Kumbinsido kami na ang derivative ay may maraming mga application: isang hinalaw ay ang bilis ng paggalaw (o, summarizing, ang rate ng anumang proseso); Ang derivative ay isang angular koepisyent ng tangential sa function ng function; Gamit ang isang hinalaw, maaari mong tuklasin ang pag-andar sa monotony at extremum; Ang derivative ay tumutulong upang malutas ang mga gawain sa pag-optimize.

Ngunit B. totoong buhay Ang mga kabaligtaran na gawain ay dapat malutas: halimbawa, kasama ang gawain ng paghahanap ng bilis ng isang kilalang batas, ang gawain ng pagpapanumbalik ng batas ng paggalaw sa kilalang bilis ay matatagpuan din. Isaalang-alang ang isa sa mga gawaing ito.

Halimbawa 1.Ang materyal na punto ay gumagalaw kasama ang tuwid, ang bilis ng kilusan nito sa oras t ay itinakda ng formula U \u003d TG. Hanapin ang batas ng paggalaw.

Desisyon.Hayaan ang s \u003d s (t) ang nais na batas ng paggalaw. Ito ay kilala na "(t) \u003d u" (t). Kaya, upang malutas ang problema na kailangan mong kunin function. S \u003d s (t), ang derivative na kung saan ay TG. Hindi mahirap hulaan iyon

Agad na tandaan na ang halimbawa ay malulutas nang tama, ngunit hindi kumpleto. Nakuha namin na sa katunayan, ang gawain ay may walang hanggan maraming solusyon: anumang pag-andar ng uri Ang di-makatwirang pare-pareho, ay maaaring maglingkod bilang isang batas ng paggalaw dahil

Para sa mga gawain ng pagiging mas tinukoy, kailangan namin upang ayusin ang unang sitwasyon: tukuyin ang coordinate ng paglipat point sa ilang mga punto sa oras, halimbawa, sa t \u003d 0. Kung, sabihin, s (0) \u003d s 0, pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay namin makuha ang (0) \u003d 0 + s, i.e.s 0 \u003d s. Ngayon ang batas ng paggalaw ay tiyak na tinutukoy:
Sa matematika, ang magkabilang reverse operations ay nagtatalaga ng iba't ibang mga pangalan, kumatha ng mga espesyal na designasyon: halimbawa, ang pagtatayo ng parisukat (x 2) at ang pagkuha square root. Sinus (Sinx) at arkinus. (arcsin x), atbp. Ang proseso ng paghahanap ng isang hinalaw ayon sa isang naibigay na function ay tinatawag na pagkita ng kaibhan, at kabaligtaran operasyon, i.e. Ang proseso ng paghahanap ng function sa isang naibigay na derivative - integration.
Ang terminong "derivative" ay maaaring makatwiran sa pamamagitan ng "araw-araw": ang function na Y - F (x) "ay gumagawa ng isang bagong function sa" \u003d f "(x) ang function na y \u003d f (x) ay gumaganap bilang isang" magulang " Ngunit ang matematika, natural, hindi ito tinatawag na "magulang" o "tagagawa", sinasabi nila na ito ay, na may kaugnayan sa pag-andar sa "\u003d F" (x), ang pangunahing larawan, o, sa maikling salita, ay primitive.

Kahulugan 1.Ang function na y \u003d f (x) ay tinatawag na primitive para sa function na y \u003d f (x) sa isang ibinigay na puwang x, kung ang pagkakapantay-pantay f "(x) \u003d f (x) ay ginaganap para sa lahat ng x mula sa x.

Sa pagsasagawa, ang interval X ay karaniwang hindi ipinahiwatig, ngunit nagpapahiwatig (bilang isang natural na field definition area).

