завдання 1 (Про обчислення площі криволінійної трапеції).

У декартовій прямокутній системі координат xOy дана фігура (див. Малюнок), обмежена віссю х, прямими х \u003d a, x \u003d b (a криволінійної трапецією. Потрібно обчислити площу криволінійної трапеції.
Рішення. Геометрія дає нам рецепти для обчислення площ багатокутників і деяких частин кола (сектора, сегмента). Використовуючи геометричні міркування, ми зуміємо знайти лише наближене значення шуканої площі, розмірковуючи таким чином.

Розіб'ємо відрізок [а; b] (підстава криволінійної трапеції) на n рівних частин; це розбиття здійснимо за допомогою точок x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Проведемо через ці точки прямі, паралельні осі у. Тоді задана криволінійна трапеція розіб'ється на n частин, на n вузьких стовпчиків. Площа всієї трапеції дорівнює сумі площ стовпчиків.

Розглянемо окремо k-ий стовпчик, тобто криволинейную трапецію, основою якої служить відрізок. Замінимо його прямокутником з тим же підставою і висотою, рівній f (x k) (див. Малюнок). Площа прямокутника дорівнює \\ (f (x_k) \\ cdot \\ Delta x_k \\), де \\ (\\ Delta x_k \\) - довжина відрізка; природно вважати складене твір наближеним значенням площі k-го стовпчика.

Якщо тепер зробити те ж саме з усіма іншими стовпчиками, то прийдемо до наступного результату: площа S заданої криволінійної трапеції наближено дорівнює площі S n ступінчастою фігури, складеної з n прямокутників (див. Малюнок):
\\ (S_n \u003d f (x_0) \\ Delta x_0 + \\ dots + f (x_k) \\ Delta x_k + \\ dots + f (x_ (n-1)) \\ Delta x_ (n-1) \\)
Тут заради однаковості позначень ми вважаємо, що a \u003d х 0, b \u003d x n; \\ (\\ Delta x_0 \\) - довжина відрізка, \\ (\\ Delta x_1 \\) - довжина відрізка, і т.д; при цьому, як ми домовилися вище, \\ (\\ Delta x_0 \u003d \\ dots \u003d \\ Delta x_ (n-1) \\)

Отже, \\ (S \\ approx S_n \\), причому це наближена рівність тим точніше, чим більше n.
За визначенням вважають, що шукана площа криволінійної трапеції дорівнює межі послідовності (S n):
$$ S \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) S_n $$

завдання 2 (Про переміщення точки)
По прямій рухається матеріальна точка. Залежність швидкості від часу виражається формулою v \u003d v (t). Знайти переміщення точки за проміжок часу [а; b].
Рішення. Якби рух було рівномірним, то задача вирішувалася б дуже просто: s \u003d vt, тобто s \u003d v (b-а). Для нерівномірного руху доводиться використовувати ті ж ідеї, на яких було започатковано розв'язання попередньої задачі.
1) Розділимо проміжок часу [а; b] на n рівних частин.
2) Розглянемо проміжок часу і будемо вважати, що в цей проміжок часу швидкість була постійною, такий, як в момент часу t k. Отже, ми вважаємо, що v \u003d v (t k).
3) Знайдемо наближене значення переміщення точки за проміжок часу, це наближене значення позначимо s k
\\ (S_k \u003d v (t_k) \\ Delta t_k \\)
4) Знайдемо наближене значення переміщення s:
\\ (S \\ approx S_n \\) де
\\ (S_n \u003d s_0 + \\ dots + s_ (n-1) \u003d v (t_0) \\ Delta t_0 + \\ dots + v (t_ (n-1)) \\ Delta t_ (n-1) \\)
5) Шукане переміщення одно межі послідовності (S n):
$$ s \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) S_n $$

Підведемо підсумки. Вирішення різних завдань звелися до однієї і тієї ж математичної моделі. Багато задач з різних областей науки і техніки приводять в процесі рішення до такої ж моделі. Значить, цю математичну модель треба спеціально вивчити.

Поняття визначеного інтеграла

дамо математичний опис тієї моделі, яка була побудована в трьох розглянутих задачах для функції y \u003d f (x), безперервної (але необов'язково неотрицательной, як це передбачалося в розглянутих задачах) на відрізку [а; b]:
1) розбиваємо відрізок [а; b] на n рівних частин;
2) складаємо суму $$ S_n \u003d f (x_0) \\ Delta x_0 + f (x_1) \\ Delta x_1 + \\ dots + f (x_ (n-1)) \\ Delta x_ (n-1) $$
3) обчислюємо $$ \\ lim_ (n \\ to \\ infty) S_n $$

В курсі математичного аналізу доведено, що ця межа в разі безперервної (або кусочно-безперервною) функції існує. Його називають певним інтегралом від функції y \u003d f (x) на відрізку [а; b] і позначають так:
\\ (\\ Int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)
Числа a і b називають межами інтегрування (відповідно нижнім і верхнім).

Повернемося до розглянутих вище завдань. Визначення площі, дане в завданні 1, тепер можна переписати таким чином:
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)
тут S - площа криволінійної трапеції, зображеної на малюнку вище. У цьому полягає геометричний сенс певного інтеграла.

