalang-alang na mga circuit, pumili kami ng isang filter na may kumplikadong negatibong feedback.
Pagkalkula ng filter
Kahulugan ng paglipat ng function
Isinulat namin ang mga halaga ng talahanayan ng mga coefficient para sa pang-apat na order na filter ng Butterworth:
a 1 =1.8478 b 1 =1
a 2 =0.7654 b 2 =1
(tingnan ang U. Titze, K. Schenk "Semiconductor circuitry" talahanayan 13.6 p. 195)
Ang pangkalahatang expression ng transfer function para sa isang pang-apat na order na low-pass na filter ay:
(tingnan ang U. Titze, K. Schenk "Semiconductor circuitry" talahanayan 13.2 p. 190 at form 13.4 p. 186).
Ang paglipat ng function ng unang link ay may form:
Ang paglipat ng function ng pangalawang link ay may form:
kung saan ang w c ay ang circular cutoff frequency ng filter, w c =2pf c .
Pagkalkula ng mga rating ng bahagi
Ang equating ng coefficients ng expression (2) at (3) sa coefficients ng expression (1), makuha natin ang:
Constant signal transmission coefficients para sa mga cascades, ang kanilang produkto A 0 ay dapat na katumbas ng 10 gaya ng tinukoy. Ang mga ito ay negatibo, dahil ang mga yugtong ito ay bumabaligtad, ngunit ang kanilang produkto ay nagbibigay ng isang positibong koepisyent ng paghahatid.
Upang kalkulahin ang circuit, mas mahusay na tukuyin ang mga kapasidad ng mga capacitor, at upang maging wasto ang halaga ng R 2, dapat matugunan ang kondisyon.
at naaayon 
Batay sa mga kundisyong ito, napili ang C 1 = C 3 = 1 nF, C 2 = 10 nF, C 4 = 33 nF.
Kinakalkula namin ang mga halaga ng paglaban para sa unang yugto:
Mga halaga ng paglaban sa ikalawang yugto:
Op amp pagpili
Kapag pumipili ng op-amp, kinakailangang isaalang-alang ang frequency range ng filter: ang unity gain frequency ng op-amp (kung saan ang gain ay katumbas ng unity) ay dapat na mas malaki kaysa sa produkto ng cutoff frequency. at ang nakuha ng filter K y.
Dahil ang maximum na nakuha ay 3.33 at ang cutoff frequency ay 4 kHz, halos lahat ng umiiral na op-amp ay nakakatugon sa kundisyong ito.
Ang isa pang mahalagang parameter ng isang op-amp ay ang input impedance nito. Ito ay dapat na mas malaki kaysa sa sampung beses ang maximum na pagtutol ng circuit risistor.
Ang maximum resistance sa circuit ay 99.6 kOhm, samakatuwid ang input resistance ng op-amp ay dapat na hindi bababa sa 996 kOhm.
Kinakailangan din na isaalang-alang ang kapasidad ng pagkarga ng op-amp. Para sa mga modernong op-amp, ang minimum na resistensya ng pagkarga ay 2 kOhm. Isinasaalang-alang na ang mga resistances R1 at R4 ay katumbas ng 33.2 at 3.09 kOhms, ayon sa pagkakabanggit, ang output kasalukuyang ng operational amplifier ay tiyak na mas mababa kaysa sa maximum na pinapayagan.
Alinsunod sa mga kinakailangan sa itaas, pipiliin namin ang K140UD601 OU na may sumusunod na data ng pasaporte (mga katangian):
K y. min = 50,000
Rin = 1 MOhm
Institute of Non-Ferrous Metals at Gold Siberian Federal University
Kagawaran ng Automation ng Mga Proseso ng Produksyon
Mga uri ng filter Butterworth low pass filter Chebyshev low-pass na filter ako uri Minimum na pagkakasunud-sunod ng filter LPF na may MOS
LPF sa INUN Biquad low-pass na mga filter Pagse-set up ng mga filter ng 2nd order Low-pass na filter ng kakaibang pagkakasunud-sunod
Chebyshev low-pass na filter II uri Elliptical low-pass na mga filter Elliptical low-pass na mga filter sa INUN Elliptical low-pass na mga filter na may 3 capacitor Biquadratic elliptical low-pass na mga filter Pagse-set up ng Chebyshev low-pass filter II uri at elliptical
Pagse-set up ng mga filter ng 2nd order All-pass na mga filter Pagmomodelo ng low-pass na filter Paglikha ng mga diagram
Pagkalkula ng transition x-k Pagkalkula ng mga parameter ng dalas Pagkumpleto ng gawain Kontrolin ang mga tanong
Laboratory work No. 1
"Pag-aaral ng signal filtering sa Micro-Cap 6/7 environment"
Layunin ng trabaho
1. Pag-aralan ang mga pangunahing uri at katangian ng mga filter
2. Galugarin ang pagmomodelo ng filter sa Micro-Cap 6 na kapaligiran.
3. Galugarin ang mga katangian ng mga aktibong filter sa Micro-Cap 6 na kapaligiran
Teoretikal na impormasyon
1. Mga uri at katangian ng mga filter
Ang pag-filter ng signal ay may mahalagang papel sa mga digital control system. Sa mga ito, ginagamit ang mga filter upang maalis ang mga random na error sa pagsukat (pagpapataw ng mga signal ng interference, ingay) (Fig. 1.1). Mayroong hardware (circuit) at digital (software) na pag-filter. Sa unang kaso, ang mga elektronikong filter na gawa sa mga passive at aktibong elemento ay ginagamit, sa pangalawang kaso, iba't ibang mga pamamaraan ng software ang ginagamit upang ihiwalay at alisin ang pagkagambala. Ginagamit ang pag-filter ng hardware sa mga module ng ICD (mga aparatong pangkomunikasyon na may isang bagay) ng mga controllers at mga distributed na koleksyon ng data at mga control system.
Ang digital filtering ay ginagamit sa pinakamataas na antas ng computer control system ng automated process control system. Detalyadong tinatalakay ng papel na ito ang mga isyu ng pag-filter ng hardware.
