Найменше загальне кратне трьох чисел. Нодінок чисел - найбільший загальний дільник і найменше загальне кратне кількох чисел

Множення «хрест-навхрест»

Метод спільних дільників

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Щоб оцінити, наскільки колосальний виграш дає метод найменшого загального кратного, спробуйте обчислити ці приклади методом «хрест-навхрест».

Загальний знаменник дробів

Зрозуміло, без калькулятора. Думаю, після цього коментарі будуть зайвими.

Дивіться також:

Спочатку я хотів увімкнути методи приведення до спільному знаменникуу параграф «Складання та віднімання дробів». Але інформації виявилося так багато, а важливість її така велика (адже спільні знаменники бувають не тільки у числових дробів), що краще вивчити це питання окремо.

Отже, нехай ми маємо два дроби з різними знаменниками. А ми хочемо зробити так, щоби знаменники стали однаковими. На допомогу приходить основна властивість дробу, яка, нагадаю, звучить так:

Дріб не зміниться, якщо її чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Таким чином, якщо правильно підібрати множники, знаменники у дробів зрівняються – цей процес називається. А числа, які «вирівнюють» знаменники, називаються.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
Розв'язання завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, по суті, звичайними виразами, що містять дроби.

Є багато способів знайти числа, при множенні на які знаменники дробів стануть рівними. Ми розглянемо лише три з них – у порядку зростання складності та, у певному сенсі, ефективності.

Множення «хрест-навхрест»

Найпростіший і надійний спосіб, що гарантовано вирівнює знаменники. Діятимемо «напролом»: множимо перший дріб на знаменник другого дробу, а другий – на знаменник першого. У результаті знаменники обох дробів стануть рівними добутку вихідних знаменників. Погляньте:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Так, так усе просто. Якщо ви тільки починаєте вивчати дроби, краще працюйте саме цим методом – так ви застрахуєте себе від багатьох помилок і гарантовано отримаєте результат.

Єдиний недолік даного методу – доводиться багато рахувати, адже знаменники множаться «напролом», і в результаті можуть вийти дуже великі числа. Такою є розплата за надійність.

Метод спільних дільників

Цей прийом допомагає набагато скоротити обчислення, але, на жаль, він застосовується досить рідко. Метод полягає в наступному:

Перш, ніж діяти «напролом» (тобто методом «хрест-навхрест»), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більше) ділиться на інший.
Число, одержане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з меншим знаменником.
При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Оскільки в обох випадках один знаменник ділиться без залишку на інший, застосовуємо метод спільних множників. Маємо:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень вдвічі!

До речі, дроби у цьому прикладі я взяв не випадково. Якщо цікаво, спробуйте порахувати їх методом «хрест-навхрест». Після скорочення відповіді вийдуть такими самими, але роботи буде набагато більше.

У цьому полягає сила методу спільних дільників, але, повторюся, застосовувати його можна лише тому випадку, коли з знаменників ділиться на інший без залишку. Що буває досить рідко.

Метод найменшого загального кратного

Коли ми наводимо дроби до спільного знаменника, ми, по суті, намагаємося знайти таке число, яке ділиться на кожен із знаменників. Потім наводимо до цього знаменники обох дробів.

Таких чисел дуже багато, і найменше їх зовсім не обов'язково дорівнюватиме прямому твору знаменників вихідних дробів, як це передбачається в методі «хрест-навхрест».

Наприклад, для знаменників 8 та 12 цілком підійде число 24, оскільки 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Це число набагато менше за добуток 8 · 12 = 96.

Найменше число, яке ділиться на кожен із знаменників, називається їх (НОК).

Позначення: найменше загальне кратне чисел a та b позначається НОК(a; b). Наприклад, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Як знайти найменший спільний знаменник

Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3. Множники 2 та 3 взаємно прості (не мають спільних дільників, крім 1), а множник 117 – загальний. Тому НОК(234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множники 3 і 4 взаємно прості, а множник 5 – загальний. Тому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до спільних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

Виявивши однакові множники, ми одразу вийшли на найменше загальне кратне, що, власне кажучи, є нетривіальним завданням;
З отриманого розкладання можна дізнатися, яких множників «бракує» кожного з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Не думайте, що таких складних дробів у прикладах не буде. Вони зустрічаються постійно, і наведені вище завдання – не межа!

