Матеріал цієї статті пояснює, як знайти найменший спільний знаменник і як привести дроби до спільного знаменника . Спочатку дано визначення загального знаменника дробів і найменшого спільного знаменника, а також показано, як знайти спільний знаменник дробів. Далі наведено правило приведення дробів до спільного знаменника і розглянуті приклади застосування цього правила. На закінчення розібрані приклади приведення трьох і більшої кількості дробів до спільного знаменника.

Навігація по сторінці.

Що називають приведенням дробів до спільного знаменника?

Тепер ми можемо сказати, що таке приведення дробів до спільного знаменника. Зведення дробів до спільного знаменника - це множення числителей і знаменників даних дробів на такі додаткові множники, що в результаті виходять дроби з однаковими знаменниками.

Спільний знаменник, визначення, приклади

Тепер прийшов час дати визначення спільного знаменника дробів.

Іншими словами, спільним знаменником деякого набору звичайних дробів є будь-яка натуральне число, Яке ділиться на всі знаменники даних дробів.

З озвученого визначення випливає, що даний набір дробів має нескінченно багато спільних знаменників, так як існує безліч загальних кратних всіх знаменників вихідного набору дробів.

Визначення спільного знаменника дробів дозволяє знаходити спільні знаменники даних дробів. Нехай, наприклад, дані дроби 1/4 і 5/6, їх знаменники рівні 4 і 6 відповідно. Позитивними загальними кратними чисел 4 і 6 є числа 12, 24, 36, 48, ... Будь-яке з цих чисел є спільним знаменником дробів 1/4 і 5/6.

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення наступного прикладу.

Приклад.

Чи можна дроби 2/3, 23/6 і 7/12 привести до спільного знаменника 150?

Рішення.

Для відповіді на поставлене питання нам потрібно з'ясувати, чи є число 150 загальним кратним знаменників 3, 6 і 12. Для цього перевіримо, чи ділиться 150 остачі на кожне з цих чисел (при необхідності дивіться правила і приклади ділення натуральних чисел, а також правила і приклади ділення натуральних чисел із залишком): 150: 3 \u003d 50, 150: 6 \u003d 25, 150: 12 \u003d 12 (ост. 6).

Отже, 150 не ділиться без остачі на 12, отже, 150 не є загальним кратним чисел 3, 6 і 12. Отже, число 150 не може бути спільним знаменником вихідних дробів.

відповідь:

Не можна.

Найменший спільний знаменник, як його знайти?

У безлічі чисел, які є загальними знаменниками даних дробів, існує найменше натуральне число, яке називають найменшим спільним знаменником. Сформулюємо визначення найменшого спільного знаменника даних дробів.

Визначення.

Найменший спільний знаменник - це найменше число, з усіх загальних знаменників даних дробів.

Залишилося розібратися з питанням, як знайти найменший спільний дільник.

Так як є найменшим позитивним загальним дільником даного набору чисел, то НОК знаменників даних дробів є найменший спільний знаменник даних дробів.

Таким чином, знаходження найменшого спільного знаменника дробів зводиться до знаменників цих дробів. Розберемо рішення прикладу.

Приклад.

Знайдіть найменший спільний знаменник дробів 3/10 і 277/28.

Рішення.

Знаменники даних дробів рівні 10 і 28. Шуканий найменший спільний знаменник знаходиться як НОК чисел 10 і 28. У нашому випадку легко: так як 10 \u003d 2 · 5, а 28 \u003d 2 · 2 · 7, то НОК (15, 28) \u003d 2 · 2 · 5 · 7 \u003d 140.

відповідь:

140 .

Як привести дроби до спільного знаменника? Правило, приклади, рішення

Зазвичай звичайні дроби приводять до найменшого спільного знаменника. Зараз ми запишемо правило, яке пояснює, як привести дроби до найменшого спільного знаменника.

Правило приведення дробів до найменшого спільного знаменника складається з трьох кроків:

• По-перше, знаходиться найменший спільний знаменник дробів.
• По-друге, для кожного дробу обчислюється додатковий множник, для чого найменший спільний знаменник ділиться на знаменник кожного дробу.
• По-третє, чисельник і знаменник кожного дробу множиться на її додатковий множник.

Застосуємо озвучене правило до вирішення такого прикладу.

Приклад.

Наведіть дроби 5/14 і 7/18 до найменшого спільного знаменника.

Рішення.

Виконаємо всі кроки алгоритму приведення дробів до найменшого спільного знаменника.

Спочатку знаходимо найменший спільний знаменник, який дорівнює найменшого спільного кратного чисел 14 і 18. Так як 14 \u003d 2 · 7 і 18 \u003d 2 · 3 · 3, то НОК (14, 18) \u003d 2 · 3 · 3 · 7 \u003d 126.