Ang mga sumusunod na uri ng mga filter ay nakikilala:mga low-pass na filter - mga low-pass na filter (ipasa ang mababang frequency at antalahin ang mataas na frequency);
mga high-pass na filter (ipasa ang mataas na frequency at harangan ang mababang frequency);
mga filter ng bandpass (ipasa ang isang frequency band at i-block ang mga frequency sa itaas at ibaba ng banda na ito);
band-stop na mga filter (na nagde-delay ng frequency band at nagpapasa ng mga frequency sa itaas at ibaba ng banda na iyon).
Ang transfer function (TF) ng filter ay may anyo:
kung saan ½ N(j w) ½- modyul PF o dalas na tugon; j (w) - bahaging tugon; w ay ang angular frequency (rad/s) na nauugnay sa frequency f (Hz) ratio w = 2p f.
Ang PF ng ipinatupad na filter ay may form
saan A At b - pare-pareho ang mga halaga, at T , n = 1, 2, 3 ... (m £ n).
Denominator polynomial degree n tinutukoy ang pagkakasunud-sunod ng filter. Kung mas mataas ito, mas mahusay ang tugon ng dalas, ngunit ang circuit ay mas kumplikado at mas mataas ang gastos.
Ang mga range o frequency band kung saan pumasa ang mga signal ay mga passband at sa mga ito ang frequency response value ay ½ N(j w) ½ ay malaki, at perpektong pare-pareho. Ang mga saklaw ng dalas kung saan pinipigilan ang mga signal ay mga stopband at sa mga ito ay maliit ang halaga ng pagtugon sa dalas, at perpektong katumbas ng zero.
Ang dalas ng tugon ng mga tunay na filter ay naiiba sa teoretikal na tugon sa dalas. Para sa isang low-pass na filter, ang ideal at tunay na frequency response ay ipinapakita sa Fig. 1.6.Sa totoong mga filter, ang passband ay ang frequency range (0 - c), kung saan ang frequency response value ay mas malaki kaysa sa isang ibinigay na value A 1 . Stop lane - ito ang frequency range ( 1 -∞), kung saan ang frequency response ay mas mababa sa value - A 2 . Ang frequency interval ng transition mula sa passband hanggang sa stopband, ( c - 1) ay tinatawag na transition region.
Kadalasan, ang pagpapalambing ay ginagamit upang makilala ang mga filter sa halip na amplitude. Ang pagpapalambing sa decibels (dB) ay tinutukoy ng formula
Ang halaga ng amplitude A = 1 ay tumutugma sa pagpapalambing a= 0. Kung A 1 = A/ 
= 1/=
0.707, pagkatapos ay ang pagpapalambing sa dalas w c:
|
kanin. 1.8. LPF ( A) at ang dalas nitong tugon ( b) |
Sa mababang mga frequency (sa ibaba 0.5 MHz), ang mga parameter ng mga inductor ay hindi kasiya-siya: malalaking sukat at mga paglihis mula sa mga perpektong katangian. Ang mga inductor ay hindi angkop para sa integral na disenyo. Ang pinakasimpleng low-pass filter (LPF) at ang frequency response nito ay ipinapakita sa Fig. 1.8.
Ang mga aktibong filter ay nilikha batay sa R, C mga elemento at aktibong elemento - mga operational amplifier (op-amps). Ang mga op-amp ay dapat mayroong: mataas na nakuha (50 beses na mas malaki kaysa sa filter); mataas na rate ng pagtaas ng output boltahe (hanggang 100-1000 V/µs).
|
kanin. 1.9. T- at U-shaped na low-pass na mga filter |
Kahit na mag-order ng filter na may P > 2 ay naglalaman ng n/2 pangalawang-order na mga link na konektado sa kaskad. Kakaibang pagkakasunud-sunod na filter na may P > 2 ay naglalaman ng ( P - 1)/2 link ng pangalawang order at isang link ng unang order.
Para sa unang order na mga filter ng PF
saan SA At MAY- pare-pareho ang mga numero; P(s) - isang polynomial ng ikalawa o mas mababang antas.
Ang low-pass na filter ay may pinakamataas na attenuation sa passband a 1 ay hindi hihigit sa 3 dB, at pagpapalambing sa stopband a 2 saklaw mula 20 hanggang 100 dB. Ang nakuha ng low-pass filter ay ang halaga ng transfer function nito sa s = 0 o ang halaga ng frequency response nito sa w = 0 , ibig sabihin. . katumbas A.
Ang mga sumusunod na uri ng mga low-pass na filter ay nakikilala:Butterworth- magkaroon ng monotonic frequency response (Larawan 1.12);
Chebysheva (type I) - ang frequency response ay naglalaman ng mga pulsation sa passband at monotonic sa stopband (Fig. 1.13);
kabaligtaran Chebyshev(uri II) - ang frequency response ay monotonic sa passband at may mga ripples sa stopband (Fig. 1.14);
elliptical - Ang frequency response ay may mga ripples sa passband at sa stopband (Fig. 1.15).
Butterworth low pass filter n-th order ay may dalas na tugon ng sumusunod na form
Ang PF ng Butterworth filter bilang polynomial filter ay katumbas ng
Para sa n = 3, 5, 7 PF na-normalize Ang filter ng Butterworth ay katumbas ng
kung saan ang mga parameter e at SA - pare-pareho ang mga numero at SA P- Chebyshev polynomial ng unang uri ng degree P, katumbas
Saklaw R p ay maaaring mabawasan sa pamamagitan ng pagpili ng halaga ng parameter e sapat na maliit.
Ang pinakamababang pinapahintulutang attenuation sa passband - pare-pareho ang peak-to-peak na ripple - ay ipinahayag sa decibel bilang
| |||
.Ang mga PF ng Chebyshev at Butterworth na low-pass na mga filter ay magkapareho sa hugis at inilalarawan ng mga expression (1.15) - (1.16). Ang frequency response ng Chebyshev filter ay mas mahusay kaysa sa frequency response ng Butterworth filter ng parehong pagkakasunud-sunod, dahil ang dating ay may mas makitid na transition region width. Gayunpaman, ang filter ng Chebyshev ay may mas masahol (mas hindi linear) na tugon sa phase kaysa sa filter ng Butterworth.
