Ang mga formula ng mga ugat ng square equation. Ang mga kaso ng wastong, maramihang at kumplikadong mga ugat ay isinasaalang-alang. Factorization. square three-shoe.. Geometric interpretation. Mga halimbawa ng pagtukoy sa mga ugat at agnas ng mga multiplier.

Pangunahing Formula.

Isaalang-alang ang isang parisukat na equation:
(1) .
Roots square equation. (1) ay tinutukoy ng mga formula:
; .
Ang mga formula na ito ay maaaring pinagsama tulad nito:
.
Kapag ang mga ugat ng square equation ay kilala, ang pangalawang degree polynomial ay maaaring kinakatawan bilang isang gawain ng mga kadahilanan (mabulok sa multiplier):
.

Susunod, naniniwala kami na - ang aktwal na mga numero.
Isaalang-alang discriminant square equation.:
.
Kung ang discriminant ay positibo, ang parisukat na equation (1) ay may dalawang magkakaibang wastong ugat:
; .
Kung gayon ang agnas ng square tatlong bumababa sa mga kadahilanan ay may form:
.
Kung ang discriminant ay zero, pagkatapos ay ang square equation (1) ay may dalawang maramihang (katumbas) wastong ugat:
.
Factorization:
.
Kung ang diskriminant ay negatibo, pagkatapos ay ang square equation (1) ay may dalawang komprehensibong conjugated root:
;
.
Dito - ang haka-haka yunit;
At - ang aktwal at haka-haka bahagi ng mga ugat:
; .
Pagkatapos

.

Graphic interpretation.

Kung bumuo mag-iskedyul ng pag-andar
,
na parabola, pagkatapos ang punto ng intersection ng graph na may axis ay magiging mga ugat ng equation
.
Kapag, ang iskedyul ay tumatawid sa abscissa axis (axis) sa dalawang punto.
Kailan, ang graph ay may kinalaman sa abscissa axis sa isang punto.
Kapag, ang iskedyul ay hindi intersect ang abscissa axis.

Nasa ibaba ang mga halimbawa ng naturang mga graph.

Kapaki-pakinabang na mga formula na nauugnay sa square equation.

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

Ang output ng formula para sa mga ugat ng square equation

Isinasagawa namin ang mga pagbabago at nag-aplay ng mga formula (F.1) at (F.3):




,
Saan
; .

Kaya, nakuha namin ang isang formula para sa isang polinomyal ng ikalawang degree sa form:
.
Mula dito makikita ito na ang equation.

gumanap sa
at.
Iyon ay, ang mga ugat ng square equation ay mga ugat
.

Mga halimbawa ng pagtukoy ng mga ugat ng square equation.

Halimbawa 1.

(1.1) .

Desisyon

.
Paghahambing sa aming equation (1.1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficients:
.
Nakahanap kami ng diskriminasyon:
.
Dahil ang discriminant ay positibo, ang equation ay may dalawang wastong ugat:
;
;
.

Mula dito nakakakuha kami ng isang agnas ng isang parisukat na tatlong-pusta sa mga multiplier:

.

Iskedyul function y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3. Tumatawid sa axis ng abscissa sa dalawang punto.

Bumuo kami ng iskedyul ng function
.
Ang iskedyul ng function na ito ay parabola. Inilalagay niya ang abscissa axis (axis) sa dalawang punto:
at.
Ang mga puntong ito ay mga ugat ng unang equation (1.1).

Sagot.

;
;
.

Halimbawa 2.

Hanapin ang mga ugat ng square equation:
(2.1) .

Desisyon

Isinulat namin ang parisukat na equation sa pangkalahatang anyo:
.
Paghahambing sa unang equation (2.1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficients:
.
Nakahanap kami ng diskriminasyon:
.
Dahil ang discriminant ay zero, ang equation ay may dalawang maramihang (katumbas) root:
;
.

Kung gayon ang agnas ng tatlong desisyon sa mga multiplier ay may form:
.

Function graph y \u003d X. 2 - 4 x + 4. Hinihiling ang abscissa axis sa isang punto.

Bumuo kami ng iskedyul ng function
.
Ang iskedyul ng function na ito ay parabola. Ito ay tungkol sa abscissa axis (axis) sa isang punto:
.
Ang puntong ito ay ang ugat ng unang equation (2.1). Dahil ang ugat na ito ay pumapasok sa pagpapalawak ng mga multiplier nang dalawang beses:
,
Na ang gayong ugat ay tinatawag na maramihang. Iyon ay, ito ay pinaniniwalaan na mayroong dalawang pantay na ugat:
.

Sagot.

;
.

Halimbawa 3.

Hanapin ang mga ugat ng square equation:
(3.1) .

Desisyon

Isinulat namin ang parisukat na equation sa pangkalahatang anyo:
(1) .
Isulat namin ang unang equation (3.1):
.
Ihambing ang C (1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficients:
.
Nakahanap kami ng diskriminasyon:
.
Ang discriminant ay negatibo. Samakatuwid, walang wastong mga ugat.

Makakahanap ka ng kumplikadong mga ugat:
;
;
.

Pagkatapos


.

Ang graph ng function ay hindi tumatawid sa axis ng abscissa. Walang wastong mga ugat.

Bumuo kami ng iskedyul ng function
.
Ang iskedyul ng function na ito ay parabola. Hindi ito intersect ang abscissa axis (axis). Samakatuwid, walang wastong mga ugat.

Sagot.

Walang wastong mga ugat. Ang mga roings ay isinama:
;
;
.

Higit pa simpleng paraan. Upang gawin ito, alisin ang Z bawat bracket. Makakatanggap ka: Z (AZ + B) \u003d 0. Maaaring nakasulat ang mga multiplier: Z \u003d 0 at AZ + B \u003d 0, dahil ang parehong ay maaaring gumawa bilang resulta ng zero. Sa rekord AZ + B \u003d 0, nag-post kami ng pangalawang sa kanan sa isa pang tanda. Mula dito nakakuha kami ng z1 \u003d 0 at z2 \u003d -b / a. Ito ang mga ugat ng orihinal.

Kung mayroong isang hindi kumpletong equation ng uri Az² + C \u003d 0, sa kasong ito ay ang pagiging simple ng paglipat ng isang libreng miyembro sa kanang bahagi equation. Baguhin din ang pag-sign sa parehong oras. Ito ay lumiliko ng isang record az² \u003d -c. Express z² \u003d -c / a. Kunin ang ugat at isulat ang dalawang solusyon - ang positibo at negatibong halaga ng square root.

Tandaan

Sa pagkakaroon ng fractional coefficients sa equation, multiply ang equation sa kaukulang multiplier upang mapupuksa ang mga fraction.

Kaalaman tungkol sa kung paano malutas ang mga square equation, kinakailangan sa mga bata, at mga mag-aaral, kung minsan ay makakatulong ito at isang taong may sapat na gulang sa karaniwang buhay. Mayroong ilang mga tiyak na pamamaraan ng solusyon.

Solusyon ng square equation.

Square equation ng form a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0. Ang koepisyent X ay ang ninanais na variable, A, B, C - numerical coefficients. Tandaan na ang "+" sign ay maaaring mag-iba sa "-" sign.

Upang malutas ang equation na ito, kailangan mong gamitin ang Vieta theorem o makahanap ng diskriminant. Ang pinaka-karaniwang paraan ay upang mahanap ang discriminant, dahil sa ilang mga halaga A, B, C, gamitin ang Vieta theorem ay hindi posible.

Upang makahanap ng diskriminant (d), kinakailangan upang isulat ang formula d \u003d b ^ 2 - 4 * A * c. Ang halaga d ay maaaring mas malaki kaysa sa o katumbas ng zero. Kung d ay mas malaki o mas mababa sa zero, ang ugat ay magiging dalawa kung d \u003d 0, pagkatapos lamang ng isang ugat ay nananatiling, mas tiyak, maaari naming sabihin na d sa kasong ito ay may dalawang katumbas na ugat. Magsumite ng mga kilalang coefficients A, B, C sa formula at kalkulahin ang halaga.

Matapos mong makita ang isang diskriminant, upang makahanap ng mga form ng paggamit ng X: x (1) \u003d (- b + sqrt (d)) / 2 * a; x (2) \u003d (- b-sqrt (d)) / 2 * a, kung saan ang sqrt ay isang function na nangangahulugan ng pagkuha ng isang parisukat na ugat mula sa isang ibinigay na numero. Isinasaalang-alang ang mga expression na ito, makikita mo ang dalawang ugat ng iyong equation, pagkatapos kung saan ang equation ay itinuturing na nalutas.

Kung d ay mas mababa sa zero, mayroon pa rin itong ugat. Sa paaralan, ang seksyon na ito ay halos hindi pinag-aralan. Ang mga mag-aaral sa unibersidad ay dapat malaman kung ano ang lumilitaw isang negatibong numero sa ilalim ng ugat. Ito ay nakakakuha ng alisan ng haka-haka bahagi mula dito, iyon ay, -1 sa ilalim ng ugat palaging katumbas ng haka-haka elemento "i", na kung saan ay multiplied sa pamamagitan ng ugat na may parehong positibong numero. Halimbawa, kung D \u003d SQRT (-20), pagkatapos ng conversion, D \u003d SQRT (20) * Nakukuha ako. Pagkatapos ng pagbabagong ito, ang solusyon ng equation ay nabawasan sa parehong paghahanap ng mga ugat, tulad ng inilarawan sa itaas.

Ang teorama ng Vieta ay nakasalalay sa pagpili ng mga halaga x (1) at x (2). Dalawang magkatulad na equation ang ginagamit: x (1) + x (2) \u003d -b; x (1) * x (2) \u003d s. At So. isang mahalagang punto ay isang palatandaan sa harap ng B koepisyent, tandaan na ang sign na ito ay kabaligtaran sa isa na nakatayo sa equation. Sa unang sulyap, tila napakadaling isaalang-alang ang x (1) at x (2), ngunit kapag nilulutas mo ay makikita mo ang katotohanan na ang mga numero ay kailangang kunin ito.

Mga elemento ng paglutas ng mga equation square.

Ayon sa mga patakaran ng matematika, ang ilan ay maaaring decomposed sa multipliers: (A + X (1)) * (B - X (2)) \u003d 0, kung posible na i-convert ang parisukat na equation sa pamamagitan ng mga formula sa isang formula ng matematika, pagkatapos ay matapang na itala ang sagot. Ang x (1) at x (2) ay katumbas ng susunod na mga charters sa mga bracket, ngunit may kabaligtaran na pag-sign.

Gayundin huwag kalimutan ang tungkol sa hindi kumpleto square equation. Maaari kang magkaroon ng ilan sa mga termino, kung gayon, pagkatapos ay ang lahat ng mga coefficients nito ay katumbas lamang sa zero. Kung walang anuman bago ang x ^ 2 o x, ang mga coefficients A at B ay katumbas ng 1.

5x (x - 4) \u003d 0.

5 x \u003d 0 o x - 4 \u003d 0

x \u003d ± √ 25/4.

Ang pagkakaroon ng natutunan upang malutas ang mga equation ng unang bansa, siyempre, gusto kong makipagtulungan sa iba, lalo na, na may mga equation ng ikalawang antas, na naiiba na tinatawag na parisukat.

Ang mga equation ng square ay mga equation ng uri ah ² + bx + c \u003d 0, kung saan ang variable ay x, ang mga numero ay magiging - a, b, с, kung saan sa halip ay katumbas ng zero.

Kung ang isa o isa pang koepisyent (C o B) ay zero sa square equation, pagkatapos ay ang equation na ito ay tumutukoy sa isang hindi kumpletong square equation.

Paano malutas ang isang hindi kumpletong square equation kung alam pa rin ng mga estudyante kung paano malutas lamang ang unang equation ng degree? Isaalang-alang ang hindi kumpletong square equation. iba't ibang uri ng hayop at simpleng paraan upang malutas ang mga ito.

a) Kung ang koepisyent C ay katumbas ng 0, at ang koepisyent b ay hindi magiging zero, pagkatapos ah ² + bx + 0 \u003d 0 ay nabawasan sa equation ng form ah ² + bx \u003d 0.

Upang malutas ang naturang equation, kailangan mong malaman ang formula para sa paglutas ng isang hindi kumpletong square equation, na kung saan ay upang mabulok ito upang mabulok ito sa multiplier at mamaya upang gamitin ang kondisyon pagkakapantay-pantay kondisyon zero.

Halimbawa, 5x ² - 20x \u003d 0. Unchedule ang kaliwang bahagi ng equation ng mga kadahilanan, habang gumagawa ng isang conventional matematiko operasyon: ang transaksyon ng isang karaniwang kadahilanan para sa mga bracket

5x (x - 4) \u003d 0.

Ginagamit namin ang kondisyon na ang mga gawa ay katumbas ng zero.

5 x \u003d 0 o x - 4 \u003d 0

Ang sagot ay: ang unang ugat - 0; Ang ikalawang ugat ay 4.

b) Kung b \u003d 0, at ang libreng termino ay hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay ang equation ah ² + 0x + c \u003d 0 ay nabawasan sa equation ng form ah ² + c \u003d 0. Lutasin ang mga equation sa dalawang paraan: a) decaying ang polinomyal equation sa kaliwang bahagi ng multipliers; b) gamit ang mga katangian ng isang aritmetika square root. Ang ganitong isang equation ay nalutas sa pamamagitan ng isa sa mga pamamaraan, halimbawa:

x \u003d ± √ 25/4.

x \u003d ± 5/2. Ang sagot ay: ang unang ugat ay 5/2; Ang ikalawang ugat ay katumbas - 5/2.

c) Kung ang B ay katumbas ng 0 at c ay 0, pagkatapos ah ² + 0 + 0 \u003d 0 ay nabawasan sa equation ng form ah ² \u003d 0. Sa equation x ay 0.

Tulad ng makikita mo, ang mga hindi kumpletong square equation ay maaaring walang higit sa dalawang ugat.

Ang paggamit ng mga equation ay laganap sa ating buhay. Ginagamit ang mga ito sa maraming kalkulasyon, pagtatayo ng mga istruktura at kahit sports. Ang mga equation ng tao na ginamit sa unang panahon at mula noon ang kanilang aplikasyon ay lumalaki lamang. Pinapayagan ka ng discriminant na malutas ang anumang parisukat na equation gamit ang isang pangkalahatang pormula na may sumusunod na form:

Ang formula ng discriminant ay depende sa antas ng polinomyal. Ang formula na inilarawan sa itaas ay angkop para sa paglutas ng mga square equation ng sumusunod na uri:

Ang discriminant ay may mga sumusunod na katangian na kailangang kilala:

* "D" ay 0 kapag ang polinomyal ay may maraming mga ugat (pantay na ugat);

* "D" ay isang simetriko polinomyal na may kaugnayan sa mga ugat ng polinomyal at samakatuwid ay isang polinomyal ng mga coefficients nito; Bukod dito, ang mga coefficients ng polinomyal na ito ay buong malaya sa pagpapalawak kung saan kinuha ang mga ugat.

Ipagpalagay na binigyan tayo ng parisukat na equation ng sumusunod na form:

1 equation.

Sa pamamagitan ng formula mayroon kami:

Dahil \\, ang equation ay may 2 Roots. Tinutukoy namin ang mga ito:

Saan ko malulutas ang equation sa pamamagitan ng discriminant online solver?

Maaari mong malutas ang equation sa aming website https: // site. Ang isang libreng online solver ay malulutas ang online na equation ng anumang pagiging kumplikado sa ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok lamang ang iyong data sa solver. Maaari mo ring panoorin ang pagtuturo ng video at matutunan kung paano malutas ang equation sa aming website. Kung mayroon kang anumang mga katanungan, maaari mong hilingin sa kanila sa aming VKontakte group http://vk.com/pocketTeacher. Sumali sa aming grupo, palagi kaming masaya na tulungan ka.

Umaasa ako na pag-aaral ng artikulong ito, matututunan mo upang mahanap ang mga ugat ng isang kumpletong square equation.

Sa tulong ng discriminant, ang mga kumpletong square equation ay malulutas, upang malutas ang hindi kumpleto square equation. Gumamit ng iba pang mga pamamaraan na makikita mo sa artikulong "Desisyon ng hindi kumpleto square equation".

Anong parisukat na equation ang tinatawag na puno? ito equation ng form ah 2 + b x + c \u003d 0Kung saan ang mga coefficients A, B at hindi katumbas ng zero. Kaya, upang malutas ang isang kumpletong square equation, ito ay kinakailangan upang kalkulahin ang diskriminant D.

D \u003d b 2 - 4as.

Depende sa kung anong uri ng kahalagahan ang discriminant, isusulat natin ang sagot.

Kung ang discriminant ay isang negatibong numero (D.< 0),то корней нет.

Kung ang diskriminant ay zero, x \u003d (-b) / 2a. Kapag ang discriminant ay isang positibong numero (D\u003e 0),

pagkatapos x 1 \u003d (-b - √D) / 2a, at x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Halimbawa. Lutasin ang equation x 2. - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 · 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Sagot: 2.

Lutasin ang equation 2. x 2. + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 · 2 · 3 \u003d - 23

Sagot: Walang Roots..

Lutasin ang equation 2. x 2. + 5x - 7 \u003d 0..

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 · 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 · 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Sagot: - 3.5; One..

Kaya isipin natin ang solusyon ng kumpletong square equation ng scheme sa Figure1.

Ayon sa mga formula na ito, maaari mong malutas ang anumang kumpletong square equation. Kailangan mo lamang maingat na subaybayan ang equation ay naitala ng isang polinomyal standard view.

ngunit. x 2. + Bx + c, Kung hindi, maaari kang gumawa ng isang error. Halimbawa, sa rekord ng equation X + 3 + 2x 2 \u003d 0, ito ay mali ay maaaring malutas na

a \u003d 1, b \u003d 3 at c \u003d 2. Pagkatapos

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 at pagkatapos ay ang equation ay may dalawang ugat. At ito ay hindi tama. (Tingnan ang solusyon ng halimbawa 2 sa itaas).

Samakatuwid, kung ang equation ay hindi nakasulat hindi sa isang polinomyal ng isang karaniwang species, sa simula ng isang kumpletong square equation ay dapat na maitatala sa pamamagitan ng isang polinomyal ng isang karaniwang species (sa unang lugar ay dapat na unrocked sa pinakadakilang tagapagpahiwatig, iyon ay ngunit. x 2. pagkatapos ay may mas maliit – bx.at pagkatapos ay libreng Dick mula.

Kapag nilulutas ang isang square equation at isang parisukat na equation na may kahit koepisyent, sa pangalawang termino, maaaring gamitin ang iba pang mga formula. Makilala natin ang mga formula na ito. Kung sa isang kumpletong square equation sa ikalawang termino, ang koepisyent ay magiging kahit na (b \u003d 2k), pagkatapos ay ang equation ayon sa mga formula sa figure 2 ay maaaring malutas.

Ang buong square equation ay tinatawag na sa itaas, kung ang koepisyent ay x 2. katumbas ng isa at ang equation ay kukuha ng form x 2 + px + q \u003d 0.. Ang ganitong isang equation ay maaaring ibigay upang malutas, o nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng lahat ng mga coefficients sa koepisyent equation ngunit.nakatayo para sa x 2. .

Ang Figure 3 ay nagpapakita ng scheme ng paglutas sa itaas na parisukat
equation. Isaalang-alang ang halimbawa ng aplikasyon ng mga formula na isinasaalang-alang sa artikulong ito.

Halimbawa. Lutasin ang equation

3x 2. + 6x - 6 \u003d 0.

Magpasya ang equation na ito gamit ang mga formula na ipinapakita sa scheme ng Figure 1.

D \u003d 6 2 - 4 · 3 · (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (36 · 3) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √3

Sagot: -1 - √3; -1 + √3.

Maaari itong makita na ang koepisyent sa X sa equation na ito ay isang kahit na numero, iyon ay, b \u003d 6 o b \u003d 2k, mula sa kung saan k \u003d 3. Pagkatapos ay sinusubukan naming malutas ang equation ayon sa mga formula na ipinapakita sa diagram d 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (d 1) \u003d √27 \u003d √ (9 · 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Sagot: -1 - √3; -1 + √3.. Napansin na ang lahat ng mga coefficients sa kuwadrado equation na ito ay nahahati sa 3 at sa pamamagitan ng pagsasagawa ng dibisyon, makuha namin ang nabawasan square equation x 2 + 2x - 2 \u003d 0 sa pamamagitan ng paglutas ng equation na ito gamit ang mga formula para sa tinukoy na parisukat
equation figure 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 · (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (d 2) \u003d √12 \u003d √ (4 · 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Sagot: -1 - √3; -1 + √3.

Tulad ng nakikita natin, kapag nilulutas ang equation na ito sa iba't ibang mga formula, natanggap namin ang parehong sagot. Samakatuwid, alam na ang mga formula na ipinapakita sa figure 1 scheme, maaari mong palaging malutas ang anumang kumpletong square equation.

blog.et, na may ganap o bahagyang pagkopya ng materyal na sanggunian sa orihinal na pinagmulan ay kinakailangan.