Щоб множити стовпчиком, досить знати таблицю множення від 1 до 10 і нескладне правило: Багатозначні числа можна множити за розрядами. Повогорім більш докладно про правила множення в стовпчик.

Як множити в стовпчик: основні правила

Візьмемо простий приклад для усного рахунку.

Спочатку 16 множимо на 1, отримуємо 16. Потім 16 множимо на 20, отримуємо 320. Складаємо два цих результату:

Це і є множення за розрядами: перший множник множиться по черзі на всі цифри другого множника, починаючи з молодшого розряду, а потім отримані результати складаються.

Якщо записати приклад 1 в стовпчик, отримаємо наступне:

Тут найголовніше - акуратна запис. Розряди одиниць повинні писатися під одиницями, десятки - під десятками і т.д. Потім йде складання за розрядами:

6 + 0 \u003d 6; 1 + 2 \u003d 3. Цифру 3 старшого розряду складати ні з чим, вона залишається трійкою.

0 при множенні на 20 писати не обов'язково, можна помножити просто на 2, але результати зрушити вліво на 1 розряд.

Більш складний приклад: 24 х 328. Більша число краще зробити множимо, а менша - множником: так потрібно буде складати тільки 2 числа, а не 3. Хоча можна і навпаки, тому що від зміни місць доданків або множників результати не змінюються. Отже:

Тут множення вийшло більш важким. 8 х 4 \u003d 32. Ми записали тільки 2, а 3 тримаємо в думці: цю трійку потрібно буде додати до результату перемноження десятків.

Потім помножили 4 х 2 \u003d 8, та 3 у нас в розумі. Складаємо десятки, отримуємо: 8 + 3 \u003d 11. І знову в розряд десятків пишемо тільки 1, а другу одиницю, яка у нас піде в розряд сотень, тримаємо в думці, не забуваємо.

4 х 3 \u003d 12 і 1 в розумі - всього 13. Оскільки цифр для множення більше немає, так це число і записуємо.

Тепер потрібно точно так же 328 помножити на 20 або на 2 із зсувом записи на 1 розряд вліво. І скласти результати.

Множення в стовпчик дозволяє швидко видавати рішення прикладів навіть з багатозначними числами. Для рахунку потрібно тільки знати напам'ять таблицю множення.

Як правильно множити стовпчиком

Як і у випадку зі складанням і відніманням в стовпчик, при множенні числа записуються один під одним. Кожен розряд на своєму місці: одиниці під одиницями, десятки під десятками і т. Д. Внизу малюється горизонтальна риса, відповідь пишеться під нею.

Візьмемо числа 78 і 12. Для кращого розуміння: пишемо 78 нагорі, 12 - внизу. Починаємо з одиниці нижнього числа, тобто з цифри 2.

Спершу вважаємо 8 × 2 \u003d 16. Число вийшло більше 10, значить, як і в додаванні, пишемо останню цифру (6), а одиницю тримаємо в думці. Тепер переходимо до десятку, тобто вважаємо 7 × 2 \u003d 14. Одиницю ми тримали в розумі, значить, зараз додаємо її до результату, виходить 14 + 1 \u003d 15. Цифра 5 пишеться під десятками, а 1 переходить в новий розряд - сотні. Іншими словами, під горизонтальною лінією повинно бути написано «156».

Переходимо до наступного розряду. Тепер наша відповідь буде записуватися інакше: остання цифра відповіді повинна бути рівно під верхніми десятками, тобто під цифрою 5. Виходить, що кожне наступне проміжне число зміщується на 1 розряд вліво.

Вважаємо 8 × 1 \u003d 8. Цифра менше 10, пишемо 8 під п'ятіркою в числі «156». Вважаємо 7 × 1 \u003d 7. Сімка переходить в розряд сотень, тобто вона повинна бути написана під одиницею у відповіді «156». Під шісткою нічого не написано, для зручності туди можна поставити нуль.

Отриманий вираз складаємо в стовпчик: 156 + 78. До 6 нічого не додається (0), значить, переписуємо її в колишньому вигляді. Потім вважаємо 5 + 8 \u003d 13, пишемо 3, один в умі. Нарешті, 1 + 7 \u003d 8, додаємо одиницю - виходить 9.

Таким чином, відповідь: 936.

Тренуватися краще на аркуші в клітинку, щоб звикнути до розташування розрядів множників

Точно так же множаться і інші багатозначні числа.

Якщо в множниках є нулі, вони не перемножуються, а просто переносяться в праву частину остаточної відповіді.

варіанти карток

Для наочності можна роздрукувати картки з прикладами різного рівня складності. Так дітям буде простіше запам'ятати принцип рахунку.Приклади для практики можна використовувати і при першому вивченні множення, і для повторення після канікул.

Спочатку рішення прикладів буде займати багато часу, але поступово швидкість підвищиться. Навіть при наявності калькулятора краще вважати вручну: це розвиває розумову діяльність.

Фотогалерея: приклади карток для уроку

Відео: множення чисел в стовпчик

Постійна практика - запорука успіху, і з часом можна навчитися множити в розумі навіть великі числа. Але починати, звичайно, краще з простих прикладів, поступово збільшуючи рівень складності.

У школі ці дії вивчаються від простого до складного. Тому неодмінно покладається добре засвоїти алгоритм виконання названих операцій на простих прикладах. Щоб потім не виникло труднощів з розподілом десяткових дробів в стовпчик. Адже це самий складний варіант подібних завдань.