Ang frequency response ng isang Chebyshev filter ng order na ito ay mas mahusay kaysa sa frequency response ng Butterworth, dahil ang Chebyshev filter ay may mas makitid na transition region width. Gayunpaman, ang phase response ng Chebyshev filter ay mas malala (mas nonlinear) kumpara sa phase response ng Butterworth filter.
Ang mga katangian ng pagtugon sa phase ng filter ng Chebyshev para sa ika-2-7 na mga order ay ipinapakita sa Fig. 1.18. Para sa paghahambing, sa Fig. 1.18 ipinapakita ng dashed line ang phase response ng isang pang-anim na order na filter ng Butterworth. Mapapansin din na ang phase response ng high-order na mga filter ng Chebyshev ay mas masahol pa kaysa sa phase response ng lower-order na mga filter. Ito ay naaayon sa katotohanan na ang dalas ng pagtugon ng isang high-order na Chebyshev na filter ay mas mahusay kaysa sa dalas ng pagtugon ng isang mas mababang-order na filter.
1.1. PAGPILI NG MINIMUM FILTER ORDER
Batay sa Fig. 1.8 at 1.9 maaari nating tapusin na mas mataas ang pagkakasunud-sunod ng mga filter ng Butterworth at Chebyshev, mas mahusay ang kanilang frequency response. Gayunpaman, ang isang mas mataas na order ay nagpapalubha sa pagpapatupad ng circuit at samakatuwid ay nagpapataas ng gastos. Kaya, mahalagang piliin ang minimum na kinakailangang pagkakasunud-sunod ng filter na nakakatugon sa mga ibinigay na kinakailangan.
Ipasok ang ipinapakita sa Fig. 1.2 ang pangkalahatang katangian ay tumutukoy sa maximum na pinapayagang pagpapalambing sa passband a 1 (dB), pinakamababang pinapahintulutang attenuation sa stopband a 2 (dB), cutoff frequency w s (rad/s) o f c (Hz) at maximum na pinapayagang lapad ng rehiyon ng paglipat T W, na tinukoy bilang mga sumusunod:
kung saan ang logarithms ay maaaring natural o decimal.
Ang equation (1.24) ay maaaring isulat bilang
w с /w 1 = ( T W/w c) + 1 |
at palitan ang resultang kaugnayan sa (1.25) upang mahanap ang pagkakasunud-sunod P sa lapad ng transition region, at hindi sa frequency w 1. Parameter T W/w with ang tinatawag na-normalize ang lapad ng rehiyon ng paglipat at isang walang sukat na dami. Kaya naman, T Ang W at w c ay maaaring tukuyin pareho sa radians bawat segundo at sa hertz.
Katulad nito, batay sa (1.18) para sa K = 1 hanapin ang pinakamababang order ng filter ng Chebyshev
at mula sa (1.25) sumusunod na ang isang filter ng Butterworth na nakakatugon sa mga kinakailangang ito ay dapat magkaroon ng sumusunod na minimum na order:
Sa paghahanap muli ng pinakamalapit na mas malaking integer, nakukuha namin P= 4.
Malinaw na inilalarawan ng halimbawang ito ang bentahe ng filter ng Chebyshev kaysa sa filter ng Butterworth kung ang pangunahing parameter ay ang frequency response. Sa kaso na isinasaalang-alang, ang Chebyshev filter ay nagbibigay ng parehong slope ng transfer function bilang ang Butterworth filter na dobleng kumplikado.
1.2. LPF NA MAY MULTI-LOOP FEEDBACK
AT WALANG KATAPUSANG GAIN
|
kanin. 1.11. Low-pass na filter na may second-order na MOS |
Para sa mga filter na mas mataas ang pagkakasunud-sunod, inilalarawan ng equation (1.29) ang PF ng isang tipikal na link ng pangalawang order, kung saan SA - salik ng pakinabang nito; SA At MAY- link coefficients na ibinigay sa sangguniang literatura. Ang isa sa pinakasimpleng aktibong filter circuit na nagpapatupad ng low-pass PF ayon sa (1.29) ay ipinapakita sa Fig. 1.11.
Ang scheme na ito ay nagpapatupad ng equation (1.29) na may pagbabaligtad makakuha - SA(SA> 0) atAng mga resistensya na nagbibigay-kasiyahan sa equation (1.30) ay katumbas ng
Ang isang mahusay na diskarte ay upang itakda ang nominal na halaga ng kapasidad C 2, malapit sa halagang 10/ f c µF at piliin ang pinakamataas na magagamit na halaga ng nominal na kapasidad C 1 kasiya-siyang equation (1.31). Ang mga paglaban ay dapat na malapit sa mga halaga na kinakalkula ng (1.31). Kung mas mataas ang pagkakasunud-sunod ng filter, mas kritikal ang mga kinakailangang ito. Kung ang kinakalkula na mga halaga ng nominal na pagtutol ay hindi magagamit, dapat tandaan na ang lahat ng mga halaga ng paglaban ay maaaring i-multiply sa isang karaniwang kadahilanan, sa kondisyon na ang mga halaga ng kapasidad ay nahahati sa parehong kadahilanan.
Bilang halimbawa, ipagpalagay na gusto mong magdisenyo ng pangalawang order na filter ng MOC Chebyshev na may ripple na 0.5 dB, bandwidth na 1000 Hz, at makakuha ng 2. Sa kasong ito SA= 2, w c = 2π (1000), at mula sa Appendix A ay makikita natin na B = 1.425625 at C = 1.516203. Pagpili ng nominal na halaga C 2 = 10/f c= 10/1000 = 0.01 μF = 10 -8 F, mula sa (1.32) nakukuha natin
Ngayon ipagpalagay na kinakailangan na magdisenyo ng pang-anim na order na filter ng Butterworth na may MOC cutoff frequency f c= 1000 Hz at makakuha K= 8. Ito ay bubuo ng tatlong pangalawang-order na link, bawat isa ay may PF na tinutukoy ng equation (2.1). Piliin natin ang pakinabang ng bawat link K= 2, na nagbibigay ng kinakailangang makuha ng filter mismo 2∙2∙2=8. Mula sa Appendix A para sa unang link na nakita namin SA= 0.517638 at C = 1. Muli nating piliin ang nominal na halaga ng kapasidad SA 2 = 0.01 μF at sa kasong ito mula sa (2.21) nahanap namin SA 1 = 0.00022 µF. Itakda natin ang nominal na halaga ng kapasidad SA 1 = 200 pF at mula sa (2.20) makikita natin ang mga halaga ng paglaban R 2 =139.4 kOhm; R 1 =69.7 kOhm; R 3 = 90.9 kOhm. Ang iba pang dalawang link ay kinakalkula sa katulad na paraan, at pagkatapos ay i-cascade ang mga link upang ipatupad ang ikaanim na order na filter ng Butterworth.
Dahil sa pagiging simple nito, ang MOC filter ay isa sa mga pinakasikat na uri ng inverting gain filter. Mayroon din itong ilang mga pakinabang, lalo na ang magandang katatagan at mababang output impedance; kaya, maaari itong agad na i-cascade kasama ng iba pang mga link upang magpatupad ng filter na mas mataas ang order. Ang kawalan ng scheme ay imposibleng makamit ang isang mataas na halaga ng kalidad na kadahilanan Q nang walang isang makabuluhang scatter sa mga halaga ng mga elemento at mataas na sensitivity sa kanilang mga pagbabago. Upang makamit ang magagandang resulta, makakuha SA
Inayos LPF-salain. ... MOS-structure, ay ang kakayahang ayusin ang pakinabang at banda salain kapag nagpapalit ng denominasyon pinakamababa ... salain sa microcircuits uri...ay may pareho utos ang parehong mga halaga bilang... klasiko mga filterChebysheva At Butterworth, ...
Kapag sinusuri ang mga filter at kinakalkula ang kanilang mga parameter, palaging ginagamit ang ilang karaniwang termino at makatuwirang manatili sa mga ito mula pa sa simula.
Ipagpalagay natin na gusto mo ng low-pass na filter na may flat na tugon sa passband at isang matalim na paglipat sa stopband. Ang huling slope ng tugon sa stopband ay palaging magiging 6n dB/octave, kung saan ang n ay ang bilang ng "pole". Isang capacitor (o inductor) ang kailangan sa bawat poste, kaya ang panghuling roll-off rate na kinakailangan ng filter ay halos matukoy ang pagiging kumplikado nito.
Ngayon sabihin nating nagpasya kang gumamit ng 6-pole low-pass na filter. Ikaw ay garantisadong isang huling roll-off sa mataas na frequency na 36 dB/octave. Sa turn, posible na ngayong i-optimize ang disenyo ng filter sa kahulugan ng pagbibigay ng pinaka-flat na tugon sa passband sa pamamagitan ng pagbabawas ng slope ng paglipat mula sa passband patungo sa stopband. Sa kabilang banda, sa pamamagitan ng pagpapahintulot sa ilang ripple sa passband, maaaring makamit ang mas matarik na paglipat mula sa passband patungo sa stopband. Ang ikatlong criterion, na maaaring mahalaga, ay naglalarawan sa kakayahan ng filter na magpasa ng mga signal na may spectrum na nasa loob ng passband nang hindi binabaluktot ang kanilang hugis dahil sa mga pagbabago sa phase. Maaari ka ring maging interesado sa oras ng pagtaas, pag-overshoot, at oras ng pag-aayos.
Ang mga paraan ng disenyo ng filter ay kilala na angkop para sa pag-optimize ng alinman sa mga katangiang ito o mga kumbinasyon nito. Ang tunay na matalinong pagpili ng filter ay hindi nangyayari tulad ng inilarawan sa itaas; Bilang isang patakaran, ang kinakailangang pagkakapareho ng katangian sa passband at ang kinakailangang pagpapalambing sa isang tiyak na dalas sa labas ng passband at iba pang mga parameter ay unang itinakda. Pagkatapos nito, ang pinaka-angkop na circuit ay pinili na may sapat na bilang ng mga pole upang matugunan ang lahat ng mga kinakailangang ito. Ang susunod na ilang mga seksyon ay titingnan ang tatlong pinakasikat na uri ng mga filter, katulad ng Butterworth filter (ang pinakapayat na tugon sa passband), ang Chebyshev na filter (ang pinakamatarik na paglipat mula sa passband patungo sa stopband), at ang Bessel na filter (ang pinakapabagal na pagtugon sa oras ng lag) . Anuman sa mga uri ng filter na ito ay maaaring ipatupad gamit ang iba't ibang filter circuit; Tatalakayin natin ang ilan sa mga ito sa ibang pagkakataon. Ang lahat ng ito ay pantay na angkop para sa paggawa ng mga low- at high-pass na filter at bandpass filter.
Mga filter ng Butterworth at Chebyshev. Ang filter ng Butterworth ay nagbibigay ng pinaka-flat na tugon sa passband, na nakakamit sa halaga ng kinis sa rehiyon ng paglipat, i.e. sa pagitan ng mga passband at delayband. Gaya ng ipapakita sa ibang pagkakataon, mayroon din itong mahinang phase-frequency na tugon. Ang katangian ng amplitude-frequency nito ay ibinibigay ng sumusunod na formula:
U out /U in = 1/ 1/2,
kung saan ang n ay tumutukoy sa pagkakasunud-sunod ng filter (bilang ng mga pole). Ang pagtaas ng bilang ng mga pole ay ginagawang posible na patagin ang bahagi ng katangian sa passband at dagdagan ang steepness ng roll-off mula sa passband hanggang sa suppression band, tulad ng ipinapakita sa Fig. 5.10.
kanin. 5.10 Normalized na katangian ng Butterworth low-pass na mga filter. Pansinin ang pagtaas ng steepness ng katangiang rolloff sa pagtaas ng pagkakasunod-sunod ng filter.