Єдина проблема - як знайти цей НОК. Іноді все знаходиться за кілька секунд, буквально «на око», але загалом це складне обчислювальне завдання, яке потребує окремого розгляду. Тут ми цього не стосуватимемо.

Дивіться також:

Приведення дробів до спільного знаменника

Спочатку я хотів включити методи приведення до спільного знаменника до параграфу «Складання та віднімання дробів». Але інформації виявилося так багато, а важливість її така велика (адже спільні знаменники бувають не тільки у числових дробів), що краще вивчити це питання окремо.

Дріб не зміниться, якщо її чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника?

Загальний знаменник, поняття та визначення.

Ось лише кілька причин:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
Розв'язання завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, по суті, звичайними виразами, що містять дроби.

Множення «хрест-навхрест»

Найпростіший і найнадійніший спосіб, який гарантовано вирівнює знаменники. Діятимемо «напролом»: множимо перший дріб на знаменник другого дробу, а другий – на знаменник першого. У результаті знаменники обох дробів стануть рівними добутку вихідних знаменників. Погляньте:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Метод спільних дільників

Перш, ніж діяти «напролом» (тобто методом «хрест-навхрест»), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більше) ділиться на інший.
Число, одержане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з меншим знаменником.
При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень вдвічі!

Метод найменшого загального кратного

Найменше число, яке ділиться на кожен із знаменників, називається їх (НОК).

Позначення: найменше загальне кратне чисел a та b позначається НОК(a; b). Наприклад, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множники 3 і 4 взаємно прості, а множник 5 – загальний. Тому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до спільних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

Виявивши однакові множники, ми одразу вийшли на найменше загальне кратне, що, власне кажучи, є нетривіальним завданням;
З отриманого розкладання можна дізнатися, яких множників «бракує» кожного з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Щоб оцінити, наскільки колосальний виграш дає метод найменшого загального кратного, спробуйте обчислити ці приклади методом «хрест-навхрест». Зрозуміло, без калькулятора. Думаю, після цього коментарі будуть зайвими.

Дивіться також:

Приведення дробів до спільного знаменника

Дріб не зміниться, якщо її чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
Розв'язання завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, по суті, звичайними виразами, що містять дроби.

Множення «хрест-навхрест»

Погляньте:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Метод спільних дільників

Перш, ніж діяти «напролом» (тобто методом «хрест-навхрест»), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більше) ділиться на інший.
Число, одержане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з меншим знаменником.
При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень вдвічі!

Метод найменшого загального кратного

Найменше число, яке ділиться на кожен із знаменників, називається їх (НОК).

Позначення: найменше загальне кратне чисел a та b позначається НОК(a; b). Наприклад, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множники 3 і 4 взаємно прості, а множник 5 – загальний. Тому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до спільних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

Виявивши однакові множники, ми одразу вийшли на найменше загальне кратне, що, власне кажучи, є нетривіальним завданням;
З отриманого розкладання можна дізнатися, яких множників «бракує» кожного з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Дивіться також:

Приведення дробів до спільного знаменника

Дріб не зміниться, якщо її чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
Розв'язання завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, по суті, звичайними виразами, що містять дроби.

Множення «хрест-навхрест»

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Єдиний недолік даного методу – доводиться багато рахувати, адже знаменники множаться «напролом», і в результаті можуть вийти дуже великі числа.

Приведення дробів до спільного знаменника

Такою є розплата за надійність.

Метод спільних дільників

Перш, ніж діяти «напролом» (тобто методом «хрест-навхрест»), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більше) ділиться на інший.
Число, одержане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з меншим знаменником.
При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень вдвічі!

Метод найменшого загального кратного

Найменше число, яке ділиться на кожен із знаменників, називається їх (НОК).

Позначення: найменше загальне кратне чисел a та b позначається НОК(a; b). Наприклад, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множники 3 і 4 взаємно прості, а множник 5 – загальний. Тому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до спільних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

Виявивши однакові множники, ми одразу вийшли на найменше загальне кратне, що, власне кажучи, є нетривіальним завданням;
З отриманого розкладання можна дізнатися, яких множників «бракує» кожного з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

При складанні та відніманні алгебраїчних дробів з різними знаменниками спочатку дроби призводять до спільному знаменнику. Це означає, знаходять такий один знаменник, який ділиться на вихідний знаменник кожного дробу алгебри, що входить до складу даного виразу.