Тепер обчислюємо додаткові множники, за допомогою яких дробу 5/14 і 7/18 будуть приведені до знаменника 126. Для дробу 5/14 додатковий множник дорівнює 126: 14 \u003d 9, а для дробу 7/18 додатковий множник дорівнює 126: 18 \u003d 7.

Залишилося помножити числители і знаменники дробів 5/14 і 7/18 на додаткові множники 9 і 7 відповідно. маємо і .

Отже, приведення дробів 5/14 і 7/18 до найменшого спільного знаменника завершено. В результаті вийшли дробу 45/126 та 49/126.

Схема приведення до спільного знаменника

1. Потрібно визначити, яке буде найменше спільне кратне для знаменників дробів. Якщо Ви маєте справу зі змішаним або цілим числом, то його потрібно спочатку перетворити в дріб, а вже потім визначати найменше спільне кратне. Щоб ціле число перетворити в дріб, потрібно в чисельнику записати саме це число, а в знаменнику - одиницю. Наприклад, число 5 у вигляді дробу буде виглядати так: 5/1. Щоб змішане число перетворити в дріб, потрібно ціле число помножити на знаменник і додати до нього чисельник. Приклад: 8 цілих і 3/5 у вигляді дробу \u003d 8x5 + 3/5 \u003d 43/5.
2. Після цього необхідно знайти додатковий множник, який визначається діленням НСЗ на знаменник кожного дробу.
3. Останній крок - множення дробу на додатковий множник.

Важливо запам'ятати, що приведення до спільного знаменника потрібно не тільки для додавання або віднімання. Для порівняння декількох дробів з різними знаменниками також необхідно спочатку привести кожну з них до спільного знаменника.

Зведення дробів до спільного знаменника

Для того щоб зрозуміти, як привести до спільного знаменника дріб, необхідно розібратися в деяких властивостях дробів. так, важливою властивістю, Використовуваним для приведення до НСЗ, є рівність дробів. Іншими словами, якщо чисельник і знаменник дробу множиться на число, то в результаті отримує дріб, що дорівнює попередній. Як приклад наведемо такий приклад. Для того щоб привести дроби 5/9 і 5/6 до найменшого спільного знаменника, потрібно виконати наступні дії:

1. Спочатку знаходимо найменше спільне кратне знаменників. В даному випадку для чисел 9 і 6 НОК дорівнюватиме 18.
2. Визначаємо додаткові множники для кожного з дробів. Робиться це в такий спосіб. Ділимо НОК на знаменник кожного з дробів, в результаті отримуємо 18: 9 \u003d 2, а 18: 6 \u003d 3. Ці числа і будуть додатковими множниками.
3. Наводимо два дроби до НСЗ. Помноживши дріб на число, потрібно помножити і чисельник, і знаменник. Дріб 5/9 можна помножити на додатковий множник 2, в результаті чого вийде дріб, що дорівнює даної, - 10/18. Те ж саме робимо з другої дробом: 5/6 множимо на 3, в результаті чого отримуємо 15/18.

Як бачимо з поданого вище прикладу, обидві дробу були приведені до найменшого спільного знаменника. Щоб остаточно розібратися в тому, як знайти спільний знаменник, необхідно освоїти ще одну властивість дробів. Воно полягає в тому, що чисельник і знаменник дробу можна скоротити на одне і те ж число, яке називається загальним дільником. Наприклад, дріб 12/30 можна скоротити до 2/5, якщо розділити її на загальний дільник - число 6.

Спочатку я хотів включити методи приведення до спільного знаменника в параграф «Додавання і віднімання дробів». Але інформації виявилося так багато, а важливість її настільки велика (адже спільні знаменники бувають не тільки у числових дробів), що краще вивчити це питання окремо.

Отже, нехай у нас є дві дробу з різними знаменниками. А ми хочемо зробити так, щоб знаменники стали однаковими. На допомогу приходить основна властивість дробу, яке, нагадаю, звучить наступним чином:

Дріб не зміниться, якщо її чисельник і знаменник помножити на одне і те ж число, відмінне від нуля.

Таким чином, якщо правильно підібрати множники, знаменники у дробів зрівняються - цей процес називається приведенням до спільного знаменника. А шукані числа, «вирівнюють» знаменники, називаються додатковими множниками.

Для чого взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

1. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками. По-іншому цю операцію ніяк не виконати;
2. Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує цю задачу;
3. Рішення задач на частки і відсотки. Процентні співвідношення є, по суті, звичайними виразами, які містять дроби.

Є багато способів знайти числа, при множенні на які знаменники дробів стануть рівними. Ми розглянемо лише три з них - у порядку зростання складності і, в певному сенсі, ефективності.

Множення «хрест-навхрест»

Найпростіший і надійний спосіб, Який гарантовано вирівнює знаменники. Будемо діяти «напролом»: множимо перший дріб на знаменник другого дробу, а другу - на знаменник першої. В результаті знаменники обох дробів стануть рівними добутку вихідних знаменників. Погляньте:

В якості додаткових множників розглянемо знаменники сусідніх дробів. отримаємо:

Так, ось так все просто. Якщо ви тільки починаєте вивчати дроби, краще працюйте саме цим методом - так ви застрахуєте себе від безлічі помилок і гарантовано отримаєте результат.

Єдиний недолік даного методу - доводиться багато вважати, адже знаменники множаться «напролом», і в результаті можуть вийти дуже великі числа. Така розплата за надійність.

Метод спільних дільників

Цей прийом допомагає набагато скоротити обчислення, але, на жаль, застосовується він досить рідко. Метод полягає в наступному:

1. Перш, ніж діяти «напролом» (тобто методом «хрест-навхрест»), погляньте на знаменники. Можливо, один з них (той, який більше), ділиться на інший.
2. Число, отримане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з меншим знаменником.
3. При цьому дріб з великим знаменником взагалі не треба ні на що множити - в цьому і полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що 84: 21 \u003d 4; 72: 12 \u003d 6. Оскільки в обох випадках один знаменник ділиться без залишку на інший, застосовуємо метод загальних множників. маємо:

Зауважимо, що друга дріб взагалі ніде ні на що не множилася. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень в два рази!

До речі, дробу в цьому прикладі я взяв не випадково. Якщо цікаво, спробуйте порахувати їх методом «хрест-навхрест». Після скорочення відповіді вийдуть такими ж, але роботи буде набагато більше.

В цьому і полягає сила методу загальних дільників, Але, повторюся, застосовувати його можна лише в тому випадку, коли один з знаменників ділиться на інший без залишку. Що буває досить рідко.

Метод найменшого спільного кратного

Коли ми наводимо дроби до спільного знаменника, ми по суті намагаємося знайти таке число, яке ділиться на кожен з знаменників. Потім приводимо до цього числа знаменники обох дробів.

Таких чисел дуже багато, і найменше з них зовсім не обов'язково буде дорівнювати прямому добутку знаменників вихідних дробів, як це передбачається в методі «хрест-навхрест».

Наприклад, для знаменників 8 і 12 цілком підійде число 24, оскільки 24: 8 \u003d 3; 24: 12 \u003d 2. Це число набагато менше твори 8 · 12 \u003d 96.

найменше число, Яке ділиться на кожен з знаменників, називається їх найменшим спільним кратним (НОК).

Позначення: найменше спільне кратне чисел a і b позначається НОК (a; b). Наприклад, НОК (16; 24) \u003d 48; НОК (8; 12) \u003d 24.

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що 234 \u003d 117 · 2; 351 \u003d 117 · 3. Множники 2 і 3 взаємно прості (не мають спільних дільників, крім 1), а множник 117 - загальний. Тому НОК (234; 351) \u003d 117 · 2 · 3 \u003d 702.

Аналогічно, 15 \u003d 5 · 3; 20 \u003d 5 · 4. Множники 3 і 4 взаємно прості, а множник 5 - загальний. Тому НОК (15; 20) \u003d 5 · 3 · 4 \u003d 60.

Тепер наведемо дроби до загальних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

1. Виявивши однакові множники, ми відразу вийшли на найменше спільне кратне, що, взагалі кажучи, є нетривіальним завданням;
2. З отриманого розкладу можна дізнатися, яких множників «не вистачає» кожної з дробів. Наприклад, 234 · 3 \u003d 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Щоб оцінити, наскільки колосальний виграш дає метод найменшого спільного кратного, спробуйте обчислити ці ж приклади методом «хрест-навхрест». Зрозуміло, без калькулятора. Думаю, після цього коментарі будуть зайвими.

Не думайте, що таких складних дробів в справжніх прикладах не буде. Вони зустрічаються постійно, і наведені вище завдання - не межа!

Єдина проблема - як знайти цей самий НОК. Іноді все знаходиться за кілька секунд, буквально «на око», але в цілому це складна обчислювальна задача, яка потребує окремого розгляду. Тут ми не будемо цього торкатися.

На цьому уроці ми розглянемо приведення дробів до спільного знаменника і вирішимо завдання по цій темі. Дамо визначення поняттю спільного знаменника і додаткового множника, згадаємо про взаємно простих числах. Дамо визначення поняттю найменший спільний знаменник (НСЗ) і вирішимо ряд завдань на її пошуки.

Тема: Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками

Урок: Зведення дробів до спільного знаменника

Повторення. Основна властивість дробу.

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або розділити на одне й те саме натуральне число, то вийде рівна їй дріб.

