У цій статті ми розглянемо таку дію, як множення десяткових дробів. Почнемо з формулювання загальних принципів, далі покажемо, як помножити одну десяткову дріб на іншу і розглянемо метод множення стовпчиком. Всі визначення будуть проілюстровані прикладами. Потім ми розберемо, як правильно помножити десяткові дроби на звичайні, а також на змішані і натуральні числа (В тому числі 100, 10 і ін.)

В рамках цього матеріалу ми торкнемося лише правил множення позитивних дробів. Випадки з негативними розібрані окремо в статтях про примноження раціональних і дійсних чисел.

Yandex.RTB R-A-339285-1

сформулюємо загальні принципи, Яких треба дотримуватися при вирішенні задач на множення десяткових дробів.

Згадаймо для початку, що десяткові дроби є не що інше, як особлива форма запису звичайних дробів, отже, процес їх множення можна звести до аналогічного для дробів звичайних. Це правило працює і для кінцевих, і для нескінченних дробів: після їх перекладу в звичайні з ними легко виконувати множення по вже вивченим нами правилам.

Подивимося, як вирішуються такі завдання.

приклад 1

Обчисліть добуток 1, 5 і 0, 75.

Рішення: для початку замінимо десяткові дроби на звичайні. Ми знаємо, що 0, 75 - це 75/100, а 1, 5 - це 15 10. Ми можемо скоротити дріб і зробити виділення цілої частини. Отриманий результат 125 1000 ми запишемо як 1, 125.

відповідь: 1 , 125 .

Ми можемо використовувати метод підрахунку стовпчиком, як і для натуральних чисел.

приклад 2

Помножте одну періодичну дріб 0, (3) на іншу 2, (36).

Для початку наведемо вихідні дробу до звичайних. У нас вийде:

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

Отже, 0, (3) · 2, (36) \u003d 1 3 · 26 11 \u003d 26 33.

Отриману в результаті звичайну дріб можна привести до десяткового виду, розділивши чисельник на знаменник в стовпчик:

відповідь: 0, (3) · 2, (36) \u003d 0, (78).

Якщо у нас в умови завдання стоять нескінченні неперіодичні дроби, то потрібно виконати їх попереднє округлення (див. Статтю про округлення чисел, якщо ви забули, як це робиться). Після цього можна проводити дію множення з уже округленими десятковими дробами. Наведемо приклад.

приклад 3

Обчисліть добуток 5, 382 ... і 0, 2.

Рішення

У нас в задачі є нескінченна дріб, яку потрібно попередньо округлити до сотих. Вийде, що 5, 382 ... ≈ 5, 38. Другий множник округляти до сотих сенсу не має. Тепер можна підрахувати потрібне твір і записати відповідь: 5, 38 · 0, 2 \u003d 538 100 х 2 10 \u003d 1 076 1000 \u003d 1, 076.

відповідь: 5, 382 ... · 0, 2 ≈ 1, 076.

Метод підрахунку стовпчиком можна застосовувати не тільки для натуральних чисел. Якщо у нас є десяткові дроби, ми можемо помножити їх точно таким же чином. Виведемо правило:

визначення 1

Множення десяткових дробів стовпчиком виконується в 2 етапи:

1. Виконуємо множення стовпчиком, не звертаючи увагу на коми.

2. Ставимо в підсумковому числі десяткову кому, відокремлюючи їй стільки цифр з правого боку, скільки обидва множники містять десяткових знаків разом. Якщо в результаті не вистачає для цього цифр, дописуємо зліва нулі.

Розберемо приклади таких розрахунків на практиці.

приклад 4

Помножте десяткові дроби 63, 37 і 0, 12 стовпчиком.

Рішення

Насамперед виконаємо множення чисел, ігноруючи десяткові коми.

Тепер нам треба поставити кому на потрібне місце. Вона буде відокремлювати чотири цифри з правого боку, оскільки сума десяткових знаків в обох множниках дорівнює 4. Дописувати нулі не доведеться, тому що знаків досить:

відповідь: 3, 37 · 0, 12 \u003d 7, 6044.

приклад 5

Підрахуйте, скільки буде 3, 2601 помножити на 0, 0254.

Рішення

Вважаємо без урахування ком. Отримуємо наступне число:

Ми будемо ставити кому, що відокремлює 8 цифр з правого боку, адже вихідні дробу разом мають 8 знаків після коми. Але в нашому результаті всього сім цифр, і нам не обійтися без додаткових нулів:

відповідь: 3, 2601 · 0, 0254 \u003d 0, 08280654.

Як помножити десяткову дріб на 0,001, 0,01, 01, і т.д

Множити десяткові дроби на такі числа доводиться часто, тому важливо вміти робити це швидко і точно. Запишемо особливе правило, яким ми будемо користуватися при такому множенні:

визначення 2

Якщо ми помножимо десяткову дріб на 0, 1, 0, 01 і т.д., в результаті вийде число, схоже на вихідну дріб, кома якого перенесена вліво на потрібну кількість знаків. При нестачі цифр для перенесення потрібно дописувати нулі зліва.

Так, для множення 45, 34 на 0, 1 треба перенести в вихідної десяткового дробу кому на один знак. У нас вийде в підсумку 4, 534.

приклад 6

Помножте 9, 4 на 0, 0001.

