На цьому уроці ми вивчимо основну властивість дробу, дізнаємося, які дроби є рівними один одному. Навчимося скорочувати дроби, визначати, чи є дріб сократимостью чи ні, попрактікуемся в скороченні дробів і дізнаємося, коли варто використовувати скорочення, а коли ні.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Ця інформація доступна зареєстрованим користувачам

Основна властивість дробу

Уявіть собі таку ситуацію.

За столом 3 людини і 5 яблук. діляться 5 яблук на трьох. Кожному дістається по \\ (\\ mathbf (\\ frac (5) (3)) \\) яблука.

А за сусіднім столом ще 3 людини і теж 5 яблук. Кожному знову по \\ (\\ mathbf (\\ frac (5) (3)) \\)

При цьому всього 10 яблук і 6 людина. Кожному по \\ (\\ mathbf (\\ frac (10) (6)) \\)

Але це одне і те ж.

\\ (\\ Mathbf (\\ frac (5) (3) \u003d \\ frac (10) (6)) \\)

Ці дробу еквівалентні.

Можна збільшити в два рази кількість людей і в два рази кількість яблук. Результат буде тим же самим.

У математиці це формулюється так:

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або розділити на одне й те саме число (не рівне 0), то нова дріб буде дорівнює вихідної.

Це властивість іноді називають « основною властивістю дробу ».

$$ \\ mathbf (\\ frac (a) (b) \u003d \\ frac (a \\ cdot c) (b \\ cdot c) \u003d \\ frac (a: d) (b: d)) $$

Наприклад, Шлях від міста до деревні- 14 км.

Ми йдемо по дорозі і визначаємо пройдений шлях по кілометровим стовпчиків. Пройшовши шість стовпчиків, шість кілометрів, ми розуміємо, що пройшли \\ (\\ mathbf (\\ frac (6) (14)) \\) шляху.

Але якщо ми не бачимо стовпчиків (може, їх не встановили), можна шлях вважати за електричним стовпів вздовж дороги. їх 40 штук на кожен кілометр. Тобто всього 560 на всьому шляху. Шість кілометрів-\\ (\\ mathbf (6 \\ cdot40 \u003d 240) \\) стовпів. Тобто ми пройшли 240 з 560 столбов- \\ (\\ mathbf (\\ frac (240) (560)) \\)

\\ (\\ Mathbf (\\ frac (6) (14) \u003d \\ frac (240) (560)) \\)

приклад 1

Відзначте точку з координатами ( 5; 7 ) на координатної площини XОY. Вона буде відповідати дробу \\ (\\ mathbf (\\ frac (5) (7)) \\)

З'єднай початок координат з отриманою точкою. Побудуй іншу точку, яка має координати в два рази більші за попередні. Який шріт ти отримав? Чи будуть вони рівні?

Рішення

Дріб на координатної площині можна відзначати точкою. Щоб зобразити дріб \\ (\\ mathbf (\\ frac (5) (7)) \\), відзначимо точку з координатою 5 по осі Y і 7 по осі X. Проведемо пряму з початку координат через нашу точку.

На цій же прямій буде лежати і точка, відповідна дробу \\ (\\ mathbf (\\ frac (10) (14)) \\)

Вони є еквівалентними: \\ (\\ mathbf (\\ frac (5) (7) \u003d \\ frac (10) (14)) \\)

Дана стаття продовжує тему перетворення алгебраїчних дробів: розглянемо таку дію як скорочення алгебраїчних дробів. Дамо визначення самого терміну, сформулюємо правило скорочення і розберемо практичні приклади.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Сенс скорочення алгебраїчної дробу

У матеріалах про звичайного дробу ми розглядали її скорочення. Ми визначили скорочення звичайного дробу як поділ її чисельника і знаменника на загальний множник.

Скорочення алгебраїчної дробу являє собою аналогічну дію.

визначення 1

Скорочення алгебраїчної дробу - це поділ її чисельника і знаменника на загальний множник. При цьому, на відміну від скорочення звичайного дробу (спільним знаменником може бути тільки число), загальним множником чисельника і знаменника алгебраїчної дробу може служити многочлен, зокрема, одночлен або число.

Наприклад, алгебраїчна дріб 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 може бути скорочена на число 3, в результаті отримаємо: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2. Цю ж дріб ми можемо скоротити на змінну х, і це дасть нам вираз 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2. Також задану дріб можливо скоротити на одночлен 3 · xабо будь-який з многочленів x + 2 · y, 3 · x + 6 · y, x 2 + 2 · x · y або 3 · x 2 + 6 · x · y.

Кінцевою метою скорочення алгебраїчної дробу є дріб більш простого виду, в кращому випадку - нескоротний дріб.

Чи всі алгебраїчні дроби підлягають скороченню?

Знову ж з матеріалів про звичайних дробах ми знаємо, що існують скоротні і нескоротні дроби. Нескоротні - це дроби, що не мають спільних множників чисельника і знаменника, відмінних від 1.

З алгебраїчними дробами все так же: вони можуть мати спільні множники чисельника і знаменника, можуть і не мати. Наявність загальних множників дозволяє спростити вихідну дріб за допомогою скорочення. Коли загальних множників немає, оптимізувати задану дріб способом скорочення неможливо.

У загальних випадках по заданому увазі дроби досить складно зрозуміти, чи підлягає вона скорочення. Звичайно, в деяких випадках наявність загального множника чисельника і знаменника очевидно. Наприклад, в алгебраїчній дробу 3 · x 2 3 · y абсолютно зрозуміло, що загальним множником є \u200b\u200bчисло 3.

У дроби - x · y 5 · x · y · z 3 також ми відразу розуміємо, що скоротити її можливо на х, або y, або на х · y. І все ж набагато частіше зустрічаються приклади алгебраїчних дробів, коли загальний множник чисельника і знаменника не так просто побачити, а ще частіше - він просто відсутній.

Наприклад, дріб x 3 - 1 x 2 - 1 ми можемо скоротити на х - 1, при цьому зазначений загальний множник в запису відсутня. А ось дріб x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 піддати дії скорочення неможливо, оскільки чисельник і знаменник не мають загального множника.

Таким чином, питання з'ясування скоротливості алгебраїчної дробу не такий простий, і часто простіше працювати з дробом заданого виду, ніж намагатися з'ясувати, скоротність вона. При цьому мають місце такі перетворення, які в окремих випадках дозволяють визначити загальний множник чисельника і знаменника або зробити висновок про нескоротного дробу. Розберемо детально це питання в наступному пункті статті.

Правило скорочення алгебраїчних дробів

Правило скорочення алгебраїчних дробів складається з двох послідовних дій:

• знаходження спільних множників чисельника і знаменника;
• в разі знаходження таких здійснення безпосередньо дії скорочення дробу.

Найзручнішим методом відшукання загальних знаменників є розкладання на множники многочленів, наявних в чисельнику і знаменнику заданої алгебраїчної дробу. Це дозволяє відразу наочно побачити наявність або відсутність загальних множників.

Сама дія скорочення алгебраїчної дробу базується на основному властивості алгебри дробу, яка виражається рівністю undefined, де a, b, c - деякі многочлени, причому b і c - ненульові. Першим кроком дріб наводиться до виду a · c b · c, в якому ми відразу помічаємо загальний множник c. Другим кроком - виконуємо скорочення, тобто перехід до дробу виду a b.

характерні приклади

Незважаючи на деяку очевидність, уточнимо про окремий випадок, Коли чисельник і знаменник алгебраїчної дробу рівні. Подібні дроби тотожно рівні 1 на всій ОДЗ змінних цього дробу:

5 +5 \u003d 1; - 2 3 - 2 3 \u003d 1; x x \u003d 1; - 3, 2 · x 3 - 3, 2 · x 3 \u003d 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y;

Оскільки звичайні дроби є окремим випадком алгебраїчних дробів, нагадаємо, як здійснюється їх скорочення. Натуральні числа, записані в чисельнику і знаменнику, розкладаються на прості множники, потім загальні множники скорочуються (якщо такі є).

Наприклад, 24 1260 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 \u003d 2 3 · 5 · 7 \u003d 2 105

Твір простих однакових множників можливо записати як ступеня, і в процесі скорочення дробу використовувати властивість ділення ступенів з однаковими підставами. Тоді вищевказане рішення було б таким:

24 1260 \u003d 2 3 • 3 2 + 2 • 3 2 × 5 · 7 \u003d 2 3 - 2 3 2 - 1 · 5 · 7 \u003d 2 105

(Чисельник і знаменник розділені на загальний множник 2 + 2 · 3). Або для наочності, спираючись на властивості множення і ділення, рішенням дамо такий вигляд:

24 1260 \u003d 2 3 • 3 2 + 2 • 3 2 × 5 · 7 \u003d 2 3 2 2 • 3 3 2 × 1 5 · 7 \u003d 2 1 · 1 3 · 1 35 \u003d 2 105

За аналогією здійснюється скорочення алгебраїчних дробів, у яких в чисельнику і знаменнику є одночлени з цілими коефіцієнтами.

приклад 1

Задана алгебраїчна дріб - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Необхідно провести її скорочення.

Рішення

Можливо записати чисельник і знаменник заданої дроби як твір простих множників і змінних, після чого здійснити скорочення:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z \u003d - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z \u003d \u003d - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c \u003d - 9 · a 3 2 × c 6

Однак, більш раціональним способом буде запис рішення у вигляді виразу зі ступенями:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z \u003d - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z \u003d - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · cc 7 · zz \u003d \u003d - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 \u003d · - 3 2 × a 3 2 × c 6 \u003d · - 9 · a 3 2 × c 6.

відповідь: - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z \u003d - 9 · a 3 2 · c 6

Коли в чисельнику і знаменнику алгебраїчної дробу є дробові числові коефіцієнти, можливо два шляхи подальших дій: або окремо здійснити розподіл цих дрібних коефіцієнтів, або попередньо позбутися дрібних коефіцієнтів, помноживши чисельник і знаменник на якесь натуральне число. Останнє перетворення проводиться в силу основного властивості алгебри дробу (про нього можна почитати в статті «Приведення алгебраїчної дробу до нового знаменника»).

приклад 2

Задана дріб 2 5 · x 0, 3 · x 3. Необхідно виконати її скорочення.

Рішення

Можливо скоротити дріб таким чином:

2 5 · x 0, 3 · x 3 \u003d 2 5 3 10 · x x 3 \u003d 4 3 · 1 x 2 \u003d 4 3 · x 2

Спробуємо вирішити задачу інакше, попередньо позбувшись від дрібних коефіцієнтів - помножимо чисельник і знаменник на найменше спільне кратне знаменників цих коефіцієнтів, тобто на НОК (5, 10) \u003d 10. Тоді отримаємо:

2 5 · x 0, 3 · x 3 \u003d 10 · 2 5 · x 10 · 0, 3 · x 3 \u003d 4 · x 3 · x 3 \u003d 4 3 · x 2.

Відповідь: 2 5 · x 0, 3 · x 3 \u003d 4 3 · x 2

Коли ми скорочуємо алгебраїчні дроби загального вигляду, В яких числители і знаменники можуть бути як одночленной, так і многочленами, можлива проблема, коли загальний множник не завжди відразу видно. Або більш того, він просто не існує. Тоді для визначення загального множника або фіксації факту про його відсутності чисельник і знаменник алгебраїчної дробу розкладають на множники.

приклад 3

Задана раціональний дріб 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. Необхідно її скоротити.

Рішення

Розкладемо на множники многочлени в чисельнику і знаменнику. Здійснимо винесення за дужки:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 \u003d 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49)

Ми бачимо, що вираз в дужках можливо перетворити з використанням формул скороченого множення:

2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49) \u003d 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7)

Добре помітно, що можливо скоротити дріб на загальний множник b 2 · (a + 7). Зробимо скорочення:

2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) \u003d 2 · (a + 7) b · (a - 7) \u003d 2 · a + 14 a · b - 7 · b

Короткий рішення без пояснень запишемо як ланцюжок рівностей:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 \u003d 2 · b 2 · (a 2 + 14 a + 49) b 3 · (a 2 - 49) \u003d \u003d 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) \u003d 2 · (a + 7) b · (a - 7) \u003d 2 · a + 14 a · b - 7 · b

відповідь: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 \u003d 2 · a + 14 a · b - 7 · b.

Трапляється, що загальні множники приховані числовими коефіцієнтами. Тоді при скороченні дробів оптимально числові множники при старших ступенях чисельника і знаменника винести за дужки.

приклад 4

Дана алгебраїчна дріб 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2. Необхідно здійснити її скорочення, якщо це можливо.

Рішення

На перший погляд у чисельника і знаменника не існує спільного знаменника. Однак, спробуємо перетворити задану дріб. Винесемо за дужки множник х в чисельнику:

1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 \u003d x • 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2

Тепер видно якась схожість вираження в дужках і вирази в знаменнику за рахунок x 2 · y . Винесемо за дужки числові коефіцієнти при старших ступенях цих многочленів:

x • 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 \u003d x · - 2 7 · - 7 2 • 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y посилання - 1 5 · 3 1 2 \u003d \u003d - 2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10

Тепер стає видно загальний множник, здійснюємо скорочення:

2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10 \u003d - 2 7 · x 5 \u003d - 2 35 · x

відповідь: 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 \u003d - 2 35 · x.

Зробимо акцент на тому, що навик скорочення раціональних дробів залежить від уміння розкладати многочлени на множники.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

У цій статті ми розглянемо основні дії з алгебраїчними дробами:

• скорочення дробів
• множення дробів
• ділення дробів

Почнемо з скорочення алгебраїчних дробів.

Здавалося б, алгоритм очевидний.

щоб скоротити алгебраїчні дроби, потрібно

1. Розкласти чисельник і знаменник дробу на множники.

2. Скоротити однакові множники.

Однак, школярі часто роблять помилку, "скорочуючи» не множники, а складові. Наприклад, є любителі, які в дроби "скорочують" на і отримують в результаті, що, зрозуміло, не так.

Розглянемо приклади:

1. Скоротити дріб:

1. Розкладемо на множники чисельник за формулою квадрата суми, а знаменник за формулою різниці квадратів

2. Розділимо чисельник і знаменник на

2. Скоротити дріб:

1. Розкладемо на множники чисельник. Так як чисельник містить чотири доданків, застосуємо угруповання.

2. Розкладемо на множники знаменник. Так само можна застосувати угруповання.

3. Запишемо дріб, яка у нас вийшла і скоротимо однакові множники:

Множення алгебраїчних дробів.

При множенні алгебраїчних дробів ми чисельник множимо на чисельник, а знаменник множимо на знаменник.

Важливо! Не потрібно поспішати виконувати множення в чисельнику і знаменнику дробу. Після того, як ми записали в чисельнику твір числителей дробів, а в знаменнику - твір знаменників, потрібно розкласти на множники кожен множник і скоротити дріб.

Розглянемо приклади:

3. Спростіть вираз:

1. Запишемо твір дробів: в чисельнику твір числителей, а в знаменнику твір знаменників:

2. Розкладемо кожну дужку на множники:

Тепер нам потрібно скоротити однакові множники. Зауважимо, що вирази і відрізняються тільки знаком: і в результаті поділу першого виразу на друге отримаємо -1.

Отже,

Ділення алгебраїчних дробів ми виконуємо за таким правилом:

Тобто щоб розділити на дріб, треба помножити на "перевернуту".

Ми бачимо, що ділення дробів зводиться до множення, а множення, в кінцевому підсумку, зводиться до скорочення дробів.

Розглянемо приклад:

4. Спростіть вираз:

Скорочення дробів потрібно для того, щоб привести дріб до більш простому виду, Наприклад, у відповіді отриманому в результаті рішення вираження.

Скорочення дробів, визначення і формула.

Що таке скорочення дробів? Що значить скоротити дріб?

визначення:
скорочення дробів - це поділ у дробу чисельник і знаменник на одне й те саме додатне число не рівне нулю і одиниці. В результаті скорочення виходить дріб з меншим чисельником і знаменником, що дорівнює попередній дробу згідно.

Формула скорочення дробів основного властивості раціональних чисел.

\\ (\\ Frac (p \\ times n) (q \\ times n) \u003d \\ frac (p) (q) \\)

Розглянемо приклад:
Скоротіть дріб \\ (\\ frac (9) (15) \\)

Рішення:
Ми можемо розкласти дріб на прості множники і скоротити загальні множники.

\\ (\\ Frac (9) (15) \u003d \\ frac (3 \\ times 3) (5 \\ times 3) \u003d \\ frac (3) (5) \\ times \\ color (red) (\\ frac (3) (3) ) \u003d \\ frac (3) (5) \\ times 1 \u003d \\ frac (3) (5) \\)

Відповідь: після скорочення отримали дріб \\ (\\ frac (3) (5) \\). За основним властивості раціональних чисел первісна і вийшло дріб рівні.

\\ (\\ Frac (9) (15) \u003d \\ frac (3) (5) \\)

Як скорочувати дроби? Скорочення дробу до нескоротних виду.

Щоб нам отримати в результаті нескоротний дріб, потрібно знайти найбільший загальний дільник (НОД) для чисельника і знаменника дробу.

Є кілька способів знайти НСД ми скористаємося в прикладі розкладанням чисел на прості множники.

Отримайте нескоротний дріб \\ (\\ frac (48) (136) \\).

Рішення:
Знайдемо НСД (48, 136). Розпишемо числа 48 і 136 на прості множники.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НСД (48, 136) \u003d 2⋅2⋅2 \u003d 6

\\ (\\ Frac (48) (136) \u003d \\ frac (\\ color (red) (2 \\ times 2 \\ times 2) \\ times 2 \\ times 3) (\\ color (red) (2 \\ times 2 \\ times 2) \\ times 17) \u003d \\ frac (\\ color (red) (6) \\ times 2 \\ times 3) (\\ color (red) (6) \\ times 17) \u003d \\ frac (2 \\ times 3) (17) \u003d \\ Правило скорочення дробу до нескоротних виду.

Потрібно знайти найбільший спільний дільник для числители і знаменника.

1. Потрібно поділити чисельник і знаменник на найбільший спільний дільник в результаті поділу отримати нескоротний дріб.
2. приклад:

Скоротіть дріб \\ (\\ frac (152) (168) \\).

Рішення:
Знайдемо НСД (152, 168). Розпишемо числа 152 і 168 на прості множники.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НСД (152, 168) \u003d 2⋅2⋅2 \u003d 6

\\ (\\ Frac (152) (168) \u003d \\ frac (\\ color (red) (6) \\ times 19) (\\ color (red) (6) \\ times 21) \u003d \\ frac (19) (21) \\)

Відповідь: \\ (\\ frac (19) (21) \\) нескоротний дріб.

Скорочення неправильного дробу.

як скоротити неправильну дріб?
Правила скорочення дробів для правильних і неправильних дробів однакові.

Розглянемо приклад:
Скоротіть неправильну дріб \\ (\\ frac (44) (32) \\).

Рішення:
Розпишемо на прості множники чисельник і знаменник. А потім загальні множники скоротимо.

\\ (\\ Frac (44) (32) \u003d \\ frac (\\ color (red) (2 \\ times 2) \\ times 11) (\\ color (red) (2 \\ times 2) \\ times 2 \\ times 2 \\ times 2 ) \u003d \\ frac (11) (2 \\ times 2 \\ times 2) \u003d \\ frac (11) (8) \\)

Скорочення змішаних дробів.

Змішані дробу за тими ж правилами що і звичайні дроби. Різниця лише в тому, що ми можемо цілу частину не чіпати, а дробову частину скоротити або змішану дріб перевести в неправильну дріб, скоротити і перевести назад в правильну дріб.

Розглянемо приклад:
Скоротіть змішану дріб \\ (2 \\ frac (30) (45) \\).

Рішення:
Вирішимо двома способами:
Перший спосіб:
Розпишемо дробову частину на прості множники, а цілу частина не будемо чіпати.

\\ (2 \\ frac (30) (45) \u003d 2 \\ frac (2 \\ times \\ color (red) (5 \\ times 3)) (3 \\ times \\ color (red) (5 \\ times 3)) \u003d 2 \\ Другий спосіб:

Переведемо спочатку в неправильну дріб, а потім розпишемо на прості множники і скоротимо. Отриману неправильну дріб переведемо в правильну.
\\ (2 \\ frac (30) (45) \u003d \\ frac (45 \\ times 2 + 30) (45) \u003d \\ frac (120) (45) \u003d \\ frac (2 \\ times \\ color (red) (5 \\ times 3) \\ times 2 \\ times 2) (3 \\ times \\ color (red) (3 \\ times 5)) \u003d \\ frac (2 \\ times 2 \\ times 2) (3) \u003d \\ frac (8) (3) \u003d 2 \\ frac (2) (3) \\)

Питання по темі:

Чи можна скорочувати дроби при додаванні або відніманні?
Відповідь: ні, потрібно спочатку скласти або відняти дроби з правилами, а тільки потім скорочувати. Розглянемо приклад:
Обчисліть вираз \\ (\\ frac (50 + 20-10) (20) \\).

Часто припускаються помилки скорочуючи однакові числа в чисельнику і знаменнику в нашому випадком число 20, але їх скорочувати не можна поки не виконаєте додавання і віднімання.

