Antiderivative ng function 3 x. Lektura "Antiderivative
Aralin at presentasyon sa paksa: "Antiderivative function. Graph ng isang function"
Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.
Mga tulong sa pagtuturo at simulator sa Integral online na tindahan para sa grade 11
Algebraic na mga problema sa mga parameter, grade 9-11
"Mga interactive na gawain sa pagbuo sa espasyo para sa grade 10 at 11"
Antiderivative function. Panimula
Guys, makakahanap ka ng mga derivatives ng mga function gamit ang iba't ibang mga formula at panuntunan. Ngayon ay pag-aaralan natin ang kabaligtaran ng pagkalkula ng derivative. Ang derivative concept ay kadalasang ginagamit sa totoong buhay... Paalalahanan kita: ang derivative ay ang rate ng pagbabago ng function sa tiyak na punto... Ang mga prosesong nauugnay sa paggalaw at bilis ay mahusay na inilarawan sa mga terminong ito.Isaalang-alang natin ang problemang ito: "Ang bilis ng isang bagay, sa isang tuwid na linya, ay inilalarawan ng formula na $ V = gt $. Kinakailangang ibalik ang batas ng paggalaw.
Solusyon.
Alam nating mabuti ang formula: $ S "= v (t) $, kung saan ang S ay ang batas ng paggalaw.
Ang aming gawain ay nabawasan sa paghahanap ng function na $ S = S (t) $, ang derivative nito ay katumbas ng $ gt $. Kung titingnang mabuti, maaari mong hulaan na $ S (t) = \ frac (g * t ^ 2) (2) $.
Suriin natin ang kawastuhan ng solusyon sa problemang ito: $ S "(t) = (\ frac (g * t ^ 2) (2))" = \ frac (g) (2) * 2t = g * t $.
Alam ang derivative ng function, natagpuan namin ang function mismo, iyon ay, ginawa namin ang kabaligtaran na operasyon.
Ngunit ito ay nagkakahalaga ng pagbibigay pansin sa sandaling ito. Ang solusyon sa aming problema ay nangangailangan ng paglilinaw, kung anumang numero (constant) ang idinagdag sa nahanap na function, kung gayon ang halaga ng derivative ay hindi magbabago: $ S (t) = \ frac (g * t ^ 2) (2) + c, c = const $.
$ S "(t) = (\ frac (g * t ^ 2) (2))" + c "= g * t + 0 = g * t $.
Guys, bigyang-pansin: ang aming gawain ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon!
Kung ang problema ay hindi tumutukoy ng isang inisyal o ilang iba pang kundisyon, huwag kalimutang magdagdag ng isang pare-pareho sa solusyon. Halimbawa, sa ating gawain, maaaring itakda ang posisyon ng ating katawan sa pinakasimula ng paggalaw. Pagkatapos ay hindi mahirap kalkulahin ang pare-pareho, pinapalitan ang zero sa nagresultang equation, nakukuha namin ang halaga ng pare-pareho.
Ano ang pangalan ng naturang operasyon?
Ang kabaligtaran na operasyon ng pagkita ng kaibhan ay tinatawag na pagsasama.
Paghahanap ng isang function mula sa isang ibinigay na derivative - integration.
Ang function mismo ay tatawaging antiderivative, iyon ay, ang imahe, kung saan nakuha ang derivative ng function.
Nakaugalian na isulat ang antiderivative na may malaking titik $ y = F "(x) = f (x) $.
Kahulugan. Ang function na $ y = F (x) $ ay tinatawag antiderivative function$ y = f (x) $ sa pagitan ng X, kung para sa alinmang $ xϵX $ ang pagkakapantay-pantay na $ F '(x) = f (x) $ ay hawak.
Magsama-sama tayo ng talahanayan ng mga antiderivatives para sa iba't ibang function. Dapat itong i-print bilang isang paalala at natutunan.
Walang unang kundisyon ang tinukoy sa aming talahanayan. Nangangahulugan ito na ang isang pare-pareho ay dapat idagdag sa bawat expression sa kanang bahagi ng talahanayan. Lilinawin natin ang panuntunang ito mamaya.
Mga panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative
Sumulat tayo ng ilang panuntunan upang matulungan tayong makahanap ng mga antiderivative. Lahat sila ay katulad ng mga patakaran ng pagkita ng kaibhan.Panuntunan 1. Ang antiderivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga antiderivatives. $ F (x + y) = F (x) + F (y) $.
Halimbawa.
Hanapin ang Antiderivative para sa Function $ y = 4x ^ 3 + cos (x) $.
Solusyon.
Ang antiderivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga antiderivative, pagkatapos ay kailangan mong hanapin ang antiderivative para sa bawat isa sa mga function na ipinakita.
$ f (x) = 4x ^ 3 $ => $ F (x) = x ^ 4 $.
$ f (x) = cos (x) $ => $ F (x) = sin (x) $.
Kung gayon ang antiderivative ng orihinal na function ay magiging: $ y = x ^ 4 + sin (x) $ o anumang function ng form na $ y = x ^ 4 + sin (x) + C $.
Panuntunan 2. Kung ang $ F (x) $ ay isang antiderivative para sa $ f (x) $, kung gayon ang $ k * F (x) $ ay isang antiderivative para sa function na $ k * f (x) $.(Madali nating mailipat ang koepisyent bilang isang function).