Kapag pumipili ng isang filter ng Butterworth, isinasakripisyo namin ang lahat para sa kapakanan ng mga pinaka-flat na katangian. Ang katangian nito ay pahalang, simula sa zero frequency, ang inflection nito ay nagsisimula sa cutoff frequency ƒ s - kadalasang tumutugma ang frequency na ito sa -3 dB point.
Sa karamihan ng mga application, ang pinakamahalagang pagsasaalang-alang ay ang passband ripple ay hindi dapat lumampas sa isang tiyak na halaga, sabihin nating 1 dB. Ang filter ng Chebyshev ay nakakatugon sa kinakailangang ito, habang ang ilang hindi pagkakapantay-pantay ng katangian ay pinapayagan sa buong passband, ngunit sa parehong oras ang sharpness ng break nito ay lubhang tumataas. Para sa filter ng Chebyshev, ang bilang ng mga pole at ang hindi pagkakapantay-pantay sa passband ay tinukoy. Nagbibigay-daan para sa tumaas na hindi pagkakapantay-pantay sa passband, nakakakuha kami ng mas matalas na kink. Ang tugon ng amplitude-frequency ng filter na ito ay ibinibigay ng sumusunod na kaugnayan
U out /U in = 1/ 1/2,
kung saan ang C n ay isang Chebyshev polynomial ng unang uri ng degree n, at ang ε ay isang pare-pareho na tumutukoy sa hindi pagkakapantay-pantay ng katangian sa passband. Ang filter ng Chebyshev, tulad ng filter ng Butterworth, ay may mga katangian ng phase-frequency na malayo sa perpekto. Sa Fig. Inihahambing ng Figure 5.11 ang mga katangian ng 6-pole Chebyshev at Butterworth low-pass na mga filter. Gaya ng madali mong nakikita, pareho ay mas mahusay kaysa sa isang 6-pole RC filter.
kanin. 5.11. Paghahambing ng mga katangian ng ilang karaniwang ginagamit na 6-pole low-pass na mga filter. Ang mga katangian ng parehong mga filter ay ipinapakita sa parehong logarithmic (itaas) at linear (ibaba) na mga kaliskis. 1 - Bessel filter; 2 - Butterworth filter; 3 - Chebyshev filter (ripple 0.5 dB).
Sa katunayan, ang isang filter ng Butterworth na may napaka-flat na tugon ng passband ay hindi kaakit-akit gaya ng tila, dahil sa anumang kaso kailangan mong tiisin ang ilang hindi pagkakapantay-pantay sa passband (para sa isang filter ng Butterworth ito ay magiging isang unti-unting pagbaba sa tugon gaya ng ang dalas ay lumalapit sa ƒ c, at para sa filter ng Chebyshev - mga ripples na ipinamamahagi sa buong passband). Bilang karagdagan, ang mga aktibong filter na binuo mula sa mga elemento na may ilang tolerance ang mga rating ay magkakaroon ng katangiang naiiba sa kinakalkula, na nangangahulugan na sa katotohanan ay palaging magkakaroon ng ilang hindi pagkakapantay-pantay sa passband sa katangian ng filter ng Butterworth. Sa Fig. Ang Figure 5.12 ay naglalarawan ng epekto ng pinaka hindi kanais-nais na mga paglihis sa mga halaga ng kapasidad ng kapasitor at paglaban ng risistor sa katangian ng filter.
kanin. 5.12. Ang impluwensya ng mga pagbabago sa mga parameter ng elemento sa mga katangian ng aktibong filter.
Sa liwanag ng nasa itaas, ang isang napaka-makatwirang istraktura ay ang Chebyshev filter. Minsan ito ay tinatawag na isang pantay na alon na filter, dahil ang katangian nito sa rehiyon ng paglipat ay may mas mataas na steepness dahil sa ang katunayan na ang ilang pantay na laki ng mga pulsation ay ipinamamahagi sa passband, ang bilang nito ay tumataas sa pagkakasunud-sunod ng filter. Kahit na may medyo maliit na ripples (mga 0.1 dB), ang Chebyshev filter ay nagbibigay ng mas malaking slope sa transition region kaysa sa Butterworth filter. Upang mabilang ang pagkakaibang ito, ipagpalagay na ang isang filter ay kinakailangan na may passband flatness na hindi hihigit sa 0.1 dB at isang attenuation na 20 dB sa isang frequency na naiiba ng 25% mula sa cutoff frequency ng passband. Ipinapakita ng pagkalkula na sa kasong ito, kinakailangan ang isang 19-pol na filter ng Butterworth o isang 8-pol na Chebyshev na filter lamang.
Ang ideya na maaaring tiisin ng isang tao ang ripple sa passband para sa pagtaas ng steepness ng seksyon ng paglipat ay dinadala sa lohikal na konklusyon nito sa ideya ng tinatawag na elliptic filter (o Cauer filter), kung saan pinapayagan ang ripple. sa parehong passband at pagkaantala upang matiyak na ang steepness ng seksyon ng paglipat ay mas malaki kaysa sa katangian ng filter ng Chebyshev. Sa tulong ng isang computer, ang mga elliptic na filter ay maaaring idisenyo nang kasing simple ng klasikal na mga filter ng Chebyshev at Butterworth. Sa Fig. Ang Figure 5.13 ay nagpapakita ng isang graphical na paglalarawan ng amplitude-frequency na tugon ng filter. Sa kasong ito (low pass filter), ang katanggap-tanggap na hanay ng gain ng filter (i.e. ripple) sa passband, ang pinakamababang frequency kung saan ang katangian ay umalis sa passband, ang maximum na frequency kung saan ang katangian ay pumapasok sa stopband, at ang pinakamababang attenuation sa ang banda ay tinukoy. detensyon.
kanin. 5.13. Pagtatakda ng mga parameter ng tugon ng dalas ng filter.
