“Funksiya grafigiga tangens tenglamasi” videodarsligi namoyish etilgan o'quv materiali mavzuni o'zlashtirish. Videodars davomida funksiya grafigiga berilgan nuqtadagi tangens tenglamasi tushunchasini shakllantirish uchun zarur bo‘lgan nazariy material, bunday tangensni topish algoritmi, o‘rganilganlardan foydalanib masalalar yechish misollari keltirilgan. nazariy materiallar bayon etilgan.

Video darsida materialning ravshanligini yaxshilaydigan usullar qo'llaniladi. Taqdimotda rasmlar, diagrammalar kiritiladi, muhim ovozli izohlar beriladi, animatsiya qo'llaniladi, rang va boshqa vositalar yordamida ta'kidlanadi.

Videodarslik dars mavzusini va M (a; f (a)) nuqtadagi qandaydir y = f (x) funksiya grafigiga teginish tasvirini taqdim etishdan boshlanadi. Ma’lumki, grafaga berilgan nuqtada chizilgan tangens chiziqning qiyaligi f (a) funksiyaning berilgan nuqtadagi hosilasiga teng. Shuningdek, algebra kursidan y = kx + m to'g'ri chiziq tenglamasi ma'lum. Nuqtadagi tangens tenglamasini topish masalasining yechimi sxematik tarzda keltirilgan bo‘lib, u k, m koeffitsientlarni topishga keltiriladi. Funksiya grafigiga mansub nuqtaning koordinatalarini bilib, f (a) = ka + m tangens tenglamadagi koordinatalarning qiymatini almashtirib, m ni topishimiz mumkin. Undan m = f (a) -ka ni topamiz. Shunday qilib, berilgan nuqtadagi hosilaning qiymatini va nuqtaning koordinatalarini bilib, tangens tenglamasini shu tarzda y = f (a) + f΄ (a) (x-a) ifodalash mumkin.

Quyida diagramma bo‘yicha tangens tenglamani tuzish misoli keltirilgan. y = x 2, x = -2 funksiya berilgan. a = -2 olib, funktsiyaning bu nuqtadagi qiymatini f (a) = f (-2) = (- 2) 2 = 4 bo'lgan holda topamiz. fN (x) = 2x funksiyaning hosilasini aniqlang. Bu nuqtada hosila f΄ (a) = f΄ (-2) = 2 · (-2) = - 4 ga teng. Tenglamani tuzish uchun barcha koeffitsientlar topiladi a = -2, f (a) = 4, f΄ (a) = - 4, shuning uchun tangens tenglamasi y = 4 + (- 4) (x + 2). Tenglamani soddalashtirib, y = -4-4x ni olamiz.

Quyidagi misol y = tgx funktsiya grafigining boshidagi teginish tenglamasini yozishni taklif qiladi. Bu nuqtada a = 0, f (0) = 0, f΄ (x) = 1 / cos 2 x, f (0) = 1. Demak, tangens tenglama y = x ga o'xshaydi.

Umumlashtirish sifatida funktsiya grafigiga teginish tenglamasini qandaydir nuqtada tuzish jarayoni 4 bosqichdan iborat algoritm shaklida rasmiylashtiriladi:

• Tegish nuqtasi abtsissasining a belgisi kiritiladi;
• F (a) hisoblanadi;
• F (x) aniqlanadi va fN (a) hisoblanadi. Topilgan a, f (a), f΄ (a) qiymatlari y = f (a) + f (a) (x-a) tangens tenglamasi formulasiga almashtiriladi.

1-misolda x = 1 nuqtada y = 1 / x funksiya grafigiga teginish tenglamasini tuzish ko'rib chiqiladi. Muammoni hal qilish uchun biz algoritmdan foydalanamiz. Berilgan funksiya uchun a = 1 nuqtada f (a) funksiyaning qiymati = - 1. fN (x) = 1 / x 2 funksiyaning hosilasi. a = 1 nuqtada f΄ (a) = f΄ (1) = 1 hosilasi. Olingan ma'lumotlardan foydalanib, y = -1 + (x-1) yoki y = x-2 tangensi uchun tenglama tuziladi.

2-misolda y = x 3 + 3x 2 -2x-2 funksiya grafigiga teginish tenglamasini topish kerak. Asosiy shart - tangens va y = -2x + 1 to'g'ri chiziqning parallelligi. Birinchidan, y = -2x + 1 to'g'ri chiziqning qiyaligiga teng bo'lgan tangensning qiyaligini topamiz. Berilgan chiziq uchun fN (a) = - 2 bo'lgani uchun, kerakli tangens uchun k = -2. (x 3 + 3x 2 -2x-2) n = 3x 2 + 6x-2 funksiyaning hosilasini toping. f (a) = - 2 ekanligini bilib, 3a 2 + 6a-2 = -2 nuqtaning koordinatalarini topamiz. Tenglamani yechishda biz 1 = 0 va 2 = -2 ni olamiz. Topilgan koordinatalardan foydalanib, tangens tenglamani taniqli algoritm yordamida topishingiz mumkin. Funksiyaning f (a 1) = - 2, f (a 2) = - 18 nuqtalardagi qiymatini toping. Hosilning fN (a 1) = fN (a 2) = - 2 nuqtadagi qiymati. Topilgan qiymatlarni tangens tenglamaga almashtirib, birinchi nuqta uchun a 1 = 0 y = -2x-2, ikkinchi nuqta uchun a 2 = -2 tangens tenglama y = -2x-22 ni olamiz.

3-misolda y = √x funktsiya grafigining (0; 3) nuqtasida teginish chizig'ining tenglamasini tuzish tasvirlangan. Yechim taniqli algoritmga muvofiq amalga oshiriladi. Tangens nuqtasi x = a koordinatalariga ega, bu erda a> 0. Funksiyaning f (a) nuqtadagi qiymati = √x. fN (x) = 1 / 2√x funktsiyasining hosilasi, shuning uchun bu nuqtada f΄ (a) = 1 / 2√a. Olingan barcha qiymatlarni tangens tenglamaga almashtirib, biz y = √a + (x-a) / 2√a ni olamiz. Tenglamani o'zgartirib, y = x / 2√a + √a / 2 ni olamiz. Tangens (0; 3) nuqtadan o'tishini bilib, a ning qiymatini topamiz. 3 = √a / 2 dan a ni toping. Demak, √a = 6, a = 36. y = x / 12 + 3 tangens chiziq tenglamasini toping. Rasmda ko'rib chiqilayotgan funktsiyaning grafigi va tuzilgan kerakli tangens chizig'i ko'rsatilgan.

O‘quvchilarga Dy = ≈f΄ (x) Dx va f (x + Dx) -f (x) ≈f΄ (x) Dx taqribiy tengliklari eslatiladi. X = a, x + Dx = x, Dx = x-a ni olib, f (x) - f (a) ≈fN (a) (x-a), demak f (x) ≈f (a) + fN ( ni olamiz) a) (xa).

4-misolda 2.003 6 ifodaning taxminiy qiymatini topish kerak. f (x) = x 6 funktsiyaning x = 2.003 nuqtasida qiymatini topish zarur bo'lganligi sababli, f (x) = x 6, a = 2, f (a) ni olib, hammaga ma'lum formuladan foydalanishimiz mumkin. ) = f (2) = 64, f N (x) = 6x 5. f (2) nuqtadagi hosila = 192. Shuning uchun 2,003 6 ≈65-192 0,003. Ifodani hisoblab, biz 2,003 6 ≈64,576 ni olamiz.

“Funksiya grafigiga teginish tenglamasi” videodarsi maktabda an’anaviy matematika darsida foydalanish uchun tavsiya etiladi. Elektron ta'lim o'qituvchisi uchun video mavzuni yanada aniqroq tushuntirishga yordam beradi. Mavzu bo‘yicha o‘z tushunchalarini chuqurlashtirish uchun kerak bo‘lsa, videorolik talabalar tomonidan o‘z-o‘zini ko‘rib chiqish uchun tavsiya etilishi mumkin.

MATN KODI:

Bizga ma'lumki, agar M (a; f (a)) nuqta (a dan a va ff koordinatalari bo'lgan em) y = f (x) funktsiya grafigiga tegishli bo'lsa va bu nuqtada funktsiya grafigiga tegishli bo'lsa. abscissa o'qiga perpendikulyar bo'lmagan tangensni chizish mumkin bo'lsa, u holda tangensning qiyaligi f "(a) ga teng (a dan eff tub).

Faraz qilaylik, y = f (x) funktsiya va M nuqta (a; f (a)) berilgan va f´ (a) mavjudligi ham ma'lum. Grafikga teguvchi chiziq tenglamasini tuzing berilgan funksiya v belgilash nuqtasi... Bu tenglama, ordinata o'qiga parallel bo'lmagan har qanday to'g'ri chiziq tenglamasi kabi, y = kx + m ko'rinishga ega (o'yin ka x plyus em ga teng), shuning uchun vazifa koeffitsientlarning qiymatlarini topishdir. k va m.(Ka va em)

Nishab k = f "(a). m qiymatini hisoblash uchun qidirilayotgan chiziq M nuqtadan o'tishidan foydalanamiz (a; f (a)). Bu shuni anglatadiki, agar nuqta koordinatalarini almashtirsak. M ni chiziq tenglamasiga kiritib, biz to'g'ri tenglikni olamiz: f (a) = ka + m, bu erdan m = f (a) - ka ekanligini topamiz.

K va m koeffitsientlarining topilgan qiymatlarini to'g'ri chiziq tenglamasiga almashtirish qoladi:

y = kx + (f (a) -ka);

y = f (a) + k (x-a);

y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( qiymat a plyus eff dan eff ga teng a dan zarba, x minus a ga ko'paytiriladi).

y = f (x) funksiya grafigiga x = a nuqtadagi teginish tenglamasini oldik.

Aytaylik, y = x 2 va x = -2 (ya'ni a = -2) bo'lsa, f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´ (x) = 2x, shuning uchun f "(a) = f´ (-2) = 2 · (-2) = -4. a dan ef zarbasi minus to'rtga teng)

Topilgan a = -2, f (a) = 4, f "(a) = -4 qiymatlarini tenglamaga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz: y = 4 + (- 4) (x + 2), ya'ni y = -4x -4.

(y minus to'rt x minus to'rtga teng)

y = tgx funksiyaning grafigiga (y x ning tangensiga teng) koordinata boshidagi teginish tenglamasini tuzamiz. Bizda: a = 0, f (0) = tg0 = 0;

f "(x) =, shuning uchun f" (0) = l. Topilgan a = 0, f (a) = 0, f´ (a) = 1 qiymatlarini tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz: y = x.

Algoritm yordamida x nuqtadagi funksiya grafigiga teginish tenglamasini topish qadamlarimizni umumlashtiramiz.

GRAFIK FUNKSIYAGA TANGENTIAL TENGLASHISH ALGORITMI u = f (x):

1) a harfi bilan teginish nuqtasining abssissasini belgilang.

2) f (a) ni hisoblang.

3) f´ (x) ni toping va f´ (a) ni hisoblang.

4) Topilgan a, f (a), f´ (a) sonlarni formulaga almashtiring y= f(a)+ f"(a) (x- a).

1-misol. y = - funksiya grafigiga teginish tenglamasini tuzing.

nuqta x = 1.

Yechim. Biz ushbu misolda buni hisobga olgan holda algoritmdan foydalanamiz

2) f (a) = f (1) = - = -1

3) f´ (x) =; f´ (a) = f´ (1) = = 1.

4) Topilgan uchta raqamni almashtiring: a = 1, f (a) = -1, f "(a) = 1 formulada. Biz olamiz: y = -1+ (x-1), y = x-2 .

Javob: y = x-2.

2-misol. y = funksiya berilgan x 3 + 3x 2 -2x-2... y = -2x +1 to'g'ri chiziqqa parallel bo'lgan y = f (x) funktsiya grafigiga teginish tenglamasini yozing.

Tangens tenglamani tuzish algoritmidan foydalanib, biz ushbu misolda f (x) = ekanligini hisobga olamiz. x 3 + 3x 2 -2x-2, lekin bu erda teginish nuqtasining absissasi ko'rsatilmagan.

Keling, shunday o'ylashni boshlaylik. Kerakli tangens y = -2x + 1 to'g'ri chiziqqa parallel bo'lishi kerak. Va parallel chiziqlar teng qiyaliklarga ega. Bu tangensning qiyaligi berilgan to'g'ri chiziqning qiyaligiga teng ekanligini bildiradi: k cas. = -2. Hok cas. = f "(a). Shunday qilib, f ´ (a) = -2 tenglamadan a ning qiymatini topishimiz mumkin.

Funktsiyaning hosilasini toping y =f(x):

f"(x) = (x 3 + 3x 2 -2x-2) ´ = 3x 2 + 6x-2;f"(a) = 3a 2 + 6a-2.

Tenglamadan f "(a) = -2, ya'ni. 3a 2 + 6a-2= -2 ni topamiz 1 = 0, a 2 = -2. Demak, masalaning shartini qanoatlantiradigan ikkita tangens bor: biri abscissa 0 bo'lgan nuqtada, ikkinchisi abscissa -2 bo'lgan nuqtada.

Endi siz algoritmga amal qilishingiz mumkin.

1) a 1 = 0 va 2 = -2.

2) f (a 1) = 0 3 + 3 0 2 -2 ∙ 0-2 = -2; f (a 2) = (-2) 3 + 3 (-2) 2 -2 (-2) -2 = 6;

3) f "(a 1) = f" (a 2) = -2.

4) Formuladagi a 1 = 0, f (a 1) = -2, f "(a 1) = -2 qiymatlarini almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

y = -2-2 (x-0), y = -2x-2.

Formuladagi a 2 = -2, f (a 2) = 6, f "(a 2) = -2 qiymatlarini almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

y = 6-2 (x + 2), y = -2x + 2.

Javob: y = -2x-2, y = -2x + 2.

3-misol. (0; 3) nuqtadan y = funksiya grafigiga teginish chizilsin. Yechim. Bu misolda f (x) = ekanligini hisobga olib, tangens tenglamani tuzish algoritmidan foydalanamiz. E'tibor bering, bu erda, 2-misolda bo'lgani kabi, teginish nuqtasining abscissasi aniq ko'rsatilmagan. Shunga qaramay, biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz.

1) x = a teginish nuqtasining abssissasi bo'lsin; a>0 ekanligi aniq.

3) f´ (x) = () ´ =; f´ (a) =.

4) a, f (a) =, f "(a) = qiymatlarini formulaga almashtirish

y = f (a) + f "(a) (x-a), biz olamiz:

Taxminlarga ko'ra, tangens (0; 3) nuqtadan o'tadi. Tenglamaga x = 0, y = 3 qiymatlarini qo'yib, biz quyidagilarni olamiz: 3 =, va keyin = 6, a = 36.

Ko'rib turganingizdek, bu misolda faqat algoritmning to'rtinchi bosqichida biz teginish nuqtasining abscissasini topishga muvaffaq bo'ldik. Tenglamaga a = 36 qiymatini qo'yib, biz quyidagilarga erishamiz: y = + 3

Shaklda. 1da ko'rib chiqilayotgan misolning geometrik tasviri ko'rsatilgan: y = funksiyaning grafigi chizilgan, y = +3 to'g'ri chiziq chizilgan.

Javob: y = +3.

Biz bilamizki, x nuqtada hosilasi bo‘lgan y = f (x) funksiyasi uchun taqribiy tenglik o‘rinli: Dyf´ (x) Dx (delta y taxminan eff ga teng, x ning tubiga, deltaga ko‘paytiriladi) x)

yoki batafsilroq, f (x + Dx) -f (x) f´ (x) Dx (x dan eff plyus delta x minus eff x dan delta x gacha bo'lgan eff ga taxminan teng).

Qo'shimcha mulohaza yuritish qulayligi uchun biz belgini o'zgartiramiz:

x o'rniga biz yozamiz a,

x + Dx o'rniga biz x yozamiz

Dx o'rniga biz x-a yozamiz.

Keyin yuqorida yozilgan taxminiy tenglik quyidagi shaklni oladi:

f (x) -f (a) f´ (a) (x-a)

f (x) f (a) + f´ (a) (x-a). (x dan ff taxminan a dan plyus ef tubdan ff ga teng, x va a orasidagi farqga ko'paytiriladi).

4-misol. 2.003 6 sonli ifodaning taxminiy qiymatini toping.

Yechim. Gap x = 2,003 nuqtada y = x 6 funksiyaning qiymatini topish haqida ketmoqda. Bu misolda f (x) = x 6, a = 2, f (a) = f (2) ekanligini hisobga olib, f (x) f (a) + f´ (a) (xa) formulasidan foydalanamiz. = 2 6 = 64; x = 2.003, f "(x) = 6x 5 va shuning uchun f" (a) = f "(2) = 6 · 2 5 = 192.

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

2,003 6 64 + 192 0,003, ya'ni. 2,003 6 = 64,576.

Agar biz kalkulyatordan foydalansak, biz quyidagilarni olamiz:

2,003 6 = 64,5781643...

Ko'rib turganingizdek, yaqinlashishning aniqligi juda maqbuldir.

Qaysidir nuqtada x 0 chekli hosilasi f (x 0) ga ega bo‘lgan f funksiya berilgan bo‘lsin. U holda (x 0; f (x 0)) nuqtadan o'tuvchi va qiyaligi f '(x 0) bo'lgan to'g'ri chiziq tangens chiziq deyiladi.

Va agar x 0 nuqtasida hosila mavjud bo'lmasa-chi? Ikkita variant mavjud:

1. Grafikning tangensi ham mavjud emas. Klassik misol y = | x | funksiyasi nuqtada (0; 0).
2. Tangens vertikal bo'ladi. Bu, masalan, (1; p / 2) nuqtadagi y = arcsin x funksiyasi uchun to'g'ri.

Tangens tenglamasi

Har qanday vertikal bo'lmagan to'g'ri chiziq y = kx + b ko'rinishdagi tenglama bilan berilgan, bu erda k - qiyalik. Tangens chiziq bundan mustasno emas va uning x 0 nuqtadagi tenglamasini tuzish uchun ushbu nuqtadagi funksiya va hosila qiymatini bilish kifoya.

Demak, segmentda y = f ’(x) hosilasi bo‘lgan y = f (x) funksiya berilgan bo‘lsin. U holda, x 0 ∈ (a; b) ning istalgan nuqtasida ushbu funktsiyaning grafigiga teginish chizish mumkin, bu tenglama bilan berilgan:

y = f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Bu yerda f '(x 0) hosilaning x 0 nuqtasidagi qiymati, f (x 0) esa funksiyaning o'zi qiymatidir.

Vazifa. y = x 3 funksiya berilgan. Bu funksiya grafigiga x 0 = 2 nuqtadagi teginish tenglamasini yozing.

Tangens tenglama: y = f ’(x 0) · (x - x 0) + f (x 0). Bizga x 0 = 2 nuqtasi berilgan, ammo f (x 0) va f '(x 0) qiymatlarini hisoblash kerak bo'ladi.

Birinchidan, funksiyaning qiymatini topamiz. Bu erda hamma narsa oson: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Endi hosilani topamiz: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
X 0 = 2 hosilasidagi o‘rniga qo‘ying: f ’(x 0) = f’ (2) = 3 · 2 2 = 12;
Jami biz olamiz: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Bu tangens tenglama.

Vazifa. f (x) = 2sin x + 5 funksiya grafigiga x 0 = p / 2 nuqtadagi teginish tenglamasini yozing.

Bu safar biz har bir harakatni batafsil tasvirlamaymiz - biz faqat asosiy bosqichlarni ko'rsatamiz. Bizda ... bor:

f (x 0) = f (p / 2) = 2sin (p / 2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f '(x 0) = f' (p / 2) = 2cos (p / 2) = 0;

Tangens tenglamasi:

y = 0 (x - p / 2) + 7 ⇒ y = 7

Ikkinchi holda, to'g'ri chiziq gorizontal bo'lib chiqdi, chunki uning qiyaligi k = 0. Buning hech qanday yomon joyi yo'q - biz shunchaki ekstremal nuqtaga qoqilib qoldik.

Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki u bilan bog'lanish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda so'rov qoldirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot siz bilan bog'lanish va xabar berish imkonini beradi noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim bildirishnomalar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shaxsiy ma'lumotlardan audit, ma'lumotlarni tahlil qilish va boshqalar kabi ichki maqsadlarda ham foydalanishimiz mumkin turli tadqiqotlar biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash reklama tadbirida ishtirok etsangiz, biz ushbu dasturlarni boshqarish uchun siz taqdim etgan ma'lumotlardan foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga, sud qaroriga muvofiq, sud muhokamasida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa ijtimoiy ahamiyatga ega sabablarga ko'ra zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi shaxsga - huquqiy vorisga topshirishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va suiiste'mol qilish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qiling

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsiz ekanligiga ishonch hosil qilish uchun biz xodimlarimizga maxfiylik va xavfsizlik qoidalarini etkazamiz va maxfiylik choralarining bajarilishini qat'iy nazorat qilamiz.

1-misol. Funktsiya berilgan f(x) = 3x 2 + 4x- 5. Funksiya grafigiga teginish tenglamasini yozing f(x) abscissa bilan grafikning nuqtasida x 0 = 1.

Yechim. Funktsiyaning hosilasi f(x) har qanday x uchun mavjud R ... Keling, topamiz:

= (3x 2 + 4x- 5) ' = 6 x + 4.

Keyin f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Tangens tenglama:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Javob. y = 10x – 8.

2-misol. Funktsiya berilgan f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Funksiya grafigiga teginish tenglamasini yozamiz f(x) to'g'ri chiziqqa parallel y = 2x – 11.

Yechim. Funktsiyaning hosilasi f(x) har qanday x uchun mavjud R ... Keling, topamiz:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5) ′ = 3 x 2 – 6x + 2.

Funktsiya grafigiga tegganligi sababli f(x) abscissa bilan nuqtada x 0 to'g'ri chiziqqa parallel y = 2x- 11, keyin uning qiyaligi 2 ga teng, ya'ni ( x 0) = 2. 3 shartdan bu abtsissani topamiz x– 6x 0 + 2 = 2. Bu tenglik faqat uchun amal qiladi x 0 = 0 va uchun x 0 = 2. Chunki ikkala holatda ham f(x 0) = 5, keyin to'g'ri chiziq y = 2x + b funksiya grafigiga yo (0; 5) nuqtada yoki (2; 5) nuqtada tegadi.

Birinchi holda, raqamli tenglik to'g'ri 5 = 2 × 0 + b, qayerda b= 5, ikkinchi holatda esa raqamli tenglik to'g'ri 5 = 2 × 2 + b, qayerda b = 1.

Shunday qilib, ikkita tangens mavjud y = 2x+ 5 va y = 2x Funktsiya grafigiga + 1 f(x) to'g'ri chiziqqa parallel y = 2x – 11.

Javob. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

3-misol. Funktsiya berilgan f(x) = x 2 – 6x+ 7. Funksiya grafigiga teginish tenglamasini yozing f(x) nuqtadan o'tish A (2; –5).

Yechim. Chunki f(2) -5, keyin nuqta A funktsiya grafigiga tegishli emas f(x). Mayli x 0 - teginish nuqtasining abtsissasi.

Funktsiyaning hosilasi f(x) har qanday x uchun mavjud R ... Keling, topamiz:

= (x 2 – 6x+ 1) ′ = 2 x – 6.

Keyin f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Tangens tenglamasi:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Gap shundaki A tangens chiziqqa, keyin esa sonli tenglikka tegishli

–5 = (2x 0 - 6) × 2– x+ 7,

qayerda x 0 = 0 yoki x 0 = 4. Bu nuqta orqali, degan ma'noni anglatadi A funksiya grafigiga ikkita tangens chizishingiz mumkin f(x).

Agar x 0 = 0, u holda tangens tenglama shaklga ega y = –6x+ 7. Agar x 0 = 4, u holda tangens tenglama shaklga ega y = 2x – 9.

Javob. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

4-misol. Berilgan funktsiyalar f(x) = x 2 – 2x+ 2 va g(x) = –x 2 - 3. Bu funksiyalarning grafiklariga umumiy tangens chiziq tenglamasini yozamiz.

Yechim. Mayli x 1 - funksiya grafigi bilan kerakli to'g'ri chiziqning teginish nuqtasining absissasi f(x), a x 2 - funksiya grafigi bilan bir xil to'g'ri chiziqning teginish nuqtasining abtsissasi g(x).

Funktsiyaning hosilasi f(x) har qanday x uchun mavjud R ... Keling, topamiz:

= (x 2 – 2x+ 2) ′ = 2 x – 2.

Keyin f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Tangens tenglamasi:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Funktsiyaning hosilasini toping g(x):

= (–x 2 - 3) ′ = –2 x.

Ushbu matematik dastur \ (f (x) \) funksiya grafigiga foydalanuvchi belgilagan \ (a \) nuqtadagi teginish tenglamasini topadi.

Dastur nafaqat tangens chiziq tenglamasini, balki masalani yechish jarayonini ham ko'rsatadi.

Ushbu onlayn kalkulyator o'rta maktab o'quvchilari uchun foydali bo'lishi mumkin umumta'lim maktablari ga tayyorgarlik ko'rmoqda nazorat ishlari va imtihonlar, imtihon oldidan bilimlarni tekshirishda, ota-onalar matematika va algebra bo'yicha ko'plab muammolarni hal qilishni nazorat qilishlari kerak. Yoki repetitor yollash yoki yangi darsliklar sotib olish juda qimmatga tushgandir? Yoki iloji boricha tezroq qilishni xohlaysizmi? Uy vazifasi matematikadami yoki algebradami? Bunday holda, siz bizning dasturlarimizdan batafsil yechim bilan ham foydalanishingiz mumkin.

Shunday qilib, siz o'zingizning o'zingiz va / yoki kichik birodarlaringizni o'qitishingiz mumkin, shu bilan birga hal qilinayotgan muammolar sohasidagi ta'lim darajasi oshadi.

Agar funktsiyaning hosilasini topish kerak bo'lsa, buning uchun bizda hosila toping vazifasi mavjud.

Agar siz funksiyalarni kiritish qoidalari bilan tanish bo'lmasangiz, ular bilan tanishib chiqishingizni tavsiya qilamiz.

Funktsiya ifodasi \ (f (x) \) va \ (a \) raqamini kiriting.

f (x) =
a =

Tangens chiziq tenglamasini toping

Ushbu muammoni hal qilish uchun zarur bo'lgan ba'zi skriptlar yuklanmaganligi va dastur ishlamasligi mumkinligi aniqlandi.
Ehtimol, sizda AdBlock yoqilgan.
Bunday holda, uni o'chiring va sahifani yangilang.

Brauzeringizda JavaScript o'chirilgan.
Yechim paydo bo'lishi uchun JavaScript-ni yoqishingiz kerak.
Bu erda brauzeringizda JavaScript-ni qanday yoqish bo'yicha ko'rsatmalar mavjud.

Chunki Muammoni hal qilmoqchi bo'lganlar ko'p, iltimosingiz navbatda turibdi.
Bir necha soniyadan so'ng, yechim quyida paydo bo'ladi.
Iltimos kuting sek...

Agar Siz qarorida xatolikni payqagan, keyin bu haqda fikr-mulohaza shaklida yozishingiz mumkin.
Unutmang qaysi vazifani ko'rsating Siz qaror qilasiz va nima maydonlarga kiring.

Bizning o'yinlarimiz, boshqotirmalarimiz, emulyatorlarimiz:

Bir oz nazariya.

To'g'ri chiziqning qiyaligi

Eslatib o'tamiz, \ (y = kx + b \) chiziqli funktsiyaning grafigi to'g'ri chiziqdir. \ (k = tg \ alfa \) raqami chaqiriladi to'g'ri chiziqning qiyaligi, va burchak \ (\ alfa \) bu chiziq va Ox o'qi orasidagi burchakdir

Agar \ (k> 0 \), u holda \ (0 If \ (k Funktsiya grafigiga teginish tenglamasi)

Agar M (a; f (a)) nuqta y = f (x) funktsiya grafigiga tegishli bo'lsa va bu nuqtada funksiya grafigiga abscissaga perpendikulyar bo'lmagan tangensni chizish mumkin bo'lsa. o'qi bo'lsa, unda hosilaning geometrik ma'nosidan tangensning qiyaligi f "(a) bo'lishi kelib chiqadi. So'ngra har qanday funksiya grafigiga teginish tenglamasini tuzish algoritmini ishlab chiqamiz.

Bu funksiya grafigida y = f (x) funksiya va M (a; f (a)) nuqta berilgan bo lsin; f "(a) borligi ma'lum bo'lsin. Berilgan nuqtada berilgan funksiya grafigiga teginish tenglamasini tuzamiz. Bu tenglama ordinata o'qiga parallel bo'lmagan har qanday to'g'ri chiziq tenglamasi kabi. , y = kx + b ko'rinishiga ega, shuning uchun muammo k va b koeffitsientlarining qiymatlarini topishdir.

Nishab k bilan hamma narsa aniq: k = f "(a) ekanligi ma'lum. b ning qiymatini hisoblash uchun biz izlanayotgan chiziq M (a; f (a)) nuqtasidan o'tishidan foydalanamiz. Bu shuni anglatadiki, agar M nuqtaning koordinatalarini chiziq tenglamasiga almashtirsak, to'g'ri tenglikni olamiz: \ (f (a) = ka + b \), ya'ni \ (b = f (a) - ka \). ).

K va b koeffitsientlarining topilgan qiymatlarini to'g'ri chiziq tenglamasiga almashtirish qoladi:

$$ y = kx + b $$ $$ y = kx + f (a) - ka $$ $$ y = f (a) + k (xa) $$ $$ y = f (a) + f "( a ) (xa) $$

Biz oldik funksiya grafigiga teginish tenglamasi\ (y = f (x) \) nuqtada \ (x = a \).

\ (y = f (x) \) funksiya grafigiga teginish tenglamasini topish algoritmi.
1. Tegish nuqtasining abssissasini \ (a \) harfi bilan belgilang.
2. Hisoblang \ (f (a) \)
3. \ (f "(x) \) toping va \ (f" (a) \) hisoblang.
4. Topilgan \ (a, f (a), f "(a) \) raqamlarini \ (y = f (a) + f" (a) (x-a) \) formulasiga qo'ying.

Kitoblar (darsliklar) Referatlar USE va OGE testlari onlayn O'yinlar, boshqotirmalar Grafik funktsiyalari Rus tilining grafik lug'ati Yoshlar slengi lug'ati Rossiyadagi maktablar katalogi Rossiya universitetlari katalogi Rossiya universitetlari katalogi Vazifalar ro'yxati GCD va NOCni topish Polinomni soddalashtirish ( polinomlarni ko'paytirish)