Визначення переміщення s точки, що рухається по прямій з швидкістю v \u003d v (t), за проміжок часу від t \u003d a до t \u003d b, дане в завданні 2, можна переписати так:

Формула Ньютона - Лейбніца

Для початку відповімо на запитання: який зв'язок між певним інтегралом і первісної?

Відповідь можна знайти в задачі 2. З одного боку, переміщення s точки, що рухається по прямій з швидкістю v \u003d v (t), за проміжок часу від t \u003d а до t \u003d b і обчислюється за формулою
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b v (t) dt \\)

З іншого боку, координата рухається точки є первісна для швидкості - позначимо її s (t); значить, переміщення s виражається формулою s \u003d s (b) - s (a). В результаті отримуємо:
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b v (t) dt \u003d s (b) -s (a) \\)
де s (t) - первісна для v (t).

В курсі математичного аналізу доведена наступна теорема.
Теорема. Якщо функція y \u003d f (x) неперервна на відрізку [а; b], то справедлива формула
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \u003d F (b) -F (a) \\)
де F (x) - первісна для f (x).

Наведену формулу зазвичай називають формулою Ньютона - Лейбніца на честь англійського фізика Ісаака Ньютона (1643-1727) і німецького філософа Готфріда Лейбніца (1646- 1716), які отримали її незалежно один від одного і практично одночасно.

На практиці замість запису F (b) - F (a) використовують запис \\ (\\ left. F (x) \\ right | _a ^ b \\) (її називають іноді подвійний підстановкою) І, відповідно, переписують формулу Ньютона - Лейбніца в такому вигляді:
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \u003d \\ left. F (x) \\ right | _a ^ b \\)

Обчислюючи певний інтеграл, спочатку знаходять первісну, а потім здійснюють подвійну підстановку.

Спираючись на формулу Ньютона - Лейбніца, можна отримати два властивості визначеного інтеграла.

Властивість 1. Інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів:
\\ (\\ Int \\ limits_a ^ b (f (x) + g (x)) dx \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx + \\ int \\ limits_a ^ b g (x) dx \\)

Властивість 2. Постійний множник можна винести за знак інтеграла:
\\ (\\ Int \\ limits_a ^ b kf (x) dx \u003d k \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)

Обчислення площ плоских фігур за допомогою визначеного інтеграла

За допомогою інтеграла можна обчислювати площі не тільки криволінійних трапецій, а й плоских фігур більш складного виду, наприклад такого, який представлений на малюнку. Фігура Р обмежена прямими х \u003d а, х \u003d b і графіками безперервних функцій y \u003d f (x), y \u003d g (x), причому на відрізку [а; b] виконується нерівність \\ (g (x) \\ leq f (x) \\). Щоб обчислити площу S такої фігури, будемо діяти наступним чином:
\\ (S \u003d S_ (ABCD) \u003d S_ (aDCb) - S_ (aABb) \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx - \\ int \\ limits_a ^ b g (x) dx \u003d \\)
\\ (\u003d \\ Int \\ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \\)

Отже, площа S фігури, обмеженою прямими х \u003d а, х \u003d b і графіками функцій y \u003d f (x), y \u003d g (x), безперервних на відрізку і таких, що для будь-якого x з відрізка [а; b] виконується нерівність \\ (g (x) \\ leq f (x) \\), обчислюється за формулою
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \\)

Таблиця невизначених інтегралів (первісних) деяких функцій

$$ \\ int 0 \\ cdot dx \u003d C $$ $$ \\ int 1 \\ cdot dx \u003d x + C $$ $$ \\ int x ^ n dx \u003d \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \\; \\; (N \\ neq -1) $$ $$ \\ int \\ frac (1) (x) dx \u003d \\ ln | x | + C $$ $$ \\ int e ^ x dx \u003d e ^ x + C $$ $$ \\ int a ^ x dx \u003d \\ frac (a ^ x) (\\ ln a) + C \\; \\; (A\u003e 0, \\; \\; a \\ neq 1) $$ $$ \\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + C $$ $$ \\ int \\ sin x dx \u003d - \\ cos x + C $$ $ $ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos ^ 2 x) \u003d \\ text (tg) x + C $$ $$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sin ^ 2 x) \u003d - \\ text (ctg) x + C $$ $$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ text (arcsin) x + C $$ $$ \\ int \\ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) \u003d \\ text (arctg) x + C $$ $$ \\ int \\ text (ch) x dx \u003d \\ text (sh) x + C $$ $$ \\ int \\ text (sh) x dx \u003d \\ text (ch ) x + C $$

Переходимо до розгляду додатків інтегрального числення. На цьому уроці ми розберемо типову і найбільш поширену задачу обчислення площі плоскої фігури за допомогою певного інтеграла. Нарешті все шукають сенс у вищій математиці - нехай знайдуть його. Хіба мало. Доведеться ось в житті наближати дачна ділянка елементарними функціями і знаходити його площа за допомогою певного інтеграла.

Для успішного освоєння матеріалу, необхідно:

1) Розбиратися в невизначеному інтегралі хоча б на середньому рівні. Таким чином, чайникам для початку слід ознайомитися з уроком Чи не.

2) Вміти застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца і обчислювати визначений інтеграл. Налагодити теплі дружні стосунки з певними інтегралами можна на сторінці Визначений інтеграл. приклади рішень. Завдання «обчислити площу за допомогою певного інтеграла» завжди передбачає побудову креслення, Тому актуальним питанням будуть також ваші знання і навички побудови креслень. Як мінімум, треба вміти будувати пряму, параболу і гіперболу.

Почнемо з криволінійної трапеції. Криволінійної трапеція - це плоска фігура, обмежена графіком деякої функції y = f(x), Віссю OX і лініями x = a; x = b.

Площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює визначеному інтегралу

У будь-якого певного інтеграла (який існує) є дуже хороший геометричний сенс. На уроці Визначений інтеграл. приклади рішеньми говорили, що визначений інтеграл - це число. А зараз прийшла пора констатувати ще один корисний факт. З точки зору геометрії визначений інтеграл - це ПЛОЩА. Тобто, певного інтеграла (якщо він існує) геометрично відповідає площа деякої фігури. Розглянемо певний інтеграл

підінтегральна функція

задає на площині криву (її при бажанні можна накреслити), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

приклад 1

, , , .

Це типова формулювання завдання. Найважливіший момент рішення - побудова креслення. Причому, креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.

При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочатку краще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім - параболи, гіперболи, графіки інших функцій. З технікою поточечного побудови можна ознайомитися в довідковому матеріалі Графіки і властивості елементарних функцій. Там же можна знайти дуже корисний стосовно нашого уроку матеріал - як швидко побудувати параболу.

У цьому завданню рішення може виглядати так.

Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння y \u003d 0 задає вісь OX):

Штрихована криволинейную трапецію не будемо, тут очевидно, про яку площі йдеться. Рішення триває так:

На відрізку [-2; 1] графік функції y = x 2 + 2 розташований над віссюOX, Тому:

відповідь: .

У кого виникли труднощі з обчисленням певного інтеграла і застосуванням формули Ньютона-Лейбніца

,

зверніться до лекції Визначений інтеграл. приклади рішень. Після того, як завдання виконано, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальний вийшов відповідь. В даному випадку «на око» підраховуємо кількість клітинок в кресленні - ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби у нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, очевидно, що десь допущена помилка - в розглянуту фігуру 20 клітинок явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшов негативним, то завдання теж вирішено некоректно.

приклад 2

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями xy = 4, x = 2, x \u003d 4 і віссю OX.

Це приклад для самостійного рішення. Повне рішення і відповідь в кінці уроку.

Що робити, якщо криволинейная трапеція розташована під віссюOX?

приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями y = e - x, x \u003d 1 і координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція повністю розташована під віссю OX , То її площа можна знайти за формулою:

В даному випадку:

.

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без всякого геометричного сенсу, то він може бути негативним.

2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому в тільки що розглянутої формулою фігурує мінус.

На практиці найчастіше фігура розташована і в верхній і в нижній півплощині, а тому, від найпростіших шкільних задачок переходимо до більш змістовним прикладів.

приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженої лініями y = 2x – x 2 , y = -x.

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення. При побудові креслення в задачах на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи y = 2x – x 2 і прямий y = -x. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб - аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Значить, нижня межа інтегрування a = 0, верхня межа інтегрування b \u003d 3. Часто вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, при цьому межі інтегрування з'ясовуються як би «самі собою». Проте, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточені побудова не виявило меж інтегрування (вони можуть бути дробовими або ірраціональними). Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і тільки потім параболу. Виконаємо креслення:

Повторимося, що при поточечной побудові межі інтегрування найчастіше з'ясовуються «автоматоматіческі».

А тепер робоча формула:

Якщо на відрізку [ a; b] Деяка безперервна функція f(x) більше або дорівнює деякої неперервної функції g(x), То площа відповідної фігури можна знайти за формулою:

Тут вже не треба думати, де розташована фігура - над віссю або під віссю, а важливо, який графік ВИЩЕ(Щодо іншого графіка), а який - НИЖЧЕ.

У розглянутому прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому з 2 x – x 2 необхідно відняти - x.

Завершення рішення може виглядати так:

Шукана фігура обмежена параболою y = 2x – x 2 зверху і прямий y = -x знизу.

На відрізку 2 x – x 2 ≥ -x. За відповідною формулою:

відповідь: .

Насправді, шкільна формула для площі криволінійної трапеції в нижній півплощині (див. Приклад №3) - окремий випадок формули

.

оскільки вісь OX задається рівнянням y \u003d 0, а графік функції g(x) Розташований нижче осі OX, то

.

А зараз кілька прикладів для самостійного рішення

приклад 5

приклад 6

Знайти площу фігури, обмеженої лініями

В ході вирішення задач на обчислення площі за допомогою визначеного інтеграла іноді трапляється кумедний казус. Креслення виконано правильно, розрахунки - правильно, але, через неуважність, ... знайдена площа не тієї фігури.

приклад 7

Спочатку виконаємо креслення:

Фігура, площа якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(Уважно дивіться на умова - чим обмежена фігура!). Але на практиці, через неуважність, нерідко вирішують, що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад ще й корисний тим, що в ньому площу фігури вважається за допомогою двох визначених інтегралів. дійсно:

1) На відрізку [-1; 1] над віссю OX розташований графік прямої y = x+1;

2) На відрізку над віссю OX розташований графік гіперболи y = (2/x).