Mga filter ng Bessel. Gaya ng naitatag kanina, ang tugon ng amplitude-frequency ng isang filter ay hindi nagbibigay ng kumpletong impormasyon tungkol dito. Ang isang filter na may flat amplitude-frequency na tugon ay maaaring magkaroon ng malalaking phase shift. Bilang resulta, ang hugis ng signal, ang spectrum na nasa passband, ay madidistort kapag dumadaan sa filter. Sa mga sitwasyon kung saan ang waveform ay pinakamahalaga, ito ay kanais-nais na magkaroon ng isang linear phase filter (constant delay time filter) na magagamit. Ang paghingi ng filter upang matiyak ang isang linear na pagbabago sa phase shift bilang isang function ng frequency ay katumbas ng nangangailangan ng patuloy na oras ng pagkaantala para sa isang signal na ang spectrum ay matatagpuan sa passband, ibig sabihin, ang kawalan ng pagbaluktot ng hugis ng signal. Ang Bessel filter (tinatawag din na Thomson filter) ay may pinaka-flat na bahagi ng passband lag time curve, kung paanong ang Butterworth filter ay may pinaka-flat na frequency response. Upang maunawaan ang pagpapabuti ng domain ng oras na ibinibigay ng Bessel filter, tingnan ang Fig. Ipinapakita ng Figure 5.14 ang frequency-normalized lag time plot para sa 6-pole na Bessel at Butterworth na low-pass na mga filter. Ang mahinang lag time na katangian ng filter ng Butterworth ay nagdudulot ng overshoot-type na mga epekto kapag dumaan ang mga pulsed signal sa filter. Sa kabilang banda, kailangan mong magbayad para sa patuloy na mga oras ng pagkaantala ng Bessel filter sa pamamagitan ng katotohanan na ang katangian ng amplitude-frequency nito ay may mas patag na seksyon ng paglipat sa pagitan ng passband at stopband kaysa sa katangian ng Butterworth filter.
kanin. 5.14. Paghahambing ng mga pagkaantala ng oras para sa 6-band na Bessel (1) at Butterworth (2) na mga low-pass na filter. Ang Bessel filter, dahil sa napakahusay nitong time domain properties, ay gumagawa ng pinakamababang waveform distortion.
Maraming iba't ibang diskarte sa disenyo ng filter na sumusubok na pahusayin ang pagganap ng time-domain ng isang Bessel filter, na bahagyang nagsasakripisyo ng pare-parehong lag time upang bawasan ang oras ng pagtaas at pagbutihin ang pagtugon sa dalas. Ang Gaussian filter ay may halos kasing ganda ng mga katangian ng phase gaya ng Bessel filter, ngunit may pinahusay na pansamantalang tugon. Ang isa pang kawili-wiling klase ay ang mga filter na ginagawang posible na makamit ang magkaparehong ripples sa delay time curve sa passband (katulad ng ripples sa amplitude-frequency na katangian ng isang Chebyshev filter) at nagbibigay ng humigit-kumulang sa parehong pagkaantala para sa mga signal na may spectrum hanggang sa stopband. Ang isa pang diskarte sa paggawa ng mga filter na may pare-parehong lag time ay ang paggamit ng mga all-pass na filter, kung hindi man ay tinatawag na time-domain equalizers. Ang mga filter na ito ay may pare-parehong amplitude-frequency na tugon, at ang phase shift ay maaaring baguhin ayon sa mga partikular na kinakailangan. Kaya, magagamit ang mga ito upang ipantay ang oras ng pagkaantala ng anumang mga filter, sa partikular na mga filter ng Butterworth at Chebyshev.
Paghahambing ng mga filter. Sa kabila ng mga naunang komento tungkol sa lumilipas na tugon ng mga filter ng Bessel, mayroon pa rin itong napakagandang time domain properties kumpara sa mga filter ng Butterworth at Chebyshev. Ang filter ng Chebyshev mismo, na may napaka-angkop na tugon sa amplitude-frequency, ay may pinakamasamang mga parameter sa domain ng oras ng lahat ng tatlong uri ng mga filter na ito. Ang filter ng Butterworth ay gumagawa ng isang trade-off sa pagitan ng mga frequency at mga katangian ng timing. Sa Fig. Ang Figure 5.15 ay nagbibigay ng impormasyon sa mga katangian ng pagganap ng tatlong uri ng mga filter na ito sa domain ng oras, na umaayon sa mga naunang graph ng mga katangian ng amplitude-frequency. Batay sa data na ito, maaari nating tapusin na sa mga kaso kung saan mahalaga ang mga parameter ng filter sa domain ng oras, ipinapayong gumamit ng Bessel filter.
kanin. 5.15. Lumilipas na paghahambing ng 6-pole low-pass na mga filter. Ang mga curve ay na-normalize sa pamamagitan ng pagbabawas ng attenuation value na 3 dB sa dalas ng 1 Hz. 1 - Bessel filter; 2 - Butterworth filter; 3 - Chebyshev filter (ripple 0.5 dB).
Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa filter ng Butterworth, isaalang-alang ang mga order ng mga filter, dekada at octaves, at pag-aralan nang detalyado ang third-order na Butterworth low-pass filter na may kalkulasyon at circuit.
Panimula
Sa mga device na gumagamit ng mga filter para hubugin ang frequency spectrum ng isang signal, gaya ng mga komunikasyon o control system, maaaring masyadong mahaba ang hugis o lapad ng rolloff, na tinatawag ding "cut-off band", para sa isang simpleng first-order na filter. , o malawak at aktibong mga filter na idinisenyo na may higit sa isang "order". Ang mga uri ng filter na ito ay karaniwang kilala bilang "high order" o "nth order" na mga filter.
I-filter ang order
Ang pagiging kumplikado o uri ng filter ay tinutukoy ng "pagkakasunod-sunod" ng mga filter at depende sa bilang ng mga reaktibong bahagi tulad ng mga capacitor o inductors sa disenyo nito. Alam din namin na ang roll-off rate at samakatuwid ang transition bandwidth ay nakadepende sa order number ng filter at na para sa isang simpleng first-order na filter ay mayroon itong karaniwang roll-off rate na 20 dB/decade o 6 dB/octave.
