На даному уроці буде розглянуто додавання і віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками. Ми вже знаємо, як додавати і віднімати звичайні дроби з різними знаменниками. Для цього дробу необхідно привести до спільного знаменника. Виявляється, що алгебраїчні дроби підкоряються тим же самим правилам. При цьому ми вже вміємо приводити алгебраїчні дроби до спільного знаменника. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками - одна з найбільш важливих і складних тем в курсі 8 класу. При цьому дана тема буде зустрічатися в багатьох темах курсу алгебри, які ви будете вивчати в подальшому. В рамках уроку ми вивчимо правила додавання і віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками, а також розберемо цілий ряд типових прикладів.

Розглянемо найпростіший приклад для звичайних дробів.

Приклад 1.Скласти дробу:.

Рішення:

Згадаймо правило складання дробів. Для початку дробу необхідно привести до спільного знаменника. У ролі спільного знаменника для звичайних дробів виступає найменше спільне кратне (НОК) вихідних знаменників.

визначення

Найменше натуральне число, яке ділиться одночасно на числа і.

Для знаходження НОК необхідно розкласти знаменники на прості множники, а потім вибрати все прості множники, які входять в розкладання обох знаменників.

; . Тоді в НОК чисел повинні входити дві двійки і дві трійки:.

Після знаходження спільного знаменника, необхідно для кожної з дробів знайти додатковий множник (фактично, поділити загальний знаменник на знаменник відповідної дробу).

Потім кожна дріб множиться на отриманий додатковий множник. Виходять дроби з однаковими знаменниками, додавати і віднімати які ми навчилися на минулих уроках.

отримуємо: .

відповідь:.

Розглянемо тепер складання алгебраїчних дробів з різними знаменниками. Спочатку розглянемо дробу, знаменники яких є числами.

Приклад 2.Скласти дробу:.

Рішення:

Алгоритм рішення абсолютно аналогічний попередньому прикладу. Легко підібрати загальний знаменник даних дробів: і додаткові множники для кожного з них.

.

відповідь:.

Отже, сформулюємо алгоритм додавання і віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками:

1. Знайти найменший спільний знаменник дробів.

2. Знайти додаткові множники для кожного з дробів (поділивши спільний знаменник на знаменник даної дробу).

3. домножимо числители на відповідні додаткові множники.

4. Скласти або відняти дроби, користуючись правилами додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Розглянемо тепер приклад з дробами, в знаменнику яких присутні літерні вирази.

Приклад 3.Скласти дробу:.

Рішення:

Оскільки літерні вираження в обох знаменниках однакові, то слід знайти спільний знаменник для чисел. Підсумковий загальний знаменник матиме вигляд:. Таким чином, рішення даного прикладу має вигляд :.

відповідь:.

Приклад 4.Відняти дробу:.

Рішення:

Якщо «схитрувати» при підборі спільного знаменника не вдається (не можна розкласти на множники або скористатися формулами скороченого множення), то в якості спільного знаменника доводиться брати твір знаменників обох дробів.

відповідь:.

Взагалі, при вирішенні подібних прикладів, найбільш складним завданням є знаходження спільного знаменника.

Розглянемо більш складний приклад.

Приклад 5.Спростити:.

Рішення:

При знаходженні спільного знаменника необхідно перш за все спробувати розкласти знаменники вихідних дробів на множники (щоб спростити спільний знаменник).

В даному конкретному випадку:

Тоді легко визначити спільний знаменник: .

Визначаємо додаткові множники і вирішуємо даний приклад:

відповідь:.

Тепер закріпимо правила додавання і віднімання дробів з різними знаменниками.

Приклад 6.Спростити:.

Рішення:

відповідь:.

Приклад 7.Спростити:.

Рішення:

.

відповідь:.

Розглянемо тепер приклад, в якому складаються не дві, а три дроби (адже правила додавання і віднімання для більшої кількості дробів залишаються такими ж).

Приклад 8.Спростити:.

калькулятор дробів призначений для швидкого розрахунку операцій з дробом, допоможе легко дробу скласти, помножити, поділити або відняти.

