Kahulugan 4.1.1. singsing (K, +, ) ay isang sistemang algebraic na may isang set na hindi walang laman K at dalawang binary algebraic operations dito, na tatawagin natin karagdagan At pagpaparami. Ang singsing ay isang Abelian additive group, at ang multiplikasyon at karagdagan ay nauugnay sa mga batas ng distributivity: ( a + b)  c = a  c + b  c At Sa  (a + b) = c  a + c  b para sa arbitraryo a, b, c  K.

Halimbawa 4.1.1. Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga singsing.

1. (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) – ayon sa pagkakabanggit, mga ring ng integer, rational, real at complex na mga numero na may mga karaniwang operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami. Ang mga singsing na ito ay tinatawag numerical.

2. (Z/ nZ, +, ) – singsing ng mga natitirang klase modulo n  N na may mga pagpapatakbo ng pagdaragdag at pagpaparami.

3. Isang grupo ng M n (K) lahat ng square matrices ng fixed order n  N na may mga coefficient mula sa singsing ( K, +, ) na may mga operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami ng matrix. Sa partikular, K maaaring magkapantay Z, Q, R, C o Z/nZ sa n  N.

4. Ang hanay ng lahat ng totoong function na tinukoy sa isang nakapirming agwat ( a; b) real number axis, na may mga karaniwang operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga function.

5. Set ng polynomials (polynomials) K[x] na may mga coefficient mula sa singsing ( K, +, ) mula sa isang variable x na may natural na mga operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga polynomial. Sa partikular, polynomial rings Z[x], Q[x], R[x], C[x], Z/nZ[x] sa n  N.

6. singsing ng mga vector ( V 3 (R), +, ) na may mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagpaparami ng vector.

7. Ring ((0), +, ) na may mga operasyon sa pagdaragdag at pagpaparami: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

Kahulugan 4.1.2. Makilala may hangganan at walang hanggan singsing (ayon sa bilang ng mga elemento ng set K), ngunit ang pangunahing pag-uuri ay batay sa mga katangian ng pagpaparami. Makilala nag-uugnay tumutunog kapag ang pagpaparami ng operasyon ay nauugnay (mga puntos 1–5, 7 ng halimbawa 4.1.1) at hindi nag-uugnay singsing (punto 6 ng halimbawa 4.1.1: dito , ). Ang mga singsing ng asosasyon ay nahahati sa singsing na may isa(may neutral na elemento tungkol sa multiplikasyon) at walang unit, commutative(ang multiplication operation ay commutative) at non-commutative.

Teorama4.1.1. Hayaan ( K, +, ) ay isang nag-uugnay na singsing na may isa. Tapos marami K* nababaligtad na may paggalang sa pagpaparami ng mga elemento ng singsing K– pangkat ng multiplicative.

Suriin natin ang katuparan ng kahulugan ng pangkat 3.2.1. Hayaan a, b  K*. Ipakita natin yan a  b  K * .  (a  b) –1 = b –1  A –1  K. Talaga,

(a  b)  (b –1  A –1) = a  (b  b –1)  A –1 = a  1  A –1 = 1,

(b –1  A –1)  (a  b) = b –1  (A –1  a)  b = b –1  1  b = 1,

saan A –1 , b –1  K– kabaligtaran na mga elemento sa a At b ayon sa pagkakabanggit.

1) Multiplikasyon sa K* kaugnay, dahil K– nag-uugnay na singsing.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  K* , 1 – neutral na elemento na may kinalaman sa multiplikasyon sa K * .

3) Para sa  a  K * , A –1  K* , dahil ( A –1)  a= a  (A –1) = 1
(A –1) –1 = a.

Kahulugan 4.1.3. Isang grupo ng K* nababaligtad na may paggalang sa pagpaparami ng mga elemento ng singsing ( K, +, ) ay tinatawag multiplicative ring group.

Halimbawa 4.1.2. Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga multiplicative na grupo ng iba't ibang singsing.

1. Z * = {1, –1}.

2. M n (Q) * = G.L. n (Q), M n (R) * = G.L. n (R), M n (C) * = G.L. n (C).

3. Z/nZ* – hanay ng mga nababaligtad na klase ng mga nalalabi, Z/nZ * = { | (k, n) = 1, 0  k < n), sa n > 1 | Z/nZ * | =  (n), Saan  - Pag-andar ng Euler.

