У п'ятому столітті до нашої ери давньогрецький філософ Зенон Елейський сформулював свої знамениті апорії, найвідомішою з яких є Апорія "Ахіллес і черепаха". Ось як вона звучить:

Припустимо, Ахіллес біжить в десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані в тисячу кроків. За той час, за яке Ахіллес пробіжить це відстань, черепаха в ту ж сторону проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і так далі. Процес буде продовжуватися до безкінечності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Це міркування стало логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт ... Всі вони так чи інакше розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії тривають і в даний час, прийти до спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки не вдалося ... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні і філософські підходи; жоден з них не став загальновизнаним вирішенням питання ..."[Вікіпедія," Апорії Зенона "]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З точки зору математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини к. Цей перехід має на увазі застосування замість постійних. Наскільки я розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць вимірювання або ще не розроблений, або його не застосовували до апорії Зенона. Застосування ж нашої звичайної логіки призводить нас в пастку. Ми, по інерції мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до зворотного величиною. З фізичної точки зору це виглядає, як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахіллес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахіллес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахіллес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху в десять разів коротшим від попереднього. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, в десять разів менше попереднього. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" в цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і не переходити до зворотних величин. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за яке Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в ту ж сторону проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, рівний першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно описує реальність без всяких логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На зеноновських апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про нездоланність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити і вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава Апорія Зенона оповідає про що летить стрілі:

Летюча стріла нерухома, так як в кожен момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожен момент часу, то вона спочиває завжди.

У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - достатньо уточнити, що в кожен момент часу летить стріла спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут потрібно відзначити інший момент. За однією фотографії автомобіля на дорозі неможливо визначити ні факт його руху, ні відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але по ним не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але по ним не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, Так це на те, що дві точки в часі і дві точки в просторі - це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.

середовище, 4 липня 2018 р

Дуже добре відмінності між безліччю і мультімножество описані в Вікіпедії. Дивимося.

Як бачите, "в безлічі не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи в безлічі є, таку силу-силенну називається "мультімножество". Подібну логіку абсурду розумних істот не понять ніколи. Це рівень папуг, що говорять і дресированих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають в ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.

Колись інженери, які побудували міст, під час випробувань моста знаходилися в човні під мостом. Якщо міст нападав, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.

Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняття", є одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх з реальністю. Цією пуповиною є гроші. Застосуємо математичну теорію множин до самих математикам.

Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо в касі, видаємо зарплату. Ось приходить до нас математик за своїми грошима. Відраховуємо йому всю суму і розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри одного гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі і вручаємо математику його "математичне безліч зарплати". Пояснюємо математику, що інші купюри він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.

В першу чергу, спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - нізьзя!". Далі почнуться запевнення нас в тому, що на купюрах однакового гідності є різні номери купюр, а значить їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами - на монетах немає номерів. Тут математик почне судорожно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількість бруду, кристалічна структура і розташування атомів у кожної монети унікально ...

А тепер у мене найцікавіше запитання: де проходить та межа, за якою елементи мультимножини перетворюються в елементи множини і навпаки? Такий межі не існує - все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.

Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони з однаковою площею поля. Площа полів однакова - значить у нас вийшло мультімножество. Але якщо розглядати назви цих же стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, один і той же набір елементів одночасно є і безліччю, і мультімножество. Як правильно? А ось тут математик-шаман-Шуллер дістає з рукава козирного туза і починає нам розповідати або про безліч, або про мультімножество. У будь-якому випадку він переконає нас у своїй правоті.

Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, досить відповісти на одне питання: чим елементи одного безлічі відрізняються від елементів іншого безлічі? Я вам покажу, без всяких "мислиме що не єдине ціле" або "не мислиме як єдине ціле".

неділю, 18 березня 2018 р

Сума цифр числа - це танець шаманів з бубном, яка до математики ніякого відношення не має. Так, на уроках математики нас вчать знаходити суму цифр числа і користуватися нею, але на то вони і шамани, щоб навчати нащадків своїм навичкам і премудростям, інакше шамани просто вимруть.

Вам потрібні докази? Відкрийте Вікіпедію і спробуйте знайти сторінку "Сума цифр числа". Її не існує. Ні в математиці формули, за якою можна знайти суму цифр будь-якого числа. Адже цифри - це графічні символи, за допомогою яких ми записуємо числа і на мові математики завдання звучить так: "Знайти суму графічних символів, що зображують будь-яке число". Математики цю задачу вирішити не можуть, а ось шамани - елементарно.