Цей предмет вимагає послідовного вивчення. Прогалини в знаннях тут неприпустимі. Такий принцип повинен засвоїти кожен учень вже в першому класі. Тому при пропуску декількох уроків поспіль матеріал доведеться освоїти самостійно. Інакше пізніше виникнуть проблеми не тільки з математикою, але і іншими предметами, пов'язаними з нею.

Друга обов'язкова умова успішного вивчення математики - переходити до прикладів на ділення в стовпчик тільки після того, як освоєні додавання, віднімання і множення.

Дитині буде важко ділити, якщо він не вивчив таблицю множення. До речі, її краще вчити по таблиці Піфагора. Там немає нічого зайвого, та й засвоюється множення в такому випадку простіше.

Як множаться в стовпчик натуральні числа?

Якщо виникає складне становище у вирішенні прикладів в стовпчик на розподіл і множення, то починати усувати проблему покладається з множення. Оскільки розподіл є зворотною операцією множення:

1. До того як перемножать два числа, на них потрібно уважно подивитися. Вибрати те, в якому більше розрядів (довше), записати його першим. Під ним розмістити друге. Причому цифри відповідного розряду повинні опинитися під тим же розрядом. Тобто сама права цифра першого числа повинна бути над найправішій другого.
2. Помножте крайню праву цифру нижнього числа на кожну цифру верхнього, починаючи справа. Запишіть відповідь під рискою так, щоб його остання цифра була під тією на яку множили.
3. Те ж повторіть з іншого ціфой нижнього числа. Але результат від множення при цьому потрібно змістити на одну цифру вліво. При цьому його остання цифра виявиться під тією, на яку множили.

Продовжувати таке множення в стовпчик до тих пір, поки не закінчаться цифри у другому множнику. Тепер їх потрібно скласти. Це і буде шуканий відповідь.

Алгоритм множення в стовпчик десяткових дробів

Спочатку потрібно було уявити, що подані не десяткові дроби, а натуральні. Тобто прибрати з них коми і далі діяти так, як описано в попередньому випадку.

Відмінність починається, коли записується відповідь. У цей момент необхідно порахувати всі цифри, які стоять після коми в обох дробах. Саме стільки їх потрібно відрахувати від кінця відповіді і там поставити кому.

Зручно проілюструвати цей алгоритм на прикладі: 0,25 х 0,33:

З чого почати навчання поділу?

До того як вирішувати приклади на ділення в стовпчик, покладається запам'ятати назви чисел, які стоять в прикладі на розподіл. Перше з них (то, яке ділиться) - ділене. Друге (на нього ділять) - дільник. Відповідь - приватна.

Після цього на простому побутовому прикладі пояснимо суть цієї математичної операції. Наприклад, якщо взяти 10 цукерок, то поділити їх порівну між мамою і татом легко. А як бути, якщо потрібно роздати їх батькам і брату?

Після цього можна знайомитися з правилами ділення і освоювати їх на конкретних прикладах. Спочатку простих, а потім переходити до все більш складним.

Алгоритм ділення чисел в стовпчик

Спочатку представимо порядок дій для натуральних чисел, Діляться на однозначне число. Вони будуть основою і для багатозначних подільників або десяткових дробів. Тільки тоді покладається внести невеликі зміни, але про це пізніше:

• До того як робити ділення в стовпчик, потрібно з'ясувати, де ділене і дільник.
• Записати ділене. Праворуч від нього - дільник.
• Прокреслити зліва і знизу біля останньої куточок.
• Визначити неповне ділене, тобто число, яке буде мінімальним для поділу. Зазвичай воно складається з однієї цифри, максимум з двох.
• Підібрати число, яке буде першим записано у відповідь. Воно повинно бути таким, скільки разів дільник поміщається в подільному.
• Записати результат від множення цього числа на дільник.
• Написати його під неповним подільному. Виконати віднімання.
• Знести до залишку першу цифру після тієї частини, яка вже розділена.
• Знову підібрати число для відповіді.
• Повторити множення і віднімання. Якщо залишок дорівнює нулю і ділене закінчилося, то приклад зроблений. В інакше повторити дії: знести цифру, підібрати число, помножити, відняти.

Як вирішувати ділення в стовпчик, якщо в дільнику більше однієї цифри?

Сам алгоритм повністю збігається з тим, що був описаний вище. Відмінністю буде кількість цифр в неповному подільному. Їх тепер мінімум має бути дві, але якщо вони виявляються менше дільника, То працювати покладається з першими трьома цифрами.

Існує ще один нюанс в такому розподілі. Справа в тому, що залишок і знесена до нього цифра іноді не діляться на дільник. Тоді потрібно було приписати ще одну цифру по порядку. Але при цьому у відповідь необхідно поставити нуль. Якщо здійснюється розподіл тризначних чисел в стовпчик, то може знадобитися знести більше двох цифр. Тоді вводиться правило: нулів у відповіді повинно бути на один менше, ніж кількість знесених цифр.

Розглянути такий розподіл можна на прикладі - 12082: 863.

• Неповним діленим в ньому виявляється число 1208. В нього число 863 поміщається тільки один раз. Тому у відповідь покладається поставити 1, а під 1208 записати 863.
• Після вирахування виходить залишок 345.
• До нього потрібно знести цифру 2.
• У числі 3452 чотири рази вміщується 863.
• Четвірку необхідно записати у відповідь. Причому при множенні на 4 виходить саме це число.
• Залишок після вирахування дорівнює нулю. Тобто розподіл закінчено.

Відповіддю в прикладі буде число 14.

Як бути, якщо ділене закінчується на нуль?

Або кілька нулів? В цьому випадку нульової залишок виходить, а в подільному ще стоять нулі. Впадати у відчай не варто, все простіше, ніж може здатися. Досить просто приписати до відповіді всі нулі, які залишилися не розділеними.

