Talahanayan ng mga antiderivative

Kahulugan. Ang function na F (x) sa isang ibinigay na pagitan ay tinatawag na antiderivative para sa function na f (x), para sa lahat ng x mula sa pagitan na ito, kung F "(x) = f (x).

Ang operasyon ng paghahanap ng antiderivative para sa isang function ay tinatawag pagsasama-sama... Ito ang kabaligtaran ng operasyon ng pagkita ng kaibhan.

Teorama. Anumang tuluy-tuloy na function (x) sa isang pagitan ay may isang antiderivative sa parehong pagitan.

Theorem (ang pangunahing pag-aari ng antiderivative). Kung sa ilang pagitan ang function na F (x) ay ang antiderivative para sa function na f (x), kung gayon sa interval na ito ang antiderivative para sa f (x) ay magiging function F (x) + C, kung saan ang C ay isang arbitrary na pare-pareho. .

Ito ay sumusunod mula sa teorama na ito na kapag ang f (x) ay may isang antiderivative function na F (x) sa isang naibigay na pagitan, kung gayon ang mga primitive na ito ay itinakda. Sa pamamagitan ng paglakip ng C arbitrary mga numerong halaga, sa bawat oras na makakatanggap kami ng isang antiderivative function.

Upang mahanap ang paggamit ng mga antiderivative talahanayan ng mga antiderivatives... Ito ay nakuha mula sa isang talahanayan ng mga derivatives.

Ang konsepto ng isang hindi tiyak na integral

Kahulugan. Ang koleksyon ng lahat ng antiderivatives para sa function na f (x) ay tinatawag hindi tiyak na integral at ipinahihiwatig ng.

Bukod dito, f (x) ay tinatawag pagsasama at pag-andar, at f (x) dx - integrand.

Samakatuwid, kung ang F (x), ay ang antiderivative para sa f (x), kung gayon .

Mga hindi tiyak na integral na katangian

Depinitibong integral na konsepto

Isipin mo patag na pigura, nililimitahan ng graph ng tuloy-tuloy at hindi negatibo sa segment [a; b] ng function na f (x), ang segment [a; b], at mga tuwid na linya x = a at x = b.

Ang resultang figure ay tinatawag hubog na trapezoid... Kalkulahin natin ang lawak nito.

Para dito hinati namin ang segment [a; b] sa n pantay na mga segment. Ang mga haba ng bawat isa sa mga segment ay katumbas ng Δx.

Ito ay isang dinamikong pagguhit ng GeoGebra.
Maaaring mapalitan ang mga pulang item

kanin. 1. Ang konsepto ng isang tiyak na integral

Sa bawat segment, bumuo ng mga parihaba na may taas f (x k-1) (Larawan 1).

Ang lugar ng bawat parihaba ay S k = f (x k-1) Δx k.

Ang lugar ng lahat ng naturang mga parihaba ay .

Ang halagang ito ay tinatawag integral sum para sa function na f (x).

Kung n → ∞, kung gayon ang lugar ng figure na itinayo sa ganitong paraan ay magiging mas kaunti at hindi gaanong naiiba mula sa lugar ng curved trapezoid.

Kahulugan. Ang hangganan ng integral sum kapag n → ∞ ay tinatawag tiyak na integral, at nakasulat tulad nito: .

nagbabasa: "integral ng a hanggang b f ng xdx"

Ang bilang a ay tinatawag na mas mababang limitasyon ng pagsasama, b - itaas na limitasyon integration, segment [a; b] - ang pagitan ng pagsasama.

Mga katangian ng tiyak na integral

Formula ng Newton-Leibniz

Ang tiyak na integral ay malapit na nauugnay sa antiderivative at hindi tiyak na integral sa pamamagitan ng Newton-Leibniz formula

.

Paggamit ng integral

Ang integral calculus ay malawakang ginagamit sa paglutas ng iba't ibang praktikal na problema. Tingnan natin ang ilan sa kanila.

Pagkalkula ng mga volume ng katawan

Hayaang magbigay ng function na nagtatakda ng cross-sectional area ng katawan depende sa ilang variable S = s (x), x [a; b]. Pagkatapos ang dami ng isang ibinigay na katawan ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagsasama ng function na ito sa loob ng naaangkop na mga limitasyon.
Kung bibigyan tayo ng katawan na nakukuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng curvilinear trapezoid sa paligid ng Ox axis na nililimitahan ng ilang function f (x), x [a; b]. (Larawan 3). Pagkatapos ay maaaring kalkulahin ang mga cross-sectional na lugar gamit ang kilalang formula S = π f 2 (x). Samakatuwid, ang pormula para sa dami ng naturang katawan ng rebolusyon

Antiderivative.

Ang antiderivative ay madaling maunawaan sa isang halimbawa.

Magsagawa tayo ng isang function y = x 3. Tulad ng alam natin mula sa mga nakaraang seksyon, nagmula sa NS 3 ay 3 NS 2:

(NS 3)" = 3NS 2 .