Рішення

Нам доведеться переносити кому на чотири знака за кількістю нулів у другому множнику, але цифр в першому для цього не вистачить. Приписуємо необхідні нулі і отримуємо, що 9, 4 · 0, 0001 \u003d 0, 00094.

відповідь: 0 , 00094 .

Для нескінченних десяткових дробів ми користуємося тим же правилом. Так, наприклад, 0, (18) · 0, 01 \u003d 0, 00 (18) або 94, 938 ... · 0, 1 \u003d 9, 4938 .... та ін.

Процес такого множення нічим не відрізняється то дії множення двох десяткових дробів. Зручно користуватися методом множення в стовпчик, якщо в умові завдання стоїть кінцева десяткова дріб. При цьому треба враховувати всі ті правила, про які ми розповідали в попередньому пункті.

приклад 7

Підрахуйте, скільки буде 15 · 2, 27.

Рішення

Помножимо стовпчиком вихідні числа і відділимо два знака коми.

відповідь: 15 · 2, 27 \u003d 34, 05.

Якщо ми виконуємо множення періодичного десяткового дробу на натуральне число, треба спочатку поміняти десяткову дріб на звичайну.

приклад 8

Обчисліть добуток 0, (42) і 22.

Наведемо періодичну дріб до виду звичайної.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 · 22 \u003d 14 33 · 22 \u003d 14 · 22 3 \u003d 28 3 \u003d 9 1 3

Підсумковий результат можемо записати у вигляді періодичного десяткового дробу як 9, (3).

відповідь: 0, (42) · 22 \u003d 9, (3).

Нескінченні дробу перед підрахунками треба попередньо округлити.

приклад 9

Обчисліть, скільки буде 4 · 2, 145 ....

Рішення

Округлимо до сотих вихідну нескінченну десяткову дріб. Після цього ми прийдемо до множення натурального числа і кінцевої десяткового дробу:

4 · 2, 145 ... ≈ 4 · 2, 15 \u003d 8, 60.

відповідь: 4 · 2, 145 ... ≈ 8, 60.

Як помножити десяткову дріб на 1000, 100, 10 і ін

Множення десяткового дробу на 10, 100 та ін. Часто зустрічається в завданнях, тому ми розберемо цей випадок окремо. Основне правило множення звучить так:

визначення 3

Щоб помножити десятковий дріб на 1000, 100, 10 і ін., Потрібно перенести її кому на 3, 2, 1 цифри в залежності від множника і відкинути зліва зайві нулі. Якщо цифр для перенесення коми недостатньо, дописуємо справа стільки нулів, скільки нам потрібно.

Покажемо на прикладі, як саме це робити.

приклад 10

Виконайте множення 100 і 0, 0783.

Рішення

Для цього нам треба перенести в десяткового дробу кому на 2 цифри в праву сторону. Ми отримаємо в підсумку 007, 83 Нулі, що стоять зліва, можна відкинути і записати результат як 7, 38.

відповідь: 0, 0783 · 100 \u003d 7, 83.

приклад 11

Помножте 0, 02 на 10 тисяч.

Рішення: ми будемо переносити кому на чотири цифри вправо. У вихідній десяткового дробу нам не вистачить для цього знаків, тому доведеться дописувати нулі. У цьому випадку буде достатньо трьох 0. У підсумку вийшло 0, 02000, перенесемо кому і отримаємо 00200, 0. Ігноруючи нулі зліва, можемо записати відповідь як 200.

відповідь: 0, 02 · 10 000 \u003d 200.

Наведене нами правило буде працювати так само і у випадку з нескінченними десятковими дробами, але тут слід бути дуже уважним до періоду підсумкової дробу, так як в ньому легко припуститися помилки.

приклад 12

Обчисліть добуток 5, 32 (672) на 1 000.

Рішення: насамперед ми запишемо періодичну дріб як 5, 32672672672 ..., так ймовірність помилитися буде менше. Після цього можемо переносити кому на потрібну кількість знаків (на три). У підсумку вийде 5326, 726 726 ... Заключим період в дужки і запишемо відповідь як 5 326, (726).

відповідь: 5, 32 (672) • 1 000 \u003d 5 326, (726).

Якщо в умовах задачі стоять нескінченні неперіодичні дроби, які треба множити на десять, сто, тисячу і ін., Не забуваємо округлити їх перед множенням.

Щоб виконати множення такого типу, потрібно уявити десяткову дріб у вигляді звичайного і далі діяти за вже знайомим правилами.

приклад 13

Помножте 0, 4 на 3 5 6

Рішення

Cначала переведемо десяткову дріб в звичайну. Маємо: 0, 4 \u003d 4 10 \u003d 2 5.

Ми отримали відповідь у вигляді змішаного числа. Можна записати його як періодичну дріб 1, 5 (3).

відповідь: 1 , 5 (3) .

Якщо в розрахунку бере участь нескінченна неперіодичних дріб, потрібно округлити її до деякої цифри і вже потім множити.

приклад 14

Обчисліть добуток 3, 5678. . . • 2 3

Рішення

Другий множник ми можемо уявити, як 2 3 \u003d 0, 6666 .... Далі округлимо до тисячного розряду обидва множники. Після цього нам буде потрібно обчислити добуток двох кінцевих десяткових дробів 3, 568 і 0, 667. Порахуємо стовпчиком і отримаємо відповідь:

Підсумковий результат потрібно округлити до тисячних часток, так як саме до цього розряду ми округляли вихідні числа. У нас виходить, що 2, 379 856 ≈ 2, 380.

