Sa artikulong ito, tatalakayin natin ang isang komprehensibong pagtingin sa. Ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay mga pagkakapantay-pantay na nagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo, at nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang alinman sa mga trigonometrikong function na ito sa pamamagitan ng kilalang iba.

Agad nating ilista ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan, na susuriin natin sa artikulong ito. Isulat natin ang mga ito sa talahanayan, at sa ibaba ay ibibigay natin ang derivation ng mga formula na ito at ibigay ang mga kinakailangang paliwanag.

Pag-navigate sa pahina.

Relasyon sa pagitan ng sine at cosine ng isang anggulo

Minsan hindi nila pinag-uusapan ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan na nakalista sa talahanayan sa itaas, ngunit tungkol sa isang solong pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan ng uri ... Ang paliwanag para sa katotohanang ito ay medyo simple: ang mga pagkakapantay-pantay ay nakuha mula sa pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan pagkatapos na hatiin ang parehong bahagi nito sa pamamagitan ng at, ayon sa pagkakabanggit, at pagkakapantay-pantay. at sundin mula sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent. Pag-uusapan natin ito nang mas detalyado sa susunod na mga talata.

Iyon ay, ang partikular na interes ay tiyak na pagkakapantay-pantay, na binigyan ng pangalan ng pangunahing trigonometric identity.

Bago patunayan ang mga pangunahing kaalaman trigonometriko pagkakakilanlan, ibigay natin ang pormulasyon nito: ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo ay magkaparehong katumbas ng isa. Ngayon patunayan natin.

Ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay kadalasang ginagamit kapag pag-convert ng mga trigonometrikong expression... Pinapayagan nito ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo na mapalitan ng isa. Hindi mas madalas, ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay ginagamit din sa reverse order: ang yunit ay pinapalitan ng kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo.

Tangent at cotangent sa mga tuntunin ng sine at cosine

Mga pagkakakilanlan na nag-uugnay sa tangent at cotangent sa sine at cosine ng isang anggulo ng anyo at agad na sundin mula sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent. Sa katunayan, sa pamamagitan ng kahulugan, ang sine ay ang ordinate y, ang cosine ay ang abscissa ng x, ang tangent ay ang ratio ng ordinate sa abscissa, iyon ay, , at ang cotangent ay ang ratio ng abscissa sa ordinate, iyon ay, .

Dahil sa halatang ito ng mga pagkakakilanlan at kadalasan ang mga kahulugan ng tangent at cotangent ay ibinibigay hindi sa pamamagitan ng ratio ng abscissa at ordinate, ngunit sa pamamagitan ng ratio ng sine at cosine. Kaya ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng sine sa cosine ng anggulong ito, at ang cotangent ay ang ratio ng cosine sa sine.

Sa pagtatapos ng talatang ito, dapat tandaan na ang mga pagkakakilanlan at hold para sa lahat ng naturang mga anggulo kung saan ang mga trigonometric function na kasama sa mga ito ay may katuturan. Kaya't ang formula ay wasto para sa anumang iba sa (kung hindi, magkakaroon ng zero sa denominator, at hindi namin tinukoy ang dibisyon sa pamamagitan ng zero), at ang formula - para sa lahat maliban sa, kung saan ang z ay anuman.

Relasyon sa pagitan ng tangent at cotangent

Ang isang mas malinaw na trigonometric na pagkakakilanlan kaysa sa dalawang nauna ay ang pagkakakilanlan na nag-uugnay sa tangent at cotangent ng isang anggulo ng anyo ... Ito ay malinaw na ito ay humahawak para sa anumang mga anggulo maliban sa, in kung hindi alinman sa tangent o cotangent ay hindi natukoy.

Patunay ng formula napakasimple. Sa pamamagitan ng kahulugan at, saan ... Ang patunay ay maaaring naisagawa nang medyo naiiba. Simula at , pagkatapos .

Kaya, ang tangent at cotangent ng parehong anggulo kung saan sila nagkakaroon ng kahulugan ay.

Maaari kang mag-order detalyadong solusyon iyong gawain !!!

Ang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng tanda ng isang trigonometric function (`sin x, cos x, tan x` o` ctg x`) ay tinatawag na trigonometric equation, at isasaalang-alang pa natin ang kanilang mga formula.

Ang pinakasimpleng equation ay tinatawag na `sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a`, kung saan` x` ay ang anggulo na makikita, `a` ay anumang numero. Isulat natin ang mga root formula para sa bawat isa sa kanila.

1. Equation `sin x = a`.

Para sa `| a |> 1` ay walang mga solusyon.

Para sa `| isang | Ang \ leq 1` ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Root formula: `x = (- 1) ^ n arcsin a + \ pi n, n \ sa Z`

2. Ang equation na `cos x = a`

Para sa `| a |> 1` - tulad ng sa kaso ng sine, wala itong mga solusyon sa mga totoong numero.

Para sa `| isang | Ang \ leq 1` ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Root formula: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ sa Z`

Mga espesyal na kaso para sa sine at cosine sa mga graph.

3. Ang equation na `tg x = a`

Mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon para sa anumang halaga ng `a`.

Root formula: `x = arctan a + \ pi n, n \ sa Z`

4. Equation `ctg x = a`

Mayroon ding walang katapusang bilang ng mga solusyon para sa anumang halaga ng `a`.

Root formula: `x = arcctg a + \ pi n, n \ sa Z`

Mga formula para sa mga ugat ng trigonometric equation sa isang table

Para sa sine:
Para sa cosine:
Para sa tangent at cotangent:
Mga formula para sa paglutas ng mga equation na naglalaman ng mga inverse trigonometriko function:

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko

Ang solusyon sa anumang trigonometric equation ay binubuo ng dalawang yugto:

• gamit ang i-convert ito sa pinakasimpleng;
• lutasin ang resultang pinakasimpleng equation gamit ang nakasulat sa itaas na root formula at table.

Tingnan natin ang mga halimbawa ng mga pangunahing pamamaraan ng paglutas.

Algebraic na pamamaraan.

Sa pamamaraang ito, ginagawa ang variable na pagpapalit at pagpapalit sa pagkakapantay-pantay.

Halimbawa. Lutasin ang equation: `2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0`

`2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0`,

ginagawa namin ang pagbabago: `cos (x + \ frac \ pi 6) = y`, pagkatapos` 2y ^ 2-3y + 1 = 0`,

nakita namin ang mga ugat: `y_1 = 1, y_2 = 1 / 2`, kung saan sumusunod ang dalawang kaso:

1.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`, `x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`,` x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

2.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1 / 2`, `x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Sagot: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Factorization.

Halimbawa. Lutasin ang equation: `sin x + cos x = 1`.

Solusyon. Ilipat ang lahat ng termino ng pagkakapantay-pantay sa kaliwa: `sin x + cos x-1 = 0`. Gamit, ibahin ang anyo at i-factor ang kaliwang bahagi:

`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 = 0`,

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 = 0`,

`2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0`,

1. `sin x / 2 = 0`,` x / 2 = \ pi n`, `x_1 = 2 \ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 = 0`,` tg x / 2 = 1`, `x / 2 = arctan 1+ \ pi n`,` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n` , `x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

Sagot: `x_1 = 2 \ pi n`,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

Pagbawas sa isang homogenous na equation

Una, kailangan mong dalhin ang trigonometric equation na ito sa isa sa dalawang uri:

`a sin x + b cos x = 0` (homogeneous equation ng unang degree) o` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (homogeneous equation ng pangalawang degree).

Pagkatapos ay hatiin ang parehong bahagi ng `cos x \ ne 0` - para sa unang kaso, at ng` cos ^ 2 x \ ne 0` - para sa pangalawa. Kumuha kami ng mga equation para sa `tg x`:` a tg x + b = 0` at `a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0`, na kailangang lutasin ng mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa. Lutasin ang equation: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1`.

Solusyon. Isulat natin kanang bahagi bilang `1 = kasalanan ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`2 kasalanan ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x =` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 kasalanan ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -` `sin ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0`.

Ito ay isang homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree, hinahati namin ang kaliwa at kanang gilid nito sa `cos ^ 2 x \ ne 0`, nakukuha namin:

`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0`. Ipinakilala namin ang kapalit na `tg x = t`, bilang resulta,` t ^ 2 + t - 2 = 0`. Ang mga ugat ng equation na ito ay `t_1 = -2` at` t_2 = 1`. Pagkatapos:

1. `tg x = -2`,` x_1 = arctg (-2) + \ pi n`, `n \ sa Z`
2. `tg x = 1`,` x = arctan 1+ \ pi n`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ sa Z`.

Sagot. `x_1 = arctg (-2) + \ pi n`,` n \ sa Z`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ sa Z`.

Pumunta sa kalahating sulok

Halimbawa. Lutasin ang equation: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Solusyon. Ilapat ang mga formula ng double angle, bilang resulta: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 =` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 = 0`

Ang paglalapat ng algebraic na pamamaraan sa itaas, nakukuha namin:

1. `tg x / 2 = 2`,` x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n`, `n \ sa Z`,
2. `tg x / 2 = 3 / 4`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ sa Z`.

Sagot. `x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n, n \ sa Z`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ sa Z`.

Ipakilala ang isang pantulong na sulok

Sa trigonometric equation `a sin x + b cos x = c`, kung saan ang a, b, c ay coefficients at x ay isang variable, hinahati namin ang magkabilang panig sa` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

`\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x = '' \ frac c (sqrt (a ^ 2) + b ^ 2)) `.

Ang mga coefficient sa kaliwang bahagi ay may mga katangian ng sine at cosine, ibig sabihin, ang kabuuan ng kanilang mga parisukat ay katumbas ng 1 at ang kanilang mga ganap na halaga ay hindi hihigit sa 1. Tinutukoy namin ang mga ito bilang mga sumusunod: `\ frac a (sqrt ( a ^ 2 + b ^ 2)) = cos \ varphi` , `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi`,` \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = C`, pagkatapos:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`.

Tingnan natin ang sumusunod na halimbawa:

Halimbawa. Lutasin ang equation: `3 sin x + 4 cos x = 2`.

Solusyon. Hatiin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, makuha natin ang:

`\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) = '' \ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 sin x + 4/5 cos x = 2 / 5`.

Tukuyin natin ang `3/5 = cos \ varphi`,` 4/5 = sin \ varphi`. Dahil ang `sin \ varphi> 0`,` cos \ varphi> 0`, kunin namin ang `\ varphi = arcsin 4 / 5` bilang isang auxiliary angle. Pagkatapos ay isusulat namin ang aming pagkakapantay-pantay sa anyo:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = 2 / 5`

Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan ng mga anggulo para sa sine, isinusulat namin ang aming pagkakapantay-pantay sa sumusunod na anyo:

`sin (x + \ varphi) = 2 / 5`,

`x + \ varphi = (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \ pi n`,` n \ sa Z`,

`x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ sa Z`.

Sagot. `x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ sa Z`.

Fractional-rational trigonometric equation

Ito ay mga pagkakapantay-pantay na may mga praksyon na may mga function na trigonometriko sa mga numerator at denominator.

Halimbawa. Lutasin ang equation. `\ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`.

Solusyon. I-multiply at hatiin ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay sa `(1 + cos x)`. Bilang resulta, nakukuha namin ang:

`\ frac (sin x) (1 + cos x) = '' \ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

`\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

Isinasaalang-alang na ang denominator ay hindi maaaring katumbas ng zero, nakukuha natin ang `1 + cos x \ ne 0`,` cos x \ ne -1`, `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ sa Z`.

I-equate ang numerator ng fraction sa zero: `sin x-sin ^ 2 x = 0`,` sin x (1-sin x) = 0`. Pagkatapos ay `sin x = 0` o` 1-sin x = 0`.

1. `sin x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ sa Z`
2. `1-sin x = 0`,` sin x = -1`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \ sa Z`.

Isinasaalang-alang na ang `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ sa Z`, ang mga solusyon ay` x = 2 \ pi n, n \ sa Z` at `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n` , `n \ sa Z`.

Sagot. `x = 2 \ pi n`,` n \ sa Z`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`,` n \ sa Z`.

Trigonometry, at trigonometriko equation sa partikular, ay ginagamit sa halos lahat ng mga lugar ng geometry, physics, engineering. Nagsisimula ang pag-aaral sa grade 10, tiyak na may mga gawain para sa pagsusulit, kaya subukang alalahanin ang lahat ng mga formula ng trigonometric equation - tiyak na darating ang mga ito sa madaling gamiting!

Gayunpaman, hindi mo na kailangang kabisaduhin ang mga ito, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kakanyahan at ma-deduce ang mga ito. Ito ay hindi kasing hirap ng tunog. Tingnan para sa iyong sarili sa pamamagitan ng panonood ng video.

Trigonometric function- Ang kahilingan na "kasalanan" ay na-redirect dito; tingnan din ang iba pang kahulugan. Ang kahilingang "seg" ay na-redirect dito; tingnan din ang iba pang kahulugan. Ang kahilingan sa Sinus ay na-redirect dito; tingnan din ang iba pang mga kahulugan ... Wikipedia

kulay-balat

kanin. 1 Mga graph ng trigonometriko function: sine, cosine, tangent, secant, cosecant, cotangent Trigonometric function ay ang anyo ng elementarya function. Karaniwang kinabibilangan ng sine (sin x), cosine (cos x), tangent (tg x), cotangent (ctg x), ... ... Wikipedia

Cosine- Bigas. 1 Mga graph ng trigonometriko function: sine, cosine, tangent, secant, cosecant, cotangent Trigonometric function ay ang anyo ng elementarya function. Karaniwang kinabibilangan ng sine (sin x), cosine (cos x), tangent (tg x), cotangent (ctg x), ... ... Wikipedia

Cotangent- Bigas. 1 Mga graph ng trigonometriko function: sine, cosine, tangent, secant, cosecant, cotangent Trigonometric function ay ang anyo ng elementarya function. Karaniwang kinabibilangan ng sine (sin x), cosine (cos x), tangent (tg x), cotangent (ctg x), ... ... Wikipedia

Secant- Bigas. 1 Mga graph ng trigonometriko function: sine, cosine, tangent, secant, cosecant, cotangent Trigonometric function ay ang anyo ng elementarya function. Karaniwang kinabibilangan ng sine (sin x), cosine (cos x), tangent (tg x), cotangent (ctg x), ... ... Wikipedia

Kasaysayan ng trigonometrya- Geodetic measurements (XVII century) ... Wikipedia

Half Angle Tangent Formula- Sa trigonometry, iniuugnay ng half-angle tangent formula ang half-angle tangent sa trigonometric function ng buong anggulo: Iba't ibang variation ganito ang hitsura ng formula na ito ... Wikipedia

Trigonometry- (mula sa salitang Griyego na τρίγονο (tatsulok) at sa Griyegong μετρειν (sa pagsukat), iyon ay, ang pagsukat ng mga tatsulok) isang sangay ng matematika kung saan pinag-aaralan ang mga function ng trigonometriko at ang kanilang mga aplikasyon sa geometry. Ang terminong ito ay unang lumitaw noong 1595 bilang ... ... Wikipedia

Paglutas ng mga tatsulok- (lat. solutio triangulorum) isang makasaysayang termino na nangangahulugang ang solusyon ng pangunahing problemang trigonometriko: ayon sa kilalang data tungkol sa isang tatsulok (mga gilid, anggulo, atbp.), hanapin ang natitirang mga katangian nito. Ang tatsulok ay matatagpuan sa ... ... Wikipedia

Mga libro

• Isang set ng mga mesa. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Baitang 10. 17 talahanayan + pamamaraan,. Ang mga talahanayan ay naka-print sa makapal na polygraphic na karton na 680 x 980 mm ang laki. May kasamang brochure na may mga alituntunin para sa guro. Pang-edukasyon na album ng 17 mga sheet. ... Bumili sa halagang 3944 kuskusin
• Mga talahanayan ng mga integral at iba pang mga mathematical formula, Dwight G.B .. Ang ikasampung edisyon ng sikat na handbook ay naglalaman ng napakadetalyadong mga talahanayan ng hindi tiyak at mga tiyak na integral, at malaking numero iba pang mga mathematical formula: mga pagpapalawak ng serye, ...

Ang artikulo ay nagdedetalye ng mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan. Ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay nagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng sin, cos, t g, c t g ng isang naibigay na anggulo. Kapag ang isang function ay kilala, ito ay posible na makahanap ng isa pa sa pamamagitan nito.

Mga pagkakakilanlan ng trigonometric para sa pagsasaalang-alang sa artikulong ito. Sa ibaba ay magpapakita kami ng isang halimbawa ng kanilang derivation na may paliwanag.

sin 2 α + cos 2 α = 1 tan α = sin α cos α, ctg α = cos α sin α tan α ctg α = 1 tan 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + ctg 2 α = 1 sin 2 α

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pag-usapan natin ang isang mahalagang trigonometric identity na itinuturing na pundasyon ng trigonometry.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Ang mga ibinigay na equalities t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α ay hinango mula sa pangunahing isa sa pamamagitan ng paghahati ng parehong bahagi sa sin 2 α at cos 2 α. Pagkatapos ay makukuha natin ang t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α at t g α · c t g α = 1 - ito ay bunga ng mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent.

Ang equality sin 2 α + cos 2 α = 1 ay ang pangunahing trigonometric identity. Upang patunayan ito, kinakailangang bumaling sa paksa na may bilog ng yunit.

Hayaang ibigay ang mga coordinate ng puntong A (1, 0), na, pagkatapos na lumiko sa anggulong α, ay nagiging puntong A 1. Sa pamamagitan ng kahulugan ng kasalanan at cos, ang punto A 1 ay makakatanggap ng mga coordinate (cos α, sin α). Dahil ang A 1 ay nasa loob ng unit circle, nangangahulugan ito na ang mga coordinate ay dapat matugunan ang kundisyon x 2 + y 2 = 1 ng bilog na ito. Dapat totoo ang expression na cos 2 α + sin 2 α = 1. Para dito, kinakailangan upang patunayan ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan para sa lahat ng mga anggulo ng pag-ikot α.

Sa trigonometrya, ang expression na sin 2 α + cos 2 α = 1 ay ginagamit bilang Pythagorean theorem sa trigonometry. Upang gawin ito, isaalang-alang ang isang detalyadong patunay.

Gamit ang unit circle, iniikot namin ang point A na may mga coordinate (1, 0) sa paligid ng center point O sa isang anggulo α. Pagkatapos lumiko, ang punto ay nagbabago ng mga coordinate at nagiging katumbas ng A1 (x, y). Ibinababa namin ang patayo na linya A 1 H hanggang O x mula sa punto A 1.

Ang figure ay malinaw na nagpapakita na nabuo kanang tatsulokО А 1 N. Modulo ang mga binti О А 1 Н at О Н ay pantay, ang rekord ay kukuha ng sumusunod na anyo: | A 1 H | = | sa | , | TUNGKOL SA | = | x | ... Ang Hypotenuse О А 1 ay may halaga na katumbas ng radius ng unit circle, | TUNGKOL SA 1 | = 1. Gamit ibinigay na pagpapahayag, maaari nating isulat ang pagkakapantay-pantay ng Pythagorean theorem: | A 1 H | 2 + | TUNGKOL SA | 2 = | TUNGKOL SA 1 | 2. Isinulat namin ang pagkakapantay-pantay na ito bilang | y | 2 + | x | 2 = 1 2, na nangangahulugang y 2 + x 2 = 1.

Gamit ang kahulugan ng sin α = y at cos α = x, palitan ang data ng anggulo para sa mga coordinate ng mga puntos at magpatuloy sa hindi pagkakapantay-pantay na sin 2 α + cos 2 α = 1.

Ang pangunahing koneksyon sa pagitan ng kasalanan at cos ng isang anggulo ay posible sa pamamagitan ng trigonometric identity na ito. Kaya, maaari mong kunin ang kasalanan ng isang anggulo na may kilalang cos at vice versa. Upang gawin ito, kinakailangan upang malutas ang kasalanan 2 α + cos 2 = 1 na may paggalang sa kasalanan at cos, pagkatapos ay makakakuha tayo ng mga expression ng form na sin α = ± 1 - cos 2 α at cos α = ± 1 - sin 2 α , ayon sa pagkakabanggit. Tinutukoy ng halaga ng anggulong α ang tanda sa harap ng ugat ng expression. Para sa isang detalyadong paliwanag, dapat mong basahin ang seksyon sa pagkalkula ng sine, cosine, tangent at cotangent gamit ang mga trigonometric formula.

Kadalasan, ang pangunahing pormula ay ginagamit upang ibahin ang anyo o pasimplehin ang mga trigonometrikong expression. Posibleng palitan ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng 1. Ang pagpapalit ng pagkakakilanlan ay maaaring nasa pasulong o pabalik na pagkakasunud-sunod: ang yunit ay pinapalitan ng expression para sa kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine.

Tangent at cotangent sa mga tuntunin ng sine at cosine

Mula sa kahulugan ng cosine at sine, tangent at cotangent, makikita na ang mga ito ay magkakaugnay, na nagpapahintulot sa iyo na hiwalay na i-convert ang mga kinakailangang halaga.

t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α

Mula sa kahulugan, ang sine ay ang ordinate ng y, at ang cosine ay ang abscissa ng x. Ang tangent ay ang relasyon sa pagitan ng ordinate at abscissa. Kaya, mayroon kaming:

t g α = y x = sin α cos α, at ang cotangent expression ay may kabaligtaran na kahulugan, iyon ay

c t g α = x y = cos α sin α.

Kasunod nito na ang mga nakuhang pagkakakilanlan t g α = sin α cos α at c t g α = cos α sin α ay ibinibigay gamit ang sin at cos angles. Ang tangent ay itinuturing na ratio ng sine sa cosine ng anggulo sa pagitan nila, at ang cotangent ay ang kabaligtaran.

Tandaan na ang t g α = sin α cos α at c t g α = cos α sin α ay may bisa para sa anumang halaga ng anggulo α, ang mga halaga nito ay kasama sa hanay. Mula sa formula na tg α = sin α cos α ang halaga ng anggulo α ay naiiba sa π 2 + π · z, at ang ctg α = cos α sin α ay kumukuha ng halaga ng anggulong α na naiiba sa π · z, z ay kumukuha ng halaga ng anumang integer.

Relasyon sa pagitan ng tangent at cotangent

Mayroong isang formula na nagpapakita ng relasyon sa pagitan ng mga anggulo sa mga tuntunin ng tangent at cotangent. Ang pagkakakilanlang trigonometric na ito ay mahalaga sa trigonometrya at tinutukoy bilang t g α · c t g α = 1. Makatuwiran para sa α na may anumang halaga maliban sa π 2 · z, kung hindi ay hindi tutukuyin ang mga function.

Ang formula t g α · c t g α = 1 ay may sariling mga kakaiba sa patunay. Mula sa depinisyon mayroon tayong t g α = y x at c t g α = x y, kaya't nakukuha natin ang t g α c t g α = y x y = 1. Pagbabago ng expression at pagpapalit ng t g α = sin α cos α at c t g α = cos α sin α, nakukuha natin ang t g α c t g α = sin α cos α cos α sin α = 1.

Kung gayon ang pagpapahayag ng tangent at cotangent ay may katuturan kapag sa huli ay nakakakuha tayo ng magkasalungat na mga numero.

Tangent at cosine, cotangent at sine

Ang pagkakaroon ng pagbabago sa mga pangunahing pagkakakilanlan, dumating tayo sa konklusyon na ang tangent ay nauugnay sa pamamagitan ng cosine, at ang cotangent sa pamamagitan ng sine. Ito ay makikita mula sa mga formula t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α.

Ang kahulugan ay ang mga sumusunod: ang kabuuan ng parisukat ng tangent ng isang anggulo at 1 ay equated sa isang fraction, kung saan sa numerator mayroon tayong 1, at sa denominator ang parisukat ng cosine ng ibinigay na anggulo, at ang kabuuan ng parisukat ng cotangent ng anggulo, vice versa. Salamat sa trigonometric identity sin 2 α + cos 2 α = 1, maaari nating hatiin ang mga kaukulang panig sa cos 2 α at makuha ang t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, kung saan ang halaga ng cos 2 α ay hindi dapat maging zero. Kapag hinahati sa sin 2 α, nakukuha natin ang pagkakakilanlan 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α, kung saan ang halaga ng sin 2 α ay hindi dapat maging zero.

Mula sa mga expression sa itaas, nakuha namin na ang pagkakakilanlan tan 2 α + 1 = 1 cos 2 α ay totoo para sa lahat ng mga halaga ng anggulo α na hindi kabilang sa π 2 + π z, at 1 + ctg 2 α = 1 sin 2 α para sa mga halaga ng α na hindi kabilang sa pagitan π · z.

Kung may napansin kang error sa text, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter

Mga pagkakakilanlan ng trigonometric- ito ay mga pagkakapantay-pantay na nagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo, na nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang alinman sa mga function na ito, basta't alam ang iba.

tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha), \ enspace ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha)

tg \ alpha \ cdot ctg \ alpha = 1

Sinasabi ng pagkakakilanlan na ito na ang kabuuan ng parisukat ng sine ng isang anggulo at ang parisukat ng cosine ng isang anggulo ay katumbas ng isa, na sa pagsasanay ay ginagawang posible upang makalkula ang sine ng isang anggulo kapag ang cosine nito ay kilala at vice versa .

Kapag nagko-convert ng mga trigonometric expression, ang pagkakakilanlan na ito ay madalas na ginagamit, na nagbibigay-daan sa iyo upang palitan ang kabuuan ng mga parisukat ng cosine at sine ng isang anggulo na may isang yunit at gampanan din ang pagpapalit na operasyon sa reverse order.

Paghahanap ng tangent at cotangent sa mga tuntunin ng sine at cosine

tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha), \ enspace

Ang mga pagkakakilanlan na ito ay nabuo mula sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent. Pagkatapos ng lahat, kung titingnan mo ito, sa pamamagitan ng kahulugan ang ordinate ng y ay ang sine, at ang abscissa ng x ay ang cosine. Pagkatapos ang padaplis ay magiging katumbas ng ratio \ frac (y) (x) = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha) at ang ratio \ frac (x) (y) = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha)- magiging isang cotangent.

Idinagdag namin na para lamang sa mga naturang anggulo \ alpha kung saan ang mga trigonometric function na kasama sa mga ito ay magkakaroon ng kahulugan ang mga pagkakakilanlan, ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha).

Halimbawa: tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha) ay may bisa para sa mga anggulo \ alpha na iba sa \ frac (\ pi) (2) + \ pi z, a ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha)- para sa isang anggulo \ alpha maliban sa \ pi z, z - ay isang integer.

Relasyon sa pagitan ng tangent at cotangent

tg \ alpha \ cdot ctg \ alpha = 1

Ang pagkakakilanlan na ito ay may bisa lamang para sa mga anggulo \ alpha na naiiba sa \ frac (\ pi) (2) z... Kung hindi, alinman sa cotangent o tangent ay hindi tutukuyin.

Batay sa mga punto sa itaas, nakita namin iyon tg \ alpha = \ frac (y) (x), a ctg \ alpha = \ frac (x) (y)... Kaya naman sinusunod iyon tg \ alpha \ cdot ctg \ alpha = \ frac (y) (x) \ cdot \ frac (x) (y) = 1... Kaya, ang tangent at cotangent ng parehong anggulo kung saan sila nagkakaroon ng kahulugan ay mga reciprocal na numero.

Dependencies sa pagitan ng tangent at cosine, cotangent at sine

tg ^ (2) \ alpha + 1 = \ frac (1) (\ cos ^ (2) \ alpha)- ang kabuuan ng parisukat ng tangent ng anggulo \ alpha at 1, ay katumbas ng inverse square ng cosine ng anggulong ito. Ang pagkakakilanlan na ito ay wasto para sa lahat ng \ alpha na naiiba sa \ frac (\ pi) (2) + \ pi z.

1 + ctg ^ (2) \ alpha = \ frac (1) (\ sin ^ (2) \ alpha)- ang kabuuan ng 1 at ang parisukat ng cotangent ng anggulo \ alpha, ay katumbas ng kabaligtaran na parisukat ng sine ng ibinigay na anggulo. Ang pagkakakilanlan na ito ay may bisa para sa anumang \ alpha maliban sa \ pi z.

Mga halimbawa na may mga solusyon sa mga problema sa paggamit ng mga trigonometrikong pagkakakilanlan

Halimbawa 1

Hanapin ang \ sin \ alpha at tg \ alpha kung \ cos \ alpha = - \ frac12 at \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi ;

Ipakita ang solusyon

Solusyon

Ang \ sin \ alpha at \ cos \ alpha function ay nakatali ng isang formula \ sin ^ (2) \ alpha + \ cos ^ (2) \ alpha = 1... Pagpapalit sa formula na ito \ cos \ alpha = - \ frac12, nakukuha natin:

\ sin ^ (2) \ alpha + \ left (- \ frac12 \ right) ^ 2 = 1

Ang equation na ito ay may 2 solusyon:

\ sin \ alpha = \ pm \ sqrt (1- \ frac14) = \ pm \ frac (\ sqrt 3) (2)

Sa kondisyon \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi ... Sa ikalawang quarter, ang sine ay positibo, samakatuwid \ sin \ alpha = \ frac (\ sqrt 3) (2).

Upang mahanap ang tg \ alpha, ginagamit namin ang formula tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha)

tg \ alpha = \ frac (\ sqrt 3) (2): \ frac12 = \ sqrt 3

Halimbawa 2

Hanapin ang \ cos \ alpha at ctg \ alpha kung at \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi .

Ipakita ang solusyon

Solusyon

Pagpapalit sa formula \ sin ^ (2) \ alpha + \ cos ^ (2) \ alpha = 1 may kondisyong ibinigay na numero \ sin \ alpha = \ frac (\ sqrt3) (2), nakukuha namin \ kaliwa (\ frac (\ sqrt3) (2) \ kanan) ^ (2) + \ cos ^ (2) \ alpha = 1... Ang equation na ito ay may dalawang solusyon \ cos \ alpha = \ pm \ sqrt (1- \ frac34) = \ pm \ sqrt \ frac14.

Sa kondisyon \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi ... Sa ikalawang quarter, ang cosine ay negatibo, kaya \ cos \ alpha = - \ sqrt \ frac14 = - \ frac12.

Upang mahanap ang ctg \ alpha, gamitin ang formula ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha)... Alam natin ang mga katumbas na halaga.

ctg \ alpha = - \ frac12: \ frac (\ sqrt3) (2) = - \ frac (1) (\ sqrt 3).