Samakatuwid, mula sa pag-andar y = x 3 nakakakuha tayo ng bagong function: sa = 3NS 2 .
Sa matalinghagang pagsasalita, ang pag-andar sa = NS 3 fired function sa = 3NS 2 at ang "magulang" nito. Sa matematika, walang salitang "magulang", ngunit may kaugnay na konsepto: antiderivative.

Iyon ay: function y = x Ang 3 ay ang antiderivative para sa function sa = 3NS 2 .

Kahulugan ng antiderivative:

Sa aming halimbawa ( NS 3)" = 3NS 2, samakatuwid y = x 3 - antiderivative para sa sa = 3NS 2 .

Pagsasama.

Tulad ng alam mo, ang proseso ng paghahanap ng derivative na may paggalang sa isang ibinigay na function tinatawag na differentiation. At ang kabaligtaran na operasyon ay tinatawag na pagsasama.

Halimbawa ng paglilinaw:

sa = 3NS 2 + kasalanan x.

Solusyon :

Alam namin na ang antiderivative para sa 3 NS 2 ay NS 3 .

Antiderivative para sa kasalanan x ay –cos x.

Magdagdag ng dalawang antiderivative at kunin ang antiderivative para sa ibinigay na function:

y = x 3 + (–cos x),

y = x 3 - cos x.

Sagot:
para sa function sa = 3NS 2 + kasalanan x y = x 3 - cos x.

Halimbawa ng paglilinaw:

Hanapin ang antiderivative para sa function sa= 2 kasalanan x.

Solusyon :

Tandaan na k = 2. Ang antiderivative para sa kasalanan x ay –cos x.

Samakatuwid, para sa pag-andar sa= 2 kasalanan x ang antiderivative ay ang function sa= –2 cos x.
Coefficient 2 sa function y = 2 sin x tumutugma sa koepisyent ng antiderivative kung saan nabuo ang function na ito.

Halimbawa ng paglilinaw:

Hanapin ang antiderivative para sa function y= kasalanan 2 x.

Solusyon :

Tandaan na k= 2. Antiderivative para sa kasalanan x ay –cos x.

Inilapat namin ang aming formula kapag naghahanap ng antiderivative para sa function y= cos 2 x:

1
y= - · (–cos 2 x),
2

dahil 2 x
y = – ----
2

dahil 2 x
Sagot: para sa function y= kasalanan 2 x ang antiderivative ay ang function y = – ----
2

(4)

Halimbawa ng paglilinaw.

Kunin natin ang function mula sa nakaraang halimbawa: y= kasalanan 2 x.

Para sa function na ito, ang lahat ng antiderivatives ay:

dahil 2 x
y = – ---- + C.
2

Paliwanag.

Kunin natin ang unang linya. Ito ay nagbabasa ng ganito: kung ang function na y = f ( x) ay katumbas ng 0, at ang antiderivative para dito ay 1. Bakit? Dahil ang nagmula na yunit ay zero: 1 "= 0.

Ang natitirang mga linya ay binabasa sa parehong pagkakasunud-sunod.

Paano isulat ang data mula sa isang talahanayan? Kunin natin ang ikawalong linya:

(-cos x) "= kasalanan x

Isinulat namin ang pangalawang bahagi na may derivative sign, pagkatapos ay ang equal sign at derivative.

Mababasa natin: ang antiderivative para sa function ng kasalanan x ay ang -cos function x.

O: ang -cos function x ay ang antiderivative para sa kasalanan x.

Dokumento

Ilang pagitan X. Kung para sa anumang хХ F "(x) = f (x), pagkatapos function F tinawagantiderivativepara samga function f sa pagitan ng X. Antiderivativepara samga function subukan mong hanapin...

Antiderivative para sa isang function

Dokumento

... . Function F (x) tinawagantiderivativepara samga function f (x) sa pagitan (a; b), kung para sa sa lahat ng x (a; b) ang pagkakapantay-pantay na hawak ng F (x) = f (x). Halimbawa, para samga function x2 antiderivative kalooban function x3 ...

Mga Pangunahing Gabay sa Pag-aaral ng Integral Calculus

Pagtuturo

...; 5. Hanapin ang integral. ; B); C); D); 6. Functiontinawagantiderivative Upang mga function sa set kung: para sa lahat; sa ilang mga punto; para sa lahat; sa ilang ... pagitan. Kahulugan 1. Functiontinawagantiderivativepara samga function sa set,...

Antiderivative Indefinite integral

Dokumento

Pagsasama. Antiderivative... Tuloy-tuloy function F (x) tinawagantiderivativepara samga function f (x) sa pagitan ng X kung para sa bawat F '(x) = f (x). HALIMBAWA Function F (x) = x 3 ay antiderivativepara samga function f (x) = 3x ...