Рішення:
\\ (\\ Frac (50+ \\ color (red) (20) -10) (\\ color (red) (20)) \u003d \\ frac (60) (20) \u003d \\ frac (3 \\ times 20) (20) \u003d \\ frac (3) (1) \u003d 3 \\)

На які числа можна скорочувати дріб?

Відповідь: можна скорочувати дріб на найбільший спільний дільник або звичайний дільник чисельника і знаменника. Наприклад, дріб \\ (\\ frac (100) (150) \\).
Розпишемо на прості множники числа 100 і 150.

Найбільшим спільним дільником буде число НСД (100, 150) \u003d 2⋅5⋅5 \u003d 50
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
\\ (\\ Frac (100) (150) \u003d \\ frac (2 \\ times 50) (3 \\ times 50) \u003d \\ frac (2) (3) \\)

Отримали нескоротний дріб \\ (\\ frac (2) (3) \\).

Але необов'язково завжди ділити на НОД не завжди потрібна нескоротний дріб, можна скоротити дріб на простий дільник чисельника і знаменника. Наприклад, у числа 100 і 150 загальний дільник 2. Скоротимо дріб \\ (\\ frac (100) (150) \\) на 2.

\\ (\\ Frac (100) (150) \u003d \\ frac (2 \\ times 50) (2 \\ times 75) \u003d \\ frac (50) (75) \\)

Отримали сократимостью дріб \\ (\\ frac (50) (75) \\).

Які дроби можна скорочувати?
Відповідь: скорочувати можна дроби у яких чисельник і знаменник мають спільний дільник. Наприклад, дріб \\ (\\ frac (4) (8) \\). У числа 4 і 8 є число, на яке вони обидва діляться це число 2. Тому таку дріб можна скоротити на число 2.

приклад:
Порівняйте дві дробу \\ (\\ frac (2) (3) \\) і \\ (\\ frac (8) (12) \\).

Ці дві дробу рівні. Розглянемо докладно дріб \\ (\\ frac (8) (12) \\):

\\ (\\ Frac (8) (12) \u003d \\ frac (2 \\ times 4) (3 \\ times 4) \u003d \\ frac (2) (3) \\ times \\ frac (4) (4) \u003d \\ frac (2) (3) \\ times 1 \u003d \\ frac (2) (3) \\)

Звідси отримуємо, \\ (\\ frac (8) (12) \u003d \\ frac (2) (3) \\)

Дві дробу рівні тоді і тільки тоді, коли одна з них отримана шляхом скорочення інший дробу на спільний множник чисельника і знаменника.

приклад:
Скоротіть якщо можливо такі дроби: а) \\ (\\ frac (90) (65) \\) б) \\ (\\ frac (27) (63) \\) в) \\ (\\ frac (17) (100) \\) г) \\ (\\ frac (100) (250) \\)

Рішення:
а) \\ (\\ frac (90) (65) \u003d \\ frac (2 \\ times \\ color (red) (5) \\ times 3 \\ times 3) (\\ color (red) (5) \\ times 13) \u003d \\ frac (2 \\ times 3 \\ times 3) (13) \u003d \\ frac (18) (13) \\)
б) \\ (\\ frac (27) (63) \u003d \\ frac (\\ color (red) (3 \\ times 3) \\ times 3) (\\ color (red) (3 \\ times 3) \\ times 7) \u003d \\ frac (3) (7) \\)
в) \\ (\\ frac (17) (100) \\) нескоротний дріб
г) \\ (\\ frac (100) (250) \u003d \\ frac (\\ color (red) (2 \\ times 5 \\ times 5) \\ times 2) (\\ color (red) (2 \\ times 5 \\ times 5) \\ У цій статті ми детально розберемо, як проводиться

скорочення дробів . Спочатку обговоримо, що називають скороченням дробу. Після цього поговоримо про приведення сократимостью дроби до нескоротних увазі. Далі отримаємо правило скорочення дробів і, нарешті, розглянемо приклади застосування цього правила.Навігація по сторінці.

Що значить скоротити дріб?

Ми знаємо, що звичайні дроби підрозділяються на скоротні і нескоротні дроби. За назвами можна здогадатися, що скоротні дроби можна скоротити, а нескоротні - не можна.

Що ж означає скоротити дріб?

скоротити дріб - це значить розділити її чисельник і знаменник на їх позитивний і відмінний від одиниці. Зрозуміло, що в результаті скорочення дробу виходить нова дріб з меншим чисельником і знаменником, причому, в силу основного властивості дробу, отримана дріб дорівнює вихідної.

Для прикладу, проведемо скорочення звичайного дробу 8/24, розділивши її чисельник і знаменник на 2. Іншими словами, скоротимо дріб 8/24 на 2. Так як 8: 2 \u003d 4 і 24: 2 \u003d 12, то в результаті такого скорочення виходить дріб 4/12, яка дорівнює вихідній дробу 8/24 (дивіться рівні і нерівні дробу). У підсумку маємо.

Приведення звичайних дробів до нескоротних увазі

Зазвичай кінцевою метою скорочення дробу є отримання нескоротного дробу, яка дорівнює вихідної сократимостью дробу. Ця мета може бути досягнута, якщо провести скорочення вихідної сократимостью дробу на її чисельника і знаменника. В результаті такого скорочення завжди виходить нескоротний дріб. Дійсно, дріб є нескоротного, так як з відомо, що і -. Тут же скажемо, що найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дробу є найбільшим числом, на яке можна скоротити цей дріб.

Отже, приведення звичайного дробу до нескоротних увазі полягає в розподілі чисельника і знаменника вихідної сократимостью дробу на їх НСД.

Розберемо приклад, для чого повернемося до дробу 8/24 і скоротимо її на найбільший спільний дільник чисел 8 і 24, який дорівнює 8. Так як 8: 8 \u003d 1 і 24: 8 \u003d 3, то ми приходимо до нескоротного дробу 1/3. Отже,.

Зауважимо, що під фразою «скоротіть дріб» часто мають на увазі приведення вихідної дробу саме до нескоротних увазі. Іншими словами, скороченням дробу дуже часто називають розподіл чисельника і знаменника на їх найбільший спільний дільник (а не на будь-який їх спільний дільник).

Як скоротити дріб? Правило і приклади скорочення дробів

Залишилося лише розібрати правило скорочення дробів, яке і пояснює, як скоротити цю дріб.

Правило скорочення дробів складається з двох кроків:

• по-перше, знаходиться НСД чисельника і знаменника дробу;
• по-друге, проводиться розподіл чисельника і знаменника дробу на їх НСД, що дає нескоротний дріб, що дорівнює вихідній.

розберемо приклад скорочення дробу по озвученим правилом.

Приклад.

Скоротіть дріб 182/195.

Рішення.

Виконаємо обидва кроку, запропоновані правилом скорочення дробу.

Спочатку знаходимо НСД (182, 195). Найбільш зручно скористатися алгоритмом Евкліда (дивіться): 195 \u003d 182 · 1 + 13, 182 \u003d 13 · 14, тобто, НСД (182, 195) \u003d 13.

Тепер ділимо чисельник і знаменник дробу 182/195 на 13, при цьому отримуємо нескоротний дріб 14/15, яка дорівнює вихідній дробу. На цьому скорочення дробу закінчено.

Коротко рішення можна записати так:.

відповідь:

На цьому з скороченням дробів можна і закінчити. Але для повноти картини розглянемо ще два способи скорочення дробів, які зазвичай застосовуються в легких випадках.

Іноді чисельник і знаменник скорочується дробу нескладно. Скоротити дріб в цьому випадку дуже просто: потрібно лише прибрати всі загальні множники з чисельника і знаменника.

Варто зазначити, що цей спосіб безпосередньо випливає з правила скорочення дробів, так як твір всіх загальних простих множників чисельника і знаменника одно їх найбільшою загальною делителю.

Розберемо рішення прикладу.

Приклад.

Скоротіть дріб 360/2 940.

Рішення.

Розкладемо чисельник і знаменник на прості множники: 360 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 і 2 940 \u003d 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7. Таким чином, .

Тепер позбавляємося від загальних множників в чисельнику і знаменнику, для зручності, їх просто зачеркиваем: .

Нарешті, перемножуємо залишилися множники:, і скорочення дробу закінчено.

Ось короткий запис вирішення: .

відповідь:

Розглянемо ще один спосіб скорочення дробу, який складається в послідовному скороченні. Тут на кожному кроці проводиться скорочення дробу на деякий спільний дільник чисельника і знаменника, який або очевидний, або легко визначається за допомогою