Biz loting ko'plab dasturlarga ega ekanligiga aminmiz: hosila - bu harakatlanish tezligi (yoki har qanday jarayon kursi) tezligi; Lifatiativativ funktsiya funktsiyalariga nisbatan burchak koeffitsienti; Differentdan foydalanib, siz Monotoniya va ekstremi bilan ishlash funktsiyasini o'rganishingiz mumkin; Lifativ optimallashtirish vazifalarini hal qilishga yordam beradi.

Ammo B. haqiqiy hayot Yoqish vazifalari hal qilinishi kerak: masalan, taniqli qonunning tezligini topish, ma'lum tezlikda harakatlanish qonunini tiklash vazifasi ham topiladi. Ushbu vazifalardan birini ko'rib chiqaylik.

1-misol.Materiallar to'g'ri yo'l bo'ylab harakatlanmoqda, uning harakatlanish tezligi Ttilah, Formulas U \u003d TG formulasiga o'rnatiladi. Harakat qonunini toping.

Qaror.S \u003d s (t) kerakli harakat qonuni bo'lsin. Bu "(t) \u003d u" (t) ma'lum. Shunday qilib, muammoni hal qilish uchun siz olishingiz kerak funktsiya S \u003d s (t), uning hosilasi tg. Buni taxmin qilish qiyin emas

Shuni ta'kidlash kerakki, misol to'g'ri hal qilingan, ammo to'liq emas. Biz buni aslida, vazifa juda ko'p echimlarga egamiz: turdagi har qanday funktsiya mavjud o'zboshimchalik bilan doimiy ravishda harakat qilish qonuni bo'lishi mumkin, chunki

Biz aniqlanishi uchun biz dastlabki vaziyatni belgilashimiz kerak edi: bir vaqtning o'zida, masalan, T \u003d 0 da harakatlanish koordinatasini belgilashimiz kerak edi. Agar ayting, s (0) \u003d s 0, biz teng emas \u003d 0 + S, i.e.S 0 \u003d s hosil qilamiz. Endi harakat qonuni aniq belgilanadi:
Matematikada o'zaro teskari operatsiyalar turli xil nomlarni tayinlaydi, maxsus belgilar ixtirolari: masalan, kvadrat (x 2) va qazib olish kvadrat ildiz sinus (Sinx) va arksinus (arcsin x) va boshqalar. Ushbu funktsiya bo'yicha lotinni topish jarayoni farqlash deb nomlanadi va teskari tomoni, I.E. Ushbu hosila - integratsiyada funktsiyani topish jarayoni.
"Har kuni" atamasi "har kuni" deb oqlanishi mumkin: Y-F (x) funktsiyasi "\u003d F" funktsiyasi "Ota-ona" funktsiyasida "\u003d x" funktsiyasini (x) yangi funktsiya yaratadi. Ammo tabiiyki, matematikani "ota-ona" yoki "ishlab chiqaruvchi" deb atashmaydi, deyishadi ular "\u003d F" (x) funktsiyasiga nisbatan, birlamchi tasvir yoki qisqacha, birlamchi.

1-ta'rif.Y \u003d F (x) funktsiyasi y \u003d f (x) funktsiyali x '\u003d f (x) funktsiyasida, agar (x) x (x) ni x dan x-i uchun amalga oshiriladi.

Amaliyotda x vaqt oralig'i odatda ko'rsatilmagan, ammo (tabiiy maydonni aniqlash zonasi sifatida).

Biz misollar keltiramiz:

1) y \u003d x 2 funktsiyasi y \u003d 2x funktsiyasi uchun ibtidoiydir, chunki x \u003d 2 tengligi (x 2) uchun (x 2) \u003d 2x.
2) Y - x 3 funktsiyasi U-A funktsiyasi U-A faoliyati uchun ibtidoiy, chunki x 3 tengligi (x 3) "\u003d zx 2.
3) Y-Sin funktsiyasi y \u003d \u003d kompas funktsiyasining asosiy funktsiyasi, chunki x \u003d tenglik (Sinx) '\u003d SOS uchun.
4) Funktsiya vaqt oralig'ida funktsiya uchun ibtidoiy emas, chunki x\u003e 0 tenglik uchun
Umuman olganda, hosilalarni topish formulasini bilish, ibtidoiy aniqlash uchun formulalar jadvali tuzish juda oson.