Наприклад, чисельник і знаменник дробу можна розділити на 2. Отримаємо дріб. Цю операцію називають скороченням дробу. Можна виконати і зворотне перетворення, помноживши чисельник і знаменник дробу на 2. У цьому випадку говорять, що ми привели дріб до нового знаменника. Число 2 називають додатковим множником.

Висновок.Дріб можна привести до будь-якого знаменника кратному знаменника даної дробу. Для того щоб привести дріб до нового знаменника, її чисельник і знаменник множать на додатковий множник.

1. Наведіть дріб до знаменника 35.

Число 35 кратно 7, тобто 35 ділиться на 7 без залишку. Значить, це перетворення можливо. Знайдемо додатковий множник. Для цього розділимо 35 на 7. Отримаємо 5. Помножимо на 5 чисельник і знаменник вихідної дробу.

2. Наведіть дріб до знаменника 18.

Знайдемо додатковий множник. Для цього розділимо новий знаменник на вихідний. Отримаємо 3. Помножимо на 3 чисельник і знаменник даної дробу.

3. Наведіть дріб до знаменника 60.

Розділивши 60 на 15, отримаємо додатковий множник. Він дорівнює 4. Помножимо чисельник і знаменник на 4.

4. Наведіть дріб до знаменника 24

У нескладних випадках приведення до нового знаменника виконують в розумі. Прийнято тільки вказувати додатковий множник за дужках трохи правіше і вище вихідної дробу.

Дріб можна привести до знаменника 15 і дріб можна привести до знаменника 15. У дробів і спільний знаменник 15.

Спільним знаменником дробів може бути будь-яке загальне кратне їх знаменників. Для простоти дроби приводять до найменшого спільного знаменника. Він дорівнює найменшого спільного кратного знаменників даних дробів.

Приклад. Привести до найменшого спільного знаменника дроби і.

Спочатку знайдемо найменше спільне кратне знаменників даних дробів. Це число 12. Знайдемо додатковий множник для першої і для другого дробу. Для цього 12 розділимо на 4 і на 6. Три - це додатковий множник для першого дробу, а два - для другої. Наведемо дроби до знаменника 12.

Ми привели дроби і до спільного знаменника, тобто ми знайшли рівні їм дроби, у яких один і той же знаменник.

Правило. Щоб привести дроби до найменшого спільного знаменника, треба

По-перше, знайти найменше спільне кратне знаменників цих дробів, воно і буде їх найменшим спільним знаменником;

По-друге, розділити найменший спільний знаменник на знаменники даних дробів, т. Е. Знайти для кожного дробу додатковий множник.

По-третє, помножити чисельник і знаменник кожного дробу на її додатковий множник.

а) Привести до спільного знаменника дроби і.

Найменший спільний знаменник дорівнює 12. Додатковий множник для першого дробу - 4, для другої - 3. Наводимо дроби до знаменника 24.

б) Привести до спільного знаменника дроби і.

Найменший спільний знаменник дорівнює 45. Розділивши 45 на 9 на 15, отримаємо, відповідно, 5 і 3. Наводимо дроби до знаменника 45.

в) Привести до спільного знаменника дроби і.

Спільний знаменник - 24. Додаткові множники, відповідно, - 2 і 3.

Іноді буває важко підібрати усно найменше спільне кратне для знаменників даних дробів. Тоді загальний знаменник і додаткові множники знаходять за допомогою розкладання на прості множники.

Привести до спільного знаменника дроби і.

Розкладемо числа 60 і 168 на прості множники. Випишемо розкладання числа 60 і додамо відсутні множники 2 і 7 з другого розкладання. Помножимо 60 на 14 і отримаємо спільний знаменник 840. Додатковий множник для першого дробу - це 14. Додатковий множник для другого дробу - 5. Наведемо дроби до спільного знаменника 840.

Список літератури

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С. та ін. Математика 6. - М .: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонський В.В., Якір М.С. Математика 6 клас. - Гімназія, 2006.

3. Депман І.Я., Виленкин Н.Я. За сторінками підручника математики. - Просвітництво, 1989.

4. Рурукін А.Н., Чайковський І.В. Завдання по курсу математика 5-6 клас. - ЗШ МІФІ, 2011 року.

5. Рурукін А.Н., Сочілов С.В., Чайковський К.Г. Математика 5-6. Посібник для учнів 6-х класів заочної школи МІФІ. - ЗШ МІФІ, 2011 року.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков І.О. та ін. Математика: Підручник-співрозмовник для 5-6 класів середньої школи. Бібліотека вчителя математики. - Просвітництво, 1989.

Можна завантажити книги, зазначені в п.1.2. даного уроку.

Домашнє завдання

Виленкин Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С. та ін. Математика 6. - М .: Мнемозина, 2012. (посилання див. 1.2)

Домашнє завдання: №297, №298, №300.

Інші завдання: №270, №290