Формули коренів квадратного рівняння. Розглянуто випадки дійсних, кратних і комплексних коренів. Розкладання на множники квадратного тричлена. Геометрична інтерпретація. Приклади визначення коренів і розкладання на множники.

Основні формули

Розглянемо квадратне рівняння:
(1) .
Коріння квадратного рівняння (1) визначаються за формулами:
; .
Ці формули можна об'єднати так:
.
Коли коріння квадратного рівняння відомі, то многочлен другого ступеня можна представити у вигляді добутку співмножників (розкласти на множники):
.

Далі вважаємо, що - дійсні числа.
Розглянемо дискриминант квадратного рівняння:
.
Якщо дискримінант позитивний,, то квадратне рівняння (1) має два різні дійсні корені:
; .
Тоді розкладання квадратного тричлена на множники має вигляд:
.
Якщо дискримінант дорівнює нулю,, то квадратне рівняння (1) має два кратних (рівних) дійсних кореня:
.
Розкладання на множники:
.
Якщо дискримінант від'ємний,, то квадратне рівняння (1) має два комплексно сполучених корені:
;
.
Тут - уявна одиниця,;
і - дійсна і уявна частини коренів:
; .
тоді

.

графічна інтерпретація

якщо побудувати графік функції
,
який є параболою, то точки перетину графіка з віссю будуть корінням рівняння
.
При, графік перетинає вісь абсцис (вісь) в двох точках.
При, графік стосується осі абсцис в одній точці.
При, графік не перетинає вісь абсцис.

Нижче наводяться приклади таких графіків.

Корисні формули, пов'язані з квадратним рівнянням

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

Висновок формули для коренів квадратного рівняння

Виконуємо перетворення і застосовуємо формули (f.1) і (f.3):




,
де
; .

Отже, ми отримали формулу для многочлена другого ступеня у вигляді:
.
Звідси видно, що рівняння

виконується при
і.
Тобто і є корінням квадратного рівняння
.

Приклади визначення коренів квадратного рівняння

приклад 1

(1.1) .

Рішення

.
Порівнюючи з нашим рівнянням (1.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант позитивний,, то рівняння має два дійсних кореня:
;
;
.

Звідси отримуємо розкладання квадратного тричлена на множники:

.

Графік функції y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 перетинає вісь абсцис в двох точках.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона пересіває вісь абсцис (вісь) в двох точках:
і.
Ці точки є коріннями вихідного рівняння (1.1).

відповідь

;
;
.

приклад 2

Знайти корені квадратного рівняння:
(2.1) .

Рішення

Запишемо квадратне рівняння в загальному вигляді:
.
Порівнюючи з вихідним рівнянням (2.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант дорівнює нулю,, то рівняння має два кратних (рівних) кореня:
;
.

Тоді розкладання трехчлена на множники має вигляд:
.

Графік функції y \u003d x 2 - 4 x + 4 стосується осі абсцис в одній точці.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона стосується осі абсцис (вісь) в одній точці:
.
Ця точка є коренем вихідного рівняння (2.1). Оскільки цей корінь входить в розкладання на множники два рази:
,
то такий корінь прийнято називати кратним. Тобто вважають, що є два рівних кореня:
.

відповідь

;
.

приклад 3

Знайти корені квадратного рівняння:
(3.1) .

Рішення

Запишемо квадратне рівняння в загальному вигляді:
(1) .
Перепишемо вихідне рівняння (3.1):
.
Порівнюючи з (1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Дискримінант негативний,. Тому дійсних коренів немає.

Можна знайти комплексні корені:
;
;
.

тоді


.

Графік функції не перетинає вісь абсцис. Дійсних коренів немає.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона не перетинає вісь абсцис (вісь). Тому дійсних коренів немає.

відповідь

Дійсних коренів немає. Коріння комплексні:
;
;
.

більш простим способом. Для цього винесіть z за дужки. Ви отримаєте: z (АZ + b) \u003d 0. Множники можна розписати: z \u003d 0 і АZ + b \u003d 0, так як обидва можуть давати в результаті нуль. У записі АZ + b \u003d 0 перенесемо другий вправо з іншим знаком. Звідси отримуємо z1 \u003d 0 і z2 \u003d -b / а. Це і є коріння вихідного.

Якщо ж є неповне рівняння виду аz² + з \u003d 0, в даному випадку знаходяться простим перенесенням вільного члена в праву частину рівняння. Також поміняйте при цьому його знак. Вийде запис аz² \u003d -с. Висловіть z² \u003d -з / а. Візьміть корінь і запишіть два рішення - позитивне і негативне значення кореня квадратного.

Зверніть увагу

При наявності в рівнянні дрібних коефіцієнтів помножте все рівняння на відповідний множник так, щоб позбутися від дробів.

Знання про те, як вирішувати квадратні рівняння, необхідно і школярам, \u200b\u200bі студентам, іноді це може допомогти і дорослій людині в звичайному житті. Існує кілька певних методів рішень.

Рішення квадратних рівнянь

Квадратним рівняння виду a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0. Коефіцієнт х є шуканої змінної, a, b, c - числові коефіцієнти. Пам'ятайте, що знак «+» може змінюватися на знак «-».

Для того щоб вирішити дане рівняння, необхідно скористатися теоремою Вієта або знайти дискримінант. Найпоширенішим способом є знаходження дискримінанту, так як при деяких значеннях a, b, c скористатися теоремою Вієта не представляється можливим.

Щоб знайти дискримінант (D), необхідно записати формулу D \u003d b ^ 2 - 4 * a * c. Значення D може бути більше, менше або дорівнює нулю. Якщо D більше або менше нуля, то кореня буде два, якщо D \u003d 0, то залишається всього один корінь, більш точно можна сказати, що D в цьому випадку має два рівнозначних кореня. Підставте відомі коефіцієнти a, b, c в формулу і обчисліть значення.

Після того як ви знайшли дискриминант, для знаходження х скористайтеся формулами: x (1) \u003d (- b + sqrt (D)) / 2 * a; x (2) \u003d (- b-sqrt (D)) / 2 * a, де sqrt - це функція, яка означає витяг квадратного кореня з даного числа. Порахувавши ці вирази, ви знайдете два кореня вашого рівняння, після чого рівняння вважається вирішеним.

Якщо D менше нуля, то він все одно має коріння. У школі цей розділ практично не вивчається. Студенти вузів повинні знати про те, що з'являється від'ємне число під коренем. Від нього позбавляються виділяючи уявну частину, тобто -1 під коренем завжди одно уявному елементу «i», який множиться на корінь з таким же позитивним числом. Наприклад, якщо D \u003d sqrt (-20), після перетворення виходить D \u003d sqrt (20) * i. Після цього перетворення, рішення рівняння зводиться до такого ж знаходженню коренів, як було описано вище.

Теорема Вієта полягає в підборі значень x (1) і x (2). Використовується два тотожних рівняння: x (1) + x (2) \u003d -b; x (1) * x (2) \u003d с. причому дуже важливим моментом є знак перед коефіцієнтом b, пам'ятайте, що цей знак протилежний тому, який стоїть в рівнянні. З першого погляду здається, що порахувати x (1) і x (2) дуже просто, але при вирішенні ви зіткнетеся з тим, що числа доведеться саме підбирати.

Елементи рішення квадратних рівнянь

За правилами математики деякі можна розкласти на множники: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, якщо вам за допомогою формул математики вдалося перетворити подібним чином дане квадратне рівняння, то сміливо записуйте відповідь. x (1) і x (2) дорівнюватимуть які стояли поруч коефіцієнтам в дужках, але з протилежним знаком.

Також не варто забувати про неповні квадратні рівняння. У вас може бути відсутнім якийсь з доданків, якщо це так, то все його коефіцієнти просто дорівнюють нулю. Якщо перед x ^ 2 або x нічого не варто, то коефіцієнти а і b рівні 1.

5х (х - 4) \u003d 0

5 х \u003d 0 або х - 4 \u003d 0

х \u003d ± √ 25/4

Навчившись розв'язувати рівняння першого ступеня, безумовно, хочеться працювати з іншими, зокрема, з рівняннями другого ступеня, які по-іншому називаються квадратними.

