Gayunpaman, sa pagsasagawa, dalawa pang kaso ang laganap:

- Ang sistema ay hindi tugma (walang mga solusyon);
- Ang sistema ay katugma at may walang katapusang maraming solusyon.

Tandaan : Ang terminong "interoperability" ay nagpapahiwatig na ang system ay may kahit ilang solusyon. Sa isang bilang ng mga gawain, kinakailangan na siyasatin muna ang system para sa pagiging tugma, kung paano ito gagawin - tingnan ang artikulo tungkol sa ranggo ng mga matrice.

Para sa mga sistemang ito, ang pinaka-unibersal sa lahat ng mga pamamaraan ng solusyon ay ginagamit - Pamamaraan ng Gauss... Sa katunayan, ang "paaralan" na paraan ay hahantong sa sagot, ngunit sa mas mataas na matematika ay kaugalian na gamitin ang Gaussian na paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam. Para sa mga hindi pamilyar sa Gaussian method algorithm, mangyaring pag-aralan muna ang aralin Gaussian na pamamaraan para sa mga dummies.

Ang mga pagbabagong elementarya ng matrix mismo ay eksaktong pareho, ang pagkakaiba ay nasa dulo ng solusyon. Isaalang-alang muna natin ang ilang mga halimbawa kapag ang system ay walang mga solusyon (hindi pantay-pantay).

Halimbawa 1

Ano ang agad na nakakakuha ng mata sa sistemang ito? Ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga variable. Kung ang bilang ng mga equation ay mas mababa sa bilang ng mga variable, pagkatapos ay maaari nating agad na sabihin na ang system ay alinman sa hindi tugma o may walang katapusang maraming solusyon. At ito ay nananatili lamang upang malaman.

Ang simula ng solusyon ay ganap na karaniwan - isinulat namin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang sunud-sunod na anyo:

(1) Sa kaliwang baitang sa itaas, kailangan nating makakuha ng +1 o –1. Walang ganoong mga numero sa unang hanay, kaya ang muling pagsasaayos ng mga hilera ay walang ibibigay. Ang yunit ay kailangang ayusin nang nakapag-iisa, at ito ay maaaring gawin sa maraming paraan. Ginawa ko ito: Sa unang linya idinagdag namin ang ikatlong linya na pinarami ng -1.

(2) Ngayon ay nakakakuha tayo ng dalawang zero sa unang hanay. Sa pangalawang linya idinaragdag namin ang unang hilera na pinarami ng 3. Sa ikatlong linya idinaragdag namin ang unang hilera na pinarami ng 5.

(3) Pagkatapos ng ginawang pagbabago, palaging ipinapayong tingnan, at posible bang gawing simple ang mga resultang linya? Pwede. Hatiin ang pangalawang hilera ng 2, sabay na makuha ang ninanais na –1 sa pangalawang hakbang. Hatiin ang ikatlong hanay sa –3.

(4) Idagdag ang pangalawang linya sa ikatlong linya.

Marahil ay binigyang pansin ng lahat ang masamang linya na naging resulta ng mga pagbabagong elementarya: ... Ito ay malinaw na ito ay hindi maaaring maging gayon. Sa katunayan, muling isinulat namin ang nagresultang matrix bumalik sa sistema ng mga linear na equation:

Kung, bilang isang resulta ng mga pagbabagong elementarya, ang isang string ng form ay nakuha, kung saan ay isang nonzero na numero, kung gayon ang sistema ay hindi tugma (walang mga solusyon).

Paano ko itatala ang pagtatapos ng isang takdang-aralin? Gumuhit tayo gamit ang puting tisa: "bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, isang linya ng anyo, kung saan" nakuha at ibigay ang sagot: ang sistema ay walang mga solusyon (hindi tugma).

Kung, ayon sa kondisyon, kinakailangan na RESEARCH ang system para sa pagiging tugma, kung gayon kinakailangan na mag-isyu ng solusyon sa mas matatag na istilo na may kinalaman sa konsepto. ng ranggo ng matrix at ang Kronecker-Capelli theorem.

Tandaan na walang Gauss backtracking dito - walang mga solusyon at wala lang mahahanap.

Halimbawa 2

Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation

Ito ay isang halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon. Kumpletuhin ang solusyon at sagot sa dulo ng tutorial. Muli, ipinapaalala ko sa iyo na ang iyong kurso sa pagpapasya ay maaaring naiiba sa aking kurso sa pagpapasya, ang algorithm ng Gauss ay walang malakas na "katigasan".

Isa pang teknikal na tampok ng solusyon: ang elementarya na pagbabago ay maaaring ihinto kaagad, sa sandaling lumitaw ang isang linya ng form, kung saan. Isaalang-alang ang isang kondisyon na halimbawa: ipagpalagay na pagkatapos ng unang pagbabago ay nakuha ang matrix ... Ang matrix ay hindi pa nabawasan sa isang stepped form, ngunit hindi na kailangan para sa karagdagang elementarya pagbabago, dahil lumitaw ang isang linya ng form, kung saan. Dapat mong sagutin kaagad na ang system ay hindi tugma.

Kapag ang isang sistema ng mga linear na equation ay walang mga solusyon, ito ay halos isang regalo, dahil ang isang maikling solusyon ay nakuha, kung minsan ay literal sa 2-3 mga hakbang.

Ngunit lahat ng bagay sa mundong ito ay balanse, at ang problema kung saan ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon ay mas mahaba.

Halimbawa 3

Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation

Mayroong 4 na equation at 4 na hindi alam, kaya ang system ay maaaring magkaroon ng isang solong solusyon, o walang mga solusyon, o magkaroon ng walang katapusang maraming solusyon. Magkagayunman, ngunit ang pamamaraang Gauss ay magdadala pa rin sa atin sa sagot. Ito ang versatility nito.

Ang simula ay muling pamantayan. Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa sunud-sunod na anyo:

Iyon lang, at natakot ka.

(1) Tandaan na ang lahat ng mga numero sa unang column ay nahahati sa 2, kaya masaya kami sa dalawa sa kaliwang hakbang sa itaas. Sa pangalawang linya, idagdag ang unang linya na pinarami ng –4. Sa ikatlong linya, idagdag ang unang linya na pinarami ng –2. Sa ikaapat na linya, idagdag ang unang linya na pinarami ng –1.

Pansin! Marami ang maaaring matukso mula sa ikaapat na linya ibawas unang linya. Magagawa ito, ngunit hindi kinakailangan, ipinapakita ng karanasan na ang posibilidad ng isang error sa mga kalkulasyon ay tataas nang maraming beses. Idagdag lamang: Sa ikaapat na linya, idagdag ang unang linya na pinarami ng -1 - eksakto!

(2) Ang huling tatlong linya ay proporsyonal, dalawa sa kanila ay maaaring tanggalin.

Dito muli kailangan mong ipakita nadagdagan ang atensyon, ngunit ang mga linya ba ay talagang proporsyonal? Upang maging ligtas na bahagi (lalo na para sa isang teapot) hindi magiging kalabisan na i-multiply ang pangalawang linya sa –1, at hatiin ang ikaapat na linya sa 2, na nagreresulta sa tatlong magkaparehong linya. At pagkatapos lamang tanggalin ang dalawa sa kanila.

Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, ang pinalawak na matrix ng system ay nabawasan sa isang sunud-sunod na anyo:

Kapag pinupunan ang isang gawain sa isang kuwaderno, ipinapayong gawin ang parehong mga tala sa lapis para sa kalinawan.

Isulat muli natin ang kaukulang sistema ng mga equation:

Hindi ito amoy tulad ng isang "karaniwan" lamang na solusyon ng system. Wala ring masamang linya. Nangangahulugan ito na ito ang pangatlong natitirang kaso - ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon. Minsan, sa pamamagitan ng kundisyon, kinakailangan upang siyasatin ang pagiging tugma ng system (ibig sabihin, upang patunayan na ang isang solusyon ay umiiral sa lahat), maaari mong basahin ang tungkol dito sa huling talata ng artikulo Paano ko mahahanap ang ranggo ng isang matrix? Ngunit sa ngayon, sinusuri namin ang mga pangunahing kaalaman:

Ang walang katapusang bilang ng mga solusyon sa sistema ay maikling nakasulat sa anyo ng tinatawag na pangkalahatang solusyon ng system .

Nahanap namin ang pangkalahatang solusyon ng system gamit ang reverse course ng Gauss method.

Una kailangan nating matukoy kung aling mga variable ang mayroon tayo basic at kung aling mga variable libre... Hindi kinakailangang mag-abala sa mga tuntunin ng linear algebra, sapat na tandaan na mayroong ganoon pangunahing mga variable at mga libreng variable.

Ang mga pangunahing variable ay palaging "umupo" nang mahigpit sa mga hakbang ng matrix.
Sa halimbawang ito, ang mga pangunahing variable ay at

Ang mga libreng variable ay lahat natitira mga variable na hindi nakakuha ng rung. Sa aming kaso, mayroong dalawa sa kanila: - mga libreng variable.

Ngayon kailangan mo lahat pangunahing mga variable upang ipahayag sa pamamagitan lamang ng mga libreng variable.

Tradisyonal na gumagana ang reverse ng Gaussian algorithm mula sa ibaba pataas.
Mula sa pangalawang equation ng system, ipinapahayag namin ang pangunahing variable:

Ngayon tingnan natin ang unang equation: ... Una, pinapalitan namin ang nahanap na expression dito:

Ito ay nananatiling ipahayag ang pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga libreng variable:

Sa huli, nakuha namin ang kailangan namin - lahat(mga) pangunahing variable ay ipinahayag sa pamamagitan lamang ng mga libreng variable:

Sa totoo lang, handa na ang pangkalahatang solusyon:

Paano isulat nang tama ang pangkalahatang solusyon?
Ang mga libreng variable ay nakasulat sa pangkalahatang solusyon "sa pamamagitan ng kanilang mga sarili" at mahigpit sa kanilang mga lugar. Sa kasong ito, ang mga libreng variable ay dapat na nakasulat sa pangalawa at ikaapat na posisyon:
.

Ang nakuha na mga expression para sa mga pangunahing variable at, malinaw naman, kailangan mong magsulat sa una at pangatlong posisyon:

Pagbibigay ng mga libreng variable mga arbitraryong halaga, makakahanap ka ng walang katapusang marami pribadong solusyon... Ang pinakasikat na mga halaga ay mga zero, dahil ang partikular na solusyon ay ang pinakamadali. Palitan natin ang pangkalahatang solusyon:

- isang pribadong solusyon.

Ang mga unit ay isa pang matamis na mag-asawa, palitan natin sila sa pangkalahatang solusyon:

- isa pang partikular na solusyon.

