Таблиця первісних

Визначення. Функція F(x) на заданому проміжку називається першорядною для функції f(x) , для всіх x цього проміжку, якщо F"(x)=f(x) .

Операція знаходження первісної функції називається інтегруванням. Вона є зворотною до операції диференціювання.

Теорема. Будь-яка безперервна на проміжку функція (x) має первісну на тому самому проміжку.

Теорема (основна властивість первісної).Якщо на деякому проміжку функція F(x) є первісною для функції f(x), то на цьому проміжку первісної для f(x) буде також функція F(x)+C де C довільна постійна.

З цієї теореми випливає, що коли f(x) має на заданому проміжку первісну функцію F(x) , то цих первісних безліч. Надаючи C довільних числових значень, щоразу будемо отримувати першорядну функцію.

Для знаходження первісних користуються таблицею первісних. Вона виходить із таблиці похідних.

Поняття невизначеного інтегралу

Визначення. Сукупність всіх первісних функцій функції f(x) називається невизначеним інтеграломі позначається.

При цьому f(x) називається підінтегральною функцією, а f(x) dx - підінтегральним виразом.

Отже, якщо F(x) є первісною для f(x) , то .

Властивості невизначеного інтегралу

Поняття певного інтегралу

Розглянемо плоску фігуру, обмежену графіком безперервної та невід'ємної на відрізку [а; b] функції f(x), відрізком [а; b] і прямими x=a і x=b .

Отримана фігура називається криволінійною трапецією. Обчислимо її площу.

Для цього розіб'ємо відрізок [а; b] на n рівних відрізків. Довжини кожного з відрізків дорівнюють Δx.

Це динамічний малюнок GeoGebra.
Червоні елементи можна змінювати

Мал. 1. Поняття певне інтеграла

На кожному відрізку побудуємо прямокутники з висотами f(x k-1) (Рис. 1).

Площа кожного такого прямокутника дорівнює S k = f(x k-1) x k .

Площа всіх таких прямокутників дорівнює .

Цю суму називають інтегральною сумоюдля функції f(x).

Якщо n→∞ то площа побудованої таким чином фігури все менше відрізнятиметься від площі криволінійної трапеції.

Визначення. Кордон інтегральної суми, коли n→∞ називається певним інтегралом, і записується так: .

читається: "інтеграл від a до b f від xdx"

Число а називається нижньою межею інтегрування, b – верхньою межеюінтегрування, відрізок [а; b] - проміжком інтегрування.

Властивості певного інтегралу

Формула Ньютона-Лейбніца

Певний інтеграл тісно пов'язаний з первісним та невизначеним інтегралом формулою Ньютона-Лейбніца

.

Використання інтегралу

Інтегральне обчислення широко використовується під час вирішення різноманітних практичних завдань. Розглянемо деякі з них.

Обчислення обсягів тіл

Нехай задана функція, яка задає площу поперечного перерізу тіла залежно від деякої змінної S = s(x), x[а; b]. Тоді обсяг даного тіла можна знайти інтегруючи цю функцію у відповідних межах.
Якщо нам задано тіло, яке отримано обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції, обмеженою деякою функцією f(x), x [а; b]. (Мал. 3). То площі поперечних перерізів можна обчислити за відомою формулою S = f 2 (x) . Тому формула об'єму такого тіла обертання

Первісна.

Першорядну легко зрозуміти на прикладі.

Візьмемо функцію у = х 3 . Як ми знаємо з попередніх розділів, похідної від х 3 є 3 х 2:

(х 3)" = 3х 2 .

Отже, з функції у = х 3 ми отримуємо нову функцію: у = 3х 2 .
Образно кажучи, функція у = х 3 зробила функцію у = 3х 2 і є її "батьком". У математиці немає слова "батько", а є споріднене йому поняття: первісна.

Тобто: функція у = х 3 є первісною для функції у = 3х 2 .

Визначення первісної:

У нашому прикладі ( х 3)" = 3х 2 , отже у = х 3 – первісна для у = 3х 2 .

Інтегрування.

Як ви знаєте, процес знаходження похідної по заданої функціїназивається диференціюванням. А зворотна операція називається інтегруванням.