ESPESYAL NA EDUKASYON NG USSR Inaprubahan ng Educational-Methodological Directorate para sa Mas Mataas na Edukasyon MGA HIGHER MATHEMATICS METHODOLOGICAL INSTRUCTIONS AND TEST TASKS (WITH THE PROGRAM) para sa part-time na mga mag-aaral ng engineering at teknikal na mga specialty

Mga tagubilin sa pamamaraan

Mga tanong para sa self-test Define antiderivativemga function... Ipahiwatig ang geometric na kahulugan ng pinagsama-samang antiderivativesmga function... Ano tinawag hindi sigurado...

Target:

• Pagbuo ng konsepto ng antiderivative.
• Paghahanda para sa pang-unawa ng integral.
• Pagbuo ng mga kasanayan sa computational.
• Pagpapatibay ng isang pakiramdam ng kagandahan (ang kakayahang makita ang kagandahan sa hindi pangkaraniwang).

Ang pagsusuri sa matematika ay isang hanay ng mga seksyon ng matematika na nakatuon sa pag-aaral ng mga function at ang kanilang mga generalization sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng differential at integral calculus.

Hanggang ngayon, pinag-aralan namin ang isang seksyon ng mathematical analysis na tinatawag na differential calculus, ang esensya nito ay ang pag-aaral ng isang function sa "maliit".

Yung. pagsisiyasat ng isang function sa sapat na maliliit na kapitbahayan ng bawat punto ng kahulugan. Ang isa sa mga operasyon ng pagkita ng kaibhan ay ang paghahanap ng derivative (differential) at paglalapat nito sa pag-aaral ng mga function.

Ang kabaligtaran na problema ay hindi gaanong mahalaga. Kung ang pag-uugali ng isang function sa paligid ng bawat punto ng kahulugan nito ay kilala, kung gayon kung paano ibalik ang function sa kabuuan, i.e. sa buong lugar ng kahulugan nito. Ang problemang ito ay paksa ng pag-aaral ng tinatawag na integral calculus.

Ang pagsasama ay ang kabaligtaran ng pagkakaiba-iba. O pagbawi ng function na f (x) mula sa ibinigay na derivative f` (x). Ang salitang Latin na "integro" ay nangangahulugang pagpapanumbalik.

Halimbawa # 1.

Hayaan ang (x) `= 3x 2.
Hanapin ang f (x).

Solusyon:

Batay sa tuntunin ng pagkita ng kaibhan, madaling hulaan na f (x) = x 3, dahil (x 3) `= 3x 2
Gayunpaman, madaling makita na ang f (x) ay matatagpuan nang hindi maliwanag.
Bilang f (x) maaari nating kunin
f (x) = x 3 +1
f (x) = x 3 +2
f (x) = x 3 -3, atbp.

Dahil ang derivative ng bawat isa sa kanila ay 3x 2. (Ang derivative ng pare-pareho ay 0). Ang lahat ng mga function na ito ay naiiba sa bawat isa sa isang pare-parehong termino. kaya lang karaniwang desisyon ang mga gawain ay maaaring isulat sa anyong f (x) = x 3 + C, kung saan ang C ay anumang pare-parehong tunay na numero.

Ang alinman sa mga nahanap na function f (x) ay tinatawag PRIMARY para sa function F` (x) = 3x 2

Kahulugan. Ang function na F (x) ay tinatawag na antiderivative para sa function na f (x) sa isang ibinigay na interval J, kung para sa lahat ng x mula sa interval na ito F` (x) = f (x). Kaya ang function na F (x) = x 3 ay ang antiderivative para sa f (x) = 3x 2 sa (- ∞; ∞).
Dahil, para sa lahat ng x ~ R, ang pagkakapantay-pantay ay totoo: F` (x) = (x 3) `= 3x 2

Tulad ng nabanggit na natin, ang function na ito ay may walang katapusang bilang ng mga antiderivatives (tingnan ang halimbawa # 1).

Halimbawa Blg. 2. Ang function na F (x) = x ay ang antiderivative para sa lahat ng f (x) = 1 / x sa pagitan (0; +), dahil para sa lahat ng x mula sa agwat na ito, nananatili ang pagkakapantay-pantay.
F` (x) = (x 1/2) `= 1 / 2x -1/2 = 1 / 2x

Halimbawa Blg. 3. Ang function na F (x) = tg3x ay ang antiderivative para sa f (x) = 3 / cos3x sa pagitan (-n / 2; NS/ 2),
mula noon F` (x) = (tg3x) `= 3 / cos 2 3x

Halimbawa Blg. 4. Function F (x) = 3sin4x + 1 / x-2 antiderivative para sa f (x) = 12cos4x-1 / x 2 sa pagitan (0; ∞)
mula noon F` (x) = (3sin4x) + 1 / x-2) `= 4cos4x-1 / x 2

Lektura 2.

Paksa: Antiderivative. Ang pangunahing pag-aari ng antiderivative function.

