Що значить ціле число

Отже, розглянемо, які числа називають цілими.

Таким чином, цілими будуть позначатися такі числа: $ 0 $, $ ± 1 $, $ ± 2 $, $ ± 3 $, $ ± 4 $ і т.д.

безліч натуральних чисел є підмножиною множини цілих чисел, тобто будь-яке натуральне буде цілим числом, але не будь-яке ціле є натуральним числом.

Цілі позитивні і цілі від'ємні числа

визначення 2

плюс.

Числа $ 3, 78, 569, 10450 $ - цілі позитивні числа.

визначення 3

є цілі числа зі знаком мінус.

Числа $ -3, -78, -569, -10 450 $ - цілі негативні числа.

зауваження 1

Число нуль не належить ні до цілим позитивним, ні до цілим негативним числах.

Цілими позитивними числами є цілі числа, великі нуля.

Цілими негативними числами є цілі числа, менші нуля.

Безліч натуральних цілих чисел являє собою безліч всіх цілих позитивних чисел, а безліч всіх протилежних натуральним числам являє собою безліч всіх цілих негативних чисел.

Цілі недодатні і цілі невід'ємні числа

Всі цілі позитивні числа і число нуль називаються цілими невід'ємними числами.

Цілими непозитивним числами є всі цілі негативні числа і число $ 0 $.

зауваження 2

Таким чином, цілим невід'ємним числом є цілі числа, великі нуля або рівні нулю, а цілим непозитивним числом - цілі числа, менші нуля або рівні нулю.

Наприклад, цілі недодатні числа: $ -32, -123, 0, -5 $, а цілі невід'ємні числа: $ 54, 123, 0, 856 342. $

Опис зміни величин за допомогою цілих чисел

Цілі числа застосовуються для опису зміни числа будь-яких предметів.

Розглянемо приклади.

приклад 1

Нехай в магазині продається якесь число найменувань товару. Коли в магазин надійде $ 520 $ найменувань товарів, то число найменувань товару в магазині збільшиться, а число $ 520 $ показує зміну числа в позитивну сторону. Коли в магазині продасться $ 50 $ найменувань товару, то число найменувань товару в магазині зменшиться, а число $ 50 $ буде висловлювати зміна числа в негативну сторону. Якщо в магазин не будуть ні привозити, ні продавати товар, то число товару буде залишатися незмінним (тобто можна говорити про нульової зміни числа).

У наведеному прикладі зміна числа товару описується за допомогою цілих чисел $ 520 $, $ -50 $ і $ 0 $ відповідно. Позитивне значення цілого числа $ 520 $ вказує на зміну числа в позитивну сторону. Негативне значення цілого числа $ -50 $ вказує на зміну числа в негативну сторону. Ціле число $ 0 $ вказує на незмінність числа.

Цілі числа зручно використовувати, тому що не потрібно явне вказівку на збільшення числа або зменшення, - знак цілого числа вказує на напрямок зміни, а значення - на кількісне зміна.

За допомогою цілих чисел можна виразити не тільки зміна кількості, але і зміна будь-якої величини.

Розглянемо приклад зміни вартості товару.

приклад 2

Підвищення вартості, наприклад, на $ 20 $ рублів виражається за допомогою позитивного цілого числа $ 20 $. Зниження вартості, наприклад, на $ 5 $ рублів описується за допомогою негативного цілого числа $ -5 $. Якщо змін вартості немає, то така зміна визначається за допомогою цілого числа $ 0 $.

Окремо розглянемо значення негативних цілих чисел як розміру боргу.

приклад 3

Наприклад, у будь-якого людини є $ 5 000 $ рублів. Тоді за допомогою цілого позитивного числа $ 5 000 $ можна показати кількість рублів, які у нього є. Людина повинна оплатити квартплату в розмірі $ 7 000 $ рублів, але у нього таких грошей немає, в такому випадку подібна ситуація описується негативним цілим числом $ -7 000 $. У такому випадку людина має $ -7 000 $ рублів, де «-» вказує на борг, а число $ 7 000 $ показує кількість боргу.