Приклад-пояснення:

у = 3х 2 + sin x.

Рішення :

Ми знаємо, що 3 х 2 є х 3 .

Первинною для sin xє -cos x.

Складаємо два первісних і отримуємо первісну для заданої функції:

у = х 3 + (-cos x),

у = х 3 – cos x.

Відповідь:
для функції у = 3х 2 + sin x у = х 3 – cos x.

Приклад-пояснення:

Знайдемо первісну для функції у= 2 sin x.

Рішення :

Помічаємо, що k = 2. Первинною для sin xє -cos x.

Отже, для функції у= 2 sin xпервісною є функція у= -2 cos x.
Коефіцієнт 2 у функції у = 2 sin xвідповідає коефіцієнту первісної, від якої ця функція утворилася.

Приклад-пояснення:

Знайдемо первісну для функції y= sin 2 x.

Рішення :

Помічаємо, що k= 2. Первинною для sin xє -cos x.

Застосовуємо нашу формулу при знаходженні первісної функції y= cos 2 x:

1
y= - · (–cos 2 x),
2

cos 2 x
y = – ----
2

cos 2 x
Відповідь: для функції y= sin 2 xпервісною є функція y = – ----
2

(4)

Приклад-пояснення.

Візьмемо функцію з попереднього прикладу: y= sin 2 x.

Для цієї функції всі первісні мають вигляд:

cos 2 x
y = – ---- + C.
2

Пояснення.

Візьмемо перший рядок. Читається вона так: якщо функція y = f ( x) дорівнює 0, то першорядною для неї є 1. Чому? Тому що похідна одиниця дорівнює нулю: 1" = 0.

У такому порядку читаються та інші рядки.

Як виписувати дані з таблиці? Візьмемо восьмий рядок:

(-cos x)" = sin x

Пишемо другу частину зі знаком похідною, потім знак рівності та похідну.

Читаємо: первісною для функції sin xє функція -cos x.

Або: функція -cos xє первісною для функції sin x.

Документ

Деякому проміжку Х. Якщо длябудь-якого хХ F"(x) = f(x), то функція F називаєтьсяпервісноїдляфункції f на проміжку Х. Першоряднудляфункціїможна спробувати...

Первинною для функції

Документ

... . Функція F(x) називаєтьсяпервісноїдляфункції f(x) на проміжку (a;b), якщо длявсіх x(a;b) виконується рівність F(x) = f(x). Наприклад, дляфункції x2 первісноїбуде функція x3 ...

Основи інтегрального обчислення Навчальний посібник

Навчальний посібник

...; 5. Знайти інтеграл. ; B); C); D); 6. Функціяназиваєтьсяпервісноїдо функціїна множині, якщо: длявсіх; у певній точці; длявсіх; в деякій... інтервалом. Визначення 1. Функціяназиваєтьсяпервісноїдляфункціїна безлічі, ...

Первісна Невизначений інтеграл

Документ

Інтегрування. Первісна. Безперервна функція F(x) називаєтьсяпервісноїдляфункції f (x) на проміжку X , якщо длякожного F'(x) = f(x). П р і м е р. Функція F(x) = x 3 є первісноїдляфункції f(x) = 3x ...

СПЕЦІАЛЬНОЇ ОСВІТИ СРСР Затверджено Навчально-методичним управлінням з вищої освіти ВИЩА МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ (З ПРОГРАМОЮ) для студентів-заочників інженерно-технічних спеціальностей

Методичні вказівки

Запитання длясамоперевірки Дайте визначення первісноїфункції. Вкажіть геометричний зміст сукупності первіснихфункцій. Що називаєтьсяневизначеним...

Ціль:

• Формування поняття первісної.
• Підготовка до сприйняття інтегралу.
• Формування обчислювальних навичок.
• Виховання почуття прекрасного (уміння бачити красу в незвичайному).

Математичний аналіз - сукупність розділів математики, присвячених дослідженню функцій та їх узагальнень методами диференціального та інтегрального обчислень.

Якщо до теперішнього часу ми вивчали розділ математичного аналізу, званого диференційним обчисленням, суть якого полягає у вивченні функції у “малому”.

Тобто. дослідження функції у досить малих околицях кожної точки визначення. Одна з операцій диференціювання-знаходження похідної (диференціала) та застосування до дослідження функцій.

Не менш важливим є зворотне завдання. Якщо відомо поведінка функції на околицях кожної точки її визначення, те, як відновити функцію загалом, тобто. у всій галузі її визначення. Це завдання є предметом вивчення так званого інтегрального обчислення.

Інтегруванням називається дія зворотне диференціювання. Або відновлення функції f(х) за даною похідною f`(х). Латинське слово "integro" означає відновлення.

Приклад №1.

Нехай (х) `= 3х2.
Знайдемо f(х).

Рішення:

Маючи правило диференціювання, неважко здогадатися, що f(х)=х 3 , бо (х 3)`=3х 2
Однак легко можна помітити, що f(х) знаходиться неоднозначно.
Як f(х) можна взяти
f(х) = х 3 +1
f(х) = х 3 +2
f(х)= х 3 -3 та ін.

Т.к.похідна кожної з них дорівнює 3х2. (Похідна постійної дорівнює 0). Всі ці функції відрізняються одна від одної постійним доданком. Тому загальне рішенняЗавдання можна записати у вигляді f(х) = х 3 + С, де С - будь-яке постійне дійсне число.

Будь-яку із знайдених функцій f(х) називають ПЕРШОСВІТНІЙдля функції F`(х) = 3х2

Визначення. Функція F(х) називається первісною для функції f(х) на заданому проміжку J, якщо для всіх х із цього проміжку F`(х)= f(х). Так функція F(х)=х 3 первісна для f(х)=3х 2 на (- ∞ ; ∞).
Оскільки для всіх х ~R справедлива рівність: F`(х)=(х 3)`=3х 2

Як ми вже помітили, дана функція має безліч первісних (дивись приклад № 1).

Приклад №2. Функція F(х)=х є первинна всім f(х)= 1/х на проміжку (0; +), т.к. для всіх х з цього проміжку виконується рівність.
F`(х)= (х 1/2)`=1/2х -1/2 =1/2х

Приклад №3. Функція F(х)=tg3х є первісною для f(х)=3/cos3х на проміжку (-п/ 2; п/ 2),
т.к. F`(х)=(tg3х)`= 3/cos 2 3х

Приклад №4. Функція F(х)=3sin4х+1/х-2 первісна для f(х)=12cos4х-1/х 2 на проміжку (0;∞)
т.к. F`(х)=(3sin4х)+1/х-2)`= 4cos4х-1/х 2

лекція 2.

Тема: Первісна. Основна властивість первісної функції.

При вивченні первісної спиратимемося на таке твердження. Ознака сталості функції: Якщо проміжку J похідна Ψ(х) функції дорівнює 0, то цьому проміжку функція Ψ(х) постійна.

Це твердження можна продемонструвати геометрично.

Відомо, що Ψ`(х)=tgα, γде α-кут нахилу дотичної до графіку функції Ψ(х) у точці з абсцисою х 0 . Якщо Ψ`(υ)=0 у будь-якій точці проміжку J, то tgα=0 δля будь-якої дотичної до графіка функції Ψ(х). Це означає, що до графіка функції в будь-якій його точці паралельна осі абсцис. Тому на вказаному проміжку графік функції Ψ(х) збігається з відрізком прямої у=С.

Отже, функція f(х)=з постійна на проміжку J, якщо f`(х)=0 у цьому проміжку.

Справді, для довільного х 1 і х 2 із проміжку J за теоремою про середнє значення функції можна записати:
f(х 2) - f(х 1) = f`(с) (х 2 - х 1), т.к. f`(с)=0, то f(х 2)= f(х 1)

Теорема: (Основна властивість первісної функції)

Якщо F(х) одна з первісних для функції f(х) на проміжку J, то множина всіх первісних цієї функції має вигляд: F(х)+С, де С - будь-яке дійсне число.

