Тим, хто цікавиться історією теореми Піфагора, яку вивчають у шкільній програмі, буде також цікавий такий факт, як публікація у 1940 році книги з трьохсот сімдесятьма доказами цієї, здавалося б, простої теореми. Але вона інтригувала уми багатьох математиків та філософів різних епох. У книзі рекордів Гіннеса вона зафіксована як теорема з найбільшою кількістю доказів.

Історія теореми Піфагора

Пов'язана з ім'ям Піфагора теорема була відома задовго до народження великого філософа. Так, у Єгипті, при будівництві споруд, враховувалося співвідношення сторін прямокутного трикутникап'ять тисячоліть тому. У вавилонських текстах згадується все те ж співвідношення сторін прямокутного трикутника за 1200 років до народження Піфагора.

Виникає питання, чому тоді говорить історія - поява теореми Піфагора належить йому? Відповідь може бути лише одна - він довів співвідношення сторін у трикутнику. Він зробив те, що століття тому не робили ті, хто просто користувався співвідношенням сторін та гіпотенузи, встановленим досвідченим шляхом.

З життя Піфагора

Майбутній великий учений, математик, філософ народився на острові Самос в 570 році до нашої ери. Історичні документи зберегли відомості про отця Піфагора, який був різьбяром дорогоцінного каміння, А ось про матір відомостей немає. Про хлопчика, що народився, говорили, що це непересічна дитина, що проявила з дитячого віку пристрасть до музики і поезії. До вчителів юного Піфагора історики відносять Гермодаманта та Ферекіда Сіросського. Перший ввів хлопчика у світ муз, а другий, будучи філософом та засновником італійської школи філософії, направив погляд юнака до логосу.

У 22 роки від народження (548 р. до н. е.) Піфагор відправився в Навкратіс для вивчення мови та релігії єгиптян. Далі його шлях лежав до Мемфісу, де завдяки жерцям, пройшовши через їх хитромудрі випробування, він спіткав єгипетську геометрію, яка, можливо, наштовхнула допитливого юнака на доказ теореми Піфагора. Історія надалі припише теоремі саме це ім'я.

У полоні царя Вавилона

Дорогою додому в Елладу, Піфагор потрапляє в полон царя Вавилона. Але знаходження в полоні принесло користь допитливому розуму математика-початківця, йому було чому повчитися. Адже в ті роки математика у Вавилоні була більш розвиненою, ніж у Єгипті. Дванадцять років він провів за вивченням математики, геометрії та магії. І, можливо, саме вавилонська геометрія причетна до доказу співвідношення сторін трикутника та історії відкриття теореми. Піфагор мав для цього достатньо отриманих знань і часу. Але що це сталося у Вавилоні, документального підтвердження чи спростування тому немає.

У 530 р. до н. Піфагор біжить із полону на батьківщину, де мешкає при дворі тирана Полікрата у статусі напівраба. Таке життя Піфагора не влаштовує, і він віддаляється в печери Самоса, а потім вирушає на південь Італії, де на той час була грецька колонія Кротон.

Таємний чернечий орден

На базі цієї колонії Піфагор організував таємний чернечий орден, що представляв собою релігійний союз та наукове суспільство одночасно. Це суспільство мало свій статут, у якому йшлося про дотримання особливого способу життя.

Піфагор стверджував, щоб зрозуміти Бога, людина має пізнати такі науки як алгебра та геометрія, знати астрономію та розуміти музику. Дослідницька робота зводилася до пізнання містичного боку чисел та філософії. Слід зазначити, що проповідовані на той час Піфагором принципи мають сенс у наслідуванні і в даний час.

Багато відкриттів, які робили учні Піфагора, приписувалися йому. Проте, якщо говорити коротко, історія створення теореми Піфагора древніми істориками та біографами того часу, пов'язується безпосередньо з ім'ям цього філософа, мислителя та математика.

Вчення Піфагора

Можливо, на думку про зв'язок теореми з ім'ям Піфагора наштовхнуло істориків висловлювання великого грека, що у горезвісному трикутнику з його катетами та гіпотенузою зашифровано всі явища нашого життя. А цей трикутник є "ключом" до вирішення всіх проблем, що виникають. Великий філософ говорив, що слід побачити трикутник, тоді вважатимуться, що завдання дві третини вирішена.

Про своє навчання Піфагор розповідав лише своїм учням усно, не роблячи жодних записів, тримаючи його в таємниці. На превеликий жаль, вчення найбільшого філософа не збереглося до наших днів. Щось із нього просочилося, але не можна сказати скільки істинного, а скільки хибного в тому, що стало відомо. Навіть із історією теореми Піфагора не все безперечно. Історики математики сумніваються в авторстві Піфагора, на думку теореми користувалися багато століть до народження.

теорема Піфагора

Може здатися дивним, але історичних фактівдокази теореми самим Піфагором немає — ні в архівах, ні в інших джерелах. У сучасній версії вважається, що воно належить нікому іншому, як самому Евкліду.

Є докази одного з найбільших істориків математики Моріца Кантора, який виявив на папірусі, що зберігається в Берлінському музеї, записане єгиптянами приблизно в 2300 до н. е.. рівність, яка гласила: 3? + 4? = 5?.

Коротко з історії теореми Піфагора

Формулювання теореми з евклідових "Початків", у перекладі звучить так само як і в сучасній інтерпретації. Нового в її прочитанні немає: квадрат сторони, що протилежить прямому куту, дорівнює сумі квадратів сторін, прилеглих до прямого кута. Про те, що теоремою користувалися давні цивілізації Індії та Китаю, підтверджує трактат "Чжоу - бі суань цзінь". Він містить відомості про єгипетський трикутник, в якому описано співвідношення сторін як 3:4:5.

Не менш цікавою є ще одна китайська математична книга «Чу-пей», в якій також згадується про піфагоровий трикутник з поясненням і малюнками, що збігаються з кресленнями індуської геометрії Басхари. Про самому трикутнику в книзі написано, що якщо прямий кут можна розкласти на складові частини, тоді лінія, яка з'єднує кінці сторін, дорівнюватиме п'яти, якщо основа дорівнює трьом, а висота дорівнює чотирьом.

Індійський трактат "Сульва сутра", що відноситься приблизно до VII-V століть до н. е., розповідає про побудову прямого кута за допомогою єгипетського трикутника.

Доказ теореми

У середні віки учні вважали доказ теореми надто складною справою. Слабкі учні заучували теореми напам'ять, без розуміння сенсу доказу. У зв'язку з цим вони одержали прізвисько "осли", тому що теорема Піфагора була для них непереборною перешкодою, як для осла міст. У середні віки учні вигадали жартівливий вірш щодо цієї теореми.

Щоб довести теорему Піфагора найлегшим шляхом, слід просто виміряти його сторони, не використовуючи в доказі поняття про площі. Довжина сторони, що протилежить прямому куту - це c, а прилеглі до нього a і b, в результаті отримуємо рівняння: a 2 + b 2 = c 2 . Дане твердження, як говорилося вище, перевіряється шляхом виміру довжин сторін прямокутного трикутника.