4. (0) * = (0), dahil sa kasong ito 1 = 0. 

Kahulugan 4.1.4. Kung nasa isang associative ring ( K, +, ) na may pangkat ng yunit K * = K\(0), kung saan ang 0 ay isang neutral na elemento na may kinalaman sa karagdagan, kung gayon ang naturang singsing ay tinatawag katawan o algebra na maydibisyon. Ang commutative body ay tinatawag patlang.

Mula sa kahulugan na ito ay malinaw na sa katawan K*   at 1  K* nangangahulugang 1  0, samakatuwid ang minimal na katawan, na isang field, ay binubuo ng dalawang elemento: 0 at 1.

Halimbawa 4.1.3.

1. (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) ay ang mga patlang ng bilang ng mga rational, real at complex na mga numero, ayon sa pagkakabanggit.

2. (Z/pZ, +, ) – isang may hangganan na field mula sa p elemento kung p- Pangunahing numero. Halimbawa, ( Z/2Z, +, ) – ang pinakamababang field ng dalawang elemento.

3. Ang isang non-commutative body ay ang katawan ng mga quaternions - isang koleksyon ng mga quaternions, iyon ay, mga expression ng anyo h= a + bi + cj + dk, Saan a, b, c, d  R, i 2 = = j 2 = k 2 = –1, i  j= k= – j  i, j  k= i= – k  j, i  k= – j= – k  i, na may mga operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami. Ang mga quaternion ay idinaragdag at pinarami ang termino sa pamamagitan ng termino, na isinasaalang-alang ang mga formula sa itaas. Para sa lahat h 0 inverse quaternion ay may anyo:
.

May mga singsing na may zero divisors at rings na walang zero divisors.

Kahulugan 4.1.5. Kung ang singsing ay naglalaman ng mga di-zero na elemento a At b ganyan a  b= 0, pagkatapos ay tinawag sila zero divisors, at ang singsing mismo - singsing na may zero divider. Kung hindi, ang singsing ay tinatawag singsing na walang zero divisors.

Halimbawa 4.1.4.

1. Mga singsing ( Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) – mga singsing na walang zero divisors.

2. Sa singsing ( V 3 (R), +, ) bawat di-zero na elemento ay isang zero divisor, dahil
para sa lahat
V 3 (R).

3. Sa matrix ring M 3 (Z) ang mga halimbawa ng zero divisors ay matrices
At
, dahil A  B = O(zero matrix).

4. Sa singsing ( Z/ nZ, +, ) na may composite n= k  m, kung saan 1< k, m < n, mga natitirang klase At ay mga zero divisors, dahil . 

Sa ibaba ipinakita namin ang mga pangunahing katangian ng mga singsing at mga patlang.

Fsb4000 nagsulat:

2. a) ang isang divisible na grupong Abelian ay walang pinakamaraming subgroup

Sa tingin ko sapat na ang kumpletong solusyon na iyon, tama ba? Ililibing ka ng mga moderator sa katotohanang ganap ko nang inilarawan ang dalawang gawain para sa iyo!!! Samakatuwid, upang hindi magalit sa kanila, lilimitahan natin ang ating sarili sa mga ideya.

Sa ibaba ay palagi naming ipinapalagay na ang natural na serye ay nagsisimula sa isa.

Ipagpalagay na ang --- ay isang mahahati na pangkat at --- ay isang pinakamataas na subgroup sa . Isipin mo

Patunayan na ang --- ay isang subgroup sa , na naglalaman ng . Dahil sa maximality, dalawang kaso lang ang posible: o .

Isaalang-alang ang bawat kaso nang hiwalay at makarating sa isang kontradiksyon. Kung sakali, kunin at patunayan iyon

ay isang wastong subgroup sa naglalaman at hindi katumbas ng . Sa kaso ng pag-aayos at , ganoon at ipakita iyon

ay isang wastong subgroup ng , naglalaman at hindi tumutugma sa .

Idinagdag pagkatapos ng 10 minuto 17 segundo:

Fsb4000 nagsulat:

b) magbigay ng mga halimbawa ng nahahati na mga grupong Abelian; maaari ba silang maging may hangganan?