Umid qilamizki, ushbu jadval qanday tuzilganligini tushunasiz: ikkinchi ustunda yozilgan hosila funktsiyasi birinchi ustunning mos keladigan chizig'ida yozilgan funktsiyaga teng (chek, dangasa, bu juda foydali) . Masalan, y \u003d x 5, birinchi shaklga ega bo'lgan funktsiya uchun funktsiya sifatida xizmat qiladi (stolning to'rtinchi chizig'iga qarang).

Izohlar:1. Y \u003d F (x) funktsiyasini y \u003d F (x) funktsiyasidan ajratib qo'yganligimizni isbotlaymiz, keyin y \u003d F (x) funktsiyaning ko'p qismi y \u003d F (x) funktsiyaning y \u003d f formasi juda ko'p va ularning barchasi y \u003d F (x) + C. Shuning uchun stolning ikkinchi ustunida hamma joyda komponent qo'shadigan komponent qo'shing, u erda C ning o'zboshimchalik bilan haqiqiy raqami bor.
2. Qisqartirish uchun, ba'zida "Y \u003d F (x) funktsiyasi uchun" Y \u003d F "funktsiyasi uchun ibtidoiy, deydi ular F (x) - f (x).

2. Ichki moddalarni topish qoidalari

Ilmiy deb topilsa, hosilalarni topishda nafaqat formulalar qo'llaniladi (196-bet jadvalda ko'rsatilgan), balki ba'zi qoidalar ham qo'llaniladi. Ular hosilalarni hisoblashning tegishli qoidalari bilan bevosita bog'liq.

Biz bilamizki, miqdorning hosilasi derivativlar miqdoriga teng. Ushbu qoidada mos keladigan topilma qoidasini keltirib chiqaradi.

1-qoida. Birinchi shaklli miqdori ibtidoiy miqdorga teng.

Ushbu tahoratning ba'zi "engil" ga sizning e'tiboringizni jalb qilamiz. Aslida, teoromni shakllantirish kerak bo'ladi: Agar y \u003d F (x) va y \u003d g (x) funtida mos ravishda, mos ravishda, yf (x) va yg (x) ni ajratib tursa Y \u003d F (x) funktsiyalari miqdori, bu graflik funktsiyasi, y \u003d F (x) + g (x). Odatda, qoidalarni shakllantirish (va na nazariy emas), faqat qoldiring kalit so'zlar - Bu qoidani amalda qo'llash qulay.

2-misol. Birinchi funktsiyani toping y \u003d 2x + pop X.

Qaror.1x-ning birlamchi x "; g poplar uchun ibitali. Bu shuni anglatadiki, y \u003d 2 x 2 / t tipidagi y \u003d x 1 + x 1 s tipidagi har qanday funktsiya) xizmat qiladi .
Doimiy mulozimlar lotining belgisi uchun doimiy multiplikatsiyani qabul qilishini bilamiz. Ushbu qoidada mos keladigan topilma qoidasini keltirib chiqaradi.

2-qoida. Doimiy multiplikatorning asosiy belgisi uchun erishilishi mumkin.

3-misol.

Qaror. a) Gunomning birlamchi - koso x; Shunday qilib, Y \u003d 5 SHONF x funktsiyasi uchun funktsiya y \u003d -5soz funktsiyasi bo'ladi.

b) pop X uchun ibtidoiy javob X0; Bu funktsiya xususiyat bo'lishini anglatadi
c) X uchta uchun birlamchi x \u003d 1 asosiy funktsiyasi sifatida xizmat qilish funktsiyasi sifatida xizmat ko'rsatish uchun y \u003d 1 xizmat sifatida xizmat qiladi. Ibtidorni topish uchun birinchi va ikkinchi qoidalardan foydalangan holda, biz asosiy funktsiyani y \u003d 12x 3 + 8x-1 funktsiyasidan foydalanamiz
Sharh. Ma'lumki, ishning hosilasi derivativlar mahsulotiga teng emas (mahsulotning ishlab chiqarilishi yanada murakkabroq) va xususiy hativatal lotorlar derivativlarning xususiyati teng emas. Shuning uchun, ishdan yoki oddiy ikkita funktsiyadan ibtidoiy ravishda yoki ibtidoiy ravishda aniqlash uchun qoidalar ham yo'q. Diqqatli bo'ling!
Biz ibtidoiylik topishda yana bir qismini olamiz. Biz y \u003d F (kx + m) funktsiyasining hosilasi formulasi bilan hisoblab chiqilishini bilamiz