Натуральні числа

Натуральні числа визначення - це цілі позитивні числа. Натуральні числа використовують для рахунку предметів і багатьох інших цілей. Ось ці числа:

Це натуральний ряд чисел.
Нуль натуральне число? Ні, нуль не є натуральним числом.
Скільки натуральних чисел існує? Існує безліч натуральних чисел.
Яке найменше натуральне число? Одиниця - це найменше натуральне число.
Яке найбільше натуральне число? Його неможливо вказати, адже існує безліч натуральних чисел.

Сума натуральних чисел є натуральне число. Отже, складання натуральних чисел a і b:

Твір натуральних чисел є натуральне число. Отже, твір натуральних чисел a і b:

с - це завжди натуральне число.

Різниця натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо зменшуване більше від'ємника, то різниця натуральних чисел є натуральне число, інакше - немає.

Приватне натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо для натуральних чисел a і b

де с - натуральне число, то це означає, що a ділиться на b без остачі. У цьому прикладі a - ділене, b - дільник, c - приватна.

Дільник натурального числа - це натуральне число, на яке перше число ділиться без остачі.

Кожне натуральне число ділиться на одиницю і на себе.

Прості натуральні числа діляться тільки на одиницю і на себе. Тут мається на увазі діляться без остачі. Приклад, числа 2; 3; 5; 7 діляться тільки на одиницю і на себе. Це прості натуральні числа.

Одиницю не вважають простим числом.

Числа, які більше одиниці і які не є простими, називають складовими. Приклади складових чисел:

Одиницю не вважають складовим числом.

Безліч натуральних чисел складають одиниця, прості числа і складені числа.

Безліч натуральних чисел позначається латинською буквою N.

Властивості додавання і множення натуральних чисел:

переместительное властивість складання

сочетательное властивість складання

(A + b) + c \u003d a + (b + c);

переместительное властивість множення

сочетательное властивість множення

(Ab) c \u003d a (bc);

розподільна властивість множення

A (b + c) \u003d ab + ac;

Цілі числа

Цілі числа - це натуральні числа, нуль і числа, протилежні натуральним.

Числа, протилежні натуральним - це цілі негативні числа, наприклад:

1; -2; -3; -4;...

Безліч цілих чисел позначається латинською буквою Z.

раціональні числа

Раціональні числа - це цілі числа і дроби.

Будь-яке раціональне число може бути представлено у вигляді періодичної дробу. приклади:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

З прикладів видно, що будь-яке ціле число є періодичний дріб з періодом нуль.

Будь-яке раціональне число може бути представлено у вигляді дробу m / n, де m ціле число, n натуральне число. Уявімо у вигляді такої дробу число 3, (6) з попереднього прикладу.

У даній статті визначимо безліч цілих чисел, розглянемо, які цілі називаються позитивними, а які негативними. Також покажемо, як цілі числа використовуються для опису зміни деяких величин. Почнемо з визначення і прикладів цілих чисел.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Цілі числа. Визначення, приклади

Спочатку згадаємо про натуральні числа ℕ. Сама назва говорить про те, що це такі числа, які природно використовувалися для рахунку з незапам'ятних часів. Для того, щоб охопити поняття цілих чисел, нам потрібно розширити визначення натуральних чисел.

Визначення 1. Цілі числа

Цілі числа - це натуральні числа, числа, протилежні їм, і число нуль.

Безліч цілих чисел позначається буквою ℤ.

Безліч натуральних чисел ℕ - підмножина цілих чисел ℤ. Будь-яке натуральне число є цілим, але не будь-яке ціле число є натуральним.

З визначення випливає, що цілим є будь-який з чисел 1, 2, 3. . , Число 0, а також числа - 1, - 2, - 3,. .

Відповідно до цього, наведемо приклади. Числа 39, - 589, 10000000, - 1 596, 0 є цілими числами.

Нехай координатна пряма проведена горизонтально і спрямована вправо. Погляньмо на неї, щоб наочно уявити розташування цілих чисел на прямій.

Початку відліку на координатної прямої відповідає число 0, а точкам, лежить по обидва боки від нуля відповідають позитивні і негативні цілі числа. Кожній точці відповідає єдине ціле число.

У будь-яку точку прямої, координатою якої є ціле число, можна потрапити, відклавши від початку координат кілька одиничних відрізків.

Позитивні і негативні цілі числа

З усіх цілих чисел логічно виділити позитивні і негативні цілі числа. Дамо їх визначення.

Визначення 2. Позитивні цілі числа

Позитивні цілі числа - це цілі числа зі знаком "плюс".

Наприклад, число 7 - ціле число зі знаком плюс, тобто позитивне ціле число. На координатній прямій це число лежить праворуч від точки відліку, за яку прийнято число 0. Інші приклади позитивних цілих чисел: 12, 502, 42, 33, 100500.

Визначення 3. Негативні цілі числа

Негативні цілі числа - це цілі числа зі знаком "мінус".

Приклади цілих негативних чисел: - 528, - 2568, - 1.

Число 0 розділяє позитивні і негативні цілі числа і саме не є ні позитивним, ні негативним.

Будь-яке число, протилежне позитивному цілому числу, в силу визначення, є негативним цілим числом. Справедливо і зворотне. Число, протилежне будь-якого негативного цілому числу, є позитивне ціле число.

Можна дати інші формулювання визначень негативних і позитивних цілих чисел, використовуючи їх порівняння з нулем.

Визначення 4. Позитивні цілі числа

Позитивні цілі числа - це цілі числа, які більше нуля.

Визначення 5. Негативні цілі числа

Негативні цілі числа - це цілі числа, які менше нуля.

Відповідно, позитивні числа лежать правіше початку відліку на координатної прямої, а негативні цілі числа знаходяться лівіше від нуля.

Раніше ми вже говорили, що натуральні числа - це підмножина цілих. Уточнимо цей момент. Безліч натуральних чисел складають цілі позитивні числа. У свою чергу, безліч негативних цілих чисел є безліччю чисел, протилежних натуральним.

Важливо!

Будь-яке натуральне число можна назвати цілим, але будь-яке ціле число можна назвати натуральним. Відповідаючи на питання, чи є чи негативні числа натуральними, потрібно сміливо говорити - ні, не є.

Недодатні і невід'ємні цілі числа

Дамо визначення.

Визначення 6. невід'ємні цілі числа

Невід'ємні цілі числа - це позитивні цілі числа і число нуль.

Визначення 7. непозитивним цілі числа

Недодатні цілі числа - це негативні цілі числа і число нуль.

Як бачимо, число нуль не є ні позитивним, ні негативним.

Приклади невід'ємних цілих чисел: 52, 128, 0.

Приклади непозитивним цілих чисел: - 52, - 128, 0.

Невід'ємне число - це число, більше або рівне нулю. Відповідно, непозитивним ціле число - це число, менше або рівне нулю.

Терміни "непозитивним число" і "невід'ємне число" використовуються для стислості. Наприклад, замість того, щоб говорити, що число a - ціле число, яке більше або дорівнює нулю, можна сказати: a - ціле невід'ємне число.

Використання цілих чисел при описі зміни величин

Для чого використовуються цілі числа? В першу чергу, з їх допомогою зручно описувати і визначати зміну кількості будь-яких предметів. Наведемо приклад.

Нехай на складі зберігається якась кількість колінвалів. Якщо на склад привезуть ще 500 колінвалів, то їх кількість збільшиться. Число 500 якраз і виражає зміна (збільшення) кількості деталей. Якщо потім зі складу відвезуть 200 деталей, то це число також буде характеризувати зміна кількості колінвалів. На цей раз, в бік зменшення.

Якщо ж зі складу нічого не забиратимуть, і нічого не будуть привозити, то число 0 вкаже на незмінність кількості деталей.

Очевидна зручність використання цілих чисел на відміну від натуральних в тому, що їх знак явно вказує на напрямок зміни величини (збільшення або спадання).

Зниження температури на 30 градусів можна охарактеризувати негативним числом - 30, а збільшення на 2 градуси - позитивним цілим числом 2.

Наведемо ще один приклад з використанням цілих чисел. На цей раз, уявімо, що ми повинні віддати комусь 5 монет. Тоді, можна сказати, що ми володіємо - 5 монетами. Число 5 визначає обсяг боргу, а знак "мінус" говорить про те, що ми повинні віддати монети.

Якщо ми повинні 2 монети одній людині, а 3 - іншому, то загальний борг (5 монет) можна обчислити за правилом додавання від'ємних чисел:

2 + (- 3) = - 5

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Інформація цієї статті формує загальне уявлення про цілих числах. Спочатку дано визначення цілих чисел і наведені приклади. Далі розглянуті цілі числа на числовій прямій, звідки стає видно, які числа називаються цілими позитивними числами, а які - цілими негативними. Після цього показано, як за допомогою цілих чисел описуються зміни величин, і розглянуті цілі негативні числа в сенсі заборгованості.

Навігація по сторінці.

Цілі числа - визначення і приклади

Визначення.

Цілі числа - це натуральні числа, число нуль, а також числа, протилежні натуральним.

Визначення цілих чисел стверджує, що будь-яка з чисел 1, 2, 3, ..., число 0, а також будь-яка з чисел -1, -2, -3, ... є цілим. Тепер ми легко можемо привести приклади цілих чисел. Наприклад, число 38 - ціле, число 70 040 - теж ціле, нуль - ціле число (нагадаємо, що нуль НЕ є натуральним числом, нуль - ціле число), числа -999, -1, -8 934 832 - також є прикладами цілих чисел.

Всі цілі числа зручно представляти як послідовність цілих чисел, яка має наступний вигляд: 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... Послідовність цілих чисел можна записати і так: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

З визначення цілих чисел слід, що безліч натуральних чисел є підмножиною множини цілих чисел. Тому, будь-яке натуральне число є цілим, але не будь-яке ціле число є натуральним.

Цілі числа на координатної прямий

Визначення.

Цілі позитивні числа - це цілі числа, які більше нуля.

Визначення.

Цілі негативні числа - це цілі числа, які менше нуля.

Цілі позитивні і негативні числа можна також визначити по їх положенню на координатної прямої. На горизонтальній координатній прямій точки, координатами яких є цілі позитивні числа, лежать правіше початку відліку. У свою чергу точки з цілими негативними координатами розташовуються лівіше точки O.

Зрозуміло, що безліч всіх цілих позитивних чисел є безліччю натуральних чисел. У свою чергу безліч всіх цілих негативних чисел - це безліч всіх чисел, протилежних натуральним числам.

Окремо звернемо Вашу увагу на те, що будь-яке натуральне число ми можемо сміливо назвати цілим, а будь-яке ціле число ми НЕ можемо назвати натуральним. Натуральним ми можемо назвати лише будь-яке ціле позитивне число, так як цілі негативні числа і нуль не є натуральними.

Цілі недодатні і цілі невід'ємні числа

Дамо визначення цілих непозитивним чисел і цілих невід'ємних чисел.

Визначення.

Всі цілі позитивні числа разом з числом нуль називають цілими невід'ємними числами.

Визначення.

Цілі недодатні числа - це все цілі негативні числа разом з числом 0.

Іншими словами, ціле невід'ємне число - це ціле число, яке більше нуля, або дорівнює нулю, а ціле непозитивним число - це ціле число, яке менше нуля, або дорівнює нулю.

Прикладами цілих непозитивним чисел є числа -511, -10 030, 0, -2, а в якості прикладів цілих невід'ємних чисел наведемо числа 45, 506, 0, 900 321.

Найбільш часто терміни «цілі недодатні числа» і «цілі невід'ємні числа» використовують для стислості викладу. Наприклад, замість фрази «число a ціле, причому a більше нуля або дорівнює нулю» можна сказати «a - ціле невід'ємне число».

Опис зміни величин за допомогою цілих чисел

Прийшов час поговорити про те, для чого взагалі потрібні цілі числа.

Основне призначення цілих чисел полягає в тому, що з їх допомогою зручно описувати зміна кількості будь-яких предметів. Розберемося з цим на прикладах.

Нехай на складі знаходиться певна кількість деталей. Якщо на склад привезуть ще, наприклад, 400 деталей, то кількість деталей на складі збільшиться, а число 400 висловлює це зміна кількості в позитивну сторону (у бік збільшення). Якщо ж зі складу заберуть, наприклад, 100 деталей, то кількість деталей на складі зменшиться, а число 100 буде висловлювати зміна кількості в негативну сторону (у бік зменшення). На склад не будуть привозити деталі, і не будуть відвозити деталі зі складу, то можна говорити про незмінність кількості деталей (тобто можна буде говорити про нульовий зміні кількості).

У наведених прикладах зміна кількості деталей можна описати за допомогою цілих чисел 400, -100 і 0 відповідно. Позитивне ціле число 400 показує зміну кількості в позитивну сторону (збільшення). Негативне ціле число -100 висловлює зміна кількості в негативну сторону (зменшення). Ціле число 0 показує, що кількість залишилося без зміни.

Зручність використання цілих чисел в порівнянні з використанням натуральних чисел полягає в тому, що не потрібно явно вказувати збільшується кількість або зменшується, - ціле число визначає зміна кількісно, \u200b\u200bа знак цілого числа вказує напрямок зміни.

Цілі числа також можуть виражати не тільки зміна кількості, але і зміна будь-якої величини. Розберемося з цим на прикладі зміни температури.

Підвищення температури, скажімо, на 4 градуси виражається позитивним цілим числом 4. Зниження температури, наприклад, на 12 градусів можна описати негативним цілим числом -12. А незмінність температури - це її зміна, яке визначається цілим числом 0.

Окремо потрібно сказати про трактування негативних цілих чисел як величини боргу. Наприклад, якщо у нас є 3 яблука, то ціле позитивне число 3 показує кількість яблук, якими ми володіємо. З іншого боку, якщо ми повинні комусь віддати 5 яблук, а у нас їх немає в наявності, то цю ситуацію можна описати за допомогою негативного цілого числа -5. В цьому випадку ми «маємо» -5 яблуками, знак мінус вказує на борг, а число 5 визначає борг кількісно.

Розуміння негативного цілого числа в якості боргу дозволяє, наприклад, обґрунтувати правило складання негативних цілих чисел. Наведемо приклад. Якщо хтось повинен 2 яблука одній людині і одне яблуко - іншому, то загальний борг становить 2 + 1 \u003d 3 яблука, тому -2 + (- 1) \u003d - 3.

Список літератури.

• Виленкин Н.Я. та ін. Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх установ.

Число - абстракція, яка використовується для кількісної характеристики об'єктів. Числа виникли ще в первісному суспільстві в зв'язку з потребою людей рахувати предмети. З плином часу у міру розвитку науки число перетворилося в найважливіше математичне поняття.

Для вирішення завдань і докази різних теорем необхідно розуміти, які бувають види чисел. Основні види чисел включають в себе: натуральні числа, цілі числа, раціональні числа, дійсні числа.

Натуральні числа - це числа, одержувані при природному рахунку предметів, а вірніше при їх нумерації ( «перший», «другий», «третій» ...). Безліч натуральних чисел позначається латинською буквою N (Можна запам'ятати, спираючись на англійське слово natural). Можна сказати що N ={1,2,3,....}

Цілі числа - це числа з безлічі (0, 1, -1, 2, -2, ....). Це безліч складається з трьох частин - натуральні числа, негативні цілі числа (протилежні натуральним числам) і число 0 (нуль). Цілі числа позначаються латинською буквою Z . Можна сказати що Z ={1,2,3,....}.

раціональні числа - це числа, представимо у вигляді дробу, де m - ціле число, а n - натуральне число. Для позначення раціональних чисел використовується латинська буква Q . Всі натуральні і цілі числа - раціональні. Також в якості прикладів раціональних чисел можна привести: ,,.

Дійсні (речові) числа - це числа, яке застосовуються для вимірювання безперервних величин. Безліч дійсних чисел позначається латинською буквою R. Дійсні числа включають в себе раціональні числа і ірраціональні числа. Ірраціональні числа - це числа, які виходять в результаті виконання різних операцій з раціональними числами (наприклад, витяг кореня, обчислення логарифмів), але при цьому не є раціональними. Приклади ірраціональних чисел - це ,,.

Будь-яке дійсне число можна відобразити на числовій прямій:

Для перерахованих вище множин чисел справедливо наступний вислів:

Тобто безліч натуральних чисел входить в безліч цілих чисел. Безліч цілих чисел входить в безліч раціональних чисел. А безліч раціональних чисел входить в безліч дійсних чисел. Це висловлювання можна проілюструвати за допомогою кіл Ейлера.