Висловлення - більш складне утворення, ніж ім'я. При розкладанні висловлювань на більш прості частини ми завжди отримуємо ті чи інші імена. Скажімо, висловлювання «Сонце є зірка» включає в якості своїх частин імена «Сонце» і «зірка».

висловлювання- граматично правильна пропозиція, взяте разом з висловлюваним їм змістом (змістом) і що є істинним чи хибним.

Поняття висловлювання - одне з вихідних, ключових понять логіки. Як таке воно не допускає точного визначення, в рівній мірі застосовні в різних її розділах.

Висловлення вважається дійсним, якщо дається їм опис відповідає реальній ситуації, і хибним - якщо не відповідає їй. «Істина» і «брехня» називаються «істиннісними значеннями висловлювань».

З окремих висловлювань різними способамиможна будувати нові висловлювання.

Наприклад, з висловлювання «Дме вітер» і «Йде дощ» можна утворити більш складні висловлювання «Дме вітер, і йде дощ», «Або дме вітер, або йде дощ», «Якщо йде дощ, то дме вітер» і т. П .

висловлення називається простим,якщо воно не включає інших висловлюванні як своїх частин.

висловлення називаетсо я складним, Якщо воно отримано за допомогою логічних зв'язок з інших більш простих висловлювань.

Розглянемо найбільш важливі способипобудови складних висловлювань.

негативне висловлюванняскладається з вихідного висловлювання і заперечення, що виражається зазвичай словами «не», «невірно, що». Негативне висловлювання є, таким чином, складним висловлюванням: воно включає в якості своєї частини відмінне від нього висловлювання. Наприклад, запереченням висловлювання «10 - парне число» є вислів «10 не їсти парне число» (або: «Невірно, що 10 є парне число»).

Позначимо висловлювання буквами А, В, С, ... Повний зміст поняття заперечення висловлювання задається умовою: якщо висловлювання А істинно, його заперечення брехливо, і якщо А помилково, його заперечення істинно. Наприклад, так як висловлювання «1 є ціле позитивне число» істинно, його заперечення «1 не є цілим позитивним числом» помилково, а так як «1 є просте число» помилково, його заперечення «1 цієї статті не є просте число» істинно.

З'єднання двох висловлювань за допомогою слова «і» дає складне висловлювання, зване кон'юнкція. Висловлювання, що з'єднуються таким чином, називаються «членами кон'юнкції».

Наприклад, якщо висловлювання «Сьогодні спекотно» і «Вчора було холодно» з'єднати таким способом, вийде кон'юнкція «Сьогодні спекотно і вчора було холодно».

Кон'юнкція істинна тільки в разі, коли обидва входять до неї висловлювання є істинними; якщо хоча б один з її членів хибна, то і вся кон'юнкція помилкова.

У звичайній мові два висловлювання з'єднуються союзом «і», коли вони пов'язані між собою за змістом, або змістом. Характер зв'язку з цим не цілком ясний, але зрозуміло, що ми не розглядали б кон'юнкцію «Він йшов в пальто, і я йшов до університету» як вираз, що має сенс і здатне бути істинним або хибним. Хоча висловлювання «2 - просте число» і «Москва - велике місто» істинні, ми не схильні вважати істинної також їх кон'юнкцію «2 - просте число, і Москва - велике місто», оскільки складові її висловлювання не пов'язані між собою за змістом. Спрощуючи значення кон'юнкції і інших логічних зв'язок і відмовляючись для цього від неясного поняття «зв'язок висловлювань за змістом», логіка робить значення цих зв'язок одночасно і більш широким, і більш ясним.

З'єднання двох висловлювань за допомогою слова «або» дає диз'юнкціюцих висловлювань. Висловлювання, що утворюють диз'юнкцію, називаються «членами диз'юнкції» .

Слово «або» в повсякденній мові має два різних сенсу. Іноді воно означає «одне або інше або обидва», а іноді «одне або інше, але не обидва разом». Наприклад, висловлювання «У цьому сезоні я хочу піти на" Пікову даму "або на" Аїду "» допускає можливість дворазового відвідування опери. У висловлюванні «Він вчиться в Московському або Ярославському університеті» мається на увазі, що згадуваний людина вчиться тільки в одному з цих університетів.

Перший сенс «або» називається невиключає.Узята в цьому сенсі диз'юнкція двох висловлювань означає, що принаймні одне з цих висловлювань істинно, незалежно від того, істинні вони обидва чи ні. Узята в другому, виключає, Або строгому, сенсі диз'юнкція двох висловлювань стверджує, що одне з висловлювань істинно, а друге - хибне.

Невиключає диз'юнкція істинна, коли хоча б одне з вхідних в неї висловлювань істинно, і помилкова, тільки коли обидва її члена помилкові.

Виключає диз'юнкція істинна, коли істинним є тільки один з її членів, і вона помилкова, коли обидва її члена правдиві або обидва хибні.

У логіці і математиці слово «або» майже завжди вживається в невиключає значенні.

Умовне висловлювання -складне висловлювання, формулируемое зазвичай за допомогою зв'язки «якщо ..., то ...» і встановлює, що одна подія, стан і т. п. є в тому чи іншому сенсі підставою або умовою для іншого.

Наприклад: «Якщо є вогонь, тобто дим», «Якщо число ділиться на 9, воно ділиться на 3» і т. П.

Умовне висловлювання складається з двох більш простих висловлювань. Те з них, якому предпослано слово «якщо», називається підставою,або антецедентом(Попереднім), висловлювання, що йде після слова «то», називається наслідком,або консеквентом(Наступним).

Стверджуючи умовне висловлювання, ми перш за все маємо на увазі, що не може бути так, щоб те, про що йдеться в його підставі, мало місце, а те, про що йдеться в слідстві, було відсутнє. Іншими словами, не може статися, щоб антецедент був справжнім, а консеквент - хибним.

У термінах умовного висловлювання зазвичай визначаються поняття достатнього і необхідного умови: антецедент (підстава) є достатня умова для консеквента (слідства), а консеквент - необхідна умовадля антецедента. Наприклад, істинність умовного висловлювання «Якщо вибір раціональний, то вибирається найкраща з наявних альтернатив» означає, що раціональність - достатня підстава для обрання кращої з наявних можливостей і що вибір такої можливості є необхідною умовою його раціональності.

Типовою функцією умовного висловлювання є обгрунтування одного висловлювання посиланням на інше висловлювання. Наприклад, те, що срібло електропровідні, можна обґрунтувати посиланням на те, що воно метал: «Якщо срібло - метал, воно електропровідні».

Відображену умовним висловленням зв'язок обгрунтовує і обгрунтовуваного (підстави і слідства) важко охарактеризувати в Загалом вигляді, І тільки іноді природа її відносно ясна. Цей зв'язок може бути, по-перше, зв'язком логічного слідування, що має місце між посилками і укладанням правильного умовиводу ( «Якщо все живі багатоклітинні істоти смертні, а медуза є такою істотою, то вона смертна»); по-друге, законом природи ( «Якщо тіло піддати тертя, воно почне нагріватися»); витратах, причинного зв'язком ( «Якщо Місяць у молодика знаходиться у вузлі своєї орбіти, настає сонячне затемнення»); По-четверте, соціальної закономірністю, правилом, традицією ( «Якщо змінюється суспільство, змінюється також людина», «Якщо рада розумний, він повинен бути виконаний») і т. п.

Зі зв'язком, яка виражається умовним висловленням, зазвичай з'єднується переконання, що слідство з певною необхідністю «випливає» з підстави і що є деякий загальний закон, зумівши сформулювати який, ми могли б логічно вивести слідство з підстави.

Наприклад, умовне висловлювання «Якщо вісмут - метал, він пластичний» як би передбачає загальний закон «Всі метали пластичні», робить консеквент даного висловлювання логічним наслідком його антецедента.

І в звичайній мові, і в мові науки умовне висловлювання крім функції обгрунтування може виконувати також ряд інших завдань: формулювати умова, не пов'язане з какимлибо мається на увазі загальним закономабо правилом ( «Якщо захочу, розріжу свій плащ»); фіксувати якусь послідовність ( «Якщо минуле літо було сухим, то в цьому році воно дощове»); висловлювати в своєрідній формі невіра ( «Якщо ви вирішите це завдання, я доведу велику теорему Ферма»); протиставлення ( «Якщо в городі росте бузина, то в Києві живе дядько») і т. п. Численність і різнорідність функцій умовного висловлювання істотно ускладнює його аналіз.

Вживання умовного висловлювання пов'язане з певними психологічними факторами. Зазвичай ми формулюємо таке висловлювання, тільки якщо не знаємо з певністю, істинні чи ні його антецедент і консеквент. В інакшейого вживання здається неприродним ( «Якщо вата - метал, вона електропровідність»).

Умовне висловлювання знаходить дуже широке застосуванняу всіх сферах міркування. У логіці воно видається, як правило, за допомогою импликативного висловлювання, або імплікації. При цьому логіка прояснює, систематизує і спрощує вживання «якщо ..., то ...», звільняє його від впливу психологічних факторів.

Логіка відволікається, зокрема, від того, що характерна для умовного висловлювання зв'язок підстави і слідства в залежності від контексту може виражатися за допомогою не тільки «якщо ..., то ...», а й інших мовних засобів.

Наприклад, «Так як вода рідина, вона передає тиск на всі боки рівномірно», «Хоча пластилін і не метал, він пластичний», «Якби дерево було металом, воно було б електропровідні» і т. П. Ці та подібні висловлювання представляються в мові логіки за допомогою імплікації, хоча вживання в них «якщо ..., то ...» було б не зовсім природним.

Стверджуючи імплікації, ми стверджуємо, що не може статися, щоб її основа мала місце, а наслідок відсутнє. Іншими словами, імплікація є помилковою тільки в тому випадку, коли її підстава істинно, а наслідок ложно.

Це визначення передбачає, як і попередні визначення зв'язок, що будь-яке висловлювання є або істинним, або хибним і що истинностное значення складного висловлювання залежить тільки від істиннісних значень складових його висловлювань і способу їх зв'язку.

Імплікація істинна, коли і її підстава, і її наслідок істинні або помилкові; вона істинна, якщо її підставу помилково, а наслідок істинно. Тільки в четвертому випадку, коли підстава істинно, а наслідок ложно, імплікація помилкова.

Импликацией гадки не мав, що висловлювання А і В както пов'язані між собою за змістом. У разі істинності В висловлювання «якщо А, то В» істинно незалежно від того, є А істинним або хибним і пов'язане воно за змістом з В чи ні.

Наприклад, істинним вважаються висловлювання: «Якщо на Сонце є життя, то двічі по два дорівнює чотири», «Якщо Волга - озеро, то Токіо - велике село» і т. П. Умовне висловлення істинно також тоді, коли А помилково, і при цьому опятьтаки байдуже, істинно В чи ні і пов'язане воно за змістом з А чи ні. До істинним відносяться висловлювання: «Якщо Сонце - куб, то Земля - ​​трикутник», «Якщо двічі по два дорівнює п'ять, то Токіо - маленьке місто" і т.п.

У звичайному міркуванні всі ці висловлювання навряд чи будуть розглядатися як такі, що сенс і ще в меншій мірі як справжні.

Хоча імплікація корисна для багатьох цілей, вона не зовсім узгоджується зі звичайним розумінням умовної зв'язку. Імплікація охоплює багато важливих рис логічного поведінки умовного висловлювання, але вона не є разом з тим досить адекватним його описом.

В останні півстоліття були зроблені енергійні спроби реформувати теорію імплікації. При цьому мова йшла не про відмову від описаного поняття імплікації, а про введення поряд з ним іншого поняття, що враховує не тільки істинності значення висловлювань, а й зв'язок їх за змістом.

З импликацией тісно пов'язана еквівалентність, Звана іноді «подвійний импликацией».

еквівалентність- складне висловлювання «А, якщо і тільки якщо В», утворене з висловлювань А і В і розкладається на дві імплікації: «якщо А, то В», і «якщо В, то А». Наприклад: «Трикутник є рівностороннім, якщо і тільки якщо він є Рівнокутні». Терміном «еквівалентність» позначається і зв'язка «..., якщо і тільки якщо ...», за допомогою якої з двох висловлювань утворюється дане складне висловлювання. Замість «якщо і тільки якщо» для цієї мети можуть використовуватися «в тому і тільки в тому випадку, коли», «тоді і тільки тоді, коли» і т. П.

Якщо логічні зв'язки визначаються в термінах істини і брехні, еквівалентність істинна тоді і тільки тоді, коли обидва складових її висловлювання мають один і той же истинностное значення, т. Е. Коли вони обидва істинні і обидва хибні. Відповідно, еквівалентність є помилковою, коли одне з вхідних в неї висловлювань істинно, а інше брехливо.

При розгляді способів утворення складних висловлювань з простих внутрішню будову простих висловлювань до уваги не приймалося. Вони бралися як нерозкладних частинки, що володіють тільки одним властивістю: бути істинними або помилковими. прості висловлювання

не випадково іноді називають атомарними: з них, як з елементарних цеглинок, з допомогою логічних зв'язок «і», «або» і т. п. будуються різноманітні складні ( «молекулярні») висловлювання.

Тепер слід зупинитися на питанні про внутрішню будову, Або внутрішню структуру, самих простих висловлювань: з яких конкретних частин вони складаються і як ці частини пов'язані між собою.

Відразу ж потрібно підкреслити, що прості висловлювання можуть розкладатися на складові частини по-різному. Результат розкладання залежить від мети, заради якої воно здійснюється, т. Е. Від тієї концепції логічного висновку (логічного слідування), в рамках якої аналізуються такі висловлювання.

Особливий інтерес до категоричних висловлювання пояснюється перш за все тим, що з вивчення їх логічних зв'язків почався розвиток логіки як науки. Крім того, висловлювання цього типу широко використовуються в наших міркуваннях. Теорія логічних зв'язків категоричних висловлювань зазвичай іменується силлогистикой.

Наприклад, в висловлюванні «Все динозаври вимерли» динозаврам приписується ознака «бути вимерлими». У судженні «Деякі динозаври літали» здатність літати приписується окремим видам динозаврів. У судженні «Всі років комети не астероїди» заперечується наявність ознаки «бути астероїдом» у кожної з комет. У судженні «Деякі тварини не є травоїдними» заперечується травоїдність деяких тварин.

Якщо відволіктися від кількісної характеристики, що міститься в категоричне висловлюванні і виражається словами «все» і «деякі», то вийде два варіанти таких висловлювань: позитивну і негативну. Їх структура:

«S є Р» і «S не є Р»,

де буква S представляє ім'я того предмета, про який йде мова у висловленні, а буква Р - ім'я ознаки, властивого або не характерного для цього предмету.

Ім'я предмета, про який ідеться в категоричне висловлюванні, називається суб'єктом, А ім'я його ознаки - предикатом. Суб'єкт і предикат називаються термінамикатегоричного висловлювання і з'єднуються між собою зв'язками «є» або «не їсти» ( «є» або «не є» і т. п.). Наприклад, в висловлюванні «Сонце є зірка» термінами є імена «Сонце» і «зірка» (перший з них - суб'єкт висловлювання, другий - його предикат), а слово «є» - зв'язка.

Прості висловлювання типу «S є (не є) Р» називають атрибутивними: у них здійснюється атрибуція (приписування) якогось властивості предмету.

Атрибутивною висловлювань протистоять висловлювання про відносини, в яких встановлюються відносини між двома або більшою кількістю предметів: «Три менше п'яти», «Київ більше Одеси», «Весна краще осені», «Париж знаходиться між Москвою і Нью-Йорка» і т. П. Висловлювання про відносини відіграють істотну роль в науці, особливо в математиці. Вони не зводяться до категоричних висловлювань, оскільки відносини між кількома предметами (такі, як «дорівнює», «любить», «тепліше», «знаходиться між» і т. Д.) Не зводяться до властивостей окремих предметів. Одним із суттєвих недоліків традиційної логіки було те, що вона вважала судження про відносини зводяться до суджень про властивості.

У категоричному висловлюванні не просто встановлюється зв'язок предмета і ознаки, а й дається певна кількісна характеристика суб'єкта висловлювання. У висловлюваннях типу «Все S є (не є) Р» слово «все» означає «кожен з предметів відповідного класу». У висловлюваннях типу «Деякі S є (не є) Р» слово «деякі» вживається в невиключає сенсі і означає «деякі, а може бути все». У виключає сенсі слово «деякі» означає «тільки деякі», або «деякі, але не всі». Різниця між двома смислами цього слова можна продемонструвати на прикладі висловлювання «Деякі зірки є зірки». У невиключає сенсі воно означає «Деякі, а можливо, і всі зірки є зірками» і є, очевидно, істинним. В виключає ж сенсі це висловлювання означає «Лише деякі зірки є зірками» і є явно хибним.

У категоричних висловлюваннях стверджується або заперечується приналежність якихось ознак розглянутих предметів і вказується, чи йде мова про всі ці предмети або ж про деякі з них.

Можливі, таким чином, чотири види категоричних висловлювань:

Всі S є Р - общеутвердительное висловлювання,

Деякі S є Р - частноутвердітельное висловлювання,

Всі S не є Р - общеотріцательное висловлювання,

Деякі S не є Р - частноотріцательное висловлювання.

Категоричні висловлювання можна розглядати як результати підстановки якихось імен в наступні вирази з пробілами (многоточиями): «Все ... є ...», «Деякі ... є ...», «Все ... не є ...» і «Деякі ... не є ...». Кожне з цих виразів є логічною постійною (логічною операцією), що дозволяє з двох імен отримати висловлювання. Наприклад, підставляючи замість крапок імена «літаючі» і «птахи», отримуємо, відповідно, такі висловлювання: «Все літаючі є птахи», «Деякі літаючі є птахи»,

умовиводи

«Все літаючі не їсти птиці» і «Деякі літаючі не їсти птиці». Перше і третє висловлювання є неправдивими, а друге і четверте - істинними.

умовиводи

«По одній краплі води людина, що вміє мислити логічно, може зробити висновок про існування Атлантичного океану або Ніагарського водоспаду, навіть якщо він не бачив ні того ні іншого і ніколи про них не чув ... По нігтях людини, за його рукам, взуття, згину штанів на колінах, по потовщення шкіри на великому і вказівному пальцях, По виразу обличчя і вилоги сорочки - по таким дрібницям неважко вгадати його професію. І можна не сумніватися, що все це, разом узяте, підкаже досвідченому спостерігачеві вірні висновки ».

Це цитата з програмної статті найзнаменитішого в світовій літературі сищікаконсультанта Шерлока Холмса. Виходячи з найдрібніших деталей, Він будував логічно бездоганні ланцюга міркувань і розкривав заплутані злочини, причому часто не виходячи зі своєї квартири на Бейкер-стріт. Холмс використовував створений ним самим дедуктивний метод, що ставить, як вважав його друг доктор Ватсон, розкриття злочинів на грань точної науки.

Звичайно, Холмс дещо перебільшував значення дедукції в криміналістиці, але його міркування про дедуктивний метод зробили свою справу. «Дедукція» зі спеціального та відомого тільки небагатьом терміна перетворилася в загальновживане і навіть модне поняття. Популяризація мистецтва правильного міркування, і перш за все дедуктивного міркування, - не менша заслуга Холмса, ніж всі розкриті ним злочину. Йому вдалося «надати логіці принадність мрії, пробирається крізь кришталевий лабіринт можливих дедукції до єдиного сяючого висновку» (В. Набоков).

Дедукція - це окремий випадокумовиводи.

В широкому сенсі умовивід -логічна операція, в результаті якої з одного або декількох прийнятих тверджень (посилок) виходить нове твердження - висновок (висновок, наслідок).

Залежно від того, чи існує між посилками і укладанням зв'язок логічного слідування, Можна виділити два види умовиводів.

В основі дедуктивного умовиводилежить логічний закон, у силу чого висновок з логічною необхідністю випливає з прийнятих посилок.

Відмінна особливістьтакого умовиводи в тому, що воно від істинних посилок завжди веде до істинного висновку.

В індуктивних умовиводівзв'язок посилок і висновку спирається не на закон логіки, а на деякі фактичні або психологічні підстави, що не мають чисто формального характеру.

В такому умовиводі висновок годі було логічно з посилок і може містити інформацію, відсутню в них. Достовірність посилок не означає тому достовірності виведеного з них індуктивно затвердження. Індукція дає тільки ймовірні, або правдоподібні, Укладення, які потребують подальшої перевірки.