Якщо почати доказ теореми з розгляду площі прямокутників, побудованих на сторонах трикутника, можна визначити площу всієї фігури. Вона дорівнює площі квадрата зі стороною (a+b), а з іншого боку, сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2;

a 2 + 2ab + b 2;

c 2 = a 2 + b 2 що і потрібно довести.

Практичне значеннятеореми Піфагора у тому, що з її допомогою можна знайти довжини відрізків, не вимірюючи їх. При будівництві споруд розраховуються відстані, розміщення опор та балок, визначаються центри ваги. Застосовується теорема Піфагора та у всіх сучасних технологіях. Не забули про теорему і під час створення кіно в 3D-6D-вимірюваннях, де крім звичних нам 3-х величин: висоти, довжини, ширини - враховуються час, запах та смак. Як пов'язані з теоремою смаки та запахи – запитаєте ви? Все дуже просто - при показі фільму потрібно розрахувати, куди і які запахи та смаки спрямовувати у залі для глядачів.

Чи то ще буде. Безмежний простір для відкриття та створення нових технологій чекає допитливі уми.

Середній рівень

Прямокутний трикутник. Повний ілюстрований гід (2019)

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК. ПОЧАТКОВИЙ РІВЕНЬ.

У задачах прямий кут зовсім не обов'язково - лівий нижній, так що тобі потрібно навчитися впізнавати прямокутний трикутник і в такому вигляді,

і в такому,

і в такому

Що ж хорошого є у прямокутному трикутнику? Ну..., по-перше, є спеціальні гарні назвидля його сторін.

Увага на малюнок!

Запам'ятай і не плутай: катетів – два, а гіпотенуза – всього одна(Єдина, неповторна і найдовша)!

Ну ось назви обговорили, тепер найважливіше: Теорема Піфагора.

Теорема Піфагора.

Ця теорема - ключик до вирішення багатьох завдань за участю прямокутного трикутника. Її довів Піфагор у незапам'ятні часи, і з того часу вона принесла багато користі тим, хто її знає. А найкраще в ній те, що вона проста.

Отже, Теорема Піфагора:

Пам'ятаєш жарт: «Піфагорові штани на всі боки рівні!»?

Давай намалюємо ці піфагорові штани і подивимося на них.

Щоправда, схоже на якісь шорти? Ну і на які сторони, і де вона рівні? Чому і звідки виник жарт? А жарт цей пов'язаний саме з теоремою Піфагора, точніше з тим, як сам Піфагор формулював свою теорему. А формулював він її так:

«Сума площ квадратів, побудованих на катетах, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі»

Щоправда, трохи по-іншому звучить? І ось, коли Піфагор намалював твердження своєї теореми, якраз і вийшла така картинка.

На цьому малюнку сума площ маленьких квадратів дорівнює площі великого квадрата. А щоб діти краще запам'ятовували, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, хтось дотепний і вигадав цей жарт про Піфагорові штани.

Чому ж ми зараз формулюємо теорему Піфагора

А Піфагор мучився і міркував про майдани?

Розумієш, у давнину не було… алгебри! Не було жодних позначень і таке інше. Не було написів. Уявляєш, як бідним древнім учням було жахливо запам'ятовувати все словами??! А ми можемо радіти, що ми маємо просте формулювання теореми Піфагора. Давай її ще раз повторимо, щоб краще запам'ятати:

Тепер уже має бути легко:

Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Ну ось, найголовнішу теорему про прямокутний трикутник обговорили. Якщо тобі цікаво, як вона доводиться, читай такі рівні теорії, а зараз підемо далі… у темний ліс… тригонометрії! До жахливих слів синус, косинус, тангенс та котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику.

Насправді все зовсім не таке страшно. Звичайно, «справжнє» визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу потрібно дивитися у статті. Але дуже не хочеться, правда? Можемо порадувати: для вирішення задач прямокутного трикутника можна просто заповнити наступні прості речі:

А чому все тільки про кут? Де ж кут? Щоб у цьому розібратися, треба зазначити, як твердження 1 - 4 записуються словами. Дивись, розумій та запам'ятай!

1.
Взагалі звучить це так:

А що ж кут? Чи є катет, який знаходиться навпроти кута, тобто катет, що протилежить (для кута)? Звичайно є! Це катет!

А як же кут? Подивись уважно. Який катет прилягає до кутка? Звісно ж, катет. Значить, для кута катет – прилеглий, та

А тепер, увага! Подивися, що в нас вийшло:

Бачиш, як чудово:

Тепер перейдемо до тангенсу та котангенсу.

Як це тепер записати словами? Катет яким є по відношенню до кута? Протилежним, звісно – він «лежать» навпроти кута. А катет? Прилягає до кутку. Виходить, що в нас вийшло?

Бачиш, чисельник та знаменник помінялися місцями?

І тепер знову кути і здійснили обмін:

Резюме

Давайте коротко запишемо все, що ми дізналися.

Теорема Піфагора:

Головна теорема про прямокутний трикутник - теорема Піфагора.

теорема Піфагора

До речі, чи добре ти пам'ятаєш, що таке катети та гіпотенуза? Якщо не дуже, то дивись на малюнок – освіжай знання

Цілком можливо, що ти вже багато разів використовував теорему Піфагора, а ось чи ти замислювався, чому ж вірна така теорема. Як би її довести? А давай вчинимо, як давні греки. Намалюємо квадрат із стороною.

Бачиш, як хитро ми поділили його сторони на відрізки довжин і!

А тепер з'єднаємо зазначені точки

Тут ми, щоправда, ще дещо відзначили, але ти сам подивися на малюнок і подумай, чому так.

Чому дорівнює площа більшого квадрата? Правильно, . А площа меншого? Звісно, ​​. Залишилася сумарна площа чотирьох куточків. Уяви, що ми взяли їх по два і притулили один до одного гіпотенузами. Що вийшло? Два прямокутники. Отже, площа «обрізків» дорівнює.

Давай тепер зберемо все разом.

Перетворюємо:

Ось і побували ми Піфагором – довели його теорему давнім способом.

Прямокутний трикутник та тригонометрія

Для прямокутного трикутника виконуються такі співвідношення:

Синус гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи

Косинус гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета.

Котангенс гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до протилежного катета.

І ще раз все це у вигляді таблички:

Це дуже зручно!

Ознаки рівності прямокутних трикутників

I. За двома катетами

ІІ. По катету та гіпотенузі

ІІІ. По гіпотенузі та гострому куту

IV. По катету та гострому куту

a)

b)

Увага! Тут дуже важливо, щоб катети були «відповідні». Наприклад, якщо буде так:

То ТРИКУТНИКИ НЕ РІВНІ, незважаючи на те, що мають один однаковий гострий кут.

Потрібно, щоб в обох трикутниках катет був прилеглим, або в обох - протилежним.

Ти помітив чим відрізняються ознаки рівності прямокутних трикутників від звичайних ознак рівності трикутників? Заглянь у тему « і зверни увагу те що, що з рівності « рядових » трикутників потрібна рівність трьох їх елементів: дві сторони і кут з-поміж них, два кута і сторона з-поміж них чи три стороны. А ось для рівності прямокутних трикутників достатньо лише двох відповідних елементів. Здорово, правда?

Приблизно така сама ситуація і з ознаками подоби прямокутних трикутників.

Ознаки подоби прямокутних трикутників

I. По гострому кутку

ІІ. За двома катетами

ІІІ. По катету та гіпотенузі

Медіана у прямокутному трикутнику

Чому це так?

Розглянемо замість прямокутного трикутника цілий прямокутник.

Проведемо діагональ і розглянемо точку – точку перетину діагоналей. Що відомо про діагоналі прямокутника?

І що з цього випливає?

Ось і вийшло, що

1. - медіана:

Запам'ятай цей факт! Дуже допомагає!

А що ще дивовижніше, так це те, що вірне і зворотне твердження.

Що ж хорошого можна отримати з того, що медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи? А давай подивимося на картинку

Подивись уважно. У нас є: тобто відстані від точки до всіх трьох вершин трикутника виявилися рівними. Але в трикутнику є всього одна точка, відстані від якої про всі три вершини трикутника рівні, і це - ЦЕНТР ОПИСАНОГО ОКРУЖЕННЯ. Виходить, що вийшло?

Ось давай ми почнемо з цього «крім того...».

Подивимося на в.

Але у подібних трикутників усі кути рівні!

Те саме можна сказати і про і

А тепер намалюємо це разом:

Яку ж користь можна отримати з цієї «троїстої» подоби.

Ну наприклад - дві формули для висоти прямокутного трикутника.

Запишемо відносини відповідних сторін:

Для знаходження висоти вирішуємо пропорцію та отримуємо першу формулу "Висота у прямокутному трикутнику":

Отже, застосуємо подібність: .

Що тепер вийде?

Знову вирішуємо пропорцію і отримуємо другу формулу:

Обидві ці формули потрібно дуже добре пам'ятати та застосовувати ту, яку зручніше. Запишемо їх ще раз

Теорема Піфагора:

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: .

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

• по двох катетах:
• по катету та гіпотенузі: або
• по катету та прилеглому гострому кутку: або
• по катету та протилежному гострому куту: або
• з гіпотенузи та гострого кута: або.

Ознаки подоби прямокутних трикутників:

• одному гострому кутку: або
• із пропорційності двох катетів:
• з пропорційності катета та гіпотенузи: або.

Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику

• Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:
• Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
• Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого:
• Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного: .

Висота прямокутного трикутника: або.

У прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи: .

Площа прямокутного трикутника:

• через катети:

Потенціал до творчості зазвичай приписують гуманітарним дисциплінам, природно науковим залишаючи аналіз, практичний підхід та суху мову формул та цифр. Математику до гуманітарних предметів ніяк не віднесеш. Але без творчості в «цариці всіх наук» далеко не поїдеш – про це людям відомо з давніх-давен. З часів Піфагора, наприклад.

Шкільні підручники, на жаль, зазвичай не пояснюють, що в математиці важливо не лише зубрити теореми, аксіоми та формули. Важливо розуміти та відчувати її фундаментальні принципи. І при цьому спробувати звільнити свій розум від штампів та абеткових істин – лише в таких умовах народжуються всі великі відкриття.

До таких відкриттів можна віднести і те, що сьогодні ми знаємо як теорему Піфагора. З його допомогою ми спробуємо показати, що математика не тільки може, а й має бути цікавою. І що ця пригода підходить не тільки ботанікам у товстих окулярах, а всім, хто міцний розумом і сильним духом.

З історії питання

Строго кажучи, хоч теорема і називається «теорема Піфагора», сам Піфагор її не відкривав. Прямокутний трикутник та його особливі властивості вивчалися задовго до нього. Є дві полярні погляди на це питання. За однією версією Піфагор першим знайшов повноцінний доказ теореми. За іншим доказом не належить авторству Піфагора.

Сьогодні вже не перевіриш, хто має рацію, а хто помиляється. Відомо лише, що докази Піфагора, якщо вона будь-коли існувало, не збереглося. Втім, висловлюються припущення, що знаменитий доказ із «Початків» Евкліда може належати Піфагору, і Евклід його тільки зафіксував.

Також сьогодні відомо, що завдання про прямокутний трикутник зустрічаються в єгипетських джерелах часів фараона Аменемхета I, на вавилонських глиняних табличках періоду правління царя Хаммурапі, в давньоіндійському трактаті «Сульва сутра» та давньокитайському творі «Чжоубі-су».

Як бачите, теорема Піфагора займала уми математиків з найдавніших часів. Підтвердженням є і близько 367 різноманітних доказів, які існують сьогодні. У цьому з нею не може тягатися жодна інша теорема. Серед знаменитих авторів доказів можна згадати Леонардо да Вінчі та двадцятого президента США Джеймса Гарфілда. Все це говорить про надзвичайну важливість цієї теореми для математики: з неї виводиться або так чи інакше з нею пов'язана більшість теорем геометрії.

Докази теореми Піфагора

У шкільних підручниках переважно наводять алгебраїчні докази. Але суть теореми в геометрії, тож давайте розглянемо насамперед ті докази знаменитої теореми, які спираються на цю науку.

Доказ 1

Для найпростішого доказу теореми Піфагора для прямокутного трикутника потрібно встановити ідеальні умови: нехай трикутник буде не тільки прямокутним, але й рівнобедреним. Є підстави вважати, що саме такий трикутник спочатку розглядали математику давнини.

Твердження "квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах"можна проілюструвати наступним кресленням:

Подивіться на рівнобедрений прямокутний трикутник ABC: На гіпотенузі АС можна побудувати квадрат, що складається з чотирьох трикутників, що дорівнює вихідному АВС. А на катетах АВ і ПС побудовано по квадрату, кожен з яких містить по два аналогічні трикутники.

До речі, це креслення лягло основою численних анекдотів і карикатур, присвячених теоремі Піфагора. Найзнаменитіший, мабуть, це «Піфагорові штани на всі боки рівні»:

Доказ 2

Цей метод поєднує в собі алгебру та геометрію і може розглядатися як варіант давньоіндійського доказу математика Бхаскарі.

Побудуйте прямокутний трикутник зі сторонами a, b і c(Рис.1). Потім збудуйте два квадрати зі сторонами, рівними сумі довжин двох катетів, – (a+b). У кожному із квадратів виконайте побудови, як на рисунках 2 та 3.

У першому квадраті збудуйте чотири таких трикутники, як на малюнку 1. У результаті виходить два квадрати: один зі стороною a, другий зі стороною b.

У другому квадраті чотири побудовані аналогічні трикутники утворюють квадрат зі стороною, що дорівнює гіпотенузі. c.

Сума площ збудованих квадратів на рис.2 дорівнює площі збудованого нами квадрата зі стороною з на рис.3. Це легко перевірити, вирахувавши площі квадратів на рис. 2 за формулою. А площа вписаного квадрата на малюнку 3. шляхом віднімання площ чотирьох рівних між собою вписаних у квадрат прямокутних трикутників із площі великого квадрата зі стороною (a+b).

Записавши все це, маємо: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Розкрийте дужки, проведіть усі необхідні алгебраїчні обчислення та отримайте, що a 2 +b 2 = a 2 +b 2. У цьому площа вписаного на рис.3. квадрата можна обчислити і за традиційною формулою S=c 2. Тобто. a 2 +b 2 =c 2- Ви довели теорему Піфагора.

Доказ 3

Сам же давньоіндійський доказ описаний у XII столітті в трактаті «Вінець знання» («Сіддханта широмані») і як головний аргумент автор використовує заклик, звернений до математичних талантів та спостережливості учнів і послідовників: «Дивись!».

Але ми розберемо цей доказ більш докладно:

Усередині квадрата побудуйте чотири прямокутні трикутники так, як це позначено на кресленні. Сторону великого квадрата, вона ж гіпотенуза, позначимо з. Катети трикутника назвемо аі b. Відповідно до креслення сторона внутрішнього квадрата це (a-b).

Використовуйте формулу площі квадрата S=c 2, щоб обчислити площу зовнішнього квадрата. І одночасно вирахуйте ту ж величину, склавши площу внутрішнього квадрата і площі всіх чотирьох прямокутних трикутників: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Ви можете використовувати обидва варіанти обчислення площі квадрата, щоб переконатися, що вони дадуть однаковий результат. І це дає вам право записати, що c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. В результаті рішення ви отримаєте формулу теореми Піфагора c 2 =a 2 +b 2. Теорему доведено.

Доказ 4

Цей цікавий давньокитайський доказ отримав назву «Стілець нареченої» - через схожу на стілець фігуру, яка виходить в результаті всіх побудов:

У ньому використовується креслення, яке ми вже бачили на рис.3 у другому доказі. А внутрішній квадрат зі стороною з побудований так само, як у давньоіндійському доказі, наведеному вище.

Якщо подумки відрізати від креслення на рис.1 два зелені прямокутні трикутники, перенести їх до протилежних сторін квадрата зі стороною з і гіпотенузами прикласти до гіпотенуз бузкових трикутників, вийде фігура під назвою «стілець нареченої» (рис.2). Для наочності можна те саме зробити з паперовими квадратами і трикутниками. Ви переконаєтеся, що «стілець нареченої» утворюють два квадрати: маленькі зі стороною bі великий зі стороною a.

Ці побудови дозволили давньокитайським математикам і нам слідом за ними дійти висновку, що c 2 =a 2 +b 2.

Доказ 5

Це ще один спосіб знайти рішення для теореми Піфагора, спираючись на геометрію. Називається він "Метод Гарфілда".

Побудуйте прямокутний трикутник АВС. Нам треба довести, що НД 2 =АС 2 +АВ 2.

Для цього продовжіть катет АСта побудуйте відрізок CD, який дорівнює катету АВ. Опустіть перпендикулярний ADвідрізок ED. Відрізки EDі АСрівні. З'єднайте точки Еі У, а також Еі Зі отримайте креслення, як на малюнку нижче:

Щоб довести терему, ми знову вдається до вже випробуваного нами способу: знайдемо площу фігури, що вийшла, двома способами і прирівняємо вирази один до одного.

Знайти площу багатокутника ABEDможна, склавши площу трьох трикутників, які її утворюють. Причому один із них, ЄСВ, не тільки прямокутним, а й рівнобедреним. Не забуваємо також, що АВ = CD, АС = EDі ВС = РЄ– це дозволить нам спростити запис та не перевантажувати його. Отже, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

При цьому очевидно, що ABED- Це трапеція. Тому обчислюємо її площу за формулою: S ABED = (DE + AB) * 1/2AD. Для наших обчислень зручніше та наочніше уявити відрізок ADяк суму відрізків АСі CD.

Запишемо обидва способи обчислити площу фігури, поставивши між ними знак рівності: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Використовуємо вже відому нам та описану вище рівність відрізків, щоб спростити праву частинузапису: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(АВ+АС) 2. А тепер розкриємо дужки і перетворюємо рівність: AB*AC+1/2BC 2 =1/2АС 2 +2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ 2. Закінчивши всі перетворення, отримаємо саме те, що нам треба: НД 2 =АС 2 +АВ 2. Ми довели теорему.

Звісно, ​​цей список доказів далеко не повний. Теорему Піфагора також можна довести за допомогою векторів, комплексних чисел, диференціальних рівнянь, стереометрії тощо. І навіть фізики: якщо, наприклад, в аналогічних представлених на кресленнях квадратні та трикутні обсяги залити рідину. Переливаючи рідину, можна довести рівність площ і саму теорему у результаті.

Пару слів про Піфагорові трійки

Це питання мало чи взагалі не вивчається у шкільній програмі. А тим часом він є дуже цікавим і має велике значенняу геометрії. Піфагорові трійки застосовуються на вирішення багатьох математичних завдань. Уявлення про них може стати вам у нагоді в подальшій освіті.

То що таке Піфагорові трійки? Так називають натуральні числа, зібрані по три, сума квадратів двох з яких дорівнює третьому числу в квадраті.

Піфагорові трійки можуть бути:

• примітивними (всі три числа – взаємно прості);
• не примітивними (якщо кожне число трійки помножити на те саме число, вийде нова трійка, яка не є примітивною).

Ще до нашої ери стародавніх єгиптян заворожувала манія чисел Піфагорових трійок: у завданнях вони розглядали прямокутний трикутник із сторонами 3,4 та 5 одиниць. До речі, будь-який трикутник, сторони якого дорівнюють числам з піфагорової трійки, за замовчуванням є прямокутним.

Приклади Піфагорових трійок: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 48, 50), (30, 40, 50) і т.д.

Практичне застосування теореми

Теорема Піфагора знаходить застосування у математиці, а й у архітектурі та будівництві, астрономії і навіть літературі.

Спочатку про будівництво: теорема Піфагора знаходить у ньому широке застосуванняу завданнях різного рівня складності. Наприклад, подивіться на вікно у романському стилі:

Позначимо ширину вікна як bтоді радіус великого півкола можна позначити як Rі виразити через b: R=b/2. Радіус менших півкола також виразимо через b: r=b/4. У цьому завдання нас цікавить радіус внутрішнього кола вікна (назвемо його p).

Теорема Піфагора якраз і стане в нагоді, щоб обчислити р. Для цього використовуємо прямокутний трикутник, що на малюнку позначений пунктиром. Гіпотенуза трикутника складається із двох радіусів: b/4+p. Один катет є радіусом. b/4, інший b/2-p. Використовуючи теорему Піфагора, запишемо: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Далі розкриємо дужки та отримаємо b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Перетворимо цей вираз на bp/2=b 2 /4-bp. А потім розділимо всі члени на b, наведемо подібні, щоб отримати 3/2*p=b/4. І в результаті знайдемо, що p=b/6- Що нам і потрібно.

За допомогою теореми можна обчислити довжину крокви для двосхилим даху. Визначити, якою висоти вежа мобільного зв'язкупотрібна, щоб сигнал досягав певного населеного пункту. І навіть стійко встановити новорічну ялинкуна міській площі. Як бачите, ця теорема живе не тільки на сторінках підручників, а й часто буває корисною у реальному житті.

Щодо літератури, то теорема Піфагора надихала письменників з часів античності і продовжує це робити в наш час. Наприклад, німецького письменника ХІХ століття Адельберта фон Шаміссо вона надихнула на написання сонета:

Світло істини розсіється не скоро,
Але, засяявши, розсіється навряд
І, як тисячоліття тому,
Не викликає сумнівів і суперечки.

Наймудріші, коли торкнеться погляду
Світло істини, богів дякують;
І сто биків, заколоті, лежать.
Дар у відповідь Пифагора.

З того часу бики відчайдушно ревуть:
Навіки сполошило бичаче плем'я
Подія, згадана тут.

Їм здається: ось-ось настане час,
І знову їх у жертву принесуть
Якийсь великій теоремі.

(Переклад Віктора Топорова)

А в ХХ столітті радянський письменник Євген Велтистов у книзі «Пригоди Електроніка» доказам теореми Піфагора відвів цілий розділ. І ще півголови розповіді про двомірному світі, який міг би існувати, якби теорема Піфагора стала основним законом і навіть релігією окремо взятого світу. Жити в ньому було б набагато простіше, але й набагато нудніше: наприклад, там ніхто не розуміє значення слів «круглий» та «пухнастий».

А ще у книзі «Пригоди Електроніка» автор вустами вчителя математики Таратара каже: «Головне у математиці – рух думки, нові ідеї». Саме цей творчий політ думки породжує теорема Піфагора - не дарма у неї стільки різноманітних доказів. Вона допомагає вийти за межі звичного і на знайомі речі подивитися по-новому.

Висновок

Ця стаття створена, щоб ви могли заглянути за межі шкільної програмиз математики та дізнатися не лише ті докази теореми Піфагора, які наведені у підручниках «Геометрія 7-9» (Л.С. Атанасян, В.М. Руденко) та «Геометрія 7-11» (А.В. Погорєлов), але та інші цікаві способи довести знамениту теорему. А також побачити приклади, як теорема Піфагора може застосовуватись у звичайному житті.

По-перше, ця інформація дозволить вам претендувати на вищі бали на уроках математики – відомості з предмета з додаткових джерел завжди високо оцінюються.

По-друге, нам хотілося допомогти вам відчути, наскільки математика цікава наука. Переконатися на конкретних прикладах, що завжди є місце творчості. Ми сподіваємося, що теорема Піфагора та ця стаття надихнуть вас на самостійні пошуки та хвилюючі відкриття в математиці та інших науках.

Розкажіть нам у коментарях, чи здалися вам наведені у статті докази цікавими. Чи знадобилися вам ці відомості у навчанні. Напишіть нам, що думаєте про теорему Піфагора та цю статтю – нам буде приємно обговорити все це з вами.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Переконайтеся, що цей трикутник є прямокутним, оскільки теорема Піфагора застосовна тільки до прямокутних трикутників. У прямокутних трикутниках один із трьох кутів завжди дорівнює 90 градусам.

• Прямий кут прямокутному трикутнику позначається значком у вигляді квадрата, а не у вигляді кривої, яка позначає непрямі кути.

Позначте сторони трикутника.Катети позначте як "а" і "b" (катети - сторони, що перетинаються під прямим кутом), а гіпотенузу - як "с" (гіпотенуза - найбільша сторона прямокутного трикутника, що лежить навпроти прямого кута).

Визначте, яку сторону трикутника потрібно знайти.Теорема Піфагора дозволяє знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника (якщо відомі дві інші сторони). Визначте, яку сторону (a, b, c) потрібно знайти.

• Наприклад, дана гіпотенуза, що дорівнює 5, і дано катет, що дорівнює 3. У цьому випадку необхідно знайти другий катет. Ми повернемося до цього прикладу пізніше.
• Якщо дві інші сторони невідомі, необхідно знайти довжину однієї з невідомих сторін, щоб мати можливість застосувати теорему Піфагора. Для цього використовуйте основні тригонометричні функції (якщо вам надано значення одного з непрямих кутів).

Підставте у формулу a 2 + b 2 = c 2 дані значення (або знайдені вами значення).Пам'ятайте, що a та b – це катети, а с – це гіпотенуза.

• У прикладі напишіть: 3² + b² = 5².

Зведіть у квадрат кожну відому сторону.Або ж залиште ступеня – ви можете звести числа у квадрат пізніше.

• У прикладі напишіть: 9 + b² = 25.

Відокремте невідому сторону на одній стороні рівняння.Для цього перенесіть відомі значення на інший бік рівняння. Якщо ви знаходите гіпотенузу, то в теоремі Піфагора вона вже відокремлена з одного боку рівняння (тому робити нічого не потрібно).

• У нашому прикладі перенесіть 9 на правий бік рівняння, щоб відокремити невідоме b². Ви отримаєте b? = 16.

Вийміть квадратний корінь з обох частин рівняння після того, як на одній стороні рівняння є невідоме (у квадраті), а на іншій стороні – вільний член (число).

• У прикладі b² = 16. Вийміть квадратний корінь з обох частин рівняння і отримайте b = 4. Таким чином, другий катет дорівнює 4.

Використовуйте теорему Піфагора у повсякденному житті, оскільки її можна застосовувати у великому числіпрактичних ситуацій. Для цього навчитеся розпізнавати прямокутні трикутники у повсякденному житті – у будь-якій ситуації, в якій два предмети (або лінії) перетинаються під прямим кутом, а третій предмет (або лінія) з'єднує (по діагоналі) верхівки двох перших предметів (або ліній), ви можете використовувати теорему Піфагора, щоб знайти невідому сторону (якщо дві інші сторони відомі).

• Приклад: дані сходи, притулені до будівлі. Нижня частина сходів знаходиться за 5 метрів від основи стіни. Верхня частина сходів знаходиться за 20 метрів від землі (вгору по стіні). Яка довжина сходів?
  • "за 5 метрів від основи стіни" означає, що а = 5; «знаходиться за 20 метрів від землі» означає, що b = 20 (тобто вам дано два катети прямокутного трикутника, оскільки стіна будівлі та поверхня Землі перетинаються під прямим кутом). Довжина сходів є довжиною гіпотенузи, яка невідома.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • з = √425
    • з = 20,6. Таким чином, приблизна довжина сходів дорівнює 206 метрів.

(згідно з папірусом 6619 Берлінського музею). На думку Кантора, гарпедонапти, або натягувачі мотузок, будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5.

Дуже легко можна відтворити їхній спосіб побудови. Візьмемо мотузку довжиною в 12 м і прив'яжемо до неї кольоровою смужкою на відстані 3 м від одного кінця і 4 метри від іншого. Прямий кут виявиться ув'язненим між сторонами завдовжки 3 і 4 метри. Гарпедонаптам можна було б заперечити, що їх спосіб побудови стає зайвим, якщо скористатися, наприклад, дерев'яним косинцем, що застосовується всіма теслярами. І справді, відомі єгипетські малюнки, у яких зустрічається такий інструмент, - наприклад, малюнки, що зображують столярну майстерню.

Дещо більше відомо про теорему Піфагора у вавилонян. В одному тексті, що відноситься до часу Хаммурапі, тобто до 2000 до н. е.. наводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника. Звідси можна дійти невтішного висновку, що у Дворіччя вміли проводити обчислення з прямокутними трикутниками, по крайнього заходу у випадках. Грунтуючись, з одного боку, на сьогоднішньому рівні знань про єгипетську та вавілонську математику, а з іншого - на критичному вивченні грецьких джерел, Ван-дер-Варден (голландський математик) зробив висновок про велику ймовірність того, що теорема про квадрат гіпотенузи була відома в Індії близько XVIII століття до зв. е..

Приблизно 400 р. до зв. е., згідно з Проклом, Платон дав метод знаходження піфагорових трійок, що поєднує алгебру та геометрію. Приблизно 300 р. до зв. е.. у «Початках» Евкліда з'явився найстаріший аксіоматичний доказ теореми Піфагора.

Формулювання

Геометричне формулювання:

Спочатку теорема була сформульована наступним чином:

Алгебраїчне формулювання:

Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через , а довжини катетів через і :

Обидві формулювання теореми еквівалентні, але друге формулювання більш елементарне, вона вимагає поняття площі . Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу та вимірявши лише довжини сторін прямокутного трикутника.

Зворотня теорема Піфагора:

Докази

На даний момент у науковій літературі зафіксовано 367 доказів цієї теореми. Ймовірно, теорема Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Таке різноманіття можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.

Зрозуміло, концептуально їх можна розбити на малу кількість класів. Найвідоміші з них: докази методом площ, аксіоматичні та екзотичні докази (наприклад, за допомогою диференціальних рівнянь).

Через подібні трикутники

Наступний доказ алгебраїчної формулювання - найпростіший з доказів, що будуються безпосередньо з аксіом. Зокрема, воно не використовує поняття площі фігури.

Нехай ABCє прямокутний трикутник із прямим кутом C. Проведемо висоту з Cі позначимо її основу через H. Трикутник ACHподібний до трикутника ABCпо двох кутах. Аналогічно трикутник CBHподібний ABC. Ввівши позначення

отримуємо

Що еквівалентно

Склавши, отримуємо

, що і потрібно було довести

Докази методом площ

Нижче наведені докази, незважаючи на їхню простоту, зовсім не такі прості. Всі вони використовують властивості площі, докази яких складніші за доказ самої теореми Піфагора.

Доказ через рівнодоповнюваність

1. Розташуємо чотири рівні прямокутні трикутники так, як показано на малюнку 1.
2. Чотирикутник зі сторонами cє квадратом, тому що сума двох гострих кутів 90 °, а розгорнутий кут - 180 °.
3. Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку, площі квадрата зі стороною (a+b), з другого боку, сумі площ чотирьох трикутників і площі внутрішнього квадрата.

Що і потрібно було довести.

Доказ Евкліда

Ідея доказу Евкліда полягає в наступному: спробуємо довести, що половина площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, а тоді площі великого і двох малих квадратів рівні.

Розглянемо креслення зліва. На ньому ми побудували квадрати на сторонах прямокутного трикутника і провели з вершини прямого кута С промінь перпендикулярно до гіпотенузи AB, він розсікає квадрат ABIK, побудований на гіпотенузі, на два прямокутники - BHJI і HAKJ відповідно. Виявляється, що площі даних прямокутників точно рівні площам квадратів, побудованих на відповідних катетах.

Спробуємо довести, що площа квадрата DECA дорівнює площі прямокутника AHJK Для цього скористаємося допоміжним спостереженням: Площа трикутника з тією самою висотою та основою, що і даний прямокутник дорівнює половині площі заданого прямокутника. Це наслідок визначення площі трикутника як половини добутку основи висоту. З цього спостереження випливає, що площа трикутника ACK дорівнює площі трикутника AHK (не зображеного на малюнку), яка, у свою чергу, дорівнює половині площі прямокутника AHJK.

Доведемо тепер, що площа трикутника ACK також дорівнює половині площі квадрата DECA. Єдине, що необхідно для цього зробити, - це довести рівність трикутників ACK і BDA (оскільки площа трикутника BDA дорівнює половині площі квадрата за вказаною вище властивістю). Рівність ця очевидна: трикутники рівні з обох боків і розі між ними. Саме - AB=AK, AD=AC - рівність кутів CAK і BAD легко довести методом руху: повернемо трикутник CAK на 90° проти годинникової стрілки, тоді очевидно, що відповідні сторони двох трикутників, що розглядаються, збігаються (через кут при вершині квадрата - 90 °).

Міркування про рівність площ квадрата BCFG і прямокутника BHJI абсолютно аналогічне.

Тим самим було доведено, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, складається з площ квадратів, побудованих на катетах. Ідея цього доказу додатково проілюстрована за допомогою анімації, яка розташована вище.

Доказ Леонардо да Вінчі

Головні елементи доказу – симетрія та рух.

Розглянемо креслення, як видно з симетрії, відрізок розсікає квадрат на дві однакові частини (оскільки трикутники і рівні по побудові).

Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки навколо крапки, ми вбачаємо рівність заштрихованих фігур і.

Тепер ясно, що площа заштрихованої нами фігури дорівнює сумі половин площ маленьких квадратів (побудованих на катетах) та площі вихідного трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі великого квадрата (побудованого на гіпотенузі) плюс площа вихідного трикутника. Таким чином, половина суми площ маленьких квадратів дорівнює половині площі великого квадрата, а отже сума площ квадратів, побудованих на катетах, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі.

Доказ методом нескінченно малих

Наступний доказ за допомогою диференціальних рівнянь часто приписують відомому англійському математику Харді, який жив у першій половині XX ст.

Розглядаючи креслення, показане на малюнку, і спостерігаючи зміну сторони a, ми можемо записати наступне співвідношення для нескінченно малих прирощень сторін зі a(використовуючи подобу трикутників):

Користуючись методом поділу змінних, знаходимо

Більше загальний вираз зміни гіпотенузи у разі прирощень обох катетов

Інтегруючи дане рівняння та використовуючи початкові умови, отримуємо

Таким чином, ми приходимо до бажаної відповіді

Як неважко бачити, квадратична залежність у остаточній формулі з'являється завдяки лінійній пропорційності між сторонами трикутника та прирощеннями, тоді як сума пов'язана з незалежними вкладами від прирощення різних катетів.

Простіший доказ можна отримати, якщо вважати, що один з катетів не відчуває збільшення (в даному випадку катет). Тоді для константи інтегрування отримаємо

Варіації та узагальнення

Подібні геометричні фігури на трьох сторонах

Узагальнення для подібних трикутників, площа зелених фігур A + B = площі синій C

Теорема Піфагора з використанням подібних прямокутних трикутників

Узагальнення теореми Піфагора зробив Евклід у своїй роботі Початок, розширивши площі квадратів на сторонах до площ подібних геометричних фігур :

Якщо побудувати подібні геометричні фігури (див. Евклідова геометрія) на сторонах прямокутного трикутника, тоді сума двох менших фігур дорівнюватиме площі більшої фігури.

Головна ідея цього узагальнення полягає в тому, що площа подібної геометричної фігури є пропорційною квадрату будь-якого свого лінійного розміру і зокрема квадрату довжини будь-якої сторони. Отже, для подібних фігур із майданами A, Bі Cпобудованих на сторонах із довжиною a, bі c, маємо:

Але, за теоремою Піфагора, a 2 + b 2 = c 2 , тоді A + B = C.

І навпаки, якщо ми зможемо довести, що A + B = Cдля трьох подібних геометричних фігур без використання теореми Піфагора тоді ми зможемо довести саму теорему, рухаючись у зворотному напрямку. Наприклад, стартовий центральний трикутник може бути повторно використаний як трикутник Cна гіпотенузі, і два подібні прямокутні трикутники ( Aі B), побудовані на двох інших сторонах, які утворюються внаслідок розподілу центрального трикутника його заввишки. Сума двох менших площ трикутників тоді, очевидно, дорівнює площі третього, таким чином A + B = Cі, виконуючи попереднє доказування у зворотному порядку, отримаємо теорему Піфагора a 2 + b 2 = c 2 .

Теорема косінусів

Теорема Піфагора – це окремий випадокбільш загальної теореми косінусів, яка пов'язує довжини сторін у довільному трикутнику:

де θ - кут між сторонами aі b.

Якщо θ дорівнює 90 градусів, тоді cos θ = 0 і формула спрощується до нормальної теореми Піфагора.

Довільний трикутник

У будь-який вибраний кут довільного трикутника зі сторонами a, b, cвпишемо рівнобедрений трикутник таким чином, щоб рівні кути при його основі θ дорівнювали обраному куту. Припустимо, що вибраний кут θ розташований навпроти сторони, позначеної c. В результаті ми отримали трикутник ABD з кутом θ, що розташований навпроти сторони aі сторони r. Другий трикутник утворюється кутом θ, що розташований навпроти сторони bі сторони здовжиною s, як показано на малюнку. Сабіт Ібн Курра стверджував, що сторони у цих трьох трикутниках пов'язані таким чином:

Коли кут θ наближається до π/2, основа рівнобедреного трикутника зменшується і дві сторони r і s перекривають один одного все менше і менше. Коли θ = π/2, ADB перетворюється на прямокутний трикутник, r + s = cі одержуємо початкову теорему Піфагора.

Розглянемо один із аргументів. Трикутник ABC має такі ж кути, як і трикутник ABD, але у зворотному порядку. (Два трикутники мають загальний кут при вершині B, обидва мають кут θ і мають однаковий третій кут, за сумою кутів трикутника) Відповідно, ABC - подібний до відображення ABD трикутника DBA, як показано на нижньому малюнку. Запишемо співвідношення між протилежними сторонами та прилеглими до кута θ,

Так само відображення іншого трикутника,

Перемножимо дроби і додамо ці два співвідношення:

що і потрібно було довести.

Узагальнення для довільних трикутників через паралелограми

Узагальнення для довільних трикутників,
площа зеленого ділянки = площісинього

Доказ тези, що на малюнку вище

Зробимо подальше узагальнення для непрямокутних трикутників, використовуючи паралелограми на трьох сторонах замість квадратів. (квадрати - окремий випадок.) Верхній малюнок демонструє, що для гострокутного трикутника площа паралелограма на довгій стороні дорівнює сумі паралелограмів на двох інших сторонах, за умови що паралелограм на довгій стороні побудований, як зображено на малюнку (розміри, зазначені стрілками, однакові боку нижнього паралелограма). Ця заміна квадратів паралелограмами має чітку подібність до початкової теореми Піфагора, вважається, що її сформулював Папп Олександрійський в 4 р. н. е..

Нижній малюнок показує перебіг доказу. Подивимося на ліву сторону трикутника. Лівий зелений паралелограм має таку ж площу, як ліва частина синього паралелограма, тому що вони мають таку ж основу bта висоту h. Крім того, лівий зелений паралелограм має таку ж площу, як лівий зелений паралелограм на верхньому малюнку, тому що вони мають загальна основа(верхня ліва сторона трикутника) та загальну висоту, перпендикулярну до цієї сторони трикутника. Аналогічно міркуючи для правої сторони трикутника, доведемо, що нижній паралелограм має таку ж площу, як у двох зелених паралелограмів.

Комплексні числа

Теорему Піфагора використовують, щоб знайти відстань між двома точками в декартовій координатній системі і ця теорема справедлива для всіх істинних координат: відстань sміж двома точками ( a, b) та ( c, d) одно

Не виникає проблем із формулою, якщо до комплексних чисел ставитися як до векторів із дійсними компонентами x + i y = (x, y). . Наприклад, відстань sміж 0 + 1 iта 1 + 0 iрозраховуємо як модуль вектора (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), або

Проте, для операцій із векторами з комплексними координатами необхідно провести певне удосконалення формули Піфагора. Відстань між точками з комплексними числами ( a, b) та ( c, d); a, b, c, і dвсі комплексні, сформулюємо, використовуючи абсолютні величини. Відстань sзаснований на векторній різниці (a − c, b − d) у наступному вигляді: нехай різниця a − c = p+ i q, де p- дійсна частина різниці, q- уявна частина, і i = √(−1). Аналогічно, хай b − d = r+ i s. Тоді:

де - це комплексне сполучене число для . Наприклад, відстань між точками (a, b) = (0, 1) і (c, d) = (i, 0) , розрахуємо різницею (a − c, b − d) = (−i, 1) і в результаті ми отримали б 0, якби не були використані комплексні пов'язані. Отже, використовуючи вдосконалену формулу, отримаємо

Модуль визначено так:

Стереометрія

Значним узагальненням теореми Піфагора для тривимірного простору є теорема де Гуа, названа на честь Ж.-П. де Гуа: якщо тетраедр має прямий кут (як у кубі), тоді квадрат площі грані, що лежить навпроти прямого кута, дорівнює сумі квадратів площ інших трьох граней. Цей висновок може бути узагальнено як « n-мірна теорема Піфагора»:

Теорема Піфагора у тривимірному просторі пов'язує діагональ AD із трьома сторонами.

Інше узагальнення: Теорема Піфагора може бути використана для стереометрії в наступному вигляді. Розглянемо прямокутний паралелепіпед, як показано на малюнку. Знайдемо довжину діагоналі BD за теоремою Піфагора:

де три сторони утворюють прямокутний трикутник. Використовуємо горизонтальну діагональ BD та вертикальне ребро AB, щоб знайти довжину діагоналі AD, для цього знову використовуємо теорему Піфагора:

або, якщо все записати одним рівнянням:

Цей результат - це тривимірне вираз визначення величини вектора v(Діагональ AD), вираженого через його перпендикулярні складові ( v k) (три взаємно перпендикулярні сторони):

Це рівняння можна як узагальнення теореми Піфагора для багатовимірного простору. Проте, результат насправді не що інше, як неодноразове застосування теореми Піфагора до послідовності прямокутних трикутників в послідовно перпендикулярних площинах.

Векторний простір

У разі ортогональної системи векторів має місце рівність, яку теж називають теоремою Піфагора:

Якщо - це проекції вектора на координатні осі, то ця формула збігається з відстанню Евкліда - і означає, що довжина вектора дорівнює кореню квадратної суми квадратів його компонентів.

Аналог цієї рівності у разі нескінченної системи векторів має назву рівності Парсеваля.

Неєвклідова геометрія

Теорема Піфагора виводиться з аксіом геометрії евклідової і, фактично, не дійсна для неевклідової геометрії, в тому вигляді, в якому записана вище. (Тобто теорема Піфагора виявляється своєрідним еквівалентом постулату Евкліда про паралельність) Іншими словами, у неевклідовій геометрії співвідношення між сторонами трикутника обов'язково буде у формі, відмінної від теореми Піфагора. Наприклад, у сферичній геометрії всі три сторони прямокутного трикутника (скажімо a, bі c), які обмежують собою октант (восьму частину) одиничної сфери, мають довжину π/2, що суперечить теоремі Піфагора, тому що a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Розглянемо тут два випадки неевклідової геометрії – сферична та гіперболічна геометрія; в обох випадках, як і для евклідового простору для прямокутних трикутників, результат, який замінює теорему Піфагора, випливає з теореми косінусів.

Однак, теорема Піфагора залишається справедливою для гіперболічної та еліптичної геометрії, якщо вимогу про прямокутність трикутника замінити умовою, що сума двох кутів трикутника має дорівнювати третьому, скажімо A+B = C. Тоді співвідношення між сторонами виглядає так: сума площ кіл з діаметрами aі bдорівнює площі кола з діаметром c.

Сферична геометрія

Для будь-якого прямокутного трикутника на сфері радіусом R(наприклад, якщо кут γ у трикутнику прямий) зі сторонами a, b, cспіввідношення між сторонами матиме такий вигляд:

Ця рівність може бути виведена як особливий випадок сферичної теореми косінусів, яка справедлива для всіх сферичних трикутників:

де cosh – це гіперболічний косинус. Ця формула є окремим випадком гіперболічної теореми косінусів, яка справедлива для всіх трикутників:

де γ - це кут, вершина якого протилежна стороні c.

де g ijназивається метричним тензором. Він може бути функцією позиції. Такі криволінійні простори включають Ріманову геометрію як загальний приклад. Це формулювання також підходить для Евклідова простору при застосуванні криволінійних координат. Наприклад, для полярних координат:

Векторний витвір

Теорема Піфагора пов'язує два вирази величини векторного твору. Один із підходів до визначення векторного твору вимагає, щоб він задовольняв рівняння:

у цій формулі використовується скалярний твір. Права сторона рівняння називається детермінант Грама для aі bщо дорівнює площі паралелограма, утвореного цими двома векторами. Виходячи з цієї вимоги, а також вимоги про перпендикулярність векторного твору до його складових aі bслід, що, крім тривіальних випадків з 0- і 1-мерного простору, векторне твір визначено лише у трьох і семи вимірах. Використовуємо визначення кута в n-мірному просторі:

ця властивість векторного твору дає його величину в такому вигляді:

Через фундаментальне тригонометрична тотожністьПіфагора отримуємо іншу форму запису його величини:

Альтернативний підхід до визначення векторного твору використовує вираз його величини. Тоді, розмірковуючи у зворотному порядку, отримуємо зв'язок із скалярним твором:

Див. також

Примітки

1. History topic: Pythagoras's theorem in Babylonian математики
2. ( , С. 351) С. 351
3. ( , Vol I, p. 144)
4. Обговорення історичних фактів наведено в ( , С. 351) С. 351
5. Kurt Von Fritz (Apr., 1945). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics, Second Series(Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
6. Льюїс Керрол, "Історія з вузликами", М., Світ, 1985, с. 7
7. Asger Aaboe Episodes from the early history of mathematics . - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
8. Pythagorean Proposition Elisha Scott Loomis
9. Euclid’s Elements: Book VI, Proposition VI 31: «У правій-залицяючій ланцюжку фігура на стороні підтримує праву янгу є еквівалентною для подібних і подібних позначених зображень на сторінках, розташованої в правій янглі.»
10. Lawrence S. Leff cited work. - Barron"s Educational Series. - P. 326. - ISBN 0764128922
11. Howard Whitley Eves§4.8:...generalization of Pythagorean theorem // Great moments in mathematics (before 1650) . - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
12. Tâbit ibn Qorra (full name Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 AD) був фізичним життям в Baghdad, який простіше на Euclid's Elements and other mathematic
13. Aydin Sayili (Mar. 1960). «Thabit ibn Qurra» з Generalization of the Pythagorean Theorem». Isis 51 (1): 35-37. DOI: 10.1086/348837.
14. Judith D. Sally, Paul Sally Exercise 2.10 (ii) // Cited work. – P. 62. – ISBN 0821844032
15. Для details of such a construction, viz George Jennings Figure 1.32: Generalized Pythagorean theorem // Modern geometry with applications: with 150 figures . - 3rd. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy Item C: Norm for an arbitrary n-tuple ... / / An introduction to analysis. - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 See also pages 47-50.
17. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Modern differential geometry curves and surfaces with Mathematica . - 3rd. – CRC Press, 2006. – P. 194. – ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia Matrix analysis. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W. Hawking cited work. – 2005. – P. 4. – ISBN 0762419229
20. Eric W. Weisstein CRC concise encyclopedia of mathematics. - 2nd. – 2003. – P. 2147. – ISBN 1584883472
21. Alexander R. Pruss