Ang pinakasimpleng halimbawa ay ito. Well, o --- alinman ang gusto mo.

Kung tungkol sa finiteness... siyempre, hindi maaaring finite ang isang divisible group (maliban sa trivial case kapag ang grupo ay binubuo ng isang zero). Ipagpalagay na --- ay isang may hangganang grupo. Patunayan na para sa ilan at lahat. Pagkatapos ay kunin ito at tingnan na ang equation ay hindi malulutas para sa nonzero .

Idinagdag pagkatapos ng 9 minuto 56 segundo:

Fsb4000 nagsulat:

4. Bumuo ng isang halimbawa ng commutative at associative ring R ()(), kung saan walang pinakamaraming ideal.

Kunin ang grupong Abelian. Ipakita na ito ay mahahati. Tukuyin ang multiplikasyon tulad ng sumusunod:

Ipakita kung para saan lahat ng dapat gawin ay tapos na.

Oops!.. Pero parang nagkamali ako dito. Mayroong pinakamataas na ideal, ito ay katumbas ng . Buweno, oo, kailangan ko pa ring mag-isip... Ngunit hindi ako mag-iisip ng anuman ngayon, ngunit sa halip ay magtrabaho, sa unibersidad. Kailangan mong mag-iwan ng hindi bababa sa isang bagay para sa iyong sarili upang magpasya!

Idinagdag pagkatapos ng 10 minuto 29 segundo:

Fsb4000 nagsulat:

1. Patunayan na ang isang arbitrary na singsing na may pagkakakilanlan ay naglalaman ng pinakamaraming ideyal.

sa pamamagitan ng solusyon: 1. Sa pamamagitan ng lemma ni Zorn, pipiliin natin ang minimal na positibong elemento, ito ang magiging generator ng ideal.

Well... Hindi ko alam kung anong uri ng minimal na positibong elemento ang naisip mo. Sa aking opinyon, ito ay ganap na walang kapararakan. Anong uri ng "positibong elemento" ang makikita mo sa isang arbitrary na singsing kung ang pagkakasunud-sunod ay hindi tinukoy sa singsing na ito at hindi malinaw kung ano ang "positibo" at kung ano ang "negatibo"...

Ngunit tungkol sa katotohanan na kailangan nating ilapat ang lemma ni Zorn, ito ang tamang ideya. Kailangan mo lamang ilapat ito sa hanay ng mga tamang ideals ng singsing. Kunin mo ang set na ito, i-order ito ayon sa karaniwang inclusion relation at ipakita na ang pagkakasunud-sunod na ito ay inductive. Pagkatapos, sa pamamagitan ng lemma ni Zorn, napagpasyahan mo na ang hanay na ito ay may pinakamaraming elemento. Ang pinakamataas na elementong ito ang magiging pinakamataas na ideal!

Kapag nagpakita ka ng inductance, kunin ang kanilang unyon bilang pinakamataas na hangganan para sa kadena ng iyong sariling mga mithiin. Ito rin ay magiging isang ideal, ngunit ito ay magiging sarili nito dahil ang yunit ay hindi isasama dito. At sa pamamagitan ng paraan, sa isang singsing na walang yunit ang patunay ay hindi dumaan sa lemma ni Zorn, ngunit ang buong punto ay tiyak sa sandaling ito.

Idinagdag pagkatapos ng 34 minuto 54 segundo:

Alexiii nagsulat:

Ang anumang singsing sa pamamagitan ng kahulugan ay may isang yunit, kaya hindi maiisip na magsulat ng "isang singsing na may isang yunit." Anumang singsing sa kanyang sarili ay isang perpektong singsing at, bukod dito, malinaw naman ang maximum...

Itinuro sa amin na ang pagkakaroon ng isang yunit ay hindi kasama sa kahulugan ng isang singsing. Kaya't ang isang di-makatwirang singsing ay hindi kinakailangang maglaman ng isa, at kung mayroon man ito, kung gayon ito ay higit pa sa angkop na sabihin tungkol sa gayong singsing na ito ay isang "singsing na may isa"!

Sa palagay ko, sa pamamagitan ng paghahalungkat sa silid-aklatan, makakahanap ako ng isang grupo ng mga napaka-solid na aklat-aralin sa algebra na nagpapatunay sa aking pananaw. At sa mathencyclopedia ay nakasulat na ang isang singsing ay hindi kailangang magkaroon nito. Kaya lahat ng nasa problem statement ng topic author ay tama, hindi na siya dapat sisihin!

Ang pinakamataas na ideal ng isang singsing, sa pamamagitan ng kahulugan, ay isang ideal na pinakamalaki na may kinalaman sa pagsasama sa mga sariling mithiin. Ito ay hindi lamang nakasulat tungkol sa marami, ngunit sa lahat ng mga aklat-aralin sa algebra kung saan ang teorya ng mga singsing ay naroroon. Kaya, tungkol sa maximum, mayroon kang ibang lahi na ganap na wala sa paksa!

Idinagdag pagkatapos ng 6 minuto 5 segundo:

Alexiii nagsulat:

Sa pangkalahatan, tulad ng naiintindihan ko mula sa iyong mga komento, ang "mga singsing na may pagkakaisa" ay isinulat lamang upang ibukod ang kaso ng solong elemento.

Ganap na hindi maintindihan! Ang "mga singsing na may isang yunit" ay isinulat upang ipahiwatig ang pagkakaroon ng isang yunit sa singsing

At maraming singsing na walang unit. Halimbawa, ang isang set ng even integer na may ordinaryong karagdagan at multiplikasyon ay bumubuo ng naturang singsing.

Naglalaman ng isang yunit ay tinatawag na singsing na may isa . Ang unit ay karaniwang itinalaga ng numerong "1" (na sumasalamin sa mga katangian ng numero ng parehong pangalan) o kung minsan (halimbawa, sa matrix algebra), sa pamamagitan ng Latin na titik I o E.

Ang iba't ibang kahulugan ng mga bagay na algebraic ay maaaring mangailangan ng pagkakaroon ng isang yunit o iwanan ito bilang isang opsyonal na elemento. Ang isang panig na neutral na elemento ay hindi tinatawag na isang yunit. Ang unit ay natatangi sa pangkalahatang katangian ng isang dalawang-panig na neutral na elemento.

Minsan ang mga yunit ng isang singsing ay tinatawag na mga invertible na elemento nito, na maaaring magdulot ng pagkalito.

Isa, zero at teorya ng kategorya

Ang yunit ay ang tanging elemento ng singsing na parehong idempotent at invertible.

Pagbabalik-tanaw

Nababaligtad Anumang elemento u ng isang singsing na may pagkakaisa na isang dalawang panig na divisor ng pagkakaisa ay tinatawag, iyon ay:

habang pinapanatili ang mga katangian tulad ng pagkakaugnay at commutativity ng multiplikasyon. Elemento 1 magiging unit ng extended algebra. Kung mayroon nang isang yunit sa algebra, pagkatapos pagkatapos ng pagpapalawak ito ay magiging isang hindi maibabalik na idempotent.

Maaari rin itong gawin gamit ang isang singsing, halimbawa, dahil ang bawat singsing ay isang associative algebra over

Anotasyon: Tinatalakay ng panayam na ito ang mga konsepto ng singsing. Ang mga pangunahing kahulugan at katangian ng mga elemento ng singsing ay ibinigay, at ang mga nauugnay na singsing ay isinasaalang-alang. Ang isang bilang ng mga problema sa katangian ay isinasaalang-alang, ang mga pangunahing theorems ay pinatunayan, at ang mga problema para sa independiyenteng pagsasaalang-alang ay ibinigay

Mga singsing

Ang isang set R na may dalawang binary operations (addition + at multiplication) ay tinatawag nag-uugnay na singsing na may yunit, Kung:

Kung ang pagpaparami ng operasyon ay commutative, kung gayon ang singsing ay tinatawag commutative singsing. Ang mga commutative ring ay isa sa mga pangunahing bagay ng pag-aaral sa commutative algebra at algebraic geometry.

Mga Tala 1.10.1.

Mga Halimbawa 1.10.2 (mga halimbawa ng associative ring).

Nakita na natin na ang grupo ng mga nalalabi (Z n , +)=(C 0 ,C 1 ,...,C n-1 ), C k =k+nZ, modulo n kasama ang pagpapatakbo ng karagdagan, ay isang commutative group (tingnan ang halimbawa 1.9.4, 2)).

Tukuyin natin ang pagpaparami sa pamamagitan ng pagtatakda . Suriin natin ang kawastuhan ng operasyong ito. Kung C k =C k" , C l =C l" , kung gayon k"=k+nu , l"=l+nv , at samakatuwid ay C k"l" =C kl .

kasi (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m, pagkatapos ay isang associative commutative ring na may unit C 1 residue ring modulo n).

Mga katangian ng mga singsing (R+,.)

Lemma 1.10.3 (binomial ni Newton). Hayaan ang R ay isang singsing na may 1 , , . Pagkatapos:

Patunay.

Kahulugan 1.10.4. Ang isang subset S ng isang singsing na R ay tinatawag subring, Kung:

a) Ang S ay isang subgroup na may kinalaman sa karagdagan sa grupo (R+);

b) dahil mayroon tayong ;

c) para sa isang singsing na R na may 1 ay ipinapalagay na .

Mga Halimbawa 1.10.5 (mga halimbawa ng mga subring).

Suliranin 1.10.6. Ilarawan ang lahat ng subrings sa residue ring Zn modulo n.

Tandaan 1.10.7. Sa ring Z 10, ang mga elemento na multiple ng 5 ay bumubuo ng isang singsing na may 1, na hindi isang subring sa Z 10 (ang mga singsing na ito ay may iba't ibang elemento ng yunit).

Kahulugan 1.10.8. Kung ang R ay isang singsing, at , ab=0, kung gayon ang elemento a ay tinatawag na kaliwang zero divisor sa R, ang elemento b ay tinatawag na kanang zero divisor sa R.

Tandaan 1.10.9. Sa mga commutative ring, siyempre, walang pagkakaiba sa pagitan ng kaliwa at kanang zero divisors.

Halimbawa 1.10.10. Walang zero divisors sa Z, Q, R.

Halimbawa 1.10.11. Ang singsing ng tuluy-tuloy na mga function C ay may zero divisors. Sa katunayan, kung

Halimbawa 1.10.12. Kung n=kl , 1

Lemma 1.10.13. Kung walang (kaliwa) zero divisors sa singsing R, pagkatapos ay mula sa ab=ac , kung saan , , kasunod nito ang b=c (ibig sabihin, ang kakayahang magkansela ng isang hindi zero na elemento sa kaliwa kung walang kaliwang zero divisors; at sa kanan kung walang right zero divisors).

Patunay. Kung ab=ac , pagkatapos ay a(b-c)=0 . Dahil ang a ay hindi kaliwang zero divisor, kung gayon b-c=0, ibig sabihin, b=c.

Kahulugan 1.10.14. Ang elemento ay tinatawag nilpotent, kung x n =0 para sa ilan . Ang pinakamaliit na natural na bilang n ay tinatawag antas ng nilpotency ng isang elemento .

Malinaw na ang isang nilpotent na elemento ay isang zero divisor (kung n>1 kung gayon , ). Ang kabaligtaran na pahayag ay hindi totoo (walang nilpotent na elemento sa Z 6, ngunit ang 2, 3, 4 ay hindi zero na divisors ng zero).

Pagsasanay 1.10.15. Ang singsing na Z n ay naglalaman ng mga nilpotent na elemento kung at kung ang n ay nahahati sa m 2 , kung saan , .

Kahulugan 1.10.16. Ang elementong x ng singsing na R ay tinatawag idempotent, kung x 2 =x . Malinaw na 0 2 =0, 1 2 =1. Kung x 2 =x at , kung gayon ang x(x-1)=x 2 -x=0, at samakatuwid ang mga di-maliit na idempotent ay mga zero divisors.

Sa pamamagitan ng U(R) ay tinutukoy namin ang hanay ng mga invertible na elemento ng associative ring R, ibig sabihin, ang mga kung saan mayroong isang kabaligtaran na elemento s=r -1 (i.e. rr -1 =1=r -1 r ).

Maikling Paglalarawan

Kahulugan. Ang singsing ay isang algebra K = ‹K, +, -, ·, 1› ng uri (2, 1, 2, 0), ang mga pangunahing operasyon na nakakatugon sa mga sumusunod na kondisyon:

Mga kalakip na file: 1 file

singsing. Kahulugan. Mga halimbawa. Ang pinakasimpleng katangian ng mga singsing. Homomorphism at isomorphism ng mga singsing.

Kahulugan. Ang singsing ay isang algebra K = ‹K, +, -, ·, 1› ng uri (2, 1, 2, 0), ang mga pangunahing operasyon na nakakatugon sa mga sumusunod na kondisyon:

1. ang algebra ‹K, +, -› ay isang Abelian group;
2. ang algebra ‹K, ·, 1› ay isang monoid;
3. Ang multiplikasyon ay distributive na may kaugnayan sa karagdagan, iyon ay, para sa anumang mga elemento a, b, c mula sa K

(a + b) c = a c + b c, c (a + b) = c a + c b.

Ang pangunahing set K ng singsing K ay tinutukoy din ng |K|. Ang mga elemento ng set K ay tinatawag na mga elemento ng singsing K.

Def. Ang pangkat na ‹K, +, -› ay tinatawag na additive group ng singsing na K. Ang sero ng pangkat na ito, iyon ay, ang neutral na elemento na may kinalaman sa karagdagan, ay tinatawag na zero ng singsing at ito ay 0 o 0 K. .

Def. Ang monoid na ‹K, ·, 1› ay tinatawag na multiplicative monoid ng singsing na K. Ang elemento 1, na tinutukoy din ng 1 K, na neutral sa pagpaparami, ay tinatawag na yunit ng singsing na K.

Ang singsing K ay tinatawag na commutative kung a · b = b · a para sa anumang elemento a, b ng singsing. Ang singsing na K ay tinatawag na zero kung |K| = (0 K).

Def. Ang singsing K ay tinatawag na domain ng integridad kung ito ay commutative, 0 K ≠ 1 K at para sa alinmang a, b О K mula sa a b = 0 ito ay sumusunod sa a = 0 o b = 0.

Def. Ang mga elemento a at b ng ring K ay tinatawag na zero divisors kung a ≠ 0, b ≠ 0 o ba = 0. (Anumang rehiyon ng integridad ay walang zero divisors.)

Halimbawa. Hayaang K ang set ng lahat ng totoong function na tinukoy sa set R ng mga totoong numero. Sum f + g, produkto f g, function

f(-1) at ang unit function 1 ay tinukoy: (f + g) (x) = f (x) + g(x);

(f g)(x) = f(x) g(x); (–f) (x) =–f (x); 1(x) = 1. Ipinapakita ng direktang pag-verify na ang algebra ‹K, +, -, ·, 1› ay isang commutative ring.

Ang pinakasimpleng katangian. Hayaan mong maging singsing si K. Dahil ang algebra ‹K, +, -› ay isang Abelian group, kung gayon para sa anumang elemento a, b, mula sa K ang equation b + x = a ay may natatanging solusyon a + (-b), na tinutukoy din ng a – b.

1. kung a + b = a, kung gayon b = 0;
2. kung a + b = 0, kung gayon b = -a;
3. – (-a) = a;
4. 0 · a = a · 0 = a;
5. (-a)b = a(-b) = -(ab);
6. (-a)(-b) = a · b;
7. (a – b)c = ac – bc at c(a – b) = ca – cb.

Hayaang mag-ring ang K = ‹K, +, -, ◦, 1› at K` = ‹K`, +, -, ·, 1`› -. Sinasabi na ang pagmamapa h ng set K hanggang K` ay nagpapanatili ng mga pangunahing operasyon ng ring K kung ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

1. h(a+b)=h(a)+h(b) para sa alinmang a, b mula sa ring K;
2. h(-a)=-h(a) para sa alinmang a mula sa K;
3. h(a b) = h(a)◦h(b) para sa alinmang a, b mula sa K;
4. h(1) = 1`.

Def. Ang homomorphism ng ring K sa (sa) ring K` ay isang pagmamapa ng set K sa (on) K` na nagpapanatili sa lahat ng pangunahing operasyon ng ring K. Ang homomorphism ng ring K sa K` ay tinatawag na isang epimorphism.

Def. Ang homomorphism h ng ring K papunta sa ring K` ay tinatawag na isomorphism kung ang h ay isang injective mapping ng set K sa K`. Ang mga singsing na K at K` ay sinasabing isomorphic kung mayroong isomorphism sa pagitan ng singsing na K at ng singsing na K`.