Ushbu qoidada mos keladigan topilma qoidasini keltirib chiqaradi.
3-qoida. Agar y \u003d f (x) ni y \u003d f (x) funktsiyasi uchun ibtidoiy emas, so'ngra Y \u003d F (kx + m) funktsiyaning vazifasi

Haqiqatdan ham,

Bu degani, bu y \u003d f (kx + m) funktsiyasi uchun ibtidoiy.
Uchinchi qoidaning ma'nosi quyidagicha. Agar bilsangiz, y \u003d f (x) funktsiyani bilsangiz, y \u003d f (kx + m) funktsiyasini topishi kerak, y \u003d F (kx + m). , Lekin x ning o'rniga x + m ifodasini almashtirish; Shuningdek, "tuzatish faktorini" yozishni unutmang
4 misol.Belgilangan funktsiyalar uchun asosiy funktsiyalarni toping:

Qaror, a) Gunoh uchun birlamchi - Bu y \u003d sin2x funktsiyasi asosiy funktsiyani anglatadi
b) poplar uchun ibtidoiy javob X0 xizmat qiladi; Bu funktsiya xususiyat bo'lishini anglatadi

c) x 7 uchun ibtidor y \u003d (4-5x) 7 funktsiyasini anglatadi

3. Noma'lum integral

Yuqorida, biz allaqachon ma'lum funktsiyani olishning dastlabki funktsiyasini topish vazifasi Y \u003d F (x) hech kim yechim yo'qligini ta'kidladik. Keling, ushbu masalani batafsil muhokama qilaylik.

Dalillar. 1. Y \u003d F (x) funktsiyaning eng yaxshi funkiga muvofiq y \u003d f (x) funktsiyani, bu x "tengligi x" dan (x) \u003d F (x) uchun barcha bo'lishi kerak . Biz har qanday turdagi turdagi hosilasini topamiz. Y \u003d f (x) + s:
(F (x) + c) \u003d F "(x) + F (x) +0 \u003d F (x).

Shunday qilib (f (x) + c) \u003d F (x). Bu shuni anglatadiki, y \u003d f (x) + c - ibtidoiy y \u003d F (x).
Shunday qilib, biz y \u003d F (x) funktsiyani - bu ibtidor y \u003d F (x) bo'lgan funktsiya bo'lsa, unda (F \u003d F (x) funktsiyani juda ko'p varaqli. f (x) + c - bu ibtidoiy.
2. Biz ushbu turdagi funktsiyalar barcha ko'pchilikni tugatishini isbotlaymiz.

X. F (x) funktsiyaning x \u003d f (x) funktsiyasining x \u003d f funktsiyasida ikkita ibtidoiy bo'lishi kerak, bu X bo'shlig'ining xamiri uchun barcha X degan ma'noni anglatadi: f ^ (x) \u003d F (x); F "(x) \u003d F (x).

Y \u003d F 1 (x) funktsiyasini tezlashtirish va uning hosilasini toping: (F, (x) -f (x) -f (x) \u003d F (x) \u003d F (x) \u003d F (x) - f (x) \u003d 0.
Ma'lumki, agar bo'shliqdagi funktsiyaning hosilasi teng bo'lsa nolga teng bo'lsa, unda funktsiyaning doimiy bo'lishi mumkin (35-§ a teoremaga qarang). Shunday qilib, f 1 (x) -f (x) \u003d s, i.e. Fx) \u003d f (x) + s.

Teorema isbotlangan.

5-misol.Vaqt tezligini o'zgartirish qonuni v \u003d -5SIN2T ko'rsatilgan. Agar taniqli bo'lsa, motion S \u003d S (t) qonunini toping, bu vaqtning koordinatasi 1.5 raqamiga teng edi (i.e. s (t) \u003d 1.5).