Доведення:

Нехай F`(х) = f(х), тоді (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f(х), для х Є J.
Допустимо існує Φ(х)- інша первісна для f(х) на проміжку J, тобто. Φ`(х) = f(х),
тоді (Φ(х)- F(х))` = f(х) - f(х) = 0, для х Є J.
Це означає, що Φ(х)- F(х) постійна на проміжку J.
Отже, Φ(х)- F(х) = С.
Звідки Φ(х)= F(х)+С.
Це означає, що якщо F(х) - первісна для функції f(х) на проміжку J, то безліч усіх первісних цієї функції має вигляд: F(х)+С, де С - будь-яке дійсне число.
Отже, будь-які дві первісні цієї функції відрізняються один від одного постійним доданком.

Приклад: Знайти безліч первісних функцій f(х) = cos х. Зобразити графіки перших трьох.

Рішення: Sin х - одна з первісних для функції f(х) = cos х
F(х) = Sin х+С – безліч всіх первісних.

F 1 (х) = Sin х-1
F 2 (х) = Sin х
F 3 (x) = Sin x +1

Геометрична ілюстрація:Графік будь-якої первісної F(х)+З ​​можна отримати з графіка первісної F(х) за допомогою паралельного перенесення r(0;с).

Приклад: Для функції f (х) = 2х визначити первісну, графік якої проходить через т.м (1; 4)

Рішення: F(х)=х 2 +З – безліч всіх первісних, F(1)=4 - за умовою завдання.
Отже, 4 = 1 2 +С
З = 3
F(х) = х 2 +3

Цей урок – перший із серії відео, присвячених інтегруванню. У ньому ми розберемо, що таке первісна функція, а також вивчимо елементарні прийоми обчислення цих самих первісних.

Насправді тут немає нічого складного: по суті, все зводиться до поняття похідної, з яким ви вже повинні знайомі.

Відразу зазначу, що оскільки це найперший урок у нашій новій темі, сьогодні не буде жодних складних обчислень і формул, але те, що ми вивчимо сьогодні, ляже в основу набагато складніших викладок і конструкцій при обчисленні складних інтегралів і площ.

Крім того, приступаючи до вивчення інтегрування та інтегралів зокрема, ми неявно припускаємо, що учень уже, як мінімум, знайомий до понять похідної та має хоча б елементарні навички їх обчислення. Без чіткого розуміння цього робити в інтегруванні зовсім нічого.

Однак тут криється одна з найчастіших і підступних проблем. Справа в тому, що, починаючи обчислювати свої перші первообразні, багато учнів плутають їх із похідними. В результаті на іспитах та самостійних роботахдопускаються дурні та образливі помилки.

Тому зараз я не даватиму чіткого визначення первісної. А натомість пропоную вам подивитися, як вона вважається на простому конкретному прикладі.

Що таке первісна і як вона вважається

Ми знаємо таку формулу:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Вважається ця похідна елементарно:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Подивимося уважно на отриманий вираз і виразимо $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Але ми можемо записати і так, згідно з визначенням похідної:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

А тепер увага: те, що ми тільки-но записали і є визначенням першорядної. Але щоб записати її правильно, потрібно написати таке:

Аналогічно запишемо і такий вираз:

Якщо ми узагальним це правило, то зможемо вивести таку формулу:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Тепер ми можемо сформулювати чітке визначення.

Первоподібною функцією називається така функція, похідна якої дорівнює вихідній функції.

Питання про первинну функцію

Здавалося б, досить просте та зрозуміле визначення. Однак, почувши його, у уважного учня одразу виникне кілька запитань:

1. Допустимо, добре, ця формула вірна. Однак у цьому випадку при $n=1$ у нас виникають проблеми: у знаменнику з'являється нуль, а на нуль ділити не можна.
2. Формула обмежується лише ступенями. Як вважати первісну, наприклад, синуса, косинуса та будь-якої іншої тригонометрії, а також констант.
3. Екзистенційне питання: а чи завжди взагалі можна знайти первісну? Якщо так, то як бути з первісної суми, різниці, твори тощо?

На останнє запитання я відповім одразу. На жаль, первісна, на відміну похідної, вважається який завжди. Немає такої універсальної формули, за якою з будь-якої вихідної конструкції ми отримаємо функцію, яка дорівнюватиме цій подібній конструкції. А щодо ступенів і констант — зараз ми про це поговоримо.

Розв'язання задач зі статечними функціями

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Як бачимо, ця формула для $((x)^(-1))$ не працює. Постає питання: а що тоді працює? Невже ми можемо порахувати $((x)^(-1))$? Звичайно можемо. Тільки давайте спершу згадаємо таке:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Тепер подумаємо: похідна якої функції дорівнює $ frac (1) (x) $. Очевидно, що будь-який учень, який хоч трохи займався цією темою, згадає, що до цього виразу дорівнює похідна натурального логарифму:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Тому ми з упевненістю можемо записати таке:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Цю формулу потрібно знати, так само, як і похідну статечної функції.

Отже, що нам відомо на даний момент:

• Для статечної функції $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Для константи - $ = const \ to \ cdot x $
• Частковий випадок статечної функції - $\frac(1)(x)\to \ln x$

А якщо найпростіші функції ми почнемо множити і ділити, як тоді порахувати первісну твори чи приватного. На жаль, аналогії із похідною твору чи приватного тут не працюють. Якоїсь стандартної формули не існує. Для деяких випадків існують хитрі спеціальні формули – з ними ми познайомимося на майбутніх відеоуроках.

Однак запам'ятайте: загальної формули, аналогічної формулі для обчислення похідної частки та твору, не існує.

Вирішення реальних завдань

Завдання №1

Давайте кожну зі статечних функцій порахуємо окремо:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Повертаючись до нашого висловлювання, ми запишемо загальну конструкцію:

Завдання №2

Як я вже казав, первісні твори та приватного «напролом» не вважаються. Однак тут можна вчинити так:

Ми розтрощили дріб на суму двох дробів.

Порахуємо:

Хороша новина полягає в тому, що знаючи формули обчислення первісних, ви вже здатні вважати складніші конструкції. Однак давайте підемо далі і розширимо наші знання ще трохи. Справа в тому, що багато конструкцій і виразів, які, на перший погляд, не мають жодного відношення до $((x)^(n))$, можуть бути представлені у вигляді ступеня з раціональним показником, а саме:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Всі ці прийоми можна комбінувати. Ступінні вирази можна

• множити (ступеня складаються);
• ділити (ступеня віднімаються);
• множити на константу;
• і т.д.

Рішення виразів зі ступенем із раціональним показником

Приклад №1

Порахуємо кожен корінь окремо:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Всього всю нашу конструкцію можна записати так:

Приклад №2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac()) 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Отже, ми отримаємо:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Отже, збираючи все в один вираз, можна записати:

Приклад №3

Для початку зауважимо, що $sqrt(x)$ ми вже вважали:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Перепишемо:

Сподіваюся, я нікого не здивую, якщо скажу, що те, що ми щойно вивчали, — це лише найпростіші обчислення первісних, найпростіші конструкції. Давайте зараз розглянемо трохи більше складні приклади, в яких крім табличних первісних ще потрібно згадати шкільну програму, А саме, формули скороченого множення.

Рішення складніших прикладів

Завдання №1

Згадаймо формулу квадрата різниці:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Давайте перепишемо нашу функцію:

Першорядну таку функцію нам зараз належить знайти:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Збираємо все у загальну конструкцію:

Завдання №2

В цьому випадку нам потрібно розкрити куб різниці. Згадаймо:

\[((\left(ab \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

З огляду на цей факт можна записати так:

Давайте трохи перетворимо нашу функцію:

Вважаємо як завжди - по кожному доданку окремо:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\to \ln x\]

Запишемо отриману конструкцію:

Завдання №3

Зверху у нас коштує квадрат суми, давайте його розкриємо:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Давайте напишемо підсумкове рішення:

А тепер увага! Дуже важлива річ, з якою пов'язана левова частка помилок та непорозуміння. Справа в тому, що досі вважаючи першорядні за допомогою похідних, наводячи перетворення, ми не замислювалися про те, чому дорівнює похідна константи. Адже похідна константи дорівнює «нулю». А це означає, що можна записати такі варіанти:

1. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Ось це дуже важливо розуміти: якщо похідна функції завжди одна й та сама, то першорядних в одній і тій же функції нескінченно багато. Просто до наших первісних ми можемо дописувати будь-які числа-константи та отримувати нові.