Madaling makita na mayroon ang sistema ng mga equation walang katapusang maraming solusyon(dahil maaari tayong magbigay ng mga libreng variable anuman halaga)

Bawat isa ang partikular na solusyon ay dapat masiyahan sa bawat isa equation ng system. Ito ang batayan para sa "mabilis" na pagsusuri ng kawastuhan ng solusyon. Kunin, halimbawa, ang isang partikular na solusyon at isaksak ito sa kaliwang bahagi ng bawat equation sa orihinal na system:

Dapat magkasya ang lahat. At sa anumang partikular na desisyon na natanggap mo - lahat ay dapat ding sumang-ayon.

Ngunit, mahigpit na nagsasalita, ang pagsuri sa isang partikular na solusyon kung minsan ay nanlilinlang, i.e. ang ilang partikular na solusyon ay maaaring matugunan ang bawat equation ng system, ngunit ang pangkalahatang solusyon mismo ay aktwal na natagpuan nang hindi tama.

Samakatuwid, ang pagsusuri ng pangkalahatang solusyon ay mas masinsinan at maaasahan. Paano suriin ang resultang pangkalahatang solusyon ?

Ito ay madali, ngunit medyo nakakapagod. Kailangan mong kumuha ng mga expression basic mga variable, sa kasong ito at, at palitan ang mga ito sa kaliwang bahagi ng bawat equation ng system.

Sa kaliwang bahagi ng unang equation ng system:

Sa kaliwang bahagi ng pangalawang equation ng system:


Ang kanang bahagi ng orihinal na equation ay nakuha.

Halimbawa 4

Lutasin ang sistema sa pamamagitan ng pamamaraang Gaussian. Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon at dalawang partikular na solusyon. Suriin ang pangkalahatang solusyon.

Ito ay isang halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon. Dito, sa pamamagitan ng paraan, muli ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam, na nangangahulugan na ito ay agad na malinaw na ang sistema ay magiging alinman sa hindi tugma o may isang walang katapusang hanay ng mga solusyon. Ano ang mahalaga sa mismong proseso ng pagpapasya? Pansin, pansin muli... Kumpletuhin ang solusyon at sagot sa dulo ng tutorial.

At ilang higit pang mga halimbawa upang pagsama-samahin ang materyal

Halimbawa 5

Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation. Kung ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon, maghanap ng dalawang partikular na solusyon at suriin ang pangkalahatang solusyon

Solusyon: Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa sunud-sunod na anyo:

(1) Idagdag ang unang linya sa pangalawang linya. Sa ikatlong linya idinaragdag namin ang unang linya na pinarami ng 2. Sa ikaapat na linya idinaragdag namin ang unang linya na pinarami ng 3.
(2) Idagdag ang pangalawang hilera na pinarami ng –5 sa ikatlong linya. Sa ikaapat na linya, idagdag ang pangalawang linya na pinarami ng –7.
(3) Ang ikatlo at ikaapat na linya ay pareho, tinatanggal namin ang isa sa mga ito.

Narito ang gayong kagandahan:

Ang mga pangunahing variable ay nakaupo sa mga baitang, samakatuwid ang mga pangunahing variable.
Mayroon lamang isang libreng variable na hindi nakakuha ng isang hakbang dito:

Baliktarin:
Ipahayag natin ang mga pangunahing variable sa mga tuntunin ng isang libreng variable:
Mula sa ikatlong equation:

Isaalang-alang ang pangalawang equation at palitan ang natagpuang expression dito:

Isaalang-alang ang unang equation at palitan ang mga natagpuang expression at sa loob nito:

Oo, ang isang calculator na nagbibilang ng mga ordinaryong fraction ay magagamit pa rin.

Kaya ang pangkalahatang solusyon ay:

Muli, paano ito nangyari? Ang libreng variable ay nakaupo nang mag-isa sa nararapat nitong ikaapat na puwesto. Ang mga resultang expression para sa mga pangunahing variable ay kinuha din ang kanilang mga ordinal na lugar.

Tingnan natin ang pangkalahatang solusyon kaagad. Trabaho para sa mga itim, ngunit nagawa ko na ito, kaya mahuli =)

Pinapalitan namin ang tatlong bayani,, sa kaliwang bahagi ng bawat equation ng system:

Ang kaukulang kanang bahagi ng mga equation ay nakuha, sa gayon, ang pangkalahatang solusyon ay matatagpuan nang tama.

Ngayon mula sa nahanap na karaniwang solusyon nakakakuha tayo ng dalawang partikular na solusyon. Ang tanging libreng variable ay ang chef dito. Hindi mo kailangang i-rack ang iyong mga utak.

Hayaan, kung gayon - isang pribadong solusyon.
Hayaan, kung gayon - isa pang partikular na solusyon.

Sagot: Karaniwang desisyon: , mga partikular na solusyon: , .

Hindi ko na dapat maalala ang tungkol sa mga itim dito ... ... dahil lahat ng uri ng sadistikong motibo ay pumasok sa aking isipan at naalala ko ang kilalang foto-toad, kung saan ang mga Klan na nakasuot ng puting damit ay tumatakbo sa buong field pagkatapos ng isang itim na manlalaro ng putbol. Umupo ako, tahimik na nakangiti. Alam mo kung gaano ka-distracting...

Maraming matematika ang nakakapinsala, kaya isang katulad na huling halimbawa para sa sarili mong solusyon.

Halimbawa 6

Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng isang sistema ng mga linear na equation.

Nasuri ko na ang pangkalahatang solusyon, ang sagot ay mapagkakatiwalaan. Ang iyong desisyon na kurso ay maaaring iba sa aking desisyon na kurso, ang pangunahing bagay ay ang mga pangkalahatang desisyon ay nag-tutugma.

Marahil, marami ang nakapansin ng isang hindi kasiya-siyang sandali sa mga solusyon: madalas, sa panahon ng reverse course ng Gauss method, kailangan naming magbiyolin ng mga ordinaryong fraction. Sa pagsasagawa, ito ay totoo, ang mga kaso kapag walang mga fraction ay hindi gaanong karaniwan. Maging handa sa pag-iisip, at higit sa lahat, sa teknikal.

Tatalakayin ko ang ilan sa mga tampok ng solusyon na hindi natagpuan sa mga nalutas na halimbawa.

Ang pangkalahatang solusyon ng system ay maaaring minsan ay may kasamang constant (o constants), halimbawa:. Narito ang isa sa mga pangunahing variable ay katumbas ng isang pare-parehong numero:. Walang kakaiba dito, nangyayari ito. Malinaw, sa kasong ito, ang anumang partikular na solusyon ay maglalaman ng A sa unang posisyon.

Bihirang, ngunit may mga sistema kung saan ang bilang ng mga equation ay mas malaki kaysa sa bilang ng mga variable... Gumagana ang paraan ng Gauss sa pinakamalalang kondisyon, dapat mong kalmado na dalhin ang pinalawak na matrix ng system sa isang stepwise na form ayon sa karaniwang algorithm. Ang ganitong sistema ay maaaring hindi pare-pareho, maaari itong magkaroon ng walang katapusang maraming solusyon, at, kakaiba, maaari itong magkaroon ng isang solong solusyon.

Teorama. Ang sistema ng mga linear equation ay pare-pareho lamang kung ang ranggo ng pinalawig na matrix ay katumbas ng ranggo ng matrix ng system mismo.

Mga sistema ng linear equation

Consistent r (A) = r () inconsistent r (A) ≠ r ().

Kaya, ang mga sistema ng mga linear na equation ay may alinman sa isang walang katapusang hanay ng mga solusyon, o isang solusyon, o walang mga solusyon sa lahat.

Pagtatapos ng trabaho -

Ang paksang ito ay kabilang sa seksyon:

Mga pagbabago sa elementarya na matrix. Paraan ng Cramer. Depinisyon ng vector

Dalawang elemento ng permutation ang bumubuo ng inversion kung sa permutation notation ay nauuna ang mas malaking elemento sa mas maliit .. mayroong n magkakaibang permutations ng nth degree out of n numbers, papatunayan natin ito .. tinatawag ang permutation kahit na ang total ang bilang ng mga inversion ay isang even na numero at, nang naaayon, kakaiba kung ..

Kung kailangan mo ng karagdagang materyal sa paksang ito, o hindi mo nakita ang iyong hinahanap, inirerekumenda namin ang paggamit ng paghahanap sa aming base ng mga gawa:

Ano ang gagawin natin sa natanggap na materyal:

Kung ang materyal na ito ay naging kapaki-pakinabang para sa iyo, maaari mo itong i-save sa iyong pahina sa mga social network:

Tweet

Lahat ng mga paksa sa seksyong ito:

Kronecker-Capelli theorem
Isaalang-alang ang isang sistema ng mga linear na equation na may n hindi alam: Buuin natin ang matrix at ang pinalawig na matrix

Ang konsepto ng isang homogenous na sistema ng mga linear equation
Isang sistema ng mga linear equation kung saan ang lahat ng libreng termino ay katumbas ng 0, i.e. ang sistema ng anyo ay tinatawag na homogenous

Pag-aari ng mga solusyon sa isang homogenous na SLO
Ang isang linear na kumbinasyon ng mga solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga equation ay mismong isang solusyon sa sistemang ito. x = at y =

Relasyon sa pagitan ng mga solusyon ng homogenous at inhomogeneous system ng linear equation
Isaalang-alang ang parehong mga sistema: Ako at

Axiomatic na diskarte sa kahulugan ng linear space
Mas maaga, ang konsepto ng isang n-dimensional na vector space ay ipinakilala bilang isang set ng mga ordered system ng n-real na mga numero, kung saan ipinakilala ang mga operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami sa isang tunay na numero.