Qaror.Tezlik koordinatlarning hosilasi vaqt funktsiyasi sifatida, keyin biz avval tezlikdan ibtidoiy ravishda topishimiz kerak, i.e. V \u003d -5SIN2T funktsiyasi uchun uzluksiz. Ulardan biri bu funktsiya va barcha eng avvalgilarning to'plami:

Doimiy Cning o'ziga xos qiymatini topish uchun biz boshlang'ich shartlardan foydalanamiz (0) \u003d 1.5. Formulaga almashtirish (1) qiymatlar t \u003d 0, s \u003d 1.5, biz olamiz:

Formulas (1) dagi qiymatni almashtirib, bizga qiziqish harakati qonunini olamiz:

2-ta'rif.Agar funktsiya y \u003d f (x) birlamchi y \u003d F (x) bo'lsa, unda barchasi juda sodda, i.e. Y \u003d F (x) + C shaklidagi funktsiyalar to'plami y \u003d F (x) funktsiyasidan noaniq integral deb ataladi va deyiladi:

(O'qing: » noaniq integral X de de "dan ef.
Keyingi paragrafda belgilangan belgining yashirin ma'nosi nima ekanligini bilib olamiz.
Ushbu paragrafda mavjud bo'lgan hozirgi shaklli jadval asosida biz asosiy noaniq integratsiya jadvalini tuzamiz:

Ichki integratsiya qoidalarini aniqlash uchun yuqoridagi uchta qoidaga tayanib, biz tegishli integratsiya qoidalarini shakllantirishimiz mumkin.

1-qoida.Vazifalar miqdoridan ajralmas narsa ushbu funktsiyalarning integrallashish summasiga teng:

2-qoida.Doimiy multiplikatorga integral belgisi bilan erishish mumkin:

3-qoida. Agar a

6-misol. Noma'lum integratsiyalarni toping:

QarorA) Bir integratsiyaning birinchi va ikkinchi qoidalaridan foydalangan holda biz quyidagilarni olamiz:

Endi biz 3-chi va 4-integratsiya formulasidan foydalanamiz:

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

b) Uchinchi integratsiya boshqaruvi va formulasidan foydalanish 8-sonli:

c) to'g'ridan-to'g'ri belgilangan integralni topishga, bizda tegishli formulalar, na tegishli qoida yo'q. Bunday holatlarda, integral belgida keltirilgan iboraning oldindan bajarilishi ba'zan yordam beradi.

Biz foydalanamiz trigonometrik formula Darajasi past:

Keyin biz izchil topamiz:

A.G. Morkkovich algebra 10-sinf

Matematikada taqvim va tematik rejalashtirish, video Matematikada onlayn, matematika

Ba'zi bir belgi x. Agar uchun har qanday xx f "(x) \u003d F (x) keyin funktsiya F. chaqqonoldindan shakllanganuchunvazifalar F oralig'ida x. Yassiuchunvazifalar Siz topishga harakat qilishingiz mumkin ...

Bosib chiqarish

Ta'rif peshtoqli funktsiya

• Funktsiya y \u003d f (x)funktsiya uchun ibtidoiy deb nomlanadi y \u003d f (x) Berilgan oraliqda X,agar hamma uchun h. ∈ H. Tenglik amalga oshiriladi: F '(x) \u003d F (x)

Siz ikkita usulda o'qishingiz mumkin:

1. f. olingan funktsiya F.
2. F. Funktsiya uchun juda mos keladi f.

Ibtidoiy mulk

• Agar a F (x)- funktsiya uchun juda mos keladi f (x) Ushbu bo'shliqda F (x) funktsiyasi juda ko'p va bu oddiygina ushbu ibtidoiy tarzda yozilishi mumkin F (x) + bilanu o'zboshimchalik bilan doimiydir.

Geometrik talqin

• Ushbu xususiyatlarning barcha grafikasi. F (x) Axis bo'ylab o'q bilan birortali parallel transfer vositalaridan olingan grafikdan olingan w..

Birlamchi deb hisoblash qoidalari

1. Birinchi summa - riaqatalning yig'indisiga teng. Agar a F (x) - PRANGA-ga o'xshash f (x)va g (x) - bu ibtidoiy g (x)T. F (x) + g (x) - PRANGA-ga o'xshash f (x) + g (x).
2. Doimiy multiplikator deriativ belgisi uchun amalga oshirilishi mumkin. Agar a F (x) - PRANGA-ga o'xshash f (x), I. k K. - Doimiy, keyin kasa f (x) - PRANGA-ga o'xshash kasa f (x).
3. Agar a F (x) - PRANGA-ga o'xshash f (x), I. k, B. - Doimiy va k ≈ 0T. 1 / K · F (KX + B) - PRANGA-ga o'xshash f (kx + b).