Як відомо, якщо чисельник і знаменник дробу помножити (або розділити) на те саме число, відмінне від нуля, то значення дробу не зміниться. Це є основною властивістю дробу. Тому, коли дроби приводять до спільного знаменника, по суті множать вихідний знаменник кожного дробу на множник, що бракує, до загального знаменника. При цьому треба помножити на цей множник та чисельник дробу (для кожного дробу він свій).

Наприклад, дана така сума алгебраїчних дробів:

Потрібно спростити вираз, тобто скласти два алгебраїчні дроби. Для цього в першу чергу треба привести доданки до спільного знаменника. Насамперед слід знайти одночлен, який ділиться і на 3x і на 2y. При цьому бажано, щоб він був найменшим, тобто знайти найменше загальне кратне (НОК) для 3x і 2y.

Для числових коефіцієнтів та змінних НОК шукається окремо. НОК(3, 2) = 6, а НОК(x, y) = xy. Далі знайдені значення множаться: 6xy.

Тепер треба визначити, на який множник треба помножити 3x, щоб отримати 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Отже, при приведенні першого алгебраїчного дробу до спільного знаменника її чисельник треба помножити на 2y (знаменник вже був помножений при приведенні до спільного знаменника). Аналогічно шукається множник для чисельника другого дробу. Він дорівнюватиме 3x.

Таким чином, отримуємо:

Далі вже можна діяти як з дробами з однаковими знаменниками: складаються чисельники, а знаменнику пишеться один загальний:

Після перетворень виходить спрощений вираз, що є одним алгебраїчним дробом, що є сумою двох вихідних:

Алгебраїчні дроби у вихідному вираженні можуть містити знаменники, що є багаточленами, а не одночленами (як у наведеному вище прикладі). У такому разі перед пошуком спільного знаменника слід розкласти знаменники на множники (якщо це можливо). Далі спільний знаменник збирається із різних множників. Якщо множник є у кількох вихідних знаменниках, його беруть один раз. Якщо множник має різні ступені у вихідних знаменниках, його беруть з більшою. Наприклад:

Тут многочлен a 2 – b 2 можна як твір (a – b)(a + b). Множник 2a - 2b розкладається як 2(a - b). Таким чином, загальний знаменник дорівнюватиме 2(a – b)(a + b).

Знаменником арифметичного дробу a/b називають число b, що показує розміри часток одиниці, з яких складено дріб. Знаменником алгебраїчного дробу A/B називають алгебраїчне вираз B. Для виконання арифметичних дій з дробами їх необхідно призвести до найменшого спільного знаменника.

Вам знадобиться

Для роботи з дробами алгебри при знаходженні найменшого спільного знаменника необхідно знати методи розкладання многочленів на множники.

Інструкція

Розглянемо приведення до найменшого спільного знаменника двох арифметичних дробів n/m та s/t, де n, m, s, t – цілі числа. Зрозуміло, що ці два дроби можна привести до будь-якого знаменника, що поділяється на m і t. Але намагаються призвести до найменшого спільного знаменника. Він дорівнює найменшому загальному кратному знаменників m і t цих дробів. Найменше кратне (НОК) чисел - це найменше , Що ділиться одночасно на всі задані числа. Тобто. у разі необхідно знайти найменше загальне кратне чисел m і t. Позначається як НОК (m, t). Далі дроби множаться на відповідні: (n/m) * (НОК (m, t) / m), (s/t) * (НОК (m, t) / t).

Наведемо знаходження найменшого спільного знаменника трьох дробів: 4/5, 7/8, 11/14. Для початку розкладемо знаменники 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3, 14 = 2 * 7. Далі обчислюємо НОК (5, 8, 14), перемножуючи всі числа, що входять хоч би в одне з розкладів. НОК (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Зауважимо, що якщо множник зустрічається в розкладанні кількох чисел (множник 2 у розкладанні знаменників 8 і 14), то беремо множник у більшою мірою(2 ^ 3 у разі).

Отже, загальний отримано. Він дорівнює 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Тут ми отримуємо числа, на які треба помножити дроби з відповідними знаменниками, щоб привести їх до найменшого спільного знаменника. Отримуємо 4/5 = 56*(4/5)=224/280, 7/8=35*(7/8)=245/280, 11/14=20*(11/14)=220/280.

Приведення до найменшого спільного знаменника алгебраїчних дробів виконується за аналогією з арифметичними. Для наочності розглянемо завдання прикладі. Нехай дані два дроби (2 * x) / (9 * y ^ 2 + 6 * y + 1) і (x ^ 2 + 1) / (3 * y ^ 2 + 4 * y + 1). Розкладемо на множники обидва знаменники. Зауважимо, що знаменник першого дробу є повним квадратом: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Для

Як знайти НОК (найменше загальне кратне)

Загальне кратне для двох цілих чисел - це таке ціле число, яке ділиться націло без залишку на обидва задані числа.

Найменша загальна кратна для двох цілих чисел - це найменше з усіх цілих чисел, яке ділиться націло і без залишку на обидва задані числа.

Спосіб 1. Знайти НОК можна, по черзі, для кожного із заданих чисел, виписуючи в порядку зростання всі числа, що виходять шляхом їх множення на 1, 2, 3, 4 тощо.

прикладдля чисел 6 та 9.
Множимо число 6, послідовно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Отримуємо: 6, 12, 18 , 24, 30
Множимо число 9, послідовно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Отримуємо: 9, 18 , 27, 36, 45
Як видно, НОК для чисел 6 і 9 дорівнюватиме 18.

Даний спосіб зручний, коли обидва числа невеликі та їх нескладно множити на послідовність цілих чисел. Однак, трапляються випадки, коли потрібно знайти НОК для двозначних або трицифрових чисел, а також коли вихідних чисел три або навіть більше.

Спосіб 2. Знайти НОК можна, розклавши вихідні числа на прості множники.
Після розкладання необхідно викреслити з рядів простих множників, що вийшли, однакові числа. Решта числа першого числа будуть множником для другого, а залишки числа другого - множником для першого.

прикладдля числа 75 та 60.
Найменше загальне кратне чисел 75 і 60 можна знайти і не виписуючи кратні поспіль цих чисел. Для цього розкладемо 75 та 60 на прості множники:
75 = 3 * 5 * 5, а
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Як видно, множники 3 та 5 зустрічаються в обох рядках. Подумки їх "закреслюємо".
Випишемо множники, що залишилися, що входять у розкладання кожного з цих чисел. При розкладанні числа 75 у нас залишилося число 5, а при розкладанні числа 60 залишилися 2 * 2
Значить, щоб визначити НОК для чисел 75 і 60, нам потрібно числа від розкладання 75 (це 5) помножити на 60, а числа, що залишилися від розкладання числа 60 (це 2 * 2) помножити на 75. Тобто, для простоти розуміння , ми говоримо, що множимо "навхрест".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Таким чином ми і знайшли НОК для чисел 60 та 75. Це – число 300.

приклад. Визначити НОК для чисел 12, 16, 24
У цьому випадку наші дії будуть дещо складнішими. Але, спочатку, як завжди, розкладемо всі числа на прості множники
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Щоб правильно визначити НОК, вибираємо найменше з усіх чисел (це число 12) і послідовно проходимо по його множникам, викреслюючи їх, якщо хоча б в одному з інших рядів чисел зустрівся такий самий ще не закреслений множник.

Крок 1 . Ми бачимо, що 2 * 2 зустрічаються у всіх рядах чисел. Закреслюємо їх.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Крок 2. У простих множниках числа 12 залишилося тільки число 3. Але воно є у простих множниках числа 24. Викреслюємо число 3 з обох рядів, при цьому для числа 16 ніяких дій не передбачається.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Як бачимо, при розкладанні числа 12 ми викреслили всі числа. Отже, знаходження НОК завершено. Залишилося лише обчислити його значення.
Для числа 12 беремо множники, що залишилися, у числа 16 (найближчого за зростанням)
12 * 2 * 2 = 48
Це і є НОК

Як бачимо, в даному випадку перебування НОК було дещо складніше, але коли потрібно його знайти для трьох і більше чисел, даний спосібдозволяє зробити це швидше. Втім, обидва способи знаходження НОК є правильними.

Продовжимо розмову про найменше спільне кратне, яке ми розпочали у розділі «НОК – найменше загальне кратне, визначення, приклади». У цій темі ми розглянемо способи знаходження НОК для трьох чисел і більше, розберемо питання, як знайти НОК негативного числа.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Обчислення найменшого загального кратного (НОК) через НОД

Ми вже встановили зв'язок найменшого загального кратного із найбільшим спільним дільником. Тепер навчимося визначати НОК через НОД. Спочатку розберемося, як це робити для позитивних чисел.