Квадратні рівняння - це рівняння типу ах ² + bx + c \u003d 0, де змінної є х, числами будуть - а, b, с, де а не дорівнює нулю.

Якщо в квадратному рівнянні один або інший коефіцієнт (з або b) буде дорівнювати нулю, то це рівняння буде ставитися до неповного квадратного рівняння.

Як вирішити неповне квадратне рівняння, якщо учні досі вміли вирішувати тільки рівняння першого ступеня? Розглянемо неповні квадратні рівняння різних видів і нескладні способи їх вирішення.

а) Якщо коефіцієнт з дорівнюватиме 0, а коефіцієнт b нічого очікувати дорівнює нулю, то ах ² + b х + 0 \u003d 0 зводиться до рівняння виду ах ² + b х \u003d 0.

Щоб вирішити таке рівняння, потрібно знати формулу вирішення неповного квадратного рівняння, яка полягає в тому, щоб ліву частину його розкласти на множники і пізніше використовувати умова рівності твори нулю.

Наприклад, 5х ² - 20х \u003d 0. Розкладаємо ліву частину рівняння на множники, при цьому здійснюючи звичайну математичну операцію: винос загального множника за дужки

5х (х - 4) \u003d 0

Використовуємо умова, з якого випливає, що твори дорівнюють нулю.

5 х \u003d 0 або х - 4 \u003d 0

Відповіддю буде: перший корінь - 0; другий корінь - 4.

б) Якщо b \u003d 0, а вільний член не дорівнює нулю, то рівняння ах ² + 0х + з \u003d 0 зводиться до рівняння виду ах ² + с \u003d 0. Вирішують рівняння двома способами: а) розкладаючи многочлен рівняння в лівій частині на множники ; б) використовуючи властивості арифметичного квадратного кореня. Таке рівняння вирішується одним з методів, наприклад:

х \u003d ± √ 25/4

х \u003d ± 5/2. Відповіддю буде: перший корінь дорівнює 5/2; другий корінь дорівнює - 5/2.

в) Якщо b буде дорівнює 0 і з дорівнюватиме 0, то ах ² + 0 + 0 \u003d 0 зводиться до рівняння виду ах ² \u003d 0. У такому рівнянні x буде дорівнює 0.

Як бачите, неповні квадратні рівняння можуть мати не більше двох коренів.

Застосування рівнянь широко поширене в нашому житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд і навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і з тих пір їх застосування тільки зростає. Дискримінант дозволяє вирішувати будь-які квадратні рівняння за допомогою загальної формули, яка має наступний вигляд:

Формула дискримінанту залежить від ступеня многочлена. Вищеописана формула підійде для вирішення квадратних рівнянь такого вигляду:

Дискримінант має такі властивості, які необхідно знати:

* "D" дорівнює 0, коли многочлен має кратні корені (рівні коріння);

* "D" є симетричним многочленом щодо коренів многочлена і тому є многочленом від його коефіцієнтів; більш того, коефіцієнти цього багаточлена цілі незалежно від розширення, в якому беруться коріння.

Припустимо, нам дано квадратне рівняння такого вигляду:

1 рівняння

За формулою маємо:

Оскільки \\, то рівняння має 2 корені. Визначимо їх:

Де можна вирішити рівняння через дискримінант онлайн вирішувачів?

Вирішити рівняння ви можете на нашому сайті https: // сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити - це просто ввести свої дані в вирішувача. Так само ви можете подивитися відео інструкцію і дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайте.А якщо у вас залишилися питання, то ви можете задати їх в нашій групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу групу, ми завжди раді допомогти вам.

Сподіваюся, вивчивши дану статтю, ви навчитеся знаходити коріння повного квадратного рівняння.

За допомогою дискримінанту вирішуються тільки повні квадратні рівняння, для вирішення неповних квадратних рівнянь використовують інші методи, які ви знайдете в статті "Рішення неповних квадратних рівнянь".