Yodingizda bo'lsin!

Har qanday xususiyat F (x) \u003d x 2 + Bu erda C o'zboshimchalik bilan doimiydir va faqat bunday funktsiya funktsiya uchun ibtidoiy f (x) \u003d 2x.

• Masalan:

  F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d F (x);

  f (x) \u003d 2x, Chunki F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d F (x);

  f (x) \u003d 2x, Chunki F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);

Funktsiya grafikasi va uning boshlang'ich o'rtasidagi bog'liqlik:

1. Agar grafik funktsiya bo'lsa f (x)\u003e 0 F (x) Ushbu intervalda ko'payadi.
2. Agar grafik funktsiya bo'lsa f (x)<0 vaqt oralig'ida, keyin jadval uning ibtidoiy F (x) Ushbu intervalda kamayadi.
3. Agar a f (x) \u003d 0keyin uning grafikasi grafikasi F (x) Ushbu nuqtada o'sish kamayishi (yoki aksincha).

Belgilangan integral integratsiyaning belgisi, ya'ni integratsiya chegarasini ko'rsatmasdan foydalaniladi.

Noaniq integral

Ta'rif:

• F (x) funktsiyasidan (x) + C ifodaidir, ya'ni F (x) ning barcha asosiy funktsiyalarining kombinatsiyasi. Quyidagicha integral integralni bildiradi: \\ Int F (x) Dx \u003d F (x) + C

• f (x)integratsiyalashgan funktsiyaga murojaat qiling;
• f (x) dx- deb nomlanadi.
• x. - qo'ng'iroq integratsiya o'zgaruvchisi;
• F (x) f (x) ibtidoiy funktsiyalardan biri;
• Dan - o'zboshimchalik bilan doimiydir.

Noma'lum integral xususiyatlari

1. Noma'lum integralning hosilasi - bu intizom funktsiyasiga teng: (\\ int (x) dx) \\ Prime \u003d F (x).
2. Integratsiyalashgan iboraning doimiy multipleyasi integral belgisi uchun berilishi mumkin: \\ int k \\ cdot f (x) dx \u003d k \\ cdot \\ Int f (x) dx.
3. Vazifalar miqdoridan (farq) integratsiya bu funktsiyalarning integrallari miqdoriga teng (farq): \\ int (f (x) \\ p (x)) Dx \u003d \\ Int F (x) DX \\ Pm \\ Int g (x) dx.
4. Agar a k, B.- Doimiy va k ≠ 0, keyin \\ int f (kx + b) dx \u003d \\ frac (k) \\ cdot f (kx + b) + c.

Birlamchi va noaniq integratsiyalar jadvali

Nyuton Labitsa formulasi

Bo'linmoq f (x) Ushbu xususiyat, F. Uning o'zboshimchalik bo'yicha sodda.

\\ Int_ (a) ^ (b) F (x) Dx \u003d F (x) | _ (a) ^ (b) ^ (b)\u003d F (b) - f (a)

qayerda F (x) - PRANGA-ga o'xshash f (x)

Ya'ni integral funktsiya f (x) Vaqt oralig'i diqqatga sazovor joylarda farqga teng b. va a..

Krikvilinear Trapziyining maydoni

Curvilineare Trapezium Funktsiya segmentida bo'lmagan salbiy va uzluksiz jadval bilan cheklangan raqam deb ataladi f., Qabul qilish va to'g'ri x \u003d a. va x \u003d B..

Curvilinear Trapziyning maydoni Nyuton Labitsa formulasiga ko'ra topiladi:

S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx

Bir integrallarning echimi - bu yorug'lik engil, faqat tanlanganlar uchun. Ushbu maqola integrallarni tushunishni o'rganmoqchi bo'lganlar uchun, ammo ular haqida hech narsa yoki deyarli hech narsa bilmaydi. Integral ... Nega bu kerak? Buni qanday hisoblash kerak? Muayyan va noaniq ajralmas narsa nima? Agar sizga ma'lum bo'lgan yagona integral qo'llanma - bu integral belgi shaklida, qiyin joylardan foydalangan holda foydalangan holda, keyin xush kelibsiz! Integratsiyalarni qanday hal qilishni o'rganing va nima uchun buni amalga oshirish mumkin emas.