Давайте розберемося, що і як ми робимо для того, щоб знайти суму цифр заданого числа. І так, нехай у нас є число 12345. Що потрібно зробити для того, щоб знайти суму цифр цього числа? Розглянемо всі кроки по порядку.

1. Записуємо число на папірці. Що ж ми зробили? Ми перетворили число в графічний символ числа. Це не математичне дію.

2. Розрізаємо одну отриману картинку на кілька картинок, що містять окремі цифри. Розрізання картинки - це не математична дія.

3. перетворювати окремі графічні символи в числа. Це не математичне дію.

4. Складаємо отримані числа. Ось це вже математика.

Сума цифр числа 12345 дорівнює 15. Ось такі ось "курси крою та шиття" від шаманів застосовують математики. Але це ще не все.

З точки зору математики не має значення, в якій системі числення ми записуємо число. Так ось, в різних системах числення сума цифр одного і того ж числа буде різною. В математиці система числення вказується у вигляді нижнього індексу праворуч від числа. З великим числом 12345 я не хочу голову морочити, розглянемо число 26 зі статті про. Запишемо це число в двійковій, вісімковій, десятковій і шістнадцятковій системах числення. Ми не будемо розглядати кожен крок під мікроскопом, це ми вже зробили. Подивимося на результат.

Як бачите, в різних системах числення сума цифр одного і того ж числа виходить різною. Подібний результат до математики ніякого відношення не має. Це все одно, що при визначенні площі прямокутника в метрах і сантиметрах ви отримували б абсолютно різні результати.

Нуль у всіх системах числення виглядає однаково і суми цифр не має. Це ще один аргумент на користь того, що. Питання до математикам: як в математиці позначається те, що не є числом? Що, для математиків нічого, крім чисел, не існує? Для шаманів я можу таке допустити, але для вчених - немає. Реальність полягає не тільки з чисел.

Отриманий результат слід розглядати як доказ того, що системи числення є одиницями виміру чисел. Адже ми не можемо порівнювати числа з різними одиницями виміру. Якщо одні й ті ж дії з різними одиницями вимірювання однієї і тієї ж величини призводять до різних результатів після їх порівняння, значить це не має нічого спільного з математикою.

Що ж таке справжня математика? Це коли результат математичної дії не залежить від величини числа, що застосовується одиниця виміру і від того, хто це дію виконує.

Табличка на двері Відкриває двері і каже:

Ой! А це хіба не жіночий туалет?
- Дівчино! Це лабораторія з вивчення індефільной святості душ при вознесіння на небеса! Німб зверху і стрілочка вгору. Який ще туалет?

Жіночий ... Німб зверху і стрілочка вниз - це чоловічий.

Якщо у вас перед очима кілька разів на день миготить ось таке ось витвір дизайнерського мистецтва,

Тоді не дивно, що в своєму автомобілі ви раптом виявляєте дивний значок:

Особисто я роблю над собою зусилля, щоб в какао людині (одна картинка), побачити мінус чотири градуси (композиція з декількох картинок: знак мінус, цифра чотири, позначення градусів). І я не вважаю цю дівчину дурепою, яка не знає фізику. Просто у неї дугою стереотип сприйняття графічних образів. І математики нас цього постійно вчать. Ось приклад.

1А - це не "мінус чотири градуси" або "один а". Це "Кака людина" або число "двадцять шість" в шістнадцятковій системі числення. Ті люди, які постійно працюють в цій системі числення, автоматично сприймають цифру і літеру як один графічний символ.

У цій статті ми всебічно розглянемо. Основні тригонометричні тотожності є рівності, що встановлюють зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом одного кута, і дозволяють знаходити будь-яку з цих тригонометричних функцій через відому іншу.

Відразу перерахуємо основні тригонометричні тотожності, які розберемо в цій статті. Запишемо їх у таблицю, а нижче дамо висновок цих формул і наведемо необхідні пояснення.

Навігація по сторінці.

Зв'язок між синусом і косинусом одного кута

Іноді говорять не про основні тригонометричних тождествах, перерахованих в таблиці вище, а про одне єдиному основному тригонометричному тотожність виду . Пояснення цьому факту досить просте: рівності виходять з основного тригонометричного тотожності після поділу обох його частин на і відповідно, а рівності і випливають з визначень синуса, косинуса, тангенса і котангенс. Детальніше про це поговоримо в наступних пунктах.

Тобто, особливий інтерес представляє саме рівність, якому і дали назву основного тригонометричного тотожності.

Перш ніж довести основне тригонометричну тотожність, Дамо його формулювання: сума квадратів синуса і косинуса одного кута тотожно дорівнює одиниці. Тепер доведемо його.

Основне тригонометричну тотожність дуже часто використовується при перетворенні тригонометричних виразів. Воно дозволяє суму квадратів синуса і косинуса одного кута замінювати одиницею. Не менш часто основне тригонометричну тотожність використовується і в зворотному порядку: одиниця замінюється сумою квадратів синуса і косинуса будь-якого кута.

Тангенс і котангенс через синус і косинус

Тотожності, що зв'язують тангенс і котангенс з синусом і косинусом одного кута виду і відразу слідують з визначень синуса, косинуса, тангенса і котангенс. Дійсно, за визначенням синус є ордината y, косинус є абсциса x, тангенс є ставлення ординати до абсциссе, тобто, , А котангенс є ставлення абсциси до ординате, тобто, .

Завдяки такій очевидності тотожностей і часто визначення тангенса і котангенс дають не через ставлення абсциси і ординати, а через ставлення синуса і косинуса. Так тангенсом кута називають відношення синуса до косинусу цього кута, а котангенсом - відношення косинуса до синуса.

На закінчення цього пункту слід зазначити, що тотожності і мають місце для всіх таких кутів, при яких входять до них тригонометричні функції мають сенс. Так формула справедлива для будь-яких, відмінних від (інакше в знаменнику буде нуль, а розподіл на нуль ми не визначали), а формула - для всіх, відмінних від, де z - будь-яке.

Зв'язок між тангенсом і котангенсом

Ще більш очевидним тригонометричним тотожністю, ніж два попередніх, є тотожність, що зв'язує тангенс і котангенс одного кута виду . Зрозуміло, що воно має місце для будь-яких кутів, відмінних від, в інакше або тангенс, або котангенс не визначені.

доведення формули дуже просто. За визначенням і, звідки . Можна було доказ провести і трохи інакше. Так як і , то .

Отже, тангенс і котангенс одного кута, при якому вони мають сенс, є.

Співвідношення між основними тригонометричними функціями - синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом - задаються тригонометричними формулами. А так як зв'язків між тригонометричними функціями досить багато, то цим пояснюється і велика кількість тригонометричних формул. Одні формули пов'язують тригонометричні функції однакового кута, інші - функції кратного кута, треті - дозволяють знизити ступінь, четверті - висловити всі функції через тангенс половинного кута, і т.д.

У цій статті ми по порядку перерахуємо всі основні тригонометричні формули, яких достатньо для вирішення переважної більшості завдань тригонометрії. Для зручності запам'ятовування і використання будемо групувати їх за призначенням, і заносити в таблиці.

Навігація по сторінці.

Основні тригонометричні тотожності

Основні тригонометричні тотожності задають зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом одного кута. Вони випливають з визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс, а також поняття одиничному колі. Вони дозволяють виразити одну тригонометричну функцію через будь-яку іншу.

Детальний опис цих формул тригонометрії, їх висновок і приклади застосування дивіться в статті.

формули приведення

формули приведення випливають з властивостей синуса, косинуса, тангенса і котангенс, тобто, вони відображають властивість періодичності тригонометричних функцій, властивість симетричності, а також властивість зсуву на даний кут. Ці тригонометричні формули дозволяють від роботи з довільними кутами переходити до роботи з кутами в межах від нуля до 90 градусів.

Обгрунтування цих формул, мнемонічне правило для їх запам'ятовування і приклади їх застосування можна вивчити в статті.

формули додавання

Тригонометричні формули додавання показують, як тригонометричні функції суми або різниці двох кутів виражаються через тригонометричні функції цих кутів. Ці формули служать базою для виведення наступних нижче тригонометричних формул.

Формули подвійного, потрійного і т.д. кута

Формули подвійного, потрійного і т.д. кута (їх ще називають формулами кратного кута) показують, як тригонометричні функції подвійних, потрійних і т.д. кутів () виражаються через тригонометричні функції одинарного кута. Їх висновок базується на формулах складання.

Більш детальна інформація зібрана в статті формули подвійного, потрійного і т.д. кута.

Формули половинного кута

Формули половинного кута показують, як тригонометричні функції половинного кута виражаються через косинус цілого кута. Ці тригонометричні формули випливають з формул подвійного кута.

Їх висновок і приклади застосування можна подивитися в статті.

Формули пониження степеня

Тригонометричні формули пониження степеня покликані сприяти переходу від натуральних ступенів тригонометричних функцій до синусів і косинусам в першого ступеня, але кратних кутів. Іншими словами, вони дозволяють знижувати ступеня тригонометричних функцій до першої.

Формули суми і різниці тригонометричних функцій

Основне призначення формул суми і різниці тригонометричних функцій полягає в переході до твору функцій, що дуже корисно при спрощення тригонометричних виразів. Зазначені формули також широко використовуються при вирішенні тригонометричних рівнянь, так як дозволяють розкладати на множники суму і різницю синусів і косинусів.

Формули твори синусів, косинусів і синуса на косинус

Перехід від добутку тригонометричних функцій до суми або різниці здійснюється за допомогою формул твори синусів, косинусів і синуса на косинус.

Башмаков М. І. Алгебра і початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-е изд. - М .: Просвещение, 1993. - 351 с .: іл. - ISBN 5-09-004617-4.

алгебра і початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин і ін .; Під ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е вид.- М .: Просвещение, 2004. 384 с .: іл.- ISBN 5-09-013651-3.

Гусєв В. А., Мордкович А. Г. Математика (посібник для вступників до технікумів): Учеб. посібник.- М .; Вища. шк., 1984.-351 с., іл.

Copyright by cleverstudents

Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту www.сайт, включаючи внутрішні матеріали і зовнішнє оформлення, не може бути відтворена в будь-якій формі або використовувати без попередньої письмової згоди власника авторських прав.

Формул в тригонометрії багато.

Запам'ятати їх механічно дуже складно, майже неможливо. На заняттях багато школярів і студенти користуються роздруківками на форзацах підручників і зошитів, плакатами на стінах, шпаргалками, нарешті. А як бути на іспиті?

Однак, якщо Ви придивіться до цих формул уважніше, то виявите, що всі вони взаємопов'язані і мають певну симетрію. Давайте проаналізуємо їх з урахуванням визначень і властивостей тригонометричних функцій, щоб визначити той мінімум, який дійсно варто вивчити напам'ять.

I група. Основні тотожності

sin 2 α + cos 2 α \u003d 1;

tgα \u003d ____ sinα cosα; ctgα \u003d ____ cosα sinα ;

tgα · ctgα \u003d 1;

1 + tg 2 α \u003d _____ 1 cos 2 α; 1 + ctg 2 α \u003d _____ 1 sin 2 α.

Ця група містить найпростіші і найбільш затребувані формули. Більшість учнів їх знає. Але якщо все-таки є труднощі, то щоб запам'ятати перші три формули, подумки уявіть собі прямокутний трикутник з гіпотенузою що дорівнює одиниці. Тоді його катети будуть рівні, відповідно, sinα за визначенням синуса (відношення протилежного катета до гіпотенузи) і cosα за визначенням косинуса (відношення прилеглого катета до гіпотенузи).

Перша формула являє собою теорему Піфагора для такого трикутника - сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи (1 2 \u003d 1), друга і третя - це визначення тангенса (відношення протилежного катета до прилеглого) і котангенс (відношення прилеглого катета до протилежного).
Твір тангенса на котангенс дорівнює 1 тому, що котангенс, записаний у вигляді дробу (формула третя) є перевернутий тангенс (формула друга). Останнє міркування, до речі, дозволяє виключити з числа формул, які необхідно обов'язково завчити, всі наступні довгі формули з котангенсом. Якщо в будь-якому складному завданні Вам зустрінеться ctgα, просто замініть його на дріб ___ 1 tgα і користуйтеся формулами для тангенса.

Останні дві формули годі й запам'ятовувати досімвольно. Вони зустрічаються рідше. І якщо будуть потрібні, то Ви завжди зможете вивести їх на чернетці заново. Для цього достатньо підставити замість тангенса або контангенса їх визначення через дріб (формули друга і третя, відповідно) і привести вираз до спільного знаменника. Але важливо пам'ятати, що такі формули, які пов'язують квадрати тангенса і косинуса, і квадрати котангенс і синуса існують. Інакше, Ви можете не здогадатися, які перетворення необхідні для вирішення тієї чи іншої конкретної задачі.

II група. формули додавання

sin (α + β) \u003d sinα · cosβ + cosα · sinβ;

sin (α - β) \u003d sinα · cosβ - cosα · sinβ;

cos (α + β) \u003d cosα · cosβ - sinα · sinβ;

cos (α - β) \u003d cosα · cosβ + sinα · sinβ;

tg (α + β) \u003d tgα + tgβ _________ 1 - tgα · tgβ;

tg (α - β) \u003d

Згадаймо властивості парності / непарності тригонометричних функцій:

sin (-α) \u003d - sin (α); cos (-α) \u003d cos (α); tg (-α) \u003d - tg (α).

З усіх тригонометричних функцій тільки косинус є парною функцією і не змінює свій знак при зміні знаку аргументу (кута), інші функції є непарними. Непарність функції, фактично, означає, що знак мінус можна вносити і виносити за знак функції. Тому, якщо Вам зустрінеться тригонометрическое вираз з різницею двох кутів, завжди можна буде розуміти його як суму позитивного і негативного кутів.

наприклад, sin ( x - 30º) \u003d sin ( x + (-30º)).
Далі користуємося формулою суми двох кутів і розбираємося зі знаками:
sin ( x + (-30º)) \u003d sin x· Cos (-30º) + cos x· Sin (-30º) \u003d
\u003d sin x· Cos30º - cos x· Sin30º.

Таким чином всі формули, що містять різницю кутів, можна просто пропустити при першому заучуванні. Потім варто навчитися відновлювати їх у загалом вигляді спочатку на чернетці, а потім і в думках.

Наприклад, tg (α - β) \u003d tg (α + (-β)) \u003d tgα + tg (-β) ___________ 1 - tgα · tg (-β) = tgα - tgβ _________ 1 + tgα · tgβ.

Це допоможе в подальшому швидше здогадуватися про те, які перетворення потрібно застосувати для вирішення тієї чи іншої задачі з тригонометрії.

Ш група. Формули кратних аргументів

sin2α \u003d 2 · sinα · cosα;

cos2α \u003d cos 2 α - sin 2 α;

tg2α \u003d 2tgα _______ 1 - tg 2 α;

sin3α \u003d 3sinα - 4sin 3 α;

cos3α \u003d 4cos 3 α - 3cosα.

Необхідність у використанні формул для синуса і косинуса подвійного кута виникає дуже часто, для тангенса теж нерідко. Ці формули слід знати напам'ять. Тим більше, що труднощів у їх заучуванні немає. По-перше, формули короткі. По-друге, їх легко контролювати за формулами попередньої групи, виходячи з того, що 2α \u003d α + α.
наприклад:
sin (α + β) \u003d sinα · cosβ + cosα · sinβ;
sin (α + α) \u003d sinα · cosα + cosα · sinα;
sin2α \u003d 2sinα · cosα.

Однак, якщо Ви швидше вивчили ці формули, а не попередні, то можна зробити і навпаки: згадувати формулу для суми двох кутів можна за відповідною формулою для подвійного кута.

Наприклад, якщо потрібна формула косинуса суми двох кутів:
1) згадуємо формулу для косинуса подвійного кута: cos2 x \u003d Cos 2 x - sin 2 x;
2) розписуємо її довго: cos ( x + x) \u003d Cos x· cos x - sin x· sin x;
3) замінюємо один х на α, другий на β: cos (α + β) \u003d cosα · cosβ - sinα · sinβ.

Потренуйтеся аналогічно відновлювати формули для синуса суми і тангенса суми. У відповідальних випадках, таких як наприклад ЄДІ, перевіряйте точність відновлених формул по відомим першої чверті: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Перевірка попередньої формули (отриманої заміною в рядку 3):
нехай α \u003d 60 °, β \u003d 30 °, α + β \u003d 90 °,
тоді cos (α + β) \u003d cos90 ° \u003d 0, cosα \u003d cos60 ° \u003d 1/2, cosβ \u003d cos30 ° \u003d √3 _ / 2, sinα \u003d sin60 ° \u003d √3 _ / 2, sinβ \u003d sin30 ° \u003d 1/2;
підставляємо значення в формулу: 0 \u003d (1/2) · ( √3_ /2) − (√3_ / 2) · (1/2);
0 ≡ 0, помилок не виявлено.

Формули для потрійного кута, на мій погляд, спеціально "зубрити" не потрібно. Вони досить рідко зустрічаються на іспитах типу ЄДІ. Вони легко виводяться з формул, які були вище, тому що sin3α \u003d sin (2α + α). А тим учням, яким з якихось причин все ж буде потрібно вивчити ці формули напам'ять, раджу звернути увагу на їх деяку "симетричність" і запам'ятовувати не власними формули, а мнемонічні правила. Наприклад, порядок в якому розташовані числа в двох формулах "33433433" і т.п.