Визначення 1

Знайти найменше загальне кратне через найбільший спільний дільникможна за формулою НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).

Приклад 1

Необхідно знайти НОК чисел 126 та 70 .

Рішення

Приймемо a = 126, b = 70. Підставимо значення у формулу обчислення найменшого загального кратного через найбільший спільний дільник НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).

Знайде НОД чисел 70 та 126 . Для цього нам знадобиться алгоритм Евкліда: 126 = 70 · 1 + 56, 70 = 56 · 1 + 14, 56 = 14 · 4, отже, НОД (126 , 70) = 14 .

Обчислимо НОК: НОК (126, 70) = 126 · 70: НОД (126, 70) = 126 · 70: 14 = 630.

Відповідь:НОК (126, 70) = 630 .

Приклад 2

Знайдіть число 68 і 34 .

Рішення

НОД у разі нейти нескладно, оскільки 68 ділиться на 34 . Обчислимо найменше загальне кратне за формулою: НОК (68, 34) = 68 · 34: НОД (68, 34) = 68 · 34: 34 = 68.

Відповідь:НОК (68, 34) = 68 .

У цьому прикладі ми використовували правило знаходження найменшого загального кратного для цілих позитивних чисел a і b: якщо перше число ділиться на друге, що НОК цих чисел дорівнюватиме першому числу.

Знаходження НОК за допомогою розкладання чисел на прості множники

Тепер давайте розглянемо спосіб знаходження НОК, який ґрунтується на розкладанні чисел на прості множники.

Визначення 2

Для знаходження найменшого загального кратного нам знадобиться виконати низку нескладних дій:

складаємо добуток всіх простих множників чисел, для яких нам потрібно знайти НОК;
виключаємо їх отриманих творів усі прості множники;
отриманий після виключення загальних простих множників твір дорівнюватиме НОК даних чисел.

Цей спосіб знаходження найменшого загального кратного заснований на рівні НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Якщо подивитися на формулу, то стане зрозуміло: добуток чисел a та b дорівнює добутку всіх множників, які беруть участь у розкладанні цих двох чисел. При цьому НОД двох чисел дорівнює добутку всіх простих множників, які одночасно присутні в розкладах на множники цих двох чисел.

Приклад 3

У нас є два числа 75 та 210 . Ми можемо розкласти їх на множники так: 75 = 3 · 5 · 5і 210 = 2 · 3 · 5 · 7. Якщо скласти добуток всіх множників двох вихідних чисел, то вийде: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7.

Якщо виключити загальні для обох чисел множники 3 і 5 ми отримаємо твір наступного виду: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050. Цей твір буде нашим НОК для чисел 75 і 210 .

Приклад 4

Знайдіть НОК чисел 441 і 700 , розклавши обидва числа на прості множники

Рішення

Знайдемо всі прості множники чисел, даних за умови:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Отримуємо два ланцюжки чисел: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 і 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .

Добуток усіх множників, які брали участь у розкладанні даних чисел, матиме вигляд: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7. Знайдемо спільні множники. Це число 7. Виключимо його із загального твору: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7. Виходить, що НОК (441, 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100.

Відповідь:НОК (441, 700) = 44 100 .

Дамо ще одне формулювання методу знаходження НОК шляхом розкладання чисел на прості множники.

Визначення 3

Раніше ми виключали з усієї кількості множників спільні для обох чисел. Тепер ми зробимо інакше:

розкладемо обидва числа на прості множники:
додамо до твору простих множників першого числа відсутні множники другого числа;
отримаємо твір, який і буде шуканий НОК двох чисел.

Приклад 5

Повернемося до числа 75 і 210, для яких ми вже шукали НОК в одному з попередніх прикладів. Розкладемо їх на прості множники: 75 = 3 · 5 · 5і 210 = 2 · 3 · 5 · 7. До твору множників 3 , 5 5 числа 75 додамо відсутні множники 2 і 7 числа 210 . Отримуємо: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Це і є НОК чисел 75 та 210 .

Приклад 6

Необхідно обчислити НОК чисел 84 та 648 .

Рішення

Розкладемо числа із умови на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7і 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3. Додамо до твору множників 2 , 2 , 3 7 числа 84 множники 2 , 3 , 3 і
3 числа 648 . Отримуємо твір 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7 = 4536 .Це і є найменше загальне кратне чисел 84 і 648.

Відповідь:НОК (84, 648) = 4536 .

Знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел

Незалежно від того, з якою кількістю чисел ми маємо справу, алгоритм наших дій завжди буде однаковим: ми будемо послідовно знаходити НОК двох чисел. На цей випадок є теорема.

Теорема 1

Припустимо, що ми маємо цілі числа a 1 , a 2 , … , a k. НОК m kцих чисел перебуває при послідовному обчисленні m 2 = НОК (a 1 , a 2) , m 3 = НОК (m 2 , a 3) , … , m k = НОК (m k − 1 , a k) .

Тепер розглянемо, як можна застосовувати теорему на вирішення конкретних завдань.

Приклад 7

Необхідно обчислити найменше загальне кратне чотирьох чисел 140, 9, 54 та 250 .

Рішення

Введемо позначення: a 1 = 140 , a 2 = 9 , a 3 = 54 , a 4 = 250 .

Почнемо з того, що обчислимо m 2 = НОК (a 1, a 2) = НОК (140, 9). Застосуємо алгоритм Евкліда для обчислення НОД чисел 140 і 9: 140 = 9 · 15 + 5, 9 = 5 · 1 + 4, 5 = 4 · 1 + 1, 4 = 1 · 4. Отримуємо: НОД (140, 9) = 1, НОК (140, 9) = 140 · 9: НОД (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1260. Отже, m 2 = 1260 .

Тепер обчислимо за тим алгоритмом m 3 = НОК (m 2 , a 3) = НОК (1 260 , 54) . У результаті обчислень отримуємо m 3 = 3 780 .

Нам залишилося обчислити m4 = НОК (m3, a4) = НОК (3780, 250). Діємо за тим самим алгоритмом. Отримуємо m 4 = 94500 .

НОК чотирьох чисел із умови прикладу дорівнює 94500 .

Відповідь:НОК (140, 9, 54, 250) = 94500.

Як бачите, обчислення виходять нескладними, але досить трудомісткими. Щоб заощадити час, можна йти іншим шляхом.

Визначення 4

Пропонуємо вам наступний алгоритм дій:

розкладаємо всі числа на прості множники;
до твору множників першого числа додаємо множники, що відсутні, з твору другого числа;
до отриманого на попередньому етапі твору додаємо множники третього числа, що бракують, і т.д.;
отриманий твір буде найменшим загальним кратним усіх чисел з умови.

Приклад 8

Необхідно знайти НОК п'яти чисел 84, 6, 48, 7, 143.

Рішення

Розкладемо всі п'ять чисел на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7, 6 = 2 · 3, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 7, 143 = 11 · 13 . Прості числа, Яким є число 7 на прості множники не розкладаються. Такі числа збігаються зі своїми розкладанням на прості множники.

Тепер візьмемо добуток простих множників 2 , 2 , 3 і 7 числа 84 і додамо до них множники другого числа. Ми розклали число 6 на 2 та 3 . Ці множники вже є у творі першого числа. Отже, їх опускаємо.

Продовжуємо додавати відсутні множники. Переходимо до 48 , з добутку простих множників якого беремо 2 і 2 . Потім додаємо простий множник 7 від четвертого числа та множники 11 і 13 п'ятого. Отримуємо: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 = 48 048 . Це і є найменша загальна кратність п'яти вихідних чисел.

Відповідь:НОК (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Знаходження найменшого загального кратного негативних чисел

Для того, щоб знайти найменше спільне кратне негативних чиселЦі числа необхідно спочатку замінити на числа з протилежним знаком, а потім провести обчислення за наведеними вище алгоритмами.

Приклад 9

НОК (54, -34) = НОК (54, 34), а НОК (-622, -46, -54, -888) = НОК (622, 46, 54, 888).

Такі дії допустимі у зв'язку з тим, що якщо прийняти, що aі − a- Протилежні числа,
то безліч кратних числа aзбігається з безліччю кратних числа − a.

Приклад 10

Необхідно обчислити НОК негативних чисел − 145 і − 45 .

Рішення

Зробимо заміну чисел − 145 і − 45 на протилежні їм числа 145 і 45 . Тепер за алгоритмом обчислимо НОК (145, 45) = 145 · 45: НОД (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1305, попередньо визначивши НОД за алгоритмом Евкліда.

Отримаємо, що НОК чисел – 145 та − 45 одно 1 305 .

Відповідь:НОК (− 145 , − 45) = 1 305 .

Якщо Ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter