Tulad ng nalalaman mula sa kurso ng teoretikal na mekanika, ang kondisyon ng ekwilibriyo ng isang bagay ay maaaring magkaroon ng puwersa o pagbabalangkas ng enerhiya. Ang unang opsyon ay kumakatawan sa kondisyon na ang pangunahing vector at ang pangunahing sandali ng lahat ng pwersa at reaksyon na kumikilos sa katawan ay katumbas ng zero. Ang pangalawang diskarte (variational), na tinatawag na prinsipyo ng posibleng mga displacement, ay naging lubhang kapaki-pakinabang para sa paglutas ng isang bilang ng mga problema sa structural mechanics.

Para sa isang sistema ng ganap na matibay na mga katawan, ang prinsipyo ng mga posibleng displacement ay nabuo tulad ng sumusunod: kung ang isang sistema ng ganap na matibay na mga katawan ay nasa balanse, kung gayon ang kabuuan ng gawain ng lahat ng panlabas na puwersa sa anumang posibleng infinitesimal na pag-aalis ay zero. Ang posible (o virtual) ay isang kilusan na hindi lumalabag sa kinematic na koneksyon at pagpapatuloy ng mga katawan. Para sa sistema sa Fig. 3.1, tanging ang pag-ikot ng baras na may kaugnayan sa suporta ay posible. Kapag lumiko sa isang di-makatwirang maliit na anggulo, ang mga puwersa at gumagana Ayon sa prinsipyo ng mga posibleng displacement, kung ang sistema ay nasa ekwilibriyo, dapat mayroong . Pinapalitan dito ang mga geometric na relasyon nakukuha natin ang kondisyon ng ekwilibriyo sa formulation ng puwersa

Ang prinsipyo ng posibleng mga displacement para sa nababanat na mga katawan ay nabuo tulad ng sumusunod: kung ang isang sistema ng mga nababanat na katawan ay nasa balanse, kung gayon ang kabuuan ng gawain ng lahat ng panlabas at panloob na pwersa sa anumang posibleng infinitesimal na pag-aalis ay zero. Ang prinsipyong ito ay batay sa konsepto ng kabuuang enerhiya ng isang nababanat na deformed system na P. Kung ang pag-load ng isang istraktura ay nangyayari nang statically, kung gayon ang enerhiya na ito ay katumbas ng gawaing ginawa ng panlabas na U at panloob na mga puwersa ng W kapag inililipat ang sistema mula sa isang deformed. estado sa orihinal nitong estado:

Sa tinukoy na pagsasalin, ang mga panlabas na puwersa ay hindi nagbabago ng kanilang halaga at nagsasagawa ng negatibong gawain U= -F. Sa kasong ito, ang mga panloob na puwersa ay nabawasan sa zero at gumagawa ng positibong trabaho, dahil ito ang mga puwersa ng pagdirikit ng mga particle ng materyal at nakadirekta sa direksyon na kabaligtaran sa panlabas na pagkarga:

saan - tiyak na potensyal na enerhiya ng nababanat na pagpapapangit; Ang V ay ang volume ng katawan. Para sa isang linear system, kung saan . Ayon sa Lagrange-Dirichlet theorem, ang estado ng stable equilibrium ay tumutugma sa minimum ng kabuuang potensyal na enerhiya ng nababanat na sistema, i.e.

Ang huling pagkakapantay-pantay ay ganap na tumutugma sa pagbabalangkas ng prinsipyo ng mga posibleng paggalaw. Maaaring kalkulahin ang mga pagtaas ng enerhiya na dU at dW para sa anumang posibleng mga displacement (mga deviations) ng elastic system mula sa equilibrium state. Upang kalkulahin ang mga istruktura na nakakatugon sa mga kinakailangan ng linearity, ang infinitesimal na posibleng displacement d ay maaaring palitan ng isang napakaliit na huling displacement, na maaaring maging anumang deformed state ng istraktura na nilikha ng isang arbitraryong piniling sistema ng mga puwersa. Isinasaalang-alang ito, ang resultang kondisyon ng ekwilibriyo ay dapat isulat bilang

Gawain ng mga panlabas na pwersa

Isaalang-alang natin ang pamamaraan para sa pagkalkula ng gawain ng mga panlabas na pwersa sa aktwal at posibleng pag-alis. Ang sistema ng baras ay puno ng mga puwersa at (Larawan 3.2, a), na kumikilos nang sabay-sabay, at sa anumang punto ng oras ang ratio ay nananatiling pare-pareho. Kung isasaalang-alang natin itong isang pangkalahatang puwersa, pagkatapos ay mula sa halaga sa anumang oras maaari nating kalkulahin ang lahat ng iba pang mga pag-load (sa kasong ito). Ipinapakita ng dashed line ang aktwal na elastic displacement na nagmumula sa mga pwersang ito. Tinutukoy namin ang estadong ito sa pamamagitan ng index 1. Tinutukoy namin ang paggalaw ng mga punto ng aplikasyon ng mga puwersa at sa direksyon ng mga puwersang ito sa estado 1 ng at .

Sa proseso ng paglo-load ng isang linear system na may mga pwersa, ang mga pwersa ay tumaas at ang mga displacement at pagtaas sa proporsyon sa kanila (Larawan 3.2, c). Ang aktwal na gawain ng mga pwersa at sa mga displacement na nilikha nila ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga graph, i.e. . Pagsusulat ng ekspresyong ito bilang , nakukuha namin ang produkto ng pangkalahatang puwersa at ang pangkalahatang pag-aalis. Sa form na ito maaari kang magsumite

ang gawain ng mga puwersa sa ilalim ng anumang pagkarga, kung ang lahat ng mga pag-load ay nagbabago nang sabay-sabay, i.e. ang ratio ng kanilang mga halaga ay nananatiling pare-pareho.

Susunod, isasaalang-alang natin ang gawain ng mga panlabas na pwersa sa isang posibleng pag-aalis. Bilang isang posibleng pag-aalis, kunin natin, halimbawa, ang deformed state ng system na nagreresulta mula sa paggamit ng isang puwersa sa isang punto (Larawan 3.2, b). Ang estado na ito, na naaayon sa karagdagang paggalaw ng mga punto ng aplikasyon ng mga puwersa at sa layo at , ay ilalarawan ng 2. Ang mga puwersa at , nang hindi binabago ang kanilang halaga, ay nagsasagawa ng virtual na gawain sa mga displacement at (Fig. 3.2, c) :

Tulad ng nakikita mo, sa pagtatalaga ng paggalaw, ang unang index ay nagpapakita ng estado kung saan tinukoy ang mga punto at direksyon ng mga paggalaw na ito. Ang pangalawang index ay nagpapakita ng estado kung saan kumikilos ang mga pwersang sanhi ng kilusang ito.

Trabaho ng unit force F 2 sa aktwal na displacement

Kung isasaalang-alang namin ang estado 1 bilang isang posibleng pag-aalis para sa puwersa F 2, kung gayon ang virtual na gawain nito sa pag-aalis

Gawain ng mga panloob na pwersa

Hanapin natin ang gawain ng mga panloob na pwersa ng estado 1, ibig sabihin, mula sa mga puwersa at , sa mga virtual na displacement ng estado 2, ibig sabihin, na nagreresulta mula sa paglalapat ng load F 2 . Upang gawin ito, pumili ng elemento ng baras na may haba dx (Larawan 3.2 at 3.3, a). Dahil flat ang system na isinasaalang-alang, dalawang pwersa lamang ang S at Q z at isang baluktot na moment na Mu ang kumikilos sa mga seksyon ng elemento. Ang mga puwersang ito para sa cut element ay panlabas. Ang mga panloob na puwersa ay ang mga puwersa ng pandikit na nagbibigay ng lakas ng materyal. Ang mga ito ay katumbas ng mga panlabas sa halaga, ngunit nakadirekta sa direksyon na kabaligtaran sa pagpapapangit, samakatuwid ang kanilang trabaho sa ilalim ng paglo-load ay negatibo (Larawan 3.3, b-d, ipinapakita sa kulay abo). Sunud-sunod nating kalkulahin ang gawaing ginawa ng bawat force factor.

Ang gawain ng mga paayon na puwersa sa pag-aalis, na nilikha ng mga puwersa S 2 na nagreresulta mula sa aplikasyon ng load F 2 (Fig. 3.2, b, 3.3, b),

Nahanap namin ang pagpahaba ng isang baras na may haba dx gamit ang kilalang formula

kung saan ang A ay ang cross-sectional area ng baras. Ang pagpapalit ng expression na ito sa nakaraang formula, nakita namin

Sa katulad na paraan, tinutukoy namin ang gawain na ginagawa ng bending moment sa angular displacement na nilikha ng sandali (Larawan 3.3, c):

Nahanap namin ang anggulo ng pag-ikot bilang

kung saan ang J ay ang sandali ng pagkawalang-galaw ng cross section ng baras na may kaugnayan sa y-axis. Pagkatapos ng pagpapalit nakukuha namin

Hanapin natin ang gawaing ginawa ng transverse force sa displacement (Fig. 3.3, d). Ang tangential stresses at shears mula sa shearing force Q z ay hindi ibinabahagi nang linearly sa cross section ng rod (hindi tulad ng mga normal na stress at elongation sa mga nakaraang kaso ng paglo-load). Samakatuwid, upang matukoy ang gawaing paggugupit, kinakailangang isaalang-alang ang gawaing ginawa ng tangential stresses sa mga layer ng baras.

Ang mga tangential stress mula sa puwersa Q z, na kumikilos sa isang layer na nakahiga sa layo na z mula sa neutral axis (Larawan 3.3, d), ay kinakalkula gamit ang Zhuravsky formula

kung saan ang Su ay ang static na sandali ng bahagi ng cross-sectional area na nasa itaas ng layer na ito, na kinuha kaugnay sa y-axis; b ay ang lapad ng seksyon sa antas ng layer na isinasaalang-alang. Ang mga stress na ito ay lumilikha ng pagbabago ng layer sa pamamagitan ng isang anggulo, na, ayon sa batas ni Hooke, ay tinukoy bilang - modulus ng paggugupit. Bilang isang resulta, ang dulo ng layer ay inilipat sa pamamagitan ng

Ang kabuuang gawaing ginawa ng tangential stresses ng unang estado na kumikilos sa dulo ng layer na ito sa mga displacement ng pangalawang estado ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagsasama ng produkto ng cross-sectional area

Pagkatapos palitan dito ang mga expression para sa at nakukuha namin

Ibawas natin mula sa mga integral na dami na hindi nakasalalay sa z, i-multiply at hatiin ang expression na ito sa A, nakukuha natin

Dito ipinakilala ang isang walang sukat na koepisyent,

depende lamang sa pagsasaayos at ratio ng mga laki ng seksyon. Para sa isang rektanggulo = 1.2, para sa mga seksyon ng I-beam at kahon (Ang A c ay ang cross-sectional area ng dingding o sa isang seksyon ng kahon - dalawang dingding).

Dahil ang gawain ng bawat isa sa itinuturing na mga bahagi ng paglo-load (S, Q, M) sa mga displacement na dulot ng iba pang mga bahagi ay katumbas ng zero, kung gayon ang kabuuang gawain ng lahat ng panloob na puwersa para sa itinuturing na elemento ng baras ng haba dx

(3.3)

Ang kabuuang gawain ng mga panloob na pwersa ng estado 1 sa mga displacement ng estado 2 para sa isang flat rod system ay nakuha sa pamamagitan ng pagsasama ng nagresultang expression sa mga seksyon ng haba 1 C, kung saan ang mga diagram ay pinagsama-samang mga function, at summing sa lahat ng mga seksyon:

Sa cross section ng isang elemento ng isang spatial rod system mayroong anim na panloob na puwersa (S, Q, Q z, M x, Mu, M 2), samakatuwid para dito ang expression para sa kabuuang gawain ng mga panloob na pwersa ay magkakaroon ng anyo ,

Narito ang M x ay ang metalikang kuwintas sa pamalo; Ang J T ay ang sandali ng pagkawalang-kilos ng baras sa panahon ng libreng pamamaluktot (geometric torsional rigidity). Sa integrand, ang mga subscript na "at" ay tinanggal.

Sa mga formula (3.3) at (3.4) S v Q yV Q zl , M x1 , M y1 , M g1 ay nagsasaad ng mga analytical expression para sa mga diagram ng panloob na pwersa mula sa pagkilos ng mga puwersa F(at F(,aS 2 , Q y 2 , Q z 2 , M x2, M y2, M g2 - mga paglalarawan ng mga diagram ng panloob na pwersa mula sa puwersa F 2.

Theorems tungkol sa nababanat na mga sistema

Ang istraktura ng mga formula (3.3) at (3.4) ay nagpapakita na ang mga ito ay "symmetrical" na may paggalang sa mga estado 1 at 2, i.e. ang gawain ng mga panloob na pwersa ng estado 1 sa mga displacement ng estado 2 ay katumbas ng gawain ng panloob. pwersa ng estado 2 sa mga paglilipat ng estado 1 Ngunit ayon sa (3.2)

Dahil dito, kung ang gawain ng mga panloob na pwersa ay pantay, kung gayon ang gawain ng mga panlabas na puwersa ay pantay.Ang pahayag na ito ay tinatawag na theorem on the reciprocity of work (Betti’s theorem, 1872).

Para sa isang sistema ng baras na puno ng puwersa F 1 (Larawan 3.4, a), kinukuha namin bilang isang posibleng pag-aalis ang deformed state na lumitaw kapag na-load ito ng puwersa F 2 (Larawan 3.4, b). Para sa sistemang ito, ayon sa teorama ni Betti 1- Kung ilalagay natin ang , makukuha natin

(3.5)

Ang pormula na ito ay nagpapahayag ng teorama ni Maxwell (1864) sa katumbasan ng mga displacement: ang displacement ng point of application ng unang unit force sa direksyon nito, sanhi ng pagkilos ng second unit force, ay katumbas ng displacement ng point of application. ng pangalawang puwersa ng yunit sa direksyon nito, sanhi ng pagkilos ng unang puwersa ng yunit. Ang teorama na ito ay maaari ding ilapat sa sistema sa Fig. 3.2. Kung itinakda namin ang = 1 N (seksyon 3.1.2), nakukuha namin ang pagkakapantay-pantay ng mga pangkalahatang displacement .

Isaalang-alang natin ang isang statically indeterminate system na may mga suporta na maaaring magamit upang itakda ang kinakailangang paggalaw, na tinatanggap hangga't maaari (Larawan 3.4, c, d). Sa unang estado, ililipat namin ang suporta 1 sa pamamagitan ng at sa pangalawa - itatakda namin ang pag-ikot ng embedment sa pamamagitan ng isang anggulo - Sa kasong ito, ang mga reaksyon ay lalabas sa unang estado at , at sa pangalawa - i . Ayon sa work reciprocity theorem, isinusulat namin ang Kung itinakda namin (dito ang dimensyon = m, at ang dami ay walang sukat), pagkatapos ay makukuha natin

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay numerical, dahil ang sukat ng reaksyon = N, a = N-m. Kaya, ang reaksyong R 12 sa nakapirming bono 1, na nangyayari kapag ang bono 2 ay gumagalaw ng isa, ayon sa numero ay katumbas ng reaksyong nagaganap sa bono 2 na may isang yunit ng pag-aalis ng bono 1. Ang pahayag na ito ay tinatawag na reaction reciprocity theorem.

Ang mga theorems na ipinakita sa seksyong ito ay ginagamit para sa analytical na pagkalkula ng mga statically indeterminate system.

Kahulugan ng mga paggalaw

Pangkalahatang formula ng displacement

Upang kalkulahin ang mga displacement na nagaganap sa sistema ng baras sa ilalim ng pagkilos ng isang naibigay na pag-load (estado 1), isang pandiwang pantulong na estado ng system ay dapat malikha kung saan kumikilos ang isang puwersa ng yunit, na gumagawa ng nais na pag-aalis (estado 2). Nangangahulugan ito na kapag tinutukoy ang linear displacement, kinakailangang tukuyin ang unit force F 2 = 1 N, na inilapat sa parehong punto at sa parehong direksyon kung saan dapat matukoy ang displacement. Kung kinakailangan upang matukoy ang anggulo ng pag-ikot ng anumang seksyon, pagkatapos ay ang isang solong sandali F 2 = 1 N m ay inilalapat sa seksyong ito. Pagkatapos nito, ang equation ng enerhiya (3.2) ay iginuhit, kung saan ang estado 2 ay kinuha bilang ang pangunahing isa, at ang deformed state

ang estado 1 ay itinuturing na virtual na paggalaw. Mula sa equation na ito ang kinakailangang displacement ay kinakalkula.

Hanapin natin ang pahalang na displacement ng point B para sa system sa Fig. 3.5, a. Upang maisama ang kinakailangang displacement D 21 sa equation ng trabaho (3.2), kinukuha namin bilang ground state ang displacement ng system sa ilalim ng pagkilos ng unit force F 2 - 1 N (estado 2, Fig. 3.5 , b). Isasaalang-alang namin ang posibleng displacement na ang aktwal na deformed state ng structure (Fig. 3.5, a).

Nakita namin ang gawain ng mga panlabas na puwersa ng estado 2 sa mga displacement ng estado 1 bilang mga sumusunod: Ayon sa (3.2),

samakatuwid, ang kinakailangang displacement

Dahil (seksyon 3.1.4), ang gawain ng mga panloob na pwersa ng estado 2 sa mga displacement ng estado 1 ay kinakalkula gamit ang formula (3.3) o (3.4). Ang pagpapalit ng expression (3.3) sa (3.7) para sa gawain ng mga panloob na puwersa ng isang flat rod system, makikita natin

Para sa karagdagang paggamit ng expression na ito, ipinapayong ipakilala ang konsepto ng mga solong diagram ng panloob na mga kadahilanan ng puwersa, i.e. kung saan ang unang dalawa ay walang sukat, at ang dimensyon . Ang magiging resulta

Ang mga expression para sa mga diagram ng pamamahagi ng kaukulang mga panloob na puwersa mula sa kumikilos na pagkarga ay dapat ipalit sa mga integral na ito At at mula sa force F 2 = 1. Ang resultang expression ay tinatawag na Mohr’s formula (1881).

Kapag kinakalkula ang mga spatial rod system, ang formula (3.4) ay dapat gamitin upang kalkulahin ang kabuuang gawain ng mga panloob na pwersa, pagkatapos ay magiging

Medyo halata na ang mga expression para sa mga diagram ng panloob na pwersa S, Q y, Q z, M x, M y, M g at ang mga halaga ng mga geometric na katangian ng mga seksyon A, J t, Jу, J, para sa kaukulang Ang n-th na seksyon ay pinapalitan sa mga integral. Upang paikliin ang notasyon sa notasyon ng mga dami na ito, ang index na "at" ay tinanggal.

3.2.2. Mga espesyal na kaso ng pagtukoy ng mga displacement

Ang formula (3.8) ay ginagamit sa pangkalahatang kaso ng isang flat rod system, ngunit sa ilang mga kaso maaari itong makabuluhang pasimplehin. Isaalang-alang natin ang mga espesyal na kaso ng pagpapatupad nito.

1. Kung ang mga pagpapapangit mula sa mga paayon na puwersa ay maaaring mapabayaan, na karaniwan para sa mga beam system, ang formula (3.8) ay isusulat bilang

2. Kung ang isang patag na sistema ay binubuo lamang ng mga baluktot na manipis na pader na beam na may ratio na l/h> 5 para sa mga console o l/h> 10 para sa mga span (I at h ang haba ng beam at ang taas ng seksyon), pagkatapos, bilang isang panuntunan, ang enerhiya ng baluktot na pagpapapangit ay makabuluhang lumampas sa enerhiya ng mga deformation mula sa mga longitudinal at transverse na pwersa, kaya hindi sila maaaring isaalang-alang sa pagkalkula ng mga displacement. Pagkatapos ang formula (3.8) ay kukuha ng form

3. Para sa mga trusses, ang mga rod na kung saan, sa ilalim ng nodal loading, ay nakakaranas ng higit sa lahat na longitudinal forces, maaari nating ipagpalagay na M = 0 at Q = 0. Pagkatapos ay ang displacement ng node ay kinakalkula ng formula

Isinasagawa ang pagsasama sa haba ng bawat baras, at ang pagsusuma ay ginagawa sa lahat ng mga baras. Sa isip na ang puwersa S u sa ith rod at ang cross-sectional area ay hindi nagbabago sa haba nito, maaari nating gawing simple ang expression na ito:

Sa kabila ng maliwanag na pagiging simple ng formula na ito, ang analytical na pagkalkula ng mga displacement sa mga trusses ay napakahirap sa paggawa, dahil nangangailangan ito ng pagtukoy ng mga puwersa sa lahat ng mga rod ng truss mula sa epektibong pagkarga () at mula sa unit force () na inilapat sa punto kung saan ang pag-alis ay kailangang matagpuan.

3.2.3. Pamamaraan at mga halimbawa para sa pagtukoy ng mga displacement

Isaalang-alang natin ang pagkalkula ng integral ng Mohr gamit ang pamamaraan ng A. N. Vereshchagin (1925). Ang Mohr integral ay may anyo (3.8), kung saan ang mga diagram ng mga bending moments, longitudinal o transverse forces ay maaaring lumitaw bilang D 1, D 2. Kahit isa sa mga diagram () sa integrand expression ay linear o piecewise linear, dahil ito ay binuo mula sa isang unit load. Samakatuwid para sa

upang malutas ang integral, maaaring ilapat ang sumusunod na pamamaraan. Ipagpalagay natin na sa seksyong isinasaalang-alang na may haba I, ang unang diagram D 1 ay may di-makatwirang hugis, at ang pangalawa ay linear: (Larawan 3.6). Ang pagpapalit nito sa Mohr integral, nakita namin

Ang unang isintegral ay numerong katumbas ng lugar ng subgraph (na may shade sa Fig. 3.6), at ang pangalawa ay katumbas ng static na sandali ng lugar na ito na may kaugnayan sa axis. Ang static na sandali ay maaaring isulat bilang , kung saan ang posisyon coordinate ng sentro ng grabidad ng lugar (punto A). Isinasaalang-alang kung ano ang sinabi, nakukuha natin

(3.13)

Ang panuntunan ng Vereshchagin ay nabuo tulad ng sumusunod: kung hindi bababa sa isa sa mga diagram ay linear sa isang seksyon, kung gayon ang Mohr integral ay kinakalkula bilang produkto ng lugar nang arbitraryo

ng linear diagram sa ordinate ng linear diagram na matatagpuan sa ilalim ng center of gravity ng lugar na ito. Kung ang parehong mga diagram ay matatagpuan sa parehong bahagi ng axis, kung gayon ang produkto ay positibo, kung sa magkaibang panig, kung gayon ito ay negatibo. Maaaring ilapat ang paraang ito upang kalkulahin ang alinman sa mga integral na kasama sa mga expression (3.8) at (3.9).

Kapag kinakalkula ang mga istruktura sa kapaligiran ng Mathcad, hindi na kailangang gamitin ang panuntunan ng Vereshchagin, dahil ang integral ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng numerical integration.

Halimbawa 3.1(Larawan 3.7, a). Ang sinag ay puno ng dalawang pwersang simetriko na matatagpuan. Hanapin ang displacement ng mga punto ng aplikasyon ng mga puwersa.

1. Bumuo tayo ng diagram ng mga bending moments M 1 mula sa mga puwersa F 1 . Mga reaksyon ng suporta Pinakamataas na baluktot na sandali sa ilalim ng puwersa

2. Dahil ang sistema ay simetriko, ang mga pagpapalihis sa ilalim ng mga puwersa ay magiging pareho. Bilang isang pandiwang pantulong na estado, kinukuha namin ang pag-load ng beam na may dalawang yunit ng pwersa F 2 = 1 N, na inilapat sa parehong mga punto bilang mga puwersa F 1

(Larawan 3.7, b). Ang diagram ng mga baluktot na sandali para sa paglo-load na ito ay katulad ng nauna, at ang maximum na baluktot na sandali M 2max = 0.5 (L-b).

3. Ang pag-load ng system sa pamamagitan ng dalawang puwersa ng pangalawang estado ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang pangkalahatang puwersa F 2 at isang pangkalahatang pag-aalis, na lumikha ng gawain ng mga panlabas na puwersa sa pag-aalis ng estado 1, katumbas ng . Kalkulahin natin ang displacement gamit ang formula (3.11). Ang pagpaparami ng mga diagram sa pamamagitan ng mga seksyon ayon sa tuntunin ng Vereshchagin, nakita namin

Pagkatapos ng pagpapalit ng mga halaga nakukuha namin

Halimbawa 3.2. Hanapin ang pahalang na displacement ng movable support ng hugis-U na frame na puno ng puwersa F x (Larawan 3.8, a).

1. Bumuo tayo ng diagram ng mga bending moments mula sa puwersa F 1 Support reactions . Pinakamataas na sandali ng baluktot sa ilalim ng puwersa F 1

2. Bilang isang pandiwang pantulong na estado, kunin natin ang pag-load ng beam na may yunit na pahalang na puwersa F 2 na inilapat sa punto B (Larawan 3.8, b). Bumubuo kami ng diagram ng mga baluktot na sandali para sa kaso ng paglo-load na ito. Suporta sa mga reaksyon A 2y = B 2y = 0, A 2x = 1. Pinakamataas na sandali ng baluktot.

3. Kinakalkula namin ang displacement gamit ang formula (3.11). Sa mga vertical na seksyon ang produkto ay zero. Sa pahalang na seksyon, ang M 1 diagram ay hindi linear, ngunit ang diagram ay linear. Ang pagpaparami ng mga diagram gamit ang pamamaraan ng Vereshchagin, nakukuha natin

Ang produkto ay negatibo, dahil ang mga diagram ay nasa magkabilang panig. Ang resultang negatibong displacement value ay nagpapahiwatig na ang aktwal na direksyon nito ay kabaligtaran sa direksyon ng unit force.

Halimbawa 3.3(Larawan 3.9). Hanapin ang anggulo ng pag-ikot ng cross-section ng isang two-support beam sa ilalim ng puwersa at hanapin ang posisyon ng puwersa kung saan ang anggulong ito ay magiging maximum.

1. Bumuo tayo ng diagram ng mga bending moments M 1 mula sa puwersa F 1. Upang gawin ito, makikita natin ang support reaction A 1. Mula sa equation ng equilibrium para sa kabuuan ng system hanapin natin ang pinakamataas na sandali ng baluktot sa ilalim ng puwersa Fj

2. Bilang isang pandiwang pantulong na estado, kinukuha namin ang pag-load ng beam na may isang unit moment F 2 = 1 Nm sa seksyon na ang pag-ikot ay dapat matukoy (Larawan 3.9, b). Bumubuo kami ng diagram ng mga baluktot na sandali para sa kaso ng paglo-load na ito. Suporta sa mga reaksyon A 2 = -B 2 = 1/L, mga baluktot na sandali

Ang parehong mga sandali ay negatibo, dahil ang mga ito ay nakadirekta sa clockwise. Ang mga diagram ay binuo sa nakaunat na hibla.

3. Kinakalkula namin ang anggulo ng pag-ikot gamit ang formula (3.11), na nagpaparami sa dalawang seksyon,

Sa pamamagitan ng pagtukoy ng , maaari nating makuha ang expression na ito sa isang mas maginhawang anyo:

Ang pag-asa ng anggulo ng pag-ikot sa posisyon ng puwersa F 1 ay ipinapakita sa Fig. 3.9, c. Ang pagkakaroon ng pagkakaiba-iba ng expression na ito, mula sa kondisyon ay makikita natin ang posisyon ng puwersa kung saan ang anggulo ng pagkahilig ng sinag sa ilalim nito ay magiging pinakamalaking sa ganap na halaga. Mangyayari ito sa mga halagang katumbas ng 0.21 at 0.79.

Ang prinsipyo ng posibleng mga displacement ay ginagawang posible upang malutas ang isang malawak na iba't ibang mga problema sa balanse ng mga mekanikal na sistema - upang makahanap ng hindi kilalang aktibong pwersa, upang matukoy ang mga reaksyon ng mga koneksyon, upang mahanap ang mga posisyon ng balanse ng isang mekanikal na sistema sa ilalim ng impluwensya ng isang inilapat sistema ng pwersa. Ilarawan natin ito sa mga tiyak na halimbawa.

Halimbawa 1. Hanapin ang magnitude ng puwersa P na humahawak ng mabibigat na makinis na prisma na may mga masa sa isang estado ng ekwilibriyo. Ang anggulo ng bevel ng prisms ay pantay (Larawan 73).

Solusyon. Gamitin natin ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw. Ipaalam natin sa sistema ng posibleng pag-alis at kalkulahin ang posibleng gawain ng mga aktibong pwersa:

Ang posibleng gawaing ginawa ng gravity ay zero, dahil ang puwersa ay patayo sa vector ng elementarya na pag-aalis ng punto ng paggamit ng puwersa. Ang pagpapalit ng halaga dito at equating ang expression sa zero, makakakuha tayo ng:

Since , ang expression sa mga bracket ay katumbas ng zero:

Mula dito makikita natin

Halimbawa 2. Ang isang homogenous beam AB ng haba at timbang P, na na-load ng isang pares ng pwersa na may ibinigay na sandali M, ay naayos tulad ng ipinapakita sa Fig. 74 at nagpapahinga. Tukuyin ang reaksyon ng rod BD kung ito ay gumagawa ng isang anggulo a sa pahalang.

Solusyon. Ang gawain ay naiiba mula sa naunang isa na dito kinakailangan upang mahanap ang reaksyon ng isang perpektong koneksyon. Ngunit ang reaksyon ng mga perpektong koneksyon ay hindi kasama sa equation ng trabaho na nagpapahayag ng prinsipyo ng mga posibleng paggalaw. Sa ganitong mga kaso, ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw ay dapat ilapat kasabay ng prinsipyo ng pagpapalaya mula sa mga kurbatang.

Itapon natin sa isip ang baras BD, at isaalang-alang ang reaksyon nito na S bilang isang aktibong puwersa ng hindi kilalang magnitude. Pagkatapos nito, ipapaalam namin sa sistema ang posibleng paggalaw (sa kondisyon na ang koneksyon na ito ay ganap na wala). Ito ay magiging elementarya na pag-ikot ng beam AB sa isang anggulo sa paligid ng hinge axis A sa isang direksyon o iba pa (sa Fig. 74 - counterclockwise). Ang mga elementarya na displacement ng mga punto ng aplikasyon ng mga aktibong pwersa at ang reaksyon S na nauugnay sa kanila ay katumbas ng:

Lumilikha kami ng isang equation ng trabaho

Ang equating ang expression sa panaklong sa zero, nakita namin

Halimbawa 3. Ang isang homogenous rod OA ay naayos ayon sa timbang gamit ang isang cylindrical hinge O at isang spring AB (Fig. 75). Tukuyin ang mga posisyon kung saan ang baras ay maaaring nasa equilibrium kung ang spring stiffness ay katumbas ng k, ang natural na haba ng spring - at point B ay nasa parehong vertical ng point O.

Solusyon. Dalawang aktibong pwersa ang inilalapat sa baras OA - ang sarili nitong timbang at ang nababanat na puwersa ng tagsibol kung saan ang anggulo na nabuo ng baras na may patayong OB. Ang mga superimposed na koneksyon ay perpekto (sa kasong ito mayroon lamang isang koneksyon - bisagra O).

Ipaalam natin ang sistema ng posibleng paggalaw - isang elementarya na pag-ikot ng baras sa paligid ng bisagra axis O sa pamamagitan ng isang anggulo , kalkulahin ang posibleng gawain ng mga aktibong pwersa at itumbas ito sa zero:

Pinapalitan dito ang expression para sa puwersa F at ang halaga

pagkatapos ng mga simpleng pagbabago ay nakukuha natin ang sumusunod na trigonometric equation para sa pagtukoy ng anggulo (p kapag ang baras ay nasa equilibrium:

Ang equation ay tumutukoy sa tatlong halaga para sa anggulo:

Dahil dito, ang baras ay may tatlong posisyon ng balanse. Dahil ang unang dalawang posisyon ng ekwilibriyo ay umiiral kung ang kondisyon ay nasiyahan. Ang ekwilibriyo sa palaging umiiral.

Sa konklusyon, tandaan namin na ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw ay maaari ding ilapat sa mga system na may mga di-perpektong koneksyon. Ang pagbibigay-diin sa pagiging perpekto ng mga koneksyon ay ginawa sa pagbabalangkas ng prinsipyo na may isang solong layunin - upang ipakita na ang mga equation ng ekwilibriyo ng mga mekanikal na sistema ay maaaring maipon nang hindi kasama ang mga reaksyon ng mga ideal na koneksyon, sa gayon pinapasimple ang mga kalkulasyon.

Para sa mga sistema na may mga nonideal na koneksyon, ang prinsipyo ng posibleng mga displacement ay dapat na reformulated tulad ng sumusunod: para sa balanse ng isang mekanikal na sistema na may hawak na mga koneksyon, bukod sa kung saan mayroong mga nonideal na koneksyon, ito ay kinakailangan at sapat na ang posibleng gawain ng mga aktibong pwersa at mga reaksyon ng ang mga nonideal na koneksyon ay katumbas ng zero. Posible, gayunpaman, na gawin nang hindi binabago ang prinsipyo, na may kondisyong pag-uuri ng mga reaksyon ng mga di-ideal na koneksyon sa mga aktibong pwersa.

Mga tanong sa pagsusulit sa sarili

1. Ano ang pangunahing tampok ng isang non-free mechanical system kumpara sa isang libre?

2. Ano ang posibleng paggalaw? Magbigay ng halimbawa.

3. Paano natutukoy ang mga pagkakaiba-iba sa mga coordinate ng mga puntos sa system sa panahon ng posibleng paggalaw nito (ipahiwatig ang tatlong pamamaraan)?

4. Paano inuuri ang mga koneksyon ayon sa uri ng kanilang mga equation? Magbigay ng mga halimbawa ng confining at non-containing connections, stationary at non-stationary.

5. Sa anong kaso ang koneksyon ay tinatawag na ideal? hindi perpekto?

6. Magbigay ng verbal formulation at mathematical notation ng prinsipyo ng mga posibleng paggalaw.

7. Paano nabuo ang prinsipyo ng mga posibleng displacement para sa mga system na naglalaman ng mga di-ideal na koneksyon?

8. Ilista ang mga pangunahing uri ng mga problema na nalutas gamit ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw.

Mga ehersisyo

Gamit ang prinsipyo ng posibleng mga displacement, lutasin ang mga sumusunod na problema mula sa koleksyon ng I.V. Meshchersky 1981 na edisyon: 46.1; 46.8; 46.17; 2.49; 4.53.