Corollaries mula sa axioms
1. Uniqueness ng zero vector 2. Uniqueness ng opposite vector

Patunay ng mga Bunga
1. Ipagpalagay na. - sa zero

Batayan. Dimensyon. Mga coordinate
Kahulugan 1. Ang batayan ng isang linear space L ay isang sistema ng mga elemento na kabilang sa L na tumutugon sa dalawang kundisyon: 1) ang sistema

Laki: px

Magsimulang ipakita mula sa pahina:

Transcript

1 1 Ang bilang ng mga solusyon sa isang sistema ng mga equation Graphical dynamic na pamamaraan Upang mahanap ang bilang ng mga solusyon sa isang sistema ng mga equation na naglalaman ng isang parameter, ang sumusunod na pamamaraan ay kapaki-pakinabang. Bumubuo kami ng mga graph ng bawat isa sa mga equation para sa isang tiyak na nakapirming halaga ng parameter at hanapin ang bilang ng mga karaniwang punto ng mga binuong graph Ang bawat karaniwang punto ay isa sa mga solusyon ng system.parameter at kumakatawan kung paano binago ang graph ng equation na may parameter, kung paano lumilitaw at nawawala ang mga karaniwang punto ng mga graph. Ang isang pag-aaral ay nangangailangan ng isang binuo na imahinasyon Upang sanayin ang imahinasyon, isaalang-alang ang isang bilang ng mga tipikal na problema Tawagan natin ang mga espesyal na halaga ng parameter ang mga halaga kung saan nagbabago ang bilang ng mga solusyon Ang mga halagang ito ay tumutugma sa mga sitwasyon kapag ang mga graph ng mga desisyon hawakan ang isa't isa o ang sulok na punto ng isa sa mga graph ay nahuhulog sa isa pang graph. Bilang isang panuntunan, kapag dumadaan sa isang solong punto, ang bilang ng mga solusyon ay nagbabago ng dalawa, at sa ganoong punto mismo ito ay naiiba ng isa mula sa bilang ng mga mga solusyon na may maliit na pagbabago sa n parameter Isaalang-alang natin ang mga problema kung saan kinakailangan upang mahanap ang bilang ng mga solusyon ng isang sistema ng mga equation, ang isa ay depende sa parameter a, at ang isa ay hindi nakasalalay sa variable Mga variable sa mga system x at y Ang mga numero xi, yi, r ay itinuturing na binibigyan ng mga constant Sa kurso ng bawat solusyon, ipinoploy namin ang mga graph ng parehong mga equation kung paano nagbabago ang graph ng isang equation na may parameter kapag nagbabago ang halaga ng isang parameter. Pagkatapos ay gumawa kami ng konklusyon tungkol sa bilang ng mga solusyon (mga karaniwang punto ng mga graph na binuo) .Sa interactive na figure, ang graph ng isang equation na walang parameter ay ipinapakita sa kulay asul, at isang dynamic na graph ng isang equation na may isang parameter ay ipinapakita sa pula Upang pag-aralan ang paksa (mga gawain 1 7 ) gamitin ang InMA file 11, 5 Bilang ng mga solusyon sa system na may parameter Para sa pananaliksik (gawain 8) gamitin ang GInMA file Bilang ng mga solusyon sa system na may parameter (x x0) + (y y0) = r; 1 Hanapin ang bilang ng mga solusyon ng system (x x1) + y = a (x x0) + (y y 0) = r; Hanapin ang bilang ng mga solusyon ng system y = kx + a (x x0) + (y y0) = r; 3 Hanapin ang bilang ng mga solusyon ng system y = ax + y1 (x x0) + (y y0) = r; 4 Hanapin ang bilang ng mga solusyon ng system (x x1) + y = a (x x0) + y y0 = r; 5 Hanapin ang bilang ng mga solusyon ng system (x x0) + (y y0) = a (x x0) + (y y0) = r; 6 Hanapin ang bilang ng mga solusyon ng system y = x a + y1 x x0 + y y0 = r; 7 Hanapin ang bilang ng mga solusyon ng system (x x0) + (y y0) = a f (x, y) = 0; g (x, y, a) = 0 8 Hanapin ang bilang ng mga solusyon ng BB system Shelomovsky Thematic set, cmdru /

2 1 Mga graph ng mga equation makinis na kurba (x x0) + (y y0) = r; 1 Gawain Hanapin ang bilang ng mga solusyon ng system (x x1) + y = a Solusyon: Ang graph ng unang equation ay isang bilog ng radius r na nakasentro sa punto O (x0; y0) Ang graph ng pangalawang equation ay isang bilog ng radius a na nakasentro sa abscissa axis sa punto A (x1 ; 0) Ang gitna ng bilog ay hindi gumagalaw, tinutukoy ng radius ang parameter Kapag tumaas ang modulus ng parameter, ang bilog ay "bumabukol" Ang mga espesyal na halaga ng parameter ay yaong mga halaga kung saan nagbabago ang bilang ng mga ugat, iyon ay, ang mga halaga ng parameter kung saan ang bilog ng pangalawang graph ay humipo sa bilog ng unang Kondisyon ng tangency ng mga bilog modulus ng kabuuan o pagkakaiba ng radii ng ang mga bilog ay katumbas ng distansyang center-to-center: a ± r = AO a = ± AO ± r Pananaliksik: Sa pamamagitan ng pagbabago ng halaga ng mga variable at parameter, hanapin ang bilang ng mga solusyon ng system kapag ang karaniwang axis ng mga bilog ay patayo Sa pangkalahatan, gamitin ang Pythagorean triangles Halimbawa, x0 x1 = 3, y0 = ± 4 Karaniwan, tulad ng sa maliit na mo Dahil ang dalawang di-nagtutugmang bilog ay maaaring magkaroon ng hindi hihigit sa dalawang karaniwang mga punto, ang bilang ng mga solusyon sa pangkalahatang kaso ay hindi hihigit sa dalawa Sa mga punto ng tangency, ang bilang ng mga solusyon ay katumbas ng isa, na may mga intermediate na halaga ng parameter dalawang parameter kung saan tatlong magkaibang puntos (x 1) + (y y0) = 9; ay mga solusyon sa sistema ng mga equation (x x1) + y = a (x x0) + (y y0) = r; Gawain Hanapin ang bilang ng mga solusyon ng system y = kx + a Solusyon: Ang graph ng unang equation ay isang bilog ng radius r na nakasentro sa puntong O (x0; y0) Ang graph ng pangalawang equation ay isang pamilya ng mga parallel na linya dumadaan sa mga puntong A (0; a) at pagkakaroon ng pare-parehong slope Ang padaplis ng anggulo ng pagkahilig ng mga tuwid na linya ay katumbas ng k Kapag tinataasan ang parameter, ang mga tuwid na linya ay tumataas. Ang mga espesyal na halaga ng parameter ay ang mga halagang iyon ​kung saan nagbabago ang bilang ng mga ugat, iyon ay, ang mga halaga ng parameter kung saan ang mga tuwid na linya ay dumadampi sa bilog. cmdru /

3 3 Ang paglutas ng resultang equation, makikita natin ang mga coordinate ng dalawang punto ng contact: kr x = x0 ±; x0 x 1 + k = kk (y y0) + (y y0) = rry y0 y = y0 1+ k Ang pagpapalit ng mga nakuhang expression sa equation ng isang tuwid na linya, makikita natin ang halaga ng parameter sa mga singular na puntos: a = y 0 kx0 ± r 1 + k Pananaliksik : Pagbabago ng halaga ng mga variable at parameter, hanapin ang bilang ng mga solusyon ng system. Ito ay kanais-nais na simulan ang pag-aaral sa pinakasimpleng kaso k = 0, kapag ang mga tuwid na linya ay parallel sa abscissa axis. Pagkatapos ay isaalang-alang ang mga kaso kapag ang ugat ay nakuha (halimbawa, k = 3), bigyang-pansin ang sikat na kaso k = 1 Para sa maliit at para sa malalaking halaga ng parameter ay walang mga solusyon Dahil ang isang tuwid linya at bilog ay maaaring magkaroon ng hindi hihigit sa dalawang karaniwang mga punto, ang bilang ng mga solusyon ay hindi hihigit sa dalawa Para sa mga halaga ng parameter na tumutugma sa tangency, ang bilang ng mga solusyon ay katumbas ng isa, na may mga intermediate na halaga ng Parameter dalawa.Malikhaing gawain Alam na ang sistemang ito ng mga equation ay may hindi hihigit sa isang solusyon Hanapin ang halaga ng parameter kung saan ang sistema ng mga equation ay may solusyon: (x) + (y 3) = r; y = x + a (x x0) + (y y0) = r; 3 Hanapin ang bilang ng mga solusyon ng system y = ax + y1 Solusyon: Ang graph ng unang equation ay isang bilog ng radius r na nakasentro sa puntong O (x0; y0) Ang graph ng pangalawang equation ay isang pamilya ng mga tuwid na linya na dumadaan sa puntong A (0; y1) Tinutukoy ng tangent ng anggulo ng inclination ng mga tuwid na linya ( a) ang halaga ng parameter. Kapag tumaas ang parameter, tataas ang anggulo sa pagitan ng graph at ang positibong direksyon ng abscissa axis. , pagkatapos ay ang anumang posibleng tuwid na linya ay bumalandra sa bilog sa dalawang punto Nahanap namin ang kondisyon ng tangency sa pamamagitan ng equating ang tangents ng anggulo ng inclination ng bilog at ang tuwid na linya Paglutas ng resultang equation, nakita namin ang mga coordinate ng dalawang punto ng tangency: VV Shelomovsky Thematic set, cmdru /

4 4 ar x = x0 ±; x0 x 1 + a = aa (y y0) + (y y0) = rry y0 y = y0 1+ a Ang pagpapalit ng mga nakuhang expression sa equation ng tuwid na linya, makikita natin ang halaga ng parameter sa (y1 y 0) r isahan na puntos Kung x0 = 0, kung gayon ang mga espesyal na halaga ng parameter a = ± r Kung y0 = y1, x0 r, kung gayon ang mga espesyal na halaga ng parameter a = ± (y1 y 0) rr x0 Kung х0 = ± r, pagkatapos ay hinawakan ng bilog ang patayong linya na dumadaan sa punto r (y1 y 0) А (0; у1) at ang halaga ng parameter a = Sa ibang mga kaso, x0 (y1 y 0) a = x0 (y 0 y1) ± r (x0 + (y 0 y1) r) r x0 Pananaliksik: Sa pamamagitan ng pagbabago ng halaga ng mga variable at parameter, hanapin ang bilang ng mga solusyon ng system Ito ay kanais-nais na simulan ang pag-aaral mula sa pinakasimpleng kaso y0 = y1, x0< r, когда точка А(0; у1) внутри окружности и число решений всегда равно двум Рассмотрите случай х0 = r, когда число решений легко найти (х0 = r =, y0 = 3, y1 =) Затем рассмотрите случаи, когда корень хорошо извлекается (например, х0 = 3, y0 = 4, r =, y1 =) Поскольку прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек, число решений не более двух При значениях параметра, соответствующих касанию, число решений равно единице, при остальных значениях параметра нулю или двум (x + 3) + (y 5) = r ; при всех y = ax + 1 Творческое задание Известно, что система уравнений значениях параметра, кроме одного, имеет два решения Найдите то значение параметра, при котором система уравнений имеет единственное решение (x x0) + (y y0) = r ; 4 Задание Найдите число решений системы (x x1) + y = a Решение: В ходе решения строим графики каждого из уравнений и исследуем число общих точек построенных графиков График первого уравнения это пара окружностей одинакового радиуса r Центры окружностей O и Q имеют одинаковую ординату y0 и ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