До дедуктивним відносяться, наприклад, такі умовиводи:

Якщо йде дощ, земля мокра. Йде дощ.

Земля мокра.

Якщо гелій - метал, він електропроводів. Гелій НЕ електропроводів.

Гелій не метал.

Риса, що відокремлює посилки від укладення, заміняє, як зазвичай, слово «отже».

Прикладами індукції можуть служити міркування:

Аргентина є республікою; Бразилія - ​​республіка; Венесуела - республіка; Еквадор - республіка.

Аргентина, Бразилія, Венесуела, Еквадор - латиноамериканські держави.

Всі латиноамериканські держави є республіками .

Італія - ​​республіка, Португалія - ​​республіка, Фінляндія - республіка, Франція - республіка.

Італія, Португалія, Фінляндія, Франція - західноєвропейські країни.

Всі західноєвропейські країни є республіками.

Індукція не дає повної гарантії отримання нової істини з вже наявних. Максимум, про який можна говорити, - це певна ступінь ймовірності виведеного затвердження. Так посилки і першого і другого індуктивного умовиводи істинними, але висновок першого з них істинно, а другого - помилково. Дійсно, всі латиноамериканські держави - республіки; але серед західноєвропейських країн є не тільки республіки, але і монархії, наприклад Англія, Бельгія та Іспанія.

умовиводи

Особливо характерними дедукції є логічні переходи від загального знання до часткового, типу:

Всі метали пластичні. Мідь - метал.

Мідь пластична.

У всіх випадках, коли потрібно розглянути якісь явища на підставі вже відомого загального правила і вивести щодо цих явищ необхідне висновок, ми умозаключаем в формі дедукції. Міркування, що ведуть від знання про частину предметів (приватного знання) до знання про всі предмети певного класу (загальному знанню), - це типові індукції. Завжди залишається ймовірність того, що узагальнення виявиться поспішним і необгрунтованим ( «Наполеон - полководець; Суворов - полководець; значить, кожна людина полководець»).

Не можна разом з тим ототожнювати дедукцію з переходом від загального до конкретного, а індукцію - з переходом від часткового до загального.

У міркуванні «Шекспір ​​писав сонети; отже, невірно, що Шекспір ​​не писав сонетів »є дедукція, але немає переходу від загального до приватного. Міркування «Якщо алюміній пластичний або глина пластична, то алюміній пластичний» є, як прийнято думати, індуктивним, але в ньому немає переходу від часткового до загального.

Дедукція - це виведення висновків, настільки ж достовірних, як і прийняті посилки, індукція - виведення ймовірних (правдоподібних) висновків. До індуктивним умовиводів відносяться як переходи від часткового до загального, так і аналогія, методи встановлення причинних зв'язків, підтвердження наслідків, цільове обґрунтування та т. Д.

Той особливий інтерес, який проявляється до дедуктивним умовиводів, зрозумілий. Вони дозволяють із уже наявного знання отримувати нові істини, і до того ж за допомогою чистого міркування, без звернення до досвіду, інтуїції, здоровому глуздуі т. п. Дедукція дає стовідсоткову гарантію успіху, а не просто забезпечує ту чи іншу - можливо, і високу - імовірність істинного висновку. Вирушаючи від істинних посилок і розмірковуючи дедуктивно, ми обов'язково у всіх випадках отримаємо достовірне знання.

Підкреслюючи важливість дедукції в процесі розгортання і обгрунтування знання, не слід, однак, відривати її від індукції і недооцінювати останню. Майже всі загальні положення, включаючи і наукові закони, є результатами індуктивного узагальнення. У цьому сенсі індукція - основа нашого знання. Сама по собі вона не гарантує його істинності й обґрунтованості, але вона породжує припущення, пов'язує їх з досвідом і тим самим надає їм певну правдоподібність, більш-менш високу ступінь ймовірності. Досвід - джерело і фундамент людського знання. Індукція, що відправляється від того, що осягається в досвіді, є необхідним засобом його узагальнення і систематизації.

ЛОГІЧНІ ЗАКОНИ

глава

Поняття логічного закону

Логічні закони складають основу людського мислення. Вони визначають, коли з одних висловлювань логічно випливають інші висловлювання, і являють собою той невидимий залізний каркас, на якому тримається послідовне міркування і без якого воно перетворюється в хаотичну, нескладну речь. Без логічного закону не можна зрозуміти, що таке логічне проходження, а тим самим - що таке доказ.

Правильне, або, як зазвичай кажуть, логічне, мислення, - це мислення за законами логіки, за тими абстрактним схемами, які фіксуються ними. Звідси зрозуміла вся важливість цих законів.

Однорідні логічні закони об'єднуються в логічні системи, які теж зазвичай іменуються «логіками». Кожна з них дає опис логічної структури певного фрагмента, або типу, наших міркувань.

Наприклад, закони, що описують логічні зв'язки висловлювань, які не залежать від внутрішньої структури останніх, об'єднуються в систему, іменовану «логікою висловлювань». Логічні закони, що визначають зв'язку категоричних висловлювань, утворюють логічну систему, яка називається «логікою категоричних висловлювань», або «силлогистикой», і т. Д.

Логічні закони об'єктивні і не залежать від волі і свідомості людини. Вони не є результатом угоди між людьми, деякою спеціально розробленої або стихійно склалася конвенції. Вони не є і породженням якогось «світового духу», як вважав колись Платон. Влада законів логіки над людиною, їх обов'язкова для правильного мислення сила обумовлена ​​тим, що вони представляють відображення в людському мисленні реального світу і багатовікового досвіду його пізнання і перетворення людиною.

Подібно до всіх іншим науковим законам, логічні закони є універсальними і необхідними. Вони діють завжди і скрізь, поширюючись в рівній мірі на всіх людей і на будь-які епохи. представники

Поняття логічного закону

різних наційі різних культур, чоловіки і жінки, стародавні єгиптяни і сучасні полінезійці з точки зору логіки своїх міркувань не відрізняються один від одного.

Властива логічним законам необхідність в якомусь сенсі навіть більш нагальною і непорушна, ніж природна, або фізична, необхідність. Неможливо навіть уявити, щоб логічно необхідне було іншим. Якщо щось суперечить законам природи і є фізично неможливим, то ніякої інженер, при всій його обдарованості, не зможе реалізувати це. Але якщо щось суперечить законам логіки і є логічно неможливим, то не тільки інженер - навіть всемогутня істота, якби воно раптом з'явилося, не змогло б втілити це в життя.

Як вже говорилося раніше, в правильному міркуванні висновок випливає з посилок з логічною необхідністю, і загальна схематакого міркування є логічний закон.

Число схем правильного міркування (логічних законів) нескінченно. Багато з цих схем відомі нам з практики міркування. Ми застосовуємо їх інтуїтивно, не віддаючи собі звіту, що в кожному правильно проведеному нами умовивід використовується той чи інший логічний закон.

Перш ніж ввести загальне поняттялогічного закону, наведемо кілька прикладів схем міркування, що представляють собою логічні закони. Замість змінних А, В, С, ..., використовуваних зазвичай для позначення висловлювань, скористаємося, як це робилося ще в античності, словами «перше» і «друге», замінюють змінні.

«Якщо є перше, тобто друга; Тобто перше; отже, естьвторое ».Ця схема міркування дозволяє від затвердження умовного висловлювання ( «Якщо є перше, тобто друге») і затвердження його заснування ( «Є перше») перейти до твердженням слідства ( «Є друге»). За цією схемою протікає, зокрема, міркування: «Якщо лід нагрівають, він тане; лід нагрівають; отже, він тане ».

Ще одна схема правильного міркування: «Або має місце перше, або друге; Тобто перше; значить, немає другого ».За допомогою цієї схеми від двох взаємовиключних альтернатив і встановлення того, яка з них має місце, здійснюється перехід до заперечення другої альтернативи. Наприклад: «Або Достоєвський народився в Москві, або він народився в Петербурзі. Достоєвський народився в Москві. Значить, не так, що він народився в Петербурзі ». В американському вестерні «Хороший, поганий і злий» один негативний герой каже іншому: «Запам'ятай, світ ділиться на дві частини: на тих, хто тримає револьвер, і тих, хто копає. Револьвер зараз у мене, так що бери лопату ». Це міркування також спирається на зазначену схему.

І останній попередній приклад логічного закону, або загальної схеми правильного міркування: «Має місце перше чи друге. Але першого немає. Значить, має місце друге ».Підставами замість виразу «перше» висловлювання «Зараз день», а замість «другого» - вислів «Зараз ніч». З абстрактної схеми отримуємо міркування: «Зараз день чи зараз ніч. Але невірно, що зараз день.

Значить, зараз ніч ».

Такими є деякі прості схемиправильного міркування, що ілюструють поняття логічного закону. Сотні і сотні подібних схем сидять у нас в голові, хоча ми і не усвідомлюємо цього. Спираючись на них, ми розмірковуємо логічно, чи правильно.

Закон логіки (логічний закон)- вираз, що включає тільки логічні постійні і змінні замість змістовних частин і що є істинним в будь-якій області міркувань.

Візьмемо як приклад висловлювання, що складається тільки з змінних і логічних постійних, вираз: «Якщо А, то В; значить, якщо Неа, то нев ». Логічними постійними тут є пропозіціональние зв'язки «якщо, то» і «не». Змінні А і В представляють якісь висловлювання. Припустимо, А - цей вислів «Є причина», а В - висловлювання «Є слідство». З даним конкретним змістом отримуємо міркування: «Якщо є причина, то є наслідок; значить, якщо немає слідства, то немає і причини ». Припустимо, далі, що замість А підставляється висловлювання «Число ділиться на шість», а замість В - висловлювання «Число ділиться на три». З цим конкретним змістом на основі даної схеми отримуємо міркування: «Якщо число ділиться на шість, воно ділиться на три. Отже, якщо число не ділиться на три, воно не ділиться на шість ». Які б інші висловлювання ні підставлялися замість змінних А і В, якщо ці висловлювання істинними, то і виводиться з них висновок буде істинним.

У логіці зазвичай робиться застереження, що та область об'єктів, про яку ведеться міркування і про яку говорять підставляються в логічний закон висловлювання, не може бути порожньою: в ній повинен бути хоча б один предмет. В іншому випадку міркування за схемою, що представляє собою закон логіки, може вести від істинних посилок до помилкового висновку.

Наприклад, з істинних посилок «Все слони - тварини» і «Все слони мають хобот» за законом логіки випливає справжнє висновок «Деякі тварини мають хобот». Але якщо область об'єктів, про яку йде мова, є марною, дотримання закону логіки не гарантує істинного висновку при істинних посилках. Будемо міркувати за такою ж схемою, але вже про золоті гори. Побудуємо умовивід: «Все золоті гори є гори; всі золоті гори - золоті; отже, деякі гори - золоті ». Обидві посилки цього умовиводи істинними. Але його висновок «Деякі гори - золоті» явно помилково: жодної золотої гори не існує.

Поняття логічного закону

Таким чином, для міркувань, що спираються на закон логіки, характерні дві особливості:

Такі міркування завжди ведуть від істинних посилок до істинного висновку;

Слідство випливає з посилок з логічною необхідністю.

Логічний закон прийнято називати також логічної тавтологією.

логічна тавтологія- вираз, яке залишається істинним, незалежно від того, про які об'єкти йдеться, або «завжди істинне» вираз.

Наприклад, всі результати підстановок в логічний закон подвійного заперечення «Якщо А, то невірно, що неа» є істинними висловлюваннями: «Якщо сажа чорна, то невірно, що вона не є чорною», «Якщо людина тремтить від страху, то невірно, що він не тремтить від страху »і т. д.

Як вже говорилося, поняття логічного закону безпосередньо пов'язано з поняттям логічного прямування: висновок логічно випливає з прийнятих посилок, якщо воно пов'язане з ними логічним законом. Наприклад, з посилок «Якщо А, то В» і «Якщо В, то С» логічно випливає висновок «Якщо А, то С», оскільки вираз «Якщо А, то В, і якщо В, то С, то якщо А , то С »представляє собою логічний закон, а саме закон транзитивності(Перехідності). Скажімо, з посилок «Якщо людина батько, то він батько» і «Якщо людина батько, то він батько або мати» за цим законом випливає наслідок «Якщо людина батько, то він батько або мати».

логічне слідування- відношення між посилками і висновком умовиводу, загальна схема якого є логічний закон.

Оскільки зв'язок логічного слідування спирається на логічний закон, для неї характерні дві особливості:

Логічне слідування веде від істинних посилок тільки до істинного висновку;

Висновок, що випливає з посилок, випливає з них з логічною необхідністю.

Не всі логічні закони безпосередньо визначають поняття логічного слідування. Є закони, що описують інші логічні зв'язки: «і», «або», «невірно, що» і т. Д. І тільки побічно пов'язані зі ставленням логічного слідування. Такий, зокрема, що розглядається далі закон протиріччя: «Невірно, що довільно взяте висловлювання і

Розумні думки приходять лише тоді, коли дурниці вже зроблені.

Тільки ті, хто вживає абсурдні спроби, зможуть досягти неможливого. Альберт Ейнштейн

Хороші друзі, хороші книги і спляча совість - ось ідеальне життя. Марк Твен

Не можна повернутися в минуле і змінити свій старт, але можна стартувати зараз і змінити свій фініш.

При найближчому розгляді мені взагалі стає ясно, що ті зміни, які начебто наступають з ходом часу, по суті ніякі не зміни: змінюється тільки мій погляд на речі. (Франц Кафка)

І хоч велика спокуса по відразу двом йти дорогах, не можна однією колодою карт грати і з дияволом і з Богом ...

Цінуйте тих, з ким можна бути собою.
Без масок, недомовок і амбіцій.
І бережіть їх, вони вам послані долею.
Адже у вашому житті їх - лише одиниці

Для ствердної відповіді достатньо лише одного слова - «так». Всі інші слова придумані, щоб сказати «ні». Дон-Амінадо

Запитай у людини: «Що таке щастя?» і ти дізнаєшся, чого йому найбільше не вистачає.

Якщо хочеш зрозуміти життя, то перестань вірити тому, що говорять і пишуть, а спостерігай і відчувай. Антон Чехов

У світі немає нічого більш руйнівними, нестерпнішим, як бездіяльність і очікування.

Втілюйте свої мрії в реальність, працюйте над ідеями. Ті хто над вами раніше сміялися почнуть заздрити.

Рекорди існують для того, щоб їх бити.

Потрібно не витрачати час, а інвестувати в нього.

Історія людства - це історія досить невеликого числа людей, які повірили в себе.

Довів себе до краю? Чи не бачиш сенсу більше жити? Значить, ти вже близький ... Близьке до вирішення дійти до дна, щоб відштовхнутися від нього і назавжди вирішити бути щасливим .. Так що не бійся дна - використовуй його ....

Якщо ви чесні і відверті, то люди будуть обманювати вас; все одно будьте чесні і відверті.

Людина рідко досягає успіху в чому б то не було, якщо його заняття не приносить йому радості. Дейл Карнегі

Якщо в твоїй душі залишилася хоч одна квітуча гілка, на неї завжди сяде співає птах. (Східна мудрість)

Один із законів життя свідчить, що як тільки закривається одні двері, відкривається інша. Але вся біда в тому, що ми дивимося на зачинені двері і не звертаємо уваги на відкриту. Андре Жид

Не судіть людину, поки не поговорите з ним особисто, тому що все, що ви чуєте - чутки. Майкл Джексон.

Спочатку тебе ігнорують, потім над тобою сміються, потім з тобою борються, потім ти перемагаєш. Махатма Ганді

Людське життя розпадається на дві половини: на протязі першої половини прагнуть вперед до другої, а в перебігу другої назад до першої.

Якщо ти сам нічого не робиш, як тобі можна допомогти? Управляти можна тільки рухомим автомобілем

Все буде. Тільки коли ти вирішиш на це.

У цьому світі можна шукати все, крім любові і смерті ... Вони самі тебе знайдуть, коли прийде час.

Внутрішня задоволеність наперекір навколишнього світу страждань - дуже цінне надбання. Шрідхара Махарадж

Починай вже зараз жити тим життям, яким ти хотів би бачити її в кінці. Марк Аврелій

Треба кожен день жити як в останню мить. У нас не репетиція - у нас життя. Ми не починаємо її з понеділка - ми живемо сьогодні.

Кожне мить життя - ще одна можливість.

Рік по тому ти будеш дивитися на світ іншими очима і навіть це дерево, що росте біля твого будинку, здасться тобі іншим.

Щастя не треба шукати - їм треба бути. Ошо

Майже кожна історія успіху, яка мені відома, починалася з того, що людина лежав горілиць, повержений невдачами. Джим Рон

Кожен довгий шлях починається з одного, з першого кроку.

Ніхто не краще Вас. Ніхто не розумніше Вас. Просто вони почали раніше. Брайан Трейсі

Падає той, хто біжить. Той, хто повзе, не падає. Пліній Старший

Достатньо лише зрозуміти, що живеш в майбутньому, як відразу там і опинишся.

Я вибираю жити, а не існувати. James Alan Hetfield

Коли ти будеш цінувати те, що у тебе є, а не жити в пошуку ідеалів, тоді ти по-справжньому станеш щасливим ..

Про нас думають погано лише ті, хто гірше нас, а ті, хто краще нас, їм просто не до нас. Омар Хайям

Іноді від щастя нас відділяє один дзвінок ... Одна розмова ... Одне визнання ...

Визнаючи свою слабкість, людина стає сильним. Онре Бальзак

Той, хто гамує дух свій, сильніше того, хто підкорює міста.

Коли шанс випадає - треба його вистачати. А коли схопив, домігся успіху - насолоджуйся. Відчуй радість. І нехай навколо все смокчуть у тебе шланг за те, що були козлами, коли не давали за тебе і гроша. А далі - піди. Красиво. І всіх залишити в шоці.

Ніколи не впадайте у відчай. А якщо ви вже впали в розпач, то продовжуйте працювати і в розпачі.

Рішучий крок вперед - результат хорошого стусана ззаду!

У Росії треба бути або відомим або багатим, щоб до тебе ставилися так, як в Європі відносяться до будь-якого. Костянтин Райкін

Все залежить тільки від вашого ставлення. (Чак Норріс)

Ніякі міркування не в змозі вказати людині шлях, якого він не хоче бачити Ромен Роллан

Те, у що ти віриш, стає твоїм світом. Річард Матесон

Там добре, де нас немає. У минулому нас уже немає, і тому воно здається прекрасним. Антон Чехов

Багаті стають ще багатшими тому, що вчаться долати фінансові труднощі. Вони бачать в них можливість вчитися, рости, розвиватися і багатіти.

У кожного своє пекло - це не обов'язково вогонь і смола! Наш пекло - це життя даремно! Куди приводять мрії

Зовсім не важливо як багато ти працюєш, головне результат.

Тільки у мами самі ласкаві руки, найніжніша посмішка і саме любляче серце ...

Переможці по життю завжди думають в дусі: я можу, я хочу, я. Невдахи, навпаки, зосереджують свої розпорошені думки на те, що вони могли б мати, могли б зробити або що вони не можуть робити. Іншими словами, переможці беруть завжди відповідальність на себе, а лузери звинувачують у своїх невдачах обставини або інших людей. Деніс Вейтлі.

Життя - гора піднімаєшся повільно, спускаєшся швидко. Гі де Мопассан

Люди так бояться зробити крок назустріч новому життю, що готові закрити очі на все, що їх не влаштовує. Але це ще страшніше: прокинутися одного і усвідомити, що поруч все не те, не те, не те ... Бернард Шоу

Дружба і довіра не купуються і не продаються.

Завжди, в кожну хвилину свого життя, навіть коли Ви абсолютно щасливі, майте одну установку по відношенню до оточуючих Вас людей: - Я в будь-якому випадку зроблю те, чого хочу, з вами або без Вас.

У світі тільки і можна вибирати між самотністю і вульгарністю. Артур Шопенгауер

Варто тільки інакше поглянути на речі, і життя потече в іншому напрямку.

Залізо так говорило магніту: найбільше я тебе ненавиджу за те, що ти притягуєш, не маючи достатньо сил, щоб тягнути за собою! Фрідріх Ніцше

Умій жити і тоді, коли життя стає нестерпним. Н. Островський

Картина яку ти бачиш у своєму розумі, з часом стане твоїм життям.

«Першу половину життя задаєшся питанням, на що ти здатний, але другу - а кому це потрібно?»

Ніколи не пізно поставити нову мету або знайти нову мрію.

Керуйте своєю долею, або це зробить хтось інший.