Сучасні школярі починають вивчення дробів вже в 5 класі, з кожним роком вправи з ними ускладнюються. Математичні терміни і величини, які ми дізнаємося в школі, рідко можуть стати в нагоді нам у дорослому житті. Однак дробу, на відміну від логарифмів і ступенів, зустрічаються в повсякдення досить часто (вимірювання відстані, зважування товару і т.д.). Наш калькулятор призначений для швидкого проведення операцій з дробом.

Для початку визначимо, що таке дроби і які вони бувають. Дробом називають відношення одного числа до іншого, це число, що складається з цілого кількості часткою одиниці.

Різновиди дробів:

• звичайні
• десяткові
• змішані

приклад звичайних дробів:

Верхнє значення є чисельником, нижнє знаменником. Риска показує нам, що верхнє число ділиться на нижню. Замість подібного формату написання, коли риска знаходиться горизонтально, можна писати по-іншому. Можна ставити похилу лінію, наприклад:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

десяткові дроби є найпопулярнішою різновидом дробів. Вони складаються з цілої частини і дробової, відокремлені комою.

Приклад десяткових дробів:

0,2, або 6,71 або 0,125

Складаються з цілого числа і дробової частини. Щоб дізнатися значення цього дробу, потрібно скласти ціле число і дріб.

Приклад змішаних дробів:

Калькулятор дробів на нашому сайті здатний швидко в онлайн-режимі виконати будь-які математичні операції з дробами:

• додавання
• віднімання
• множення
• розподіл

Для здійснення розрахунку потрібно ввести цифри в поля і вибрати дію. У дробів потрібно заповнити чисельник і знаменник, ціле число може не писатися (якщо дріб звичайна). Не забудьте натиснути на кнопку «дорівнює».

Зручно, що калькулятор відразу надає процес вирішення прикладу з дробом, а не тільки готову відповідь. Саме завдяки розгорнутому рішенням ви можете використовувати даний матеріал при вирішенні шкільних завдань і для кращого освоєння пройденого матеріалу.

Вам потрібно здійснити розрахунок прикладу:

Після введення показників в поля форми отримуємо:

Щоб зробити самостійний розрахунок, введіть дані в форму.

калькулятор дробів

Супутні розділи.

На даному уроці буде розглянуто додавання і віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками. Ми вже знаємо, як додавати і віднімати звичайні дроби з різними знаменниками. Для цього дробу необхідно привести до спільного знаменника. Виявляється, що алгебраїчні дроби підкоряються тим же самим правилам. При цьому ми вже вміємо приводити алгебраїчні дроби до спільного знаменника. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками - одна з найбільш важливих і складних тем в курсі 8 класу. При цьому дана тема буде зустрічатися в багатьох темах курсу алгебри, які ви будете вивчати в подальшому. В рамках уроку ми вивчимо правила додавання і віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками, а також розберемо цілий ряд типових прикладів.

Розглянемо найпростіший приклад для звичайних дробів.

Приклад 1.Скласти дробу:.

Рішення:

Згадаймо правило складання дробів. Для початку дробу необхідно привести до спільного знаменника. У ролі спільного знаменника для звичайних дробів виступає найменше спільне кратне (НОК) вихідних знаменників.

визначення

Найменше натуральне число, яке ділиться одночасно на числа і.

Для знаходження НОК необхідно розкласти знаменники на прості множники, а потім вибрати все прості множники, які входять в розкладання обох знаменників.

; . Тоді в НОК чисел повинні входити дві двійки і дві трійки:.

Після знаходження спільного знаменника, необхідно для кожної з дробів знайти додатковий множник (фактично, поділити загальний знаменник на знаменник відповідної дробу).

Потім кожна дріб множиться на отриманий додатковий множник. Виходять дроби з однаковими знаменниками, додавати і віднімати які ми навчилися на минулих уроках.

отримуємо: .

відповідь:.

Розглянемо тепер складання алгебраїчних дробів з різними знаменниками. Спочатку розглянемо дробу, знаменники яких є числами.

Приклад 2.Скласти дробу:.

Рішення:

Алгоритм рішення абсолютно аналогічний попередньому прикладу. Легко підібрати загальний знаменник даних дробів: і додаткові множники для кожного з них.

.

відповідь:.

Отже, сформулюємо алгоритм додавання і віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками:

1. Знайти найменший спільний знаменник дробів.

2. Знайти додаткові множники для кожного з дробів (поділивши спільний знаменник на знаменник даної дробу).

3. домножимо числители на відповідні додаткові множники.

4. Скласти або відняти дроби, користуючись правилами додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Розглянемо тепер приклад з дробами, в знаменнику яких присутні літерні вирази.

Приклад 3.Скласти дробу:.

Рішення:

Оскільки літерні вираження в обох знаменниках однакові, то слід знайти спільний знаменник для чисел. Підсумковий загальний знаменник матиме вигляд:. Таким чином, рішення даного прикладу має вигляд :.

відповідь:.

Приклад 4.Відняти дробу:.

Рішення:

Якщо «схитрувати» при підборі спільного знаменника не вдається (не можна розкласти на множники або скористатися формулами скороченого множення), то в якості спільного знаменника доводиться брати твір знаменників обох дробів.

відповідь:.

Взагалі, при вирішенні подібних прикладів, найбільш складним завданням є знаходження спільного знаменника.

Розглянемо більш складний приклад.

Приклад 5.Спростити:.

Рішення:

При знаходженні спільного знаменника необхідно перш за все спробувати розкласти знаменники вихідних дробів на множники (щоб спростити спільний знаменник).

В даному конкретному випадку:

Тоді легко визначити спільний знаменник: .

Визначаємо додаткові множники і вирішуємо даний приклад:

відповідь:.

Тепер закріпимо правила додавання і віднімання дробів з різними знаменниками.

Приклад 6.Спростити:.

Рішення:

відповідь:.

Приклад 7.Спростити:.

Рішення:

.

відповідь:.

Розглянемо тепер приклад, в якому складаються не дві, а три дроби (адже правила додавання і віднімання для більшої кількості дробів залишаються такими ж).

Приклад 8.Спростити:.

Щоб до дробу додати ціле число, досить виконати ряд дій, а вірніше підрахунків.

Наприклад у вас 7 - ціле число, його потрібно додати до дробу 1/2.

Діємо в такий спосіб:

• 7 множимо на знаменник (2), виходить 14,
• до 14 додаємо верхню частину (1), виходить 15,
• і підставляємо знаменник.
• в результаті виходить 15/2.

Таким нехитрим способом можна додавати цілі числа до дробовим.

А щоб виділити ціле число з дробу, треба поділити чисельник на знаменник, а залишок - і буде дріб.

Операція додавання до правильної звичайного дробу цілого числа не складна і часом полягає просто в освіті змішаної дробу, в якій ціла частина ставиться лівіше дробової частини, наприклад така дріб буде змішаною:

Однак частіше при додаванні до дробу цілого числа виходить неправильна дріб, у якої чисельник виявляється більше знаменника. Виконується ця операція так: ціле число представляють в вигляді не правильної дробу з тим же знаменником, що і прибавляемая дріб і потім просто складають числители обох дробів. На прикладі це буду виглядати так:

5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8

По-моєму це дуже просто.

Наприклад, ми маємо дріб 1/4 (це те ж саме, що 0,25, тобто чверть від цілого числа).

І до цієї чверті можна додати будь-яке ціле число, наприклад 3. Вийде три з чвертю:

3,25. Або в дробу це виражається так: 3 1/4

Ось за зразком цього прикладу можна складати будь-які дроби з будь-якими цілими числами.

Потрібно звести ціле число в дріб зі знаменником 10 (6/10). Далі, привести наявну дріб до спільного знаменника 10 (35 \u003d 610). Ну і виконати операцію як зі звичайними дробами 610 + 610 \u003d 1210 разом 12.

Можна зробити це двома способами.

1). Дріб можна перевести в ціле число і здійснити складання. Наприклад, 1/2 це 0,5; 1/4 дорівнює 0,25; 2/5 це 0,4 і тд.

Беремо ціле число 5, до якого потрібно додати дріб 4/5. Перетворимо дріб: 4/5 це 4 розділити на 5 і отримуємо 0,8. Додає 0,8 до 5 і отримуємо 5,8 або ж 5 4/5.

2). Другий спосіб: 5 + 4/5 \u003d 29/5 \u003d 5 4/5.

Додавання дробів просте математичне дію, приклад, вам потрібно скласти ціле число 3 і дріб 1/7. Щоб скласти ці два числа, у вас повинно бути один знаменник, тому ви повинні три помножити на сім і розділити на цю цифру, тоді ви отримуєте 21/7 + 1/7, знаменник один, складаєте 21 і 1, виходить відповідь 22/7 .

Просто взяти і додати ціле число до цієї дробі.Допустім треба 6 + 1/2 \u003d 6 1/2. Ну і якщо це десяткова дріб то можна наприклад так 6 + 1,2 \u003d 7,2.

Щоб скласти дріб і ціле число, потрібно до цілого числа додати дробове і записати їх, у вигляді комплексного числа, наприклад при складання звичайного дробу з цілим числом, отримаємо: 1/2 +3 \u003d 3 1/2; при додаванні десяткового дробу: 0,5 +3 =3,5.

Дріб сама по собі не є цілим числом, по тому що вона за своєю кількістю до нього не дотягує, а тому і немає необхідності переводити ціле число в цей дріб. Тому ціле число залишається цілим і повноцінно демонструє повний номінал, а дріб до нього плюсуется, і демонструє те, скільки цього цілого числа не вистачає до збільшення наступного повного бала.

Академічний приклад.

10 + 7/3 \u003d 10 цілих і 7/3.

Якщо звичайно є цілі, то вони підсумовуються з цілими.

12 + 5 7/9 \u003d 17 і 7/9.

Дивлячись яке ціле число і яка дріб.

якщо обидва доданків позитивні, Слід приписати до цілого числа цей дріб. Вийде змішане число. Причому, можуть бути 2 випадки.

Випадок 1.

• Дріб правильна, тобто чисельник менше знаменника. Тоді отримане після приписування змішане число і буде відповіддю.

4/9 + 10 \u003d 10 4/9 (десять цілих чотири дев'ятих).



Випадок 2.

• Дріб неправильна, тобто чисельник більше знаменника. Тоді потрібна невелика перетворення. Неправильну дріб слід перетворити в змішане число, іншими словами виділити цілу частину. Робиться це так:



Після цього до цілого числа треба додати цілу частину неправильного дробу і до отриманої суми приписати її дробову частину. Таким же чином до змішаного числа додається ціле.

1) 11/4 + 5 \u003d 2 3/4 + 5 \u003d 7 3/4 (7 цілих три четвертих).

2) 5 1/2 + 6 \u003d 11 1/2 (11 цілих одна друга).

Якщо одна з складових або обидва негативні, То складання виробляємо за правилами складання чисел з різними або однаковими знаками. Ціле число представляється у вигляді відношення цього числа і 1, а потім і чисельник, і знаменник множиться на число, що дорівнює знаменника тієї дробу, до якої ціле число додається.

3) 1/5 + (-2) \u003d 1/5 + -2/1 \u003d 1/5 + -10/5 \u003d -9/5 \u003d -1 4/5 (мінус 1 ціла чотири п'ятих).

4) -13/3 + (-4) \u003d -13/3 + -4/1 \u003d -13/3 + -12/3 \u003d -25/3 \u003d -8 1/3 (мінус 8 цілих одна третя).

Зауваження.

Після знайомства з негативними числами, При вивченні дій з ними учні 6 класу повинні розуміти, що до негативної дробу додати позитивне ціле число те ж саме, що віднімати з натурального числа дріб. Ця дія, як відомо, виконується так:



Насправді для того щоб зробити додавання дроби і цілого числа потрібно просто напросто привести наявні ціле число до дробового, а зробити це простіше простого. Потрібно просто взяти знаменник дробу (наявної в прикладі) і зробити його знаменником цілого числа, помноживши його на цей знаменник і розділивши, ось приклад:

2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3

Знайдіть чисельник і знаменник. Дріб включає два числа: число, яке розташоване над рисою, називається чисельником, а число, яке знаходиться під рискою - знаменником. Знаменник означає загальну кількість частин, на які розбито деяке ціле, а чисельник - це розглядається кількість таких частин.

• Наприклад, в дроби ½ числителем є 1, а знаменником 2.

Визначте знаменник. Якщо дві і більше дробу мають спільний знаменник, у таких дробів під рискою знаходиться одне і те ж число, тобто в цьому випадку деяке ціле розбите на однакову кількість частин. Додавати дроби з спільним знаменником дуже просто, так як знаменник сумарною дробу буде таким же, як у складаються дробів. наприклад:

• У дробів 3/5 і 2/5 спільний знаменник 5.
• У дробів 3/8, 5/8, 17/8 спільний знаменник 8.