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:

відповідь:

приклад 8

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями

Уявімо рівняння в «шкільному» вигляді

і виконаємо поточечной креслення:

З креслення видно, що верхня межа у нас «хороший»: b = 1.

Але чому дорівнює нижня межа ?! Зрозуміло, що це не ціле число, але яке?

Може бути, a\u003d (- 1/3)? Але де гарантія, що креслення виконаний з ідеальною точністю, цілком може виявитися що a\u003d (- 1/4). А якщо ми взагалі неправильно побудували графік?

У таких випадках доводиться витрачати додатковий час і уточнювати межі інтегрування аналітично.

Знайдемо точки перетину графіків

Для цього вирішуємо рівняння:

.

отже, a=(-1/3).

Подальше рішення тривіально. Головне, не заплутатися в підстановках і знаках. Обчислення тут не найпростіші. на відрізку

, ,

за відповідною формулою:

відповідь:

На закінчення уроку, розглянемо два завдання складніше.

приклад 9

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями

Рішення: Зобразимо цю фігуру на кресленні.

Для поточечного побудови креслення необхідно знати зовнішній вигляд синусоїди. Взагалі, корисно знати графіки всіх елементарних функцій, а також деякі значення синуса. Їх можна знайти в таблиці значень тригонометричних функцій. У ряді випадків (наприклад, в цьому) допускається побудова схематичного креслення, на якому принципово правильно повинні бути відображені графіки і межі інтегрування.

З межами інтегрування тут проблем немає, вони йдуть прямо з умови:

- «ікс» змінюється від нуля до «пі». Оформляємо подальше рішення:

На відрізку графік функції y \u003d Sin 3 x розташований над віссю OX, Тому:

(1) Як інтегруються синуси і косинуси в непарних ступенях, можна подивитися на уроці Інтеграли від тригонометричних функцій. Відщипуємо один синус.

(2) Використовуємо основне тригонометричну тотожність у вигляді

(3) Проведемо заміну змінної t \u003d cos x, Тоді: розташований над віссю, тому:

.

.

Примітка: зверніть увагу, як береться інтеграл від тангенса в кубі, тут використано наслідок основного тригонометричного тотожності

.

Насправді, для того щоб знаходити площа фігури не треба так вже й багато знань по невизначеному і певного інтеграла. Завдання «обчислити площу за допомогою певного інтеграла» завжди передбачає побудову креслення, Тому набагато більш актуальним питанням будуть ваші знання і навички побудови креслень. У зв'язку з цим корисно освіжити в пам'яті графіки основних елементарних функцій, а, як мінімум, вміти будувати пряму, і гіперболу.

Криволінійної трапецією називається плоска фігура, обмежена віссю, прямими, і графіком безперервної на відрізку функції, яка не змінює знак на цьому проміжку. Нехай дана фігура розташована не нижче осі абсцис:

тоді площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює визначеному інтегралу. У будь-якого певного інтеграла (який існує) є дуже хороший геометричний сенс.

З точки зору геометрії визначений інтеграл - це ПЛОЩА.

Тобто, певного інтеграла (якщо він існує) геометрично відповідає площа деякої фігури. Наприклад, розглянемо певний інтеграл. Підінтегральна функція задає на площині криву, розташовану вище осі (бажаючі можуть виконати креслення), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

приклад 1

Це типова формулювання завдання. перший і найважливіший момент рішення - побудова креслення. Причому, креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.

При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочатку краще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім - параболи, гіперболи, графіки інших функцій. Графіки функцій вигідніше будувати поточечно.

У цьому завданню рішення може виглядати так.
Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння задає вісь):

На відрізку графік функції розташований над віссю, Тому:

відповідь:

Після того, як завдання виконано, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальний вийшов відповідь. В даному випадку «на око» підраховуємо кількість клітинок в кресленні - ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби у нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, очевидно, що десь допущена помилка - в розглянуту фігуру 20 клітинок явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшов негативним, то завдання теж вирішено некоректно.

приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, і координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція розташована під віссю(Або, принаймні, не вище даної осі), то її площа можна знайти за формулою:

В даному випадку:

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без всякого геометричного сенсу, то він може бути негативним.

2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому в тільки що розглянутої формулою фігурує мінус.

На практиці найчастіше фігура розташована і в верхній і в нижній півплощині, а тому, від найпростіших шкільних задачок переходимо до більш змістовним прикладів.

приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженої лініями,.

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення. Взагалі кажучи, при побудові креслення в задачах на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи і прямої. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб - аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Значить, нижня межа інтегрування, верхня межа інтегрування.

Цим способом краще, по можливості, не користуватися.

Набагато вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, при цьому межі інтегрування з'ясовуються як би «самі собою». Проте, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточені побудова не виявило меж інтегрування (вони можуть бути дробовими або ірраціональними). І такий приклад, ми теж розглянемо.

Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і тільки потім параболу. Виконаємо креслення:

А тепер робоча формула: Якщо на відрізку деяка безперервна функція більше або дорівнює деякої неперервної функції, то площа фігури, обмеженої графіками даних функцій і прямими,, можна знайти за формулою:

Тут вже не треба думати, де розташована фігура - над віссю або під віссю, і, грубо кажучи, важливо, який графік ВИЩЕ(Щодо іншого графіка), а який - НИЖЧЕ.

У розглянутому прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому з необхідно відняти

Завершення рішення може виглядати так:

Шукана фігура обмежена параболою зверху і прямий знизу.
На відрізку, за відповідною формулою:

відповідь:

приклад 4

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями,,,.

Рішення: Спочатку виконаємо креслення:

Фігура, площа якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором (Уважно дивіться на умова - чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає «глюк», що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад ще корисний і тим, що в ньому площу фігури вважається за допомогою двох визначених інтегралів.

дійсно:

1) На відрізку над віссю розташований графік прямої;

2) На відрізку над віссю розташований графік гіперболи.

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:

З даної статті ви дізнаєтеся, як знайти площу фігури, обмеженої лініями, використовуючи обчислення з допомогою інтегралів. Вперше з постановкою такого завдання ми стикаємося в старших класах, коли тільки-тільки пройдено вивчення визначених інтегралів і пора приступити до геометричної інтерпретації отриманих знань на практиці.

Отже, що потрібно для успішного вирішення завдання з пошуку площі фігури за допомогою інтегралів:

• Уміння грамотно будувати креслення;
• Уміння вирішувати певний інтеграл за допомогою відомої формули Ньютона-Лейбніца;
• Уміння «побачити» більш вигідний варіант рішення - тобто зрозуміти, як в тому чи іншому випадку буде зручніше проводити інтегрування? Уздовж осі ікс (OX) або осі ігрек (OY)?
• Ну і куди без коректних обчислень?) Сюди входить розуміння як вирішувати той інший тип інтегралів і правильні чисельні обчислення.

Алгоритм рішення задачі по обчисленню площі фігури, обмеженої лініями:

1. Будуємо креслення. Бажано це робити на листку в клітинку, з великим масштабом. Підписуємо олівцем над кожним графіком назва цієї функції. Підпис графіків робиться виключно заради зручності подальших обчислень. Отримавши графік шуканої фігури, в більшості випадків буде видно відразу, які межі інтегрування будуть використані. Таким чином ми вирішуємо завдання графічним методом. Однак буває так, що значення меж дробові або ірраціональні. Тому, можна зробити додаткові розрахунки, переходимо в кроці два.

2. Якщо явно не задані межі інтегрування, то знаходимо точки перетину графіків один з одним, і дивимося, чи збігається наше графічне рішення з аналітичним.

3. Далі, необхідно проаналізувати креслення. Залежно від того, як розташовуються графіки функцій, існують різні підходи до знаходження площі фігури. Розглянемо різні приклади на знаходження площі фігури за допомогою інтегралів.

3.1. Самий класичний і простий варіант завдання, це коли потрібно знайти площу криволінійної трапеції. Що таке криволинейная трапеція? Це плоска фігура, обмежена віссю ікс (У \u003d 0), прямими х \u003d а, х \u003d b і будь-якій кривій, безперервної на проміжку від a до b. При цьому, дана фігура неотрицательна і розташовується не нижче осі абсцис. В цьому випадку, площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює визначеному інтегралу, що обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца:

приклад 1 y \u003d x2 - 3x + 3, x \u003d 1, x \u003d 3, y \u003d 0.

Якими лініями обмежена фігура? маємо параболу y \u003d x2 - 3x + 3, Яка розташовується над віссю ОХ, Вона невід'ємна, тому що всі точки цієї параболи мають позитивні значення. Далі, задані прямі х \u003d 1 і х \u003d 3, Які пролягають паралельно осі ОУ, Є обмежувальними лініями фігури зліва і справа. Ну і у \u003d 0, Вона ж вісь ікс, яка обмежує фігуру знизу. Отримана фігура заштрихована, як видно з малюнка зліва. В даному випадку, можна відразу приступати до вирішення завдання. Перед нами простий приклад криволінійної трапеції, яку далі вирішуємо за допомогою формули Ньютона-Лейбніца.

3.2. У попередньому пункті 3.1 розібраний випадок, коли криволінійна трапеція розташована над віссю ікс. Тепер розглянемо випадок, коли умови задачі такі ж, за винятком того, що функція пролягає під віссю ікс. До стандартною формулою Ньютона-Лейбніца додається мінус. Як вирішувати подібну задачу розглянемо далі.

приклад 2 . Обчислити площу фігури, обмеженої лініями y \u003d x2 + 6x + 2, x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0.

В даному прикладі маємо параболу y \u003d x2 + 6x + 2, Яка бере свій початок з-під осі ОХ, прямі х \u003d -4, х \u003d -1, у \u003d 0. тут у \u003d 0 обмежує шукану фігуру зверху. прямі х \u003d -4 і х \u003d -1 це кордону, в межах яких буде обчислюватися певний інтеграл. Принцип рішення задачі на пошук площі фігури практично повністю збігається з прикладом номер 1. Єдина відмінність в тому, що задана функція не позитивний, і все також безперервна на проміжку [-4; -1] . Що значить не позитивна? Як видно з малюнка, фігура, яка полягає в рамках заданих іксів має виключно «негативні» координати, що нам і потрібно побачити і пам'ятати при вирішенні задачі. Площа фігури шукаємо за формулою Ньютона-Лейбніца, тільки зі знаком мінус на початку.

Стаття не завершена.

У попередньому розділі, присвяченому розбору геометричного сенсу певного інтеграла, ми отримали ряд формул для обчислення площі криволінійної трапеції:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) \u003d ∫ a b f (x) d x для безперервної і неотрицательной функції y \u003d f (x) на відрізку [a; b],

S (G) \u003d - ∫ a b f (x) d x для безперервної і непозитивно функції y \u003d f (x) на відрізку [a; b].

Ці формули застосовні для вирішення щодо простих завдань. На ділі ж нам частіше доведеться працювати з більш складними фігурами. У зв'язку з цим, даний розділ ми присвятимо розгляду алгоритмів обчислення площі фігур, які обмежені функціями в явному вигляді, тобто як y \u003d f (x) або x \u003d g (y).

теорема

Нехай функції y \u003d f 1 (x) і y \u003d f 2 (x) визначені і неперервні на відрізку [a; b], причому f 1 (x) ≤ f 2 (x) для будь-якого значення x з [a; b]. Тоді формула для обчислення площі фігури G, обмеженої лініями x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) і y \u003d f 2 (x) буде мати вигляд S (G) \u003d ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx.

Схожа формула буде застосована для площі фігури, обмеженої лініями y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) і x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ cd (g 2 (y) - g 1 (y) dy.

Доведення

Розберемо три випадки, для яких формула буде справедлива.

У першому випадку, з огляду на властивість адитивності площі, сума площ вихідної фігури G і криволінійної трапеції G 1 дорівнює площі фігури G 2. Це означає що

Тому, S (G) \u003d S (G 2) - S (G 1) \u003d ∫ abf 2 (x) dx - ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Виконати останній перехід ми можемо з використанням третьої властивості визначеного інтеграла.

У другому випадку справедливо рівність: S (G) \u003d S (G 2) + S (G 1) \u003d ∫ abf 2 (x) dx + - ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx

Графічна ілюстрація буде мати вигляд:

Якщо обидві функції недодатні, отримуємо: S (G) \u003d S (G 2) - S (G 1) \u003d - ∫ abf 2 (x) dx - - ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx. Графічна ілюстрація буде мати вигляд:

Перейдемо до розгляду загального випадку, коли y \u003d f 1 (x) і y \u003d f 2 (x) перетинають вісь O x.

Точки перетину позначимо як x i, i \u003d 1, 2,. . . , N - 1. Ці точки розбивають відрізок [a; b] на n частин x i - 1; x i, i \u003d 1, 2,. . . , N, де α \u003d x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

отже,

S (G) \u003d Σ i \u003d 1 n S (G i) \u003d Σ i \u003d 1 n ∫ xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx \u003d \u003d ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f ( x)) dx \u003d ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx

Останній перехід ми можемо здійснити з використанням п'ятого властивості визначеного інтеграла.

Проілюструємо на графіку загальний випадок.

Формулу S (G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x можна вважати доведеною.

А тепер перейдемо до розбору прикладів обчислення площі фігур, які обмежені лініями y \u003d f (x) і x \u003d g (y).

Розгляд будь-якого із прикладів ми будемо починати з побудови графіка. Зображення дозволить нам представляти складні фігури як об'єднання більш простих фігур. Якщо побудова графіків і фігур на них викликає у вас труднощі, можете звернутися до розділу про основні елементарних функціях, геометричному перетворенні графіків функцій, а також побудови графіків під час дослідження функції.

приклад 1

Необхідно визначити площу фігури, яка обмежена параболою y \u003d - x 2 + 6 x - 5 і прямими лініями y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.

Рішення

Зобразимо лінії на графіку в декартовій системі координат.

На відрізку [1; 4] графік параболи y \u003d - x 2 + 6 x - 5 розташований вище прямої y \u003d посилання - 1 3 x - 1 | 2. У зв'язку з цим, для отримання відповіді використовуємо формулу, отриману раніше, а також спосіб обчислення певного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца:

S (G) \u003d ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - посилання - 1 3 x - 1 | 2 dx \u003d \u003d ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 dx \u003d посилання - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 \u003d \u003d - 1 3 · 4 3 + 19 6 ∙ 4 2 - 9 2 · 4 - - 1 3 · 1 3 + 19 6 ∙ 1 2 - 9 2 · 1 \u003d \u003d - 64 3 + 152 3 - 18 +1 3 - 19 6 + 9 2 \u003d 13

Відповідь: S (G) \u003d 13

Розглянемо більш складний приклад.

приклад 2

Необхідно обчислити площу фігури, яка обмежена лініями y \u003d x + 2, y \u003d x, x \u003d 7.

Рішення

В даному випадку ми маємо тільки одну пряму лінію, розташовану паралельно осі абсцис. Це x \u003d 7. Це вимагає від нас знайти другий межа інтегрування самостійно.

Побудуємо графік і нанесемо на нього лінії, дані в умові задачі.

Маючи графік перед очима, ми легко можемо визначити, що нижньою межею інтегрування буде абсциса точки перетину графіка прямої y \u003d x і підлозі параболи y \u003d x + 2. Для знаходження абсциси використовуємо рівності:

y \u003d x + 2 О Д З: x ≥ - 2 x 2 \u003d x + 2 2 x 2 - x - 2 \u003d 0 D \u003d (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) \u003d 9 x 1 \u003d 1 + 9 2 \u003d 2 ∈ О Д З x 2 \u003d 1 - 9 2 \u003d - 1 ∉ Про Д З

Виходить, що абсциссой точки перетину є x \u003d 2.

Звертаємо вашу увагу на той факт, що в загалом прикладі на кресленні лінії y \u003d x + 2, y \u003d x перетинаються в точці (2; 2), тому такі докладні обчислення можуть здатися зайвими. Ми привели тут таке докладний рішення тільки тому, що в більш складних випадках рішення може бути не таким очевидним. Це означає, що координати перетину ліній краще завжди обчислювати аналітично.

На інтервалі [2; 7] графік функції y \u003d x розташований вище графіка функції y \u003d x + 2. Застосуємо формулу для обчислення площі:

S (G) \u003d ∫ 2 7 (x - x + 2) dx \u003d x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3. 2 2 7 \u003d \u003d 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3. 2 - 2 2 2 - 2 3 · 2 + 2 3 2 \u003d \u003d 49 2 - 18 - 2 + 16 3 \u003d 59 6

Відповідь: S (G) \u003d 59 6

приклад 3

Необхідно обчислити площу фігури, яка обмежена графіками функцій y \u003d 1 x і y \u003d - x 2 + 4 x - 2.

Рішення

Нанесемо лінії на графік.

Визначимося з межами інтегрування. Для цього визначимо координати точок перетину ліній, прирівнявши вирази 1 x і - x 2 + 4 x - 2. За умови, що x не дорівнює нулю, рівність 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 стає еквівалентним рівнянням третього ступеня - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 з цілими коефіцієнтами. Освіжити в пам'яті алгоритм за рішенням таких рівнянь ми можете, звернувшись до розділу «Рішення кубічних рівнянь».

Коренем цього рівняння є х \u003d 1: - 1 +3 +4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 \u003d 0.

Розділивши вираз - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 на двочлен x - 1, отримуємо: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) \u003d 0

Решта коріння ми можемо знайти з рівняння x 2 - 3 x - 1 \u003d 0:

x 2 - 3 x - 1 \u003d 0 D \u003d (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) \u003d 13 x 1 \u003d 3 + 13 2 ≈ 3. 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Ми знайшли інтервал x ∈ 1; 3 + 13 2, на якому фігура G укладена вище синьої і нижче червоної лінії. Це допомагає нам визначити площу фігури:

S (G) \u003d ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xdx \u003d - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 \u003d \u003d - 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 - 2 · 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 · 1 2 - 2 · 1 - ln 1 \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Відповідь: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

приклад 4

Необхідно обчислити площу фігури, яка обмежена кривими y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 і віссю абсцис.

Рішення

Нанесемо все лінії на графік. Ми можемо отримати графік функції y \u003d - log 2 x + 1 з графіка y \u003d log 2 x, якщо розташуємо його симетрично щодо осі абсцис і піднімемо на одну одиницю вгору. Рівняння осі абсцис у \u003d 0.

Позначимо точки перетину ліній.

Як видно з малюнка, графіки функцій y \u003d x 3 і y \u003d 0 перетинаються в точці (0; 0). Так виходить тому, що х \u003d 0 є єдиним дійсним коренем рівняння x 3 \u003d 0.

x \u003d 2 є єдиним коренем рівняння - log 2 x + 1 \u003d 0, тому графіки функцій y \u003d - log 2 x + 1 і y \u003d 0 перетинаються в точці (2; 0).

x \u003d 1 є єдиним коренем рівняння x 3 \u003d - log 2 x + 1. У зв'язку з цим графіки функцій y \u003d x 3 і y \u003d - log 2 x + 1 перетинаються в точці (1; 1). Останнє твердження може бути неочевидним, але рівняння x 3 \u003d - log 2 x + 1 не може мати більше одного кореня, так як функція y \u003d x 3 є строго зростаючою, а функція y \u003d - log 2 x + 1 строго спадною.

Подальше рішення передбачає кілька варіантів.

варіант №1

Фігуру G ми можемо уявити як суму двох криволінійних трапецій, розташованих вище осі абсцис, перша з яких розташовується нижче середньої лінії на відрізку x ∈ 0; 1, а друга нижче червоної лінії на відрізку x ∈ 1; 2. Це означає, що площа буде дорівнює S (G) \u003d ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x.

варіант №2

Фігуру G можна представити як різниця двох фігур, перша з яких розташована вище осі абсцис і нижче синьої лінії на відрізку x ∈ 0; 2, а друга між червоною і синьою лініями на відрізку x ∈ 1; 2. Це дозволяє нам знайти площу в такий спосіб:

S (G) \u003d ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

В цьому випадку для знаходження площі доведеться використовувати формулу виду S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Фактично, лінії, які обмежують фігуру, можна представити у вигляді функцій від аргументу y.