Невипадково, у поясненні до завдань, які ми щойно вирішували, було написано «Запишіть загальний виглядпервісних». Тобто. вже заздалегідь передбачається, що їх не одна, а безліч. Але, насправді, вони відрізняються лише константою $C$ наприкінці. Тому в наших завданнях ми виправимо те, чого ми не дописали.

Ще раз переписуємо наші конструкції:

У разі слід дописувати, що $C$ — константа — $C=const$.

У другій нашій функції ми отримаємо таку конструкцію:

І остання:

І ось тепер ми справді отримали те, що від нас вимагалося у вихідній умові завдання.

Розв'язання задач на знаходження первісних із заданою точкою

Зараз, коли ми знаємо про константів і про особливості запису першоподібних, цілком логічно виникає наступний тип завдань, коли з безлічі всіх первісних потрібно знайти одну-єдину таку, що проходила б через задану точку. У чому полягає це завдання?

Справа в тому, що всі первісні цієї функції відрізняються лише тим, що вони зрушені по вертикалі на якесь число. А це означає, що яку б точку на координатної площиними не взяли, обов'язково пройде одна первісна, і, до того ж, тільки одна.

Отже, завдання, які зараз ми будемо вирішувати, сформульовані в такий спосіб: не просто знайти первісну, знаючи формулу вихідної функції, а вибрати саме таку з них, яка проходить через задану точку, координати якої будуть дані за умови завдання.

Приклад №1

Для початку просто порахуємо кожне доданок:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Тепер підставляємо ці висловлювання до нашої конструкції:

Ця функція повинна проходити через точку $M\left(-1;4\right)$. Що означає, що вона проходить через точку? Це означає, що якщо замість $x$ поставити скрізь $-1$, а замість $F\left(x \right)$ - $-4$, то ми повинні отримати правильну числову рівність. Давайте так і зробимо:

Ми бачимо, що у нас вийшло рівняння щодо $C$, тому давайте спробуємо його вирішити:

Давайте запишемо те саме рішення, яке ми шукали:

Приклад №2

Насамперед необхідно розкрити квадрат різниці за формулою скороченого множення:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Вихідна конструкція запишеться так:

Тепер давайте знайдемо $C$: підставимо координати точки $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Висловлюємо $C$:

Залишилося відобразити підсумковий вираз:

Розв'язання тригонометричних завдань

Як фінальний акорд до того, що ми щойно розібрали, пропоную розглянути два складніші завдання, в яких міститься тригонометрія. У них точно так само потрібно знайти першорядні для всіх функцій, потім вибрати з цієї множини одну-єдину, яка проходить через точку $M$ на координатній площині.

Забігаючи наперед, хотів би відзначити, що той прийом, який ми зараз використовуватимемо для знаходження первісних від тригонометричних функцій, насправді є універсальним прийомом для самоперевірки.

Завдання №1

Згадаймо таку формулу:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Виходячи з цього, ми можемо записати:

Давайте підставимо координати точки $M$ у наш вираз:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Перепишемо вираз з урахуванням цього факту:

Завдання №2

Тут буде трохи складніше. Зараз побачите чому.

Згадаймо таку формулу:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)((((\sin )^(2))x)\]

Щоб позбутися «мінусу», необхідно зробити наступне:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Ось наша конструкція

Підставимо координати точки $M$:

Разом запишемо остаточну конструкцію:

Ось і все, про що я сьогодні хотів вам розповісти. Ми вивчили сам термін первісних, як рахувати їх від елементарних функцій, а також як знаходити первісну, що проходить через конкретну точкуна координатній площині.

Сподіваюся, цей урок хоч трохи допоможе вам розібратися у цій складній темі. У будь-якому випадку, саме на первообразних будуються невизначені і невизначені інтеграли, тому вважати їх необхідно. На цьому маю все. До нової зустрічі!