5 5 magkapareho sa magnitude, ngunit naiiba sa tanda ng abscissa ± x0 Ang mga graph ay ipinapakita sa kulay asul at lila Ang graph ng pangalawang equation ay isang bilog na radius a na nakasentro sa abscissa axis sa punto A (x1; 0) Mga espesyal na halaga ​​ng parameter ang mga halagang iyon kung saan nagbabago ang bilang ng mga ugat , iyon ay, ang mga halaga ng parameter kung saan ang bilog ng pangalawang graph ay nakadikit sa mga bilog ng una. Mga kundisyon ng pagpindot sa kabuuan o pagkakaiba ng ang radii ng mga bilog ay katumbas ng distansyang center-to-center: a ± r = AO, at ± r = AQ Pananaliksik: Sa pamamagitan ng pagbabago ng halaga ng mga variable at parameter, hanapin ang bilang ng mga solusyon ng system Gumamit ng mga halaga ng integer Para sa isang distansya ng center-to-center (halimbawa, x0 = 6, y0 = 3, r = 3, x1 =) Karaniwan, para sa maliit sa modulus at malalaking halaga ng parameter, walang mga solusyon Sa mga punto ng tangency, ang bilang ng mga ugat ay kakaiba, sa iba pang mga punto ang bilang ng mga ugat ay kahit na ( x 6) + (yy 0) = r; Malikhaing gawain Ito ay kilala na ang sistema ng mga equation para sa (x x1) + y = isang ilang halaga ng parameter ay may eksaktong dalawang solusyon. Para sa halagang ito ng parameter, ang mga graph ay pindutin ang Hanapin ang halagang ito ng parameter (x x0) + y y0 = r; 5 Hanapin ang bilang ng mga solusyon ng system (x x0) + (y y0) = a Solusyon: Ang graph ng unang equation ay binubuo ng isang pares ng mga parabola na pinagsama sa y = y0 Mga equation ng parabola y = y0 ± (r (x x0)) Mayroon silang pahalang na axis ng symmetry y = y0, vertical axis ng symmetry х = х0 Center of symmetry point (x0, y0) Ang pangalawang graph ay isang bilog ng radius a, ang gitna nito ay matatagpuan sa center of symmetry ng parabolas Ang bilang ng mga ugat ay nagbabago sa ganoong halaga ng parameter kung saan ang bilog ng ikalawang graph ay dumampi sa vertices ng mga parabola Sa punto ng tangency: x = x0, y = y0 ± r = y = y0 ± a, na nangangahulugan na a = ± r Ang bilang ng mga ugat ay nagbabago sa ganoong halaga ng parameter kung saan nangyayari ang panloob na tangency ng bilog ng ikalawang graph na may mga parabola. Upang mahanap ang halagang ito, pumunta mula sa isang sistema ng mga equation sa isang equation na may isang variable: (yy 0) = a (x x0) = (r (x x0)) Ito ay isang quadratic equation para sa (xx 0) Ito ay may isang ugat kung ang discriminant ay zero: VV Shelomovsky Thematic sets, cmdru /

6 6 D = (r 0,5) (ra) = 0, a = ± r 1 4 Ang bilang ng mga ugat ay nagbabago sa ganoong halaga ng parameter kung saan nangyayari ang intersection ng bilog at ng parabola sa mga break point ng ang unang graph, iyon ay, sa y = y0 Pananaliksik : Pagbabago ng halaga ng mga variable at parameter, hanapin ang bilang ng mga solusyon sa system Gamitin ang mga halaga r = 1, 4 at 9 Tandaan na ang mga parameter x0 at y0 huwag makaapekto sa sagot sa problema Para sa maliit sa magnitude at malalaking halaga ng parameter, walang mga solusyon x x0 + y y0 = r; 6 Hanapin ang bilang ng mga solusyon ng system (x x0) + (y y0) = a Solusyon: Ang graph ng unang equation ay isang parisukat na inclined sa isang anggulo na 45 sa coordinate axes, ang haba ng kalahati ng diagonal ng na kung saan ay r Ang pangalawang graph ay isang bilog ng radius a, ang gitna nito ay matatagpuan sa gitnang simetrya ng parisukat Ang bilang ng mga ugat ay nagbabago sa halaga ng parameter kung saan ang bilog ay dumadaan sa mga vertices ng parisukat Dito. kaso, y = y0, a = ± r Ang bilang ng mga ugat ay nagbabago sa halaga ng parameter kung saan nangyayari ang panloob na tangency ng bilog na may mga gilid ng parisukat Upang mahanap ang halagang ito, pumunta mula sa isang sistema ng mga equation patungo sa isang equation na may isang variable: (yy 0) = a (x x0) = (rx x0) Ito ay isang quadratic equation para sa xx 0 Ito ay may isang ugat kung ang discriminant ay zero Sa kasong ito, a = ± r Ang radius ng bilog sa ang kasong ito ay tumutukoy sa radius sa nakaraang kaso, bilang kasalanan 45: 1 VV Shelomovsky Thematic kit, cmdru /

7 7 (x x0) + (y y0) = r; 7 Hanapin ang bilang ng mga solusyon ng system y = xa + y1 Ang graph ng unang equation ay isang bilog na may gitnang O (x0; y0) Ang graph ng pangalawang equation ay binubuo ng dalawang sinag na may karaniwang pinagmulan ito ay "ibon , wings up”, ang tuktok ng graph ay matatagpuan sa punto A (a; y1) Ang bilang ng mga ugat ay nagbabago sa halaga ng parameter kung saan ang "pakpak" ng pangalawang graph ay dumampi sa bilog o sa tuktok ng graph nakahiga sa bilog na ito. ang pakpak na ito ay dumadampi sa bilog sa mga punto (xk; yk) na ang r yk = y0 Ang kundisyon ng tangency yk = xk a + y1 a = xk yka + y1 = x0 y0 + y1 ± r Dahil ang "pakpak" ay isang ray na tumataas , ang kundisyon ay idinagdag na ang ordinate ng vertex ay dapat na hindi hihigit sa ordinate ng punto ng contact, iyon ay, у1 уk y0 у1 ± r Katulad nito, isinulat namin ang mga kondisyon ng contact sa " left wing" Kung ang vertex ng graph ay nasa isang bilog, kung gayon ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation ng bilog: (a x0) + (y1 y0) = r mga solusyon sa system, iyon ay, ang bilang ng mga karaniwang punto ng mga graph Sa mga isahan na punto, ang bilang ng mga ugat ay kakaiba, sa ibang mga punto ang bilang ng mga ugat ay kahit na (x) + (yy 0) = r, Malikhaing gawain Ito ay kilala na ang sistema ng mga equation para sa y = xa + y1, ilang value parameter ay may tatlong solusyon. g (x, y, a) = 0 8 Hanapin ang bilang ng mga solusyon sa system. Tukuyin ang mga function sa iyong sarili ayon sa modelo at siyasatin ang bilang ng mga solusyon VV Shelomovsky Thematic sets, cmdru /

8 8 VV Shelomovsky Thematic set, cmdru /

9 9 Mga Gawain C5 (Semyonov Yashchenko) Opsyon 1 Hanapin ang lahat ng mga halaga ng a, para sa bawat isa kung saan ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay 4 x 1 x + 3 a 3 ay isang segment 3 a 4 x Pag-iisip Magsagawa ng mga pagbabagong-anyo xb 1 , 1 xb 1, 4 x 1 x + 3 axb 3 =, b = 3 a 3 a 4 xx (x) 0, (x +1) b 1 0 Ang mga boundary lines ng plane x 3a ay: x = 0, x =, x = 3a, x = ± 3 aa = (x + 1) 1 4 Kung 0 x, kung gayon b< 4x, b (x +1) 1 Так как 4x >(x +1) 1, pagkatapos b (x +1) 1 Kung 0> x pagkatapos b> 4x, (x +1) 1 b Mayroong solusyon para sa 1 b Halimbawa, x = 1 Kung x>, kung gayon b > 4x, (x +1) 1 b Mula noong 4x< (x +1) 1, то (x +1) 1 b Значит, решения таковы Если 3а >8, pagkatapos x [3 a + 1 1.0] [, 3 a +1 1] Kung 3a = 8, kung gayon x [4.0] x [3 a +1 1.0] [3 a + 1 1,] Kung 0< 3а < 8, то Если 3а = 0, то х [,0) (0, ] Если 1< 3а < 0, то х [ 3 a +1 1, 3 a+1 1] [ 0, ] Если 1 = 3а, то х 1 } Если 1 >3а, pagkatapos x Solusyon Hayaan ang 1 3а Pagkatapos ang x = 1 ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay, 4 x 1 x + 3 a 16 + 3 a 3 a 3 = 3 =, isang kontradiksyon, ang numerong ito ay nasa labas ng segment 3 a 4 x 3 a + 4 3 a +4 Let 1> 3а Pagkatapos xb 1, 4 x 1 x + 3 axb 3 =, b = 3 a< 1 3 a 4 x 1 x b 1, x (x) 0, (x +1) b 1 0 Числа из промежутка 0 х удовлетворяют обоим неравенствам Если x >, pagkatapos ay ang unang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nasiyahan VV Shelomovsky Thematic set, cmdru /

10 10 Kung 0> x, kung gayon b (x +1) 1, ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nasiyahan Sagot: 1> 3а Pagpipilian 3 Hanapin ang lahat ng mga halaga ng a, para sa bawat isa kung saan ang equation a +7 xx + x + Ang 5 ay may hindi bababa sa isang ugat = a + 3 x 4 a +1 Pag-iisip Hayaan ang f (a, x) = a +7 xx + x +5 a 3 x 4 a + 1 Isahan na punto ng function х + 1 = 0 Kung х = 1, pagkatapos ang equation ay may anyo na a +10 a 1 a = 0 Madaling makahanap ng apat na solusyon Kinakailangang patunayan na ang orihinal na function ay palaging mas malaki kaysa sa Solusyong ito Hayaan ang f (a, x) = a + 7 xx + x +5 a 3 x 4 a + 1 Equation f (a, x) = 0 Pagkatapos f (a, 1) = a +10 a 1 a = 0 Pagkakaiba f (a, x) f (a, 1 ) = 7 x +1 +5 (x + x +5) + 3 4 a 3 x 4 a + 1 3 (xa 4 ax 1) 0 Kaya, ang equation na f (a, x) = 0 ay may mga ugat lamang kung f (a, 1) 0 Ang equation f (a, 1) = 0 ay may apat na ugat a 1 =, a =, a 3 =, a 4 = Function f (a, 1) 0 (hindi positibo) para sa isang Halimbawa, kung a = 10, ibig sabihin, ang ugat Para sa ibang mga halaga ng ax = f (a, x) f (a, 1)> 0 Walang mga ugat Sagot: [5 15, 5+ 15] Opsyon 5 Hanapin ang lahat ng mga halaga ng isang, para sa bawat isa ay may hindi bababa sa isang ugat ur a +11 x + +3 x + 4 x + 13 = 5 a + xa + Gamitin ang function f (a,) = a +9 5 a 4 a = 0 at ang hindi pagkakapantay-pantay f (a, x) f (a, ) (x + + ax a +) 0 Sagot: [,] Opsyon 9 Hanapin ang bilang ng mga ugat ng equation x + 4x 5 3a = x + a 1 Pag-iisip Isinasaalang-alang namin ang sumusunod (halatang) pahayag na kilala Let the functions f ( x) at g (x) ay ibigay sa ilang pagitan Hayaang ang hinango ng isa ay mas malaki sa pagitan kaysa sa isa. equation f (x) = g (x) ay may eksaktong isang ugat sa pagitan Solusyon Ipahiwatig f (x, a) = 3а + x + a, g (x) = x + 4x Equation f (x, a) = g ( x) VV Shelomovsky Thematic kit, cmdru /