Nagbibigay kami ng mga halimbawa:

1) ang function y \u003d x 2 ay primitive para sa function y \u003d 2x, dahil para sa lahat x pagkakapantay-pantay (x 2) "\u003d 2x.
2) ang pag-andar ng y - x 3 ay primitive para sa function ng u-зх 2, dahil para sa lahat x pagkakapantay-pantay (x 3) "\u003d зх 2.
3) Ang function na Y-Sin ay isang pangunahing pag-andar para sa function y \u003d compass, dahil para sa lahat x pagkakapantay-pantay (Sinx) "\u003d Sos.
4) Ang function ay isang primitive para sa function sa agwat dahil para sa lahat x\u003e 0 pagkakapantay-pantay hawak
Sa pangkalahatan, alam ang formula para sa paghahanap ng mga derivatives, madaling gumawa ng isang table ng mga formula para sa paghahanap ng primitive.

Umaasa kami na maunawaan mo kung paano inilabas ang talahanayan na ito: Ang isang derivative function na nakasulat sa ikalawang haligi ay katumbas ng function na nakasulat sa kaukulang linya ng unang haligi (suriin, huwag maging tamad, ito ay lubhang kapaki-pakinabang) . Halimbawa, para sa pag-andar y \u003d x 5, ang unang hugis, habang itinakda mo, ay nagsisilbing isang function (tingnan ang ikaapat na linya ng talahanayan).

Pangungusap:1. Sa ibaba namin patunayan ang teorama na kung y \u003d f (x) ay isang primitive upang gumana y \u003d f (x), pagkatapos ay ang function y \u003d f (x) ay walang hanggan marami sa mga pangunahing at lahat ng mga ito ay may form y \u003d f (x) + C. Samakatuwid, magiging mas mahusay sa pangalawang haligi ng talahanayan sa lahat ng dako magdagdag ng isang bahagi sa, kung saan C ay isang di-makatwirang wastong numero.
2. Para sa kapakanan ng brevity, kung minsan sa halip na ang pariralang "ang function y \u003d f (x) ay isang primitive para sa function y \u003d f (x)," sabi nila f (x) - primitive para sa f (x).

2. Mga panuntunan para sa paghahanap ng primitive

Kapag naghanap ng primitive, tulad ng sa paghahanap ng mga derivatives, hindi lamang ang mga formula ay ginagamit (tinukoy sila sa talahanayan sa pahina 196), ngunit din ang ilang mga patakaran. Ang mga ito ay direktang may kaugnayan sa may-katuturang mga panuntunan para sa pagkalkula ng mga derivatives.

Alam namin na ang derivative ng halaga ay katumbas ng halaga ng mga derivatives. Ang panuntunang ito ay bumubuo ng naaangkop na de-shaped finding rule.

Rule 1. Ang unang hugis na halaga ay katumbas ng halaga ng primitive.

Inilalabas namin ang iyong pansin sa ilang "magaan" ng mga salitang ito. Sa katunayan, ito ay kinakailangan upang bumalangkas ang teorama: kung ang mga function y \u003d f (x) at y \u003d g (x) ay nasa puwang ng x, ayon sa pagkakabanggit, ayon sa pagkakabanggit, yf (x) at yg (x), pagkatapos Ang halaga ng mga function y \u003d f (x) + g (x) ay may isang primitive sa puwang, na may ganitong primitive function na y \u003d f (x) + g (x). Ngunit karaniwan, ang pagbubuo ng mga patakaran (at hindi theorems), umalis lamang mga Keyword - Ito ay mas maginhawa para sa aplikasyon ng panuntunan sa pagsasanay.

Halimbawa 2. Hanapin ang unang upang gumana y \u003d 2x + pop X.

Desisyon.Ang pangunahing para sa 2x serves x "; ang Sin x ay primitive para sa mga pop. Nangangahulugan ito na ang function na y \u003d 2 x 2 + sin x (at sa pangkalahatan, ang anumang pag-andar ng uri y \u003d x 1 + sinx + s) ay maglilingkod .
Alam namin na ang permanenteng multiplier ay maaaring maabot para sa isang tanda ng derivative. Ang panuntunang ito ay bumubuo ng naaangkop na de-shaped finding rule.

Rule 2. Maaaring maabot ang isang permanenteng multiplier para sa isang pangunahing pag-sign.

Halimbawa 3.

Desisyon. a) Ang pangunahing para sa kasalanan ay hinahain - coso x; Kaya, para sa function y \u003d 5 sin x, ang function ay function y \u003d -5soz.

b) Ang primitive para sa Pop X ay naglilingkod sa SIN X; Nangangahulugan ito na ang function ay magiging isang tampok
c) Ang pangunahing para sa X 3 ay nagsisilbing isang pangunahing para sa X serves bilang isang pangunahing function na Y \u003d 1 ay nagsisilbing isang function na Y \u003d x. Gamit ang una at ikalawang panuntunan para sa paghahanap ng primitive, makuha namin na ang pangunahing function na Y \u003d 12x 3 + 8x-1 ay ang function
Komento. Tulad ng kilala, ang derivative ng trabaho ay hindi katumbas ng produkto ng mga derivatives (ang derivative ng produkto ng produkto ay mas kumplikado) at ang pribadong derivative ay hindi katumbas ng pribado mula sa derivatives. Samakatuwid, mayroon ding mga patakaran para sa paghahanap ng primitive mula sa trabaho o primitive mula sa pribadong dalawang function. Mag-ingat ka!
Nakukuha namin ang isa pang bahagi ng paghahanap ng primitive. Alam namin na ang derivative ng function y \u003d f (kx + m) ay kinakalkula ng formula

Ang panuntunang ito ay bumubuo ng naaangkop na de-shaped finding rule.
Rule 3. Kung y \u003d f (x) ay isang primitive upang gumana y \u003d f (x), pagkatapos ay ang pag-andar ng function y \u003d f (kx + m) ay ang function

Sa katunayan,

Nangangahulugan ito na isang primitive para sa function y \u003d f (kx + m).
Ang kahulugan ng ikatlong panuntunan ay ang mga sumusunod. Kung alam mo na ang function na y \u003d f (x) ay ang function na y \u003d f (x), A. VAM ay nangangailangan upang mahanap ang primitive function y \u003d f (kx + m), pagkatapos kumilos tulad nito: kumuha ng parehong function f , Ngunit sa halip na ang argumento x kapalit ng expression kx + m; Gayundin, huwag kalimutang isulat ang "kadahilanan ng pagwawasto"
Halimbawa 4.Maghanap ng mga pangunahing pag-andar para sa tinukoy na mga function:

Desisyon, a) ang pangunahing para sa kasalanan - ay nagsisilbing - Nangangahulugan ito na ang function na Y \u003d Sin2x ay isang pangunahing pag-andar
b) Ang primitive para sa mga pop ay naglilingkod sa kasalanan x; Nangangahulugan ito na ang function ay magiging isang tampok

c) primitive para sa x 7 ay nangangahulugang para sa function na y \u003d (4-5x) 7 ay magiging isang tampok

3. Hindi tiyak na mahalaga

Sa itaas, nabanggit na namin na ang gawain ng paghahanap ng isang primitive function para sa isang naibigay na function y \u003d f (x) ay walang isang solusyon. Talakayin natin ang isyung ito nang mas detalyado.

Katibayan. 1. Hayaan y \u003d f (x) maging isang primitive para sa function y \u003d f (x) sa pagitan ng x. Nangangahulugan ito na para sa lahat x mula sa x, ang pagkakapantay-pantay x "(x) \u003d f (x) ay ginanap . Makakakita kami ng isang derivative ng anumang uri ng uri. Y \u003d f (x) + s:
(F (x) + c) \u003d f "(x) + c \u003d f (x) +0 \u003d f (x).

Kaya (f (x) + c) \u003d f (x). Nangangahulugan ito na y \u003d f (x) + c ay isang primitive y \u003d f (x).
Kaya, napatunayan namin na kung ang function y \u003d f (x) ay isang primitive y \u003d f (x), pagkatapos ay ang function (f \u003d f (x) ay walang hanggan maraming primitive, halimbawa, anumang function ng form y \u003d f (x) + c ay isang primitive.
2. Napatunayan na namin ngayon na ang tinukoy na uri ng mga function ay maubos ang lahat ng mayorya.

Hayaan y \u003d f 1 (x) at y \u003d f (x) ay dalawang primitive para sa function y \u003d f (x) sa pagitan ng x. Nangangahulugan ito na para sa lahat x mula sa puwang ng x, ang mga relasyon ay ginanap: f ^ (x) \u003d f (x); F "(x) \u003d f (x).

Recking ang function na y \u003d f 1 (x) -.f (x) at hanapin ang derivative nito: (f, (x) -f (x)) "\u003d f [(x) -f (x) \u003d f (x) - f (x) \u003d 0.
Ito ay kilala na kung ang derivative ng function sa puwang ay magkatulad na katumbas ng zero, pagkatapos ay ang function ay pare-pareho sa pagitan X (tingnan ang teorama 3 mula sa § 35). Kaya, f 1 (x) -f (x) \u003d s, i.e. Fx) \u003d f (x) + s.

Ang teorama ay pinatunayan.

Halimbawa 5.Ang batas ng pagbabago ng bilis ng oras v \u003d -5sin2t ay tinukoy. Hanapin ang batas ng paggalaw s \u003d s (t) kung ito ay kilala na sa oras t \u003d 0 ang coordinate ng punto ay katumbas ng bilang 1.5 (i.e. s (t) \u003d 1.5).

Desisyon.Dahil ang bilis ay ang derivative ng mga coordinate bilang isang function ng oras, pagkatapos ay kailangan muna namin upang makahanap ng isang primitive mula sa bilis, i.e. Pervious para sa v \u003d -5sin2t function. Ang isa sa mga unang ito ay ang function, at ang hanay ng lahat ng primordial ay mukhang:

Upang makahanap ng isang tiyak na halaga ng pare-pareho C, ginagamit namin ang unang mga kondisyon ayon sa kung saan, S (0) \u003d 1.5. Substituting sa formula (1) mga halaga t \u003d 0, s \u003d 1.5, nakukuha namin:

Ang pagpapalit ng halaga na natagpuan sa formula (1), nakuha namin ang batas ng paggalaw ng interes sa amin:

Kahulugan 2.Kung ang function y \u003d f (x) ay may pangunahing y \u003d f (x), pagkatapos ay ang hanay ng lahat ay napaka primitive, i.e. Ang hanay ng mga function ng form y \u003d f (x) + c ay tinatawag na isang hindi tiyak na mahalaga mula sa function y \u003d f (x) at tumutukoy:

(Basahin: " hindi tiyak na mahalaga Ef mula sa x de x ").
Sa susunod na talata, matutuklasan natin kung ano ang nakatagong kahulugan ng tinukoy na pagtatalaga.
Batay sa kasalukuyang hugis na talahanayan na umiiral sa talatang ito, gagawin namin ang isang talaan ng mga pangunahing hindi tiyak na mga integral:

Umasa sa tatlong panuntunan sa itaas para sa paghahanap ng primitive, maaari naming bumalangkas ang may-katuturang mga panuntunan sa pagsasama.

Rule 1.Ang integral mula sa halaga ng mga function ay katumbas ng kabuuan ng mga integral ng mga function na ito:

Rule 2.Ang isang permanenteng multiplier ay maaaring maabot ng integral na tanda:

Rule 3. Kung ang

Halimbawa 6. Maghanap ng hindi tiyak na mga integral:

DesisyonA) Gamit ang una at ikalawang alituntunin ng pagsasama, makuha namin ang:

Ngayon ginagamit namin ang 3rd at 4th integration formula:

Bilang resulta, nakukuha namin ang:

b) sinasamantala ang ikatlong panuntunan sa pagsasama at Formula 8, nakuha namin:

c) upang direktang makahanap ng tinukoy na integral, wala kaming katumbas na formula o ang may-katuturang panuntunan. Sa ganitong mga kaso, ang mga pre-performed na magkaparehong pagbabagong-anyo ng pagpapahayag na nakapaloob sa ilalim ng integral na pag-sign ay kung minsan ay tumutulong.

Ginagamit namin trigonometriko formula Degree low:

Pagkatapos ay patuloy kaming natagpuan:

A.G. Mordkovich algebra grade 10.

Kalendaryo at pampakay pagpaplano sa matematika, video. sa matematika online, matematika sa paaralan

Ilang puwang x. Kung para sa anumang xx f "(x) \u003d f (x) pagkatapos function. F. tinatawag napredo-shaped.para samga Pag-andar F sa pagitan x. Pred-shaped.para samga Pag-andar Maaari mong subukan upang mahanap ...

Printing

Kahulugan pred-like function.

• Function. y \u003d f (x)na tinatawag na primitive para sa function. y \u003d f (x) Sa isang naibigay na agwat X,kung para sa lahat h. ∈ H. Ang pagkakapantay-pantay ay ginaganap: F '(x) \u003d f (x)

Mababasa mo sa dalawang paraan:

1. f. nagmula function. F.
2. F. Perpekto para sa pag-andar f.

Primitive na ari-arian

• Kung ang F (x)- Perpekto para sa pag-andar f (x) Sa isang ibinigay na puwang, ang function f (x) ay walang hanggan maraming primitive, at ang lahat ng mga primitive ay maaaring nakasulat bilang F (x) + withkung saan ang C ay isang arbitrary pare-pareho.

Geometric Interpretation.

• Mga graph ng lahat ng primitive na tampok na ito. F (x) nakuha mula sa graph ng anumang isang primitive parallel transfer kasama ang axis tungkol sa w..

Ang mga patakaran para sa pagkalkula ng Primary

1. Ang unang halaga ay katumbas ng kabuuan ng primordyal. Kung ang F (x) - pred-like for. f (x), at g (x) ay isang primitive para sa g (x)T. F (x) + g (x) - pred-like for. f (x) + g (x).
2. Ang permanenteng multiplier ay maaaring gawin para sa isang derivative mark. Kung ang F (x) - pred-like for. f (x), I. k. - Constant, pagkatapos k · F (x) - pred-like for. k · F (x).
3. Kung ang F (x) - pred-like for. f (x), I. k, B. - Constant, at k ≠ 0.T. 1 / k · f (kx + b) - pred-like for. f (kx + b).

Tandaan!

Anumang tampok F (x) \u003d x 2 + kung saan ang C ay isang arbitrary pare-pareho, at lamang tulad ng isang function ay isang primitive para sa function f (x) \u003d 2x..

• Halimbawa:

  F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f (x) \u003d 2x, Dahil F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f (x) \u003d 2x, Dahil F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);

Ang koneksyon sa pagitan ng mga graph ng function at ang pangunahing:

1. Kung ang graph ay gumagana f (x)\u003e 0. F (x) Ay nagdaragdag sa agwat na ito.
2. Kung ang graph ay gumagana f (x)<0 sa pagitan, pagkatapos ay ang iskedyul ay ang primitive nito F (x) bumababa sa agwat na ito.
3. Kung ang f (x) \u003d 0.pagkatapos ay ang graph ng kanyang primitive F (x) Sa puntong ito ang mga pagbabago sa isang pagtaas ng pagbaba (o kabaligtaran).

Upang italaga, ang tanda ng isang hindi natukoy na integral ay ginagamit, iyon ay, ang integral na hindi tumutukoy sa mga limitasyon ng pagsasama.

Hindi tiyak na mahalaga

Kahulugan:

• Ang isang hindi tiyak na mahalaga mula sa function f (x) ay ang expression f (x) + c, iyon ay, ang kumbinasyon ng lahat ng mga pangunahing pag-andar ng f (x). Nagpapahiwatig ng isang indefinite integral tulad ng sumusunod: \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c

• f (x)- Sumangguni sa pinagsamang function;
• f (x) dx.- ay tinatawag na isang kakila-kilabot na expression;
• x. - Call integration variable;
• F (x) - isa sa mga primitive function f (x);
• Mula sa. - Arbitrary pare-pareho.

Mga katangian ng isang indefinite integral.

1. Ang derivative ng isang indefinite integral ay katumbas ng function ng integrand: (\\ int f (x) dx) \\ prime \u003d f (x).
2. Ang isang permanenteng multiplier ng pinagsama-samang pagpapahayag ay maaaring gawin para sa isang mahalagang tanda: \\ int k \\ cdot f (x) dx \u003d k \\ cdot \\ int f (x) dx.
3. Ang integral mula sa halaga (pagkakaiba) ng mga function ay katumbas ng halaga (pagkakaiba) ng mga integral mula sa mga function na ito: \\ int (f (x) \\ pm g (x)) dx \u003d \\ int f (x) dx \\ p \\ int g (x) dx.
4. Kung ang k, B.- Constant, at K ≠ 0, pagkatapos \\ int f (kx + b) dx \u003d \\ frac (1) (k) \\ cdot f (kx + b) + c.

Talaan ng Primary at hindi tiyak na mga integral

Formula Newton Labitsa.

Hayaan f (x) Ang tampok na ito, F. Ang kanyang arbitrary primitive.

\\ Int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d f (x) | _ (a) ^ (b)\u003d F (b) - f (a)

saan F (x) - pred-like for. F (x)

Iyon ay, ang integral na pag-andar f (x) Ang agwat ay katumbas ng pagkakaiba sa mga pasyalan sa mga punto b. at a..

Parisukat ng curvilinear trapezium

Curvilinear trapezium. na tinatawag na isang figure limitado sa pamamagitan ng isang di-negatibong at tuluy-tuloy na iskedyul sa isang segment ng function f., Baka aksis at tuwid. x \u003d A. at x \u003d B..

Ang lugar ng curvilinear trapezium ay matatagpuan ayon sa formula ng Newton Labitsa:

S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx

Ang solusyon ng mga integral ay ang gawain ay liwanag, ngunit para lamang sa mga hinirang. Ang artikulong ito ay para sa mga nais malaman upang maunawaan ang mga integrals, ngunit hindi alam ang anumang bagay tungkol sa mga ito o halos wala. Integral ... Bakit kailangan ito? Paano upang makalkula ito? Ano ang isang tiyak at walang katapusang integral? Kung ang tanging integral na application na kilala sa iyo ay upang makakuha ng isang gantsilyo sa anyo ng isang integral na icon, isang bagay na kapaki-pakinabang mula sa hard-to-maabot na mga lugar, pagkatapos ay maligayang pagdating! Alamin kung paano malutas ang mga integral at kung bakit hindi ito imposibleng gawin.

Pinag-aaralan namin ang konsepto ng "integral"

Ang pagsasama ay kilala sa sinaunang Ehipto. Siyempre, hindi sa modernong anyo, ngunit pa rin. Simula noon, nagsulat ang matematika ng maraming mga libro sa paksang ito. Lalo na nakikilala Newton. at Leibnits Ngunit ang kakanyahan ng mga bagay ay hindi nagbago. Paano maunawaan ang mga integral mula sa simula? Walang paraan! Upang maunawaan ang paksang ito, ang pangunahing kaalaman sa mga pundasyon ng pagtatasa ng matematika ay kailangan pa rin. Ito ang pangunahing impormasyon tungkol sa iyo ay makikita sa aming blog.

Hindi tiyak na mahalaga

Magkaroon kami ng ilang uri ng pag-andar f (x) .

Hindi tiyak ang integral na pag-andar f (x) Ang tampok na ito ay tinatawag na. F (x) , ang derivative na kung saan ay katumbas ng function f (x) .

Sa ibang salita, ang integral ay isang hinango sa laban o primitive. Sa pamamagitan ng paraan, tungkol sa kung paano basahin sa aming mga artikulo.

Ang predictive ay umiiral para sa lahat ng patuloy na pag-andar. Gayundin, ang patuloy na pag-sign ay madalas na idinagdag sa pangunahing, dahil ang mga derivatives ay naiiba sa pare-pareho na nag-tutugma. Ang proseso ng paghahanap ng integral ay tinatawag na pagsasama.

Simpleng halimbawa:

Upang patuloy na hindi kalkulahin ang primitive elementary function, ito ay maginhawa upang mabawasan ang talahanayan at gamitin ang mga handa na mga halaga:

Tiyak na mahalaga

Ang pagkakaroon ng isang pakikitungo sa konsepto ng integral, kami ay pakikitungo sa walang hanggan maliit na halaga. Ang integral ay makakatulong sa kalkulahin ang figure ng figure, ang masa ng hindi pangkaraniwang katawan, naipasa sa ilalim ng hindi pantay na landas ng kilusan at marami pang iba. Dapat tandaan na ang integral ay ang kabuuan ng walang katapusang malaking bilang ng mga walang katapusang maliit na termino.

Bilang isang halimbawa, isipin ang isang iskedyul ng ilang mga function. Paano makahanap ng isang lugar ng mga numero limitado sa pamamagitan ng isang graph ng function?

Sa tulong ng integral! Hinati namin ang curvilinear trapezium, limitado ng mga coordinate axes at ang graph ng function, sa walang hanggan maliit na segment. Kaya, ang figure ay nahahati sa manipis na mga haligi. Ang kabuuan ng lugar ng mga haligi ay ang lugar ng trapezoid. Ngunit tandaan na ang naturang pagkalkula ay magbibigay ng isang kapuri-puri resulta. Gayunpaman, mas maliit ang mga segment, mas tumpak ang pagkalkula. Kung bawasan namin ang mga ito sa isang lawak na ang haba ay magsisikap para sa zero, ang halaga ng mga segment ay magsusumikap para sa lugar ng figure. Ito ay isang tiyak na integral na nakasulat tulad ng sumusunod:

Ang mga puntos na A at B ay tinatawag na mga limitasyon sa pagsasama.

Baria Alibasov at ang grupo "integral"

Siya nga pala! Para sa aming mga mambabasa ngayon ay may 10% na diskwento sa

Mga panuntunan para sa pagkalkula ng mga integral para sa mga dummies

Mga katangian ng isang hindi tiyak na integral

Paano malutas ang isang indefinite integral? Narito kami ay isaalang-alang ang mga katangian ng isang hindi tiyak na mahalaga, na magiging kapaki-pakinabang kapag paglutas ng mga halimbawa.

• Ang derivative ng integral ay katumbas ng function ng integrand:

• Ang pare-pareho ay maaaring gawin mula sa tanda ng integral:

• Ang integral mula sa halaga ay katumbas ng halaga ng mga integral. Gayundin para sa pagkakaiba:

Mga katangian ng isang partikular na integral

• Linearity:

• Ang integral na pag-sign ay nagbabago kung ang mga limitasyon ng pagsasama ay swapped:

• Para sa sinuman Punto. a., b. at mula sa.:

Nalaman na namin na ang isang mahalagang bahagi ay ang limitasyon ng halaga. Ngunit paano makakuha ng isang tiyak na halaga kapag paglutas ng halimbawa? Para sa mga ito, mayroong isang Newton-Leibnic formula:

Mga halimbawa ng mga solusyon ng mga integrals.

Sa ibaba ay isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng paghahanap ng hindi tiyak na mga integral. Iminumungkahi namin na malaya kang maunawaan ang mga subtleties ng solusyon, at kung may isang bagay na hindi maunawaan, magtanong sa mga komento.

Upang ma-secure ang materyal, tingnan ang video tungkol sa kung paano nalutas ang mga integral sa pagsasanay. Huwag mawalan ng pag-asa kung ang integral ay hindi ibinigay kaagad. Magtanong, at sasabihin nila sa iyo ang tungkol sa pagkalkula ng mga integral na alam ang kanilang sarili. Sa tulong namin, ang anumang triple o curvilinear integral sa isang saradong ibabaw ay magiging pwersa.

Perpekto.

Mahuhusay na madaling maunawaan ng halimbawa.

Kunin ang function. y \u003d x. 3. Tulad ng alam natin mula sa mga nakaraang seksyon, nagmula mula sa. h. 3 ay 3. h. 2:

(h. 3)" = 3h. 2 .

Dahil dito, mula sa pag-andar y \u003d x. 3 Nakukuha namin ang isang bagong tampok: w. = 3h. 2 .
Figuratively speaking function. w. = h. 3 nakabuo ng pag-andar w. = 3h. 2 at ang kanyang "magulang". Sa matematika, walang salitang "magulang", at may kinalaman na may kaugnayan sa kanya: primitive.

Iyon ay: function. y \u003d x. 3 ay isang pangunahing para sa pag-andar w. = 3h. 2 .

Kahulugan ng Primary:

Sa aming halimbawa ( h. 3)" = 3h. 2, samakatuwid y \u003d x. 3 - Primitive for. w. = 3h. 2 .

Pagsasama.

Tulad ng alam mo, ang proseso ng paghahanap ng isang hinalaw ayon sa isang naibigay na function ay tinatawag na pagkita ng kaibhan. Ang isang reverse operation ay tinatawag na pagsasama.

Halimbawa-paliwanag:

w. = 3h. 2 + kasalanan. x..

Desisyon :

Alam namin kung ano ang primitive para sa 3. h. 2 ay h. 3 .

Pred-like para sa kasalanan x. ay -cos. x..

Naka-fold namin ang dalawang primitive at makakuha ng isang primitive function para sa isang naibigay na function:

y \u003d x. 3 + (-cos x.),

y \u003d x. 3 - cos. x..

Sagot:
Para sa pag-andar w. = 3h. 2 + kasalanan. x. y \u003d x. 3 - cos. x..

Halimbawa-paliwanag:

Maghanap ng isang primitive para sa pag-andar w. \u003d 2 kasalanan. x..

Desisyon :

Napansin namin na k \u003d 2. pred-like para sa kasalanan x. ay -cos. x..

Samakatuwid para sa pag-andar w. \u003d 2 kasalanan. x. Predictive function. w. \u003d -2 cos. x..
Coefficient 2 sa function y \u003d 2 Sin. x. Tumutugma sa pangunahing koepisyent, kung saan nabuo ang function na ito.

Halimbawa-paliwanag:

Maghanap ng isang primitive para sa pag-andar y. \u003d Sin 2. x..

Desisyon :

Napansin namin iyan k. \u003d 2. pred-like para sa kasalanan x. ay -cos. x..

Ginagamit namin ang aming formula kapag nakita mo ang isang primitive para sa function y. \u003d Cos 2. x.:

1
y. \u003d - · (-cos 2. x.),
2

cos 2. x.
y. = – ----
2

cos 2. x.
Sagot: para sa pag-andar y. \u003d Sin 2. x. Predictive function. y. = – ----
2

(4)

Halimbawa-paliwanag.

Kunin ang function mula sa nakaraang halimbawa: y. \u003d Sin 2. x..

Para sa tampok na ito, ang lahat ng mga unang makita:

cos 2. x.
y. = – ---- + C..
2

Paliwanag.

Kunin ang unang linya. Nagbabasa ito tulad nito: kung ang function y \u003d f ( x.) Katumbas ng 0, pagkatapos ay ang pangunahing para sa ito ay 1. Bakit? Dahil ang derivative ng yunit ay zero: 1 "\u003d 0.

Ang iba pang mga linya ay binabasa sa parehong pagkakasunud-sunod.

Paano sumulat ng data mula sa talahanayan? Kunin ang ikawalo na linya:

(-Cos. x.) "\u003d kasalanan x.

Isinulat namin ang ikalawang bahagi sa pag-sign ng hinalaw, pagkatapos ay ang tanda ng pagkakapantay-pantay at ang hinalaw.

Basahin ang: May bisa para sa pag-andar ng kasalanan x. ay isang -cos function. x..

O: -cos function. x. ay isang pangunahing kasalanan para sa pag-andar x..