"Integral" tushunchasini o'rganamiz

Integratsiya Qadimgi Misrda ma'lum edi. Albatta, zamonaviy shaklda emas, lekin baribir. O'shandan beri matematika ushbu mavzu bo'yicha ko'plab kitoblarni yozdi. Ayniqsa ajralib chiqadi Nyuton va Leybins Ammo narsalarning mohiyati o'zgarmadi. Skratchning integrallarini qanday tushunish kerak? Hech qanday tarzda! Ushbu mavzuni tushunish uchun matematik tahlilning poydevorlarining asosiy bilimlari hali ham kerak bo'ladi. Bu siz haqingizda asosiy ma'lumotlar bizning blogimizda topiladi.

Noaniq integral

Keling, biron bir funktsiyani o'tkazaylik f (x) .

Integral funktsiya f (x) Ushbu xususiyat deyiladi F (x) , uning hosilasi funktsiyaga teng f (x) .

Boshqacha aytganda, integral bu aksincha yoki ibtidoiy holatda. Aytgancha, bizning maqolamizda qanday o'qish haqida.

Barcha doimiy funktsiyalar uchun bashoratli mavjudotlar. Shuningdek, derivativlar doimiy ravishda birlamchi birlamchi bilan birlamchi belgilanadi. Integratsiyani topish jarayoni integratsiya deb nomlanadi.

Oddiy misol:

Delinal elementar funktsiyalarni hisoblash uchun doimiy ravishda, jadvalni kamaytirish va tayyor qiymatlardan foydalanish qulay:

Muayyan integral

Integral kontseptsiya bilan shug'ullanish, biz cheksiz kichik qadriyatlar bilan shug'ullanamiz. Injidlik notekis harakat yo'lida va boshqa ko'p narsalar ostida o'tgan raqamning shaklini, noaniq tananing massasini hisoblashda yordam beradi. Shuni esda tutish kerakki, integral bu cheksiz ko'p sonli cheksiz kichik atamalarning yig'indisi.

Bunga misol sifatida ba'zi funktsiyalar jadvalini tasavvur qiling. Funktsiya grafikasi bilan cheklangan raqamlarni qanday topish mumkin?

Yaxlitlik yordamida! Biz Currvilinear Trapziyani, koordinata o'qlari va funktsiyaning grafikasidan cheksiz kichik segmentlar bilan cheklangan. Shunday qilib, raqam ingichka ustunlarga bo'linadi. Ustunlarning yig'indisi trapezoidning maydoni bo'ladi. Ammo bunday hisob-kitobni namunaviy natijani keltirib chiqaradi. Biroq, segmentlar allaqachon kamroq bo'ladi, hisoblash hisobi bo'ladi. Agar biz ularni shunday kamaytirsak, uzunligi nolga intilsak, segmentlar soni raqamning maydoniga ta'sir qiladi. Bu quyidagicha yozilgan aniq ajralmas narsa:

A va B nuqtalari integratsiya chegaralari deb nomlanadi.

Baria Alibasov va "Integral" guruhi

Aytmoqchi! Hozirgi kunda bizning o'quvchilarimiz 10% chegirma mavjud

Dummiyalar uchun integratsiyalarni hisoblash qoidalari

Noaniq integral xususiyatlari

Noma'lum integralni qanday hal qilish kerak? Bu erda biz misollarni hal qilishda foydali bo'lgan noaniqlik xususiyatlarini ko'rib chiqamiz.

• Integralning hosilasi - bu integratorlik funktsiyasiga teng:

• Doimiy ravishda yaxlitlik belgisidan amalga oshirilishi mumkin:

• Miqdordan ajralmas narsa integrallar miqdoriga teng. Shuningdek, farq uchun ham:

Muayyan integral xususiyatlari

• Chiziqlilik:

• Integratsiya chegaralari o'zgartirilgan bo'lsa, integral belgi o'zgaradi:

• Uchun har qanday Ballar a., b. va dan:

Biz ma'lum bir integral narsa miqdorning chegarasi ekanligini allaqachon bilib oldik. Ammo misolni hal qilishda aniq qiymatni qanday olish mumkin? Buning uchun Nyuton-Leibnik formulasi mavjud:

Integratsiyalarni hal qilishga misollar

Quyida noaniq integratsiyalarni topishning bir nechta misollarini ko'rib chiqadi. Biz sizga eritmaning noziklarini tushunishni taklif qilamiz va agar biror narsa tushunarsiz bo'lsa, sharhlarda savol bering.