11 11 Ang mga singular na puntos ng function na g (x) ay ang minima sa x = 1 at x = 5 at ang maximum sa x = Values ​​​​g (1) = g (5) = 1, g () = 10 Ang ang function ay may axis ng symmetry x = 3 Sa malalaking halaga ng modulo x, ang quadratic function na g (x) ay mas malaki kaysa sa linear function f (x, a) Ang slope ng function sa labas ng segment [5,1] ay tinutukoy ng ang derivative (x + 4x 5) "= x para sa x> 1 Function g (x) para sa x > 1 monotonically tumataas na may coefficient na mas malaki kaysa sa 6 Sa bisa ng symmetry, ang function na g (x) ay bumababa nang monotonically na may coefficient na mas malaki kaysa 6 para sa x< 5 Наклон g(x) равен 1 только на промежутке (5, 1) При этом производная (x 4x + 5)" = x 4 = 1 Значит, в точке x = 5 наклон равен 1 Функция f(x, a) = 3а + x + a монотонно убывает с коэффициентом 1 при x + а < 0 и монотонно возрастает с коэффициентом 1 при x + а >0 Mga halaga sa isang bilang ng mga puntos f (a, a) = 3а, f (5, a) = 3а + 5 a, f (, a) = 3а + a, f (1, a) = 3а + 1 + a Graphs f (x, a) at g (x) touch kung ang kanilang mga slope ay pantay Ang pagpindot ay posible sa x = 5 Bukod dito, g (x) = 39/4 f (x, a) = 4а + x = 39/ 4, 4a = 49 / 4, a = 49/16 Suriin ang mga ugat ng equation f (x, a) = g (x) Kung a<, f(5, a) = а +5 < 1, f(1, a) = а 1 < 5 f(x, a) < g(x), так как в промежутке 5 < x < 1 f(x, a) < 1 < g(x) Если x >1, ang g (x) ay tumataas nang mas mabilis kaysa sa f (x, a), iyon ay, kahit saan f (x, a)< g(x) Если x < 5, g(x) убывает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x) Других корней нет Если a =, f(5, a) = 1, f(1, a) = 5 f(5,) = g(5) Один корень х = 5 Во всех других точках f(x, a) < g(x), как и в предыдущем случае Если < a < 0, f(5, a) = а +5 >1, f (1, a) = 4a + 1< 1f(, a) = а + < 10 При x >f (x, a)< g(x), корней нет При x < f(1,a) >1 Para sa x< 5 быстро убывающая g(x) пересекает медленно убывающую левую ветвь f(x,а), один корень При 5 < x < возрастающая g(x) пересекает убывающую f(x,а), один корень, всего корней два, один при x < 5, второй при 5 < x < Если a = 0, f(5, a) = 5, f(1, a) = 1 f(1, a) = g(1), один корень х = 1 Как и раньше, один корень при x < 5, один корень при 5 < x < Всего корней три Если 0 < a < 3, корней 4, два на левой ветке f(х, a) при x <, два на правой при x >Kung a = 3, f (3, 3) = 8 = g (3), f (, 3) = 10 = g (), ugat 4, isa dalawa sa kaliwang sanga f (x, a) para sa x< 5, один в вершине f(х, 3) при x = 3, один в вершине g(x) при x =, один при x >1 Kung 3< a < 49/16, корней 4, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, два на правой ветви g(x) при 3 < x <, один при x >1 Kung a = 49/16, kung gayon ang bilang ng mga ugat ay 3, isa sa kaliwang sangay f (x, a) para sa x< 5, один в точке касания при x = 5, один при x >1 Kung a> 49/16, kung gayon ang bilang ng mga ugat, isa sa kaliwang sangay f (x, a) para sa x< 5, один на правой при x >1 Sagot: walang ugat para sa a< ; один корень при a =, два корня при < a < 0 или 49/16 < a, три корня при a = 0 или а = 49/16, четыре корня при 0 < a < 49/16 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

12 1 Opsyon 10 Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a, para sa bawat isa kung saan ang equation ay may dalawang ugat 4x 3x x + a = 9 x 3 Solusyon Tukuyin ang f (x, a) = 4x 3x x + a, g (x ) = 9 x 3 Ang singular point ng function na g (x) ay x = 3 Ang function ay bumababa nang monotonically na may coefficient na 9 sa x< 3 и монотонно возрастает с коэффициентом 9 при x >3 Ang function na f (x, a) ay piecewise linear na may coefficients 8, 6, o 0 Nangangahulugan ito na hindi ito bumababa sa x, ang growth rate nito ay mas mababa kaysa sa kanang branch ng function na 9 x 3 f (3 , a) = a Ang graph nitong expression ay isang polyline na may vertices (1, 1), (3, 3), (6, 1) Ang mga value ng function ay positibo para sa isang (4, 18) Mula ang natagpuan ay sumusunod Kung f (3, a)< 0, уравнение не может иметь корней, так как g(x) >f (x, a) Kung f (3, a) = 0, ang equation ay may eksaktong isang ugat x = 3 Para sa iba pang xes g (x)> f (x, a) Kung f (3, a)> 0, ang Ang equation ay may eksaktong dalawang ugat, isa para sa x< 3, когда пересекаются убывающая ветвь g(x) и монотонно не убывающая f(x, a) Другой при x >3, kapag ang mabilis na pagtaas ng branch na g (x) ay nag-intersect sa dahan-dahang pagtaas ng branch f (x, a) Sagot: а (4, 18) Opsyon 11 Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a, para sa bawat isa, para sa anumang halaga ng parameter b, mayroon itong hindi bababa sa isang sistema ng solusyon ng mga equation (1+ 3 x) a + (b 4 b + 5) y =, xy + (b) xy + a + a = 3 Pag-iisip Ang sistema ay may anyo (1+ 3 x) a + (1+ (b) ) y =, Maginhawang xy + (b) xy = 4 (a + 1) a (1 + 3 x) = 1, Nakikita namin ang solusyon x = y = 0 at xy = 4 (a +1) ang kaukulang mga halaga ng parameter a = 1 at a = 3 pag-aralan ang singular point b = Pagkatapos (1+ 3 x) a + (1+ (b)) y =, xy + (b) xy = 4 (a + 1) Solusyon Isulat ang system bilang Solusyon x = y = 0 palaging umiiral para sa a = 1 o a = 3 Kung b =, kung gayon ang system ay may anyo (1+ 3 x) a +1 y =, o xy = 4 (a +1) (1 + 3 x) a = 1, xy = 4 (a +1) Kung a> 1 o a< 3 система не имеет решений, так как их не имеет второе уравнение Если 1 < a < 3, из второго уравнения получим, что x >0, mula sa una ay nahanap natin ang a = 0 Let a = 0 Pagkatapos para sa b = 4 mula sa unang equation makuha natin na y = 0 Sa kasong ito, ang pangalawang equation ay walang solusyon Sagot: 1 o 3 BB Shelomovsky Thematic set, cmdru /

13 13 Opsyon 14 Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter, para sa bawat isa kung saan ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng mga ugat ng equation x 6x a 4a = 0 ay tumatagal ng pinakamalaking halaga Solusyon Isulat ang equation sa anyo (x 3) = 1 (a) Ang solusyon nito = 0 dahil sa periodicity ng mga function sine at cosine , malulutas ang problema para sa segment x = 3 ± 1 (a) Ang pinakamalaking pagkakaiba ng mga ugat ay katumbas sa a = Sagot: Opsyon 15 Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter, para sa bawat isa kung saan ang equation (4 4 k) sin t = 1 ay may hindi bababa sa isang solusyon sa segment [3 π; 5 π] cos t 4 sin t Solusyon Dahil sa periodicity ng sine at cosine function, ang problema ay malulutas para sa interval t [π; 15 π], pagkatapos ay ibawas ang 4π sa bawat nakuhang solusyon.Ibahin ang equation sa anyo + 4 k sin t cos t = 0 cos t 4 sin t Sa segment t [π; 15 π] monotonically bumababa ang sine mula sa zero hanggang minus one, ang cosine monotonically tumataas mula minus one hanggang zero Ang denominator ay naglalaho sa 4tgt = 1, iyon ay, sa sin t = 1 4, cos t = Ang numerator sa t = π ay katumbas ng 1, sa t = 15π ay katumbas ng 4k Kung k 0, ang numerator ay positibo at ang equation ay walang mga ugat Kung k> 0, ang parehong variable na termino ng numerator ay bumaba, iyon ay, ang numerator ay nagbabago monotonically Kaya, ang numerator ay kumukuha ng zero eksaktong isang beses kung k 05 at positibo para sa mas maliliit na halaga k Ang equation ay may ugat kung ang numerator ay zero, at ang denominator ay hindi zero, iyon ay, sa kaso ng 4k = + 4 k sin t cos t + k Sagot : k [05, +) \ 1+) Opsyon 18 Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter, para sa bawat isa kung saan ang sistema ng mga equation (xa 5) + (y 3 a +5) = 16, (xa) + (ya + 1) = 81 ay may natatanging solusyon. Pag-iisip Ang bawat equation ay naglalarawan ng isang bilog. Ang solusyon ay natatangi sa kaso ng tangency ng mga bilog. Solusyon Ang unang equation ay tumutukoy sa isang bilog na nakasentro sa punto (a + 5, 3a 5) at radius 4 Ang pangalawang equation ay pabilog Nakasentro ang st sa punto (a +, a 1) na may radius na 9 BB Shelomovsky Thematic set, cmdru /

14 14 Ang system ay may natatanging solusyon kung magkadikit ang mga bilog Sa kasong ito, ang distansya sa pagitan ng mga sentro ay = 13 o 0 4 = 5 Ang parisukat ng distansyang center-to-center: ((a + 5) (a +) ) + ((3a 5) (a 1)) = aa + 5 Kung ang distansya ay 5, kung gayon ang a = 0 o a = 1 Kung ang distansya ay 13, kung gayon ang a = 8 o a = 9 Sagot: 8, 0, 1, 9 Opsyon 1 Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter para sa bawat isa kung saan ay may eksaktong dalawang di-negatibong solusyon equation 10 0,1 xa 5 x + a = 004 x Solusyon Magsagawa ng mga pagbabagong-anyo 5 xa 5 x + a = 5 x Ipahiwatig t = 5x 1 Dahil sa monotonicity ng exponential function na 5x, ang bawat ugat t 1 ay bumubuo ng eksaktong isang ugat x 0 Ang equation ay nasa anyong ta t + at = 0 Kung sa, kung gayon t + 3t + a = 0 walang mga ugat na mas malaki. kaysa sa 1 Kung t> sa /, pagkatapos ay tt + 3a = 0 Para sa t> 1, ang function ay tumataas nang monotonically, mayroon lamang isang ugat Kung 1 /> t /> a, pagkatapos t 3t a = 0 Para sa t> 1 ang function monotonically bumababa ang t 3t mula sa t = 1 hanggang 5 sa t = 15 at pagkatapos ay tumataas ang monotonically. Nangangahulugan ito na para sa 5> a mayroong dalawang ugat, para sa mas maliit na a walang mga ugat, para sa malaking a, ang ugat ay eksaktong odi n Sagot: 5> a Option Find, depende sa parameter, ang bilang ng mga solusyon ng system x (a + 1) x + a 3 = y, y (a + 1) y + a 3 = x Pag-iisip Ang system ay may ang anyo f (x) = y, f (y) = x, o f (f (х)) = x Isa sa mga solusyon f (x) = x Nahanap natin ang pangalawang solusyon sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga equation Solusyon Ibawas ang pangalawa mula sa ang unang equation Nakukuha namin (x + ya) (xy) = 0 Let x = y Substitute sa unang equation, transform Nakukuha namin (xa 1) = 4 + a Let x + y = a Substitute sa unang equation, transform: (xa) = 3 + a Kung a<, корней нет Если a =, то x = y = a + 1, единственное решение Если 15 >a>, iyon ay, isang pares ng mga solusyon x = y = a + 1 ± 4+ a Kung a = 15, pagkatapos ay dalawang solusyon: x = y = a, x = y = a + Kung 15< a то решения x= y =a+ 1± 4+ a, x=a± 3+ a, y= a x Ответ: a < нет решений, а = одно, 15 a >, dalawang solusyon, a> 15 apat na solusyon VV Shelomovsky Thematic set, cmdru /

15 15 Opsyon 4 Hanapin ang lahat ng mga halaga ng a, para sa bawat isa kung saan ang equation ay walang mga ugat 7 x 6 + (4 ax) 3 +6 x +8 a = 4 x Think 8a 4x = (4a x), 7x6 = (3x) 3 Nangangahulugan ito na kasama sa equation ang kabuuan at ang kabuuan ng mga cube ng parehong mga expression Maaari itong gamitin Solusyon Binabago namin ang equation sa anyo (3 x) 3 + (4 ax) 3+ (3 x + 4 ax) = 0 Palawakin ang kabuuan ng mga cube (3 x + 4 ax) ( (3 x) 3 x (4 ax) + (4 ax) +) = 0 Ang pangalawang salik ay isang hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba na nadagdagan ng Ito ay positive Kapag napili ang parisukat sa unang salik, makakakuha tayo ng 1 1 3 (x) + 4 a = Walang mga ugat ang equation na ito, kung 4 a> 0, a> 3 1 Sagot: 1a> 1 Opsyon 8 Hanapin ang mga halaga ​ng a, para sa bawat isa kung saan ang maximum na halaga ng function xax ay hindi bababa sa isang Solusyon Kung xa, ang function f (x, a) = xax Ito ay maximum para sa x = 0.5, ang maximum ay 0.5 a Para sa isang< 0,5 наибольшее значение функции 0,5 а 1 при 075 а Если x < a, функция f(x,a) = a x x Она максимальна при x = 0,5, максимум равен a + 05 При a >Ang 0.5 ay ang pinakamalaking halaga ng function a + 0.5 1 para sa isang 0.75 Sagot: a 0.75 o 075 a Pares ng mga function Hanapin ang hanay ng mga positibong halaga ng a, para sa bawat isa kung saan mayroong b tulad na ang sistema ng mga equation : y = x4 + a, x = 8y + b ay may pantay na bilang ng mga solusyon Solusyon: Mula sa unang equation sumusunod na y> 0, ang pangalawang equation ay maaaring ma-convert sa anyo: y =, x (b; +) Hindi kasama ang y: xbf (x) = xa = 0; f `(x) = 4 x 3 + xb (xb) 3 Ang bawat ugat ng nakuhang equation ay bumubuo ng eksaktong isang solusyon ng orihinal na sistema Sa b 0 ang function na f (x) ay monotonically tumataas at ang equation ay may eksaktong isang ugat Sa negatibo b< 0 функция f(x) монотонно возрастает от минус бесконечности до f(х1), уменьшается до f(х) и вновь монотонно возрастает при положительных иксах до плюс бесконечности Уравнение может иметь чётное число корней два только если корень совпадает с минимумом или максимумом функции, то есть в точке корня производная равна нулю, то есть f(х1) = g(х1) = 0 Исключая корень из уравнений, найдём: а = (4х1 + х14) Полученная функция имеет максимум при х1 = 1 (а = 3; b = 1,5), поэтому для любого a (0; 3) существуют х1, х х1 и b, при которых число корней равно два Однако при а = 3 х ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

16 16 = x1, ang parehong mga ugat ay nagtutugma at ang equation na f (x) = 0 ay may isang ugat lamang Derivative f` (x) ay positibo para sa xb at para sa x + Ito ay katumbas ng zero sa ilalim ng kondisyong f `(x) = 0 g (x) = x (xb) + 1 = 0 Ang huling equation ay maaaring magkaroon ng isa o dalawang ugat, at para lamang sa negatibong x Tukuyin natin ang mga ito x1 at x: g (x1) = g (x) = 0 Sagot: a (0; 3) BB Shelomovsky Thematic kit, cmdru /

Mga halimbawa ng paglutas ng mga gawain ng uri C5 para sa pagsusulit 013 Karamihan sa mga guhit sa set ay interactive. Maaari mong baguhin ang mga parameter at equation ng mga graph. Ang mga online na file ay ipinasok sa pamamagitan ng pag-click sa

Paksa 41 "Mga Gawain na may isang parameter" Mga pangunahing formulasyon ng mga gawain na may isang parameter: 1) Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter, para sa bawat isa kung saan ang isang tiyak na kundisyon ay nasiyahan.) Lutasin ang isang equation o hindi pagkakapantay-pantay sa

1 Mga function, kanilang mga graph at mga kaugnay na patunay Talaan ng mga Nilalaman 1 Mga ugat at kanilang bilang ... 1 1.1 Mga ugat ng equation ... 1 1.1.a Mga ugat ng equation ... 1 1. Bilang ng mga ugat ... 1. Bilang ng mga ugat . .. 1.4 Nagagamit

Gawain 18 Pamantayan sa pagsusuri para sa mga gawain 18 Nilalaman ng pamantayan Mga puntos Makatwirang natanggap ang tamang sagot. 4 Sa tulong ng tamang pangangatwiran, isang hanay ng mga halaga ng isang ay nakuha, na naiiba mula sa nais na isa sa pamamagitan ng isang may hangganang numero

Ang linear equation a x = b ay may: isang natatanging solusyon, sa isang 0; isang walang katapusang hanay ng mga solusyon, para sa a = 0, b = 0; walang mga solusyon, para sa a = 0, b 0. Ang quadratic equation ax 2 + bx + c = 0 ay mayroong: dalawang magkaibang

MGA URI NG GRAPHICS Formula: y = kx + b k ay nangangahulugang ang slope ng tuwid na linya b ay nagpapakita kung gaano karaming mga yunit ang tuwid na linya ay inilipat pataas o pababa mula sa pinanggalingan. Para sa positibong k, ang tuwid na linya ay tumataas MGA HALIMBAWA: y =

C5 Para sa bawat halaga ng a, lutasin ang system Ang mga pares na nagbibigay ng solusyon sa system ay dapat matugunan ang mga kundisyon Mula sa pangalawang equation ng system ay nalaman nating Nananatili itong tandaan na pagkatapos ay ang Equation sa ilalim ng mga kundisyon at may para sa,

Gawain 23 314690. Mag-plot ng isang graph ng function na magsa-intersect at tutukuyin kung ano ang halaga ng isang straight line graph sa tatlong puntos. Bumuo tayo ng isang graph ng function (tingnan ang figure). Ipinapakita ng graph na ang tuwid na linya

Mga problema sa isang parameter (graphical na solusyon) Panimula Ang paggamit ng mga graph sa pag-aaral ng mga problema sa mga parameter ay lubhang epektibo. Mayroong dalawang pangunahing mga diskarte depende sa paraan ng kanilang aplikasyon.

Ang sistema ng paghahanda ng mga mag-aaral para sa Unified State Exam sa matematika ng antas ng profile. (mga problema sa isang parameter) Theoretical material Definition. Ang isang independiyenteng variable ay tinatawag na isang parameter, ang halaga ng kung saan sa problema ay isinasaalang-alang

Mga gawain para sa malayang solusyon. Hanapin ang domain ng 6x function. Hanapin ang padaplis ng anggulo ng pagkahilig sa abscissa axis ng tangent na dumadaan sa punto M (;) ng graph ng function. Hanapin ang tangent ng isang anggulo

Webinar 5 Paksa: Pag-uulit Paghahanda para sa pagsusulit (gawain 8) Gawain 8 Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a, para sa bawat isa kung saan ang equation a a 0 ay mayroong pito o walong solusyon Let, at t t Original equation

Dahil ang tamang sagot Ang sistema ay nangangailangan ng katuparan ng dalawa o higit pang mga kondisyon, at hinahanap namin ang mga halaga ng hindi kilalang dami na nakakatugon sa lahat ng mga kondisyon nang sabay-sabay Ilarawan natin ang solusyon ng bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

Kabanata 8 Mga function at graph Mga variable at dependency sa pagitan nila. Dalawang dami at tinatawag na direktang proporsyonal kung ang kanilang ratio ay pare-pareho, iyon ay, kung =, kung saan ang isang pare-parehong numero na hindi nagbabago sa pagbabago

Paksa 36 "Properties of functions" Suriin natin ang mga katangian ng isang function gamit ang isang halimbawa ng graph ng isang arbitrary function y = f (x): 1. Ang domain ng isang function ay ang set ng lahat ng value ng variable x na may katumbas

Pangkalahatang impormasyon Mga gawain na may mga parameter Mga equation na may isang module ng mga gawain ng uri ng mga gawain C 5 1 Paghahanda para sa Pinag-isang State Exam Dikhtyar M.B. 1. Ang absolute value, o ang modulus ng numerong x, ay ang numerong x mismo, kung x 0; numero x,

Irrational inequalities Ang mga inequalities kung saan ang variable ay nakapaloob sa ilalim ng root sign ay tinatawag na irrational. Ang pangunahing paraan para sa paglutas ng irrational inequalities ay ang paraan ng pagbabawas ng orihinal.