Halimbawa.
Maghanap ng mga antiderivatives ng mga function:
a) $ y = 8sin (x) $.
b) $ y = - \ frac (2) (3) cos (x) $.
c) $ y = (3x) ^ 2 + 4x + 5 $.
Solusyon.
a) Ang antiderivative para sa $ sin (x) $ ay ang minus $ cos (x) $. Pagkatapos ang antiderivative ng orihinal na function ay kukuha ng anyo: $ y = -8cos (x) $.
B) Ang antiderivative para sa $ cos (x) $ ay $ sin (x) $. Pagkatapos ang antiderivative ng orihinal na function ay magkakaroon ng form: $ y = - \ frac (2) (3) sin (x) $.
C) Ang antiderivative para sa $ x ^ 2 $ ay $ \ frac (x ^ 3) (3) $. Ang antiderivative para sa x ay $ \ frac (x ^ 2) (2) $. Ang antiderivative para sa 1 ay x. Pagkatapos ang antiderivative ng orihinal na function ay nasa anyo: $ y = 3 * \ frac (x ^ 3) (3) + 4 * \ frac (x ^ 2) (2) + 5 * x = x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5x $...
Panuntunan 3. Kung ang $ y = F (x) $ ay ang antiderivative para sa function na $ y = f (x) $, kung gayon ang antiderivative para sa function na $ y = f (kx + m) $ ay ang function na $ y = \ frac (1 ) (k) * F (kx + m) $.
Halimbawa.
Hanapin ang mga antiderivatives ng mga sumusunod na function:
a) $ y = cos (7x) $.
b) $ y = sin (\ frac (x) (2)) $.
c) $ y = (- 2x + 3) ^ 3 $.
d) $ y = e ^ (\ frac (2x + 1) (5)) $.
Solusyon.
a) Ang antiderivative para sa $ cos (x) $ ay $ sin (x) $. Pagkatapos ang antiderivative para sa function na $ y = cos (7x) $ ay magiging function na $ y = \ frac (1) (7) * sin (7x) = \ frac (sin (7x)) (7) $.
B) Ang antiderivative para sa $ sin (x) $ ay ang minus $ cos (x) $. Pagkatapos ang antiderivative para sa function na $ y = sin (\ frac (x) (2)) $ ay ang function $ y = - \ frac (1) (\ frac (1) (2)) cos (\ frac (x) (2) ) = - 2cos (\ frac (x) (2)) $.
C) Ang antiderivative para sa $ x ^ 3 $ ay $ \ frac (x ^ 4) (4) $, pagkatapos ay ang antiderivative ng orihinal na function $ y = - \ frac (1) (2) * \ frac (((- 2x + 3) ) ^ 4) (4) = - \ frac (((- 2x + 3)) ^ 4) (8) $.
D) Bahagyang pasimplehin ang expression sa kapangyarihan ng $ \ frac (2x + 1) (5) = \ frac (2) (5) x + \ frac (1) (5) $.
Ang antiderivative ng isang exponential function ay ang exponential function mismo. Ang antiderivative ng orihinal na function ay magiging $ y = \ frac (1) (\ frac (2) (5)) e ^ (\ frac (2) (5) x + \ frac (1) (5)) = \ frac (5) ( 2) * e ^ (\ frac (2x + 1) (5)) $.
Teorama. Kung ang $ y = F (x) $ ay ang antiderivative para sa function na $ y = f (x) $ sa interval X, kung gayon ang function na $ y = f (x) $ ay may walang katapusang maraming antiderivatives, at lahat sila ay may anyo $ y = F ( x) + C $.
Kung sa lahat ng mga halimbawa na isinasaalang-alang sa itaas, kinakailangan upang mahanap ang hanay ng lahat ng mga antiderivatives, kung gayon ang pare-parehong C ay dapat idagdag sa lahat ng dako.
Para sa function na $ y = cos (7x) $, lahat ng antiderivatives ay: $ y = \ frac (sin (7x)) (7) + C $.
Para sa function na $ y = (- 2x + 3) ^ 3 $ lahat ng antiderivatives ay: $ y = - \ frac (((- 2x + 3)) ^ 4) (8) + C $.
Halimbawa.
Hanapin ang batas ng paggalaw $ S = S (t) $ ayon sa ibinigay na batas ng pagbabago sa bilis ng isang katawan mula sa oras $ v = -3sin (4t) $, kung sa unang sandali ng oras ang katawan ay may isang coordinate na katumbas ng 1.75.
Solusyon.
Dahil $ v = S ’(t) $, kailangan nating hanapin ang antiderivative para sa ibinigay na bilis.
$ S = -3 * \ frac (1) (4) (- cos (4t)) + C = \ frac (3) (4) cos (4t) + C $.
Sa problemang ito, isang karagdagang kondisyon ang ibinibigay - ang unang sandali ng oras. Nangangahulugan ito na $ t = 0 $.
$ S (0) = \ frac (3) (4) cos (4 * 0) + C = \ frac (7) (4) $.
$ \ frac (3) (4) cos (0) + C = \ frac (7) (4) $.
$ \ frac (3) (4) * 1 + C = \ frac (7) (4) $.
$ C = 1 $.
Pagkatapos ang batas ng paggalaw ay inilalarawan ng formula: $ S = \ frac (3) (4) cos (4t) + 1 $.
Mga gawain para sa malayang solusyon
1. Hanapin ang mga antiderivatives ng mga function:a) $ y = -10sin (x) $.
b) $ y = \ frac (5) (6) cos (x) $.
c) $ y = (4x) ^ 5 + (3x) ^ 2 + 5x $.
2. Hanapin ang mga antiderivative ng mga sumusunod na function:
a) $ y = cos (\ frac (3) (4) x) $.
b) $ y = kasalanan (8x) $.
c) $ y = ((7x + 4)) ^ 4 $.
d) $ y = e ^ (\ frac (3x + 1) (6)) $.
3. Ayon sa ibinigay na batas ng pagbabago sa bilis ng katawan mula sa oras $ v = 4cos (6t) $, hanapin ang batas ng paggalaw $ S = S (t) $, kung sa unang sandali ng oras ang katawan nagkaroon ng coordinate na katumbas ng 2.
Function F (x ) tinawag antiderivative para sa function f (x) sa isang naibigay na agwat, kung para sa lahat x mula sa pagitan na ito, ang pagkakapantay-pantay
F"(x ) = f(x ) .
Halimbawa, ang function F (x) = x 2 f (x ) = 2NS , dahil
F "(x) = (x 2 )" = 2x = f (x). ◄
Ang pangunahing pag-aari ng antiderivative
Kung F (x) - antiderivative para sa function f (x) sa isang naibigay na agwat, pagkatapos ay ang function f (x) ay may walang katapusang maraming mga antiderivative, at lahat ng mga antiderivative na ito ay maaaring isulat bilang F (x) + C, saan SA Ay isang arbitrary na pare-pareho.
Halimbawa. Function F (x) = x 2 + 1 ay ang antiderivative ng function f (x ) = 2NS , dahil F "(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f (x); function F (x) = x 2 - 1 ay ang antiderivative ng function f (x ) = 2NS , dahil F "(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f (x) ; function F (x) = x 2 - 3 ay ang antiderivative ng function f (x) = 2NS , dahil F "(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f (x); anumang function F (x) = x 2 + SA , saan SA - isang di-makatwirang pare-pareho, at ang gayong function lamang ang antiderivative para sa function f (x) = 2NS . ◄ |
Mga panuntunan sa pagkalkula ng mga antiderivative
- Kung F (x) - antiderivative para sa f (x) , a G (x) - antiderivative para sa g (x) , pagkatapos F (x) + G (x) - antiderivative para sa f (x) + g (x) ... Sa ibang salita, ang antiderivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga antiderivatives .
- Kung F (x) - antiderivative para sa f (x) , at k - pare-pareho, kung gayon k · F (x) - antiderivative para sa k · f (x) ... Sa ibang salita, ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring ilipat sa labas ng tanda ng derivative .
- Kung F (x) - antiderivative para sa f (x) , at k,b- permanente, bukod dito k ≠ 0 , pagkatapos 1 / k F ( k x + b ) - antiderivative para sa f(k x + b) .
Indefinite integral
Indefinite integral mula sa pag-andar f (x) tinatawag na expression F (x) + C, iyon ay, ang kabuuan ng lahat ng antiderivatives ng isang ibinigay na function f (x) ... Ang indefinite integral ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
∫ f (x) dx = F (x) + С ,
f (x)- tawag pagsasama at pag-andar ;
f (x) dx- tawag integrand ;
x - tawag variable ng integrasyon ;
F (x) - isa sa mga antiderivatives ng function f (x) ;
SA Ay isang arbitrary na pare-pareho.
Halimbawa, ∫ 2 x dx =NS 2 + SA , ∫ cosx dx = kasalanan NS + SA atbp. ◄
Ang salitang "integral" ay nagmula sa salitang Latin integer na ang ibig sabihin ay "refurbished". Isinasaalang-alang ang hindi tiyak na integral ng 2 x, uri namin ibalik ang function NS 2 na ang derivative ay katumbas ng 2 x... Ang muling pagtatayo ng isang function mula sa derivative nito, o, na pareho, ang paghahanap ng hindi tiyak na integral sa isang naibigay na integrand, ay tinatawag na pagsasama-sama function na ito. Ang pagsasama ay ang kabaligtaran ng pagkita ng kaibhan.Upang masuri kung tama ang pagsasanib, sapat na upang pag-iba-ibahin ang resulta at makuha ang integrat function.
Mga pangunahing katangian ng hindi tiyak na integral
- Ang derivative ng indefinite integral ay katumbas ng integrand:
- Ang pare-parehong kadahilanan ng integrand ay maaaring kunin sa labas ng integral sign:
- Ang integral ng kabuuan (difference) ng mga function ay katumbas ng kabuuan (difference) ng mga integral ng mga function na ito:
- Kung k,b- permanente, bukod dito k ≠ 0 , pagkatapos
(∫ f (x) dx )" = f (x) .
∫ k · f (x) dx = k · ∫ f (x) dx .
∫ ( f (x) ± g (x ) ) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x ) dx .
∫ f ( k x + b) dx = 1 / k F ( k x + b ) + C .
Talaan ng mga antiderivative at hindi tiyak na integral
| f (x)
| F (x) + C
| ∫
f (x) dx = F (x) + С
|
|
| ako. | $$0$$ | $$ C $$ | $$ \ int 0dx = C $$ |
| II. | $$ k $$ | $$ kx + C $$ | $$ \ int kdx = kx + C $$ |
| III. | $$ x ^ n ~ (n \ neq-1) $$ | $$ \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + C $$ | $$ \ int x ^ ndx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + C $$ |
| IV. | $$ \ frac (1) (x) $$ | $$ \ ln | x | + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (x) = \ ln | x | + C $$ |
| V. | $$ \ kasalanan x $$ | $$ - \ cos x + C $$ | $$ \ int \ sin x ~ dx = - \ cos x + C $$ |
| Vi. | $$ \ cos x $$ | $$ \ sin x + C $$ | $$ \ int \ cos x ~ dx = \ sin x + C $$ |
| Vii. | $$ \ frac (1) (\ cos ^ 2x) $$ | $$ \ textrm (tg) ~ x + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2x) = \ textrm (tg) ~ x + C $$ |
| VIII. | $$ \ frac (1) (\ sin ^ 2x) $$ | $$ - \ textrm (ctg) ~ x + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2x) = - \ textrm (ctg) ~ x + C $$ |
| IX. | $$ e ^ x $$ | $$ e ^ x + C $$ | $$ \ int e ^ xdx = e ^ x + C $$ |
| X. | $$ a ^ x $$ | $$ \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C $$ | $$ \ int a ^ xdx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C $$ |
| XI. | $$ \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ | $$ \ arcsin x + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ arcsin x + C $$ |
| XII. | $$ \ frac (1) (\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) $$ | $$ \ arcsin \ frac (x) (a) + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) = \ arcsin \ frac (x) (a) + C $$ |
| XIII. | $$ \ frac (1) (1 + x ^ 2) $$ | $$ \ textrm (arctg) ~ x + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2) = \ textrm (arctg) ~ x + C $$ |
| XIV. | $$ \ frac (1) (a ^ 2 + x ^ 2) $$ | $$ \ frac (1) (a) \ textrm (arctg) ~ \ frac (x) (a) + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (a ^ 2 + x ^ 2) = \ frac (1) (a) \ textrm (arctg) ~ \ frac (x) (a) + C $$ |
| XV. | $$ \ frac (1) (\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) $$ | $$ \ ln | x + \ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) | + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) = \ ln | x + \ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) | + C $$ |
| Xvi. | $$ \ frac (1) (x ^ 2-a ^ 2) ~ (a \ neq0) $$ | $$ \ frac (1) (2a) \ ln \ begin (vmatrix) \ frac (x-a) (x + a) \ end (vmatrix) + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (x ^ 2-a ^ 2) = \ frac (1) (2a) \ ln \ begin (vmatrix) \ frac (xa) (x + a) \ end (vmatrix) + C $$ |
| XVII. | $$ \ textrm (tg) ~ x $$ | $$ - \ ln | \ cos x | + C $$ | $$ \ int \ textrm (tg) ~ x ~ dx = - \ ln | \ cos x | + C $$ |
| Xviii. | $$ \ textrm (ctg) ~ x $$ | $$ \ ln | \ sin x | + C $$ | $$ \ int \ textrm (ctg) ~ x ~ dx = \ ln | \ sin x | + C $$ |
| XIX. | $$ \ frac (1) (\ sin x) $$ | $$ \ ln \ begin (vmatrix) \ textrm (tg) ~ \ frac (x) (2) \ end (vmatrix) + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ sin x) = \ ln \ begin (vmatrix) \ textrm (tg) ~ \ frac (x) (2) \ end (vmatrix) + C $$ |
| XX. | $$ \ frac (1) (\ cos x) $$ | $$ \ ln \ begin (vmatrix) \ textrm (tg) \ left (\ frac (x) (2) + \ frac (\ pi) (4) \ right) \ end (vmatrix) + C $$ | $$ \ int \ frac (dx) (\ cos x) = \ ln \ begin (vmatrix) \ textrm (tg) \ left (\ frac (x) (2) + \ frac (\ pi) (4) \ right ) \ dulo (vmatrix) + C $$ |
| Ang mga antiderivative at hindi tiyak na integral na ibinigay sa talahanayang ito ay karaniwang tinatawag mga tabular na antiderivative
at mga integral na tabular
. |
|||
Tiyak na integral
Hayaan ang pagitan [a; b] ibinibigay ang tuluy-tuloy na pag-andar y = f (x) , pagkatapos tiyak na integral mula a hanggang b mga function f (x) ay tinatawag na pagtaas ng antiderivative F (x) ang function na ito, iyon ay
$$ \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx = F (x) | (_a ^ b) = ~~ F (a) -F (b). $$
Numero a at b ay pinangalanan nang naaayon mas mababa at itaas mga limitasyon ng pagsasama.
Mga pangunahing tuntunin para sa pagkalkula ng isang tiyak na integral
1. \ (\ int_ (a) ^ (a) f (x) dx = 0 \);
2. \ (\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx = - \ int_ (b) ^ (a) f (x) dx \);
3. \ (\ int_ (a) ^ (b) kf (x) dx = k \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx, \) kung saan k - pare-pareho;
4. \ (\ int_ (a) ^ (b) (f (x) ± g (x)) dx = \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx ± \ int_ (a) ^ (b) g (x) dx \);
5. \ (\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx = \ int_ (a) ^ (c) f (x) dx + \ int_ (c) ^ (b) f (x) dx \) ;
6. \ (\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx = 2 \ int_ (0) ^ (a) f (x) dx \), kung saan f (x) - kahit na pag-andar;
7. \ (\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx = 0 \), kung saan f (x) Ay isang kakaibang function.
Magkomento ... Sa lahat ng kaso, ipinapalagay na ang mga integrand ay mapagsasama sa mga numerical na pagitan, ang mga hangganan nito ay ang mga limitasyon ng pagsasama.
Geometric at pisikal na kahulugan ng isang tiyak na integral
| Geometric na kahulugan tiyak na integral | Pisikal na pakiramdam
tiyak na integral |
 |  |
parisukat S curvilinear trapezoid (isang figure na nililimitahan ng graph ng tuluy-tuloy na positibo sa pagitan [a; b] mga function f (x) , aksis baka at tuwid x = a , x = b ) ay kinakalkula ng formula $$ S = \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx. $$ | Paraan s, na nalampasan ng materyal na punto, gumagalaw sa isang tuwid na linya na may bilis na nag-iiba ayon sa batas v (t)
, para sa pagitan ng oras a ;
b], pagkatapos ay ang lugar ng figure, na limitado ng mga graph ng mga function na ito at mga tuwid na linya x = a
, x = b
, kinakalkula ng formula $$ S = \ int_ (a) ^ (b) (f (x) -g (x)) dx. $$ |
 | Halimbawa. Kinakalkula namin ang lugar ng figure, limitado ng mga linya y = x 2 at y = 2- x . Ilarawan natin sa eskematiko ang mga graph ng mga function na ito at i-highlight ang hugis na ang lugar ay makikita sa ibang kulay. Upang mahanap ang mga limitasyon ng pagsasama, lutasin namin ang equation: x 2 = 2- x ; x 2 + x - 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$ S = \ int _ (- 2) ^ (1) ((2-x) -x ^ 2) dx = $$ |
$$ = \ int _ (- 2) ^ (1) (2-xx ^ 2) dx = \ kaliwa (2x- \ frac (x ^ 2) (2) - \ frac (x ^ 3) (2) \ kanan ) \ bigm | (_ (- 2) ^ (~ 1)) = 4 \ frac (1) (2). $$ ◄ |
|
Dami ng isang katawan ng rebolusyon
 | Kung ang katawan ay nakuha bilang isang resulta ng pag-ikot tungkol sa axis baka curvilinear trapezoid bounded ng graph ng tuloy-tuloy at di-negatibo sa pagitan [a; b] mga function y = f (x) at tuwid x = a at x = b pagkatapos ito ay tinatawag katawan ng rebolusyon . Ang dami ng isang katawan ng rebolusyon ay kinakalkula ng formula $$ V = \ pi \ int_ (a) ^ (b) f ^ 2 (x) dx. $$ Kung ang katawan ng rebolusyon ay nakuha bilang isang resulta ng pag-ikot ng isang figure na nakatali sa itaas at ibaba ng mga graph ng mga function y = f (x) at y = g (x) , ayon sa pagkakabanggit, pagkatapos $$ V = \ pi \ int_ (a) ^ (b) (f ^ 2 (x) -g ^ 2 (x)) dx. $$ |
 | Halimbawa. Kinakalkula namin ang dami ng isang kono na may radius r
at taas h
. Ilagay ang kono sa isang rectangular coordinate system upang ang axis nito ay tumutugma sa axis baka
, at ang gitna ng base ay nasa pinanggalingan. Pag-ikot ng generator AB tumutukoy sa isang kono. Mula noong equation AB $$ \ frac (x) (h) + \ frac (y) (r) = 1, $$ $$ y = r- \ frac (rx) (h) $$ |
| at para sa dami ng kono na mayroon kami $$ V = \ pi \ int_ (0) ^ (h) (r- \ frac (rx) (h)) ^ 2dx = \ pi r ^ 2 \ int_ (0) ^ (h) (1- \ frac ( x) (h)) ^ 2dx = - \ pi r ^ 2h \ cdot \ frac ((1- \ frac (x) (h)) ^ 3) (3) | (_0 ^ h) = - \ pi r ^ 2h \ kaliwa (0- \ frac (1) (3) \ right) = \ frac (\ pi r ^ 2h) (3). $$ ◄ |
|
Antiderivative function f (x) sa gitna (a; b) tinatawag ang naturang function F (x) na ang pagkakapantay-pantay ay taglay para sa alinman NS mula sa isang ibinigay na pagitan.
Isinasaalang-alang ang katotohanan na ang derivative ng pare-pareho SA ay katumbas ng zero, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay totoo. Kaya ang function f (x) ay may maraming antiderivatives F (x) + C, para sa isang arbitrary na pare-pareho SA, at ang mga antiderivative na ito ay naiiba sa isa't isa sa pamamagitan ng arbitrary na pare-parehong halaga.
Kahulugan ng isang hindi tiyak na integral.
Ang buong hanay ng mga antiderivatives f (x) ay tinatawag na indefinite integral ng function na ito at denoted 
.
Ang ekspresyon ay tinatawag integrand, a f (x) – pagsasama at pag-andar... Ang integrand ay ang kaugalian ng function f (x).
Ang aksyon ng paghahanap ng hindi kilalang function para sa isang naibigay na kaugalian ay tinatawag hindi sigurado integration, dahil ang resulta ng integration ay higit sa isang function F (x), at marami sa mga antiderivative nito F (x) + C.
Ang geometriko na kahulugan ng hindi tiyak na integral. Ang graph ng antiderivative D (x) ay tinatawag na integral curve. Sa x0y coordinate system, ang mga graph ng lahat ng antiderivatives ng isang ibinigay na function ay kumakatawan sa isang pamilya ng mga curve na nakadepende sa halaga ng constant C at nakukuha mula sa isa't isa sa pamamagitan ng parallel shift kasama ang 0y axis. Para sa halimbawang tinalakay sa itaas, mayroon kaming:
J 2 x ^ x = x2 + C.
Ang pamilya ng mga antiderivatives (x + C) ay geometriko na binibigyang kahulugan bilang isang set ng mga parabola.
Kung kailangan ng isang tao na makahanap ng isa sa pamilya ng mga antiderivatives, pagkatapos ay itinakda ang mga karagdagang kundisyon na ginagawang posible upang matukoy ang pare-parehong C. Karaniwan, para sa layuning ito, ang mga paunang kondisyon ay itinakda: para sa halaga ng argumento x = x0, ang function ay may halaga D (x0) = y0.
Halimbawa. Kinakailangang hanapin ang sa mga antiderivatives ng function na y = 2 x, na kumukuha ng value na 3 sa x0 = 1.
Ang gustong antiderivative: D (x) = x2 + 2.
Solusyon. ^ 2x ^ x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.
2. Mga pangunahing katangian ng di-tiyak na integral
1. Ang derivative ng indefinite integral ay katumbas ng integrand:
2. Ang differential ng hindi tiyak na integral ay katumbas ng integrand:
3. Ang hindi tiyak na integral ng differential ng ilang function ay katumbas ng kabuuan ng mismong function na ito at isang arbitrary na pare-pareho:
4. Ang pare-parehong salik ay maaaring alisin sa integral sign:
5. Ang integral ng kabuuan (difference) ay katumbas ng kabuuan (difference) ng mga integral:
6. Ang property ay isang kumbinasyon ng mga katangian 4 at 5:
7. Pag-aari ng invariance ng hindi tiyak na integral:
Kung 
, pagkatapos
8. Ari-arian:
Kung 
, pagkatapos
Sa katunayan, ang pag-aari na ito ay isang espesyal na kaso ng pagsasama gamit ang paraan ng pagbabago ng variable, na tinalakay nang mas detalyado sa susunod na seksyon.
Isaalang-alang natin ang isang halimbawa:
3. Paraan ng pagsasama, kung saan ang integral na ito ay nabawasan sa isa o higit pang mga tabular integral sa pamamagitan ng magkaparehong pagbabago ng integrand (o expression) at ang paggamit ng mga katangian ng hindi tiyak na integral, ay tinatawag direktang pagsasama... Kapag binabawasan ang integral na ito sa isang tabular integral, ang mga sumusunod na pagbabago ng kaugalian ay madalas na ginagamit (ang operasyon " palatandaan ng kaugalian»):
Sa pangkalahatan, f '(u) du = d (f (u)). ito (ang formula ay kadalasang ginagamit kapag kinakalkula ang mga integral.
Hanapin ang integral
Solusyon. Gagamitin namin ang mga katangian ng integral at bawasan ang integral na ito sa ilang mga tabular.
4. Pagsasama sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit.
Ang kakanyahan ng pamamaraan ay ang pagpapakilala namin ng isang bagong variable, ipahayag ang integrand sa pamamagitan ng variable na ito, bilang isang resulta, dumating kami sa tabular (o mas simple) na anyo ng integral.
Kadalasan, nakakatulong ang paraan ng pagpapalit kapag isinasama ang mga function at function ng trigonometriko sa mga radical.
Halimbawa.
Hanapin ang hindi tiyak na integral 
.
Solusyon.
Magpakilala tayo ng bagong variable. Ipahayag natin NS sa kabila z:
Pinapalitan namin ang nakuhang mga expression sa orihinal na integral: 
Mula sa talahanayan ng mga antiderivatives na mayroon kami 
.
Ito ay nananatiling bumalik sa orihinal na variable NS:
Sagot:
Kahulugan ng antiderivative.
Ang antiderivative ng isang function na f (x) sa pagitan (a; b) ay isang function na F (x) kung saan ang pagkakapantay-pantay para sa alinmang x mula sa isang ibinigay na pagitan.
Kung isasaalang-alang natin ang katotohanan na ang derivative ng pare-parehong С ay katumbas ng zero, kung gayon ang pagkakapantay-pantay 
... Kaya, ang function na f (x) ay may isang hanay ng mga antiderivatives F (x) + C, para sa isang di-makatwirang constant C, at ang mga antiderivative na ito ay naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng isang arbitrary na pare-parehong halaga.
Kahulugan ng isang hindi tiyak na integral.
Ang buong hanay ng mga antiderivatives ng isang function na f (x) ay tinatawag na hindi tiyak na integral ng function na ito at tinutukoy 
.
Ang ekspresyon ay tinatawag integrand, at f (x) - pagsasama at pag-andar... Ang integrand ay ang differential ng function na f (x).
Ang aksyon ng paghahanap ng hindi kilalang function para sa isang naibigay na kaugalian ay tinatawag hindi sigurado integration, dahil ang resulta ng integration ay hindi isang function F (x), ngunit ang set ng mga antiderivatives nito F (x) + C.
Batay sa mga katangian ng derivative, posible na bumalangkas at patunayan hindi tiyak na integral na mga katangian(mga katangian ng antiderivative).
Ang mga intermediate na pagkakapantay-pantay ng una at pangalawang katangian ng hindi tiyak na integral ay ibinibigay para sa paglilinaw.
Upang patunayan ang pangatlo at ikaapat na katangian, sapat na upang mahanap ang mga derivatives ng kanang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay: 
Ang mga derivatives na ito ay katumbas ng mga integrand, na siyang patunay sa bisa ng unang pag-aari. Ginagamit din ito sa mga huling transition.
Kaya, ang problema sa pagsasama ay kabaligtaran ng problema sa pagkita ng kaibhan, at mayroong napakalapit na koneksyon sa pagitan ng mga problemang ito:
- ang unang pag-aari ay nagpapahintulot sa isa na suriin ang pagsasama. Upang suriin ang kawastuhan ng isinagawa na pagsasama, sapat na upang kalkulahin ang hinango ng nakuha na resulta. Kung ang function na nakuha bilang isang resulta ng pagkita ng kaibhan ay lumabas na katumbas ng integrand, ito ay nangangahulugan na ang pagsasama ay natupad nang tama;
- ang pangalawang pag-aari ng indefinite integral ay nagpapahintulot sa isa na mahanap ang antiderivative nito mula sa kilalang kaugalian ng function. Ang direktang pagkalkula ng mga indefinite integral ay batay sa property na ito.
Tingnan natin ang isang halimbawa.
Halimbawa.
Hanapin ang antiderivative ng isang function na ang halaga ay katumbas ng isa sa x = 1.
Solusyon.
Alam namin mula sa differential calculus, Ano 
(tingnan lamang ang talahanayan ng mga derivatives ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya). kaya, 
... Sa pamamagitan ng pangalawang pag-aari 
... Ibig sabihin, marami tayong antiderivatives. Para sa x = 1, nakukuha namin ang halaga. Ayon sa kundisyon, ang halagang ito ay dapat na katumbas ng isa, samakatuwid, C = 1. Ang nais na antiderivative ay kukuha ng anyo.
Halimbawa.
Hanapin ang hindi tiyak na integral 
at suriin ang resulta sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan.
Solusyon.
Double angle sine formula mula sa trigonometry 
, samakatuwid 
Mas maaga, para sa isang naibigay na function, na ginagabayan ng iba't ibang mga formula at panuntunan, nakita namin ang derivative nito. Ang derivative ay may maraming mga aplikasyon: ito ay ang bilis ng paggalaw (o, sa pangkalahatan, ang bilis ng anumang proseso); ang slope ng tangent sa graph ng function; gamit ang derivative, maaari mong siyasatin ang function para sa monotonicity at extrema; nakakatulong ito upang malutas ang mga problema sa pag-optimize.
Ngunit kasama ng problema sa paghahanap ng bilis ayon sa kilalang batas ng paggalaw, mayroon ding kabaligtaran na problema - ang problema ng pagpapanumbalik ng batas ng paggalaw mula sa isang kilalang bilis. Isaalang-alang natin ang isa sa mga gawaing ito.
Halimbawa 1. Ang isang materyal na punto ay gumagalaw sa isang tuwid na linya, ang bilis ng paggalaw nito sa oras na t ay ibinibigay ng formula na v = gt. Hanapin ang batas ng paggalaw.
Solusyon. Hayaan ang s = s (t) ang kinakailangang batas ng paggalaw. Ito ay kilala na s "(t) = v (t). Kaya, upang malutas ang problema ito ay kinakailangan upang pumili ng isang function na s = s (t), ang hinango nito ay katumbas ng gt. Madaling hulaan na \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \).
\ (s "(t) = \ kaliwa (\ frac (gt ^ 2) (2) \ right)" = \ frac (g) (2) (t ^ 2) "= \ frac (g) (2) \ cdot 2t = gt \)
Sagot: \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \)
Tandaan kaagad na ang halimbawa ay nalutas nang tama, ngunit hindi kumpleto. Nakuha namin ang \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \). Sa katunayan, ang problema ay may walang katapusang maraming solusyon: anumang function ng form na \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) + C \), kung saan ang C ay isang arbitrary na pare-pareho, ay maaaring magsilbi bilang isang batas ng galaw, dahil \ (\ kaliwa (\ frac (gt ^ 2) (2) + C \ right) "= gt \)
Upang gawing mas tiyak ang problema, kinailangan naming ayusin ang unang sitwasyon: ipahiwatig ang coordinate ng isang gumagalaw na punto sa ilang sandali, halimbawa, sa t = 0. Kung, sabihin, s (0) = s 0, pagkatapos ay mula sa ang pagkakapantay-pantay na s (t) = (gt 2) / 2 + C ay nakuha natin: s (0) = 0 + C, ibig sabihin, C = s 0. Ngayon ang batas ng paggalaw ay kakaibang tinutukoy: s (t) = (gt 2) / 2 + s 0.
Sa matematika, ang magkabilang kabaligtaran na mga operasyon ay itinalaga ng iba't ibang mga pangalan, nagkakaroon sila ng espesyal na notasyon, halimbawa: squaring (x 2) at extracting parisukat na ugat(\ (\ sqrt (x) \)), sine (sin x) at arcsine (arcsin x), atbp. Ang proseso ng paghahanap ng derivative na may kinalaman sa isang ibinigay na function ay tinatawag pagkakaiba-iba, at ang inverse operation, ibig sabihin, ang proseso ng paghahanap ng function mula sa isang binigay na derivative, ay pagsasama-sama.
Ang terminong "derivative" mismo ay maaaring bigyang-katwiran "sa pang-araw-araw na buhay": ang function na y = f (x) "gumagawa" ng isang bagong function na y "= f" (x). Ang function na y = f (x) ay gumaganap bilang isang "magulang", ngunit ang mga mathematician, siyempre, ay hindi tinatawag itong "magulang" o "producer", sinasabi nila na ito ay, na may kaugnayan sa function na y "= f" ( x), pangunahing larawan, o antiderivative.
Kahulugan. Ang function na y = F (x) ay tinatawag na antiderivative para sa function na y = f (x) sa pagitan ng X kung para sa \ (x \ sa X \) ang pagkakapantay-pantay F "(x) = f (x)
Sa pagsasagawa, ang interval X ay karaniwang hindi ipinahiwatig, ngunit ipinahiwatig (bilang natural na domain ng function).
Narito ang ilang mga halimbawa.
1) Ang function na y \ u003d x 2 ay ang antiderivative para sa function na y \ u003d 2x, dahil para sa alinmang x ang pagkakapantay-pantay (x 2) "= 2x
2) Ang function na y \ u003d x 3 ay ang antiderivative para sa function na y \ u003d 3x 2, dahil para sa alinmang x ang pagkakapantay-pantay (x 3) "\ u003d 3x 2
3) Ang function na y = sin (x) ay ang antiderivative para sa function na y = cos (x), dahil para sa alinmang x ang pagkakapantay-pantay (sin (x)) "= cos (x)
Kapag naghahanap ng mga antiderivative, tulad ng mga derivative, hindi lamang mga formula ang ginagamit, kundi pati na rin ang ilang mga panuntunan. Direktang nauugnay ang mga ito sa kaukulang mga tuntunin sa pagkalkula ng derivative.
Alam natin na ang derivative ng sum ay katumbas ng sum ng derivatives. Ang panuntunang ito ay nagbibigay ng kaukulang panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative.
Panuntunan 1. Ang antiderivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga antiderivatives.
Alam natin na ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative. Ang panuntunang ito ay nagbibigay ng kaukulang panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivatives.
Panuntunan 2. Kung ang F (x) ay ang antiderivative para sa f (x), kung gayon ang kF (x) ay ang antiderivative para sa kf (x).
Teorama 1. Kung ang y = F (x) ay ang antiderivative para sa function na y = f (x), kung gayon ang antiderivative para sa function na y = f (kx + m) ay ang function na \ (y = \ frac (1) (k) F (kx + m) \)
Teorama 2. Kung ang y = F (x) ay ang antiderivative para sa function na y = f (x) sa interval X, kung gayon ang function na y = f (x) ay may walang katapusang maraming antiderivatives, at lahat sila ay may anyo na y = F (x) + C.
Mga pamamaraan ng pagsasama
Paraan ng Pagpapalit ng Variable (Paraan ng Pagpapalit)
Ang paraan ng pagsasama sa pamamagitan ng pagpapalit ay binubuo sa pagpapakilala ng isang bagong variable ng pagsasama (iyon ay, pagpapalit). Sa kasong ito, ang ibinigay na integral ay binabawasan sa isang bagong integral, na tabular o mababawasan dito. Pangkalahatang pamamaraan walang kapalit na laban. Ang kakayahang makilala nang tama ang pagpapalit ay nakuha sa pamamagitan ng pagsasanay.
Hayaang kailanganin na kalkulahin ang integral \ (\ textstyle \ int F (x) dx \). Gawin natin ang pagpapalit na \ (x = \ varphi (t) \) kung saan ang \ (\ varphi (t) \) ay isang function na may tuluy-tuloy na derivative.
Pagkatapos ay \ (dx = \ varphi "(t) \ cdot dt \) at batay sa invariance property ng integration formula para sa indefinite integral, nakuha namin ang integration formula sa pamamagitan ng substitution:
\ (\ int F (x) dx = \ int F (\ varphi (t)) \ cdot \ varphi "(t) dt \)
Pagsasama ng mga expression tulad ng \ (\ textstyle \ int \ sin ^ n x \ cos ^ m x dx \)
Kung ang m ay kakaiba, m> 0, kung gayon ito ay mas maginhawa upang palitan ang sin x = t.
Kung ang n ay kakaiba, n> 0, kung gayon mas maginhawang gawin ang pagpapalit ng cos x = t.
Kung ang n at m ay pantay, kung gayon mas maginhawang gawin ang pagpapalit ng tg x = t.
Pagsasama-sama ng bawat piraso
Pagsasama ayon sa mga Bahagi - Paglalapat ng sumusunod na formula para sa pagsasama:
\ (\ textstyle \ int u \ cdot dv = u \ cdot v - \ int v \ cdot du \)
o:
\ (\ textstyle \ int u \ cdot v "\ cdot dx = u \ cdot v - \ int v \ cdot u" \ cdot dx \)