красу побачити в негарному,
розгледіти в струмках розливи річок ...
хто вміє в будні бути щасливим,
той і справді щаслива людина! Е. Асадов

У мудреця запитали:

Скільки видів дружби існує?

Чотири - відповів він.
Є друзі, як їжа - кожен день ти потребуєш в них.
Є друзі, як ліки, шукаєш їх, коли тобі погано.
Є друзі, як хвороба, вони самі шукають тебе.
Але є такі друзі, як повітря - їх не видно, але вони завжди з тобою.

Я стану людиною, яким я хочу стати, - якщо я повірю, що я ним стану. Ганді

Відкрийте своє серце і прислухайтеся до того, про що воно мріє. Слідуйте за своєю мрією, тому що тільки через того, хто себе не соромиться, проявиться слава Господня. Пауло Коельо

Бути спростованим - цього побоюватися нічого; побоюватися слід іншого - бути незрозумілим. Іммануїл Кант

Будьте реалістами - вимагайте неможливого! Че Гевара

Не відкладай свої плани, якщо на вулиці дощ.
Чи не відмовляйся від мрії, якщо в тебе не вірять люди.
Іди наперекір природі, людям. Ти особистість. Ти сильний.
І запам'ятай - немає недосяжних цілей - є високий коефіцієнт ліні, недолік кмітливості і запас відмовок.

Або ти створюєш світ, або світ створює тебе. Джек Ніколсон

Я люблю, коли люди посміхаються просто так. Їдеш, наприклад, в автобусі і бачиш, як людина дивиться у вікно або пише смс і посміхається. Так добре стає на душі. І самому хочеться посміхатися.

Навіть під найсуворішою і грубої оболонкою часом ховається ніжна душа і чуйне серце. Стівен Кові

висловлювання заперечення

Серед висловлювань заперечення розрізняють висловлювання з зовнішнім і внутрішнім запереченням. Залежно від завдань дослідження висловлювання заперечення можна розглядати або як просте, або як складне висловлювання.

При розгляді висловлювання заперечення як простого висловлювання важливим завданням є визначення правильної логічної форми висловлювання:

Просте висловлювання, який містить внутрішнє заперечення, прийнято відносити до негативних висловлювань (див. «Види атрибутивних висловлювання за якістю»). Наприклад: « Деякі жителі Республіки Білорусь не користуються банківськими кредитами »,« Жоден заєць не є хижаком »;

Правильної логічної формою простого висловлювання з зовнішнім запереченням є таке, що суперечить даним висловлювання (див. «Логічні відносини між висловлюваннями. Логічний квадрат»). Наприклад: висловлювання «Не всі люди жадібні»відповідає висловлювання «Деякі люди не є жадібними».

Розглядаючи висловлювання заперечення як складне висловлювання, необхідно визначити його логічне значення.

Початкове вислів: Сонце світить(Р).

Висловлення заперечення: Сонце не світить(┐р).

Висловлення подвійного заперечення: Невірно, що сонце не світить(┐┐р).

р	┐р	┐┐р
І	Л	І
Л	І	Л
Мал. 16

Висловлення заперечення істинно лише тоді, коли вихідне висловлення помилкове, і навпаки. З висловлюванням заперечення пов'язаний закон подвійного заперечення: подвійне заперечення довільного висловлювання рівносильно самому цього висловлювання. Умови істинності висловлювання заперечення зображені на рис. 16.

складнимвважається висловлювання, що складається з декількох простих висловлювань, з'єднаних за допомогою логічних спілок «і», «або», «якщо ..., то ...» і т. д. До складних висловлювань відносять сполучні, розділові, умовні, еквівалентні висловлювання, а також висловлювання заперечення.

З'єднувальне висловлювання (сполучення)- це складне висловлювання, яке складається з простих, з'єднаних за допомогою логічної зв'язки «і». Логічний союз «і» (кон'юнкція) може виражатися в природній мові граматичними спілками «і», «але», «проте», «а також» і т. Д. Наприклад: «Набігли хмари, і пішов дощ», «І великі і малі радіють хорошому дня». На символічному мовою логіки дані висловлювання записуються наступним чином: p∧q. Кон'юнкція істинна лише тоді, коли істинні всі її складові прості висловлювання (рис. 17).

Розділову висловлювання (диз'юнкція).Розрізняють слабку і сильну диз'юнкцію. слабкої диз'юнкціївідповідає вживання союзу «або» в сполучно-розділової сенсі (або те, або інше, або те й інше разом). наприклад: «Цей студент спортсмен або відмінник» (p⋁q), «Спадкові фактори, погана екологія і шкідливі звички є причинами більшості захворювань»(p⋁q⋁r). Слабка диз'юнкція істинна тоді, коли істинно хоча б одне з вхідних в її склад простих висловлювань (див. Рис. 17).

сильної диз'юнкціївідповідає вживання союзу «або» в ісключающе-розподільчому сенсі (або те, або інше, але не те й інше разом). наприклад: «Увечері я буду на заняттях або піду на дискотеку», «Людина або живий, або мертвий». символічна запис p⊻q. Сильна диз'юнкція істинна тоді, коли істинно тільки одне з вхідних в її склад простих висловлювань (див. Рис. 17).

Умовне висловлювання (імплікація)- це складне висловлювання, яке складається з двох частин, з'єднаних за допомогою логічного союзу «якщо ..., то ...». Висловлювання, що стоїть після частки «якщо», називають підставою, а висловлювання, яке стоїть після «то» - наслідком. При логічному аналізі умовних висловлювань підставу імплікації завжди ставиться спочатку. У природній мові це правило часто порушується. Приклад умовного висловлювання: «Якщо ластівки низько літають, то буде дощ» (p → q). Імплікація помилкова лише в одному випадку, коли її підстава істинно, а наслідок - хибно (див. Рис. 17).

еквівалентну висловлювання- цей вислів, що складається з простих, з'єднаних за допомогою логічного союзу «тоді і тільки тоді, коли» ( «якщо і тільки якщо ..., то ...). У еквівалентному висловлюванні мається на увазі одночасне наявність або відсутність двох ситуацій. У природній мові еквіваленція може виражатися граматичними спілками «якщо ..., то ...», «лише в тому випадку, коли ...» і т. Д. Наприклад: «Наша команда виграє лише в тому випадку, якщо добре підготується» ( p↔q). Еквівалентну висловлювання буде істинним тоді, коли складові його висловлювання є або одночасно істинними, або одночасно хибними (див. Рис. 17).

Для формалізації міркування необхідно:

1) знайти і позначити малими приголосними буквами латинського алфавіту прості висловлювання, що входять до складу складного. Змінні присвоюються довільно, але якщо один і той же простий вислів зустрічається кілька разів, то стільки ж раз використовується відповідна змінна;

2) знайти і позначити логічними константами логічні союзи (∧, ⋁, ⊻, →. ↔, ┐);

3) в разі необхідності розставити технічні знаки [...], (...).

На рис. 18 зображений приклад формалізації складного висловлювання .

Я вже звільнився (P) і (∧), якщомене НЕзатримають (┐q) або (⋁) НЕзламається автомобіль (┐r), то (→)я скоро приїду (S) .

p ∧ ((┐q ⋁ ┐r) → s

Мал. 18

Після того як висловлювання записано в символічному вигляді, можна визначити тип формули. У логіці розрізняють тотожно-істинні, тотожно-хибні і нейтральні формули. Тотожно-істинні формули незалежно від значень що входять до їх складу змінних завжди приймають значення «істина», а тотожно-хибні - значення «ложно». Нейтральні формули приймають як значення «істина», так і значення «ложно».

Для визначення типу формули використовується табличний спосіб, скорочений спосіб перевірки формули на істинність методом «зведення до абсурду» і приведення формули до нормальної форми. Нормальною формою деякої формули є таке її вираження, яке відповідає таким умовам:

Не містить знаків імплікації, еквіваленціі, суворої диз'юнкції і подвійного заперечення;

Знаки заперечення знаходяться тільки при змінних.

Табличний спосіб визначення типу формули:

1. Будують стовпці вхідних значень для кожної з наявних змінних. Ці стовпці називають вільними (незалежними), в них враховують всі можливі комбінації значень змінних. Якщо у формулі дві змінні, то будують два вільних стовпчика, якщо ж три змінні, то три стовпці і т. Д.

2. Для кожної подформули, тобто частини формули, що містить хоча б один союз, будують стовпець її значень. При цьому враховуються значення вільних стовпців і особливості логічного союзу (див. Рис. 17).

3. Будують стовпець вихідних значень для всієї формули в цілому. За значеннями, отриманими в вихідному стовпці, визначають тип формули. Так, якщо в вихідному стовпці є тільки значення «істина», то формула буде ставитися до тотожно-істинним і т.д.

Таблиця істинності для формули(P ^ q) → r
p	q	r	p ^ q	(P ^ q) → r
І	І	І	І	І
Л	І	Л	Л	І
Л	Л	І	Л	І
І	Л	Л	Л	І
І	І	Л	І	Л
І	Л	І	Л	І
Л	І	І	Л	І
Л	Л	Л	Л	І
Мал. 19

Число стовпців в таблиці дорівнює сумі змінних, що входять в формулу, і наявних у ній спілок. (Наприклад: у формулі на рис. 18 чотири змінних і п'ять спілок, отже, в таблиці буде дев'ять стовпців).

Кількість рядків в таблиці обчислюється за формулою С = 2 n, де n- кількість змінних. (В таблиці за формулою на рис. 18 має бути шістнадцять рядків.)

На рис. 19 зображений приклад таблиці істинності.

Скорочений спосіб перевірки формули на істинність методом зведення до абсурду:

((P⋁q) ⋁r) → (p⋁ (q⋁r))

1. Припустимо, що дана формула не є тотожно-істинною. Отже, при деякому наборі значень вона приймає значення «ложно».

2. Дана формула може приймати значення «ложно» тільки в тому випадку, якщо підстава імплікації (p⋁q) ⋁r буде «істинно», а наслідок p⋁ (q⋁r) - «помилково».

3. Слідство імплікації p⋁ (q⋁r) буде хибним в тому випадку, коли р - «помилково» і q⋁r - «помилково» (див. Значення слабкої диз'юнкції на рис. 17).

4. Якщо q⋁r - «помилково», то і q і r - «помилково».