Дозволимо рівняння y \u003d x 3 і - log 2 x + 1 щодо x:

y \u003d x 3 ⇒ x \u003d y 3 y \u003d - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x \u003d 1 - y ⇒ x \u003d 2 1 - y

Отримаємо шукану площу:

S (G) \u003d ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) dy \u003d - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 \u003d \u003d - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 | 4 4 \u003d - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 \u003d 1 ln 2 - 1 4

Відповідь: S (G) \u003d 1 ln 2 - 1 4

приклад 5

Необхідно обчислити площу фігури, яка обмежена лініями y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 | 2 x + 4.

Рішення

Червоною лінією нанесемо на графік лінію, задану функцією y \u003d x. Синім кольором нанесемо лінію y \u003d - 1 | 2 x + 4, чорним кольором позначимо лінію y \u003d 2 3 x - 3.

Відзначимо точки перетину.

Знайдемо точки перетину графіків функцій y \u003d x і y \u003d - 1 | 2 x + 4:

x \u003d - 1 | 2 x + 4 Про Д З: x ≥ 0 x \u003d - 1 | 2 x + 4 2 ⇒ x \u003d 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 \u003d 0 D \u003d (- 20) 2 - 4 · 1 · 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 \u003d 20 - 144 2 \u003d 4 П р о в е р к а: x 1 \u003d 16 \u003d 4, - 1 2 x 1 + 4 \u003d - 1 2 · 16 + 4 \u003d - 4 ⇒ x 1 \u003d 16 н е я в л я є т ь с я р і ш е н і е м у к р о в н е н і я x 2 \u003d 4 \u003d 2 - 1 2 x 2 + 4 \u003d - 1 | 2 · 4 + 4 \u003d 2 ⇒ x 2 \u003d 4 я в л я є т ь с я р і ш е н і е м у к р о в н і н і я ⇒ (4; 2) т о ч к а п е р е з е ч е н і я y \u003d x і y \u003d - 1 | 2 x + 4

Знайдемо точку перетину графіків функцій y \u003d x і y \u003d 2 3 x - 3:

x \u003d 2 3 x - 3 О Д З: x ≥ 0 x \u003d 2 3 x - 3 2 ⇔ x \u003d 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 \u003d 0 D \u003d (- 45 ) 2 - 4 · 4 · 81 \u003d 729 x 1 \u003d 45 + 729 8 \u003d 9, x 2 45 - 729 8 \u003d 9 4 П р о в е р к а: x 1 \u003d 9 \u003d 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 · 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 я в л я є т ь с я р і ш е н і е м у к р о в н е н і я ⇒ (9; 3) т о ч к а п е р е з е ч а н і я y \u003d x і y \u003d 2 3 x - 3 x 2 \u003d 9 4 \u003d 3 2, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 · 9 4 - 3 \u003d - 3 2 ⇒ x 2 \u003d 9 4 н е я в л я є т ь с я р і ш е н і е м у к р о в н е н і я

Знайдемо точку перетину ліній y \u003d - 1 | 2 x + 4 і y \u003d 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 \u003d 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 \u003d 4 x - 18 ⇔ 7 x \u003d 42 ⇔ x \u003d 6 - 1 2 × 6 + 4 \u003d 2 3 · 6 - 3 \u003d 1 ⇒ (6 ; 1) т о ч к а п е р е з е ч е н і я y \u003d - 1 | 2 x + 4 і y \u003d 2 3 x - 3

спосіб №1

Уявімо площа шуканої фігури як суму площ окремих фігур.

Тоді площа фігури дорівнює:

S (G) \u003d ∫ 4 6 x - - 1 | 2 x + 4 dx + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 dx \u003d \u003d 2 3 x 3 2 x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 \u003d \u003d 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 - 4 · 6 - 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 - 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 · 6 3 2 - 6 2 3 + 3 · 6 \u003d \u003d - 25 +3 +4 6 + - 4 6 + 12 \u003d 11 3

спосіб №2

Площа вихідної фігури можна уявити як суму двох інших фігур.

Тоді вирішимо рівняння лінії щодо x, а тільки після цього можна застосувати формулу обчислення площі фігури.

y \u003d x ⇒ x \u003d y 2 до р а з н а я л і н і я y \u003d 2 3 x - 3 ⇒ x \u003d 3 2 y + 9 2 ч е р н а я л і н і я y \u003d - 1 2 x + 4 ⇒ x \u003d - 2 y + 8 с і н я я л і н і я

Таким чином, площа дорівнює:

S (G) \u003d ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy \u003d \u003d ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy \u003d \u003d 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4+ 9 2 y 2 3 \u003d 7 4 · 2 2 - 7 4 · 2 - 7 4 · 1 2 - 7 4 · 1 + + - 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 - - 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 \u003d \u003d 7 4+ 23 12 \u003d 11 3

Як бачите, значення збігаються.

Відповідь: S (G) \u003d 11 3

підсумки

Для знаходження площі фігури, яка обмежена заданими лініями нам необхідно побудувати лінії на площині, знайти точки їх перетину, застосувати формулу для знаходження площі. В даному розділі ми розглянули найбільш часто зустрічаються варіанти завдань.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter