У цьому уроці ми розглянемо кожну з цих операцій окремо.

зміст уроку

Додавання десяткових дробів

Як ми знаємо, десяткова дріб має цілу і дробову частину. при додаванні десяткових дробів, Цілі і дробові частини складаються окремо.

Наприклад, складемо десяткові дроби 3,2 і 5,3. Десяткові дроби зручніше складати в стовпчик.

Запишемо спочатку ці дві дробу в стовпчик, при цьому цілі частини обов'язково повинні бути під цілими, а дробові під дробовими. У школі це вимога називають «Кома під коми».

Запишемо дробу в стовпчик так, щоб кома була під коми:

Починаємо складати дробові частини: 2 + 3 \u003d 5. Записуємо п'ятірку в дробової частини нашої відповіді:

Тепер складаємо цілі частини: 3 + 5 \u003d 8. Записуємо вісімку в цілій частині нашої відповіді:

Тепер відділяємо коми цілу частину від дробової. Для цього знову ж дотримуємося правило «Кома під коми»:

Отримали відповідь 8,5. Значить вираження 3,2 + 5,3 одно 8,5

Насправді, не все так просто, як здається на перший погляд. Тут теж є свої підводні камені, про які ми зараз поговоримо.

Розряди в десяткових дробах

У десяткових дробів, як і у звичайних чисел, є свої розряди. Це розряди десятих, розряди сотих, розряди тисячних. При цьому розряди починаються після коми.

Перша цифра після коми відповідає за розряд десятих, друга цифра після коми за розряд сотих, третя цифра після коми за розряд тисячних.

Розряди в десяткових дробах зберігають в собі деяку корисну інформацію. Зокрема, вони повідомляють скільки в десяткового дробу десятих частин, сотих частин і тисячних частин.

Наприклад, розглянемо десяткову дріб 0,345

Позиція, де знаходиться трійка, називається розрядом десятих

Позиція, де знаходиться четвірка, називається розрядом сотих

Позиція, де знаходиться п'ятірка, називається розрядом тисячних

Подивимося на даний малюнок. Бачимо, що в розряді десятих розташовується трійка. Це говорить про те, що в десяткового дробу 0,345 міститься три десятих.

Якщо ми складемо дробу, і то отримаємо початкову десяткову дріб 0,345

Видно, що спочатку ми отримали відповідь, але перевели його в десяткову дріб і отримали 0,345.

При додаванні десяткових дробів дотримуються ті ж принципи і правила, що і при додаванні звичайних чисел. Додавання десяткових дробів відбувається за розрядами: десяті частини складаються з десятими частинами, соті з сотими, тисячні з тисячними.

Тому при додаванні десяткових дробів вимагають дотримуватися правила «Кома під коми». Кома під коми забезпечує той самий порядок, в якому десяті частини складаються з десятими, соті з сотими, тисячні з тисячними.

Приклад 1. Знайти значення виразу 1,5 + 3,4

В першу чергу складаємо дробові частини 5 + 4 \u003d 9. Записуємо дев'ятку в дробової частини нашої відповіді:

Тепер складаємо цілі частини 1 + 3 \u003d 4. Записуємо четвірку в цілій частині нашої відповіді:

Тепер відділяємо коми цілу частину від дробової. Для цього знову ж дотримуємося правило «кома під коми»:

Отримали відповідь 4,9. Значить значення виразу 1,5 + 3,4 одно 4,9

Приклад 2. Знайти значення виразу: 3,51 + 1,22

Записуємо в стовпчик цей вислів, Дотримуючись правило «кома під коми»

В першу чергу складаємо дробову частину, а саме соті частини 1 + 2 \u003d 3. Записуємо трійку в сотої частини нашої відповіді:

Тепер складаємо десяті частини 5 + 2 \u003d 7. Записуємо сімку в десятої частини нашої відповіді:

Тепер складаємо цілі частини 3 + 1 \u003d 4. Записуємо четвірку в цілій частині нашої відповіді:

Відокремлюємо коми цілу частину від дробової, дотримуючись правило «кома під коми»:

Отримали відповідь 4,73. Значить значення виразу 3,51 + 1,22 одно 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Як і в звичайних числах, при додаванні десяткових дробів може статися. В цьому випадку у відповіді записується одна цифра, а решта переносять на наступний розряд.

Приклад 3. Знайти значення виразу 2,65 + 3,27

Записуємо в стовпчик даний вираз:

Складаємо соті частини 5 + 7 \u003d 12. Число 12 не поміститься в сотої частини нашої відповіді. Тому в сотої частини записуємо цифру 2, а одиницю переносимо на наступний розряд:

Тепер складаємо десяті частини 6 + 2 \u003d 8 плюс одиниця, яка дісталася від попередньої операції, отримаємо 9. Записуємо цифру 9 в десятої частини нашої відповіді:

Тепер складаємо цілі частини 2 + 3 \u003d 5. Записуємо цифру 5 в цілій частині нашої відповіді:

Отримали відповідь 5,92. Значить значення виразу 2,65 + 3,27 одно 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Приклад 4. Знайти значення виразу 9,5 + 2,8

Записуємо в стовпчик цей вислів

Складаємо дробові частини 5 + 8 \u003d 13. Число 13 не поміститься в дробової частина нашої вiдповiдi, тому спочатку записуємо цифру 3, а одиницю переносимо на наступний розряд, точніше переносимо її до цілої частини:

Тепер складаємо цілі частини 9 + 2 \u003d 11 плюс одиниця, яка дісталася від попередньої операції, отримуємо 12. Записуємо число 12 в цілій частині нашої відповіді:

Відокремлюємо коми цілу частину від дробової:

Отримали відповідь 12,3. Значить значення виразу 9,5 + 2,8 одно 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

При додаванні десяткових дробів кількість цифр після коми в обох дробах має бути однаковим. Якщо цифр не вистачає, то ці місця в дробової частини заповнюються нулями.

приклад 5. Знайти значення виразу: 12,725 + 1,7

Перш ніж записувати в стовпчик цей вислів, зробимо кількість цифр після коми в обох дробах однаковим. В десяткового дробу 12,725 після коми три цифри, а в дробу 1,7 тільки одна. Значить в дробу 1,7 в кінці потрібно додати два нулі. Тоді отримаємо дріб 1,700. Тепер можна записати в стовпчик цей вислів і почати обчислювати:

Складаємо тисячні частини 5 + 0 \u003d 5. Записуємо цифру 5 в тисячної частини нашої відповіді:

Складаємо соті частини 2 + 0 \u003d 2. Записуємо цифру 2 в сотої частини нашої відповіді:

Складаємо десяті частини 7 + 7 \u003d 14. Число 14 не поміститься в десятої частини нашої відповіді. Тому спочатку записуємо цифру 4, а одиницю переносимо на наступний розряд:

Тепер складаємо цілі частини 12 + 1 \u003d 13 плюс одиниця, яка дісталася від попередньої операції, отримуємо 14. Записуємо число 14 в цілій частині нашої відповіді:

Відокремлюємо коми цілу частину від дробової:

Отримали відповідь 14,425. Значить значення виразу 12,725 + 1,700 одно 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Віднімання десяткових дробів

При відніманні десяткових дробів потрібно дотримуватися тих самих правил, що і при додаванні: «кома під коми» і «рівне кількості цифр після коми».

Приклад 1. Знайти значення виразу 2,5 - 2,2

Записуємо в стовпчик цей вислів, дотримуючись правило «кома під коми»:

Обчислюємо дробову частину 5-2 \u003d 3. Записуємо цифру 3 в десятої частини нашої відповіді:

Обчислюємо цілу частину 2-2 \u003d 0. Записуємо нуль в цілій частині нашої відповіді:

Відокремлюємо коми цілу частину від дробової:

Отримали відповідь 0,3. Значить значення виразу 2,5 - 2,2 одно 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Приклад 2. Знайти значення виразу 7,353 - 3,1

У цьому виразі різну кількість цифр після коми. У дробу 7,353 після коми три цифри, а в дробу 3,1 тільки одна. Значить в дробу 3,1 в кінці потрібно додати два нулі, щоб зробити кількість цифр в обох дробах однаковим. Тоді отримаємо 3,100.

Тепер можна записати в стовпчик даний вираз і обчислити його:

Отримали відповідь 4,253. Значить значення виразу 7,353 - 3,1 одно 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Як і в звичайних числах, іноді доведеться займати одиницю у сусіднього розряду, якщо віднімання стане неможливим.

Приклад 3. Знайти значення виразу 3,46 - 2,39

Віднімаємо соті частини 6-9. Від число 6 Не відняти число 9. Тому потрібно зайняти одиницю у сусіднього розряду. Зайнявши одиницю у сусіднього розряду число 6 звертається в число 16. Тепер можна обчислити соті частини 16-9 \u003d 7. Записуємо сімку в сотої частини нашої відповіді:

Тепер віднімаємо десяті частини. Оскільки ми зайняли в розряді десятих одну одиницю, то цифра, яка там розташовувалася, зменшилася на одну одиницю. Іншими словами, в розряді десятих тепер не цифра 4, а цифра 3. Обчислимо десяті частини 3-3 \u003d 0. Записуємо нуль в десятої частини нашої відповіді:

Тепер віднімаємо цілі частини 3-2 \u003d 1. Записуємо одиницю в цілій частині нашої відповіді:

Відокремлюємо коми цілу частину від дробової:

Отримали відповідь 1,07. Значить значення виразу 3,46-2,39 одно 1,07

3,46−2,39=1,07

приклад 4. Знайти значення виразу 3-1,2

У цьому прикладі з цілого числа віднімається десяткова дріб. Запишемо цей вираз стовпчиком так, щоб ціла частина десяткового дробу 1,23 опинилася під числом 3

Тепер зробимо кількість цифр після коми однаковим. Для цього після числа 3 поставимо кому і допишемо один нуль:

Тепер віднімаємо десяті частини: 0-2. Від нуля трохи відняти число 2. Тому потрібно зайняти одиницю у сусіднього розряду. Зайнявши одиницю у сусіднього розряду, 0 звертається в число 10. Тепер можна обчислити десяті частини 10-2 \u003d 8. Записуємо вісімку в десятої частини нашої відповіді:

Тепер віднімаємо цілі частини. Раніше в цілій розташовувалося число 3, але ми зайняли у нього одну одиницю. В результаті воно звернулося до числа 2. Тому з 2 віднімаємо 1. 2-1 \u003d 1. Записуємо одиницю в цілій частині нашої відповіді:

Відокремлюємо коми цілу частину від дробової:

Отримали відповідь 1,8. Значить значення виразу 3-1,2 одно 1,8

Множення десяткових дробів

Множення десяткових дробів це просто і навіть захоплююче. Щоб перемножити десяткові дроби, потрібно перемножити їх як звичайні числа, не звертаючи уваги на коми.

Отримавши відповідь, необхідно відокремити коми цілу частину від дробової. Щоб зробити це, треба порахувати кількість цифр після коми в обох дробах, потім у відповіді відрахувати справа стільки ж цифр і поставити кому.

Приклад 1. Знайти значення виразу 2,5 × 1,5

Перемножимо ці десяткові дроби як звичайні числа, не звертаючи уваги на коми. Щоб не звертати уваги на коми, можна на час уявити, що вони взагалі відсутні:

Отримали 375. У цьому числі необхідно відокремити коми цілу частину від дробової. Для цього потрібно порахувати кількість цифр після коми в дробах 2,5 і 1,5. У першій дробу після коми одна цифра, в другій дроби теж одна. Разом дві цифри.

Повертаємося до числа 375 і починаємо рухатися справа наліво. Нам потрібно відрахувати дві цифри праворуч і поставити кому:

Отримали відповідь 3,75. Значить значення виразу 2,5 × 1,5 одно 3,75

2,5 × 1,5 \u003d 3,75

Приклад 2. Знайти значення виразу 12,85 × 2,7

Перемножимо ці десяткові дроби, не звертаючи уваги на коми:

Отримали 34695. У цьому числі потрібно відокремити коми цілу частину від дробової. Для цього необхідно порахувати кількість цифр після коми в дробах 12,85 і 2,7. У дробу 12,85 після коми дві цифри, в дробу 2,7 одна цифра - разом три цифри.

Повертаємося до числа 34695 і починаємо рухатися справа наліво. Нам потрібно відрахувати три цифри справа і поставити кому:

Отримали відповідь 34,695. Значить значення виразу 12,85 × 2,7 одно 34,695

12,85 × 2,7 \u003d 34,695

Множення десяткового дробу на звичайне число

Іноді виникають ситуації, коли потрібно помножити десяткову дріб на звичайне число.

Щоб перемножити десяткову дріб і звичайне число, потрібно перемножити їх, не звертаючи уваги на кому в десяткового дробу. Отримавши відповідь, необхідно відокремити коми цілу частину від дробової. Для цього потрібно порахувати кількість цифр після коми в десяткового дробу, потім у відповіді відрахувати справа стільки ж цифр і поставити кому.

Наприклад, помножимо 2,54 на 2

Множимо десяткову дріб 2,54 на звичайне число 2, не звертаючи уваги на кому:

Отримали число 508. В цьому числі потрібно відокремити коми цілу частину від дробової. Для цього необхідно порахувати кількість цифр після коми в дробу 2,54. У дробу 2,54 після коми дві цифри.

Повертаємося до числа 508 і починаємо рухатися справа наліво. Нам потрібно відрахувати дві цифри праворуч і поставити кому:

Отримали відповідь 5,08. Значить значення виразу 2,54 × 2 одно 5,08

2,54 × 2 \u003d 5,08

Множення десяткових дробів на 10, 100, 1000

Множення десяткових дробів на 10, 100 або 1000 виконується таким же чином, як і множення десяткових дробів на звичайні числа. Потрібно виконати множення, не звертаючи уваги на кому в десяткового дробу, потім у відповіді відокремити цілу частину від дробової, відрахувавши справа стільки ж цифр, скільки було цифр після коми в десяткового дробу.

Наприклад, помножимо 2,88 на 10

Помножимо десяткову дріб 2,88 на 10, не звертаючи уваги на кому в десяткового дробу:

Отримали 2880. У цьому числі потрібно відокремити коми цілу частину від дробової. Для цього необхідно порахувати кількість цифр після коми в дробу 2,88. Бачимо, що в дробу 2,88 після коми дві цифри.

Повертаємося до числа 2880 і починаємо рухатися справа наліво. Нам потрібно відрахувати дві цифри праворуч і поставити кому:

Отримали відповідь 28,80. Відкинемо останній нуль - отримаємо 28,8. Значить значення виразу 2,88 × 10 одно 28,8

2,88 × 10 \u003d 28,8

Є і другий спосіб множення десяткових дробів на 10, 100, 1000. Цей спосіб набагато простіше і зручніше. Він полягає в тому, що кома в десяткового дробу пересувається вправо на стільки цифр, скільки нулів у множнику.

Наприклад, вирішимо попередній приклад 2,88 × 10 цим способом. Не наводячи ніяких обчислень, відразу ж дивимося на множник 10. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому один нуль. Тепер в дробу 2,88 пересуваємо кому вправо на одну цифру, отримаємо 28,8.

2,88 × 10 \u003d 28,8

Спробуємо помножити 2,88 на 100. Відразу ж дивимося на множник 100. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому два нуля. Тепер в дробу 2,88 пересуваємо кому вправо на дві цифри, отримуємо 288

2,88 × 100 \u003d 288

Спробуємо помножити 2,88 на 1000. Відразу ж дивимося на множник 1000. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому три нуля. Тепер в дробу 2,88 пересуваємо кому вправо на три цифри. Третьою цифри там немає, тому ми дописуємо ще один нуль. У підсумку отримуємо 2880.

2,88 × 1000 \u003d 2880

Множення десяткових дробів на 0,1 0,01 і 0,001

Множення десяткових дробів на 0,1, 0,01 і 0,001 відбувається таким же чином, як і множення десяткового дробу на десятковий дріб. Необхідно перемножити дробу, як звичайні числа, і у відповіді поставити кому, відрахувавши стільки цифр справа, скільки цифр після коми в обох дробах.

Наприклад, помножимо 3,25 на 0,1

Множимо ці дроби, як звичайні числа, не звертаючи уваги на коми:

Отримали 325. У цьому числі потрібно відокремити коми цілу частину від дробової. Для цього необхідно порахувати кількість цифр після коми в дробах 3,25 і 0,1. У дробу 3,25 після коми дві цифри, в дробу 0,1 одна цифра. Разом три цифри.

Повертаємося до числа 325 і починаємо рухатися справа наліво. Нам потрібно відрахувати три цифри справа і поставити кому. Відрахувавши три цифри ми виявляємо, що цифри закінчилися. В цьому випадку потрібно дописати один нуль і поставити кому:

Отримали відповідь 0,325. Значить значення виразу 3,25 × 0,1 одно 0,325

3,25 × 0,1 \u003d 0,325

Є і другий спосіб множення десяткових дробів на 0,1, 0,01 і 0,001. Цей спосіб набагато простіше і зручніше. Він полягає в тому, що кома в десяткового дробу пересувається вліво на стільки цифр, скільки нулів у множнику.

Наприклад, вирішимо попередній приклад 3,25 × 0,1 цим способом. Не наводячи ніяких обчислень відразу ж дивимося на множник 0,1. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому один нуль. Тепер в дробу 3,25 пересуваємо кому вліво на одну цифру. Пересунувши кому на одну цифру вліво ми бачимо, що перед трійкою більше немає ніяких цифр. В цьому випадку дописуємо один нуль і ставимо кому. В результаті отримуємо 0,325

3,25 × 0,1 \u003d 0,325

Спробуємо помножити 3,25 на 0,01. Відразу ж дивимося на множник 0,01. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому два нуля. Тепер в дробу 3,25 пересуваємо кому вліво на дві цифри, отримуємо 0,0325

3,25 × 0,01 \u003d 0,0325

Спробуємо помножити 3,25 на 0,001. Відразу ж дивимося на множник 0,001. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому три нуля. Тепер в дробу 3,25 пересуваємо кому вліво на три цифри, отримуємо 0,00325

3,25 × 0,001 \u003d 0,00325

Не можна плутати множення десяткових дробів на 0,1, 0,001 і 0,001 з множенням на 10, 100, 1000. типова помилка більшості людей.

При множенні на 10, 100, 1000 кома переноситься вправо на стільки ж цифр скільки нулів у множнику.

А при множенні на 0,1, 0,01 і 0,001 кома переноситься вліво на стільки ж цифр скільки нулів у множнику.

Якщо на перших порах це складно запам'ятати, можна користуватися першим способом, в якому множення виконується як зі звичайними числами. У відповіді потрібно буде відокремити цілу частину від дробової, відрахувавши справа стільки ж цифр, скільки цифр після коми в обох дробах.

Розподіл меншого числа на більше. Просунутий рівень.

В одному з попередніх уроків ми сказали, що при розподілі меншого числа на більшу виходить дріб, у чисельнику якого ділене, а в знаменнику - дільник.

Наприклад, щоб розділити одне яблуко на двох, потрібно в чисельник записати 1 (одне яблуко), а в знаменник записати 2 (двоє друзів). В результаті отримаємо дріб. Значить кожному одному дістанеться по яблука. Іншими словами, по половині яблука. Дріб це відповідь до задачі «Як розділити одне яблуко на двох»

Виявляється, можна вирішувати цю задачу і далі, якщо розділити 1 на 2. Адже дрібна риса в будь-який дробу означає розподіл, а значить і в дробу це поділ дозволено. Але як? Адже ми звикли до того, що ділене завжди більше дільника. А тут навпаки, ділене менше дільника.

Все стане ясним, якщо згадати, що дріб означає дроблення, розподіл, поділ. А значить і одиниця може бути роздроблена на скільки завгодно частин, а не тільки на дві частини.

При поділі меншого числа на більшу виходить десяткова дріб, в якій ціла частина буде 0 (нульовий). Дрібна частина ж може бути будь-хто.

Отже, розділимо 1 на 2. Вирішимо цей приклад куточком:

Одиницю на два просто так націлена не розділити. Якщо задати питання «Скільки двійок в одиниці» , То відповіддю буде 0. Тому в приватному записуємо 0 і ставимо кому:

Тепер як зазвичай множимо приватне на дільник, щоб витягнути залишок:

Настав момент, коли одиницю можна дробити на дві частини. Для цього праворуч від отриманої одинички дописуємо ще один нуль:

Отримали 10. Ділимо 10 на 2, отримуємо 5. Записуємо п'ятірку в дробової частини нашої відповіді:

Тепер витягуємо останній залишок, щоб завершити обчислення. Множимо 5 на 2, отримуємо 10

Отримали відповідь 0,5. Значить дріб дорівнює 0,5

Половину яблука можна записати і за допомогою десяткового дробу 0,5. Якщо скласти ці дві половинки (0,5 і 0,5), ми знову отримаємо початкове одне ціле яблуко:

Цей момент також можна зрозуміти, якщо уявити, як 1 см ділиться на дві частини. Якщо 1 сантиметр розділити на 2 частини, то вийде 0,5 см

Приклад 2. Знайти значення виразу 4: 5

Скільки п'ятірок в четвірці? Анітрохи. Записуємо в приватному 0 і ставимо кому:

Множимо 0 на 5, отримуємо 0. Записуємо нуль під четвіркою. Відразу ж віднімаємо цей нуль з діленого:

Тепер почнемо дробити (ділити) четвірку на 5 частин. Для цього праворуч від 4 дописуємо нуль і ділимо 40 на 5, отримуємо 8. Записуємо вісімку в приватному.

Завершуємо приклад, помноживши 8 на 5, і отримавши 40:

Отримали відповідь 0,8. Значить значення виразу 4: 5 дорівнює 0,8

Приклад 3. Знайти значення виразу 5: 125

Скільки чисел 125 в п'ятірці? Анітрохи. Записуємо 0 в приватному і ставимо кому:

Множимо 0 на 5, отримуємо 0. Записуємо 0 під п'ятіркою. Відразу ж віднімаємо з п'ятірки 0

Тепер почнемо дробити (ділити) п'ятірку на 125 частин. Для цього праворуч від цієї п'ятірки запишемо нуль:

Ділимо 50 на 125. Скільки чисел 125 в числі 50? Анітрохи. Значить в приватному знову записуємо 0

Множимо 0 на 125, отримуємо 0. Записуємо цей нуль під 50. Відразу ж віднімаємо 0 з 50

Тепер ділимо число 50 на 125 частин. Для цього праворуч від 50 запишемо ще один нуль:

Ділимо 500 на 125. Скільки чисел 125 в числі 500. У числі 500 чотири числа 125. Записуємо четвірку в приватному:

Завершуємо приклад, помноживши 4 на 125, і отримавши 500

Отримали відповідь 0,04. Значить значення виразу 5: 125 одно 0,04

Розподіл чисел без залишку

Отже, поставимо в приватному після одиниці кому, тим самим вказуючи, що розподіл цілих частин закінчилося і ми приступаємо до дробової частини:

Допишемо нуль до залишку 4

Тепер ділимо 40 на 5, отримуємо 8. Записуємо вісімку в приватному:

40-40 \u003d 0. Отримали 0 в залишку. Значить розподіл на цьому повністю завершено. При розподілі 9 на 5 виходить десяткова дріб 1,8:

9: 5 = 1,8

приклад 2. Розділити 84 на 5 без залишку

Спочатку розділимо 84 на 5 як зазвичай із залишком:

Отримали в приватному 16 і ще 4 в залишку. Тепер розділимо цей залишок на 5. Поставимо в приватному кому, а до залишку 4 допишемо 0

Тепер ділимо 40 на 5, отримуємо 8. Записуємо вісімку в приватному після коми:

і завершуємо приклад, перевіривши чи є ще залишок:

Розподіл десяткового дробу на звичайне число

Десяткова дріб, як ми знаємо складається з цілої і дробової частини. При розподілі десяткового дробу на звичайне число в першу чергу потрібно:

• розділити цілу частину десяткового дробу на це число;
• після того, як ціла частина буде розділена, потрібно в приватному відразу ж поставити кому і буде продовжувати обчислювати, як в звичайному розподілі.

Наприклад, розділимо 4,8 на 2

Запишемо цей приклад куточком:

Тепер розділимо цілу частину на 2. Чотири розділити на два буде два. Записуємо двійку в приватному і відразу ж ставимо кому:

Тепер множимо приватне на дільник і дивимося чи залишок від ділення:

4-4 \u003d 0. Залишок дорівнює нулю. Нуль поки не записуємо, оскільки рішення не завершено. Далі продовжуємо вважати, як в звичайному розподілі. Зносимо 8 і ділимо її на 2

8: 2 \u003d 4. Записуємо четвірку в приватному і відразу множимо її на дільник:

Отримали відповідь 2,4. Значення виразу 4,8: \u200b\u200b2 одно 2,4

Приклад 2. Знайти значення виразу 8,43: 3

Ділимо 8 на 3, отримуємо 2. Відразу ж ставимо кому після двійки:

Тепер множимо приватне на дільник 2 × 3 \u003d 6. Записуємо шістку під вісімкою і знаходимо залишок:

Ділимо 24 на 3, отримуємо 8. Записуємо вісімку в приватному. Відразу ж множимо її на дільник, щоб знайти залишок від ділення:

24-24 \u003d 0. Залишок дорівнює нулю. Нуль поки не записуємо. Зносимо останню трійку з діленого і ділимо на 3, отримаємо 1. Відразу ж множимо 1 на 3, щоб завершити цей приклад:

Отримали відповідь 2,81. Значить значення виразу 8,43: 3 одно 2,81

Розподіл десяткового дробу на десятковий дріб

Щоб розділити десяткову дріб на десяткову дріб, треба в подільному і в дільнику перенести кому вправо на стільки ж цифр, скільки їх після коми в дільнику, і потім виконати поділ на звичайне число.

Наприклад, розділимо 5,95 на 1,7

Запишемо куточком цей вислів

Тепер в подільному і в дільнику перенесемо кому вправо на стільки ж цифр, скільки їх після коми в дільнику. У дільнику після коми одна цифра. Значить ми повинні в подільному і в дільнику перенести кому вправо на одну цифру. переносимо:

Після перенесення коми вправо на одну цифру десяткова дріб 5,95 звернулася в дріб 59,5. А десяткова дріб 1,7 після перенесення коми вправо на одну цифру звернулася в звичайне число 17. А як ділити десяткову дріб на звичайне число ми вже знаємо. Подальше обчислення не складає особливих труднощів:

Кома переноситься вправо з метою полегшити поділ. Це допускається через те, що при множенні або діленні діленого і дільника на одне і те ж число, приватне не змінюється. Що це означає?

Це одна з цікавих особливостей ділення. Його називають властивістю приватного. Розглянемо вираз 9: 3 \u003d 3. Якщо в цьому виразі ділене і дільник помножити або розділити на одне й те саме число, то приватна 3 не зміниться.

Давайте помножимо ділене і дільник на 2, і подивимося, що з цього вийде:

(9 × 2): (3 × 2) \u003d 18: 6 \u003d 3

Як видно з прикладу, приватне не змінилося.

Теж саме відбувається, коли ми переносимо кому в подільному і в дільнику. У попередньому прикладі, де ми ділили 5,91 на 1,7 ми перенесли в подільному і дільнику кому на одну цифру вправо. Після перенесення коми, дріб 5,91 перетворилася в дріб 59,1 а дріб 1,7 перетворилася в звичайне число 17.

Насправді всередині цього процесу відбувалося множення на 10. Ось як це виглядало:

5,91 × 10 \u003d 59,1

Тому від кількості цифр після коми в дільнику залежить те, на що буде помножено ділене і дільник. Іншими словами, від кількості цифр після коми в дільнику буде залежати те, на скільки цифр в подільному і в дільнику кома буде перенесена вправо.

Розподіл десяткового дробу на 10, 100, 1000

Розподіл десяткового дробу на 10, 100, або 1000 здійснюється таким же чином, як і. Наприклад, розділимо 2,1 на 10. Вирішимо цей приклад куточком:

Але є і другий спосіб. Він легший. Суть цього способу в тому, що кома в подільному переноситься вліво на стільки цифр, скільки нулів в дільнику.

Вирішимо попередній приклад цим способом. 2,1: 10. Дивимося на дільник. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що там один нуль. Значить в подільному 2,1 потрібно перенести кому вліво на одну цифру. Переносимо кому вліво на одну цифру і бачимо, що там більше не залишилося цифр. У цьому випадку перед цифрою дописуємо ще один нуль. У підсумку отримуємо 0,21

Спробуємо розділити 2,1 на 100. У числі 100 два нуля. Значить в подільному 2,1 треба перенести кому вліво на дві цифри:

2,1: 100 = 0,021

Спробуємо розділити 2,1 на 1000. У значилися 1000 три нуля. Значить в подільному 2,1 треба перенести кому вліво на три цифри:

2,1: 1000 = 0,0021

Розподіл десяткового дробу на 0,1, 0,01 і 0,001

Розподіл десяткового дробу на 0,1, 0,01, і 0,001 здійснюється таким же чином, як і. У подільному і в дільнику треба перенести кому вправо на стільки цифр, скільки їх після коми в дільнику.

Наприклад, розділимо 6,3 на 0,1. В першу чергу перенесемо коми в подільному і в дільнику вправо на стільки ж цифр, скільки їх після коми в дільнику. У дільнику після коми одна цифра. Значить переносимо коми в подільному і в дільнику вправо на одну цифру.

Після перенесення коми вправо на одну цифру, десяткова дріб 6,3 перетворюється в звичайне число 63, а десяткова дріб 0,1 після перенесення коми вправо на одну цифру перетворюється в одиницю. А розділити 63 на 1 дуже просто:

Значить значення виразу 6,3: 0,1 одно 63

Але є і другий спосіб. Він легший. Суть цього способу в тому, що кома в подільному переноситься вправо на стільки цифр, скільки нулів в дільнику.

Вирішимо попередній приклад цим способом. 6,3: 0,1. Дивимося на дільник. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що там один нуль. Значить в подільному 6,3 потрібно перенести кому вправо на одну цифру. Переносимо кому вправо на одну цифру і отримуємо 63

Спробуємо розділити 6,3 на 0,01. У дільнику 0,01 два нуля. Значить в подільному 6,3 треба перенести кому вправо на дві цифри. Але в подільному після коми тільки одна цифра. В цьому випадку в кінці потрібно дописати ще один нуль. В результаті отримаємо 630

Спробуємо розділити 6,3 на 0,001. У дільнику 0,001 три нуля. Значить в подільному 6,3 треба перенести кому вправо на три цифри:

6,3: 0,001 = 6300

Завдання для самостійного рішення

Сподобався урок?
Вступай в нашу нову групу Вконтакте і почни отримувати повідомлення про нові уроках

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно в ознайомлювальних цілях і може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Мета уроку:

• У захоплюючій формі ввести учням правило множення десяткового дробу на натуральне число, на розрядну одиницю і правило вираження десяткового дробу в процентах. Виробити вміння застосування отриманих знань при вирішенні прикладів і завдань.
• Розвивати і активізувати логічне мислення учнів, вміння виявляти закономірності і узагальнювати їх, зміцнювати пам'ять, вміння співпрацювати, надавати допомогу, оцінювати свою роботу і роботу один одного.
• Виховувати інтерес до математики, активність, мобільність, вміння спілкуватися.

устаткування: інтерактивна дошка, плакат з ціфрограммой, плакати з висловлюваннями математиків.

Хід уроку

1. Організаційний момент.
2. Усний рахунок - узагальнення раннє вивченого матеріалу, підготовка до вивчення нового матеріалу.
3. Пояснення нового матеріалу.
4. Завдання додому.
5. Математична физкультминутка.
6. Узагальнення і систематизація отриманих знань в ігровій формі за допомогою комп'ютера.
7. Виставляння оцінок.

2. Хлопці, сьогодні у нас урок буде дещо незвичним, тому що я буду проводити його не одна, а зі своїм другом. І один у мене теж незвичайний, зараз ви його побачите. (На екрані з'являється комп'ютер-мультяшка). У мого друга є ім'я і він вміє розмовляти. Як тебе звуть, друже? Компоша відповідає: "Мене звуть Компоша". Ти сьогодні готовий допомагати мені? ТАК! Ну тоді давай почнемо урок.

Мені сьогодні прийшла зашифрована ціфрограмма, хлопці, яку ми повинні разом вирішити і розшифрувати. (На дошці вивішується плакат з усним рахунком на додавання і віднімання десяткових дробів, в результаті рішення якого хлопці отримують наступний код 523914687. )

5	2	3	9	1	4	6	8	7
1	2	3	4	5	6	7	8	9

Розшифрувати отриманий код допомагає Компоша. В результаті розшифровки виходить слово Множення. Множення - це ключове слово теми сьогоднішнього уроку. На моніторі висвічується тема уроку: "Множення десяткового дробу на натуральне число"

Хлопці, ми знаємо, як виконується множення натуральних чисел. Сьогодні ми з вами розглянемо множення десяткових чисел на натуральне число. Множення десяткового дробу на натуральне число можна розглядати як суму доданків, кожне з яких дорівнює цій десяткового дробу, а кількість доданків одно цього натуральному числу. Наприклад: 5,21 · 3 \u003d 5,21 + 5, 21 + 5,21 \u003d 15,63Значить, 5,21 · 3 \u003d 15,63. Представивши 5,21 у вигляді звичайного дробу на натуральне число, отримаємо

І в цьому випадку отримали той же результат 15,63. Тепер, не звертаючи уваги на кому, візьмемо замість числа 5,21 число 521 і перемножимо на дане натуральне число. Тут ми повинні пам'ятати, що в одному з множників кома перенесена на два розряду вправо. При множенні чисел 5, 21 і3 отримаємо твір рівне 15,63. Тепер в цьому прикладі кому перенесемо вліво на два розряду. Таким чином, у скільки разів один з множників збільшили, у стільки разів зменшили твір. На підставі подібних моментів цих способів, зробимо висновок.

Щоб помножити десятковий дріб на натуральне число, треба:
1) не звертаючи уваги на кому, виконати множення натуральних чисел;
2) в отриманому творі відокремити коми праворуч стільки знаків, скільки їх в десяткового дробу.

На моніторі висвічуються такі приклади, які ми розбираємо разом з Компошей і хлопцями: 5,21 · 3 \u003d 15,63 і 7,624 · 15 \u003d 114,34. Після показую множення на кругле число 12,6 · 50 \u003d 630. Далі переходжу на множення десяткового дробу на розрядну одиницю. Показую наступні приклади: 7,423 · 100 \u003d 742,3 і 5,2 · 1000 \u003d 5200. Отже, ввожу правило множення десяткового дробу на розрядну одиницю:

Щоб помножити десятковий дріб на розрядні одиниці 10, 100, 1000 і т.д., треба в цій дробу перенести кому вправо на стільки знаків, скільки нулів у запису розрядної одиниці.

Закінчую пояснення виразом десяткового дробу в процентах. Вводжу правило:

Щоб висловити десяткову дріб у відсотках, треба її помножити на 100 і приписати знак%.

Наводжу приклад на комп'ютері 0,5 · 100 \u003d 50 або 0,5 \u003d 50%.

4. Після закінчення пояснення даю хлопцям домашнє завдання, Яке теж висвічується на моніторі комп'ютера: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Щоб хлопці трохи відпочили, на закріплення теми робимо разом з Компошей математичну фізкультхвилинки. Всі встають, показую класу вирішені приклади і вони повинні відповісти, правильно чи не правильно вирішене приклад. Якщо приклад вирішене правильно, то вони піднімають руки над головою і роблять бавовна долонями. Якщо ж приклад вирішене не вірно, хлопці витягають руки в сторони і розминають пальчики.

6. А тепер ви трохи відпочили, можна і вирішити завдання. Відкрийте підручник на сторінці 205, № 1029. в цьому завданні треба обчислити значення виразів:

Завдання з'являються на комп'ютері. У міру їх вирішення, з'являється картинка із зображенням кораблика, який при повній збірці спливає.

№ 1031 Обчисли:

Вирішуючи це завдання на комп'ютері, поступово складається ракета, вирішивши останній приклад, ракета летить. Учитель робить невелику інформацію учням: "Щороку з казахстанської землі з космодрому Байконур злітають до зірок космічні кораблі. Поруч з Байконуром Казахстан будує свій новий космодром "Байтерек".

№ 1035. Завдання.

Яка відстань пройде легкова машина за 4 години, якщо швидкість легковика 74,8 км / год.

Дане завдання супроводжується звуковим оформленням і винесенням на монітор короткого умови задачі. Якщо завдання виконане, вірно, то машина починає рухатися вперед до фінішного прапорця.

№ 1033. Запиши десяткові дроби в процентах.

0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.

Вирішуючи кожен приклад, при появі відповіді з'являється буква, в результаті чого з'являється слово молодці.

Учитель запитує Компошу, до чого б з'явилося це слово? Компоша відповідає: "Молодці, хлопці!" і прощається з усіма.

Учитель підводить підсумки уроку і виставляє оцінки.

Щоб зрозуміти, як множити десяткові дроби, розглянемо конкретні приклади.

Правило множення десяткових дробів

1) Множимо, не звертаючи уваги на кому.

2) В результаті відокремлюємо після коми стільки цифр, скільки їх після коми в обох множниках разом.

Приклади.

Знайти твір десяткових дробів:

Щоб помножити десяткові дроби, множимо, не звертаючи уваги на коми. Тобто ми множать 6,8 і 3,4, а 68 і 34. У результаті відокремлюємо після коми стільки цифр, скільки їх після коми в обох множниках разом. У першому множнику після коми одна цифра, у другому - теж одна. Разом, відокремлюємо після коми дві ціфри.Такім чином, отримали остаточну відповідь: 6,8 ∙ 3,4 \u003d 23,12.

Множимо десяткові дроби, не беручи до уваги кому. Тобто фактично замість множення 36,85 на 1,14 ми множимо 3685 на 14. Отримуємо 51590. Тепер в цьому результаті треба відокремити комою стільки цифр, скільки їх в обох множниках разом. У першому числі після коми дві цифри, в другому - одна. Разом, відокремлюємо коми три цифри. Оскільки в кінці запису після коми стоїть нуль, у відповідь ми його не пишемо: 36,85 ∙ 1,4 \u003d 51,59.

Щоб помножити ці десяткові дроби, помножимо числа, не звертаючи уваги на коми. Тобто множимо натуральні числа 2315 і 7. Отримуємо 16205. У цьому числі потрібно відокремити після коми чотири цифри - стільки, скільки їх в обох множниках разом (в кожному - по два). Відповідь: 23,15 ∙ 0,07 \u003d 1,6205.

Множення десяткового дробу на натуральне число виконується аналогічно. Множимо числа, не звертаючи уваги на кому, тобто 75 множимо на 16. В отриманому результаті після коми повинно стояти стільки ж знаків, скільки їх в обох множниках разом - один. Таким чином, 75 ∙ 1,6 \u003d 120,0 \u003d 120.

Множення десяткових дробів починаємо з того, що множимо натуральні числа, так як на коми не звертаємо уваги. Після цього відокремлюємо після коми стільки цифр, скільки їх в обох множниках разом. У першому числі після коми два знака, у другому - теж два. Разом, в результаті після коми повинно стояти чотири цифри: 4,72 ∙ 5,04 \u003d 23,7888.

Переходимо до вивчення наступного дії з десятковими дробами, зараз ми всебічно розглянемо множення десяткових дробів. спочатку обговоримо загальні принципи множення десяткових дробів. Після цього перейдемо до множення десяткового дробу на десятковий дріб, покажемо, як виконується множення десяткових дробів стовпчиком, розглянемо рішення прикладів. Далі розберемо множення десяткових дробів на натуральні числа, зокрема на 10, 100 і т.д. Насамкінець поговоримо про примноження десяткових дробів на звичайні дроби і змішані числа.

Відразу скажемо, що в цій статті ми будемо говорити лише про примноження позитивних десяткових дробів (дивіться позитивні і негативні числа). Інші випадки розібрані в статтях множення раціональних чисел і множення дійсних чисел.

Навігація по сторінці.

Загальні принципи множення десяткових дробів

Обговоримо загальні принципи, яких слід дотримуватися при проведенні множення з десятковими дробами.

Так як кінцеві десяткові дроби і нескінченні періодичні дроби є десяткової формою записи звичайних дробів, то множення таких десяткових дробів по суті є множенням звичайних дробів. Іншими словами, множення кінцевих десяткових дробів, множення кінцевою і періодичної десяткових дробів, а також множення періодичних десяткових дробів зводиться до множення звичайних дробів після перекладу десяткових дробів в звичайні.

Розглянемо приклади застосування озвученого принципу множення десяткових дробів.

Приклад.

Виконайте множення десяткових дробів 1,5 і 0,75.

Рішення.

Замінимо множити десяткові дроби відповідними звичайними дробами. Так як 1,5 \u003d 15/10 і 0,75 \u003d 75/100, то. Можна провести скорочення дробу, після чого виділити цілу частину з неправильного дробу, а зручніше отриману звичайну дріб 1 125/1 000 записати у вигляді десяткового дробу 1,125.

відповідь:

1,5 · 0,75 \u003d 1,125.

Слід зазначити, що кінцеві десяткові дроби зручно множити стовпчиком, про цей спосіб множення десяткових дробів ми поговоримо в.

Розглянемо приклад множення періодичних десяткових дробів.

Приклад.

Обчисліть добуток періодичних десяткових дробів 0, (3) і 2, (36).

Рішення.

Виконаємо переклад періодичних десяткових дробів в звичайні дроби:

Тоді. Можна отриману звичайну дріб перевести в десяткову дріб:

відповідь:

0, (3) · 2, (36) \u003d 0, (78).

Якщо серед множимо десяткових дробів присутні нескінченні неперіодичні, то все множиться дробу, в тому числі кінцеві і періодичні, слід округлити до деякого розряду (дивіться округлення чисел), Після чого виконувати множення отриманих після округлення кінцевих десяткових дробів.

Приклад.

Виконайте множення десяткових дробів 5,382 ... і 0,2.

Рішення.

Спочатку округлимо нескінченну неперіодичних десяткову дріб, округлення можна провести до сотих, маємо 5,382 ... ≈5,38. Кінцеву десяткову дріб 0,2 округляти до сотих немає необхідності. Таким чином, 5,382 ... · 0,2≈5,38 · 0,2. Залишилося обчислити твір кінцевих десяткових дробів: 5,38 · 0,2 \u003d 538/100 · 2/10 \u003d 1 076/1 000 \u003d 1,076.

відповідь:

5,382 ... · 0,2≈1,076.

Множення десяткових дробів стовпчиком

Множення кінцевих десяткових дробів можна виконувати стовпчиком, аналогічно множенню стовпчиком натуральних чисел.

сформулюємо правило множення десяткових дробів стовпчиком. Щоб помножити десяткові дроби стовпчиком, треба:

• не звертаючи уваги на коми, виконати множення за всіма правилами множення стовпчиком натуральних чисел;
• в отриманому числі відокремити десяткової коми стільки цифр справа, скільки десяткових знаків в обох множниках разом, при цьому якщо в творі не вистачає цифр, то зліва потрібно дописати потрібну кількість нулів.

Розглянемо приклади множення десяткових дробів стовпчиком.

Приклад.

Виконайте множення десяткових дробів 63,37 і 0,12.

Рішення.

Проведемо множення десяткових дробів стовпчиком. Спочатку множимо числа, не звертаючи уваги на коми:

Залишилося в отриманому творі поставити кому. Їй потрібно відокремити 4 цифри праворуч, так як в множниках в сумі чотири десяткових знака (два в дроби 3,37 і два в дробу 0,12). Цифр там вистачає, тому нулів зліва дописувати не доведеться. Закінчимо запис:

У підсумку маємо 3,37 · 0,12 \u003d 7,6044.

відповідь:

3,37 · 0,12 \u003d 7,6044.

Приклад.

Обчисліть твір десяткових дробів 3,2601 і 0,0254.

Рішення.

Виконавши множення стовпчиком без урахування ком, отримуємо наступну картину:

Тепер в творі потрібно відокремити комою 8 цифр праворуч, так як загальна кількість десяткових знаків множимо дробів дорівнює восьми. Але в творі тільки 7 цифр, тому, потрібно зліва приписати стільки нулів, щоб можна було відокремити коми 8 цифр. У нашому випадку потрібно приписати два нулі:

На цьому множення десяткових дробів стовпчиком закінчено.

відповідь:

3,2601 · 0,0254 \u003d 0,08280654.

Множення десяткових дробів на 0,1, 0,01, і т.д.

Досить часто доводиться множити десяткові дроби на 0,1, 0,01 і так далі. Тому доцільно сформулювати правило множення десяткового дробу на ці числа, яке випливає з розглянутих вище принципів множення десяткових дробів.

Отже, множення даної десяткового дробу на 0,1, 0,01, 0,001 і так далі дає дріб, яка виходить з вихідної, якщо в її записи перенести кому вліво на 1, 2, 3 і так далі цифр відповідно, при цьому якщо не вистачає цифр для перенесення коми, то потрібно зліва дописати необхідна кількість нулів.

Наприклад, щоб помножити десяткову дріб 54,34 на 0,1, треба в дробу 54,34 перенести кому вліво на 1 цифру, при цьому вийде дріб 5,434, тобто, 54,34 · 0,1 \u003d 5,434. Наведемо ще один приклад. Помножимо десяткову дріб 9,3 на 0,0001. Для цього нам потрібно в множити десяткового дробу 9,3 перенести кому на 4 цифри вліво, але запис дробу 9,3 не містить такої кількості знаків. Тому нам потрібно в запису дробу 9,3 зліва приписати стільки нулів, щоб можна було безперешкодно здійснити перенесення коми на 4 цифри, маємо 9,3 · 0,0001 \u003d 0,00093.

Зауважимо, що озвучене правило множення десяткового дробу на 0,1, 0,01, ... справедливо і для нескінченних десяткових дробів. Наприклад, 0, (18) · 0,01 \u003d 0,00 (18) або 93,938 ... · 0,1 \u003d 9,3938 ....

Множення десяткового дробу на натуральне число

За своєю суттю множення десяткових дробів на натуральні числа нічим не відрізняється від множення десяткового дробу на десятковий дріб.

Кінцеву десяткову дріб множити на натуральне число найзручніше стовпчиком, при цьому слід дотримуватися правил множення стовпчиком десяткових дробів, розглянутих в одному з попередніх пунктів.

Приклад.

Обчисліть добуток 15 · 2,27.

Рішення.

Проведемо множення натурального числа на десяткову дріб стовпчиком:

відповідь:

15 · 2,27 \u003d 34,05.

При множенні періодичного десяткового дробу на натуральне число, періодичну дріб слід замінити звичайної дробом.

Приклад.

Помножте десяткову дріб 0, (42) на натуральне число 22.

Рішення.

Спочатку переведемо періодичну десяткову дріб в звичайну дріб:

Тепер виконаємо множення:. Цей результат у вигляді десяткового дробу має вигляд 9, (3).

відповідь:

0, (42) · 22 \u003d 9, (3).

А при множенні нескінченної неперіодичної десяткового дробу на натуральне число потрібно попередньо провести округлення.

Приклад.

Виконайте множення 4 · 2,145 ....

Рішення.

Округливши до сотих вихідну нескінченну десяткову дріб, ми прийдемо до множення натурального числа і кінцевої десяткового дробу. Маємо 4 · 2,145 ... ≈4 · 2,15 \u003d 8,60.

відповідь:

4 · 2,145 ... ≈8,60.

Множення десяткового дробу на 10, 100, ...

Досить часто доводиться множити десяткові дроби на 10, 100, ... Тому доцільно детально зупинитися на цих випадках.

озвучимо правило множення десяткового дробу на 10, 100, 1 000 і т.д. При множенні десяткового дробу на 10, 100, ... в її записи потрібно перенести кому вправо на 1, 2, 3, ... цифри відповідно і відкинути зайві нулі зліва; якщо в запису множити дроби не вистачає цифр для перенесення коми, то потрібно дописати необхідну кількість нулів праворуч.

Приклад.

Помножте десяткову дріб 0,0783 на 100.

Рішення.

Перенесемо в запису дробу 0,0783 на дві цифри вправо, при цьому отримаємо 007,83. Відкинувши два нуля зліва, отримуємо десяткову дріб 7,38. Таким чином, 0,0783 · 100 \u003d 7,83.

відповідь:

0,0783 · 100 \u003d 7,83.

Приклад.

Виконайте множення десяткового дробу 0,02 на 10 000.

Рішення.

Щоб помножити 0,02 на 10 000, нам потрібно перенести кому на 4 цифри вправо. Очевидно, в запису дробу 0,02 не вистачає цифр для перенесення коми на 4 цифри, тому допишемо кілька нулів праворуч, щоб можна було здійснити перенесення коми. У нашому прикладі досить дописати три нуля, маємо 0,02000. Після перенесення коми отримаємо запис 00200,0. Відкинувши нулі зліва, маємо число 200,0, що дорівнює натуральному числу 200, воно і є результатом множення десяткового дробу 0,02 на 10 000.

§ 107. Складання десяткових дробів.

Додавання десяткових дробів виконується так само, як і додавання цілих чисел. Переконаємося в цьому на прикладах.

1) 0,132 + 2,354. Підпишемо складові одне під іншим.

Тут від складання 2 тисячних з 4 тисячними вийшло 6 тисячних;
від складання 3 сотих з 5 сотими вийшло 8 сотих;
від складання 1 десятої з 3 десятими -4 десятих і
від складання 0 цілих з 2 цілими - 2 цілих.

2) 5,065 + 7,83.

У другому доданку немає тисячних часток, тому важливо не допускати помилки при підписуванні доданків один під одним.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Тут при додаванні тисячних часток вийшла 21 тисячна; ми написали 1 під тисячними, а 2 додали до сотих, таким чином, в розряді сотих у нас вийшли такі складові: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; в сумі вони дають 19 сотих, ми підписали 9 під сотими, а 1 прісчіталі до десятих і т. д.

Таким чином, при складанні десяткових дробів треба дотримуватися такого порядку: дроби підписувати одна під інший так, щоб у всіх доданків однакові розряди знаходилися один під одним і всі коми стояли в одному і тому ж вертикальному стовпці; праворуч від десяткових знаків деяких доданків приписують, хоча б подумки, таке число нулів, щоб всі складові після коми мали однакове число цифр. Потім виконують складання по розрядах, починаючи з правого боку, і в отриманій сумі ставлять кому в тому ж самому вертикальному стовпці, в якому вона знаходиться в даних доданків.

§ 108. Віднімання десяткових дробів.

Віднімання десяткових дробів виконується так само, як і віднімання цілих чисел. Покажемо це на прикладах.

1) 9,87 - 7,32. Підпишемо від'ємник під зменшуваним так, щоб одиниці одного розряду знаходилися один під одним:

2) 16,29 - 4,75. Підпишемо від'ємник під зменшуваним, як в першому прикладі:

Щоб зробити віднімання десятих, треба було зайняти одну цілу одиницю від 6 і роздрібнити її в десяті частки.

3) 14,0213- 5,350712. Підпишемо від'ємник під зменшуваним:

Віднімання було виконано наступним чином: так як ми не можемо відняти 2 мільйони з 0, то слід звернутися до найближчого розряду, який стоїть ліворуч, т. Е. До стотисячним, але на місці стотисячних теж варто нуль, тому беремо з 3 десятитисячних 1 десятитисячний і роздрібнюють її в стотисячні, отримуємо 10 стотисячних, з них 9 стотисячних залишаємо в розряді стотисячних, а 1 стотисячну роздрібнюють в мільйонні, отримуємо 10 мільйонних. Таким чином, в трьох останніх розрядах у нас вийшло: мільйонних 10, стотисячних 9, десятитисячних 2. Ці числа для більшої ясності і зручності (щоб не забути) записані зверху над відповідними дробовими розрядами зменшуваного. Тепер можна приступити до віднімання. З 10 мільйонних віднімаємо 2 мільйони, отримуємо 8 мільйонів; з 9 стотисячних віднімаємо 1 стотисячну, отримуємо 8 стотисячних і т. д.

Таким чином, при відніманні десяткових дробів дотримується наступний порядок: підписують від'ємник під зменшуваним так, щоб однакові розряди знаходилися один під одним і всі коми стояли в одному і тому ж вертикальному стовпці; праворуч приписують, хоча б подумки, в зменшуваному або віднімається стільки нулів, щоб вони мали однакове число цифр, потім виконують віднімання за розрядами, починаючи з правого боку, і в отриманої різниці ставлять кому в тому ж самому вертикальному стовпці, в якому вона знаходиться в зменшуваному і віднімається.

§ 109. Множення десяткових дробів.

Розглянемо кілька прикладів множення десяткових дробів.

Щоб знайти твір цих чисел, ми можемо міркувати таким чином: якщо множник збільшити в 10 разів, то обидва співмножники будуть цілими числами і ми можемо їх тоді перемножити за правилами множення цілих чисел. Але ми знаємо, що при збільшенні одного із співмножників в кілька разів твір збільшується в стільки ж разів. Значить, число, яке вийде від множення цілих співмножників, т. Е. 28 на 23, в 10 разів більше істинного твори, а щоб отримати справжній витвір, потрібно знайдене твір зменшити в 10 разів. Отже, тут доведеться виконати один раз множення на 10 і один раз поділ на 10, але множення і ділення на 10 виконується шляхом перенесення коми вправо і вліво на один знак. Тому потрібно вчинити так: у множителе перенести кому вправо на один знак, від цього він буде дорівнює 23, потім потрібно перемножити отримані цілі числа:

Цей твір в 10 разів більше істинного. Отже, його треба зменшити в 10 разів, для чого перенесемо кому на один знак вліво. Таким чином, отримаємо

28 2,3 = 64,4.

З метою перевірки можна десяткову дріб написати зі знаменником і виконати дію за правилом множення звичайних дробів, т. Е.

2) 12,27 0,021.

Відмінність цього прикладу від попереднього полягає в тому, що тут обидва співмножники представлені десятковими дробами. Але ми і тут в процесі множення не звертатимемо уваги на коми, т. Е. Тимчасово збільшимо множимое в 100 разів, а множник в 1 000 разів, чому твір збільшиться в 100 000 разів. Таким чином, множачи 1 227 на 21, отримаємо:

1 227 21 = 25 767.

Беручи до уваги, що отримане твір в 100 000 разів більше істинного, ми повинні тепер зменшити його в 100 000 разів шляхом належної постановки в ньому коми, тоді отримаємо:

32,27 0,021 = 0,25767.

перевіримо:

Таким чином, щоб перемножити дві десяткові дроби, досить, не звертаючи уваги на коми, перемножити їх як цілі числа і в творі відокремити коми з правого боку стільки десяткових знаків, скільки їх було у множимо і під множителе разом.

В останньому прикладі вийшло твір з п'ятьма десятковими знаками. Якщо така велика точність не потрібна, то робиться округлення десяткового дробу. При округленні слід користуватися тим правилом, яке було вказано для цілих чисел.

§ 110. Множення за допомогою таблиць.

Множення десяткових дробів можна іноді виконувати за допомогою таблиць. Для цієї мети можна, наприклад, скористатися тими таблицями множення двозначних чисел, Опис яких було дано раніше.

1) Помножимо 53 на 1,5.

Будемо перемножать 53 на 15. У таблиці це добуток дорівнює 795. Ми знайшли твір 53 на 15, але у нас другий множник був в 10 разів менше, значить, і твір потрібно зменшити в 10 разів, т. Е.

53 1,5 = 79,5.

2) Помножимо 5,3 на 4,7.

Спочатку знайдемо в таблиці твір 53 на 47, це буде 2 491. Але так як ми збільшили множимое і множник в цілому в 100 раз, то і отримане твір в 100 разів більше, ніж слід; тому ми повинні зменшити цей твір в 100 разів:

5,3 4,7 = 24,91.

3) Помножимо 0,53 на 7,4.

Спочатку знайдемо в таблиці твір 53 на 74; це буде 3 922. Але так як ми збільшили множимое в 100 разів, а множник в 10 разів, то твір збільшилася в 1 000 разів; тому ми тепер повинні його зменшити в 1 000 разів:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Розподіл десяткових Дребена.

Розподіл десяткових дробів ми розглянемо в такому порядку:

1. Розподіл десяткового дробу на ціле число,

1. Розподіл десяткового дробу на ціле число.

1) Розділимо 2,46 на 2.

Ми розділили на 2 спочатку цілі, потім десяті частки і, нарешті, соті частки.

2) Розділимо 32,46 на 3.

32,46: 3 = 10,82.

Ми розділили 3 десятка на 3, потім стали ділити 2 одиниці на 3; так як число одиниць діленого (2) менше дільника (3), то довелося в приватному поставити 0; далі, до залишку ми знесли 4 десятих і розділили 24 десятих на 3; отримали в приватному 8 десятих і, нарешті, розділили 6 сотих.

3) Розділимо 1,2345 на 5.

1,2345: 5 = 0,2469.

Тут в приватному на першому місці вийшов нуль цілих, так як одна ціла не ділиться на 5.

4) Розділимо 13,58 на 4.

Особливість цього прикладу полягає в тому, що коли ми отримали в приватному 9 сотих, то виявився сальдо конечне 2 сотим, ми роздрібнили зтот залишок в тисячні частки, отримали 20 тисячних і довели розподіл до кінця.

Правило.Розподіл десяткового дробу на ціле число виконується так само, як і поділ цілих чисел, причому виходять залишки звертають в десяткові частки, все більш і більш дрібні; поділ продовжують до тих пір, поки в залишку не вийде нуль.

2. Розподіл десяткового дробу на десятковий дріб.

1) Розділимо 2,46 на 0,2.

Ми вже вміємо ділити десяткову дріб на ціле число. Подумаємо, чи не можна і цей новий випадок поділу звести до попереднього? Свого часу ми розглядали чудова властивість приватного, що складається в тому, що воно залишається без зміни при одночасному збільшенні або зменшенні діленого і дільника в однакове число раз. Ми без праці виконали б розподіл запропонованих нам чисел, якби дільник був цілим числом. Для цього достатньо збільшити його в 10 разів, а для отримання правильного приватного необхідно в стільки ж разів, т. Е. В 10 разів, збільшити і ділене. Тоді розподіл даних чисел заміниться розподілом таких чисел:

причому ніяких поправок в приватному робити вже не доведеться.

Виконаємо цей поділ:

Значить, 2,46: 0,2 \u003d 12,3.

2) Розділимо 1,25 на 1,6.

Збільшуємо дільник (1,6) в 10 разів; щоб приватне не змінилося, збільшуємо в 10 разів і ділене; 12 цілих не ділиться на 16, тому пишемо в приватному 0 і ділимо 125 десятих на 16, отримуємо в приватному 7 десятих і в залишку 13. роздрібнюють 13 десятих в соті шляхом приписування нуля і ділимо 130 сотих на 16 і т. Д. Звертаємо увагу на наступне:

а) коли в приватному не виходить цілих, то на їх місці пишеться нуль цілих;

б) коли після знесення до залишку цифри діленого виходить число, яке не ділиться на дільник, то в приватному пишеться нуль;

в) коли після знесення останньої цифри діленого поділ не закінчується, то, приписуючи до залишків нулі, продовжують розподіл;

г) якщо ділене - ціле число, то при розподілі його на десяткову дріб збільшення його здійснюється за допомогою приписування до нього нулів.

Таким чином, щоб розділити число на десятковий дріб, потрібно відкинути в дільнику кому, а потім збільшити ділене у стільки разів, у скільки збільшився дільник при відкиданні в ньому коми, після чого виконати поділ за правилом ділення десяткового дробу на ціле число.

§ 112. Наближене приватне.

У попередньому параграфі ми розглянули ділення десяткових дробів, причому у всіх вирішених нами прикладах розподіл доводили до кінця, т. Е. Виходило точне приватне. Однак в більшості випадків точне приватне не може бути отримано, як би далеко ми не продовжували розподіл. Ось один з таких випадків: розділимо 53 на 101.

Ми вже отримали п'ять цифр в приватному, а розподіл ще не закінчилося і немає надії, що воно коли-небудь закінчиться, так як в залишках у нас починають з'являтися цифри, які зустрічалися вже раніше. У приватному також будуть повторюватися числа: очевидно, що слідом за цифрою 7 з'явиться цифра 5, потім 2 і т. Д. Без кінця. У таких випадках переривають розподіл і обмежуються кількома першими цифрами приватного. Таке приватне називається наближеним. Як при цьому потрібно виконувати поділ, ми покажемо на прикладах.

Нехай потрібно 25 розділити на 3. Очевидно, що точного приватного, вираженого цілим числом або десятковим дробом, від такого поділу вийти не може. Тому ми будемо шукати наближене приватне:

25: 3 \u003d 8 і залишок 1

Наближене приватне дорівнює 8; воно, звичайно, менше точного приватного, тому що є залишок 1. Щоб отримати точне приватне, потрібно до знайденого наближеному приватному, т. е. до 8, додати дріб, яка вийде від ділення залишку, рівного 1, на 3; це буде дріб 1/3. Значить, точне приватне виразиться змішаним числом 8 1/3. Так як 1/3 являє собою правильний дріб, т. Е. Дріб, меншу одиниці, То, відкидаючи її, ми допустимо похибка, яка менше одиниці. Приватне 8 буде наближеним приватним з точністю до одиниці з недоліком. Якщо ми замість 8 візьмемо в приватному 9, то теж допустимо похибка, яка менше одиниці, так як ми додати не цілу одиницю, a 2/3. Таке приватне буде наближеним приватним з точністю до одиниці з надлишком.

Візьмемо тепер інший приклад. Нехай потрібно 27 розділити на 8. Так як і тут не вийде точного приватного, вираженого цілим числом, то ми будемо шукати наближене приватне:

27: 8 \u003d 3 і залишок 3.

Тут похибка дорівнює 3/8, вона менше одиниці, значить, наближене приватне (3) знайдено з точністю до одиниці з недоліком. Продовжимо розподіл: роздрібнити залишок 3 в десяті частки, отримаємо 30 десятих; розділимо їх на 8.

Ми отримали в приватному на місці десятих 3 і в залишку б десятих. Якщо ми в приватному обмежимося числом 3,3, а залишок 6 відкинемо, то ми допустимо похибка, меншу однієї десятої. Чому? Тому що точне приватне вийшло б тоді, коли ми додали б до 3,3 ще результат ділення 6 десятих на 8; від цього поділу вийшло б 6/80, що становить менше однієї десятої. (Перевірте!) Таким чином, якщо в приватному ми обмежимося десятими частками, то можна буде сказати, що ми знайшли приватна з точністю до однієї десятої(З недоліком).

Продовжимо розподіл, щоб знайти ще один десятковий знак. Для цього роздрібнити 6 десятих в соті частки і отримаємо 60 сотих; розділимо їх на 8.

У приватному на третьому місці вийшло 7 і в залишку 4 сотих; якщо ми їх відкинемо, то допустимо похибка, меншу однієї сотої, тому що 4 сотих, поділені на 8, складають менше однієї сотої. У таких випадках кажуть, що приватна знайдено з точністю до однієї сотої (З недоліком).

У прикладі, який ми зараз розглядаємо, можна отримати точне приватне, виражене десятковим дробом. Для цього достатньо останній залишок, 4 сотих, роздрібнити в тисячні і виконати поділ на 8.

Однак у величезній більшості випадків отримати точне приватне неможливо і доводиться обмежуватися його наближеними значеннями. Такий приклад ми зараз і розглянемо:

40: 7 = 5,71428571...

Точки, поставлені в кінці числа, позначають, що поділ не закінчено, т. Е. Рівність наближене. Зазвичай наближене рівність записують так:

40: 7 = 5,71428571.

Ми взяли приватна з вісьмома десятковими знаками. Але якщо така велика точність не потрібна, можна обмежитися лише цілою частиною приватного, т. Е. Числом 5 (точніше 6); для більшої точності можна було б врахувати десяті частки і взяти приватна рівним 5,7; якщо і ця точність чомусь недостатня, то можна зупинитися на сотих і взяти 5,71, і т. д. Випишемо окремі приватні і назвемо їх.

Перше наближене приватне з точністю до одиниці 6.

Друге »» »до однієї десятої 5,7.

Третє »» »до однієї сотої 5,71.

Четверте »» »до однієї тисячної 5,714.

Таким чином, щоб знайти наближене приватне з точністю до якогось, наприклад, 3-го десяткового знака (т. Е. До однієї тисячної), припиняють поділ, як тільки знаходять цей знак. При цьому потрібно пам'ятати правило, викладене в § 40.

§ 113. Найпростіші задачі на відсотки.

Після вивчення десяткових дробів ми вирішимо ще кілька завдань на відсотки.

Ці завдання подібні до тих, які ми вирішували в відділі звичайних дробів; але тепер соті частки ми будемо записувати у формі десяткових дробів, т. е. без явно позначеного знаменника.

Перш за все потрібно вміти легко переходити від звичайного дробу до десяткового зі знаменником 100. Для цього треба чисельник розділити на знаменник:

У наведеній нижче таблиці показано, яким чином число із позначкою% (відсоток) замінюється десятковим дробом зі знаменником 100:

Розглянемо тепер кілька завдань.

1. Знаходження відсотків даного числа.

Завдання 1.В одному селі проживає всього 1 600 осіб. число дітей шкільного віку становить 25% від загального числа жителів. Скільки дітей шкільного віку в цьому селі?

У цьому завданні потрібно знайти 25%, або 0,25, від 1 600. Завдання вирішується множенням:

1 600 0,25 \u003d 400 (дітей).

Отже, 25% від 1 600 складають 400.

Для ясного розуміння цього завдання корисно нагадати, що на кожну сотню населення припадає 25 дітей шкільного віку. Отже, щоб знайти число всіх дітей шкільного віку, можна спочатку дізнатися, скільки сотень в них 1 600 (16), а потім 25 помножити на число сотень (25 х 16 \u003d 400). Цим шляхом можна перевірити справедливість рішення.

Завдання 2. Ощадні каси дають вкладникам щорічно 2% доходу. Скільки доходу за рік отримає вкладник, який поклав в касу: а) 200 руб.? б) 500 руб.? в) 750 руб.? г) 1000руб.?

У всіх чотирьох випадках для вирішення завдання потрібно буде обчислити 0,02 від зазначених сум, т. Е. Кожне з даних чисел доведеться помножити на 0,02. Зробимо це:

а) 200 0,02 \u003d 4 (руб.),

б) 500 0,02 \u003d 10 (грн.),

в) 750 0,02 \u003d 15 (грн.),

г) 1 000 0,02 \u003d 20 (грн.).

Кожен з цих випадків може бути перевірений такими міркуваннями. Ощадні каси дають вкладникам 2% доходу, т. Е. 0,02 від покладеної на збереження суми. Якби сума дорівнювала 100 руб., То 0,02 від неї становили б 2 руб. Значить, кожна сотня приносить вкладнику 2 руб. доходу. Тому в кожному з розглянутих випадків досить збагнути, скільки в даному числі сотень, і на це число сотень множити 2 руб. У прикладі а) сотень 2, значить,

2 + 2 \u003d 4 (руб.).

У прикладі г) сотень 10, значить,

2 10 \u003d 20 (грн.).

2. Знаходження числа за його відсотками.

Завдання 1. Навесні школа випустила 54 учня, що складає 6% від загальної кількості учнів. Скільки всього учнів було в школі в минулому навчальному році?

З'ясуємо спочатку сенс цього завдання. Школа випустила 54 учня, що складає 6% від загального числа тих, що навчаються, або, іншими словами, 6 сотих (0,06) від усіх учнів школи. Значить, нам відома частина учнів, виражена числом (54) і дробом (0,06), а по цій дроби ми повинні знайти все число. Таким чином, перед нами звичайна задача на знаходження числа за його дробом (§90 п.6). Завдання такого типу вирішуються розподілом:

Значить, в школі все було 900 учнів.

Такі завдання корисно перевіряти рішенням оберненої задачі, т. Е. Після рішення задачі слід, хоча б в розумі, вирішити задачу першого типу (знаходження відсотків даного числа): прийняти знайдене число (900) за дане і знайти від нього зазначений в вирішеною завданню відсоток , а саме:

900 0,06 = 54.

Завдання 2.Сім'я витрачає на харчування протягом місяця 780 руб., Що становить 65% місячного заробітку батька. Визначити його місячний заробіток.

Це завдання має такий же зміст, що і попередня. У ній дається частина місячного заробітку, виражена в рублях (780 руб.), І вказується, що ця частина становить 65%, або 0,65, від усього заробітку. А шуканим є весь заробіток:

780: 0,65 = 1 200.

Отже, шуканий заробіток становить 1200 руб.

3. Знаходження процентного відношення чисел.

Завдання 1. У шкільній бібліотеці всього 6 000 книг. Серед них 1 200 книг з математики. Скільки відсотків математичні книги складають від числа всіх книг, наявних в бібліотеці?

Ми вже розглядали (§97) такого роду завдання і прийшли до висновку, що для обчислення процентного відношення двох чисел потрібно знайти відношення цих чисел і помножити його на 100.

У нашій задачі потрібно знайти процентне відношення чисел 1 200 і 6 000.

Знайдемо спочатку їх ставлення, а потім помножимо його на 100:

Таким чином, процентне відношення чисел 1 200 і 6 000 дорівнює 20. Іншими словами, математичні книги складають 20% від загального числа всіх книг.

Для перевірки вирішимо зворотну задачу: знайти 20% вiд 6 000:

6 000 0,2 = 1 200.

Завдання 2.Завод повинен отримати 200 т вугілля. Уже привезли 80 т. Скільки відсотків вугілля доставлено на завод?

У цьому завданні питається, скільки відсотків одне число (80) становить від іншого (200). Ставлення цих чисел буде 80/200. Помножимо його на 100:

Значить, доставлено 40% вугілля.