Наприклад, потрібно поділити 400 на 5. Неповне ділене 40. У нього 8 разів поміщається п'ятірка. Значить, у відповідь покладається записати 8. При відніманні залишку не залишається. Тобто розподіл закінчено, але в подільному залишився нуль. Його доведеться приписати до відповіді. Таким чином, при розподілі 400 на 5 виходить 80.

Що робити, якщо розділити потрібно десяткову дріб?

Знову ж таки, це число схоже на натуральне, якби не кома, що відокремлює цілу частину від дробової. Це наводить на думку про те, що ділення десяткових дробів в стовпчик подібно до того, яке було описано вище.

Єдиною відмінністю буде пункт з коми. Її потрібно було поставити у відповідь відразу, як тільки знесена перша цифра з дробової частини. По-іншому це можна сказати так: закінчилося поділ цілої частини - постав кому і продовжуй рішення далі.

Під час вирішення прикладів на ділення в стовпчик з десятковими дробами потрібно пам'ятати, що в частині після коми можна приписати будь-яку кількість нулів. Іноді це потрібно для того, щоб доділити числа до кінця.

Розподіл двох десяткових дробів

Воно може здатися складним. Але тільки спочатку. Адже те, як виконати ділення в стовпчик дробів на натуральне число, вже зрозуміло. Значить, потрібно звести цей приклад до вже звичного вигляду.

Зробити це легко. Потрібно помножити обидві дробу на 10, 100, 1 000 або 10 000, а може бути, на мільйон, якщо цього вимагає завдання. Множник покладається вибирати виходячи з того, скільки нулів стоїть в десятковій частині подільника. Тобто в результаті вийде, що ділити доведеться дріб на натуральне число.

Причому це буде в гіршому випадку. Адже може вийти так, що ділене від цієї операції стане цілим числом. Тоді рішення прикладу з розподілом в стовпчик дробів зведеться до самого простому варіанту: Операції з натуральними числами.

Як приклад: 28,4 ділимо на 3,2:

• Спочатку їх необхідно помножити на 10, оскільки в другому числі після коми стоїть тільки одна цифра. Множення дасть 284 і 32.
• Їх потрібно було розділити. Причому відразу все число 284 на 32.
• Першим підібраним числом для відповіді є 8. Від його множення виходить 256. Залишком буде 28.
• Розподіл цілої частини закінчилося, і у відповідь покладається поставити кому.
• Знести до залишку 0.
• Знову взяти по 8.
• Залишок: 24. До нього приписати ще один 0.
• Тепер брати потрібно 7.
• Результат множення - 224, залишок - 16.
• Знести ще один 0. Взяти по 5 і вийде якраз 160. Залишок - 0.

Розподіл закінчено. Результат прикладу 28,4: 3,2 дорівнює 8,875.

Що робити, якщо дільник дорівнює 10, 100, 0,1, або 0,01?

Так само як і з множенням, ділення в стовпчик тут не знадобиться. Досить просто переносити кому в потрібну сторону на певну кількість цифр. Причому за цим принципом можна вирішувати приклади як з цілими числами, так і з десятковими дробами.

Отже, якщо потрібно ділити на 10, 100 або 1 000, кома переноситься вліво на таку кількість цифр, скільки нулів в дільнику. Тобто, коли число ділиться на 100, кома повинна зміститися вліво на дві цифри. Якщо ділене - натуральне число, то мається на увазі, що кома стоїть в його кінці.

Ця дія дає такий же результат, як якщо б число було необхідно помножити на 0,1, 0,01 або 0,001. У цих прикладах кома теж переноситься вліво на кількість цифр, що дорівнює довжині дробової частини.

При розподілі на 0,1 (і т. Д.) Або множенні на 10 (і т. Д.) Кома повинна переміститися вправо на одну цифру (або дві, три, в залежності від кількості нулів або довжини дробової частини).

Варто відзначити, що кількості цифр, даних в подільному, може бути недостатнім. Тоді зліва (в цілій частині) або праворуч (після коми) можна приписати відсутні нулі.

Розподіл періодичних дробів

В цьому випадку не вдасться отримати точну відповідь при розподілі в стовпчик. Як вирішувати приклад, якщо зустрілася дріб з періодом? Тут годиться переходити до звичайних дробів. А потім виконувати їх розподіл по вивченим раніше правилам.

Наприклад розділити потрібно 0, (3) на 0,6. Перша дріб - періодична. Вона перетворюється в дріб 3/9, яка після скорочення дасть 1/3. Друга дріб - кінцева десяткова. Її записати звичайної ще простіше: 6/10, що дорівнює 3/5. Правило ділення звичайних дробів наказує замінювати розподіл множенням і дільник - зворотним числом. Тобто приклад зводиться до множення 1/3 на 5/3. Відповіддю буде 5/9.

Якщо в прикладі різні дроби ...

Тоді можливі кілька варіантів рішення. По перше, звичайну дріб можна спробувати перевести в десяткову. Потім ділити вже дві десяткові за вказаною вище алгоритмом.

По-друге, кожна кінцева десятковий дріб може бути записана у вигляді звичайної. Тільки це не завжди зручно. Найчастіше такі дроби виявляються величезними. Та й відповіді виходять громіздкими. Тому перший підхід вважається кращим.

Множення натуральних чисел зручно проводити особливим способом, який отримав назву « множення стовпчиком»Або« множення в стовпчик». Вся принадність цього способу полягає в тому, що множення багатозначних натуральних чисел зводиться до послідовного множення двох однозначних чисел.

У цій статті ми самим докладним чином розберемо алгоритм множення стовпчиком двох натуральних чисел. Послідовність дій будемо описувати покроково, одночасно показуючи рішення прикладів.

Навігація по сторінці.

Що необхідно знати для множення натуральних чисел стовпчиком?

Проміжні обчислення при множенні стовпчиком проводяться з використанням таблиці множення, тому її бажано знати напам'ять, щоб не витрачати час на пошук потрібного результату.

Рано чи пізно при множенні стовпчиком ми зіткнемося з множенням однозначного натурального числа на нуль. У цьому випадку ми будемо користуватися властивістю множення натурального числа на нуль: a · 0 \u003d 0, де a - довільне натуральне число ..

Рекомендуємо розібратися з матеріалом статті додавання стовпчиком. Це пов'язано з тим, що на одному з етапів множення в стовпчик доводиться складати проміжні результати (які називають неповними творами), використовуючи принцип додавання стовпчиком.

Нарешті, бажано згадати поняття розряду натурального числа.

Запис множників при множенні в стовпчик.

Почнемо з правил записи множників при множенні стовпчиком.

Другий множник записується під першим множником так, що перші справа цифри, відмінні від цифри 0 , Розташовуються один під одним. Знизу під записаними множителями проводиться горизонтальна лінія, а ліворуч ставиться знак множення виду «×». Наведемо приклади правильної записи множників при множенні стовпчиком. Нижче показані записи в стовпчик творів чисел 352 і 71 , 550 і 45 002 , а також 534 000 і 4 300 .

Із записом розібралися.

Тепер можна переходити безпосередньо до процесу множення двох натуральних чисел стовпчиком. Спочатку розглянемо множення багатозначного числа на однозначне число. Після цього розберемо множення стовпчиком двох багатозначних натуральних чисел.

Множення стовпчиком багатозначного натурального числа на однозначне число.

Зараз ми наведемо алгоритм множення стовпчиком багатозначного натурального числа на однозначне натуральне число. Будемо це робити, одночасно описуючи рішення прикладу.

Нехай нам потрібно помножити дане багатозначне натуральне число 45 027 на дане однозначне число 3 .

Записуємо множники так, як це передбачає множення стовпчиком (при цьому однозначне число виявляється під крайнім справа знаком багатозначного числа).

Для нашого прикладу запис буде мати такий вигляд:

Тепер виконуємо множення значення розряду одиниць даного багатозначного числа на дане однозначне число. Якщо при цьому отримуємо число менше 10 , То записуємо його під горизонтальною лінією в тому ж стовпці, в якій розташоване це множиться однозначне число. Якщо ж отримуємо число 10 або число більше, ніж 10 , То під горизонтальною лінією записуємо значення розряду одиниць отриманого числа, а значення розряду десятків запам'ятовуємо (запомненное число додамо до результату множення на наступному кроці, після чого запомненное число видалимо з пам'яті).

Тобто, множимо 7 (Це значення розряду одиниць першого множника 45 027 ) на 3 . отримуємо 21 . Так як 21 більше 10 , То під рискою записуємо число 1 (Це значення розряду одиниць отриманого числа 21 ) І запам'ятовуємо число 2 (Це значення розряду десятків числа 21 ). На цьому кроці запис прийме наступний вигляд:

Переходимо до наступного етапу алгоритму множення стовпчиком. Виконуємо множення значення розряду десятків даного багатозначного числа на дане однозначне число і до твору ще додаємо число, зареєстроване на попередньому етапі (якщо ми його запам'ятовували). Якщо в результаті отримуємо число менше десяти, то записуємо його під горизонтальною лінією зліва від уже записаного там числа. Якщо ж в результаті отримуємо число десять або число більше десяти, то під горизонтальною лінією записуємо значення розряду одиниць отриманого числа, а значення розряду десятків запам'ятовуємо (його так само використовуємо на наступному кроці).

Отже, множимо 2 (Це значення розряду десятків першого множника 45 027 ) на 3 , маємо 6 . До цього числа додаємо запомненное на попередньому кроці число 2 , отримуємо 6+2=8 . Так як 8 менше ніж 10 , То під горизонтальною лінією записуємо число 8 на потрібну позицію (при цьому нам не потрібно запам'ятовувати ніяке число, тобто, тепер в пам'яті у нас чисел немає). маємо:

На наступному кроці діємо аналогічно, але вже виконуємо множення значення розряду сотень даного багатозначного числа на дане однозначне натуральне число. Додаємо до цього твору запомненное число (якщо його запам'ятовували); порівнюємо результат з числом 10 ; якщо потрібно, запам'ятовуємо нове число, і записуємо потрібне число під горизонтальною лінією зліва від вже знаходяться там чисел.

множимо 0 на 3 , отримуємо 0 . Так як в пам'яті у нас немає ніякого числа, то до отриманого числа 0 не потрібно нічого додавати. число 0 менше 10 , Тому записуємо 0 під горизонтальною лінією на потрібній позиції:

Після цього переходимо до множення значення наступного розряду даного багатозначного натурального числа і даного однозначного натурального числа. Аналогічним чином діємо до того моменту, поки не помножимо значення всіх розрядів даного багатозначного числа на дане однозначне натуральне число.

Отже, множимо 5 на 3 , отримуємо 15 . Так як 15>10 , То пишемо під рискою 5 і запам'ятовуємо число 1 :

Нарешті, множимо 4 на 3 , отримуємо 12 . До 12 додаємо запомненное на попередньому етапі число 1 , маємо 12+1=13 . Так як 13 більше ніж 10 , То записуємо число 3 на потрібне місце і запам'ятовуємо число 1 :

Відзначимо що, якщо на останньому етапі нам довелося запам'ятати число, то його потрібно записати під горизонтальною лінією зліва від вже знаходяться там чисел.

У нас в пам'яті знаходиться число 1 , Тому його потрібно написати на потрібне місце під рисою:

На цьому процес множення стовпчиком багатозначного натурального числа на однозначне натуральне число закінчується, а результатом множення є число, записане під горизонтальною лінією.

Таким чином, множення стовпчиком натуральних чисел 45 027 і 3 привело нас до результату 135 081 .

Для наочності схематично зобразимо алгоритм множення стовпчиком багатозначного натурального числа на однозначне натуральне число (цей малюнок відображає лише загальну картину, але не показує всіх нюансів).

Залишилося розібратися з множенням стовпчиком багатозначного натурального числа, в записі якого справа перебуває цифра 0 або кілька цифр 0 поспіль, на однозначне число. Також розглянемо всі кроки множення стовпчиком в таких випадках на прикладі. Причому візьмемо числа з попереднього прикладу, але в запису багатозначного числа допишемо кілька цифр 0 праворуч.

Отже, помножимо натуральні числа 4 502 700 (Ми дописали дві цифри 0 ) На число 3 .

У цьому випадку спочатку записуємо множити числа так, як це передбачає множення стовпчиком:

Після цього проводимо множення стовпчиком так, як ніби цифр 0 праворуч немає.

Скористаємося результатом з уже вирішеного вище прикладу:

На заключному етапі множення стовпчиком під горизонтальною лінією, праворуч від уже наявних там цифр, записуємо стільки цифр 0 , Скільки їх знаходиться праворуч у вихідному множити числа.

У нашому прикладі потрібно дописати дві цифри 0 . Запис набуде вигляду:

На цьому множення стовпчиком завершено.

Результатом множення багатозначного натурального числа 4 502 700 , Запис якого закінчується нулями, на однозначне натуральне число 3 є 13 508 100 .

Множення в стовпчик двох багатозначних натуральних чисел.

Опишемо всі етапи алгоритму множення двох багатозначних натуральних чисел стовпчиком.

Опис будемо проводити разом з рішенням прикладу. Зараз будемо вважати, що в записах множимо натуральних чисел праворуч не перебувають цифри 0 . Множення багатозначних натуральних чисел, записи яких закінчуються нулями, розглянемо в кінці цього пункту.

Помножимо стовпчиком числа 207 на 8 063 .

Починаємо з записи множників один під одним. Зауважимо, що зручніше зверху розташовувати множник, запис якого складається з більшої кількості знаків (в нашому прикладі зверху запишемо число 8 603 , Так як в його записи 4 знака, а число 207 тризначне). Якщо ж записи множників містять однакову кількість знаків, то не має значення, який із множників записувати зверху. Отже, маємо в своєму розпорядженні множники один під одним, щоб цифри першого множника були під цифрами другого множника справа наліво:

Тепер на кожному наступному кроці будемо отримувати так звані неповні твори.

Перший етап алгоритму полягає в множенні стовпчиком першого множника (в нашому прикладі це число 8 063 ) На значення розряду одиниць другого множника (в нашому прикладі значенням розряду одиниць числа 207 є число 7 ). Всі дії аналогічні множенню стовпчиком багатозначного числа на однозначне число (при необхідності поверніться до попереднього пункту цієї статті), в результаті під горизонтальною лінією маємо перше неповне твір. На цьому етапі запис прийме наступний вигляд:

Переходимо до другого етапу. На цьому етапі множимо стовпчиком перший множник (в нашому прикладі це число 8 063 ) На значення розряду десятків другого множника, якщо воно не дорівнює нулю. Якщо значення розряду десятків другого множника дорівнює нулю, то переходимо до наступного етапу (в нашому прикладі значенням розряду десятків числа 207 дорівнює нулю, тому, ми перейдемо до третього етапу). Результати записуємо під рискою нижче вже записаного там числа, починаючи з позиції, яка відповідає розряду десятків.

На третьому, четвертому і так далі етапах діємо аналогічно, примножуючи стовпчиком перший множник (число 8 063 ) На значення розряду сотень другого множника (якщо воно не дорівнює нулю), далі на значення розряду тисяч (якщо воно не дорівнює нулю) і так далі. Результати записуємо під рискою нижче вже записаних там чисел, починаючи з позиції, що відповідає розряду однозначного числа, на яке проводиться множення на даному етапі.

Отже, множимо число 8 063 на значення розряду сотень числа 207 , Тобто на число 2 . Здобувати другу неповне твір, а рішення прикладу прийме наступний вигляд:

Отже, все неповні твори обчислені. залишається останній етап алгоритму, на якому складаються всі неповні твори, причому робиться це так само, як при додаванні в стовпчик. Додавання проводиться з використанням вже наявної записи (неповні твори залишаються на тих місцях, де вони і записані, тобто, вони нікуди не зрушуються), знизу проводиться ще одна горизонтальна лінія, ліворуч ставиться знак «+», а результати складання записуються під нижньою лінією . Якщо в стовпці знаходиться тільки одне число, і при цьому в пам'яті немає запомненного на попередньому етапі числа, то воно записується під горизонтальною лінією.

У нашому прикладі отримуємо:

Утворене внизу число є результатом множення вихідних багатозначних натуральних чисел. Отже, твір чисел 8 063 і 207 одно 1 669 041 .

Для наочності схематично зобразимо процес множення стовпчиком двох натуральних чисел.

Покажемо рішення ще одного прикладу для закріплення матеріалу.

Хлопці, давайте повторимо, що таке однозначне, двозначне і тризначне число.

однозначне число - це число, для запису якого потрібен один знак.
Наприклад: 1, 3, 5, 4, ...
Напевно, ви вже здогадалися, що однозначним числом є цифри, коли вони записані, як число. Вони складаються з одиниць.

двозначне число - це число, для запису якого, потрібно два знака. Наприклад, всі числа від 10 до 99 є двозначними числами. Вони складаються з десятків і одиниць.

Коли діти починають розбивати номера?

Поділ проводиться в ключовий стадії 1, щоб діти знали, що двозначне число складається з десятків і одиниць. Ідея полягає в тому, що дитина поєднує стрілки разом, щоб цифри відповідали. Це два часто використовуваних методу для додавання великих чисел.

Учитель може почати навчати дітей додавати двозначні і тризначні числа в році 3 шляхом розбиття на розділи. Причиною цього є те, що він допомагає дітям подумки додавати кратні десять і кратні 100. Діти в 3-му році повинні додати також навчитися додавати тризначні числа за допомогою, тому ваша дитина, ймовірно, зіткнеться з обома з цих методів.

тризначне число - це число, для запису яких, потрібні три знака. Ви вже здогадалися, що всі числа від 100 до 999 є тризначними. Вони містять одиниці, десятки і сотні.
Хлопці, дайте відповідь на питання: скільки існує тризначних чисел?

Давайте на прикладі розберемо, як потрібно виконати операцію множення багатозначного числа на однозначне число.

Перш за все запам'ятайте правило множення на нуль і одиницю.
Це правило говорить:
Число * 0 \u003d 0
Число * 1 \u003d Число

Поділ в множенні

Дітям 3-го року також необхідно помножити двозначні числа на однорозрядне число. Їх зазвичай навчають цьому розбиття, наприклад. Як тільки вчителі дуже впевнені, що дитина знає, як помножити кратні десять і сто, вони часто дозволять дитині перейти на більш швидкий метод стовпців.

У 6-й рік діти повинні почати обчислювати. Щоб це стало простіше, вчитель може показати їм, як розділяти десяткові числа. Це читається так, як чотири рази шість одно двадцять чотири або просто чотири рази шість - двадцять чотири. Знання множення дуже важливо. Отже, якщо ви слабкі в множенні, ви повинні спробувати досягти рівня володіння таким «таблицею часу».

Приклади.
5 * 0 = 0;
18 * 0 = 0;
4506 * 0 = 0
1 * 34 = 34;
2384 * 1 = 2384;
1 * 47586 = 47586

Для множення багатозначних чисел часто застосовують метод множення стовпчиком, який ми будемо застосовувати в наших прикладах.

Помножимо багатозначне число на число, відмінне від 0 або 1.
Розглянемо приклади.
Візьмемо числа 348 і 4. Для нашої зручності запишемо їх в стовпчик. Почнемо множення з крайнього правого стовпця і перемножимо числа 4 і 8. Отримаємо число 32. Число 2 записуємо строго під числами 8 і 4. А число 30 переводимо в сусідній розряд (розряд десяток). При перенесенні числа в більш старший розряд, наприклад, з одиниць в десятки, це число втрачає 0. Тепер множимо 4 і 4 і отримаємо 16. Додамо 3 від попереднього множення. У підсумку, у нас отримаємо 19. Число 9 пишемо під числом 4 (лівіше цифри 2), а 1 переводимо в сусідній розряд (розряд сотень). Потім перемножуємо числа 3 і 4 і до результату приплюсуємо 1 від попереднього дії. У підсумку, отримуємо 13. Записуємо його повністю, тому що це наше останнє дію. У підсумку, ми отримуємо твір чисел 348 на 4, що дорівнює 1 392.

Множення великих чисел

Ваша впевненість і вміння вчитися математиці буде багато в чому залежати від ваших знань про розмноження. Отже, ви повинні прагнути впоратися з вищевказаним «таблицею часу».

• Продукт є результатом множення двох чисел.
• Щоб обчислити 8 Ч 9, нагадаємо «таблицю восьми разів».

щоб помножити велике число на інше число, ми можемо використовувати короткий множення або тривалий множення.

Щоб помножити велике число на однорозрядне число, введіть цифри по вертикалі, а більше число буде помножено на менше число. Щоб обчислити 89 Ч 7, встановіть його вертикально з меншим числом, поміщеним під великим числом, як показано нижче. Тепер, обчисліть 7 Ч 8 і додайте 6, щоб отримати Це написано, як показано нижче.

Приклади множення багатозначного числа на двозначне число

У цьому прикладі розглянемо множення тризначного числа на двозначне. Візьмемо числа 925 і 38.
Весь процес множення ділиться на кілька частин.
Перша частина - множення числа 925 на число 8. Для зручності запишемо їх в стовпчик.
Як завжди, при множенні в стовпчик ми почнемо свої дії з крайнього правого стовпця. Там записані числа 5 і 8, перемноживши, які отримаємо число 40. Записуємо число 0 під чісламіі 5 і 8. Не забуваємо 40 перенести в наступний розряд (розряд десяток). Тепер перемножуємо числа 2 і 8. Отримуємо 16. Не забуваємо додати число 4, яке залишилося після виконання попередньої дії (при перемножуванні 8 і 5). Отримаємо число 20. Число 0 записуємо під числом 3 поруч з попереднім числом 0, а 20 переносимо в наступний розряд (розряд сотень). І остання дія першої частини - це множення чисел 9 і 8. Твір цих чисел дорівнює 72. Додамо до твору число 2 і отримаємо число 74. Запишемо його повністю.
Друга частина - множення числа 925 на число 3. Не будемо розглядати цю частину так само докладно, як і попередню, а просто запишемо результат твори цих чисел. При записи твори чисел другої частини потрібно пам'ятати, що запис треба починати не з крайнього правого стовпця, а зі зміщенням на одиницю. У нашому прикладі перше число треба записати строго під числами 2, 3,0. Дивіться малюнок.
Третя частина - отримання суми чисел. це заключний етап, На якому нам потрібно отримати суму від першого твору - 7400 і від другого твору - 2775. Підсумовуємо, дотримуючись правил, які використовуються при складанні в стовпчик. На останньому малюнку представлений результат множення двозначного числа 38 на тризначне число 925.

Найголовніше правило, з якого ми починаємо вивчати множення в стовпчик:

Ми часто висловлюємо рішення наступним чином. Множення 38 на 60 швидше, ніж множення на 60 на 38, оскільки 60 містить нуль. Множення на 385 на 500 швидше, ніж множення на 500 на 385, оскільки 500 містить два нуля. Щоб помножити два великих числа, напишіть числа по вертикалі, а більше число буде помножено на менше число, яке називається множником. Ми використовуємо таблицю раз, щоб знайти твір більшого числа з кожною цифрою в множнику, додаючи результати. Наприклад, якщо примножує цифра знаходиться в стовпці сотень, додайте два нуля для стовпця десятків і стовпці одиниць.

• Отже, розмістіть 3 в стовпці одиниць і несіть 6.
• Потім обчисліть 7 Ч 8 і додайте 6, щоб отримати 62.
• У стовпці одиниць поміщається нуль.
• Потім ми обчислюємо 6 Ч 38, як показано вище.
• У стовпці одиниць поміщається нуль, а також стовпець десятків.
• Потім ми обчислюємо 5 Ч 385, як показано вище.
• Не забувайте додавати нуль для кожного значення місця після примножує цифри.
• Щоб помножити 269 на 78, місце 78 нижче.
• Потім обчислимо 8 Ч 269 і 70 Ч 269, як показано вище.

Це відомо як комутативну закон для множення.

Множення в стовпчик на двозначне число

Приклад: 46 помножити на 73

Під числом 46 записуємо число 73 за правилом:

Одиниці записуємо під одиницями, а десятки під десятками

1 Множити починаємо з одиниць.

3 помножимо на 6. Вийде 18.

• 18 одиниць - це 1 десяток і 8 одиниць.
• 8 одиниць пишемо під одиницями, а 1 десяток запам'ятовуємо і додамо до десятків.

Тепер 3 помножимо на 4 десятка. Вийде 12.

Ярлик №1: Квадратірованіе номерів в 50-х роках

Будь-хто може добре розбиратися в математиці з ярликами Майка Бістер. Тепер, якщо число з кроку 2 менше 10, ви повинні поставити перед ним нуль.

Ярлик 2: Множення двох чисел в 90-х роках разом

Коли ви примножуєте два числа в 90-х разом, в круглих дужках поряд з кожним номером вказується, як далеко це число знаходиться далеко від.

Помножимо тризначне число на двозначне

Це один з моїх улюблених трюків, тому що він простий і вражає кожного, хто його бачить. Попросіть кого-небудь вибрати два числа нижче 10 і написати один поверх іншого. Попросіть людини додати їх і поставити відповідь прямо під двома номерами. Попросіть людини продовжити додавання нижніх двох чисел в стовпчик і продовжуйте підсумовування підсумкової суми до тих пір, поки у вас не буде всього десять чисел. Потім додайте йому весь стовпець. Приклад: хтось вибирає числа 4 і 7 і записує 4 зверху. Наступне число в серії буде тому, що 4 +7 \u003d Потім, додавши нижні два числа в стовпець, наступне число буде 18, тому що 7 11 \u003d Він повинен продовжувати робити це, поки у нього не буде всього десять чисел, а потім він додасть всю колонку.

12 десятків, та ще 1, всього 13 десятків.

Сотень в цьому прикладі немає, тому відразу на місці сотень пишемо 1.

138 - це перший неповне твір.

2 Множимо десятки.

7 десятків помножити на 6 одиниць вийде 42 десятка.

• 42 десятка це 4 сотні і 2 десятка.
• 2 десятка пишемо під десятками. 4 запам'ятаємо і додамо до сотням.

7 десятків помножити на 4 десятка вийде 28 сотень. 28 сотень, та ще 4 вийде 32 сотні.

Стовпець може виглядати приблизно так. Ви швидко поглянете на цифри і скажете йому, що все десять цифр додають. Все, що вам потрібно зробити, це подивитися на 76 і додати десятки цифра до нього, 76 7 \u003d Потім накладіть на одну цифру 76 на кінець. Якщо людина вибрала два великих числа, таких як 8 і 9, сьоме число може бути тризначним числом. Стовпець буде виглядати так.

Які помилки при множенні можна зробити і як їх уникнути

Сьомий номер в цьому випадку. Тут ми розглянемо, як множити двозначні числа. Спочатку використовував метод, названий Прямим методом Яковом Трахтенбергом, а другий - методом «двох пальців». Обидва ці методу будуть працювати для будь-яких комбінацій двозначних чисел.

• 32 сотні - це 3 тисячі і 2 сотні.
• 2 сотні пишемо під сотнями, а 3 тисячі запам'ятаємо і додамо до тисяч.

Тисяч в цьому прикладі немає, тому відразу на місці тисяч пишу 3.

3220 - це друге неповне твір.

3 Складаємо перше і друге неповні твори за правилом додавання в стовпчик.

138 плюс 3220 вийде 3358.

Якщо ви зацікавлені в тому, щоб помножити цифри до дванадцяти, погляньте на них. Прямий метод рідко викладається в школах, але відомий протягом століть. У школі вас зазвичай вчать записувати результат множення кожної цифри множника на окремий рядок, а потім підсумовування загальної суми.

Множення багатозначного числа на багатозначне

Замість цього ви пишете тільки відповідь. Для цього ви робите пару обчислень на кожному кроці. Пари, які прирівнюються ні до чого, ігноруються. Ці пари називаються зовнішніми і внутрішніми парами. Зовнішня пара завжди з'єднує одиничну цифру множника з цифрою, в якій ми зараз дивимося. Внутрішня пара завжди з'єднує десятки цифр з цифрою праворуч від цифри, над якою ми працюємо в мультипликаторе.

Читаємо відповідь: 46 помножити на 73 вийде 3358

(Клікніть по картинці)

Компоненти дії множення

(Клікніть по картинці)

зразок міркування
під час запису
множення в стовпчик

Розподіл періодичних дробів

Цей метод по суті той же, що і в Ведичної математики, коли вони використовують «вертикальну і поперечну» сутру при множенні двозначних чисел. Стиль рівняння - єдина реальна різниця. У Ведичній математики рівняння записується на двох рядках, як показано нижче. для прямого методу рівняння знаходиться на одній лінії з відповіддю під мультиплікацією.

Ви можете подивитися відео про прямому множенні з використанням двозначних множників або продовжити читання наступних прикладів. Кількість початкових нулів завжди збігається з числом цифр в множнику, тому при множенні на 2-значні числа ми завжди додаємо 2 старших нуля. Наступне: ми множимо дві поодинокі цифри разом.

Уважно перегляньте і застосуєте в своїх діях!

Які помилки при множенні
можна зробити і
як їх уникнути

Уважно перегляньте,

щоб не робити помилок!

Правила для інших випадків множення

Множення в стовпчик на однозначне число

Цей крок включає в себе множення десятків цифр одного числа на цифру одиниць іншої. При написанні рівняння на одному рядку, якщо ми малюємо вигнуті з'єднувальні лінії між помноженим цифрами, ми отримуємо зовнішню пару і внутрішню пару. При написанні рівняння на двох рядках ми отримуємо хрест, коли малюємо прямі сполучні лінії між помноженим цифрами.

Множення в стовпчик двох багатозначних натуральних чисел

Додаючи результати цих двох рівнянь, отримаємо 14, тому ми пишемо 4 і переносимо. На цьому кроці ми множимо десятки цифр кожного числа. При написанні рівняння на одному рядку зовнішня пара на цьому кроці з'єднується з нулем, тому результат цієї пари дорівнює нулю і може бути проігноровано. У цьому прикладі розумові обчислення, які нам потрібно зробити, відносно прості, і оскільки ми робимо менше кроків, ніж традиційний метод множення, це відбувається швидше. Однак є недолік такого підходу, особливо коли беруть участь цифри більше.

Цей приклад можна записати в стовпчик.

Під числом 34 записуємо число 2 за правилом:

Під числом 68 записуємо число 2 за правилом:

Ми множимо дві поодинокі цифри разом. Отже, ми пишемо 2 і нести. Це те, де це стає жорстким, особливо якщо ви намагаєтеся подумки виконати розрахунок. Отже, ми пишемо 4 і нести. У нас є 63, до яких ми додаємо перенесення 14, щоб дати нам. Запишемо 7 і нести.

Як множити в стовпчик: основні правила

Дотримуючись оригінальному методу і причини провідних нулів, у нас є додатковий крок через перенесення. Отже, ми маємо нуль плюс перенос 7, який ми записуємо 7, який дає нам наша відповідь. Цей крок може бути зайвим, і ми могли б просто записати перенесення на останньому кроці, але в міру вивчення методу краще слідувати всьому рівняння до тих пір, поки ви не будете досить знайомі з методом, щоб взяти невеликі ярлики.

Одиниці записуємо під одиницями, а десятки, якщо вони будуть під десятками

1 Множити починаємо з одиниць.

2 помножимо на 8. Вийде 16.

• 16 одиниць - це 1 десяток і 6 одиниць.
• 6 одиниць пишемо під одиницями. А 1 десяток запам'ятаємо і додамо до десятків.

Тепер 2 помножимо на 6 десятків. Вийде 12.

12 десятків та ще 1 всього 13 десятків.

Як ви можете бачити, коли цифри містять цифри 7, 8 і 9, математика стає більш складною, особливо якщо ви намагаєтеся зробити це подумки. Яків також зрозумів це, і він поставив собі завдання знайти більш простий спосіб домогтися цього. Введіть метод «двох пальців», як він це називав, що спрощує обчислення, які вам потрібно виконати. Перш ніж перейти до методу з двома пальцями, нам потрібно отримати додаткову довідкову інформацію для однорозрядного множення.

Приклади множення багатозначного числа на однозначне число

При множенні двох чисел на одну цифру результат може бути тільки одним або двома цифрами. Якщо ми ставимо нуль перед результатом будь-якої цифри, ми можемо обробляти всі результати множення двох чисел з однієї цифри в вигляді двозначних результатів, цифри одиниць і десятки цифр.

• 13 десятків - це 1 сотня та ще 3 десятки.
• 3 десятка пишу під десятками. А 1 сотню запам'ятаємо і додамо до сотням.

Сотень в цьому прикладі немає, тому відразу на місці сотень напишемо 1.

читаємо відповідь: 68 помножити на 2 вийде 136.