Kapag pinag-aaralan ang antiderivative, aasa tayo sa sumusunod na pahayag. Ang criterion para sa constancy ng function: Kung sa interval J ang derivative Ψ (x) ng function ay katumbas ng 0, kung gayon sa interval na ito ang function na Ψ (x) ay pare-pareho.

Ang pahayag na ito ay maaaring ipakita sa geometriko.

Alam na ang Ψ` (x) = tanα, γde ang α-angle ng inclination ng tangent sa graph ng function na Ψ (x) sa isang punto na may abscissa x 0. Kung Ψ` (υ) = 0 sa anumang punto ng interval J, kung gayon ang tanα = 0 δ para sa anumang linyang padaplis sa graph ng function na Ψ (x). Nangangahulugan ito na ang tangent sa graph ng function sa anumang punto ay parallel sa abscissa axis. Samakatuwid, sa ipinahiwatig na pagitan, ang graph ng function na Ψ (x) ay tumutugma sa segment ng tuwid na linya na y = C.

Kaya, ang function na f (x) = c ay pare-pareho sa interval J kung f` (x) = 0 sa interval na ito.

Sa katunayan, para sa di-makatwirang х 1 at х 2 mula sa pagitan ng J, ayon sa theorem sa ibig sabihin ng halaga ng isang function, maaari naming isulat:
f (x 2) - f (x 1) = f` (c) (x 2 - x 1), dahil f` (c) = 0, pagkatapos f (x 2) = f (x 1)

Theorem: (Ang pangunahing katangian ng antiderivative function)

Kung ang F (x) ay isa sa mga antiderivatives para sa function na f (x) sa interval J, kung gayon ang hanay ng lahat ng antiderivatives ng function na ito ay may anyo: F (x) + С, kung saan ang С ay anumang tunay na numero.

Patunay:

Hayaan ang F` (x) = f (x), pagkatapos (F (x) + C) `= F` (x) + C` = f (x), para sa x Є J.
Ipagpalagay na mayroong Φ (x) - isa pang antiderivative para sa f (x) sa pagitan ng J, i.e. Φ` (x) = f (x),
pagkatapos (Φ (x) - F (x)) `= f (x) - f (x) = 0, para sa x Є J.
Nangangahulugan ito na ang Φ (x) - F (x) ay pare-pareho sa pagitan ng J.
Samakatuwid, Φ (x) - F (x) = C.
Saan Φ (x) = F (x) + C.
Nangangahulugan ito na kung ang F (x) ay ang antiderivative para sa function na f (x) sa pagitan ng J, kung gayon ang hanay ng lahat ng antiderivatives ng function na ito ay may anyo: F (x) + С, kung saan ang С ay anumang tunay na numero.
Dahil dito, ang anumang dalawang antiderivative ng isang ibinigay na function ay naiiba sa isa't isa sa pamamagitan ng isang pare-parehong termino.

Halimbawa: Hanapin ang hanay ng mga antiderivatives ng function na f (x) = cos x. Iguhit ang mga graph ng unang tatlo.

Solusyon: Sin x - isa sa mga antiderivatives para sa function na f (x) = cos x
F (х) = Sin х + С –set ng lahat ng antiderivatives.

F 1 (x) = Kasalanan x-1
F 2 (x) = Kasalanan x
F 3 (x) = Sin x + 1

Geometric na paglalarawan: Ang graph ng anumang antiderivative F (x) + C ay maaaring makuha mula sa graph ng antiderivative F (x) gamit ang parallel translation r (0; c).

Halimbawa: Para sa function na f (x) = 2x, hanapin ang antiderivative, ang graph na dumadaan sa point M (1; 4)

Solusyon: Ang F (x) = x 2 + C ay ang set ng lahat ng antiderivatives, F (1) = 4 - sa pamamagitan ng pahayag ng problema.
Samakatuwid, 4 = 1 2 + C
C = 3
F (x) = x 2 +3

Ang tutorial na ito ay ang una sa isang serye ng mga video sa pagsasama. Sa loob nito ay susuriin natin kung ano ang antiderivative ng isang function, at pag-aaralan din ang mga elementarya na pamamaraan para sa pagkalkula ng mga antiderivative na ito.

Sa katunayan, walang kumplikado dito: sa esensya, ang lahat ay nagmumula sa konsepto ng isang derivative, kung saan dapat ay pamilyar ka na. :)

Napansin ko kaagad na, dahil ito ang pinakaunang aralin sa ating bagong paksa, ngayon ay walang mga kumplikadong kalkulasyon at formula, ngunit ang pag-aaralan natin ngayon ay magiging batayan para sa mas kumplikadong mga kalkulasyon at mga konstruksyon kapag kinakalkula ang mga kumplikadong integral at mga lugar.

Bilang karagdagan, simula sa pag-aaral ng integration at integrals sa partikular, ipinapalagay namin na ang mag-aaral ay pamilyar na sa mga konsepto ng derivative at mayroong kahit elementarya na kasanayan sa pagkalkula ng mga ito. Kung walang malinaw na pag-unawa dito, talagang walang magagawa sa pagsasama.

