Upang maunawaan ang paksang ito, isaalang-alang ang function na inilalarawan sa graph // Ipakita natin kung paano pinapayagan ka ng graph ng function na matukoy ang mga katangian nito.

Sinusuri namin ang mga katangian ng isang function gamit ang isang halimbawa

Ang domain ng function na yavl. pagitan [3.5; 5.5].

Ang hanay ng mga halaga ng function na yavl. pagitan [1; 3].

1. Para sa x = -3, x = - 1, x = 1.5, x = 4.5, ang halaga ng function ay katumbas ng zero.

Ang isang halaga ng argumento kung saan ang halaga ng isang function ay zero ay tinatawag na isang function na zero.

//mga. para sa function na ito mga numero -3; -1; 1.5; 4.5 ay mga zero.

2. Sa mga pagitan [4.5; 3) at (1; 1.5) at (4.5; 5.5] ang graph ng function na f ay matatagpuan sa itaas ng abscissa axis, at sa mga pagitan (-3; -1) at (1.5; 4.5) sa ibaba ng axis abscissa, ito ay ipinaliwanag bilang mga sumusunod - sa mga pagitan [4.5; 3) at (1; 1.5) at (4.5; 5.5] ang function ay kumukuha ng mga positibong halaga, at sa mga pagitan (-3; -1) at ( 1.5; 4.5) negatibo.

Ang bawat isa sa mga ipinahiwatig na mga agwat (kung saan ang pag-andar ay kumukuha ng mga halaga ng parehong tanda) ay tinatawag na agwat ng pare-parehong tanda ng pag-andar f.//t.t. halimbawa, kung kukunin natin ang pagitan (0; 3), kung gayon ito ay hindi isang agwat ng katatagan ng pagpapaandar na ito.

Sa matematika, kaugalian na ipahiwatig ang mga agwat ng maximum na haba kapag naghahanap ng mga pagitan ng pare-parehong tanda ng isang function. //Yung. ang pagitan (2; 3) ay pagitan ng katatagan function f, ngunit ang tugon ay dapat isama ang pagitan [4,5; 3) na naglalaman ng pagitan (2; 3).

3. Kung lilipat ka sa abscissa axis mula 4.5 hanggang 2, mapapansin mo na bumababa ang graph ng function, iyon ay, bumababa ang mga value ng function. // Sa matematika, kaugalian na sabihin na sa pagitan [4,5; 2] bumababa ang function.

Habang tumataas ang x mula 2 hanggang 0, tumataas ang graph ng function, i.e. tumaas ang mga halaga ng pag-andar. // Sa matematika, kaugalian na sabihin na sa pagitan [2; 0] tumataas ang function.

Ang isang function na f ay tinatawag kung para sa alinmang dalawang halaga ng argumentong x1 at x2 mula sa pagitan na ito na ang x2> x1, ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x2)> f (x1) ay humahawak. // o tinatawag ang Function pagtaas sa ilang pagitan kung para sa anumang mga halaga ng argumento mula sa pagitan na ito higit na kahulugan tumutugma ang argumento sa mas malaking halaga ng function. // i.e. mas maraming x, mas maraming y.

Tinatawag ang function na f bumababa sa ilang pagitan, kung para sa alinmang dalawang halaga ng argumentong x1 at x2 mula sa agwat na ito tulad ng x2> x1, ang hindi pagkakapantay-pantay f (x2) ay nasiyahan, bumababa sa ilang pagitan, kung para sa anumang mga halaga ng argumento mula sa pagitan na ito, ang mas maliit na halaga ng function ay tumutugma sa mas malaking halaga ng argumento. //mga. mas maraming x, mas kaunti ang y.

Kung ang isang function ay tumaas sa buong domain ng kahulugan, kung gayon ito ay tinatawag dumarami.

Kung ang isang function ay bumababa sa buong domain ng kahulugan, kung gayon ito ay tinatawag lumiliit.

Halimbawa 1. graph ng pagtaas at pagbaba ng mga function, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa 2.

Tukuyin si Yavl. ang linear function ba ay f (x) = 3x + 5 ay tumataas o bumababa?

Patunay. Gamitin natin ang mga kahulugan. Hayaan ang x1 at x2 na maging mga arbitrary na halaga ng argumento, at x1< x2., например х1=1, х2=7

Nagbibigay ng reference na data sa exponential function - mga pangunahing katangian, graph at formula. Ang mga sumusunod na isyu ay isinasaalang-alang: domain, set ng mga value, monotonicity, inverse function, derivative, integral, power series expansion at representasyon sa pamamagitan ng mga kumplikadong numero.

Kahulugan

Exponential function ay isang paglalahat ng produkto ng n mga numero na katumbas ng a:
y (n) = a n = a a a a a,
sa hanay ng mga tunay na numero x:
y (x) = isang x.
Narito ang isang nakapirming tunay na numero, na tinatawag batayan ng exponential.
Tinatawag din ang exponential function na may base a exponential base a.