Які ж квадратні рівняння називаються повними? це рівняння виду ах 2 + b x + c \u003d 0, Де коефіцієнти a, b і з не дорівнюють нулю. Отже, щоб вирішити повне квадратне рівняння, треба обчислити дискримінант D.

D \u003d b 2 - 4ас.

Залежно від того яке значення має дискримінант, ми і запишемо відповідь.

Якщо дискримінант негативне число (D< 0),то корней нет.

Якщо ж дискримінант дорівнює нулю, то х \u003d (-b) / 2a. Коли дискриминант позитивне число (D\u003e 0),

тоді х 1 \u003d (-b - √D) / 2a, і х 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Наприклад. Розв'язати рівняння х 2 - 4х + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 · 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Відповідь: 2.

Вирішити рівняння 2 х 2 + Х + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 · 2 · 3 \u003d - 23

Відповідь: коренів немає.

Вирішити рівняння 2 х 2 + 5х - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (-7) \u003d 81

х 1 \u003d (-5 - √81) / (2 · 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

х 2 \u003d (-5 + √81) / (2 · 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Відповідь: - 3,5; 1.

Отже уявімо рішення повних квадратних рівнянь схемою на рісунке1.

За цими формулами можна вирішувати будь-повне квадратне рівняння. Потрібно тільки уважно стежити за тим, щоб рівняння було записано многочленом стандартного виду

а х 2 + Bx + c, інакше можна припуститися помилки. Наприклад, у записі рівняння х + 3 + 2х 2 \u003d 0, помилково можна вирішити, що

а \u003d 1, b \u003d 3 і з \u003d 2. Тоді

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 і тоді рівняння має два кореня. А це не так. (Дивись рішення прикладу 2 вище).

Тому, якщо рівняння записано многочленом стандартного вигляду, спочатку повне квадратне рівняння треба записати многочленом стандартного вигляду (на першому місці має стояти одночлен з найбільшим показником ступеня, тобто а х 2 , Потім з меншим – bx, А потім вільний член с.

При вирішенні наведеного квадратного рівняння і квадратного рівняння з парних коефіцієнтом при другому доданку можна використовувати і інші формули. Давайте познайомимося і з цими формулами. Якщо в повному квадратному рівнянні при другому доданку коефіцієнт буде парним (b \u003d 2k), то можна вирішувати рівняння за формулами наведеними на схемі малюнка 2.

Повний квадратне рівняння називається наведеним, якщо коефіцієнт при х 2 дорівнює одиниці і рівняння набуде вигляду х 2 + px + q \u003d 0. Таке рівняння може бути дано для вирішення, або виходить розподілом всіх коефіцієнтів рівняння на коефіцієнт а, Що стоїть при х 2 .

На малюнку 3 наведена схема вирішення наведених квадратних
рівнянь. Розглянемо на прикладі застосування розглянутих в даній статті формул.

Приклад. Розв'язати рівняння

3х 2 + 6х - 6 \u003d 0.

Давайте вирішимо це рівняння застосовуючи формули наведені на схемі малюнка 1.

D \u003d 6 2 - 4 · 3 · (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (36 · 3) \u003d 6√3

х 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √3

х 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d -1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3

Можна помітити, що коефіцієнт при х в цьому рівнянні парне число, тобто b \u003d 6 або b \u003d 2k, звідки k \u003d 3. Тоді спробуємо вирішити рівняння за формулами, наведеними на схемі малюнка D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 · 3) \u003d 3√3

х 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

х 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3. Помітивши, що всі коефіцієнти в цьому квадратному рівнянні діляться на 3 і виконавши розподіл, отримаємо наведене квадратне рівняння x 2 + 2х - 2 \u003d 0 Вирішимо це рівняння, використовуючи формули для наведеного квадратного
рівняння малюнок 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 · (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 · 3) \u003d 2√3

х 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

х 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3.

Як бачимо, при вирішенні цього рівняння за різними формулами ми отримали один і той же відповідь. Тому добре засвоївши формули наведені на схемі малюнка 1, ви завжди зможете вирішити будь-повне квадратне рівняння.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.