відповідь: 3, 5678. . . · 2 3 ≈ 2, 380

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

В курсі середньої та старшої школи учні проходили тему «Дроби». Однак це поняття набагато ширше, ніж дається в процесі навчання. Сьогодні поняття дробу зустрічається досить часто, і не кожен може провести обчислення будь-якого виразу, наприклад, множення дробів.

Що таке дріб?

Так історично склалося, що дробові числа з'явилися через необхідність вимірювати. Як показує практика, часто зустрічаються приклади на визначення довжини відрізка, обсягу прямокутного прямокутника.

Спочатку учні знайомляться з таким поняттям, як частка. Наприклад, якщо розділити кавун на 8 частин, то кожному дістанеться по одній восьмій кавуна. Ось ця одна частина з восьми і називається часткою.

Частка, що дорівнює ½ від будь-якої величини, називається половиною; ⅓ - третю; ¼ - чвертю. Записи виду 5/8, 4/5, 2/4 називають звичайними дробами. Звичайна дріб розділяється на чисельник і знаменник. Між ними знаходиться риса дробу, або подрібнена риса. Дробову риску можна намалювати у вигляді як горизонтальної, так і похилій лінії. В даному випадку вона позначає знак ділення.

Знаменник являє, на скільки рівних частин поділяють величину, предмет; а чисельник - скільки рівних частин взято. Чисельник пишеться над дробової рисою, знаменник - під нею.

Найзручніше показати звичайні дроби на координатному промені. Якщо одиничний інтервал розділити на 4 рівні частки, позначити кожну частку латинською буквою, то в результаті можна отримати відмінне наочне приладдя. Так, точка А показує частку, рівну 1/4 від усього одиничного відрізка, а точка В зазначає 2/8 від даного відрізка.

різновиди дробів

Дробу бувають звичайні, десяткові, а також змішані числа. Крім того, дробу можна розділити на правильні і неправильні. Ця класифікація більше підходить для звичайних дробів.

під правильної дробом розуміють число, у якого чисельник менше знаменника. Відповідно, неправильна дріб - число, у якого чисельник більше знаменника. Другий вид зазвичай записують у вигляді змішаного числа. Такий вираз складається з цілої і дробової частини. Наприклад, 1½. 1 - ціла частина, ½ - дрібна. Однак якщо потрібно провести якісь маніпуляції з виразом (розподіл або множення дробів, їх скорочення або перетворення), змішане число переводиться в неправильну дріб.

Правильне дробове вираження завжди менше одиниці, а неправильне - більше або дорівнює 1.

Що стосується то під цим виразом розуміють запис, в якій представлено будь-яке число, знаменник дрібного вираження якого можна виразити через одиницю з декількома нулями. Якщо дріб правильна, то ціла частина в десяткового запису буде дорівнює нулю.

Щоб записати десяткову дріб, потрібно спочатку написати цілу частину, відокремити її від дробу за допомогою коми і потім вже записати дробове вираження. Необхідно пам'ятати, що після коми чисельник повинен містити стільки ж цифрових символів, скільки нулів у знаменнику.

приклад. Уявити дріб 7 21/1000 в десяткового запису.

Алгоритм перекладу неправильного дробу в змішане число і навпаки

Записувати у відповіді завдання неправильну дріб некоректно, тому її потрібно перевести в змішане число:

• розділити чисельник на наявний знаменник;
• в конкретному прикладі неповна частка - ціле;
• і залишок - чисельник дробової частини, причому знаменник залишається незмінним.

приклад. Перекласти неправильну дріб в змішане число: 47/5.

Рішення. 47: 5. Неповне приватне дорівнює 9, залишок \u003d 2. Отже, 47/5 \u003d 9 2/5.

Іноді потрібно представити змішане число в якості неправильного дробу. Тоді потрібно скористатися наступним алгоритмом:

• ціла частина множиться на знаменник дрібного вираження;
• отримане твір додається до чисельника;
• результат записується в чисельнику, знаменник залишається незмінним.

приклад. Уявити число в змішаному вигляді в якості неправильного дробу: 9 8/10.

Рішення. 9 х 10 + 8 \u003d 90 + 8 \u003d 98 - чисельник.

відповідь: 98 / 10.

Множення дробів звичайних

Над звичайними дробами можна здійснювати різні операції алгебри. Щоб перемножити два числа, потрібно чисельник перемножити з чисельником, а знаменник зі знаменником. Причому множення дробів з різними знаменателяміне відрізняється від твору дробових чисел з однаковими знаменниками.

Трапляється, що після знаходження результату потрібно скоротити дріб. В обов'язковому порядку потрібно максимально спростити вийшло вираз. Звичайно, не можна сказати, що неправильна дріб у відповіді - це помилка, але і назвати вірною відповіддю її теж важко.

приклад. Знайти добуток двох звичайних дробів: ½ і 20/18.

Як видно з прикладу, після знаходження твори вийшла скоротна подрібнена запис. І чисельник, і знаменник в даному випадку ділиться на 4, і результатом виступає відповідь 5/9.

Множення дробів десяткових

Твір десяткових дробів досить сильно відрізняється від твору звичайних за своїм принципом. Отже, множення дробів полягає в наступному:

• дві десяткові дроби потрібно записати один під одним так, щоб крайні праві цифри виявилися одна під інший;
• потрібно перемножити записані числа, незважаючи на коми, тобто як натуральні;
• підрахувати кількість цифр після знаку коми в кожному з чисел;
• в отриманому після перемноження результаті потрібно відрахувати справа стільки цифрових символів, скільки міститься в сумі в обох множниках після коми, і поставити відокремлює знак;
• якщо цифр в творі виявилося менше, тоді перед ними потрібно написати стільки нулів, щоб покрити цю кількість, поставити кому і приписати цілу частину, рівну нулю.

приклад. Обчислити добуток двох десяткових дробів: 2,25 і 3,6.

Рішення.

Множення змішаних дробів

Щоб обчислити добуток двох змішаних дробів, Потрібно керуватися правилом множення дробів:

• перевести числа в змішаному вигляді в неправильні дроби;
• знайти твір числителей;
• знайти твір знаменників;
• записати отриманий результат;
• максимально спростити вираз.

приклад. Знайти твір 4½ і 6 2/5.

Множення числа на дріб (дробу на число)

Крім знаходження добутку двох дробів, змішаних чисел, зустрічаються завдання, де потрібно помножити на дріб.

Отже, щоб знайти твір десяткового дробу і натурального числа, потрібно:

• записати число під дробом так, щоб крайні праві цифри виявилися одна над іншою;
• знайти твір, незважаючи на кому;
• в отриманому результаті відокремити цілу частину від дробової за допомогою коми, відрахувавши справа то кількість знаків, яке знаходиться після коми в дробу.

Щоб помножити звичайну дріб на число, слід знайти твір чисельника і натурального множника. Якщо у відповіді виходить скоротна дріб, її слід перетворити.

приклад. Обчислити твір 5/8 і 12.

Рішення. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

відповідь: 7 1 / 2.

Як видно з попереднього прикладу, необхідно було скоротити отриманий результат і перетворити неправильне дробове вираження в змішане число.

Також множення дробів стосується і знаходження твори числа в змішаному вигляді і натурального множника. Щоб перемножити ці два числа, слід цілу частину змішаного множника помножити на число, чисельник помножити на це ж значення, а знаменник залишити незмінним. Якщо потрібно, потрібно максимально спростити отриманий результат.

приклад. Знайти твір 9 5/6 і 9.

Рішення. 9 5/6 х 9 \u003d 9 х 9 + (5 х 9) / 6 \u003d 81 + 45/6 \u003d 81 + 7 3/6 \u003d 88 1/2.

відповідь: 88 1 / 2.

Множення на множники 10, 100, 1000 або 0,1; 0,01; 0,001

З попереднього пункту випливає наступне правило. Для множення дробу десяткової на 10, 100, 1000, 10000 і т. Д. Потрібно пересунути кому вправо на стільки символів цифр, скільки нулів у множнику після одиниці.

приклад 1. Знайти твір 0,065 і 1000.

Рішення. 0,065 х 1000 \u003d 0065 \u003d 65.

відповідь: 65.

приклад 2. Знайти твір 3,9 і 1000.

Рішення. 3,9 х 1000 \u003d 3,900 х 1000 \u003d 3900.

відповідь: 3900.

Якщо потрібно перемножити натуральне число і 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 і т. Д., Слід пересунути вліво кому в отриманому творі на стільки символів цифр, скільки нулів знаходиться до одиниці. Якщо необхідно, перед натуральним числом записуються нулі в достатній кількості.

приклад 1. Знайти твір 56 і 0,01.

Рішення. 56 х 0,01 \u003d 0056 \u003d 0,56.

відповідь: 0,56.

приклад 2. Знайти твір 4 і 0,001.

Рішення. 4 х 0,001 \u003d 0004 \u003d 0,004.

відповідь: 0,004.

Отже, знаходження твори різних дробів не повинно викликати труднощів, хіба що підрахунок результату; в такому випадку без калькулятора просто не обійтися.

На минулому уроці ми навчилися додавати і віднімати десяткові дроби (див. Урок «Додавання і віднімання десяткових дробів»). Заодно оцінили, наскільки спрощуються обчислення в порівнянні зі звичайними «двоповерховими» дробом.

На жаль, з множенням і діленням десяткових дробів подібного ефекту не виникає. У деяких випадках десяткова запис числа навіть ускладнює ці операції.

Для початку введемо нове визначення. Ми будемо зустрічатися з ним досить часто, і не тільки на цьому уроці.

Значуща частина числа - це все, що знаходиться між першою і останньою ненульовою цифрою, включаючи кінці. Йдеться тільки про цифри, десяткова крапка не враховується.

Цифри, що входять в значущу частину числа, називаються значущими цифрами. Вони можуть повторюватися і навіть бути рівними нулю.

Наприклад, розглянемо кілька десяткових дробів і випишемо відповідні їм значущі частини:

1. 91,25 → 9125 (значущі цифри: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (значущі цифри: 8; 2; 4; 1);
3. 15,0075 → 150075 (значущі цифри: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (значущі цифри: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (значуща цифра всього одна: 3).

Зверніть увагу: нулі, що стоять всередині значущої частини числа, нікуди не діваються. Ми вже стикалися з чимось подібним, коли вчилися переводити десяткові дроби в звичайні (див. Урок «Десяткові дроби»).

Цей момент настільки важливий, а помилки тут допускають так часто, що найближчим часом я опублікую тест на цю тему. Обов'язково потренуйтеся! А ми, озброївшись поняттям значущої частини, приступимо, власне, до теми уроку.

Множення десяткових дробів

Операція множення складається з трьох послідовних кроків:

1. Для кожного дробу виписати значущу частину. Вийдуть два звичайних цілих числа - без всяких знаменників і десяткових точок;
2. Помножити ці числа будь-яким зручним способом. Безпосередньо, якщо числа невеликі, або стовпчиком. Отримаємо значущу частину шуканої дробу;
3. З'ясувати, куди і на скільки розрядів зсувається десяткова точка в початкових дробах для отримання відповідної значущої частини. Виконати зворотні зрушення для значущої частини, отриманої на попередньому кроці.

Ще раз нагадаю, що нулі, що стоять з боків від значущої частини, ніколи не враховуються. Ігнорування цього правила призводить до помилок.

1. 0,28 · 12,5;
2. 6,3 · 1,08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 · 1600,5;
5. 5,25 · 10 000.

Працюємо з першим виразом: 0,28 · 12,5.

1. Випишемо значущі частини для чисел з цього виразу: 28 і 125;
2. Їх твір: 28 · 125 \u003d 3500;
3. У першому множнику десяткова точка зрушена на 2 цифри вправо (0,28 → 28), а в другій - ще на 1 цифру. Разом потрібен зсув вліво на три цифри: 3500 → 3,500 \u003d 3,5.

Тепер розберемося з виразом 6,3 · 1,08.

1. Випишемо значущі частини: 63 і 108;
2. Їх твір: 63 · 108 \u003d 6804;
3. Знову два зсуву вправо: на 2 і 1 цифру відповідно. Всього - знову 3 цифри вправо, тому зворотний зсув буде на 3 цифри вліво: 6804 → 6,804. Цього разу нулів на кінці немає.

Добралися до третього вираження: 132,5 · 0,0034.

1. Значущі частини: 1325 і 34;
2. Їх твір: 1 325 · 34 \u003d 45 050;
3. У першій дробу десяткова точка йде вправо на 1 цифру, а в другій - на цілих 4. Разом: 5 вправо. Виконуємо зрушення на 5 вліво 45 050 →, 45050 \u003d 0,4505. В кінці прибрали нуль, а спереду - дописали, щоб не залишати «голу» десяткову точку.

Наступне вираз: 0,0108 · 1600,5.

1. Пишемо значущі частини: 108 і 16 005;
2. Множимо їх: 108 · 16 005 \u003d 1 728 540;
3. Вважаємо цифри після десяткового дробу: в першому числі їх 4, у другому - 1. Всього - знову 5. Маємо 1 728 540 → 17,28540 \u003d 17,2854. В кінці прибрали «зайвий» нуль.

Нарешті, останній вираз: 5,25 · 10 000.

1. Значущі частини: 525 і 1;
2. Множимо їх: 525 · 1 \u003d 525;
3. У першій дробу виконано зрушення на 2 цифри вправо, а в другій - на 4 цифри вліво (10 000 → 1,0000 \u003d 1). Разом 4 - 2 \u003d 2 цифри вліво. Виконуємо зворотний зсув на 2 цифри вправо: 525, → 52 500 (довелося дописати нулі).

Зверніть увагу на останній приклад: оскільки десяткова точка переміщається в різних напрямках, Сумарний зсув знаходиться через різницю. Це дуже важливий момент! Ось ще приклад:

Розглянемо числа 1,5 і 12 500. Маємо: 1,5 → 15 (зрушення на 1 вправо); 12 500 → 125 (зрушення на 2 вліво). Ми «крокуємо» на 1 розряд вправо, а потім - на 2 вліво. У підсумку, ми зробили крок на 2 - 1 \u003d 1 розряд вліво.

Розподіл десяткових дробів

Розподіл - це, мабуть, найскладніша операція. Звичайно, тут можна діяти за аналогією з множенням: ділити значущі частини, а потім «рухати» десяткову точку. Але в цьому випадку виникає багато тонкощів, які зводять нанівець потенційну економію.

Тому давайте розглянемо універсальний алгоритм, який трохи довше, але набагато надійніше:

1. Перевести всі десяткові дроби в звичайні. Якщо трохи потренуватися, на цей крок у вас будуть йти лічені секунди;
2. Розділити отримані дробу класичним способом. Іншими словами, помножити перший дріб на «перевернуту» другу (див. Урок «Множення і ділення числових дробів»);
3. Якщо можливо, результат знову представити у вигляді десяткового дробу. Цей крок теж виконується швидко, оскільки часто в знаменнику вже стоїть ступінь десятки.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Вважаємо перший вираз. Для початку переведемо обі дробу в десяткові:

Аналогічно поступимо з другим виразом. Чисельник першого дробу знову розкладеться на множники:

У третьому і четвертому прикладах є важливий момент: після позбавлення від десяткового запису виникають скоротні дробу. Однак ми не будемо виконувати це скорочення.

Останній приклад цікавий тим, що в чисельнику другого дробу стоїть просте число. Тут просто нема чого розкладати на множники, тому вважаємо «напролом»:

Іноді в результаті поділу виходить ціле число (це я про останній приклад). В такому випадку третій крок взагалі не виконується.

Крім того, при розподілі часто виникають «некрасиві» дробу, які не можна перевести в десяткові. Цим розподіл відрізняється від множення, де результати завжди представимо в десяткового формі. Зрозуміло, в такому випадку останній крок знову ж таки не виконується.

Зверніть також увагу на 3-й і 4-й приклади. У них ми навмисно не скорочуємо звичайні дроби, отримані з десяткових. Інакше це ускладнить зворотну задачу - уявлення кінцевої відповіді знову в десятковому вигляді.

Запам'ятайте: основна властивість дробу (як і будь-яке інше правило в математиці) саме по собі ще не означає, що його треба застосовувати скрізь і завжди, при кожній слушній нагоді.

Десяткова дріб використовується, коли потрібно виконувати дії з нецілі числами. Це може здатися нераціональним. Але такий вид чисел істотно полегшує математичні операції, які з ними необхідно виконувати. Це розуміння приходить з часом, коли їх запис стає звичною, а прочитання не викликає труднощів, і освоєні правила десяткових дробів. Тим більше що всі дії повторюють вже відомі, які засвоєні з натуральними числами. Тільки потрібно запам'ятати деякі особливості.

Визначення десяткового дробу

Десяткова дріб - це особливе уявлення нецілого числа зі знаменником, який ділиться на 10, а відповідь виходить у вигляді одиниці і, можливо, нулів. Іншими словами, якщо в знаменнику 10, 100, 1000 і так далі, то зручніше переписати число з використанням коми. Тоді до неї буде розташована ціла частина, а потім - дрібна. Причому запис другої половини числа буде залежати від знаменника. Кількість цифр, які знаходяться в дробової частини, має дорівнювати розряду знаменника.

Проілюструвати вищесказане можна цими числами:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Причини, за якими знадобилося застосування десяткових дробів

Математикам потрібні були десяткові дроби з кількох підстав:

Спрощення записи. Така дріб розташована уздовж однієї лінії без рисочки між знаменником і чисельником, при цьому наочність не страждає.

Простота в порівнянні. Досить просто співвіднести цифри, що знаходяться в однакових позиціях, в той час як з звичайними дробами довелося б приводити їх до спільного знаменника.

Спрощення обчислень.

Калькулятори не розраховані на введення звичайних дробів, вони для всіх операцій використовують десяткову запис чисел.

Як правильно прочитати такі числа?

Відповідь проста: так само, як звичайне змішане число зі знаменником, кратним 10. Виняток становлять тільки дробу без цілого значення, тоді при читанні треба вимовляти «нуль цілих».

Наприклад, 45/1000 потрібно вимовити як сорок п'ять тисячних, В той же час 0,045 звучатиме як нуль цілих сорок п'ять тисячних.

Змішане число з цілою частиною дорівнює 7 і дробом 17/100, що запишеться як 7,17, в обох випадках буде прочитано як сім цілих сімнадцять сотих.

Роль розрядів у записі дробів

Вірно відзначити розряд - це те, що вимагає математика. Десяткові дроби і їх значення можуть суттєво змінитися, якщо записати цифру не в тому місці. Втім, це було справедливо і раніше.

Для прочитання розрядів цілої частини десяткового дробу потрібно просто скористатися правилами, відомими для натуральних чисел. А в правій частині вони дзеркально відображаються і по-іншому читаються. Якщо в цілій частині звучало "десятки", то після коми це будуть вже "десяті".

Наочно це можна побачити в цій таблиці.

Як правильно записати змішане число десятковим дробом?

Якщо в знаменнику стоїть число, що дорівнює 10 або 100, і інші, то питання про те, як дріб перевести в десяткову, нескладний. Для цього досить по-іншому переписати всі її складові частини. У цьому допоможуть такі пункти:

трохи в стороні написати чисельник дробу, в цей момент десяткова кома розташовується праворуч, після останньої цифри;

перемістити кому вліво, тут найголовніше - правильно порахувати цифри - пересунути її потрібно на стільки позицій, скільки нулів у знаменнику;

якщо їх не вистачає, то на порожніх позиціях повинні виявитися нулі;

нулі, які були в кінці чисельника, тепер не потрібні, і їх можна закреслити;

перед коми приписати цілу частину, якщо її не було, то тут теж виявиться нуль.

Увага. Не можна закреслювати нулі, які опинилися оточені іншими цифрами.

Про те, як бути в ситуації, коли в знаменнику число не тільки з одиниці і нулів, як дріб переводити в десяткову, можна прочитати трохи нижче. це важлива інформація, З якої обов'язково варто ознайомитися.

Як дріб перевести в десяткову, якщо знаменник - довільне число?

Тут можливі два варіанти:

Коли знаменник можна представити у вигляді числа, що дорівнює десяти в будь-якого ступеня.

Якщо таку операцію виконати не можна.

Як це перевірити? Потрібно розкласти знаменник на множники. Якщо в творі присутні тільки 2 і 5, то все добре, і дріб легко перетворюється в кінцеву десяткову. В іншому випадку, якщо з'являються 3, 7 і інші прості числа, то результат буде нескінченним. Таку десяткову дріб для зручності використання в математичних операціях прийнято округляти. Про це буде мова трохи нижче.

Вивчає, як виходять такі десяткові дроби, 5 клас. Приклади тут будуть дуже до речі.

Нехай в знаменниках знаходяться числа: 40, 24 і 75. Розклад на прості множники для них буде таке:

• 40 \u003d 2 · 2 · 2 · 5;
• 24 \u003d 2 · 2 · 2 · 3;
• 75 \u003d 5 · 5 · 3.

У цих прикладах тільки перша дріб може бути представлена \u200b\u200bу вигляді кінцевої.

Алгоритм перекладу звичайного дробу в кінцеву десяткову

Перевірити розкладання знаменника на прості множники і переконатися в тому, що воно буде складатися з 2 і 5.

Додати до цих чисел стільки 2 і 5, щоб їх стало рівну кількість. Вони дадуть значення додаткового множника.

Провести множення знаменника і чисельника на це число. В результаті вийде звичайна дріб, під рискою у якій коштує 10 в деякій мірі.

Якщо в задачі ці дії виконуються зі змішаним числом, то його спочатку потрібно представити у вигляді неправильного дробу. А вже потім діяти за описаним сценарієм.

Подання звичайного дробу у вигляді округленої десяткової

Цей спосіб того, як дріб переводити в десяткову, комусь здасться навіть простіше. Тому що в ньому немає великої кількості дій. Потрібно тільки розділити значення чисельника на знаменник.

До будь-якого числа з десяткової частиною праворуч від коми можна приписати нескінченну кількість нулів. Цим властивістю і потрібно скористатися.

Спочатку записати цілу частину і поставити після неї кому. Якщо дріб правильна, то написати нуль.

Потім покладається виконати поділ чисельника на знаменник. Так, щоб кількість цифр у них було однаковим. Тобто приписати праворуч у чисельника потрібну кількість нулів.

Виконувати ділення в стовпчик до тих пір, поки не буде набрано потрібну кількість цифр. Наприклад, якщо округлити потрібно буде до сотих, то у відповіді їх повинно бути 3. Загалом, цифр має бути на одну більше, ніж потрібно отримати в результаті.

Записати проміжну відповідь після коми і округлити за правилами. Якщо остання цифра - від 0 до 4, то її потрібно просто відкинути. А коли вона дорівнює 5-9, то що стоїть перед нею потрібно збільшити на одиницю, відкинувши останню.

Повернення від десяткового дробу до звичайної

У математиці зустрічаються завдання, коли десяткові дроби зручніше представити у вигляді звичайних, в яких є чисельник зі знаменником. Можна зітхнути з полегшенням: ця операція можлива завжди.

Для цієї процедури потрібно зробити наступне:

записати цілу частину, якщо вона дорівнює нулю, то нічого писати не треба;

провести дробову риску;

над нею записати цифри з правої частини, якщо першими йдуть нулі, то їх потрібно закреслити;

під рискою написати одиницю з такою кількістю нулів, скільки цифр варто після коми в первісної дробу.

Це все, що потрібно зробити, щоб перевести десяткову дріб в звичайну.

Що можна робити з десятковими дробами?

У математиці це будуть певні дії з десятковими дробами, які раніше виконувалися для інших чисел.

Ними є:

порівняння;

додавання і віднімання;

множення і ділення.

Перша дія, порівняння, схоже на те, як це робилося для натуральних чисел. Щоб визначити, яке більше, потрібно порівнювати розряди цілої частини. Якщо вони виявляться рівними, то переходять до дробової і так само за розрядами порівнюють їх. Те число, де опиниться велика цифра в старшому розряді, і буде відповіддю.

Додавання і віднімання десяткових дробів

Це, мабуть, найпростіші дії. Тому що виконуються за правилами для натуральних чисел.



Так, щоб виконати додавання десяткових дробів, їх потрібно записати один під одним, розмістивши коми в стовпчик. При такому записі зліва від ком виявляються цілі частини, а праворуч - дробові. І тепер потрібно скласти цифри поразрядно, як це робиться з натуральними числами, знісши вниз кому. Починати складання потрібно з самого маленького розряду дробової частини числа. Якщо в правій половині бракує цифр, то дописують нулі.

При відніманні діють так само. І тут діє правило, яке описує можливість зайняти одиницю у старшого розряду. Якщо в зменшується дробу після коми менше цифр, ніж у від'ємника, то в ній просто приписують нулі.

Трохи складніше йде справа з завданнями, де потрібно виконати множення і ділення десяткових дробів.

Як помножити десяткову дріб в різних прикладах?

Правило, за яким здійснюється множення десяткових дробів на натуральне число, таке:

записати їх в стовпчик, не звертаючи уваги на кому;

перемножити, як якщо б вони були натуральними;

відокремити коми стільки цифр, скільки їх було в дробової частини вихідного числа.

Окремим випадком є \u200b\u200bприклад, в якому натуральне число дорівнює 10 в будь-якого ступеня. Тоді для отримання відповіді потрібно просто пересунути кому вправо на стільки позицій, скільки нулів в іншому множнику. Іншими словами, при множенні на 10 кома зсувається на одну цифру, на 100 - їх буде вже дві, і так далі. Якщо цифр у дробовій частині не вистачає, то потрібно записати на порожніх позиціях нулі.

Правило, яким користуються, коли в завданні потрібно зробити множення десяткових дробів на інше таке ж число:

записати їх один під одним, не звертаючи уваги на коми;

помножити, як якщо б вони були натуральними;

відокремити коми стільки цифр, скільки їх було в дрібних частинах обох вихідних дробах разом.

Окремим випадком виділяються приклади, в яких один з множників дорівнює 0,1 або 0,01 і далі. У них потрібно виконати переміщення коми вліво на кількість цифр в представлених множниках. Тобто якщо множиться на 0,1, то кома зсувається на одну позицію.

Як розділити десяткову дріб в різних завданнях?

Розподіл десяткових дробів на натуральне число виконується за таким правилом:

записати їх для ділення в стовпчик, як якщо б вони були натуральними;

ділити за звичним правилом до тих пір, поки не закінчиться ціла частина;

поставити у відповідь кому;

продовжити поділ дробової складової до отримання в залишку нуля;

якщо потрібно, то можна приписати потрібну кількість нулів.

Якщо ціла частина дорівнює нулю, то і у відповіді її теж не буде.

Окремо варто розподіл на числа, рівні десятці, сотні і так далі. У таких завданнях потрібно пересунути кому вліво на кількість нулів в дільнику. Буває, що цифр в цілій частині не вистачає, тоді замість них використовують нулі. Можна помітити, що ця операція подібна множенню на 0,1 і подібним їй числах.

Щоб виконати ділення десяткових дробів, потрібно скористатися цим правилом:

перетворити дільник в натуральне число, а для цього перенести в ньому кому вправо до кінця;

виконати переміщення коми і в подільному на таке ж число цифр;

діяти за попереднім сценарієм.

Виділяється розподіл на 0,1; 0,01 і інші подібні числа. У таких прикладах кома зсувається вправо на число цифр у дробовій частині. Якщо вони закінчилися, то потрібно приписати відсутню кількість нулів. Варто відзначити, що це дія повторює розподіл на 10 та подібні йому числа.



Висновок: вся справа в практиці

Ніщо в навчанні не дається легко і без зусиль. Для надійного освоєння нового матеріалу потрібні час і тренування. Математика не виняток.

Щоб тема про десяткові дроби не викликала труднощів, потрібно вирішувати з ними прикладів як можна більше. Адже був час, коли і складання натуральних чисел ставило в глухий кут. А тепер все нормально.

Тому, перефразовуючи відому фразу: вирішувати, вирішувати і ще раз вирішувати. Тоді і завдання з такими числами будуть виконуватися легко і невимушено, як чергова головоломка.

До речі, і головоломки спочатку вирішуються складно, а потім потрібно робити звичні руху. Так само і в математичних прикладах: пройшовши по одному шляху кілька разів, потім вже не будеш замислюватися над тим, куди повернути.

Як звичайні числа.

2. Вважаємо число знаків після коми у 1-ій десяткового дробу і у 2-ий. Їх число складаємо.

3. У підсумковому результаті відраховуємо справа наліво таке число цифр, скільки вийшло їх в пункті вище, і ставимо кому.

Правила множення десяткових дробів.

1. Помножити, не звертаючи уваги на кому.

2. У творі відокремлюємо після коми таку кількість цифр, скільки їх після коми в обох множниках разом.

Помноживши десяткову дріб на натуральне число, необхідно:

1. Помножити числа, не звертаючи уваги на кому;

2. В результаті ставимо кому так, щоб праворуч від неї було стільки цифр, скільки в десяткового дробу.

Множення десяткових дробів стовпчиком.

Розглянемо на прикладі:

Записуємо десяткові дроби в стовпчик і множимо їх як натуральні числа, не звертаючи уваги на коми. Тобто 3,11 ми розглядаємо як 311, а 0,01 як 1.

Результатом є 311. Далі вважаємо число знаків (цифр) після коми в обох дробів. У 1-ій десяткового дробу 2 знака і в 2-рій - 2. Загальне число цифр після ком:

2 + 2 = 4

Відраховуємо справа наліво чотири знака у результату. У підсумковому результаті цифр менше, ніж потрібно відокремити комою. В цьому випадку необхідно зліва дописати не вистачає кількість нулів.

У нашому випадку не дістає 1-ої цифри, тому дописуємо зліва 1 нуль.

Зверніть увагу:

Помноживши будь-яку десяткову дріб на 10, 100, 1000 і так далі, кома в десяткового дробу переноситься вправо на стільки знаків, скільки нулів після одиниці.

наприклад:

70,1 . 10 = 701

0,023 . 100 = 2,3

5,6 . 1 000 = 5 600

Зверніть увагу:

Для множення десяткового дробу на 0,1; 0,01; 0,001; і так далі, потрібно в цій дробу перенести кому вліво на стільки знаків, скільки нулів перед одиницею.

Вважаємо і нуль цілих!

наприклад:

12 . 0,1 = 1,2

0,05 . 0,1 = 0,005

1,256 . 0,01 = 0,012 56