Gayunpaman, ito ay isa sa mga pinaka-karaniwang at mapanlinlang na problema. Ang katotohanan ay na, simula upang kalkulahin ang kanilang mga unang antiderivatives, maraming mga mag-aaral ang nalilito sa kanila sa mga derivatives. Bilang resulta, sa mga pagsusulit at pansariling gawain ang mga hangal at masasakit na pagkakamali ay nagagawa.

Samakatuwid, ngayon ay hindi ako magbibigay ng isang malinaw na kahulugan ng antiderivative. Bilang kapalit, iminumungkahi kong makita mo kung paano ito kinakalkula gamit ang isang simpleng kongkretong halimbawa.

Ano ang isang antiderivative at paano ito binibilang

Alam namin ang formula na ito:

\ [((\ kaliwa (((x) ^ (n)) \ kanan)) ^ (\ prime)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1)) \]

Ang derivative na ito ay itinuturing na elementarya:

\ [(f) "\ kaliwa (x \ kanan) = ((\ kaliwa (((x) ^ (3)) \ kanan)) ^ (\ prime)) = 3 ((x) ^ (2)) \ ]

Tingnan nating mabuti ang resultang expression at ipahayag ang $ ((x) ^ (2)) $:

\ [((x) ^ (2)) = \ frac (((\ kaliwa (((x) ^ (3)) \ kanan)) ^ (\ prime))) (3) \]

Ngunit maaari rin nating isulat ito, ayon sa kahulugan ng derivative:

\ [((x) ^ (2)) = ((\ left (\ frac (((x) ^ (3))) (3) \ right)) ^ (\ prime)) \]

Ngayon pansinin: ang isinulat lang namin ay ang kahulugan ng isang antiderivative. Ngunit upang maisulat ito nang tama, kailangan mong isulat ang sumusunod:

Isulat natin ang sumusunod na expression sa katulad na paraan:

Kung i-generalize natin ang panuntunang ito, maaari nating makuha ang sumusunod na formula:

\ [((x) ^ (n)) \ to \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]

Maaari na tayong magbalangkas ng isang malinaw na kahulugan.

Ang antiderivative ng isang function ay isang function na ang derivative ay katumbas ng orihinal na function.

Mga tanong na antiderivative

Ito ay tila isang medyo simple at prangka na kahulugan. Gayunpaman, kapag narinig ito, ang isang matulungin na mag-aaral ay magkakaroon kaagad ng ilang katanungan:

1. Sabihin nating ok, tama ang formula na ito. Gayunpaman, sa kasong ito, para sa $ n = 1 $, mayroon kaming mga problema: "zero" ay lilitaw sa denominator, at hindi mo maaaring hatiin sa "zero".
2. Ang formula ay limitado sa mga degree lamang. Paano mabilang ang antiderivative, halimbawa, sine, cosine at anumang iba pang trigonometrya, pati na rin ang mga constant.
3. Isang eksistensyal na tanong: laging posible bang makahanap ng isang antiderivative? Kung gayon, paano ang primitive na kabuuan, pagkakaiba, produkto, atbp.?

Sasagutin ko kaagad ang huling tanong. Sa kasamaang palad, ang antiderivative, sa kaibahan sa derivative, ay hindi palaging isinasaalang-alang. Walang ganoong unibersal na pormula ayon sa kung saan mula sa anumang paunang konstruksyon ay makakakuha tayo ng isang function na magiging katumbas ng katulad na konstruksiyon. Tulad ng para sa mga degree at constants - ngayon ay pag-uusapan natin iyon.

Paglutas ng mga problema sa mga function ng kapangyarihan

\ [((x) ^ (- 1)) \ to \ frac (((x) ^ (- 1 + 1))) (- 1 + 1) = \ frac (1) (0) \]

Gaya ng nakikita mo, hindi gumagana ang formula na ito para sa $ ((x) ^ (- 1)) $. Ang tanong ay lumitaw: ano ang gumagana? Hindi ba natin mabilang ang $ ((x) ^ (- 1)) $? Syempre kaya natin. Tandaan muna natin ito:

\ [((x) ^ (- 1)) = \ frac (1) (x) \]

Ngayon isipin natin: ang derivative ng kung aling function ay $ \ frac (1) (x) $. Malinaw, sinumang mag-aaral na nag-aral ng paksang ito kahit kaunti man lang ay maaalala na ang derivative ng natural logarithm ay katumbas ng expression na ito:

\ [((\ kaliwa (\ ln x \ kanan)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (x) \]

Samakatuwid, maaari naming kumpiyansa na isulat ang sumusunod:

\ [\ frac (1) (x) = ((x) ^ (- 1)) \ to \ ln x \]

Kailangan mong malaman ang formula na ito, tulad ng derivative ng power function.

Kaya ang alam natin sa ngayon:

• Para sa isang power function - $ ((x) ^ (n)) \ to \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) $
• Para sa isang pare-pareho - $ = const \ sa \ cdot x $
• Isang espesyal na kaso ng power function - $ \ frac (1) (x) \ to \ ln x $

At kung sisimulan nating dumami at hatiin ang pinakasimpleng mga function, paano natin makalkula ang antiderivative ng isang produkto o isang quotient. Sa kasamaang palad, ang mga pagkakatulad sa isang hinango ng isang gawa o isang partikular ay hindi gumagana dito. Walang karaniwang formula. Para sa ilang mga kaso, may mga nakakalito na espesyal na formula - makikilala natin ang mga ito sa hinaharap na mga video tutorial.

Gayunpaman, tandaan: walang pangkalahatang formula na katulad ng formula para sa pagkalkula ng derivative ng quotient at ng produkto.

Paglutas ng mga tunay na problema

Problema numero 1

Kalkulahin natin ang bawat isa sa mga function ng kapangyarihan nang hiwalay:

\ [((x) ^ (2)) \ hanggang \ frac (((x) ^ (3))) (3) \]

Pagbabalik sa aming pagpapahayag, isusulat namin ang pangkalahatang konstruksyon:

Problema numero 2

Tulad ng nasabi ko na, ang mga primitive na gawa at ang pribado ay hindi itinuturing na "right through". Gayunpaman, dito maaari kang magpatuloy tulad ng sumusunod:

Hinati namin ang fraction sa kabuuan ng dalawang fraction.

Magbilang tayo:

Ang mabuting balita ay sa pamamagitan ng pag-alam sa mga formula para sa pagkalkula ng mga antiderivative, maaari kang umasa sa mas kumplikadong mga konstruksyon. Gayunpaman, magpatuloy tayo at palawakin pa ang ating kaalaman. Ang katotohanan ay maraming mga constructions at expression na, sa unang tingin, ay walang kinalaman sa $ ((x) ^ (n)) $, ay maaaring katawanin bilang isang kapangyarihan na may isang rational exponent, ibig sabihin:

\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \]

\ [\ sqrt [n] (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (n))) \]

\ [\ frac (1) (((x) ^ (n))) = ((x) ^ (- n)) \]

Ang lahat ng mga diskarteng ito ay maaari at dapat pagsamahin. Ang mga pagpapahayag ng kapangyarihan ay maaari

• multiply (nagdaragdag ang mga kapangyarihan);
• hatiin (ang mga degree ay ibinabawas);
• multiply sa pamamagitan ng isang pare-pareho;
• atbp.

Paglutas ng mga expression na may kapangyarihan na may rational exponent

Halimbawa Blg. 1

Bilangin natin ang bawat ugat nang hiwalay:

\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ to \ frac (((x) ^ (\ frac (1) (2) +1))) (\ frac (1) (2) +1) = \ frac (((x) ^ (\ frac (3) (2)))) (\ frac (3) (2)) = \ frac (2 \ cdot (( x) ^ (\ frac (3) (2)))) (3) \]

\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (4))) \ to \ frac (((x) ^ (\ frac (1) (4)))) (\ frac ( 1) (4) +1) = \ frac (((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (\ frac (5) (4)) = \ frac (4 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (5) \]

Sa kabuuan, ang aming buong konstruksiyon ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:

Halimbawa Blg. 2

\ [\ frac (1) (\ sqrt (x)) = ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (- 1)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (\ frac ( 1) (2))) \ kanan)) ^ (- 1)) = ((x) ^ (- \ frac (1) (2))) \]

Samakatuwid, nakukuha namin ang:

\ [\ frac (1) (((x) ^ (3))) = ((x) ^ (- 3)) \ to \ frac (((x) ^ (- 3 + 1))) (- 3 +1) = \ frac (((x) ^ (- 2))) (- 2) = - \ frac (1) (2 ((x) ^ (2))) \]

Sa kabuuan, pagkolekta ng lahat sa isang expression, maaari mong isulat:

Halimbawa Blg. 3

Una, tandaan na isinasaalang-alang na namin ang $ \ sqrt (x) $:

\ [\ sqrt (x) \ to \ frac (4 ((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (5) \]

\ [((x) ^ (\ frac (3) (2))) \ to \ frac (((x) ^ (\ frac (3) (2) +1))) (\ frac (3) (2 ) +1) = \ frac (2 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (2)))) (5) \]

Muli nating isulat:

Sana ay hindi ako magsorpresa sa sinuman kung sasabihin ko na ang ating pinag-aralan ay ang pinakasimpleng kalkulasyon lamang ng mga antiderivatives, ang pinaka elementarya na mga konstruksyon. Tingnan natin ngayon ang kaunti pa kumplikadong mga halimbawa, kung saan, bilang karagdagan sa mga tabular na antiderivative, kailangan mo pa ring tandaan kurikulum ng paaralan, ibig sabihin, mga formula para sa pinaikling multiplikasyon.