Department of Mathematics and Informatics Elements of Higher Mathematics Educational-methodical complex para sa mga mag-aaral ng sekondaryang bokasyonal na edukasyon, pag-aaral gamit ang mga teknolohiya ng distansya Module Differential calculus Compiled by:

Quadratic function sa iba't ibang problema Dikhtyar MB Basic na impormasyon Ang quadratic function (square trinomial) ay isang function ng form na у ax bx c, kung saan ang abc, ibinigay na mga numero at Quadratic functions у

Sistema ng mga gawain sa paksang "Equation of tangent" Tukuyin ang tanda ng slope ng tangent na iginuhit sa graph ng function y f (), sa mga puntong may abscissas a, b, c a) b) Ipahiwatig ang mga punto kung saan ang derivative

EQUATIONS AND INQUALITIES WITH MODULES Gushchin D. D. www.mathnet.spb.ru 1 0. Ang pinakasimpleng equation. Magre-refer kami sa pinakasimpleng (hindi kinakailangang simple) na mga equation ang mga equation na nalutas ng isa sa mga sumusunod

MODULE “Application of Continuity and Derivative. Application ng derivative sa pag-aaral ng mga function ”. Paglalapat ng pagpapatuloy .. Paraan ng mga pagitan .. Tangent sa graph. Ang formula ni Lagrange. 4. Paglalapat ng isang derivative

R E W E N I E Z A D A CH R E A L N O G O V A R I A N T A E G E - 2001 P O M A T E M A T I K E Part 1 A1. Hanapin ang kahulugan ng expression. 1. 15 2. 10 3. 5 4. Solusyon. Sagot: 1. A2. Pasimplehin ang expression. 1.

Pamamaraan para sa pagbuo ng bahagi ng kakayahan ng kultura ng matematika ng mga mag-aaral sa klase Ang sistema ng pag-aaral ng mga module na pang-edukasyon sa matematika I. K. Sirotina, senior lecturer ng Department of Information Technologies

Algebra 0 class Paksa Trigonometric function at transformations Pangunahing konsepto Ang letrang Z ay tumutukoy sa hanay ng mga integer: Z (0;;;;) Ang arcsine ng isang numero a na kabilang sa pagitan [-; ] ay tinatawag na

111 Functions Basic level Talaan ng mga nilalaman 11101 Coordinate system 1110 Konsepto ng isang function 7 1110 Domain ng isang function 10 11104 Domain (set) ng mga value ng function 1 11105 Ang pagtaas at pagbaba ng mga function

Kabanata TEST TASKS Т-0 Pananaliksik ng isang function ayon sa iskedyul Т-0 Correspondence sa pagitan ng graph ng isang rational function at ang formula Т-0 Construction ng isang graph ayon sa mga katangian ng Т-04 Parallel transfer ng schedule Т- 05 simetriko

Pinag-isang pagsusulit ng estado sa matematika, 7 taong bersyon ng demo Part A Hanapin ang halaga ng expression 6p p sa p = Solusyon Gamitin ang property ng degree: Palitan sa resultang expression Tama

Aralin 8 Mga pangunahing pormula ng trigonometriko (ipinagpatuloy) Mga function ng trigonometriko Pag-convert ng produkto ng mga function na trigonometriko sa kabuuan Mga formula para sa pag-convert ng produkto ng sine at cosine

MGA TUNGKULIN. Konsepto ng pag-andar. Sabihin nating ang bilis ng isang tao ay 5 km / h. Kung kukunin natin ang oras ng paglalakbay bilang x na oras, at ang distansyang nilakbay bilang y km, kung gayon ang pagdepende ng distansyang nilakbay sa oras ng paglalakbay ay maaaring

Pangkalahatang impormasyon Pinag-isang pagsusuri ng estado Antas ng profile Gawain 0 Mga problema sa mga parameter Mga quadratic equation at equation na may quadratic trinomial Dikhtyar MB Equation f (a) x + g (a) x + ϕ (a) = 0,

Sa paligid ng mga gawain 18 mula sa pagsusulit 2017 A.V. Shevkin, [email protected] Abstract: Tinatalakay ng artikulo ang iba't ibang paraan upang malutas ang isang bilang ng mga gawain na may isang parameter. Key words: equation, inequality, parameter, function,

Mga kurba ng pangalawang order Circle Ellipse Hyperbola Parabola Hayaang magbigay ng isang parihabang Cartesian coordinate system sa eroplano. Ang second-order curve ay isang set ng mga puntos na ang mga coordinate ay nakakatugon

Iba't ibang paraan sa paglutas ng mga problema С С С5 USE 9-year Preparation for the USE (materyal para sa lecture para sa mga guro) Prokofiev AA [email protected] Mga Problema C Halimbawa (GAMIT C) Lutasin ang sistema ng mga equation y si (si) (7 y)

1 Ticket 9 10. Solutions Ticket 9 1. Nabigyan ng linear function f (x). Alam na ang distansya sa pagitan ng mga punto ng intersection ng mga graph na y = x at y = f (x) ay katumbas ng 10, at ang distansya sa pagitan ng mga punto ng intersection ng mga graph na y =

Department of Mathematics and Informatics Mathematical Analysis Educational-methodical complex para sa mga mag-aaral ng HPE na nag-aaral gamit ang mga teknolohiya sa distansya Module 4 Derivative applications Compiled by: associate professor

Lecture 5 sa eroplano. Kahulugan. Anumang tuwid na linya sa eroplano ay maaaring tukuyin ng isang first-order equation, at ang mga constants A, B ay hindi katumbas ng zero nang sabay-sabay. Ang first-order equation na ito ay tinatawag na general

Grade 8 Desisyon 017-018 Gawain Gawain 1 Hanapin ang kabuuan ng mga cube ng mga ugat ng equation (x x 7) (x x) 0. Upang malutas ang equation, gagamitin natin ang variable change method. Tinutukoy namin ang y = x + x 7, pagkatapos ay x + x = (x

APPLICATION OF A DERIVATIVE FUNCTION Tangent equation Isaalang-alang natin ang sumusunod na problema: kinakailangan na bumuo ng isang equation ng tangent l na iginuhit sa graph ng function sa isang punto Ayon sa geometric na kahulugan ng derivative

PAG-AARAL NG MGA FUNCTION Sapat na mga kondisyon para sa pagtaas at pagbaba ng isang function: Kung ang derivative ng differentiable function ay positibo sa loob ng isang partikular na interval X, ito ay tumataas sa interval na ito Kung

Webinar 7 (6-7) Paksa: Mga Parameter ng pagsusulit Profile Gawain 8 Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter, para sa bawat isa kung saan ang hanay ng mga halaga ng function 5 5 5 ay naglalaman ng isang segment Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter , para sa bawat isa

5.0. 014. Astig na trabaho. Mga equation at sistema ng mga equation na may mga parameter. Ang karanasan ng mga pagsusulit sa pasukan sa unibersidad ay nagpapakita na napakahirap lutasin ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga parameter.

L.A. Strauss, I.V. Barinova Mga problema sa isang parameter sa USE Methodological rekomendasyon y = -x 0 -a- -a х -5 Ulyanovsk 05 Strauss L.А. Mga gawain na may parameter sa pagsusulit [Text]: mga alituntunin / L.А. Strauss, I.V.

Lecture 13 Paksa: Curves ng pangalawang order Curves ng pangalawang order sa eroplano: ellipse, hyperbola, parabola. Derivation ng mga equation para sa second-order curves batay sa kanilang mga geometric na katangian. Sinusuri ang hugis ng isang ellipse,

Matematika Baitang 8 2 NILALAMAN NG PROGRAM Seksyon 1. Algebraic fractions (24 oras) Ang konsepto ng isang algebraic fraction. Ang pangunahing katangian ng isang algebraic fraction. Pagbawas ng mga algebraic fraction. Pagdagdag at pagbawas

Paksa 10 "Mga graph ng elementarya function". 1. Linear function f (x) = kx + b. Ang graph ay isang tuwid na linya. 1) Domain ng kahulugan D (f) = R.) Saklaw ng mga halaga E (f) = R. 3) Mga zero ng function na y = 0 sa x = k / b. 4) Extremes

П0 Derivative Isaalang-alang ang ilang function f () depende sa argumento Hayaang tukuyin ang function na ito sa punto 0 at ilang kapitbahayan nito, tuluy-tuloy sa puntong ito at mga neighborhood nito.

Mga problema sa mga parameter (10 11 klase) Ang mga parameter ay magkaparehong mga numero, hindi lang alam nang maaga 1 Mga linear na equation at hindi pagkakapantay-pantay sa mga parameter Linear function: - equation ng isang tuwid na linya na may slope

Opsyon Hanapin ang domain ng function: y + Ang domain ng ibinigay na function ay tinutukoy ng hindi pagkakapantay-pantay Bilang karagdagan, ang denominator ay hindi dapat mawala. Hanapin ang mga ugat ng denominator: Pagsasama-sama ng mga resulta

TICKET 15 Phystech 017. Mga Ticket 15 16. Solusyon 1. Alam na para sa tatlong magkakasunod na natural na halaga ng argumento, ang quadratic function na f (x) ay tumatagal ng mga halaga 1, 1 at 5, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang pinakamaliit

Pag-plot ng mga function 1. Plano ng pag-aaral ng isang function kapag bumubuo ng isang graph 1. Hanapin ang domain ng function. Madalas na kapaki-pakinabang ang pag-account para sa maramihang mga halaga ng isang function. Galugarin ang mga espesyal na katangian ng isang function:

Geometric na kahulugan ng derivative Isaalang-alang ang graph ng function na y = f (x) at ang tangent line sa puntong P 0 (x 0; f (x 0)). Hanapin ang slope ng tangent sa graph sa puntong ito. Ang anggulo ng pagkahilig ng tangent P 0

Ang geometric na kahulugan ng derivative, tangent 1. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y = f (x) at ang tangent dito sa puntong may abscissa x 0. Hanapin ang value ng derivative ng function na f (x ) sa puntong x 0. Halaga

Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russian Federation Moscow Institute of Physics and Technology (State University) Correspondence School of Physics and Technology MATHEMATICS Paglutas ng mga problema sa mga parameter (01 015

SQUARE EQUATIONS Talaan ng mga Nilalaman SQUARE EQUATIONS ... 4. at pag-aaral ng mga quadratic equation ... 4 .. Quadratic equation na may mga numerical coefficients ... 4 .. Lutasin at pag-aralan ang quadratic equation na may kinalaman sa

Mga equation, inequalities, system na may parameter Ang mga sagot sa mga gawain ay isang salita, parirala, numero o pagkakasunod-sunod ng mga salita, numero. Isulat ang iyong sagot nang walang mga puwang, kuwit, o iba pang karagdagang mga character.

MGA PROBLEMA SA SEKSYON NA MAY MGA PARAMETER Komentaryo Ang mga problema sa mga parameter ay tradisyonal na mahirap na mga gawain sa istruktura ng pagsusulit, na nangangailangan ng aplikante hindi lamang upang makabisado ang lahat ng mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng iba't ibang

Math. Koleksyon ng mga gawain (14 Abril 01). Mga gawain na may parameter -. Problema 1. Para sa anong mga halaga ng parameter a mayroong isang natatanging solusyon sa equation 4 + 1 = + a ax x x x a Problem. Hanapin ang lahat ng wasto

IV Yakovlev Mga Materyales sa matematika MathUs.ru Ang paraan ng mga pagitan Ang paraan ng mga pagitan ay isang paraan ng paglutas ng tinatawag na rational inequalities. Tatalakayin natin ang pangkalahatang konsepto ng rational inequality mamaya, ngunit ngayon

Differential Calculus Isang Panimula sa Calculus Sequence Limit at Functions. Pagbubunyag ng mga kawalan ng katiyakan sa loob. Derivative ng function. Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba. Derivative application

Part I (Option 609) A Ilagay ang factor sa ilalim ng root sign 8 q A) q 8) q 8) q 8) q 8 8 8 qq Tamang sagot) Hanapin ang halaga ng expression), 5) Tamang sagot) 9 para a = aa)) 8 A log 8 Hanapin ang halaga

Solusyon A Let us represent all these numbers on the numerical axis That of them which is located to the left of all and is the smallest This is number 4 Answer: 5 A Let's analyze the inequality Sa numerical axis, the set of numbers satisfying

6..N. Derivative 6..Н. Derivative. Talaan ng nilalaman 6..0.Н. Derivative Introduction .... 6..0.Н. Derivative ng isang kumplikadong function .... 5 6..0.Н. Nagmula sa mga function na may mga module .... 7 6..0.Н. Papataas at Pababa

Kung ang sistema

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2,

a m1 x 1 + a m1 x 2 + ... + a mn x n = b m. (5.1)

naging magkasanib, iyon ay, ang mga matrice ng system A at ang matrix ng pinalawig na sistema (na may isang haligi ng mga libreng termino) A | b ay may parehong ranggo, pagkatapos ay maaaring lumitaw ang dalawang posibilidad - a) r = n; b) r< n:

a) kung r = n, kung gayon mayroon tayong n independiyenteng equation na may n hindi alam, at ang determinant D ng sistemang ito ay nonzero. Ang ganitong sistema ay may natatanging solusyon na nakuha ng;

b) kung r< n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Ilipat ang mga sobrang hindi alam na x r + 1, x r + 2, ..., x n, na karaniwang tinatawag na libre, sa kanang bahagi; ang aming sistema ng mga linear na equation ay magkakaroon ng anyo:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1r x r = b 1 - a 1, r + 1 x r + 1 -... - a 1n x n,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2r x r = b 2 - a 2, r + 1 x r + 1 -... - a 2n x n,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

a r1 x 1 + a r2 x 2 + ... + a rr x r = b r - a r, r + 1 x r + 1 -... - a rn x n.

Maaari itong malutas para sa x 1, x 2, ..., x r, dahil ang determinant ng sistemang ito (sa ika-apat na pagkakasunud-sunod) ay nonzero. Sa pamamagitan ng pagtatalaga ng mga di-makatwirang halaga ng numero sa mga libreng hindi alam, nakukuha namin, gamit ang mga formula ng Cramer, ang kaukulang mga numerical na halaga para sa x 1, x 2, ..., x r. Kaya, para sa r< n имеем бесчисленное множество решений.

System (5.1) ay tinatawag homogenous kung lahat b i = 0, ibig sabihin, mayroon itong anyo:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n xn = 0, a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n xn = 0, (5.5) ... .... .. ... ... ... a m1 x 1 + a m1 x 2 + ... + isang mn xn = 0.

Ito ay sumusunod mula sa Kronecker-Capelli theorem na ito ay palaging pare-pareho, dahil ang pagdaragdag ng isang hanay ng mga zero ay hindi maaaring tumaas ang ranggo ng isang matrix. Ito, gayunpaman, ay direktang makikita - ang system (5.5) ay tiyak na may zero, o trivial, solusyon x 1 = x 2 = ... = x n = 0. Hayaang ang matrix A ng system (5.5) ay may ranggo r. Kung r = n, kung gayon ang zero na solusyon ang magiging tanging solusyon sa system (5.5); sa r< n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений. Всякий ненулевой вектор - столбец X= (x 1 , x 2 ,..., x n) T называется eigenvector ng linear transformation (square matrix A ), kung mayroong isang numero λ tulad na ang pagkakapantay-pantay

Ang numerong λ ay tinatawag eigenvalue ng linear transformation (matrices A ), katumbas ng vector X. Ang Matrix A ay nasa order n. Sa mathematical economics, ang tinatawag na produktibong matrice... Napatunayan na ang matrix A ay produktibo kung at kung ang lahat ng eigenvalues ​​ng matrix A ay mas mababa sa isa sa ganap na halaga. Upang mahanap ang mga eigenvalues ​​ng matrix A, muling isinulat namin ang pagkakapantay-pantay AX = λX sa anyo (A - λE) X = 0, kung saan ang E ay ang nth order unit matrix o sa coordinate form:

(a 11 -λ) x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = 0,

isang 21 x 1 + (a 22 -λ) x 2 + ... + a 2n x n = 0, (5.6)

... ... ... ... ... ... ... ... ... a n1 x 1 + a n2 x 2 + ... + (a nn -λ) xn = 0 ...

Nakuha namin ang isang sistema ng linear homogeneous equation na may mga nonzero na solusyon kung at kung ang determinant ng sistemang ito ay katumbas ng zero, i.e.

Nakakuha kami ng isang equation ng nth degree na may paggalang sa hindi kilalang λ, na tinatawag katangian equation ng matrix A, ang polynomial ay tinatawag katangian polynomial ng matrix A, at ang mga ugat nito ay mga katangiang numero, o eigenvalues, ng matrix A. Upang mahanap ang eigenmatrices A sa vector equation (A - λE) X = 0 o sa kaukulang sistema ng homogeneous equation (5.6), ang mga nahanap na value ng λ ay dapat palitan at lutasin sa karaniwang paraan. Halimbawa 2.16... Siyasatin ang sistema ng mga equation at lutasin ito kung ito ay magkatugma.

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 = 1, 3x 1 - x 2 + x 3 + 4x 4 + 3x 5 = 4, x 1 + 5x 2 - 9x 3 - 8x 4 + x 5 = 0 ...

Solusyon. Hahanapin natin ang mga ranggo ng mga matrice A at A | b sa pamamagitan ng pamamaraan ng elementarya na pagbabagong-anyo, sabay-sabay na binabawasan ang sistema sa isang sunud-sunod na anyo:

Malinaw, r (A) = r ( A | b) = 2. Ang orihinal na sistema ay katumbas ng sumusunod, na binawasan sa isang sunud-sunod na anyo:

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 = 1, - 4x 2 + 7x 3 + 7x 4 = 1.

Dahil ang determinant para sa mga hindi alam x 1 at x 2 ay nonzero, pagkatapos ay maaari silang kunin bilang mga pangunahing at ang system ay maaaring muling isulat bilang:

x 1 + x 2 = 2x 3 + x 4 - x 5 + 1, - 4x 2 = - 7x 3 - 7x 4 + 1,

Kung saan ang x 2 = 7/4 x 3 + 7/4 x 4 -1/4, x 1 = 1/4 x 3 -3/4 x 4 - x 5 + 5/4 - isang pangkalahatang solusyon sa isang sistema na mayroong isang walang katapusang bilang ng mga solusyon... Pagbibigay sa hindi kilalang libre x 3, x 4, x 5 mga partikular na halaga ng numero, makakatanggap kami ng mga partikular na solusyon. Halimbawa, para sa x 3 = x 4 = x 5 = 0 x 1 = 5/4, x 2 = - 1/4. Ang Vector C (5/4, - 1/4, 0, 0, 0) ay isang partikular na solusyon ng sistemang ito. Halimbawa 2.17. Suriin ang sistema ng mga equation at maghanap ng pangkalahatang solusyon depende sa halaga ng parameter a.

2x 1 - x 2 + x 3 + x 4 = 1, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2, x 1 + 7x 2 - 4x 3 + 11x 4 = a.

Solusyon. Ang sistemang ito ay tumutugma sa matrix ... Mayroon kaming A ~

samakatuwid, ang orihinal na sistema ay katumbas ng sumusunod:

x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2,

5x 2 - 3x 3 + 7x 4 = a-2,

Ipinapakita nito na ang system ay katugma lamang para sa a = 5. Ang pangkalahatang solusyon sa kasong ito ay:

x 2 = 3/5 + 3 / 5x 3 - 7 / 5x 4, x 1 = 4/5 - 1 / 5x 3 - 6 / 5x 4.

Halimbawa 2.18. Alamin kung linearly dependent ang vector system:

a 1 =(1, 1, 4, 2),

a 2 = (1, -1, -2, 4),

a 3 = (0, 2, 6, -2),

a 4 =(-3, -1, 3, 4),

a 5 =(-1, 0, - 4, -7),

Solusyon. Ang isang sistema ng mga vector ay linearly na umaasa kung mayroong mga ganoong numero x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, kung saan hindi bababa sa isa ay nonzero
(tingnan ang item 1.section I) na taglay ng pagkakapantay-pantay ng vector:

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 + x 5 a 5 = 0.

Sa coordinate notation, ito ay katumbas ng sistema ng mga equation:

x 1 + x 2 - 3x 4 - x 5 = 0, x 1 - x 2 + 2x 3 - x 4 = 0, 4x 1 - 2x 2 + 6x 3 + 3x 4 - 4x 5 = 0, 2x 1 + 4x 2 - 2x 3 + 4x 4 - 7x 5 = 0.

Kaya, nakakuha kami ng isang sistema ng mga linear homogenous na equation. Malutas namin ito sa pamamagitan ng pag-aalis ng mga hindi alam:

Ang sistema ay binawasan sa isang stepwise na anyo, katumbas ng 3, na nangangahulugan na ang homogenous na sistema ng mga equation ay may mga solusyon maliban sa zero (r< n). Определитель при неизвестных x 1, x 2, x 4 ay nonzero, kaya maaari silang mapili bilang mga pangunahing at ang system ay maaaring muling isulat bilang:

x 1 + x 2 - 3x 4 = x 5, -2x 2 + 2x 4 = -2x 3 - x 5, - 3x 4 = - x 5.

Mayroon kaming: x 4 = 1/3 x 5, x 2 = 5 / 6x 5 + x 3, x 1 = 7/6 x 5 -x 3. Ang sistema ay may hindi mabilang na mga solusyon; kung walang alam x 3 at x 5 ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras, kung gayon ang mga pangunahing hindi alam ay nonzero din. Samakatuwid, ang vector equation

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 + x 5 a 5 = 0