PAG-UURI NG MGA RELASYON

Ang konsepto ng mga koneksyon na ipinakilala sa § 3 ay hindi sumasaklaw sa lahat ng kanilang mga uri. Dahil kahit na ang mga pamamaraan na isinasaalang-alang para sa paglutas ng mga problema sa mekanika ay karaniwang hindi naaangkop sa mga system na may anumang mga koneksyon, isaalang-alang natin ang isyu ng mga koneksyon at ang kanilang pag-uuri nang medyo mas detalyado.

Ang mga hadlang ay anumang uri ng mga paghihigpit na ipinapataw sa mga posisyon at bilis ng mga punto ng isang mekanikal na sistema at isinasagawa anuman ang mga tinukoy na puwersa na kumikilos sa sistema. Tingnan natin kung paano inuri ang mga koneksyong ito.

Ang mga koneksyon na hindi nagbabago sa oras ay tinatawag na nakatigil, at ang mga nagbabago sa oras ay tinatawag na hindi nakatigil.

Ang mga koneksyon na nagpapataw ng mga paghihigpit sa mga posisyon (coordinate) ng mga punto ng system ay tinatawag na geometric, at ang mga nagpapataw din ng mga paghihigpit sa mga bilis (ang unang derivatives ng mga coordinate na may paggalang sa oras) ng mga punto ng system ay tinatawag na kinematic o kaugalian.

Kung ang koneksyon sa kaugalian ay maaaring kinakatawan bilang geometric, ibig sabihin, ang pag-asa sa pagitan ng mga bilis na itinatag ng koneksyon na ito ay maaaring mabawasan sa pag-asa sa pagitan ng mga coordinate, kung gayon ang gayong koneksyon ay tinatawag na integrable, at kung hindi man - hindi maisasama.

Ang mga geometric at integrable na differential na koneksyon ay tinatawag na holonomic na koneksyon, at ang di-integrable na differential na koneksyon ay tinatawag na non-holonomic na koneksyon.

Batay sa uri ng mga koneksyon, ang mga mekanikal na sistema ay nahahati din sa holonomic (na may holonomic na koneksyon) at nonholonomic (na naglalaman ng mga non-holonomic na koneksyon).

Sa wakas, ang isang pagkakaiba ay ginawa sa pagitan ng pagkulong sa mga koneksyon (ang mga paghihigpit na ipinapataw nila ay pinapanatili sa anumang posisyon ng system) at mga hindi nagpapanatili, na hindi nagtataglay ng pag-aari na ito (mula sa gayong mga koneksyon, tulad ng sinasabi nila, ang sistema ay maaaring "palayain. ”). Tingnan natin ang mga halimbawa.

1. Ang lahat ng koneksyon na isinasaalang-alang sa § 3 ay geometric (holonomic) at, bukod dito, nakatigil. Ang gumagalaw na lnft na ipinapakita sa Fig. 271, a, ay para sa load na nakahiga dito, kapag ang posisyon ng load ay isinasaalang-alang na may kaugnayan sa mga axes na Oxy, sa pamamagitan ng isang hindi nakatigil na geometric na koneksyon (ang sahig ng cabin, na nagpapatupad ng koneksyon, ay nagbabago sa posisyon nito sa espasyo sa paglipas ng panahon).

2 Ang posisyon ng gulong na umiikot nang hindi nadudulas (tingnan ang Fig. 328) ay tinutukoy ng coordinate ng sentro C ng gulong at ang anggulo ng pag-ikot. Kapag gumulong, ang kondisyon o

Ito ay isang koneksyon sa kaugalian, ngunit ang nagresultang equation ay isinama at nagbibigay, ibig sabihin, ito ay nabawasan sa pagtitiwala sa pagitan ng mga coordinate. Samakatuwid, ang ipinataw na koneksyon ay holonomic.

3. Kabaligtaran sa gulong para sa isang bola na gumugulong nang hindi nadulas sa isang magaspang na eroplano, ang kondisyon na ang bilis ng isang punto ng bola sa pagpindot sa eroplano ay zero ay hindi maaaring bawasan (kapag ang gitna ng bola ay hindi gumagalaw nang rectilinearly) sa anumang dependencies sa pagitan ng mga coordinate, pagtukoy sa posisyon ng bola. Ito ay isang halimbawa ng non-halo-ohmic bond. Ang isa pang halimbawa ay ibinigay ng mga koneksyon na ipinataw sa kinokontrol na paggalaw. Halimbawa, kung ang isang kundisyon (koneksyon) ay ipinataw sa paggalaw ng isang punto (isang rocket) na ang bilis nito sa anumang sandali ng oras ay dapat idirekta sa isa pang gumagalaw na punto (isang eroplano), kung gayon ang kundisyong ito ay hindi rin maaaring bawasan sa anumang pagtitiwala sa pagitan ng mga coordinate at ang koneksyon ay nonholonomic.

4. Sa § 3 ang mga koneksyon na ipinapakita sa Fig. ay hawak, at sa Fig. 8 at 9 - non-retaining (sa Fig. 8, a ang bola ay maaaring umalis sa ibabaw, at sa Fig. 9 - lumipat patungo sa point A, pagdurog sa thread). Isinasaalang-alang ang mga kakaibang koneksyon ng hindi nakakapigil na mga koneksyon, nakatagpo namin ang mga ito sa mga problema 108, 109 (§ 90) at sa problema 146 (§ 125).

Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang isa pang prinsipyo ng mekanika, na nagtatatag ng pangkalahatang kondisyon ng ekwilibriyo ng isang mekanikal na sistema. Sa pamamagitan ng ekwilibriyo (tingnan ang § 1) nauunawaan natin ang estado ng sistema kung saan ang lahat ng mga punto nito, sa ilalim ng impluwensya ng mga puwersang inilapat, ay tahimik na may paggalang sa inertial frame of reference (isinasaalang-alang namin ang tinatawag na "absolute" equilibrium) . Kasabay nito, isasaalang-alang namin ang lahat ng mga komunikasyon na nakapatong sa system na nakatigil at hindi partikular na magtatakda nito sa bawat oras sa hinaharap.

Ipakilala natin ang konsepto ng posibleng trabaho, bilang ang elementarya na gawain na maaaring gawin ng puwersang kumikilos sa isang materyal na punto sa isang displacement na kasabay ng posibleng pag-aalis ng puntong ito. Ipapahiwatig natin ang posibleng gawain ng aktibong puwersa sa pamamagitan ng simbolo, at ang posibleng gawain ng reaksyon ng N bond sa pamamagitan ng simbolo

Magbigay tayo ngayon ng pangkalahatang kahulugan ng konsepto ng mga ideal na koneksyon, na nagamit na natin (tingnan ang § 123): ang mga ideal na koneksyon ay yaong kung saan ang kabuuan ng mga elementarya na gawa ng kanilang mga reaksyon sa anumang posibleng paglilipat ng sistema ay katumbas ng zero, ibig sabihin.

Ang kondisyon para sa pagiging perpekto ng mga koneksyon, na ibinigay sa § 123 at ipinahayag ng pagkakapantay-pantay (52), kapag ang mga ito ay sabay-sabay na nakatigil, ay tumutugma sa kahulugan (98), dahil may mga nakatigil na koneksyon ang bawat aktwal na paggalaw ay tumutugma sa isa sa mga posibleng. Samakatuwid, ang lahat ng mga halimbawang ibinigay sa § 123 ay magiging mga halimbawa ng perpektong koneksyon.

Upang matukoy ang kinakailangang kondisyon ng balanse, pinatutunayan namin na kung ang isang mekanikal na sistema na may perpektong koneksyon ay nasa balanse sa ilalim ng pagkilos ng mga puwersang inilapat, kung gayon para sa anumang posibleng paggalaw ng sistema ang pagkakapantay-pantay ay dapat masiyahan.

kung saan ang anggulo sa pagitan ng puwersa at posibleng pag-aalis.

Tukuyin natin ang mga resulta ng lahat (parehong panlabas at panloob) na mga aktibong pwersa at mga reaksyon ng pagkabit na kumikilos sa ilang punto ng sistema, ayon sa pagkakabanggit, sa pamamagitan ng . Pagkatapos, dahil ang bawat isa sa mga punto ng sistema ay nasa ekwilibriyo, , at samakatuwid ang kabuuan ng gawain ng mga puwersang ito para sa anumang paggalaw ng punto ay magiging katumbas din ng zero, i.e. Ang pagkakaroon ng paggawa ng gayong mga pagkakapantay-pantay para sa lahat ng mga punto ng system at pagdaragdag sa kanila ng termino sa pamamagitan ng termino, nakukuha namin

Ngunit dahil ang mga koneksyon ay perpekto at kumakatawan sa mga posibleng paggalaw ng mga punto ng system, ang pangalawang kabuuan ayon sa kondisyon (98) ay magiging katumbas ng zero. Pagkatapos ang unang kabuuan ay zero din, ibig sabihin, ang pagkakapantay-pantay (99) ay nasiyahan. Kaya, napatunayan na ang pagkakapantay-pantay (99) ay nagpapahayag ng kinakailangang kondisyon para sa ekwilibriyo ng sistema.

Ipakita natin na ang kundisyong ito ay sapat din, ibig sabihin, na kung ang mga aktibong pwersa na nagbibigay-kasiyahan sa pagkakapantay-pantay (99) ay inilapat sa mga punto ng isang mekanikal na sistema sa pamamahinga, kung gayon ang sistema ay mananatili sa pahinga. Ipagpalagay natin ang kabaligtaran, ibig sabihin, ang sistema ay magsisimulang gumalaw at ang ilan sa mga punto nito ay gagawa ng aktwal na paggalaw. Pagkatapos ay gagana ang mga puwersa sa mga paggalaw na ito at, ayon sa theorem sa pagbabago sa kinetic energy, ito ay magiging:

kung saan, malinaw naman, dahil sa simula ang sistema ay pahinga; samakatuwid, at . Ngunit sa mga nakatigil na koneksyon, ang aktwal na mga displacement ay nag-tutugma sa ilan sa mga posibleng displacement, at ang mga displacement na ito ay dapat ding maglaman ng isang bagay na sumasalungat sa kondisyon (99). Kaya, kapag ang mga inilapat na puwersa ay nakakatugon sa kondisyon (99), ang sistema ay hindi maaaring umalis sa estado ng pahinga at ang kundisyong ito ay isang sapat na kondisyon para sa ekwilibriyo.

Mula sa napatunayan, ang sumusunod na prinsipyo ng mga posibleng paggalaw ay sumusunod: para sa ekwilibriyo ng isang mekanikal na sistema na may perpektong koneksyon, kinakailangan at sapat na ang kabuuan ng mga elementarya na gawa ng lahat ng aktibong pwersang kumikilos dito para sa anumang posibleng paggalaw ng ang sistema ay katumbas ng zero. Ang mathematically formulated equilibrium condition ay ipinahayag ng equality (99), na tinatawag ding equation of possible work. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaari ding katawanin sa analytical form (tingnan ang § 87):

Ang prinsipyo ng posibleng mga displacement ay nagtatatag ng isang pangkalahatang kondisyon para sa balanse ng isang mekanikal na sistema, na hindi nangangailangan ng pagsasaalang-alang ng balanse ng mga indibidwal na bahagi (katawan) ng sistemang ito at nagbibigay-daan, na may perpektong koneksyon, upang ibukod mula sa pagsasaalang-alang ang lahat ng dati nang hindi kilalang mga reaksyon ng mga koneksyon.

1. Pangkalahatang mga coordinate at bilang ng mga antas ng kalayaan.

Kapag ang isang mekanikal na sistema ay gumagalaw, ang lahat ng mga punto nito ay hindi maaaring gumalaw nang basta-basta, dahil ang mga ito ay nalilimitahan ng mga koneksyon. Nangangahulugan ito na hindi lahat ng mga coordinate ng punto ay independyente. Ang posisyon ng mga puntos ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagtukoy lamang ng mga independiyenteng coordinate.

pangkalahatang mga coordinate. Para sa mga holonomic system (i.e. ang mga koneksyon ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga equation na nakadepende lamang sa mga coordinate), ang bilang ng mga independiyenteng generalised coordinate ng isang mekanikal na sistema katumbas ng bilang ng mga antas ng kalayaan ang sistemang ito.

Mga halimbawa:

Ang posisyon ng lahat ng mga punto ay natatanging tinutukoy ng anggulo ng pag-ikot

kakatuwang tao.

Isang antas ng kalayaan.

2. Ang posisyon ng isang libreng punto sa espasyo ay tinutukoy ng tatlong mga coordinate na independyente sa bawat isa. kaya lang tatlong antas ng kalayaan.

3. Matibay na umiikot na katawan, posisyon na tinutukoy ng anggulo ng pag-ikot j . Isang antas ng kalayaan.

4. Isang libreng matibay na katawan na ang paggalaw ay tinutukoy ng anim na equation - anim na antas ng kalayaan.

2. Mga posibleng paggalaw ng mekanikal na sistema.

Mga ideal na koneksyon.

Maaari ang mga displacement ay mga haka-haka na infinitesimal na paggalaw na pinapayagan sa isang naibigay na sandali ng mga koneksyon na ipinataw sa system. Ang mga posibleng paggalaw ng mga punto ng isang mekanikal na sistema ay isinasaalang-alang bilang mga dami ng unang pagkakasunud-sunod ng kaliit, samakatuwid, ang mga curvilinear na paggalaw ng mga puntos ay pinapalitan ng mga tuwid na segment na naka-plot nang tangential sa mga tilapon ng paggalaw ng mga puntos at itinalaga. dS.

dS A = dj . O.A.

Ang lahat ng mga puwersa na kumikilos sa isang materyal na punto ay nahahati sa tinukoy at reaksyon na mga puwersa.

Kung ang kabuuan ng gawaing ginawa ng mga reaksyon ng mga bono sa anumang posibleng pag-aalis ng sistema ay katumbas ng zero, kung gayon ang mga naturang bono ay tinatawag na perpekto.

3. Ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw.

Para sa balanse ng isang mekanikal na sistema na may perpektong koneksyon, kinakailangan at sapat na ang kabuuan ng mga elementarya na gawa ng lahat ng mga aktibong pwersa na kumikilos dito para sa anumang posibleng paggalaw ng sistema ay katumbas ng zero.

Ibig sabihin prinsipyo ng posibleng paggalaw:

1. Ang mga aktibong pwersa lamang ang isinasaalang-alang.

2. Nagbibigay sa pangkalahatang anyo ng kondisyon ng ekwilibriyo para sa anumang mekanikal na sistema, samantalang sa static ay kinakailangang isaalang-alang ang ekwilibriyo ng bawat katawan ng system nang hiwalay.

Gawain.

Para sa isang naibigay na posisyon ng mekanismo ng crank-slider sa equilibrium, hanapin ang kaugnayan sa pagitan ng moment at force kung OA = ℓ.

Pangkalahatang equation ng dynamics.

Ang prinsipyo ng mga posibleng displacement ay nagbibigay ng pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa statics. Sa kabilang banda, ang prinsipyo ni d'Alembert ay nagbibigay-daan sa paggamit ng mga pamamaraan ng statics upang malutas ang mga dynamic na problema. Samakatuwid, sa pamamagitan ng paglalapat ng dalawang prinsipyong ito nang sabay-sabay, ang isang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa dinamika ay maaaring makuha.

Isaalang-alang natin ang isang mekanikal na sistema kung saan ang mga ideal na hadlang ay ipinapataw. Kung ang kaukulang mga puwersa ng pagkawalang-kilos ay idinagdag sa lahat ng mga punto ng sistema, maliban sa mga aktibong pwersa at mga reaksyon ng pagkabit na kumikilos sa kanila, kung gayon ayon sa prinsipyo ni d'Alembert, ang magreresultang sistema ng mga puwersa ay magiging ekwilibriyo. Ang paglalapat ng prinsipyo ng mga posibleng paggalaw, nakukuha namin:

Dahil ang mga koneksyon ay perpekto, kung gayon:

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay kumakatawan pangkalahatang equation ng dynamics.

Sumunod ito mula rito Prinsipyo ng d'Alembert-Lagrange– kapag ang isang sistema ay gumagalaw na may perpektong koneksyon sa bawat sandali ng oras, ang kabuuan ng mga elementarya na gawa ng lahat ng inilapat na aktibong pwersa at lahat ng inertial na pwersa sa anumang posibleng paggalaw ng system ay magiging katumbas ng zero.

Gawain.

Sa elevator papunta sa gear 2 timbang 2G may radius R 2 =R inilapat ang metalikang kuwintas M=4GR.

Tukuyin ang acceleration ng lifted load A timbang G, pagpapabaya sa bigat ng lubid at alitan sa mga ehe. Isang drum kung saan ang lubid ay nasugatan, at isang gear na mahigpit na nakakabit dito 1 , magkaroon ng kabuuang timbang 4G at radius ng gyration r = R. Radius ng drum R A = R at mga gears 1

R 1 =0.5R.

Ilarawan natin ang lahat ng kumikilos na pwersa, ang direksyon ng mga acceleration at posibleng mga displacement.

________________

Ipalit natin sa pangkalahatang equation ng dynamics

Ipahayag natin ang displacement sa mga tuntunin ng anggulo ng pag-ikot δφ 1

Palitan natin ang mga halaga

δφ 1 ≠0

Ipahayag natin ang lahat ng mga acceleration sa pamamagitan ng kinakailangan isang A at equate ang expression sa mga bracket sa zero

Palitan natin ang mga halaga

Ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw.

a = 0.15 m

b = 2a = 0.3 m

m = 1.2 Nm ________________

x B; sa B; N A ; Mp

Solusyon: Hanapin natin ang reaksyon ng movable support A bakit natin iwaksi sa isip ang koneksyong ito, palitan ang pagkilos nito ng reaksyon N A

Posibleng paggalaw ng baras AC ay ang pag-ikot nito sa paligid ng bisagra SA sa isang anggulo dj. Kernel Araw nananatiling hindi gumagalaw.

Gumawa tayo ng isang equation ng trabaho, na isinasaalang-alang na ang gawain ng mga puwersa kapag lumiliko ang isang katawan ay katumbas ng produkto ng sandali ng puwersa na may kaugnayan sa sentro ng pag-ikot at ang anggulo ng pag-ikot ng katawan.

Upang matukoy ang mga reaksyon ng matibay na pangkabit sa isang suporta SA hanapin muna ang sandali ng reaksyon Ginoo. Upang gawin ito, itapon natin ang koneksyon na pumipigil sa pag-ikot ng baras Araw, pinapalitan ang matibay na pangkabit ng isang hinged-fixed na suporta at paglalapat ng isang sandali Ginoo .

Sabihin natin sa baras ang posibleng pag-ikot ng isang anggulo DJ 1.

Gumawa tayo ng equation ng trabaho para sa baras Araw:

Tukuyin natin ang mga displacement:

Upang matukoy ang patayong bahagi ng reaksyon ng matibay na pangkabit, itinatapon namin ang koneksyon na pumipigil sa patayong paggalaw ng punto SA, pinapalitan ang matibay na pangkabit ng isang sliding (imposible ang pag-ikot) at inilalapat ang reaksyon:

Sabihin natin sa kaliwang bahagi (pamalo) Araw may slider SA) posibleng bilis V B pasulong na paggalaw pababa. Kernel AC ay iikot sa paligid ng isang punto A .

Gumawa tayo ng work equation:

Upang matukoy ang pahalang na bahagi ng reaksyon ng matibay na pangkabit, itinatapon namin ang koneksyon na pumipigil sa pahalang na paggalaw ng punto SA palitan ang matibay na selyo ng isang sliding at inilapat ang reaksyon:

Sabihin natin sa kaliwang bahagi (slider) SA kasama ang pamalo Araw) posibleng bilis V B pasulong na paggalaw sa kaliwa. Mula sa suporta A sa mga roller, pagkatapos ay ang kanang bahagi ay susulong sa parehong bilis. Kaya naman .

Gumawa tayo ng work equation para sa buong istraktura.

Upang suriin ang kawastuhan ng solusyon, iginuhit namin ang mga equation ng equilibrium para sa buong sistema:

Ang kundisyon ay natutugunan.

Sagot: y B = -14.2 H; X B = -28.4 H; N A = 14.2 H; V P =3.33 Nm.

Mga pangkalahatang bilis. Pangkalahatang pwersa.

Ang mga independiyenteng dami na natatanging tumutukoy sa posisyon ng lahat ng mga punto ng isang mekanikal na sistema ay tinatawag pangkalahatang mga coordinate. – q

Kung ang sistema ay mayroon S antas ng kalayaan, kung gayon ang posisyon nito ay matutukoy S pangkalahatang mga coordinate:

q 1 ; q 2 ; ...; qs.

Dahil ang mga pangkalahatang coordinate ay independyente sa isa't isa, ang mga elementarya na pagtaas ng mga coordinate na ito ay magiging independyente rin:

dq 1 ; dq 2 ; ...; dq S .

Bukod dito, ang bawat isa sa mga dami dq 1 ; dq 2 ; ...; dq S tinutukoy ang kaukulang posibleng paggalaw ng system, independiyente sa iba.

Habang gumagalaw ang system, ang mga pangkalahatang coordinate nito ay patuloy na magbabago sa paglipas ng panahon; ang batas ng paggalaw na ito ay tinutukoy ng mga equation:

, …. ,

Ito ang mga equation ng paggalaw ng system sa pangkalahatan na mga coordinate.

Ang mga derivatives ng pangkalahatang mga coordinate na may paggalang sa oras ay tinatawag na pangkalahatang bilis ng system:

Ang laki ay depende sa laki q.

Isaalang-alang ang isang mekanikal na sistema na binubuo ng n materyal na mga punto kung saan kumikilos ang mga puwersa F 1 , F 2 , F n. Hayaan ang sistema S ang mga antas ng kalayaan at ang posisyon nito ay tinutukoy ng mga pangkalahatang coordinate q 1 ; q 2 ; q 3. Ipaalam sa amin ang sistema ng isang posibleng kilusan kung saan ang coordinate q 1 nakakakuha ng increment dq 1, at ang natitirang mga coordinate ay hindi nagbabago. Pagkatapos ang radius vector ng punto ay tumatanggap ng elementarya na pagtaas (dr k) 1. Ito ang pagtaas na natatanggap ng radius vector kapag ang coordinate lang ang nagbabago q 1 sa dami dq 1. Ang natitirang mga coordinate ay nananatiling hindi nagbabago. kaya lang (dr k) 1 kalkulado bilang isang bahagyang pagkakaiba:

Kalkulahin natin ang elementarya na gawain ng lahat ng inilapat na puwersa:

Alisin natin ito sa mga bracket dq 1, nakukuha natin ang:

saan- pangkalahatang kapangyarihan.

Kaya, pangkalahatang puwersa – ito ang koepisyent para sa mga pagtaas ng pangkalahatang coordinate.

Ang pagkalkula ng mga pangkalahatang pwersa ay bumaba sa pagkalkula ng posibleng elementarya na gawain.

Kung magbabago ang lahat q, Iyon:

Ayon sa prinsipyo ng mga posibleng displacement, para ang sistema ay nasa ekwilibriyo kinakailangan at sapat na SdА а к = 0. Sa pangkalahatang mga coordinate Q 1. dq 1 + Q 2 . dq 2 + … + Q s . dq s = 0 kaya naman, Para sa ekwilibriyo ng sistema ito ay kinakailangan at sapat na ang mga pangkalahatang pwersa na tumutugma sa mga posibleng displacement na napili para sa system, at samakatuwid ay ang mga pangkalahatang coordinate, ay katumbas ng zero.

Q 1 = 0; Q2 = 0; … Q s = 0.

Lagrange equation.

Gamit ang pangkalahatang dynamic na equation para sa isang mekanikal na sistema, ang mga equation ng paggalaw ng mekanikal na sistema ay matatagpuan.

4) matukoy ang kinetic energy ng system, ipahayag ang enerhiya na ito sa pamamagitan ng generalized velocities at generalized coordinates;

5) hanapin ang kaukulang partial derivatives ng T sa pamamagitan ng at at palitan ang lahat ng mga halaga sa equation.

Teorya ng epekto.

Ang paggalaw ng isang katawan sa ilalim ng pagkilos ng mga ordinaryong pwersa ay nailalarawan sa pamamagitan ng patuloy na pagbabago sa mga module at direksyon ng mga bilis ng katawan na ito. Gayunpaman, may mga kaso kapag ang mga bilis ng mga punto ng katawan, at samakatuwid ang momentum ng matibay na katawan, ay sumasailalim sa mga may hangganang pagbabago sa isang napakaikling panahon.

Kababalaghan, kung saan, sa isang hindi gaanong maliit na yugto ng panahon, ang mga bilis ng mga punto sa katawan ay nagbabago ng isang may hangganang halaga ay tinatawag na suntok.

lakas, sa ilalim ng pagkilos kung saan nangyayari ang isang epekto, ay tinatawag mga tambol.

Maikling panahon t, kung saan nangyayari ang epekto ay tinatawag na oras ng epekto.

Dahil ang mga puwersa ng epekto ay napakalaki at nagbabago sa loob ng makabuluhang mga limitasyon sa panahon ng epekto, sa teorya ng epekto, hindi ang epekto na pwersa ang kanilang mga sarili, ngunit ang kanilang mga impulses ay itinuturing bilang isang sukatan ng pakikipag-ugnayan ng mga katawan.

Mga impulses ng mga di-epektong pwersa sa paglipas ng panahon t ay magiging napakaliit na halaga at maaaring mapabayaan.

Theorem tungkol sa pagbabago sa momentum ng isang punto sa epekto:

saan v– bilis ng punto sa simula ng epekto,

u– bilis ng punto sa dulo ng impact.

Basic equation ng impact theory.

Ang pag-aalis ng mga puntos sa isang napakaikling panahon, iyon ay, sa panahon ng epekto, ay magiging maliit din, at samakatuwid, isasaalang-alang natin ang katawan na hindi gumagalaw.

Kaya, maaari nating iguhit ang mga sumusunod na konklusyon tungkol sa pagkilos ng mga puwersa ng pagkabigla:

1) ang pagkilos ng mga di-epektong pwersa sa panahon ng epekto ay maaaring mapabayaan;

2) ang mga displacement ng mga punto ng katawan sa panahon ng epekto ay maaaring mapabayaan at ang katawan ay maaaring ituring na hindi gumagalaw sa panahon ng epekto;

Ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw: para sa equilibrium ng isang mekanikal na sistema na may perpektong koneksyon, kinakailangan at sapat na ang kabuuan ng mga elementarya na gawa ng lahat ng aktibong pwersa na kumikilos dito para sa anumang posibleng pag-aalis ay katumbas ng zero. o sa mga projection: .

Ang prinsipyo ng mga posibleng displacement ay nagbibigay sa pangkalahatang anyo ng mga kondisyon ng ekwilibriyo para sa anumang mekanikal na sistema at nagbibigay ng isang pangkalahatang paraan para sa paglutas ng mga problema sa statics.

Kung ang sistema ay may ilang mga antas ng kalayaan, pagkatapos ay ang equation ng prinsipyo ng mga posibleng paggalaw ay pinagsama-sama para sa bawat isa sa mga independiyenteng paggalaw nang hiwalay, i.e. magkakaroon ng kasing dami ng mga equation na ang sistema ay may mga antas ng kalayaan.

Ang prinsipyo ng posibleng mga displacement ay maginhawa sa na kapag isinasaalang-alang ang isang sistema na may perpektong koneksyon, ang kanilang mga reaksyon ay hindi isinasaalang-alang at ito ay kinakailangan upang gumana lamang sa mga aktibong pwersa.

Ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw ay nabuo tulad ng sumusunod:

Upang mater. ang isang sistemang napapailalim sa mga mainam na koneksyon ay nasa isang estado ng pahinga; ito ay kinakailangan at sapat na ang kabuuan ng elementarya na gawain na isinagawa ng mga aktibong pwersa sa mga posibleng paglilipat ng mga punto sa system ay positibo

Pangkalahatang equation ng dynamics- kapag ang isang sistema ay gumagalaw na may perpektong koneksyon sa anumang naibigay na sandali sa oras, ang kabuuan ng mga elementarya na gawa ng lahat ng inilapat na aktibong pwersa at lahat ng inertial na pwersa sa anumang posibleng paggalaw ng system ay magiging katumbas ng zero. Ginagamit ng equation ang prinsipyo ng mga posibleng displacement at ang prinsipyo ni D'Alembert at nagbibigay-daan sa iyo na bumuo ng mga differential equation ng paggalaw ng anumang mekanikal na sistema. Nagbibigay ng pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa dinamika.

Pagkakasunod-sunod ng compilation:

a) ang tinukoy na mga puwersa na kumikilos dito ay inilalapat sa bawat katawan, at ang mga puwersa at sandali ng mga pares ng inertial na puwersa ay ipinapatupad din sa kondisyon;

b) ipaalam sa sistema ng mga posibleng paggalaw;

c) gumuhit ng mga equation para sa prinsipyo ng mga posibleng paggalaw, na isinasaalang-alang ang sistema na nasa ekwilibriyo.

Dapat pansinin na ang pangkalahatang equation ng dynamics ay maaari ding ilapat sa mga system na may mga di-ideal na koneksyon, tanging sa kasong ito ang mga reaksyon ng mga di-ideal na koneksyon, tulad ng friction force o rolling friction moment, ay dapat na uriin bilang aktibong pwersa. .

Ang trabaho sa posibleng pag-alis ng parehong aktibo at inertial na pwersa ay hinahangad sa parehong paraan tulad ng elementarya na gawain sa aktwal na pag-alis:

Posibleng gawain ng puwersa: .

Posibleng gawain ng sandali (force pair): .

Ang mga pangkalahatang coordinate ng isang mekanikal na sistema ay mga parameter q 1 , q 2 , ..., q S, independiyente sa bawat isa, ng anumang dimensyon, na natatanging tumutukoy sa posisyon ng system anumang oras.

Ang bilang ng mga pangkalahatang coordinate ay katumbas ng S - ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng mekanikal na sistema. Ang posisyon ng bawat νth point ng system, iyon ay, ang radius vector nito, sa pangkalahatang kaso, ay maaaring palaging ipahayag bilang isang function ng mga pangkalahatang coordinate:

Ang pangkalahatang equation ng dynamics sa pangkalahatan na mga coordinate ay mukhang isang sistema ng S equation tulad ng sumusunod:

……..………. ;

………..……. ;

narito ang pangkalahatang puwersa na naaayon sa pangkalahatang coordinate:

a ay ang pangkalahatang inertial na puwersa na naaayon sa pangkalahatang coordinate:

Ang bilang ng magkakahiwalay na posibleng paggalaw ng isang sistema ay tinatawag na bilang ng mga antas ng kalayaan ng sistemang ito. Halimbawa. ang isang bola sa isang eroplano ay maaaring gumalaw sa anumang direksyon, ngunit ang anumang posibleng paggalaw nito ay maaaring makuha bilang geometric na kabuuan ng dalawang paggalaw kasama ang dalawang magkaparehong patayo na palakol. Ang isang libreng matibay na katawan ay may 6 na antas ng kalayaan.

Pangkalahatang pwersa. Para sa bawat pangkalahatang coordinate ay maaaring kalkulahin ng isa ang kaukulang pangkalahatang puwersa Q k.

Ang pagkalkula ay ginawa ayon sa panuntunang ito.

Upang matukoy ang pangkalahatang puwersa Q k, naaayon sa pangkalahatang coordinate q k, kailangan mong bigyan ang coordinate na ito ng pagtaas (taasan ang coordinate sa halagang ito), na iniiwan ang lahat ng iba pang mga coordinate na hindi nagbabago, kalkulahin ang kabuuan ng gawain ng lahat ng pwersa na inilapat sa system sa kaukulang mga displacement ng mga puntos at hatiin ito sa pagtaas ng ang coordinate:

saan ang displacement i-ang punto ng sistema, nakuha sa pamamagitan ng pagbabago k-na generalised coordinate.

Ang pangkalahatang puwersa ay tinutukoy gamit ang elementarya na gawain. Samakatuwid, ang puwersa na ito ay maaaring kalkulahin nang iba:

At dahil may pagtaas ng radius vector dahil sa pagtaas ng coordinate sa iba pang pare-parehong coordinate at oras t, ang kaugnayan ay maaaring tukuyin bilang isang bahagyang derivative. Pagkatapos

kung saan ang mga coordinate ng mga puntos ay mga function ng mga pangkalahatang coordinate (5).

Kung ang sistema ay konserbatibo, iyon ay, ang paggalaw ay nangyayari sa ilalim ng impluwensya ng mga potensyal na puwersa ng field, ang mga projection na kung saan ay , kung saan , at ang mga coordinate ng mga puntos ay mga function ng pangkalahatang mga coordinate, kung gayon

Ang pangkalahatang puwersa ng isang konserbatibong sistema ay ang bahagyang derivative ng potensyal na enerhiya kasama ang kaukulang pangkalahatang coordinate na may minus sign.

Siyempre, kapag kinakalkula ang pangkalahatang puwersa na ito, ang potensyal na enerhiya ay dapat matukoy bilang isang function ng pangkalahatang mga coordinate

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Mga Tala.

Una. Kapag kinakalkula ang pangkalahatang pwersa ng reaksyon, ang mga perpektong koneksyon ay hindi isinasaalang-alang.

Pangalawa. Ang dimensyon ng pangkalahatang puwersa ay nakasalalay sa sukat ng pangkalahatang coordinate.

Lagrange equation ng ika-2 uri ay nagmula sa pangkalahatang equation ng dynamics sa generalised coordinate. Ang bilang ng mga equation ay tumutugma sa bilang ng mga antas ng kalayaan:

Upang i-compile ang Lagrange equation ng ika-2 uri, ang mga pangkalahatang coordinate ay pinili at ang mga pangkalahatang tulin ay matatagpuan . Ang kinetic energy ng system ay matatagpuan, na isang function ng generalized velocities , at, sa ilang mga kaso, mga pangkalahatang coordinate. Ang mga operasyon ng pagkita ng kaibhan ng kinetic energy na ibinibigay ng mga kaliwang bahagi ng mga equation ng Lagrange ay ginaganap. Ang mga resultang expression ay itinutumbas sa mga pangkalahatang pwersa, para sa paghahanap kung alin, bilang karagdagan sa mga formula (26), ang mga sumusunod ay kadalasang ginagamit kapag nilulutas ang mga problema:

Sa numerator sa kanang bahagi ng formula ay ang kabuuan ng mga elementarya na gawa ng lahat ng mga aktibong pwersa sa posibleng pag-aalis ng sistema na naaayon sa pagkakaiba-iba ng i-th generalized coordinate - . Sa posibleng paggalaw na ito, ang lahat ng iba pang pangkalahatang mga coordinate ay hindi nagbabago. Ang mga resultang equation ay mga differential equation ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema na may S antas ng kalayaan.