Ang paglalahat ay isinasagawa tulad ng sumusunod.
Para sa natural na x = 1, 2, 3,... , ang exponential function ay ang produkto ng x factor:
.
Bukod dito, nagtataglay ito ng mga katangian (1.5-8) (), na sumusunod sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga numero. Sa zero at negatibong integer, ang exponential function ay tinutukoy ng mga formula (1.9-10). Para sa mga fractional na halaga x = m / n ng mga rational na numero, ito ay tinutukoy ng formula (1.11). Sa totoo lang, ang exponential function ay tinukoy bilang limitasyon ng sequence:
,
kung saan ang isang arbitrary na pagkakasunud-sunod ng mga rational na numero ay nagtatagpo sa x:.
Sa kahulugang ito, ang exponential function ay tinukoy para sa lahat, at natutugunan ang mga katangian (1.5-8), pati na rin para sa natural na x.

Ang isang mahigpit na mathematical formulation ng kahulugan ng exponential function at ang patunay ng mga katangian nito ay ibinibigay sa pahinang "Determination and proof of the properties of the exponential function".

Mga katangian ng exponential function

Ang exponential function na y = a x, ay may mga sumusunod na katangian sa hanay ng mga tunay na numero ():
(1.1) tinukoy at tuluy-tuloy, para sa, para sa lahat;
(1.2) para sa isang ≠ 1 ay may maraming kahulugan;
(1.3) mahigpit na tumataas sa, mahigpit na bumababa sa,
ay pare-pareho sa;
(1.4) sa ;
sa ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Iba pang mga kapaki-pakinabang na formula.
.
Ang formula para sa pag-convert sa isang exponential function na may ibang base ng degree:

Para sa b = e, nakakakuha tayo ng expression ng exponential function sa mga tuntunin ng exponential:

Mga pribadong halaga

, , , , .

Ipinapakita ng figure ang mga graph ng exponential function
y (x) = isang x
para sa apat na halaga mga batayan ng degree: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 at a = 1/8 ... Ito ay nakikita na para sa isang> 1 monotonically tumataas ang exponential function. Kung mas malaki ang base ng degree a, mas malakas ang paglago. Sa 0 < a < 1 monotonically bumababa ang exponential function. Kung mas maliit ang exponent a, mas malakas ang pagbaba.

Palakihin, bawasan

Ang exponential function, at, ay mahigpit na monotoniko, samakatuwid ito ay walang extrema. Ang mga pangunahing katangian nito ay ipinakita sa talahanayan.

	y = a x, a> 1	y = isang x, 0 < a < 1
Domain	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Saklaw ng mga halaga	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotone	tumataas monotonically	bumababa nang monotoniko
Mga zero, y = 0	Hindi	Hindi
Mga punto ng intersection sa y-axis, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Baliktad na pag-andar

Ang kabaligtaran ng isang exponential function na may base ng isang kapangyarihan ng a ay ang logarithm sa isang base ng a.

Kung, kung gayon
.
Kung, kung gayon
.

Differentiation ng exponential function

Upang pag-iba-ibahin ang isang exponential function, ang base nito ay dapat na bawasan sa bilang na e, ang talahanayan ng mga derivatives at ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function ay dapat ilapat.

Upang gawin ito, kailangan mong gamitin ang pag-aari ng logarithms
at ang formula mula sa talahanayan ng mga derivatives:
.

Hayaang ibigay ang exponential function:
.
Dinala namin ito sa base e:

Ilapat natin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function. Upang gawin ito, ipinakilala namin ang variable

Pagkatapos

Mula sa talahanayan ng mga derivatives mayroon tayo (palitan ang variable x ng z):
.
Dahil ay pare-pareho, ang derivative ng z na may paggalang sa x ay katumbas ng
.
Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong pag-andar:
.

Derivative ng exponential function

.
Derivative ng ika-na order:
.
Pinagmulan ng mga formula>>>

Isang halimbawa ng pagkakaiba-iba ng exponential function

Hanapin ang derivative ng isang function
y = 3 5 x

Solusyon

Ipahayag natin ang base ng exponential function sa mga tuntunin ng numero e.
3 = e ln 3
Pagkatapos
.
Ipakilala ang variable
.
Pagkatapos

Mula sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
.
Sa abot ng 5ln 3 ay isang pare-pareho, kung gayon ang derivative ng z na may paggalang sa x ay katumbas ng:
.
Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar, mayroon kaming:
.

Sagot

integral

Mga expression sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero

Isaalang-alang ang complex number function z:
f (z) = isang z
kung saan ang z = x + iy; i 2 = - 1 .
Ipahayag natin ang complex constant a sa mga tuntunin ng modulus r at ang argumento φ:
a = r e i φ
Pagkatapos


.
Ang argumento φ ay hindi natatanging tinukoy. V pangkalahatang pananaw
φ = φ 0 + 2 πn,
kung saan ang n ay isang integer. Samakatuwid, ang function na f (z) ay hindi rin malabo. Ang pangunahing kahalagahan nito ay madalas na isinasaalang-alang
.

Pagpapalawak ng serye

.

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng mga Teknikal na Institusyon, "Lan", 2009.

Mga function na zero
Ang zero ng isang function ay ang halagang iyon NS, kung saan ang function ay nagiging 0, iyon ay, f (x) = 0.

Ang mga zero ay ang mga punto ng intersection ng function graph na may axis Oh.

Parity function
Tinatawag ang isang function kahit na para sa alinman NS mula sa domain, ang pagkakapantay-pantay f (-x) = f (x)

Ang even function ay simetriko tungkol sa axis OU

Kakaibang function
Ang isang function ay tinatawag na kakaiba kung para sa alinman NS mula sa domain, ang equality f (-x) = -f (x) ay natupad.

Ang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.
Ang isang function na hindi kahit na o kakaiba ay tinatawag na isang pangkalahatang function.

Pagtaas ng function
Ang function na f (x) ay tinatawag na pagtaas kung ang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa mas malaking halaga ng function, i.e.

Pababang pag-andar
Ang function na f (x) ay tinatawag na pagbaba kung ang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa mas maliit na halaga ng function, i.e.

Tinatawag ang mga pagitan kung saan bumababa o tumataas lamang ang function mga pagitan ng monotony... Ang function na f (x) ay may 3 monotonicity interval:

Maghanap ng mga pagitan ng monotony gamit ang Service Ascending at descending na pagitan ng function

Lokal na maximum
Punto x 0 ay tinatawag na lokal na pinakamataas na punto kung para sa alinman NS mula sa paligid ng punto x 0 ang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong: f (x 0)> f (x)

Lokal na minimum
Punto x 0 ay tinatawag na isang punto ng lokal na minimum kung para sa alinman NS mula sa paligid ng punto x 0 ang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong: f (x 0)< f(x).

Ang mga lokal na maximum na puntos at lokal na pinakamababang puntos ay tinatawag na mga lokal na extremum point.

mga punto ng lokal na extremum.

Periodicity ng function
Ang function na f (x) ay tinatawag na periodic, na may period T kung para sa alinman NS ang pagkakapantay-pantay na f (x + T) = f (x) ay hawak.

Mga agwat ng katatagan
Ang mga agwat kung saan ang function ay positibo lamang o negatibo lamang ay tinatawag na mga agwat ng katatagan.

Pagpapatuloy ng pag-andar
Ang isang function na f (x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa isang punto x 0 kung ang limitasyon ng function bilang x → x 0 ay katumbas ng halaga ng function sa puntong ito, i.e. .

Mga break point
Ang mga punto kung saan nilalabag ang kondisyon ng pagpapatuloy ay tinatawag na mga punto ng discontinuity ng function.

x 0- break point.

Pangkalahatang scheme para sa pag-plot ng mga function graph

1. Hanapin ang domain ng kahulugan ng function na D (y).

2. Hanapin ang mga punto ng intersection ng graph ng mga function na may mga coordinate axes.

3. Suriin ang function para sa even o odd parity.

4. Suriin ang function para sa periodicity.

5. Hanapin ang mga pagitan ng monotonicity at extremum point ng function.

6. Hanapin ang mga pagitan ng convexity at inflection point ng function.

7. Hanapin ang mga asymptotes ng function.

8. Bumuo ng isang graph batay sa mga resulta ng pananaliksik.

Halimbawa: Suriin ang function at i-plot ang graph nito: y = x 3 - 3x

1) Ang function ay tinukoy sa buong numerical axis, ibig sabihin, ang domain ng kahulugan nito ay D (y) = (-∞; + ∞).

2) Hanapin ang mga punto ng intersection sa mga coordinate axes:

na may OX axis: lutasin ang equation x 3 - 3x = 0

may axis ОY: y (0) = 0 3 - 3 * 0 = 0

3) Alamin natin kung ang function ay pantay o kakaiba:

y (-x) = (-x) 3 - 3 (-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 - 3x) = -y (x)

Ito ay sumusunod na ang pag-andar ay kakaiba.

4) Ang function ay hindi pana-panahon.

5) Hanapin ang mga pagitan ng monotonicity at ang extremum point ng function: y ’= 3x 2 - 3.

Mga kritikal na puntos: 3x 2 - 3 = 0, x 2 = 1, x = ± 1.

y (-1) = (-1) 3 - 3 (-1) = 2

y (1) = 1 3 - 3 * 1 = -2

6) Hanapin ang mga convexity interval at inflection point ng function: y '' = 6x

Mga kritikal na puntos: 6x = 0, x = 0.

y (0) = 0 3 - 3 * 0 = 0

7) Ang pag-andar ay tuloy-tuloy, wala itong mga asymptotes.

8) Batay sa mga resulta ng pag-aaral, bubuo tayo ng graph ng function.

Ang materyal na pamamaraan ay para sa sanggunian at sumasaklaw sa malawak na hanay ng mga paksa. Ang artikulo ay nagbibigay ng isang pangkalahatang-ideya ng mga graph ng mga pangunahing pag-andar sa elementarya at isinasaalang-alang ang pinakamahalagang isyu - paano gumawa ng graph ng tama at MABILIS... Sa kurso ng pag-aaral ng mas mataas na matematika nang hindi nalalaman ang mga graph ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya, ito ay magiging mahirap, kaya napakahalagang tandaan kung paano ang hitsura ng mga graph ng isang parabola, hyperbola, sine, cosine, atbp., upang matandaan ang ilan. mga halaga ng mga function. Pag-uusapan din natin ang tungkol sa ilan sa mga katangian ng mga pangunahing pag-andar.

Hindi ko inaangkin ang pagkakumpleto at pang-agham na pagiging ganap ng mga materyales, ang diin ay gagawin, una sa lahat, sa pagsasanay - ang mga bagay na kung saan ang isa ay kailangang harapin nang literal sa bawat hakbang, sa anumang paksa ng mas mataas na matematika... Mga tsart para sa mga dummies? Masasabi mo.

Sa pamamagitan ng popular na demand mula sa mga mambabasa naki-click na talaan ng mga nilalaman:

Bilang karagdagan, mayroong isang ultra-maikling buod sa paksa
- master ang 16 na uri ng mga chart sa pamamagitan ng pag-aaral ng ANIM na pahina!

Grabe, anim, kahit ako nagulat. Ang buod na ito ay naglalaman ng pinahusay na mga graphics at magagamit para sa isang token fee, isang demo na bersyon ay maaaring matingnan. Ito ay maginhawa upang i-print ang file upang ang mga graph ay palaging nasa kamay. Salamat sa pagsuporta sa proyekto!

At agad kaming magsisimula:

Paano i-plot nang tama ang mga coordinate axes?

Sa pagsasagawa, ang mga pagsusulit ay halos palaging iginuhit ng mga mag-aaral sa magkahiwalay na mga notebook, na may linya sa isang hawla. Bakit kailangan mo ng checkered lines? Pagkatapos ng lahat, ang trabaho, sa prinsipyo, ay maaaring gawin sa mga sheet ng A4. At ang hawla ay kinakailangan para lamang sa mataas na kalidad at tumpak na disenyo ng mga guhit.

Ang anumang pagguhit ng isang graph ng isang function ay nagsisimula sa mga coordinate axes.

Available ang mga drawing sa 2D at 3D.

Isaalang-alang muna ang dalawang-dimensional na kaso cartesian rectangular coordinate system:

1) Gumuhit kami ng mga coordinate axes. Ang axis ay tinatawag abscissa at ang axis ay y-axis ... Lagi naming sinusubukang iguhit ang mga ito maayos at hindi baluktot... Ang mga palaso ay hindi rin dapat katulad ng balbas ni Papa Carlo.

2) Nilagdaan namin ang mga palakol na may malalaking titik na "X" at "Y". Huwag kalimutang lagdaan ang mga palakol.

3) Itakda ang sukat sa kahabaan ng mga palakol: gumuhit ng zero at dalawa... Kapag nagsasagawa ng pagguhit, ang pinaka-maginhawa at karaniwang sukat ay: 1 yunit = 2 mga cell (pagguhit sa kaliwa) - kung maaari, manatili dito. Gayunpaman, paminsan-minsan ay nangyayari na ang pagguhit ay hindi magkasya sa notebook sheet - pagkatapos ay binabawasan namin ang sukat: 1 yunit = 1 cell (pagguhit sa kanan). Bihirang, ngunit nangyayari na ang sukat ng pagguhit ay kailangang bawasan (o dagdagan) pa

HINDI KAILANGAN "mag-scribble gamit ang machine gun" ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Para sa coordinate na eroplano- hindi isang monumento kay Descartes, at isang mag-aaral - hindi isang kalapati. Inilagay namin sero at dalawang yunit sa kahabaan ng mga palakol... Minsan sa halip na mga yunit, ito ay maginhawa upang "markahan" ang iba pang mga halaga, halimbawa, "dalawa" sa abscissa at "tatlo" sa ordinate - at ang sistemang ito (0, 2 at 3) ay natatanging magtatakda ng coordinate grid.

Mas mainam na tantyahin ang tinantyang sukat ng pagguhit BAGO ang pagguhit ay binuo.... Kaya, halimbawa, kung ang gawain ay nangangailangan sa iyo na gumuhit ng isang tatsulok na may mga vertices,,, kung gayon ito ay lubos na malinaw na ang sikat na sukat ng 1 yunit = 2 mga cell ay hindi gagana. Bakit? Tingnan natin ang punto - dito kailangan mong sukatin ang labinlimang sentimetro pababa, at, malinaw naman, ang pagguhit ay hindi magkasya (o halos hindi magkasya) sa isang notebook sheet. Samakatuwid, agad kaming pumili ng mas maliit na sukat ng 1 unit = 1 cell.

Sa pamamagitan ng paraan, mga sentimetro at mga cell ng notebook. Totoo ba na ang 30 tetrad cell ay naglalaman ng 15 sentimetro? Sukatin sa isang kuwaderno para sa interes na 15 sentimetro gamit ang isang ruler. Sa USSR, marahil ito ay totoo ... Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung susukatin mo ang mga mismong sentimetro na ito nang pahalang at patayo, ang mga resulta (sa mga cell) ay magkakaiba! Sa mahigpit na pagsasalita, ang mga modernong notebook ay hindi checkered, ngunit hugis-parihaba. Marahil ito ay tila walang kapararakan, ngunit ang pagguhit, halimbawa, ang isang bilog na may compass sa gayong mga layout ay napaka-abala. Sa totoo lang, sa mga sandaling iyon ay nagsisimula kang mag-isip tungkol sa kawastuhan ni Kasamang Stalin, na ipinadala sa mga kampo para sa trabaho sa pag-hack sa produksyon, hindi sa banggitin ang domestic automotive industry, bumabagsak na mga eroplano o sumasabog na mga planta ng kuryente.

Nagsasalita ng kalidad, o isang maikling rekomendasyon para sa stationery. Ngayon, karamihan sa mga notebook ay ibinebenta, hindi para magsabi ng masasamang salita, puno ng homosexuality. Para sa kadahilanang nabasa sila, at hindi lamang mula sa mga gel pen, kundi pati na rin sa mga bolpen! Nagtitipid sila sa papel. Para sa pagpaparehistro gumaganang kontrol Inirerekomenda ko ang paggamit ng mga notebook ng Arkhangelsk PPM (18 sheet, cage) o "Pyaterochka", kahit na ito ay mas mahal. Maipapayo na pumili ng isang gel pen, kahit na ang pinakamurang Chinese gel refill ay mas mahusay kaysa sa isang bolpen na maaaring pahiran o punitin ang papel. Ang tanging "mapagkumpitensya" panulat sa aking alaala ay si "Erich Krause". Sumulat siya nang malinaw, maganda at matatag - alinman sa buong core o halos walang laman.

Bukod pa rito: Ang pagtingin sa isang rectangular coordinate system sa pamamagitan ng mga mata ng analytical geometry ay sakop sa artikulo Linear (hindi) dependence ng mga vectors. Batayan ng mga vector, ang detalyadong impormasyon sa coordinate quarters ay makikita sa ikalawang talata ng aralin Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay.

Three-dimensional na kaso

Halos pareho lang dito.

1) Gumuhit kami ng mga coordinate axes. Pamantayan: ilapat ang axis - nakadirekta pataas, axis - nakadirekta sa kanan, axis - kaliwa at pababa mahigpit sa isang anggulo ng 45 degrees.

2) Pinirmahan namin ang mga palakol.

3) Itakda ang sukat sa kahabaan ng mga palakol. Axis scale - kalahati ng sukat sa iba pang mga axes... Pansinin din na sa pagguhit sa kanan ay gumamit ako ng isang hindi karaniwang "serif" kasama ang axis (ang posibilidad na ito ay nabanggit na sa itaas)... Mula sa aking pananaw, ito ay mas tumpak, mas mabilis at mas aesthetically kasiya-siya - hindi na kailangang hanapin ang gitna ng isang cell sa ilalim ng mikroskopyo at "sculpt" ang isang yunit sa tabi mismo ng pinagmulan.

Kapag gumagawa muli ng 3D drawing - bigyang-priyoridad ang sukat
1 unit = 2 cell (drawing sa kaliwa).

Para saan ang lahat ng mga patakarang ito? Ang mga patakaran ay nariyan upang labagin. Kung ano ang gagawin ko ngayon. Ang katotohanan ay ang kasunod na mga guhit ng artikulo ay gagawin ko sa Excel, at ang mga coordinate axes ay magmumukhang hindi tama mula sa punto ng view ng tamang disenyo. Maaari kong iguhit ang lahat ng mga tsart sa pamamagitan ng kamay, ngunit ang pagguhit ng mga ito ay talagang kakila-kilabot dahil ang Excel ay iguguhit ang mga ito nang mas tumpak.

Mga graph at pangunahing katangian ng elementarya na pag-andar

Ang linear function ay ibinibigay ng equation. Ang graph ng mga linear function ay tuwid... Upang makabuo ng isang tuwid na linya, sapat na malaman ang dalawang puntos.

Halimbawa 1

I-plot ang function. Maghanap tayo ng dalawang puntos. Ito ay kapaki-pakinabang na pumili ng zero bilang isa sa mga puntos.

Kung, kung gayon

Kumuha ng ibang punto, halimbawa, 1.

Kung, kung gayon

Kapag pinupunan ang mga gawain, ang mga coordinate ng mga puntos ay karaniwang ibinubuod sa isang talahanayan:

At ang mga halaga mismo ay kinakalkula nang pasalita o sa isang draft, calculator.

Dalawang puntos ang natagpuan, gawin natin ang pagguhit:

Kapag gumuhit ng drawing, palagi kaming pumipirma ng mga graph.

Hindi magiging kalabisan na alalahanin ang mga espesyal na kaso ng isang linear na function:

Pansinin kung paano ko inayos ang mga lagda, hindi dapat pahintulutan ng mga lagda ang mga pagkakaiba kapag pinag-aaralan ang pagguhit... Sa kasong ito, lubos na hindi kanais-nais na maglagay ng lagda malapit sa punto ng intersection ng mga linya, o sa kanang ibaba sa pagitan ng mga graph.

1) Ang isang linear na function ng form () ay tinatawag na direktang proporsyonalidad. Halimbawa, . Ang direktang proporsyonal na graph ay palaging dumadaan sa pinagmulan. Kaya, ang pagtatayo ng isang tuwid na linya ay pinasimple - sapat na upang makahanap lamang ng isang punto.

2) Ang equation ng form ay nagtatakda ng isang tuwid na linya parallel sa axis, sa partikular, ang axis mismo ay itinakda ng equation. Ang function graph ay binuo kaagad, nang hindi nakakahanap ng anumang mga punto. Iyon ay, ang rekord ay dapat na maunawaan tulad ng sumusunod: "ang laro ay palaging katumbas ng –4, para sa anumang halaga ng x".

3) Ang equation ng form ay nagtatakda ng isang tuwid na linya parallel sa axis, sa partikular, ang axis mismo ay itinakda ng equation. Ang function graph ay binuo din kaagad. Ang notasyon ay dapat na maunawaan tulad ng sumusunod: "x ay palaging, para sa anumang halaga ng y, ay katumbas ng 1".

Magtatanong ang ilan, bakit naaalala ang ika-6 na baitang?! Ganito ito, marahil, sa paglipas ng mga taon ng pagsasanay, nakilala ko ang isang dosenang mga mag-aaral na naguguluhan sa gawain ng pagbuo ng isang graph tulad ng o.

Ang pagguhit ng isang tuwid na linya ay ang pinakakaraniwang hakbang sa pagguhit.

Ang tuwid na linya ay isinasaalang-alang nang detalyado sa kurso ng analytical geometry, at ang mga nais ay maaaring sumangguni sa artikulo Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano.

Quadratic, cubic function graph, polynomial graph

Parabola. Quadratic Function Plot () ay isang parabola. Isaalang-alang ang sikat na kaso:

Alalahanin natin ang ilan sa mga katangian ng function.

Kaya, ang solusyon sa ating equation: - sa puntong ito matatagpuan ang vertex ng parabola. Kung bakit ganito, maaari mong malaman mula sa teoretikal na artikulo sa derivative at ang aralin sa extrema ng isang function. Pansamantala, kinakalkula namin ang katumbas na halaga ng "laro":

Kaya ang vertex ay nasa punto

Ngayon ay nakahanap kami ng iba pang mga punto, habang brazenly ginagamit ang mahusay na proporsyon ng parabola. Dapat pansinin na ang pag-andar – ay hindi pantay, ngunit, gayunpaman, ang simetrya ng parabola ay hindi nakansela.

Sa anong pagkakasunud-sunod upang mahanap ang natitirang mga puntos, sa palagay ko, magiging malinaw mula sa huling talahanayan:

Ang construction algorithm na ito ay matalinghagang tinatawag na "shuttle" o ang "back and forth" na prinsipyo sa Anfisa Chekhova.

Isagawa natin ang pagguhit:

Isang mas kapaki-pakinabang na tanda ang naiisip mula sa mga graph na sinuri:

Para sa isang quadratic function () ang sumusunod ay totoo:

Kung, kung gayon ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas.

Kung, kung gayon ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa.

Ang malalim na kaalaman sa kurba ay maaaring makuha sa aralin ng Hyperbola at Parabola.

Ang isang cubic parabola ay ibinibigay ng isang function. Narito ang isang guhit na pamilyar sa paaralan:

Ilista natin ang mga pangunahing katangian ng function

Function graph

Ito ay kumakatawan sa isa sa mga sangay ng parabola. Isagawa natin ang pagguhit:

Ang mga pangunahing katangian ng function:

Sa kasong ito, ang axis ay patayong asymptote para sa graph ng hyperbola sa.

Magiging isang MALAKING pagkakamali kung papabayaan mong payagan ang intersection ng graph sa asymptote kapag gumuhit ng drawing.

Sinasabi rin sa amin ng mga one-sided na limitasyon na ang hyperbola hindi limitado mula sa itaas at hindi limitado mula sa ibaba.

Suriin natin ang pag-andar sa infinity: iyon ay, kung magsisimula tayong gumalaw kasama ang axis sa kaliwa (o sa kanan) hanggang sa infinity, kung gayon ang "mga laro" ay magiging malapit nang walang katapusan lumapit sa zero, at, nang naaayon, ang mga sanga ng hyperbola malapit nang walang katapusan lumapit sa axis.

Kaya ang axis ay pahalang na asymptote para sa graph ng function, kung ang "x" ay may posibilidad na plus o minus infinity.

Ang function ay kakaiba, at, samakatuwid, ang hyperbola ay simetriko tungkol sa pinagmulan. Ang katotohanang ito ay halata mula sa pagguhit, bilang karagdagan, madali itong ma-verify nang analytical: .

Ang graph ng isang function ng form () ay kumakatawan sa dalawang sangay ng hyperbola.

Kung, kung gayon ang hyperbola ay matatagpuan sa una at pangatlong coordinate quarter(tingnan ang larawan sa itaas).

Kung, kung gayon ang hyperbola ay matatagpuan sa pangalawa at ikaapat na coordinate quarter.

Ang ipinahiwatig na regularidad ng lugar ng paninirahan ng hyperbola ay madaling pag-aralan mula sa punto ng view ng mga geometric na pagbabagong-anyo ng mga graph.

Halimbawa 3

Buuin ang tamang sangay ng hyperbola

Ginagamit namin ang point-by-point na paraan ng pagtatayo, habang ito ay kapaki-pakinabang upang piliin ang mga halaga upang ito ay ganap na nahahati:

Isagawa natin ang pagguhit:

Hindi magiging mahirap na bumuo ng kaliwang sangay ng hyperbola, dito ang kakaibang pag-andar ay makakatulong lamang. Sa halos pagsasalita, sa talahanayan ng point-by-point construction, mentally magdagdag ng minus sa bawat numero, ilagay ang kaukulang mga puntos at gumuhit ng pangalawang sangay.

Ang detalyadong geometric na impormasyon tungkol sa isinasaalang-alang na linya ay matatagpuan sa artikulong Hyperbola at Parabola.

Exponential function graph

Sa seksyong ito, agad kong isasaalang-alang ang exponential function, dahil sa mga problema ng mas mataas na matematika sa 95% ng mga kaso ito ay ang exponential na nakatagpo.

Hayaan akong ipaalala sa iyo na - ito ay isang hindi makatwiran na numero: ito ay kinakailangan kapag gumagawa ng isang iskedyul, na, sa katunayan, ako ay magtatayo nang walang seremonya. Tatlong puntos sapat na siguro:

Iwanan muna natin ang function graph sa ngayon, higit pa sa susunod.

Ang mga pangunahing katangian ng function:

Sa prinsipyo, pareho ang hitsura ng mga function graph, atbp.

Dapat kong sabihin na ang pangalawang kaso ay hindi gaanong karaniwan sa pagsasanay, ngunit ito ay nangyayari, kaya't itinuring kong kinakailangan na isama ito sa artikulong ito.

Logarithmic function graph

Isaalang-alang ang isang function na may natural na logarithm.
Magsagawa tayo ng point-by-point drawing:

Kung nakalimutan mo kung ano ang logarithm, mangyaring sumangguni sa iyong mga aklat-aralin sa paaralan.

Ang mga pangunahing katangian ng function:

Domain:

Saklaw ng mga halaga:.

Ang function ay hindi limitado mula sa itaas: , kahit na dahan-dahan, ngunit ang sangay ng logarithm ay umaakyat sa infinity.
Suriin natin ang pag-uugali ng function na malapit sa zero sa kanan: ... Kaya ang axis ay patayong asymptote para sa graph ng function na may "x" na may posibilidad na zero sa kanan.

Kinakailangang malaman at tandaan ang karaniwang halaga ng logarithm.: .

Sa prinsipyo, ang graph ng base logarithm ay mukhang pareho:,, (decimal logarithm base 10), atbp. Bukod dito, mas malaki ang base, mas magiging flat ang graph.

Hindi namin isasaalang-alang ang kaso, sa ilang kadahilanan ay hindi ko maalala ang huling beses na gumawa ako ng graph na may ganoong batayan. At ang logarithm ay tila isang napakabihirang panauhin sa mga problema ng mas mataas na matematika.

Sa dulo ng talata, sasabihin ko ang tungkol sa isa pang katotohanan: Exponential function at logarithmic functionAy dalawang magkabaligtaran na pag-andar... Kung titingnan mong mabuti ang graph ng logarithm, makikita mo na ito ay ang parehong exponent, ito ay lamang na ito ay matatagpuan sa isang maliit na naiiba.

Trigonometric function graphs

Paano nagsisimula ang trigonometric torment sa paaralan? Tama. Mula sa sine

I-plot natin ang function

Ang linyang ito ay tinatawag sinusoid.

Hayaan akong ipaalala sa iyo na ang "pi" ay isang hindi makatwirang numero:, at sa trigonometrya ito ay nakakasilaw sa mga mata.

Ang mga pangunahing katangian ng function:

Ang function na ito ay pana-panahon may period. Ano ang ibig sabihin nito? Tingnan natin ang segment. Sa kaliwa at sa kanan nito, ang eksaktong parehong piraso ng graph ay paulit-ulit na walang katapusang.

Domain:, iyon ay, para sa anumang halaga ng "x" mayroong isang halaga ng sine.

Saklaw ng mga halaga:. Ang function ay limitado:, ibig sabihin, lahat ng "gamer" ay mahigpit na nakaupo sa segment.
Hindi ito nangyayari: o, mas tiyak, nangyayari ito, ngunit ang mga equation na ito ay walang solusyon.

1) Ang domain ng function at ang domain ng function.

Ang saklaw ng pag-andar ay ang hanay ng lahat ng wastong valid na halaga ng argumento x(variable x) kung saan ang function y = f (x) tinukoy. Ang hanay ng mga halaga ng isang function ay ang hanay ng lahat ng tunay na halaga y na tinatanggap ng function.

Sa elementarya na matematika, ang mga function ay pinag-aaralan lamang sa hanay ng mga tunay na numero.

2) Mga function na zero.

Ang function na zero ay isang halaga ng argumento kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng zero.

3) Mga agwat ng patuloy na paggana.

Ang mga pagitan ng pare-parehong pag-sign ng isang function ay tulad ng mga hanay ng mga halaga ng argumento, kung saan ang mga halaga ng function ay positibo lamang o negatibo lamang.

4) Monotonicity ng function.

Ang pagtaas ng function (sa isang tiyak na agwat) ay isang function kung saan ang isang mas malaking halaga ng argument mula sa agwat na ito ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function.

Pagbaba ng function (sa isang tiyak na agwat) - isang function kung saan ang mas malaking halaga ng argument mula sa agwat na ito ay tumutugma sa mas maliit na halaga ng function.

5) Parity (kakaibang) function.

Ang even function ay isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko tungkol sa pinagmulan at para sa alinman NS mula sa domain, ang pagkakapantay-pantay f (-x) = f (x)... Ang graph ng isang even function ay simetriko tungkol sa ordinate axis.

Ang kakaibang function ay isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko tungkol sa pinagmulan at para sa alinman NS ang domain ng kahulugan ay nagbibigay-kasiyahan sa pagkakapantay-pantay f (-x) = - f (x). Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

6) Limitado at walang limitasyong mga pag-andar.

Ang isang function ay tinatawag na bounded kung mayroong isang positibong numero M tulad na | f (x) | ≤ M para sa lahat ng halaga ng x. Kung walang ganoong numero, ang function ay walang limitasyon.

7) Periodicity ng function.

Ang isang function na f (x) ay panaka-nakang kung mayroong isang nonzero na numerong T na para sa alinmang x mula sa domain ng function ang sumusunod ay taglay ang: f (x + T) = f (x). Ang pinakamaliit na bilang na ito ay tinatawag na panahon ng pagpapaandar. Ang lahat ng trigonometriko function ay panaka-nakang. (Mga formula ng trigonometriko).

19. Mga pangunahing pag-andar ng elementarya, ang kanilang mga katangian at graphics. Paglalapat ng mga tungkulin sa ekonomiya.

Mga pangunahing pag-andar ng elementarya. Ang kanilang mga katangian at mga graph

1. Linear function.

Linear function tinatawag na function ng form, kung saan ang x ay isang variable, ang a at b ay mga tunay na numero.

Numero a tinatawag na slope ng isang tuwid na linya, ito ay katumbas ng tangent ng anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya na ito sa positibong direksyon ng abscissa axis. Ang graph ng isang linear function ay isang tuwid na linya. Ito ay tinukoy ng dalawang puntos.

Mga katangian ng linear na function

1. Domain ng kahulugan - ang hanay ng lahat ng tunay na numero: D (y) = R

2. Ang hanay ng mga halaga ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero: E (y) = R

3. Ang function ay tumatagal sa isang zero na halaga para sa o.

4. Ang function ay tumataas (bumababa) sa buong domain ng kahulugan.

5. Ang linear function ay tuloy-tuloy sa buong domain ng definition, differentiable at.

2. Quadratic function.

Ang isang function ng form, kung saan ang x ay isang variable, ang coefficients a, b, c ay tunay na mga numero, ay tinatawag parisukat.