Pagkatapos, para sa isang filter na mayroong ika-n sequence number, magkakaroon ito ng kasunod na roll-off rate na 20n dB/decade o 6n dB/octave. kaya:
- filter ng unang order ay may rate ng pagkabulok na 20 dB/dekada (6 dB/oktaba)
- pangalawang order na filter ay may roll-off rate na 40 dB/dekada (12 dB/octave)
- filter na pang-apat na order may roll-off frequency na 80 dB/decade (24 dB/octave), atbp.
Ang mga filter na mas mataas ang pagkakasunud-sunod gaya ng pangatlo, ikaapat at ikalimang order ay karaniwang nabubuo sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga filter na una at pangalawang order.
Halimbawa, maaaring i-cascade ang dalawang second-order na low-pass na filter upang makagawa ng pang-apat na order na low-pass na filter, at iba pa. Bagama't walang limitasyon sa pagkakasunud-sunod ng isang filter na maaaring mabuo, ang pagtaas ng order ay nagpapataas ng laki at gastos nito, at nagpapababa ng katumpakan nito.
Mga dekada at oktaba
Huling komento tungkol sa Mga dekada At Mga oktaba. Sukat ng dalas dekada ay isang sampung ulit na pagtaas (multiply sa 10) o isang sampung ulit na pagbaba (hahati sa 10). Halimbawa, ang 2 hanggang 20 Hz ay kumakatawan sa isang dekada, samantalang ang 50 hanggang 5000 Hz ay kumakatawan sa dalawang dekada (50 hanggang 500 Hz at pagkatapos ay 500 hanggang 5000 Hz).
Oktaba ay isang pagdodoble (multiply sa 2) o paghahati (hahati sa 2) sa frequency scale. Halimbawa, ang 10 hanggang 20 Hz ay kumakatawan sa isang octave, at ang 2 hanggang 16 Hz ay kumakatawan sa tatlong octaves (2 hanggang 4, 4 hanggang 8, at panghuli 8 hanggang 16 Hz), na nagdodoble sa frequency sa bawat pagkakataon. Anyway, logarithmic Ang mga kaliskis ay malawakang ginagamit sa domain ng dalas upang ipahiwatig ang mga halaga ng dalas kapag nagtatrabaho sa mga amplifier at mga filter, kaya mahalagang maunawaan ang mga ito.
Dahil ang mga resistor na tumutukoy sa dalas ay pantay-pantay, pati na rin ang mga capacitor na tumutukoy sa dalas, ang cutoff o sulok na dalas (ƒ C) para sa una, pangalawa, pangatlo, o maging sa ikaapat na pagkakasunod-sunod na filter ay dapat ding pantay at matatagpuan gamit ang pamilyar equation:
Tulad ng mga filter ng una at pangalawang order, ang mga pangatlo at ikaapat na order na high-pass na mga filter ay nabuo sa pamamagitan lamang ng pagpapalit ng mga posisyon ng mga bahagi na tumutukoy sa dalas (mga resistors at capacitor) sa isang katumbas na low-pass na filter. Maaaring idisenyo ang mga high-order na filter sa pamamagitan ng pagsunod sa mga pamamaraan na nakita namin kanina sa mga low-pass na filter at mga high-pass na filter na mga tutorial. Gayunpaman, ang kabuuang pakinabang ng mga filter na may mataas na pagkakasunud-sunod ay nakapirming, dahil ang lahat ng mga sangkap na tumutukoy sa dalas ay pareho.
I-filter ang mga pagtatantya
Sa ngayon, tiningnan namin ang mga low-pass at high-pass na first-order na filter circuit at ang mga resultang katangian ng dalas at phase. Ang isang mainam na filter ay magbibigay sa amin ng mga detalye ng maximum passband gain at flatness, minimum passband attenuation, at isang napakatarik na passband upang ihinto ang roll-off (transition band), at kaya malinaw na maraming bilang ng mga tugon sa network ang makakatugon sa mga kinakailangang ito.
Hindi nakakagulat na ang linear na analog na disenyo ng filter ay may ilang "approximation function" na gumagamit ng mathematical na diskarte upang pinakamahusay na tantiyahin ang transfer function na kailangan namin para magdisenyo ng mga filter.
Ang ganitong mga disenyo ay kilala bilang Elliptical, Butterworth, Chebyshev, Bessel, Cowher at marami pang iba. Sa limang "classical" na linear na analog filter approximation function na ito, lamang Filter ng Butterworth at lalo na ang disenyo low pass na filter ng Butterworth ay isasaalang-alang dito bilang pinakakaraniwang ginagamit nitong function.
Low-pass na filter ng Butterworth
Dalas na tugon ng approximation function Filter ng Butterworth madalas ding tinatawag na "bilang flat hangga't maaari" (ripple-free) na tugon dahil ang passband ay idinisenyo upang magkaroon ng frequency response na kasing flat ng mathematically possible, mula 0 Hz (DC) hanggang -3 dB cutoff frequency na walang ripple. Ang mas matataas na frequency na lampas sa cutoff point ay binabawasan sa zero sa stopband sa 20 dB/decade o 6 dB/octave. Ito ay dahil mayroon itong "quality factor", "Q" na 0.707 lamang.
Gayunpaman, ang isa sa mga pangunahing disadvantage ng Butterworth filter ay ang pagkamit nitong passband flatness sa gastos ng malawak na transition band habang nagbabago ang filter mula sa passband patungo sa stopband. Mayroon din itong mahinang mga katangian ng phase. Ang perpektong tugon sa dalas, na tinatawag na "brick wall" na filter, at karaniwang mga pagtatantya ng Butterworth para sa iba't ibang mga order ng filter ay ibinibigay sa ibaba.
Tandaan na kung mas mataas ang pagkakasunud-sunod ng filter ng Butterworth, mas marami ang bilang ng mga cascaded stage sa disenyo ng filter at mas malapit ang filter sa perpektong "brick wall" na tugon.
Gayunpaman, sa pagsasagawa, ang perpektong tugon ng dalas ng Butterworth ay hindi makakamit dahil nagdudulot ito ng labis na ripple sa passband.
Kung saan ang pangkalahatang equation na kumakatawan sa "nth" order na filter ng Butterworth, ang frequency response ay ibinibigay ng:
Kung saan: kinakatawan ng n ang pagkakasunud-sunod ng filter, ang ω ay 2πƒ, at ang ε ay ang maximum na nakuha ng passband (A max).
Kung ang A max ay tinukoy sa frequency na katumbas ng -3 dB corner cutoff point (ƒc), ang ε ay magiging katumbas ng isa at samakatuwid ang ε 2 ay magiging katumbas din ng isa. Gayunpaman, kung gusto mo na ngayong tukuyin ang A max sa ibang halaga ng pagtaas ng boltahe, halimbawa 1 dB o 1.1220 (1 dB = 20 * logA max), kung gayon ang bagong halaga ng ε ay matatagpuan gamit ang formula:
Ang pagpapalit ng data sa mga equation, nakukuha namin:
Dalas na tugon ang filter ay maaaring matukoy nang mathematically sa pamamagitan nito paglipat ng function na may boltahe transfer standard Function H (jω) at nakasulat bilang:
Tandaan: Ang (jω) ay maaari ding isulat bilang (s) upang ipahiwatig S-mga rehiyon. at ang resultang transfer function para sa pangalawang order na low pass na filter ay ibinibigay ng:
Normalized low-pass Butterworth filter polynomials
Upang tumulong sa disenyo ng kanyang mga low-pass na filter, gumawa si Butterworth ng mga karaniwang talahanayan ng na-normalize na second-order na low-pass polynomial na binibigyan ng mga coefficient value na tumutugma sa isang angle cutoff frequency na 1 radian/s.
| N | Normalized denominator polynomials sa factored form |
| 1 | (1+S) |
| 2 | (1 + 1.414 s + s 2) |
| 3 | (1 + s) (1 + s + s 2) |
| 4 | (1 + 0.765 s + s 2) (1 + 1.848 s + s 2) |
| 5 | (1 + s) (1 + 0.618 s + s 2) (1 + 1.618 s + s 2) |
| 6 | (1 + 0.518 s + s 2) (1 + 1.414 s + s 2) (1 + 1.932 s + s 2) |
| 7 | (1 + s) (1 + 0.445 s + s 2) (1 + 1.247 s + s 2) (1 + 1.802 s + s 2) |
| 8 | (1 + 0.390 s + s 2) (1 + 1.111 s + s 2) (1 + 1.663 s + s 2) (1 + 1.962 s + s 2) |
| 9 | (1 + s) (1 + 0.347 s + s 2) (1 + s + s 2) (1 + 1.532 s + s 2) (1 + 1.879 s + s 2) |
| 10 | (1 + 0.313 s + s 2) (1 + 0.908 s + s 2) (1 + 1.414 s + s 2) (1 + 1.782 s + s 2) (1 + 1.975 s + s 2) |
Pagkalkula at circuit ng low-pass na filter ng Butterworth
Hanapin ang pagkakasunud-sunod ng isang aktibong low-pass na filter ng Butterworth na ang mga katangian ay ibinibigay bilang: A max = 0.5 dB sa isang passband frequency (ωp) na 200 radians/sec (31.8 Hz), at A min = -20 dB sa isang stopband frequency (ωs ) 800 radians/seg. Magdisenyo din ng angkop na Butterworth filter circuit upang matugunan ang mga kinakailangang ito.
Una, ang maximum passband gain A max = 0.5 dB, na katumbas ng gain 1,0593 , tandaan na: 0.5 dB = 20 * log(A) sa frequency (ωp) na 200 rad/s, kaya ang halaga ng epsilon ε ay matatagpuan sa pamamagitan ng:
Pangalawa, ang minimum stop band gain A min = -20 dB, na katumbas ng gain 10 (-20 dB = 20 * log(A)) sa isang stop band frequency (ωs) na 800 rad/s o 127.3 Hz.
Ang pagpapalit ng mga halaga sa pangkalahatang equation para sa dalas ng pagtugon ng mga filter ng Butterworth ay nagbibigay sa amin ng sumusunod:
Dahil ang n ay dapat palaging isang integer, ang susunod na pinakamataas na halaga ng 2.42 ay magiging n = 3, kaya "kailangan ng filter ng ikatlong order" at upang lumikha Filter ng Butterworth ikatlong order, ang pangalawang order na yugto ng filter ay nangangailangan ng cascading na may unang order na yugto ng filter.
Mula sa talahanayan sa itaas ng normalized low pass Butterworth polynomials, ang coefficient para sa isang third order filter ay ibinibigay bilang (1 + s)(1 + s + s 2) at ito ay nagbibigay sa amin ng gain na 3-A = 1 o A = 2 . Sa A = 1 + (Rf / R1), ang pagpili ng isang halaga para sa parehong feedback resistor Rf at risistor R1 ay nagbibigay sa amin ng mga halaga 1 kOhm at 1 kOhm, ayon sa pagkakabanggit, bilang: (1 kOhm / 1 kOhm) + 1 = 2.
Alam natin na ang cutoff ng frequency ng sulok, -3 dB point (ω o) ay matatagpuan gamit ang formula 1/CR, ngunit kailangan nating hanapin ang ω o mula sa passband frequency ω p.
Kaya't ang dalas ng cutoff ng anggulo ay ibinibigay bilang 284 rad/s o 45.2 Hz (284/2π), at gamit ang pamilyar na 1/RC formula maaari nating mahanap ang mga halaga ng risistor at kapasitor para sa ating ikatlong order na circuit.
Tandaan na ang pinakamalapit na gustong value hanggang 0.352 µF ay magiging 0.36 µF o 360 nF.
At sa wakas, ang aming low-pass filter circuit Butterworth ikatlong order na may angular na cutoff frequency na 284 rad/s o 45.2 Hz, ang maximum passband gain na 0.5 dB at ang minimum na stopband gain na 20 dB ay itinayo bilang mga sumusunod.
Kaya para sa aming 3rd order Butterworth low pass filter na may corner frequency na 45.2 Hz, C = 360 nF at R = 10 kΩ