Paglutas ng mas kumplikadong mga halimbawa

Problema numero 1

Alalahanin natin ang pormula para sa parisukat ng pagkakaiba:

\ [((\ kaliwa (a-b \ kanan)) ^ (2)) = ((a) ^ (2)) - ab + ((b) ^ (2)) \]

Isulat muli natin ang ating function:

Kailangan na nating hanapin ang antiderivative ng naturang function:

\ [((x) ^ (\ frac (2) (3))) \ to \ frac (3 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (3)))) (5) \]

\ [((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ to \ frac (3 \ cdot ((x) ^ (\ frac (4) (3)))) (4) \]

Pinagsasama-sama ang lahat sa isang karaniwang disenyo:

Problema numero 2

Sa kasong ito, kailangan nating palawakin ang difference cube. Tandaan natin:

\ [((\ kaliwa (ab \ kanan)) ^ (3)) = ((a) ^ (3)) - 3 ((a) ^ (2)) \ cdot b + 3a \ cdot ((b) ^ (2)) - ((b) ^ (3)) \]

Isinasaalang-alang ang katotohanang ito, maaari itong isulat bilang mga sumusunod:

Baguhin natin ng kaunti ang ating function:

Nagbibilang kami gaya ng dati - para sa bawat termino nang hiwalay:

\ [((x) ^ (- 3)) \ hanggang \ frac (((x) ^ (- 2))) (- 2) \]

\ [((x) ^ (- 2)) \ to \ frac (((x) ^ (- 1))) (- 1) \]

\ [((x) ^ (- 1)) \ hanggang \ ln x \]

Isulat natin ang nagresultang konstruksiyon:

Problema numero 3

Sa itaas mayroon tayong parisukat ng kabuuan, palawakin natin ito:

\ [\ frac (((\ left (x + \ sqrt (x) \ right))) ^ (2))) (x) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2x \ cdot \ sqrt ( x ) + ((\ kaliwa (\ sqrt (x) \ kanan)) ^ (2))) (x) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2))) (x) + \ frac (2x \ sqrt (x)) (x) + \ frac (x) (x) = x + 2 ((x) ^ (\ frac (1) (2))) + 1 \]

\ [((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ to \ frac (2 \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (2)))) (3) \]

Isulat natin ang pangwakas na solusyon:

Ngayon pansin! Isang napakahalagang bagay, na nauugnay sa malaking bahagi ng mga pagkakamali at hindi pagkakaunawaan. Ang katotohanan ay hanggang ngayon, ang pagbibilang ng mga antiderivatives sa tulong ng mga derivatives, na nagdadala ng mga pagbabago, hindi namin naisip kung ano ang derivative ng isang pare-pareho. Ngunit ang derivative ng pare-pareho ay katumbas ng "zero". Nangangahulugan ito na maaari mong isulat ang mga sumusunod na opsyon:

1. $ ((x) ^ (2)) \ hanggang \ frac (((x) ^ (3))) (3) $
2. $ ((x) ^ (2)) \ hanggang \ frac (((x) ^ (3))) (3) + 1 $
3. $ ((x) ^ (2)) \ hanggang \ frac (((x) ^ (3))) (3) + C $

Napakahalaga nitong maunawaan: kung ang derivative ng isang function ay palaging pareho, kung gayon mayroong walang katapusang maraming antiderivatives para sa parehong function. Kaya lang, maaari tayong magdagdag ng anumang pare-parehong numero sa ating mga antiderivative at makakuha ng mga bago.

Hindi nagkataon na sa paliwanag ng mga gawaing kakalutas pa lang natin, nakasulat ang “Isulat pangkalahatang anyo antiderivatives ". Yung. ito ay ipinapalagay nang maaga na walang isa, ngunit isang buong karamihan sa kanila. Ngunit, sa katunayan, nagkakaiba lamang sila sa pare-parehong $ C $ sa dulo. Samakatuwid, sa ating mga gawain, itatama natin ang hindi natin natapos.

Muli naming isinulat muli ang aming mga konstruksyon:

Sa ganitong mga kaso, dapat mong idagdag na ang $ C $ ay isang pare-pareho - $ C = const $.

Sa aming pangalawang pag-andar, nakukuha namin ang sumusunod na konstruksyon:

At ang huli:

At ngayon nakuha na talaga namin ang hinihingi sa amin sa paunang kondisyon ng problema.

Paglutas ng mga problema sa paghahanap ng mga antiderivative na may ibinigay na punto

Ngayon, kapag alam natin ang tungkol sa mga pare-pareho at tungkol sa mga kakaiba ng pagsulat ng mga antiderivative, ang mga sumusunod na uri ng mga problema ay lumitaw nang lohikal, kapag mula sa hanay ng lahat ng mga antiderivative ay kinakailangan upang makahanap ng isa at isa lamang na madadaanan. set point... Ano ang gawaing ito?

Ang katotohanan ay ang lahat ng mga antiderivatives ng function na ito ay naiiba lamang sa na sila ay inilipat patayo sa pamamagitan ng ilang numero. Nangangahulugan ito na kahit anong punto sa coordinate na eroplano hindi namin kinuha, isang antiderivative ang tiyak na papasa, at, bukod dito, isa lamang.

Kaya, ang mga gawain na malulutas natin ngayon ay nabalangkas tulad ng sumusunod: hindi lamang hanapin ang antiderivative, alam ang formula ng orihinal na pag-andar, ngunit pumili ng eksaktong isa sa mga ito na dumadaan sa isang naibigay na punto, ang mga coordinate na ibibigay sa pahayag ng problema.

Halimbawa Blg. 1

Una, bilangin na lang natin ang bawat termino:

\ [((x) ^ (4)) \ hanggang \ frac (((x) ^ (5))) (5) \]

\ [((x) ^ (3)) \ hanggang \ frac (((x) ^ (4))) (4) \]

Ngayon pinapalitan namin ang mga expression na ito sa aming konstruksiyon:

Ang function na ito ay dapat dumaan sa puntong $ M \ kaliwa (-1; 4 \ kanan) $. Ano ang ibig sabihin na dumaan ito sa isang punto? Nangangahulugan ito na kung sa halip na $ x $ ay maglalagay tayo ng $ -1 $ sa lahat ng dako, at sa halip na $ F \ kaliwa (x \ kanan) $ - $ -4 $, dapat nating makuha ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero. Gawin natin ito:

Makikita natin na mayroon tayong equation para sa $ C $, kaya subukan nating lutasin ito:

Isulat natin ang mismong solusyon na hinahanap natin:

Halimbawa Blg. 2

Una sa lahat, kinakailangan upang buksan ang parisukat ng pagkakaiba gamit ang pinaikling formula ng pagpaparami:

\ [((x) ^ (2)) \ hanggang \ frac (((x) ^ (3))) (3) \]

Ang orihinal na konstruksyon ay isusulat tulad ng sumusunod:

Ngayon hanapin natin ang $ C $: palitan ang mga coordinate ng punto $ M $:

\ [- 1 = \ frac (8) (3) -12 + 18 + C \]

Nagpapahayag ng $ C $:

Ito ay nananatiling ipakita ang panghuling expression:

Paglutas ng mga problema sa trigonometriko

Bilang isang pangwakas na chord sa kung ano ang aming sinuri, iminumungkahi kong isaalang-alang ang dalawang mas kumplikadong mga problema na naglalaman ng trigonometrya. Sa kanila, sa parehong paraan, kailangan mong makahanap ng mga antiderivatives para sa lahat ng mga function, pagkatapos ay piliin mula sa set na ito ang isa lamang na dumadaan sa puntong $ M $ sa coordinate plane.

Sa hinaharap, nais kong tandaan na ang pamamaraan na gagamitin natin ngayon upang mahanap ang mga antiderivatives ng trigonometric function ay, sa katunayan, isang unibersal na pamamaraan para sa self-testing.

Problema numero 1

Tandaan natin ang sumusunod na formula:

\ [((\ kaliwa (\ text (tg) x \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (((\ cos) ^ (2)) x) \]

Batay dito, maaari tayong sumulat:

Isaksak natin ang mga coordinate ng $ M $ sa ating expression:

\ [- 1 = \ text (tg) \ frac (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text ()) (\ text (4)) + C \]

Isulat muli natin ang expression na nasa isip ang katotohanang ito:

Problema numero 2

Ito ay magiging mas mahirap dito. Ngayon ay makikita mo kung bakit.

Tandaan natin ang formula na ito:

\ [((\ kaliwa (\ text (ctg) x \ right)) ^ (\ prime)) = - \ frac (1) (((\ sin) ^ (2)) x) \]

Upang mapupuksa ang "minus", kailangan mong gawin ang mga sumusunod:

\ [((\ kaliwa (- \ text (ctg) x \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (((\ sin) ^ (2)) x) \]

Narito ang aming pagtatayo

Palitan natin ang mga coordinate ng puntong $ M $:

Sa kabuuan, isinulat namin ang pangwakas na konstruksyon:

Iyon lang ang gusto kong sabihin sa iyo ngayong araw. Pinag-aralan namin ang mismong terminong antiderivatives, kung paano mabibilang ang mga ito mula sa elementarya na pag-andar, at kung paano rin hanapin ang antiderivative na dumadaan tiyak na punto sa coordinate plane.

Umaasa ako na ang tutorial na ito ay makakatulong sa iyo na maunawaan ang kumplikadong paksang ito kahit kaunti. Sa anumang kaso, ito ay sa mga antiderivatives na indefinite at indefinite integrals ay binuo, samakatuwid ito ay ganap na kinakailangan upang mabilang ang mga ito. Para sa akin lang yan. Hanggang sa muli!