Materialni ta'minlash uchun, qanday qilib integratsiyada qanday hal qilinishlari haqida videoni ko'ring. Agar yaxlit darhol berilmasa, tushkunlikka tushmang. So'rang, va ular o'zlarini biladiganlarning yaxlitlarini hisoblash haqida gapirib berishadi. Bizning yordamimiz bilan yopiq sirtda uch marta yoki egri chiziqlar kuchga aylanadi.

Mukammal.

Misol bilan tushunish oson kechadi.

Funktsiyani oling y \u003d x. 3. Oldingi qismlardan kelib chiqqan holda, olingan h. 3 3. h. 2:

(h. 3)" = 3h. 2 .

Shunday qilib, funktsiyadan y \u003d x. 3 Bizda yangi xususiyat olamiz: w. = 3h. 2 .
Majoziy ma'noda gapiradigan funktsiya w. = h. 3 Yaratilgan funktsiya w. = 3h. 2 Uning "ota-onasi". Matematikada "Ota-ona" so'zi yo'q va unga bog'liq bo'lgan narsa bor: ibtidoiy.

Bu: funktsiyasi y \u003d x. 3 funktsiya uchun birlamchi w. = 3h. 2 .

Boshlang'ich ta'rifi:

Bizning misolda ( h. 3)" = 3h. 2 y \u003d x. 3 - ibtidoiy w. = 3h. 2 .

Integratsiya.

Ma'lumki, ushbu funktsiya bo'yicha lotinni topish jarayoni farqlash deb nomlanadi. Teskari operatsiya integratsiya deb nomlanadi.

Misol-izoh:

w. = 3h. 2 Bin. x..

Qaror:

Biz 3 uchun ibtidoiy nima ekanligini bilamiz h. 2 h. 3 .

Gunoh uchun pashshoq x. - -Cos. x..

Biz ikkita ibtidoiy ravishda katlayapmiz va ushbu funktsiya uchun ibtidoiy funktsiyani olamiz:

y \u003d x. 3 + (-cos) x.),

y \u003d x. 3 - cos. x..

Javob:
Funktsiya uchun w. = 3h. 2 Bin. x. y \u003d x. 3 - cos. x..

Misol-izoh:

Funktsiya uchun ibtidoiy ravishda toping w. \u003d 2 gunoh. x..

Qaror:

Biz k \u003d 2. satr uchun puli kabi x. - -Cos. x..

Shuning uchun funktsiya uchun w. \u003d 2 gunoh. x. Bashoratli funktsiya w. \u003d -2 cos. x..
2 koeffitsient y \u003d 2 ta gunoh x. Ushbu funktsiya shakllangan asosiy koeffitsientga mos keladi.

Misol-izoh:

Funktsiya uchun ibtidoiy ravishda toping y. \u003d Gol. x..

Qaror:

Biz buni payqamiz k K. \u003d 2. gunoh uchun puli x. - -Cos. x..

Funktsiyani boshlaganingizda biz formuladan foydalanamiz y. \u003d Cos 2. x.:

1
y. \u003d - · (-COS 2) x.),
2

cos 2. x.
y. = – ----
2

cos 2. x.
Javob: funktsiya uchun y. \u003d Gol. x. Bashoratli funktsiya y. = – ----
2

(4)

Misol-izoh.

Oldingi misoldan funktsiyani oling: y. \u003d Gol. x..

Ushbu xususiyat uchun birinchi navbatda:

cos 2. x.
y. = – ---- + C..
2

Tushuntirish.

Birinchi qatorni oling. Bu shunga o'xshash narsani o'qiydi: agar funktsiya y \u003d f funktsiyasi bo'lsa ( x.) 0 ga teng, keyin birlamchi deb teng. Nima uchun? Jihozning hosilasi nolga teng: 1 "\u003d 0.

Qolgan chiziqlar bir xil tartibda o'qiladi.

Jadvaldan ma'lumotlarni qanday yozish kerak? Sakkizinchi qatorni oling:

(-COS. x.) "\u003d gon x.

Ikkinchi qismni hosilazning belgisi bilan yozamiz, so'ngra tenglik va hosila.

O'qish: Sin funktsiyasi uchun amal qiladi x. - - bu - funktsiya x..

Yoki: -cos funktsiyasi x. funktsiya uchun asosiy gunoh x..