IV група. Сума / різниця - в твір

sinα + sinβ \u003d 2 · sin α + β ____ 2· cos α - β ____ 2 ;

sinα - sinβ \u003d 2 · sin α - β ____ 2· cos α + β ____ 2 ;

cosα + cosβ \u003d 2 · cos α + β ____ 2· cos α - β ____ 2 ;

cosα - cosβ \u003d -2 · sin α - β ____ 2· sin α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ \u003d sin (α + β) ________ cosα · cosβ ;

tgα - tgβ \u003d sin (α - β) ________ cosα · cosβ .

Скориставшись властивостями непарності функцій синус і тангенс: sin (-α) \u003d - sin (α); tg (-α) \u003d - tg (α),
можна формули для різниць двох функцій звести до формул для їх сум. наприклад,

sin90º - sin30º \u003d sin90º + sin (-30º) \u003d 2 · sin 90º + (-30º) __________ 2· cos 90º - (-30º) __________ 2 =

2 · sin30º · cos60º \u003d 2 · (1/2) · (1/2) \u003d 1/2.

Таким чином, формули різниці синусів і тангенсів не обов'язково відразу заучувати напам'ять.
З сумою і різницею косинусів справа йде складніше. Ці формули не взаємозамінні. Але знову ж таки, користуючись парністю косинуса, можна запам'ятати наступні правила.

Сума cosα + cosβ не може змінити свій знак ні при яких змінах знаків кутів, тому твір також має складатися з парних функцій, тобто двох косинусів.

Знак різниці cosα - cosβ залежить від значень самих функцій, значить знак твори повинен залежати від співвідношення кутів, тому твір має складатися з непарних функцій, тобто двох синусів.

І все-таки ця група формул не сама легка для запам'ятовування. Це той випадок, коли краще менше зубрити, але більше перевіряти. Щоб не допустити помилки у формулі на відповідальному іспиті, обов'язково спочатку запишіть її на чернетці і перевірте двома способами. Спочатку підстановками β \u003d α і β \u003d -α, потім за відомими значеннями функцій для простих кутів. Для цього найкраще брати 90º і 30º, як це було зроблено в прикладі вище, тому що полусумма і полуразность цих значень, знову дають прості кути, і Ви легко можете побачити, як рівність стає тотожністю для вірного варіанту. Або, навпаки, не виконується, якщо Ви помилилися.

прикладперевірки формули cosα - cosβ \u003d 2 · sin α - β ____ 2· sin α + β ____ 2 для різниці косинусів з помилкою !

1) Нехай β \u003d α, тоді cosα - cosα \u003d 2 · sin α - α _____ 2· sin α + α _____ 2 \u003d 2sin0 · sinα \u003d 0 · sinα \u003d 0. cosα - cosα ≡ 0.

2) Нехай β \u003d - α, тоді cosα - cos (- α) \u003d 2 · sin α - (-α) _______ 2· sin α + (-α) _______ 2 \u003d 2sinα · sin0 \u003d 0 · sinα \u003d 0. cosα - cos (- α) \u003d cosα - cosα ≡ 0.

Ці перевірки показали, що функції у формулі використані правильно, але через те, що тотожність виходило виду 0 ≡ 0, могла бути пропущена помилка зі знаком або коефіцієнтом. Робимо третю перевірку.

3) Нехай α \u003d 90º, β \u003d 30º, тоді cos90º - cos30º \u003d 2 · sin 90º - 30º ________ 2· sin 90º + 30º ________ 2 \u003d 2sin30º · sin60º \u003d 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cos90 - cos30 \u003d 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

Помилка була дійсно в знаку і тільки в знаку перед твором.

V група. Твір - в суму / різницю

sinα · sinβ \u003d 1 _ 2 · (Cos (α - β) - cos (α + β));

cosα · cosβ \u003d 1 _ 2 · (Cos (α - β) + cos (α + β));

sinα · cosβ \u003d 1 _ 2 · (Sin (α - β) + sin (α + β)).

Сама назва п'ятої групи формул підказує, що ці формули є зворотними по відношенню до попередньої групи. Зрозуміло, що в цьому випадку простіше відновити формулу на чернетці, ніж вчити її заново, збільшуючи ризик створення "каші в голові". Єдине, на чому має сенс загострити увагу для більш швидкого відновлення формули, це такі рівності (перевірте їх):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

Розглянемо приклад: потрібно перетворити твір sin5 x· cos3 x в суму двох тригонометричних функцій.
Оскільки в твір входять і синус, і косинус, то беремо з попередньої групи формулу для суми синусів, яку вже вивчили, і записуємо її на чернетці.

sinα + sinβ \u003d 2 · sin α + β ____ 2· cos α - β ____ 2

нехай 5 x = α + β ____ 2 і 3 x = α - β ____ 2 , Тоді α \u003d α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5x + 3x = 8x, β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5x − 3x = 2x.

Замінюємо у формулі на чернетці значення кутів, виражені через змінні α і β, на значення кутів, виражені через змінну x.
отримаємо sin8 x + sin2 x \u003d 2 · sin5 x· cos3 x

Ділимо обидві частини равества на 2 і записуємо його на чистовик справа наліво sin5 x· cos3 x = 1 _ 2 (sin8 x + sin2 x). Відповідь готовий.

Як вправа: Поясніть, чому в підручнику формул для перетворення суми / різниці в твір 6, а зворотних (для перетворення твори в суму або різницю) - всього 3?

VI група. Формули пониження степеня

cos 2 α \u003d 1 + cos2α _________ 2;

sin 2 α \u003d 1 - cos2α _________ 2;

cos 3 α \u003d 3cosα + cos3α ____________ 4;

sin 3 α \u003d 3sinα - sin3α ____________ 4.

Перші дві формули цієї групи дуже потрібні. Застосовуються часто при вирішенні тригонометричних рівнянь, в тому числі рівня єдиного іспиту, а також при обчисленні інтегралів, що містять подинтегральную функції тригонометричного типу.

Можливо, буде легше запам'ятати їх в наступній "одноповерхової" формі
2cos 2 α \u003d 1 + cos2α;
2 sin 2 α \u003d 1 - cos2α,
а розділити на 2 завжди можна в розумі чи на чернетці.

Необхідність у використанні таких двох формул (з кубами функцій) на іспитах зустрічається набагато рідше. В іншій обстановці у Вас завжди буде час скористатися чернеткою. При цьому можливі наступні варіанти:
1) Якщо Ви пам'ятаєте останні дві формули III-ї групи, то користуйтеся ними, щоб висловлювати sin 3 α і cos 3 α шляхом нескладних перетворень.
2) Якщо в останніх двох формулах цієї групи Ви помітили елементи симетрії, які сприяють їх запам'ятовування, то записуйте "ескізи" формул на чернетці та перевіряйте їх за значеннями основних кутів.
3) Якщо, крім того, що такі формули пониження степеня існують, Ви про них нічого не знаєте, то вирішуйте завдання поетапно, виходячи з того, що sin 3 α \u003d sin 2 α · sinα і інших вчинених формул. Будуть потрібні формули пониження степеня для квадрата і формули перетворення добутку в суму.

VII група. половинний аргумент

sin α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 2;_____

cos α _ 2 = ± √ 1 + cosα ________ 2;_____

tg α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 1 + cosα._____

Не бачу сенсу в заучуванні напам'ять цієї групи формул в тому вигляді, в якому вони представлені в підручниках і довідниках. Якщо Ви розумієте, що α є половина від 2α, то цього достатньо, щоб швидко вивести потрібну формулу половинного аргументу, виходячи з перших двох формул зниження ступеня.

Це стосується також тангенса половинного кута, формула для якого виходить розподілом вираження для синуса на відповідний вираз для косинуса.

Не забудьте тільки при добуванні квадратного кореня поставити знак ± .

VIII група. Універсальна підстановка

sinα \u003d 2tg (α / 2) _________ 1 + tg 2 (α / 2);

cosα \u003d 1 - tg 2 (α / 2) __________ 1 + tg 2 (α / 2);

tgα \u003d 2tg (α / 2) _________ 1 - tg 2 (α / 2).

Ці формули можуть виявитися надзвичайно корисними для вирішення тригонометричних задач всіх видів. Вони дозволяють реалізувати принцип "один аргумент - одна функція", який дозволяє робити заміни змінних, що зводять складні тригонометричні вирази до алгебраїчних. Недарма ця підстановка названа універсальною.
Перші дві формули вчимо обов'язково. Третю можна отримати поділом перших двох друг на друга за визначенням тангенса tgα \u003d sinα ___ cosα

IX група. Формули приведення.

Щоб розібратися з цією групою тригонометричних формул, перед

X група. Значення для основних кутів.

Значення тригонометричних функцій для основних кутів першої чверті наведені

Отже, робимо висновок: Формули тригонометрії знати треба. Чим більше тим краще. Але на що витрачати свій час і зусилля - на заучування формул або на їх відновлення в процесі вирішення завдань, кожен повинен вирішити самостійно.

Приклад завдання на використання формул тригонометрії

Розв'язати рівняння sin5 x· cos3 x - sin8 x· cos6 x = 0.

Маємо дві різні функції sin () і cos () і чотири! різних аргументу 5 x, 3x, 8x і 6 x. Без попередніх перетворень звести до найпростіших типів тригонометричних рівнянь не вийде. Тому спочатку пробуємо замінити твори на суми або різниці функцій.
Робимо це так само, як в прикладі вище (див. Розділ).

sin (5 x + 3x) + Sin (5 x − 3x) \u003d 2 · sin5 x· cos3 x
sin8 x + sin2 x \u003d 2 · sin5 x· cos3 x

sin (8 x + 6x) + Sin (8 x − 6x) \u003d 2 · sin8 x· cos6 x
sin14 x + sin2 x \u003d 2 · sin8 x· cos6 x

Висловлюючи з цих рівностей твори, підставляємо їх в рівняння. отримаємо:

(sin8 x + sin2 x) / 2 - (sin14 x + sin2 x)/2 = 0.

Множимо на 2 обидві частини рівняння, розкриваємо дужки і наводимо подібні члени

Sin8 x + sin2 x - sin14 x - sin2 x = 0;
sin8 x - sin14 x = 0.

Рівняння значно спростилося, але вирішувати його так sin8 x \u003d sin14 x, Отже 8 x = 14x + T, де Т - період, невірно, так як ми не знаємо значення цього періоду. Тому скористаємося тим, що в правій частині рівності стоїть 0, з яким легко порівнювати множники в будь-якому вираженні.
Щоб розкласти sin8 x - sin14 x на множники, потрібно перейти від різниці до твору. Для цього можна скористатися формулою різниці синусів, або знову формулою суми синусів і непарність функції синус (див. Приклад в розділі).

sin8 x - sin14 x \u003d sin8 x + Sin (-14 x) \u003d 2 · sin 8x + (−14x) __________ 2 · cos 8x − (−14x) __________ 2 \u003d Sin (-3 x) · Cos11 x \u003d -sin3 x· cos11 x.

Отже, рівняння sin8 x - sin14 x \u003d 0 рівносильне рівнянню sin3 x· cos11 x \u003d 0, яке, в свою чергу, рівносильно сукупності двох найпростіших рівнянь sin3 x \u003d 0 і cos11 x \u003d 0. Вирішуючи останні, отримуємо дві серії відповідей
x 1 \u003d π n/3, nεZ
x 2 \u003d π / 22 + π k/11, kεZ

Якщо Ви виявили помилку або друкарську помилку в тексті, повідомте про неї, будь ласка, на електронну адресу [Email protected] . Буду вельми вдячна.

Увага, © mathematichka. Пряме копіювання матеріалів на інших сайтах заборонено. Ставте посилання.

тригонометричні функції - Запит «sin» перенаправляється сюди; см. також інші значення. Запит «sec» перенаправляється сюди; см. також інші значення. Запит «Синус» перенаправляється сюди; см. також інші значення ... Вікіпедія

Tan

Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканс, котангенс Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), ... ... Вікіпедія

косинус - Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканс, котангенс Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), ... ... Вікіпедія

котангенс - Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканс, котангенс Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), ... ... Вікіпедія

Секанс - Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканс, котангенс Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), ... ... Вікіпедія

Історія тригонометрії - Геодезичні вимірювання (XVII століття) ... Вікіпедія

Формула тангенса половинного кута - У тригонометрії, формула тангенса половинного кута пов'язує тангенс половинного кута з тригонометричними функціями повного кута: різні варіації цієї формули виглядають наступним чином ... Вікіпедія

тригонометрія - (від грец. Τρίγονο (трикутник) і грец. Μετρειν (вимірювати), тобто вимір трикутників) розділ математики, в якому вивчаються тригонометричні функції та їх застосування до геометрії. Даний термін вперше з'явився в 1595 році як ... ... Вікіпедія

рішення трикутників - (лат. Solutio triangulorum) історичний термін, що означає вирішення головного тригонометричної завдання: за відомими даними про трикутнику (боку, кути і т. Д.) Знайти інші його характеристики. Трикутник може розташовуватися на ... ... Вікіпедія

книги

• Комплект таблиць. Алгебра і початки аналізу. 10 клас. 17 таблиць + методика,. Таблиці віддруковані на щільному поліграфічному картоні розміром 680 х 980 мм. У комплект входить брошура з методичними рекомендаціями для вчителя. Навчальний альбом з 17 аркушів. ... Купити за 3944 руб
• Таблиці інтегралів і інші математичні формули, Двайт Г.Б .. Десяте видання відомого довідника містить вельми докладні таблиці невизначених і визначених інтегралів, а також велике число інших математичних формул: розкладання в ряди, ...