5. Ми встановили що р - «помилково», q - «помилково» і r - «помилково». Підстава імплікації (p⋁q) ⋁r є слабку диз'юнкцію цих змінних. Так як слабка диз'юнкція приймає значення «ложно» тоді, коли помилковими є всі її складові, то підстава імплікації (p⋁q) ⋁r теж буде «помилковим».

6. У п. 2 встановили, що підстава імплікації (p⋁q) ⋁r - ​​«істинно», а в п. 5 що воно є "помилковим». Виникла суперечність свідчить про те, що припущення, зроблене нами в п. 1, помилково.

7. Так як дана формула ні при якому наборі значень своїх змінних не приймає значення «ложно», то вона є тотожно-істинною.

3.8. Логічні відносини між висловлюваннями
(Логічний квадрат)

Між висловлюваннями, що мають подібний сенс, встановлюються зв'язки. Розглянемо відносини між простими і складними висловлюваннями.

У логіці всю сукупність висловлювань поділяють на порівнянні і непорівнянні. Непорівнянні серед простих висловлювань є висловлювання, які мають різні суб'єкти або предикати. наприклад: «Всі студенти - учні» та «Деякі студенти - відмінники».

Порівнянними є висловлювання з однаковими суб'єктами і предикатами і розрізняються зв'язкою і квантором. наприклад: «Всі громадяни Республіки Білорусь мають право на відпочинок» та «Жоден громадянин Республіки Білорусь не має право на відпочинок».

Мал. 20

Відносини між порівнянними висловлюваннями виражаються за допомогою моделі, яку називають логічний квадрат (Рис. 20).

Серед порівнянних висловлювань розрізняють сумісні і несумісні.

ставлення сумісності

1.Еквівалентність (повна сумісність)- висловлювання, які мають однакові логічні характеристики: однакові суб'єкти і предикати, однотипну ствердну або негативну зв'язку, одну і ту ж логічну характеристику. Еквівалентні висловлювання різняться словесним виразом однієї і тієї ж думки. За допомогою логічного квадрата відносини між даними висловлювання не ілюструються.

2. Часткова сумісність (подпротівность, субконтрарность). В цьому відношенні знаходяться частноутвердительное і частноотрицательное висловлювання (I і О). Це означає, що два таких висловлювання можуть бути одночасно істинними, але не можуть бути одночасно хибними. Якщо одне з них помилково, то друге обов'язково істинно. Якщо ж одне з них істинно, то друге невизначено.

3. Підпорядкування (субординація). В цьому відношенні знаходяться общеутвердительное і частноутвердительное висловлювання (А і I), а також общеотріцательное і частноотрицательное висловлювання (Е і О).

З істинності загального висловлювання завжди слід істинність приватного. У той час як істинність приватного висловлювання свідчить про невизначеність загального висловлювання.

З хибності приватного висловлювання завжди слід хибність загального висловлювання, але не навпаки.

Ставлення несумісності.Несумісними є висловлювання, які не можуть бути одночасно істинними:

1. Протилежність (противность, контрарность)- в цьому відношенні знаходяться общеутвердительное і общеотріцательное висловлювання (А і Е). Це відношення означає, що два таких висловлювання не можуть бути одночасно істинними, але можуть бути одночасно хибними. Якщо одне з них істинно, то друге обов'язково - помилково. Якщо ж одне з них помилково, то друге невизначено.

2.Протиріччя (контрадікторності)- в ньому знаходяться загально-стверджувальне і частноотрицательное висловлювання (A і О), а також общеотріцательное і частноутвердительное висловлювання (Е і I). Два суперечать висловлювання не можуть бути ні одночасно хибними, ні одночасно істинними. Одне обов'язково істинно, а інше брехливо.

Порівнянними серед складних висловлювань є висловлювання, які мають хоча б одну однакову складову. В іншому випадку складні висловлювання непорівнянні.

Порівнянні складні висловлювання можуть бути сумісними або несумісними.

ставлення сумісностіозначає, що висловлювання можуть бути одночасно істинними:

2.часткова сумісністьозначає, що висловлювання можуть бути одночасно істинними, але не можуть бути одночасно хибними (рис. 22).

p	q	p → q	q → p
І	І	І	І
І	Л	Л	І
Л	І	І	Л
Л	Л	І	І
Мал. 22

3.Ставлення проходження (підпорядкування) Означає, що з істинності одного висловлювання слід істинність іншого, але не навпаки (рис. 23).	p q r (P → q) ∧ (q → r) p↔r І І І І І І І Л Л Л І Л І Л І Л І І І І І Л Л Л Л Л І Л Л І Л Л І І І Л Л Л І І Мал. 23
4. ставлення зчепленняозначає, що істинність (хибність) одного висловлювання не виключає хибність (істинності) іншого (рис. 24).	p q p → q ┐p → q І І І І І Л Л І Л І І І Л Л І Л Мал. 24

ставлення несумісностіозначає, що висловлювання не можуть бути одночасно істинними:

2.протиріччя- відношення між висловлюваннями, які не можуть бути ні одночасно істинними, ні одночасно хибними (рис. 26).

p	q	p → q	p∧┐q
І	І	І	Л
І	Л	Л	І
Л	І	І	Л
Л	Л	І	Л
Мал. 26

висловлювання- оповідної пропозицію, про який можна сказати істинно воно або помилково. В алгебрі простим висловлюванням ставляться відповідно логічні змінні (А, В, С і т.д.)

логічна змінна- це просте висловлювання.
Логічні змінні позначаються великими та малими латинськими літерами (a-z, A-Z) і можуть приймати всього два значення - 1, якщо висловлювання істинно, або 0, якщо висловлення помилкове.

Приклад висловлювань:

логічна функція- це складне висловлювання, яке виходить в результаті проведення логічних операцій над простими висловлюваннями.

Для утворення складних висловлювань найбільш часто використовуються базові логічні операції, Що виражаються за допомогою логічних зв'язок «і», «або», «не».
наприклад,

Багато людей не люблять сиру погоду.

Нехай А = «Багато людей люблять сиру погоду». Отримуємо логічну функцію F (A) = Не А.

зв'язки "НЕ", "І", "АБО"замінюються логічними операціями інверсія , кон'юнкція , диз'юнкція . це основні логічні операції, За допомогою яких можна записати будь-який логічний вираз.

логічна формула (Логічний вираз) - формула, яка містить лише логічні величини і знаки логічних операцій. Результатом обчислення логічного формули є ІСТИНА (1) або БРЕХНЯ (0).

Значення логічної функції залежить від значень вхідних в неї логічних змінних. Тому значення логічної функції можна визначити за допомогою спеціальної таблиці ( таблиці істинності), В якій перераховані всі можливі значення входять логічних змінних і відповідні їм значення функції.

Основні (базові) логічні операції:

1. Логічне множення (кон'юнкція), Від лат. konjunctio - пов'язую:
Об'єднання двох (або декількох) висловлювань в одне за допомогою союзу І;
в мовах програмування - And.
Прийняті позначення: / \,, і, and.
В алгебрі множин кон'юнкції відповідає операція перетину множин.

Кон'юнкція істинна тоді і тільки тоді, все, що входять до неї висловлювання істинними.

приклад:
Розглянемо складене висловлювання «2 + 2 = 4 і 3 3 = 10». Виділимо прості висловлювання:

В = «3 3 = 10» = 0 (тому що це хибне висловлювання)
Тому, логічна функція F (A, B) = A / \ B = 1 / \ 0 = 0 (відповідно до таблиці істинності), тобто дане складене висловлювання хибне.

2. Логічне додавання (диз'юнкція), Від лат. disjunctio - розрізняю:
Об'єднання двох (або декількох) висловлювань в одне за допомогою союзу АБО;
в мовах програмування - Or.
Позначення: \ /, +, або, or.
В алгебрі множин диз'юнкції відповідає операція об'єднання множин.

Диз'юнкція помилкова тоді і тільки тоді, все, що входять до неї висловлювання помилкові.

приклад:
Розглянемо складене висловлювання «2 + 2 = 4 або 2 + 2 = 5». Виділимо прості виска-зиванія:
А = «2 + 2 = 4» = 1 (тому що це справжнє висловлювання)
В = «2 + 2 = 5» = 0 (тому що це хибне висловлювання)
Тому, логічна функція F (A, B) = A \ / B = 1 \ / 0 = 1 (відповідно до таблиці істинності), тобто дане складене висловлювання істинно.

3. Заперечення (інверсія), Від лат. InVersion - перевертаю:

Відповідає частці НЕ, словосполученнями НЕВІРНО, ЩО чи не є істиною, ЩО;
в мовах програмування - Not;
Позначення: чи не А, ¬А, not
В алгебрі множин логічного заперечення відповідає операція доповнення до універсальної множини.

інверсіяя логічної змінної істинна, якщо сама змінна помилкова, і, навпаки, інверсія помилкова, якщо змінна істинна.

приклад:

А = (два помножити на два дорівнює чотирьом) = 1.

¬A = ( Невірно, щодва помножити на два дорівнює чотирьом) = 0.

Розглянемо висловлювання А: " Місяць - супутник Землі"; тоді ¬А буде формулюватися так: " Місяць - НЕ супутник Землі“.

Розглянемо висловлювання: «Невірно, що 4 ділиться на 3». Позначимо через А просте висловлювання «4 ділиться на 3». тоді логічна формазаперечення цього висловлювання має вигляд ¬А

Пріоритет логічних операцій:

Операції в логічному вираженні виконуються зліва направо з урахуванням дужок внаступного порядку:
1. інверсія;
2. кон'юнкція;
3. диз'юнкція;
Для зміни зазначеного порядку виконання логічних операцій використовуються круглі дужки.

Складові логічні вираженняалгебри висловлювань називають формулами.
Істинно або хибно значення формули можна визначити законами алгебри логіки, не звертаючись до сенсу:
F = (0 \ / 1) / \ (¬0 \ / ¬1) = (0 \ / 1) / \ (1 \ / 0) = 1 / \ 1 = 1 - істина
F = (¬0 / \ ¬1) \ / (¬1 \ / ¬1) = (1 / \ 0) \ / (0 \ / 0) = 0 \ / 0 = 0 - брехня

Кожна людина це індивідуальність з різними параметрами, які немов комп'ютерна начинка, може виконувати різні операції за різний час. Людина звичайно не комп'ютер, він набагато крутіше, навіть якщо це найсучасніший комп.

В кожній людині закладено певне зерно, це називається зерно істини, якщо людина буде доглядати і плекати за зерном всередині себе, то виросте чудовий урожай, який буде радувати його!

Ви розумієте що зерно - це наша душа, що б відчувати душу, потрібно володіти тими чи надчуттєвого здібностями.

Інший приклад - Людина щодня виробляє породу, залишаючи тільки дорогоцінне каміння. Якщо звичайно знає як виглядають дорогоцінні камені, а якщо ж перебирає тільки руду, пропускаючи алмази та інші дорогоцінні камені, вважаючи що це просто камені, то ця людина має проблеми з життя.

Життя така штука, вона подібно до людини, який перелопачує руду, що б знайти алмази! Що таке алмази? Це мотивація яка дає нам діяти в цьому світі, але запали мотивації постійно тануть, потрібно заправляти свою мотивацію, що б продовжувати діяти ефективно. З чого народжується мотивація? Наріжний камінь - це інформація, правильна інформація це подібно стислій пружині, якщо її приймаємо правильно, пружина розтискається і вистрілює точно в ціль і ми дуже швидко добігаємо до мети. Якщо ми ставимося неправильно до мотивації, то чому, то пружина вистрілює в лоб. Чому так відбувається? Тому що наше внутрішнє намір, є основою, для чого ми діємо, що ми хочемо отримати і не принесе шкоди оточуючим наші мотивовані дії!

Я в даній статті зібрав самі мотиваційні цитати і статуси, як то кажуть всіх часів і народів. Але звичайно робити вибір Вам, що Вас найбільше зачепить. А поки влаштувалися зручніше, робимо дуже розумне обличчя, відключаємо всі засоби комунікації і просто насолоджуємося мудрістю поетів, артистів і просто сантехніків можливо!

У
мние і мудрі цитатиі висловлювання про життя

Володіти знанням мало, необхідно його застосовувати. Бажати - мало, необхідно діяти.

А я стою на правильному шляху. Стою. А треба б іти.

Робота над собою - найважча робота, тому нею займаються не всі.

Життєві обставини формуються не тільки конкретними вчинками, а й характером думок людини. Якщо ви налаштовані вороже по відношенню до світу, він буде відповідати вам тим же. Якщо ви постійно висловлюєте своє невдоволення, приводів для цього буде все більше. Якщо у вашому ставленні до дійсності переважає негативізм, тоді світ буде повертатися до вас своєю гіршою стороною. І навпаки, позитивне ставлення буде самим натуральним чином змінювати ваше життя на краще. Людина отримує те, що вибирає. Така реальність, подобається вам це чи ні.

З того, що ви ображені, ще не випливає, що ви прави.Ріккі Жерве

Рік за роком, місяць за місяцем, день за днем, година за годиною, хвилина за хвилиною і навіть секунда за секундою - час біжить, не зупиняючись ні на мить. Ніяка сила не здатна перервати цей біг, це не від нас залежить. Все, що ми можемо - проводити час з користю, конструктивно, або ж витрачати його даремно, на шкоду. Цей вибір за нами; рішення в наших руках.

Ні в якому разі не слід втрачати надію. Почуття відчаю - ось справжня причина невдач. Пам'ятайте ви можете подолати будь-які труднощі.

Людина влаштована так, що коли щось запалює його душу - все стає можливим. Жан де Лафонтен

Все що зараз з вами відбувається, ви створили колись самі. Вадим Зеланд

Усередині нас є багато непотрібних звичок і справ, на які ми витрачаємо час, думки, енергію і які не дають нам розквітнути. Якщо ми будемо регулярно відкидати все зайве, то час, що звільнився і енергія допоможуть нам в досягненні справжніх бажань і цілей. Видаляючи все старе і непотрібне в своєму житті, ми даємо можливість розквітнути прихованим в нас талантам і почуттям.

Ми - раби своїх звичок. Зміни свої звички, зміниться твоє життя. Роберт Кіосакі

Людина, яким вам судилося стати - це тільки та людина, яким ви самі вирішите стати. Ральф Уолдо Емерсон

Чари - це віра в себе. І коли тобі це вдається, то вдається і все інше.

У парі кожен повинен розвинути в собі здатність відчувати вібрації іншого, у них повинні з'явитися загальні асоціації та спільні цінності, вміння чути те, що важливо для іншого, і якась взаємна домовленість про те, що робити, коли ті чи інші цінності у них не збігаються. Сальвадор Минухин

Кожна людина може бути магнетично привабливий і неймовірно красивий. Справжня краса - це внутрішньо сяйво Душі людини.

Я дуже ціную дві речі - душевну близькість і здатність приносити радість. Річард Бах

Боротьба з іншими тільки виверт, щоб уникнути внутрішньої боротьби. Ошо

Коли людина починає скаржитися або придумувати виправдання своїм невдачам, він починає поступово деградувати.

Хороший життєвий девіз - допоможи собі сам.

Хто мудрий не той, хто знає багато, а той, чиї знання корисні. Есхіл

Деякі люди посміхаються тому, що посміхаєшся ти. А деякі - для того, щоб ти посміхнувся.

Хто царює всередині самого себе і управляє своїми пристрастями, бажаннями і побоюваннями, той більше ніж цар. Джон Мільтон

Кожен чоловік в результаті вибирає ту жінку, яка вірить в нього більше, ніж він сам.

Ти якось присядь і послухай, що ж хоче твоя душа?

Ми так часто не слухаємо душу, за звичкою кудись поспішаючи.

Ви там, де ви є, і той, хто ви є, через те, як ви себе сприймаєте. Змініть думку про себе, і ви зміните ваше життя. Брайан Трейсі

Життя - це три дні вчора, сьогодні і завтра. Вчора вже пройшло і ти нічого в ньому не зміниш, завтра ще не настало. Тому постарайся сьогодні вступити гідно, щоб не шкодувати.

Справді благородна людина не народжується з великою душею, але сам себе робить таким чудовими своїми справами. Франческо Петрарка

Завжди підставляйте своє обличчя сонячного світлаі тіні будуть позаду Вас, Волт Вітмен

Єдиний, хто чинив розумно, був мій кравець. Він знімав з мене мірку заново кожен раз, коли бачив мене. Бернард Шоу

Люди ніколи повністю не використовують своїх власних силдля досягнення блага в житті, тому що сподіваються на деяку зовнішню для себе силу - сподіваються, що вона зробить те, за що вони самі відповідальні.

Ніколи не повертайся в минуле. Воно вбиває твоє дорогоцінний час. Не стій на місці. Люди, яким ти потрібен, тебе наздоженуть.

Пора витрушувати погані думки з голови.

Якщо ти шукаєш погане, ти обов'язково знайдеш його, і не будеш помічати нічого хорошого. Тому якщо все своє життя ти будеш чекати і готуватися до гіршого - воно обов'язково станеться, і ти не будеш розчарований в своїх страхах і побоюваннях, знаходячи їм все нові і нові підтвердження. Але якщо ти будеш сподіватися і готуватися до кращого, ти не будеш притягувати погане в своє життя, а просто ризикуєш всього лише іноді бути розчарованим - життя неможливе без розчарувань.

Чекаючи найгірше, ти його і отримуєш, не зважаючи життя все те хороше, що в ній насправді є. І навпаки ти можеш придбати таку силу духу, завдяки якій в будь-якій стресовій, критичної ситуації в житті, ти будеш бачити її позитивні сторони.

Як часто, по дурості або ліні, упускають люди своє щастя.

Багато хто звик існувати, відкладаючи життя на завтра. Вони тримають в розумі прийдешні роки, коли вони будуть творити, творити, робити, пізнавати. Вони думають, що у них попереду повно часу. Це найграндіозніша помилка, яку тільки можна зробити. Часу, насправді, у нас вкрай мало.

Запам'ятайте почуття, яке ви відчуваєте, роблячи перший крок, яким би він не виявився, в будь-якому випадку буде набагато краще, ніж те почуття, яке ви відчуваєте, просто сидячи на місці. Так що вставайте і зробіть хоч що-небудь. Зробіть перший крок - просто крихітний крок вперед.

Обставини не мають ніякого значення. Діамант, кинутий в бруд не перестає бути діамантом. Серце, наповнене красою і величчю здатне пережити голод, холод, зради і всілякі втрати, але залишитися собою, залишатися люблячим і прагнуть до великих ідеалів. Не вір обставинам. Вір в свою мрію.

Будда описував три види ліні Перша - та лінь, про яку ми всі знаємо. Коли у нас немає бажання що-небудь делать.Вторая - це лінь неправильного відчуття самого себе - лінь мислення. «Я ніколи нічого не зроблю в житті», «У мене нічого не виходить, не варто і пробувати» Третє - постійна зайнятість несуттєвими справами. У нас завжди є можливість заповнити вакуум нашого часу підтримуючи свою «зайнятість». Але, звичайно, це просто спосіб уникнути зустрічі з самим собою.

Як би не були прекрасні ваші слова, оцінювати вас будуть по вашим вчинкам.

Не зациклюйтеся на минулому, вас там більше не буде.

Так буде тіло твоє в русі, розум твій - в спокої, а душа прозора, як гірське озеро.

Хто не мислить позитивно - тому в житті жити огидно.

Чи не приходить щастя в будинок, там, де ниють день за днем.

Іноді, тобі просто потрібно відпочити і нагадати собі, хто ти є і ким ти хочеш бути.

Головне в житті - навчитися все повороти долі перетворювати в зигзаги удачі.

Не дозволяй виходити з тебе того, що може завдати шкоди іншим. Чи не пускайте в себе те, що може завдати шкоди тобі.

З будь-якого скрутного становища зараз же вийдеш, якщо тільки згадаєш, що живеш не тілом, а душею, пригадаєш, що в тобі є те, що сильніше всього на світі. Лев Толстой

Статуси про життя. Мудрі вислови.

Будь чесний навіть наодинці з собою. Чесність робить людину цільним. Коли людина думає, говорить і робить одне і те ж, то його сили потроюються.

У житті головне - знайти себе, своє і своїх.

У кого правди немає, в тому і добра мало.

В молодості шукаємо гарне тіло, з роками - рідну душу. Вадим Зеланд

Важливим є те, що людина робить, а не те, що він хотів зробити. Вільям Джеймс

Все в цьому житті повертається бумерангом, що не сумнівайся.

Всі перешкоди і труднощі - це щаблі, по яких ми ростемо вгору.

Всі вміють любити, бо отримують цей дар при народженні.

Все, чого ти приділяєш увагу - зростає.

Все, що людина як йому здається, говорить про інших, - він насправді говорить про себе.

Входячи двічі в одну і ту ж воду, не забувайте про те, що змусило вас вийти звідти в перший раз.

Ви думаєте, що це всього лише черговий день вашого життя. Це не просто черговий день це і є той самий єдиний день, який вам дано сьогодні.

Вийди з орбіти часу і увійди в орбіту любові. Гуго Вінклер

Навіть недосконалості можуть подобатися, якщо в них проявилася душа.

Навіть розумна людина буде глупеть, якщо він не буде самовдосконалюватися.

Дай нам сили втішати, а не бути втішає; розуміти, а не бути понятими; любити, а не бути коханими. Бо, коли віддаємо, отримуємо ми. І, прощаючи, знаходимо собі прощення.

Рухаючись по дорозі життя, ви самі творите свою всесвіт.

Девіз дня у мене все добре, а буде ще краще! Д Жулиана Вільсон

Дорожче твоєї душі немає нічого на світі. Деніел Шеллабаргер

Якщо всередині - агресія, життя буде «нападати» на вас.

Якщо всередині у вас бажання боротися, ви отримаєте суперників.

Якщо всередині у вас образа, життя буде давати приводи ображатися ще більше.

Якщо всередині у вас страх, життя буде лякати вас.

Якщо всередині у вас почуття провини, життя знайде спосіб вас «покарати».

Якщо погано мені, то це не причина, щоб доставляти страждання іншим.

Якщо тобі коли-небудь захочеться знайти таку людину, яка зможе здолати будь-яку, навіть найважчу біду і зробити тебе щасливим, коли цього не може більше ніхто, ти просто подивися в дзеркало і скажи «Привіт».

Якщо тобі щось не подобається - зміни це. Якщо тобі не вистачає часу - перестань витріщатися в телевізор.

Якщо ти шукаєш Любов свого життя - перестань. Вона знайде тебе тоді, коли ти будеш займатися тільки тим, що ти любиш. Відкрий свою голову, руки і серце для нового. Не бійся питати. І не бійся відповідати. Не бійся ділитися мрією. Багато можливості з'являються лише одного разу. Життя - це люди на твоєму шляху і те, що ти створюєш разом з ними. Так що почни створювати. Життя - це дуже швидко. Саме час почати.

Якщо ти рухаєшся в правильному напрямку, то ти відчуєш це серцем.

Якщо ти запалиш свічку для когось, це освітить і твій шлях теж.

Якщо ти хочеш, щоб навколо тебе були хороші, добрі люди, - спробуй ставитися до них уважно, ласкаво, ввічливо - побачиш, що всі стануть краще. Все в житті залежить від тебе самого, повір мені.

Якщо людина захоче, гору на гору поставить

Життя вічне рух, постійне оновлення і розвиток, з покоління в покоління, від дитинства до мудрості, рух розуму і свідомості.

Життя бачить вас таким, яким ви зсередини.

Найчастіше людина, який зазнав поразки, дізнається про те, як перемагати більше, ніж той, до кого успіх приходить відразу.

Злість - сама марна з емоцій. Руйнує мозок і шкодить серцю.

Злих людей я майже зовсім не знаю. Одного разу я зустрів одного, якого я злякався і подумав, що він злий; але коли я його уважніше розглянула, він всього лише був нещасним.

І все це з однією метою показати вам те, чим ви є, що носите в душі.

Кожен раз коли ви хочете відреагувати звичним старим способом, запитайте себе, чи хочете ви бути бранцем минулого або піонером майбутнього.

Кожен є зіркою і заслуговує право на сяйво.

Хоч би яка була ваша проблема, її причина криється в вашому стереотипі мислення, а будь-який стереотип можна змінити.

Коли не знаєш як вчинити - ходи по-людськи.

Будь-яка складність дарує мудрість.

Будь-який вид взаємин - як пісок, який ви тримаєте в руці. Тримайте вільно, в відкритої руці- і пісок залишається в ній. У той момент, коли ви стиснете міцно руку, пісок почне висипатися крізь ваші пальці. Таким чином ви можете утримати трохи піску, але більша частина просиплется. У взаєминах - точно так же. Ставтеся до іншої людини і його волі дбайливо і з повагою, залишаючись близькими. Але якщо стиснете занадто сильно і з претензією на володіння іншою людиною - взаємини зіпсуються і розсиплються.

Міра душвного здоров'я - це готовність у всьому знаходити хороше.

Світ повний підказок, будьте уважні до знаків.

Мені не зрозуміло лише одне, як я, як ми всі, вмудряємося заповнити своє життя такою кількістю мотлоху, сумнівами, жалями, минулим, якого вже немає, і майбутнім, яке ще не сталося, страхами, які, швидше за все, ніколи не збудуться, якщо все настільки очевидно просто.

Багато говорити і багато сказати не є одне і те ж.

Ми бачимо все не таким, яким воно є - ми бачимо все таким, якими ми є.

Думки позитивно, якщо не виходить позитивно - не думки. Мерилін Монро

Знайдіть тихий світ в своїй голові і любов у вашому серці. І незалежно від того, що відбувається навколо, не дозволяйте нічому змінити ці дві речі.

Не всі наші призводять до позитивних змін у нашому житті, але безумовно не можна домогтися щастя нічого не роблячи.

Не дозволяйте шуму чужих думок перебивати ваш внутрішній голос. Майте хоробрість слідувати серцю і інтуїції.

Не перетворюйте свою книгу життя в тужливу.

Не поспішай проганяти від себе моменти самотності. Бути може, це найбільший дар Всесвіту - захистити тебе ненадовго від всього зайвого, щоб дозволити тобі стати самим собою.

Невидимою червоною ниткою з'єднані ті, кому судилося зустрітися, незважаючи на час, місце і обставини. Нитка може розтягнутися або сплутати, але ніколи не порветься.

Не можна віддати те, чого не маєш. Не можна зробити інших людей щасливими, якщо ти сам нещасний.

Не можна перемогти того, хто не здається.

Немає ілюзій - немає і розчарувань. Потрібно поголодувати, щоб оцінити їжу, випробувати холод, щоб зрозуміти благо тепла, і побувати дитиною, щоб побачити цінність батьків.

Потрібно вміти прощати. Багато хто вважає, що прощення - це ознака слабкості. Але слова «я прощаю тебе» зовсім не означають - «я занадто м'яка людина, тому не можу ображатися і ти і далі можеш псувати моє життя, я не скажу тобі жодного слова», вони означають - «я не дозволю минулого псувати своє майбутнє і сьогодення, тому прощаю тебе і відпускаю всі образи. »

Образи - як камені. Чи не копальні їх в собі. Інакше впадеш під їхньою вагою.

Одного разу на уроці соціальних проблемнаш професор підняв чорну книгу і сказав ця книга червона.

Однією з головних причин апатії є відсутність мети в житті. Коли ні до чого прагнути, настає занепад сил, свідомість занурюється в сонний стан. І навпаки, коли є бажання чогось досягти, енергія наміри активізується і життєвий тонус підвищується. Для початку за мету можна взяти самого себе - зайнятися собою. Що може принести вам самоповагу і задоволення? Є багато шляхів самовдосконалення. Можна поставити собі за мету домагатися поліпшення в якомусь одному або декількох аспектах. Вам краще знати, що принесе задоволення. Тоді і смак до життя з'явиться, і все інше налагодиться автоматично.

Він повернув книгу, а її задня обкладинка виявилася червоною. І тоді він сказав «Не кажіть кому-то, що він не правий, до того моменту, поки не подивіться на ситуацію з його точки зору».

Песиміст - це людина, яка скаржиться на шум, коли до нього в двері стукає удача. Петро Мамонов

Справжня духовність не нав'язується - їй зачаровуються.

Пам'ятайте, іноді тиша - найкраща відповідь на питання.

Псує людей не бідність чи багатство, а заздрість і жадібність.

Правильність шляху, який ти вибираєш, залежить від того, наскільки ти щасливий, ідучи по ньому.

мотивуючі цитати

Прощення не змінює минулого, але звільняє майбутнє.

Мова людини - дзеркало його самого. Все фальшиве і брехливе, як би ми не намагалися приховати це від інших, вся порожнеча, черствість або грубість прориваються в промові з такою ж силою і очевидністю, з якою виявляються щирість і благородство, глибина і тонкість думок і почуттів.

Найголовніше - це гармонія в твоїй душі, бо вона здатна створювати щастя з нічого.

Слово «неможливо» блокує ваш потенціал, в той час як питання «Як мені це зробити?» змушує мозок працювати на повну котушку.

Слово має бути вірним, дія повинна бути рішучим.

Сенс життя в силі прагнення до мети, і потрібно, щоб кожен момент буття мав свою високу мету.

Суєта ще нікого і ніколи не приводила до успіху. Чим більше спокою в душі, тим легше і швидше вирішуються всі питання.

Існує достатньо світла для тих, хто хоче бачити, і досить мороку для тих, хто не хоче.

Існує один спосіб вчитися - реальна дія. Пусті розмови безглузді.

Щастя - не одяг, який можна купити в магазині або пошити в ательє.

Щастя - це внутрішня гармонія. Домогтися її ззовні неможливо. Тільки зсередини.

Темні хмари перетворюються в небесні квіти, коли їх поцілує світло.

Те, що ви говорите про інших, характеризує не їх, а вас.

Те, що є в людині, безсумнівно, важливіше того, Що є у людини.

Той, хто може бути ніжним, володіє великою внутрішньою силою.

Ти вільний робити що завгодно - тільки не забувай про наслідки.

У нього все вийде '- тихо сказав Бог.

У нього немає шансів - голосно заявили обставини. Вільям Едвард Хартпол Лекі

Хочеш жити в цьому світі - живи і радій, а не ходи з незадоволеним обличчям, що світ недосконалий. Світ створюєш ти - в своїй голові.

Людина може все. Тільки йому зазвичай заважають лінощі, страх і низька самооцінка.

Людина здатна змінити своє життя, змінюючи лише свою точку зору.

Що мудрець робить на початку, то дурний робить в кінці.

Щоб стати щасливим, треба позбутися від усього зайвого. Від зайвих речей, зайвої суєти, а найголовніше - від зайвих думок.

Я - не тіло, наділене душею, я - душа, частина якої видима і називається тілом.