O‘zaro ko‘paytirish

Umumiy bo'luvchilar usuli

Vazifa. Ifodalar qiymatlarini toping:

Vazifa. Ifodalar qiymatlarini toping:

Eng kam umumiy ko'p usul qanday ulkan daromad olishini taxmin qilish uchun o'zaro faoliyat usuli yordamida bir xil misollarni hisoblab ko'ring.

Kasrlarning umumiy maxraji

Albatta, kalkulyatorsiz. O'ylaymanki, bundan keyin izohlar ortiqcha bo'ladi.

Shuningdek qarang:

Men dastlab translatsiya qilish usullarini qo'shmoqchi edim umumiy maxraj"Kasrlarni qo'shish va ayirish" bandida. Ammo ma'lumotlar juda ko'p edi va uning ahamiyati shunchalik kattaki (axir, umumiy maxrajlar faqat sonli kasrlar uchun emas), bu masalani alohida o'rganish yaxshiroqdir.

Deylik, maxrajlari har xil bo‘lgan ikkita kasr bor. Va biz maxrajlar bir xil bo'lishiga ishonch hosil qilishni xohlaymiz. Kasrning asosiy xususiyati yordamga keladi, eslang, bu shunday eshitiladi:

Kasr o'zgarmaydi, agar uning soni va maxraji bir xil nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirilsa.

Shunday qilib, agar siz to'g'ri omillarni tanlasangiz, kasrlarning maxrajlari teng bo'ladi - bu jarayon deyiladi. Va kerakli raqamlar, denominatorlarni "tekislash" chaqiriladi.

Nima uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak? Mana bir nechta sabablar:

1. Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish. Ushbu operatsiyani bajarishning boshqa usuli yo'q;
2. Kasrlarni solishtirish. Ba'zan umumiy maxrajga aylantirish bu vazifani ancha osonlashtiradi;
3. Aksiyalar va foizlar bo'yicha masalalarni yechish. Foizlar, aslida, kasrlarni o'z ichiga olgan umumiy iboralardir.

Ko'paytirilganda kasrlarning maxrajlarini tenglashtiradigan raqamlarni topishning ko'plab usullari mavjud. Biz ulardan faqat uchtasini ko'rib chiqamiz - murakkabligi va qaysidir ma'noda samaradorligini oshirish tartibida.

O‘zaro ko‘paytirish

Eng oddiy va ishonchli yo'l bu maxrajlarni tekislash uchun kafolatlangan. Biz oldinga boramiz: birinchi kasrni ikkinchi kasrning maxrajiga, ikkinchisini esa birinchi kasrning maxrajiga ko'paytiramiz. Natijada, ikkala kasrning maxrajlari asl maxrajlarning ko'paytmasiga teng bo'ladi. Qarab qo'ymoq:

Vazifa. Ifodalar qiymatlarini toping:

Qo'shni kasrlarning maxrajlarini qo'shimcha omillar sifatida ko'rib chiqing. Biz olamiz:

Ha, bu juda oddiy. Agar siz kasrlarni endigina o'rganishni boshlayotgan bo'lsangiz, ushbu aniq usul bilan ishlash yaxshiroqdir - bu bilan siz o'zingizni ko'plab xatolardan sug'urta qilasiz va natijaga erishishingiz kafolatlanadi.

Ushbu usulning yagona kamchiliklari shundaki, siz juda ko'p hisoblashingiz kerak, chunki denominatorlar "vaqtdan oldin" ko'paytiriladi va buning natijasida juda katta raqamlarni olish mumkin. Bu ishonchlilik uchun to'lanadigan narx.

Umumiy bo'luvchilar usuli

Ushbu uslub hisob-kitoblarni sezilarli darajada kamaytirishga yordam beradi, ammo, afsuski, u kamdan-kam qo'llaniladi. Usul quyidagicha:

1. Davom etishdan oldin (ya'ni, o'zaro faoliyat usuli) maxrajlarni ko'rib chiqing. Ehtimol, ulardan biri (kattaroq) ikkinchisiga bo'linadi.
2. Bunday bo'linish natijasida olingan raqam pastki maxrajga ega bo'lgan kasr uchun qo'shimcha omil bo'ladi.
3. Bunday holda, katta maxrajga ega bo'lgan kasrni umuman hech narsaga ko'paytirish kerak emas - bu tejash. Shu bilan birga, xatolik ehtimoli keskin kamayadi.

Vazifa. Ifodalar qiymatlarini toping:

E'tibor bering, 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Ikkala holatda ham bir maxraj ikkinchisiga teng bo'linishi sababli, umumiy omillar usulini qo'llaymiz. Bizda ... bor:

E'tibor bering, ikkinchi kasr hech qachon hech narsaga ko'paytirilmagan. Aslida, biz hisoblash miqdorini yarmiga qisqartirdik!

Aytgancha, men bu misoldagi kasrlarni bir sababga ko'ra oldim. Agar siz qiziqsangiz, ularni ko'ndalang sanab ko'ring. Qisqartirilgandan keyin javoblar bir xil bo'ladi, lekin ko'proq ish bo'ladi.

Bu umumiy bo‘luvchilar usulining kuchliligi, lekin takror aytaman, uni maxrajlardan biri ikkinchisiga qoldiqsiz bo‘lingandagina qo‘llash mumkin. Bu kamdan-kam uchraydi.

Eng kam tarqalgan bir nechta usul

Biz kasrlarni umumiy maxrajga keltirganimizda, biz har bir maxrajga bo'linadigan sonni topishga harakat qilamiz. Keyin ikkala kasrning maxrajlarini shu songa keltiramiz.

Bunday raqamlar juda ko'p va ularning eng kichigi "o'zaro faoliyat" usulida taxmin qilinganidek, dastlabki kasrlarning maxrajlarining to'g'ridan-to'g'ri ko'paytmasiga teng bo'lishi shart emas.

Masalan, 8 va 12 maxrajlari uchun 24 raqami juda mos keladi, chunki 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu raqam 8 · 12 = 96 mahsulotidan ancha kam.

Maxrajlarning har biriga bo'linadigan eng kichik son ularning (LCM) deyiladi.

Belgilanish: a va b ning eng kichik umumiy karrali LCM (a; b) bilan belgilanadi. Masalan, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Agar siz bunday raqamni topsangiz, hisoblashning umumiy miqdori minimal bo'ladi. Misollarni ko'rib chiqing:

Eng kichik umumiy maxrajni qanday topish mumkin

Ifodalar qiymatlarini toping:

E'tibor bering, 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3. 2 va 3 koeffitsientlar oʻzaro tub sonlar (ularning 1 dan boshqa umumiy boʻluvchilari yoʻq), 117 koeffitsienti esa umumiydir. Shuning uchun LCM (234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Xuddi shunday, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. 3 va 4 faktorlar nisbatan tub, 5 omil esa umumiydir. Shuning uchun LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Endi kasrlarni umumiy maxrajlarga keltiramiz:

Asl maxrajlarni faktoring qanchalik foydali bo'lganiga e'tibor bering:

1. Xuddi shu omillarni topib, biz darhol eng kam umumiy ko'paytmaga keldik, bu umuman olganda, ahamiyatsiz muammodir;
2. Olingan kengayishdan siz har bir fraksiya uchun qaysi omillar "etishmayotganini" bilib olishingiz mumkin. Masalan, 234 3 = 702, shuning uchun birinchi kasr uchun qo'shimcha omil 3 ga teng.

Bunday murakkab kasrlar haqiqiy misollarda bo'lmaydi deb o'ylamang. Ular doimo uchrashadilar va yuqoridagi vazifalar chegara emas!

Bitta muammo - bu MOQni qanday topishdir. Ba'zan hamma narsa bir necha soniya ichida topiladi, tom ma'noda "ko'z bilan", lekin umuman olganda, bu alohida ko'rib chiqishni talab qiladigan murakkab hisoblash muammosi. Biz bu erda bu haqda to'xtalmaymiz.

Shuningdek qarang:

Kasrlarning umumiy maxraji

Dastlab men kasrlarni qo'shish va ayirish bandiga umumiy maxraj usullarini kiritmoqchi edim. Ammo ma'lumotlar juda ko'p edi va uning ahamiyati shunchalik kattaki (axir, umumiy maxrajlar faqat sonli kasrlar uchun emas), bu masalani alohida o'rganish yaxshiroqdir.

Deylik, maxrajlari har xil bo‘lgan ikkita kasr bor. Va biz maxrajlar bir xil bo'lishiga ishonch hosil qilishni xohlaymiz. Kasrning asosiy xususiyati yordamga keladi, eslang, bu shunday eshitiladi:

Kasr o'zgarmaydi, agar uning soni va maxraji bir xil nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirilsa.

Shunday qilib, agar siz to'g'ri omillarni tanlasangiz, kasrlarning maxrajlari teng bo'ladi - bu jarayon deyiladi. Va kerakli raqamlar, denominatorlarni "tekislash" chaqiriladi.

Nima uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak?

Umumiy maxraj, tushuncha va ta’rif.

Mana bir nechta sabablar:

1. Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish. Ushbu operatsiyani bajarishning boshqa usuli yo'q;
2. Kasrlarni solishtirish. Ba'zan umumiy maxrajga aylantirish bu vazifani ancha osonlashtiradi;
3. Aksiyalar va foizlar bo'yicha masalalarni yechish. Foizlar, aslida, kasrlarni o'z ichiga olgan umumiy iboralardir.

Ko'paytirilganda kasrlarning maxrajlarini tenglashtiradigan raqamlarni topishning ko'plab usullari mavjud. Biz ulardan faqat uchtasini ko'rib chiqamiz - murakkabligi va qaysidir ma'noda samaradorligini oshirish tartibida.

O‘zaro ko‘paytirish

Maxrajlarni tekislashning kafolatlangan eng oson va ishonchli usuli. Biz oldinga boramiz: birinchi kasrni ikkinchi kasrning maxrajiga, ikkinchisini esa birinchi kasrning maxrajiga ko'paytiramiz. Natijada, ikkala kasrning maxrajlari asl maxrajlarning ko'paytmasiga teng bo'ladi. Qarab qo'ymoq:

Vazifa. Ifodalar qiymatlarini toping:

Qo'shni kasrlarning maxrajlarini qo'shimcha omillar sifatida ko'rib chiqing. Biz olamiz:

Ha, bu juda oddiy. Agar siz kasrlarni endigina o'rganishni boshlayotgan bo'lsangiz, ushbu aniq usul bilan ishlash yaxshiroqdir - bu bilan siz o'zingizni ko'plab xatolardan sug'urta qilasiz va natijaga erishishingiz kafolatlanadi.

Ushbu usulning yagona kamchiliklari shundaki, siz juda ko'p hisoblashingiz kerak, chunki denominatorlar "vaqtdan oldin" ko'paytiriladi va buning natijasida juda katta raqamlarni olish mumkin. Bu ishonchlilik uchun to'lanadigan narx.

Umumiy bo'luvchilar usuli

Ushbu uslub hisob-kitoblarni sezilarli darajada kamaytirishga yordam beradi, ammo, afsuski, u kamdan-kam qo'llaniladi. Usul quyidagicha:

1. Davom etishdan oldin (ya'ni, o'zaro faoliyat usuli) maxrajlarni ko'rib chiqing. Ehtimol, ulardan biri (kattaroq) ikkinchisiga bo'linadi.
2. Bunday bo'linish natijasida olingan raqam pastki maxrajga ega bo'lgan kasr uchun qo'shimcha omil bo'ladi.
3. Bunday holda, katta maxrajga ega bo'lgan kasrni umuman hech narsaga ko'paytirish kerak emas - bu tejash. Shu bilan birga, xatolik ehtimoli keskin kamayadi.

Vazifa. Ifodalar qiymatlarini toping:

E'tibor bering, 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Ikkala holatda ham bir maxraj ikkinchisiga teng bo'linishi sababli, umumiy omillar usulini qo'llaymiz. Bizda ... bor:

E'tibor bering, ikkinchi kasr hech qachon hech narsaga ko'paytirilmagan. Aslida, biz hisoblash miqdorini yarmiga qisqartirdik!

Aytgancha, men bu misoldagi kasrlarni bir sababga ko'ra oldim. Agar siz qiziqsangiz, ularni ko'ndalang sanab ko'ring. Qisqartirilgandan keyin javoblar bir xil bo'ladi, lekin ko'proq ish bo'ladi.

Bu umumiy bo‘luvchilar usulining kuchliligi, lekin takror aytaman, uni maxrajlardan biri ikkinchisiga qoldiqsiz bo‘lingandagina qo‘llash mumkin. Bu kamdan-kam uchraydi.

Eng kam tarqalgan bir nechta usul

Biz kasrlarni umumiy maxrajga keltirganimizda, biz har bir maxrajga bo'linadigan sonni topishga harakat qilamiz. Keyin ikkala kasrning maxrajlarini shu songa keltiramiz.

Bunday raqamlar juda ko'p va ularning eng kichigi "o'zaro faoliyat" usulida taxmin qilinganidek, dastlabki kasrlarning maxrajlarining to'g'ridan-to'g'ri ko'paytmasiga teng bo'lishi shart emas.

Masalan, 8 va 12 maxrajlari uchun 24 raqami juda mos keladi, chunki 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu raqam 8 · 12 = 96 mahsulotidan ancha kam.

Maxrajlarning har biriga bo'linadigan eng kichik son ularning (LCM) deyiladi.

Belgilanish: a va b ning eng kichik umumiy karrali LCM (a; b) bilan belgilanadi. Masalan, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Agar siz bunday raqamni topsangiz, hisoblashning umumiy miqdori minimal bo'ladi. Misollarni ko'rib chiqing:

Vazifa. Ifodalar qiymatlarini toping:

E'tibor bering, 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3. 2 va 3 koeffitsientlar oʻzaro tub sonlar (ularning 1 dan boshqa umumiy boʻluvchilari yoʻq), 117 koeffitsienti esa umumiydir. Shuning uchun LCM (234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Xuddi shunday, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. 3 va 4 faktorlar nisbatan tub, 5 omil esa umumiydir. Shuning uchun LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Endi kasrlarni umumiy maxrajlarga keltiramiz:

Asl maxrajlarni faktoring qanchalik foydali bo'lganiga e'tibor bering:

1. Xuddi shu omillarni topib, biz darhol eng kam umumiy ko'paytmaga keldik, bu umuman olganda, ahamiyatsiz muammodir;
2. Olingan kengayishdan siz har bir fraksiya uchun qaysi omillar "etishmayotganini" bilib olishingiz mumkin. Masalan, 234 3 = 702, shuning uchun birinchi kasr uchun qo'shimcha omil 3 ga teng.

Eng kam umumiy ko'p usul qanday ulkan daromad olishini taxmin qilish uchun o'zaro faoliyat usuli yordamida bir xil misollarni hisoblab ko'ring. Albatta, kalkulyatorsiz. O'ylaymanki, bundan keyin izohlar ortiqcha bo'ladi.

Bunday murakkab kasrlar haqiqiy misollarda bo'lmaydi deb o'ylamang. Ular doimo uchrashadilar va yuqoridagi vazifalar chegara emas!

Bitta muammo - bu MOQni qanday topishdir. Ba'zan hamma narsa bir necha soniya ichida topiladi, tom ma'noda "ko'z bilan", lekin umuman olganda, bu alohida ko'rib chiqishni talab qiladigan murakkab hisoblash muammosi. Biz bu erda bu haqda to'xtalmaymiz.

Shuningdek qarang:

Kasrlarning umumiy maxraji

Dastlab men kasrlarni qo'shish va ayirish bandiga umumiy maxraj usullarini kiritmoqchi edim. Ammo ma'lumotlar juda ko'p edi va uning ahamiyati shunchalik kattaki (axir, umumiy maxrajlar faqat sonli kasrlar uchun emas), bu masalani alohida o'rganish yaxshiroqdir.

Deylik, maxrajlari har xil bo‘lgan ikkita kasr bor. Va biz maxrajlar bir xil bo'lishiga ishonch hosil qilishni xohlaymiz. Kasrning asosiy xususiyati yordamga keladi, eslang, bu shunday eshitiladi:

Kasr o'zgarmaydi, agar uning soni va maxraji bir xil nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirilsa.

Shunday qilib, agar siz to'g'ri omillarni tanlasangiz, kasrlarning maxrajlari teng bo'ladi - bu jarayon deyiladi. Va kerakli raqamlar, denominatorlarni "tekislash" chaqiriladi.

Nima uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak? Mana bir nechta sabablar:

1. Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish. Ushbu operatsiyani bajarishning boshqa usuli yo'q;
2. Kasrlarni solishtirish. Ba'zan umumiy maxrajga aylantirish bu vazifani ancha osonlashtiradi;
3. Aksiyalar va foizlar bo'yicha masalalarni yechish. Foizlar, aslida, kasrlarni o'z ichiga olgan umumiy iboralardir.

Ko'paytirilganda kasrlarning maxrajlarini tenglashtiradigan raqamlarni topishning ko'plab usullari mavjud. Biz ulardan faqat uchtasini ko'rib chiqamiz - murakkabligi va qaysidir ma'noda samaradorligini oshirish tartibida.

O‘zaro ko‘paytirish

Maxrajlarni tekislashning kafolatlangan eng oson va ishonchli usuli. Biz oldinga boramiz: birinchi kasrni ikkinchi kasrning maxrajiga, ikkinchisini esa birinchi kasrning maxrajiga ko'paytiramiz. Natijada, ikkala kasrning maxrajlari asl maxrajlarning ko'paytmasiga teng bo'ladi.

Qarab qo'ymoq:

Vazifa. Ifodalar qiymatlarini toping:

Qo'shni kasrlarning maxrajlarini qo'shimcha omillar sifatida ko'rib chiqing. Biz olamiz:

Ha, bu juda oddiy. Agar siz kasrlarni endigina o'rganishni boshlayotgan bo'lsangiz, ushbu aniq usul bilan ishlash yaxshiroqdir - bu bilan siz o'zingizni ko'plab xatolardan sug'urta qilasiz va natijaga erishishingiz kafolatlanadi.

Ushbu usulning yagona kamchiliklari shundaki, siz juda ko'p hisoblashingiz kerak, chunki denominatorlar "vaqtdan oldin" ko'paytiriladi va buning natijasida juda katta raqamlarni olish mumkin. Bu ishonchlilik uchun to'lanadigan narx.

Umumiy bo'luvchilar usuli

Ushbu uslub hisob-kitoblarni sezilarli darajada kamaytirishga yordam beradi, ammo, afsuski, u kamdan-kam qo'llaniladi. Usul quyidagicha:

1. Davom etishdan oldin (ya'ni, o'zaro faoliyat usuli) maxrajlarni ko'rib chiqing. Ehtimol, ulardan biri (kattaroq) ikkinchisiga bo'linadi.
2. Bunday bo'linish natijasida olingan raqam pastki maxrajga ega bo'lgan kasr uchun qo'shimcha omil bo'ladi.
3. Bunday holda, katta maxrajga ega bo'lgan kasrni umuman hech narsaga ko'paytirish kerak emas - bu tejash. Shu bilan birga, xatolik ehtimoli keskin kamayadi.

Vazifa. Ifodalar qiymatlarini toping:

E'tibor bering, 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Ikkala holatda ham bir maxraj ikkinchisiga teng bo'linishi sababli, umumiy omillar usulini qo'llaymiz. Bizda ... bor:

E'tibor bering, ikkinchi kasr hech qachon hech narsaga ko'paytirilmagan. Aslida, biz hisoblash miqdorini yarmiga qisqartirdik!

Aytgancha, men bu misoldagi kasrlarni bir sababga ko'ra oldim. Agar siz qiziqsangiz, ularni ko'ndalang sanab ko'ring. Qisqartirilgandan keyin javoblar bir xil bo'ladi, lekin ko'proq ish bo'ladi.

Bu umumiy bo‘luvchilar usulining kuchliligi, lekin takror aytaman, uni maxrajlardan biri ikkinchisiga qoldiqsiz bo‘lingandagina qo‘llash mumkin. Bu kamdan-kam uchraydi.

Eng kam tarqalgan bir nechta usul

Biz kasrlarni umumiy maxrajga keltirganimizda, biz har bir maxrajga bo'linadigan sonni topishga harakat qilamiz. Keyin ikkala kasrning maxrajlarini shu songa keltiramiz.

Bunday raqamlar juda ko'p va ularning eng kichigi "o'zaro faoliyat" usulida taxmin qilinganidek, dastlabki kasrlarning maxrajlarining to'g'ridan-to'g'ri ko'paytmasiga teng bo'lishi shart emas.

Masalan, 8 va 12 maxrajlari uchun 24 raqami juda mos keladi, chunki 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu raqam 8 · 12 = 96 mahsulotidan ancha kam.

Maxrajlarning har biriga bo'linadigan eng kichik son ularning (LCM) deyiladi.

Belgilanish: a va b ning eng kichik umumiy karrali LCM (a; b) bilan belgilanadi. Masalan, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Agar siz bunday raqamni topsangiz, hisoblashning umumiy miqdori minimal bo'ladi. Misollarni ko'rib chiqing:

Vazifa. Ifodalar qiymatlarini toping:

E'tibor bering, 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3. 2 va 3 koeffitsientlar oʻzaro tub sonlar (ularning 1 dan boshqa umumiy boʻluvchilari yoʻq), 117 koeffitsienti esa umumiydir. Shuning uchun LCM (234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Xuddi shunday, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. 3 va 4 faktorlar nisbatan tub, 5 omil esa umumiydir. Shuning uchun LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Endi kasrlarni umumiy maxrajlarga keltiramiz:

Asl maxrajlarni faktoring qanchalik foydali bo'lganiga e'tibor bering:

1. Xuddi shu omillarni topib, biz darhol eng kam umumiy ko'paytmaga keldik, bu umuman olganda, ahamiyatsiz muammodir;
2. Olingan kengayishdan siz har bir fraksiya uchun qaysi omillar "etishmayotganini" bilib olishingiz mumkin. Masalan, 234 3 = 702, shuning uchun birinchi kasr uchun qo'shimcha omil 3 ga teng.

Eng kam umumiy ko'p usul qanday ulkan daromad olishini taxmin qilish uchun o'zaro faoliyat usuli yordamida bir xil misollarni hisoblab ko'ring. Albatta, kalkulyatorsiz. O'ylaymanki, bundan keyin izohlar ortiqcha bo'ladi.

Bunday murakkab kasrlar haqiqiy misollarda bo'lmaydi deb o'ylamang. Ular doimo uchrashadilar va yuqoridagi vazifalar chegara emas!

Bitta muammo - bu MOQni qanday topishdir. Ba'zan hamma narsa bir necha soniya ichida topiladi, tom ma'noda "ko'z bilan", lekin umuman olganda, bu alohida ko'rib chiqishni talab qiladigan murakkab hisoblash muammosi. Biz bu erda bu haqda to'xtalmaymiz.

Shuningdek qarang:

Kasrlarning umumiy maxraji

Dastlab men kasrlarni qo'shish va ayirish bandiga umumiy maxraj usullarini kiritmoqchi edim. Ammo ma'lumotlar juda ko'p edi va uning ahamiyati shunchalik kattaki (axir, umumiy maxrajlar faqat sonli kasrlar uchun emas), bu masalani alohida o'rganish yaxshiroqdir.

Deylik, maxrajlari har xil bo‘lgan ikkita kasr bor. Va biz maxrajlar bir xil bo'lishiga ishonch hosil qilishni xohlaymiz. Kasrning asosiy xususiyati yordamga keladi, eslang, bu shunday eshitiladi:

Kasr o'zgarmaydi, agar uning soni va maxraji bir xil nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirilsa.

Shunday qilib, agar siz to'g'ri omillarni tanlasangiz, kasrlarning maxrajlari teng bo'ladi - bu jarayon deyiladi. Va kerakli raqamlar, denominatorlarni "tekislash" chaqiriladi.

Nima uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak? Mana bir nechta sabablar:

1. Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish. Ushbu operatsiyani bajarishning boshqa usuli yo'q;
2. Kasrlarni solishtirish. Ba'zan umumiy maxrajga aylantirish bu vazifani ancha osonlashtiradi;
3. Aksiyalar va foizlar bo'yicha masalalarni yechish. Foizlar, aslida, kasrlarni o'z ichiga olgan umumiy iboralardir.

Ko'paytirilganda kasrlarning maxrajlarini tenglashtiradigan raqamlarni topishning ko'plab usullari mavjud. Biz ulardan faqat uchtasini ko'rib chiqamiz - murakkabligi va qaysidir ma'noda samaradorligini oshirish tartibida.

O‘zaro ko‘paytirish

Maxrajlarni tekislashning kafolatlangan eng oson va ishonchli usuli. Biz oldinga boramiz: birinchi kasrni ikkinchi kasrning maxrajiga, ikkinchisini esa birinchi kasrning maxrajiga ko'paytiramiz. Natijada, ikkala kasrning maxrajlari asl maxrajlarning ko'paytmasiga teng bo'ladi. Qarab qo'ymoq:

Vazifa. Ifodalar qiymatlarini toping:

Qo'shni kasrlarning maxrajlarini qo'shimcha omillar sifatida ko'rib chiqing. Biz olamiz:

Ha, bu juda oddiy. Agar siz kasrlarni endigina o'rganishni boshlayotgan bo'lsangiz, ushbu aniq usul bilan ishlash yaxshiroqdir - bu bilan siz o'zingizni ko'plab xatolardan sug'urta qilasiz va natijaga erishishingiz kafolatlanadi.

Ushbu usulning yagona kamchiliklari shundaki, siz juda ko'p hisoblashingiz kerak, chunki denominatorlar "vaqtdan oldin" ko'paytiriladi va buning natijasida juda katta raqamlarni olish mumkin.

Kasrlarning umumiy maxraji

Bu ishonchlilik uchun to'lanadigan narx.

Umumiy bo'luvchilar usuli

Ushbu uslub hisob-kitoblarni sezilarli darajada kamaytirishga yordam beradi, ammo, afsuski, u kamdan-kam qo'llaniladi. Usul quyidagicha:

1. Davom etishdan oldin (ya'ni, o'zaro faoliyat usuli) maxrajlarni ko'rib chiqing. Ehtimol, ulardan biri (kattaroq) ikkinchisiga bo'linadi.
2. Bunday bo'linish natijasida olingan raqam pastki maxrajga ega bo'lgan kasr uchun qo'shimcha omil bo'ladi.
3. Bunday holda, katta maxrajga ega bo'lgan kasrni umuman hech narsaga ko'paytirish kerak emas - bu tejash. Shu bilan birga, xatolik ehtimoli keskin kamayadi.

Vazifa. Ifodalar qiymatlarini toping:

E'tibor bering, 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Ikkala holatda ham bir maxraj ikkinchisiga teng bo'linishi sababli, umumiy omillar usulini qo'llaymiz. Bizda ... bor:

E'tibor bering, ikkinchi kasr hech qachon hech narsaga ko'paytirilmagan. Aslida, biz hisoblash miqdorini yarmiga qisqartirdik!

Aytgancha, men bu misoldagi kasrlarni bir sababga ko'ra oldim. Agar siz qiziqsangiz, ularni ko'ndalang sanab ko'ring. Qisqartirilgandan keyin javoblar bir xil bo'ladi, lekin ko'proq ish bo'ladi.

Bu umumiy bo‘luvchilar usulining kuchliligi, lekin takror aytaman, uni maxrajlardan biri ikkinchisiga qoldiqsiz bo‘lingandagina qo‘llash mumkin. Bu kamdan-kam uchraydi.

Eng kam tarqalgan bir nechta usul

Biz kasrlarni umumiy maxrajga keltirganimizda, biz har bir maxrajga bo'linadigan sonni topishga harakat qilamiz. Keyin ikkala kasrning maxrajlarini shu songa keltiramiz.

Bunday raqamlar juda ko'p va ularning eng kichigi "o'zaro faoliyat" usulida taxmin qilinganidek, dastlabki kasrlarning maxrajlarining to'g'ridan-to'g'ri ko'paytmasiga teng bo'lishi shart emas.

Masalan, 8 va 12 maxrajlari uchun 24 raqami juda mos keladi, chunki 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu raqam 8 · 12 = 96 mahsulotidan ancha kam.

Maxrajlarning har biriga bo'linadigan eng kichik son ularning (LCM) deyiladi.

Belgilanish: a va b ning eng kichik umumiy karrali LCM (a; b) bilan belgilanadi. Masalan, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Agar siz bunday raqamni topsangiz, hisoblashning umumiy miqdori minimal bo'ladi. Misollarni ko'rib chiqing:

Vazifa. Ifodalar qiymatlarini toping:

E'tibor bering, 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3. 2 va 3 koeffitsientlar oʻzaro tub sonlar (ularning 1 dan boshqa umumiy boʻluvchilari yoʻq), 117 koeffitsienti esa umumiydir. Shuning uchun LCM (234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Xuddi shunday, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. 3 va 4 faktorlar nisbatan tub, 5 omil esa umumiydir. Shuning uchun LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Endi kasrlarni umumiy maxrajlarga keltiramiz:

Asl maxrajlarni faktoring qanchalik foydali bo'lganiga e'tibor bering:

1. Xuddi shu omillarni topib, biz darhol eng kam umumiy ko'paytmaga keldik, bu umuman olganda, ahamiyatsiz muammodir;
2. Olingan kengayishdan siz har bir fraksiya uchun qaysi omillar "etishmayotganini" bilib olishingiz mumkin. Masalan, 234 3 = 702, shuning uchun birinchi kasr uchun qo'shimcha omil 3 ga teng.

Eng kam umumiy ko'p usul qanday ulkan daromad olishini taxmin qilish uchun o'zaro faoliyat usuli yordamida bir xil misollarni hisoblab ko'ring. Albatta, kalkulyatorsiz. O'ylaymanki, bundan keyin izohlar ortiqcha bo'ladi.

Bunday murakkab kasrlar haqiqiy misollarda bo'lmaydi deb o'ylamang. Ular doimo uchrashadilar va yuqoridagi vazifalar chegara emas!

Bitta muammo - bu MOQni qanday topishdir. Ba'zan hamma narsa bir necha soniya ichida topiladi, tom ma'noda "ko'z bilan", lekin umuman olganda, bu alohida ko'rib chiqishni talab qiladigan murakkab hisoblash muammosi. Biz bu erda bu haqda to'xtalmaymiz.

Turli xil maxrajli algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirishda kasrlar birinchi navbatda quyidagilarga olib keladi. umumiy maxraj... Bu shuni anglatadiki, ular ushbu ifodaning bir qismi bo'lgan har bir algebraik kasrning asl maxrajiga bo'lingan shunday yagona maxrajni topadilar.

Ma'lumki, kasrning ayiruvchisi va maxraji bir xil nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirilsa (yoki bo'linsa), kasrning qiymati o'zgarmaydi. Bu kasrning asosiy xossasidir. Shuning uchun, kasrlar umumiy maxrajga olib kelganda, ular mohiyatan har bir kasrning asl maxrajini etishmayotgan omilga umumiy maxrajga ko'paytiradilar. Bunday holda, bu koeffitsientga va kasrning numeratoriga ko'paytirish kerak (har bir kasr uchun uning o'zi bor).

Masalan, quyidagi miqdor berilgan algebraik kasrlar:

Ifodani soddalashtirish, ya'ni ikkita algebraik kasrni qo'shish talab qilinadi. Buning uchun, avvalo, atama-kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak. Birinchi qadam 3x va 2y ga bo'linadigan monomialni topishdir. Bunday holda, u eng kichik bo'lishi, ya'ni 3x va 2y uchun eng kichik umumiy ko'paytmani (LCM) topish maqsadga muvofiqdir.

Raqamli koeffitsientlar va o'zgaruvchilar uchun LCM alohida izlanadi. LCM (3, 2) = 6 va LCM (x, y) = xy. Keyin topilgan qiymatlar ko'paytiriladi: 6xy.

Endi 6xy ni olish uchun qaysi koeffitsientni 3x ga ko'paytirish kerakligini aniqlashimiz kerak:
6xy ÷ 3x = 2y

Bu shuni anglatadiki, birinchi algebraik kasrni umumiy maxrajga keltirishda uning payini 2y ga ko'paytirish kerak (umumiy maxrajga keltirishda maxraj allaqachon ko'paytirilgan). Ikkinchi kasrning numeratori uchun ko'paytma xuddi shunday tarzda qidiriladi. Bu 3x ga teng bo'ladi.

Shunday qilib, biz quyidagilarni olamiz:

Bundan tashqari, siz allaqachon bir xil maxrajli kasrlar kabi harakat qilishingiz mumkin: hisoblagichlar qo'shiladi va maxrajda bitta umumiy yoziladi:

O'zgartirishlardan so'ng soddalashtirilgan ifoda olinadi, bu ikkita asl qismning yig'indisi bo'lgan bitta algebraik kasr:

Asl ifodadagi algebraik kasrlar maxrajlarni o'z ichiga olishi mumkin, ular monomiy emas, balki ko'phaddir (yuqoridagi misolda bo'lgani kabi). Bunday holda, umumiy maxrajni topishdan oldin, siz (agar iloji bo'lsa) maxrajlarni hisobga olishingiz kerak. Bundan tashqari, umumiy maxraj turli omillardan yig'iladi. Agar omil bir nechta boshlang'ich maxrajlarda bo'lsa, u bir marta olinadi. Agar omil asl maxrajlarda turli darajalarga ega bo'lsa, u kattaroq bilan olinadi. Masalan:

Bu erda a 2 - b 2 ko'phadni (a - b) (a + b) ko'paytma sifatida tasvirlash mumkin. 2a - 2b omili 2 (a - b) sifatida kengaytiriladi. Shunday qilib, umumiy maxraj 2 (a - b) (a + b) bo'ladi.

a / b arifmetik kasrning maxraji b soni bo'lib, kasrni tashkil etuvchi birlik kasrlarning o'lchamlarini ko'rsatadi. A / B algebraik kasrning maxraji B algebraik ifodasi deb ataladi. Kasrlar bilan arifmetik amallarni bajarish uchun ularni eng kichik umumiy maxrajga keltirish kerak.

Sizga kerak bo'ladi

• Eng kichik umumiy maxrajni topishda algebraik kasrlar bilan ishlash uchun polinomlarni faktorlarga ajratish usullarini bilish kerak.

Ko'rsatmalar

Ikki arifmetik kasr n / m va s / t ning eng kichik umumiy maxrajiga qisqartirishni ko'rib chiqing, bu erda n, m, s, t butun sonlardir. Bu ikki kasrni m va t ga bo'linadigan har qanday maxrajga keltirish mumkinligi aniq. Lekin ularni eng past umumiy maxrajga olib kelishga harakat qiladilar. Bu kasrlarning m va t maxrajlarining eng kichik umumiy karraliga teng. Raqamlarning eng kichik ko'pligi (LCM) bir vaqtning o'zida barcha berilgan raqamlarga bo'linadigan eng kichikdir. Bular. bizning holimizda m va t sonlarining eng kichik umumiy karralini topish kerak. U LCM (m, t) sifatida belgilanadi. Keyin kasrlar mos keladiganlar bilan ko'paytiriladi: (n / m) * (LCM (m, t) / m), (s / t) * (LCM (m, t) / t).

Keling, uchta kasrning eng kichik umumiy maxrajini topamiz: 4/5, 7/8, 11/14. Birinchidan, 5, 8, 14 maxrajlarini kengaytiramiz: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3, 14 = 2 * 7. Keyinchalik, LCM ni hisoblaymiz (5, 8, 14), kengaytmalarning kamida bittasiga kiritilgan barcha raqamlarni ko'paytirish. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2 ^ 3 * 7 = 280. E'tibor bering, agar bir nechta sonlarning kengayishida omil yuzaga kelsa (8 va 14 maxrajlarning kengayishida 2-omil), u holda biz omilni olamiz. ichida ko'proq darajada(bizning holimizda 2 ^ 3).

Shunday qilib, jami qabul qilinadi. Bu 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Bu erda biz kasrlarni eng kichik umumiy maxrajga etkazish uchun mos keladigan maxrajlar bilan ko'paytirishimiz kerak bo'lgan raqamlarni olamiz. Biz 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280 ni olamiz.

Algebraik kasrlar arifmetik kasrlarga o'xshatib, eng kichik umumiy maxrajga keltiriladi. Aniqlik uchun muammoni misol bilan ko'rib chiqing. Ikki kasr (2 * x) / (9 * y ^ 2 + 6 * y + 1) va (x ^ 2 + 1) / (3 * y ^ 2 + 4 * y + 1) berilsin. Ikkala maxrajni ham omil qiling. E'tibor bering, birinchi kasrning maxraji mukammal kvadratdir: 9 * y ^ 2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1) ^ 2. Uchun

LCMni qanday topish mumkin (eng kichik umumiy ko'p)

Ikki butun sonning umumiy karrali deganda berilgan ikkala songa teng boʻlinadigan butun son tushuniladi.

Ikki butun sonning eng kichik umumiy koʻpaytmasi berilgan ikkala songa boʻlinadigan eng kichik butun sondir.

1-usul... Siz berilgan raqamlarning har biri uchun o'z navbatida LCMni topishingiz mumkin, ularni 1, 2, 3, 4 va hokazolarga ko'paytirish orqali olingan barcha raqamlarni o'sish tartibida yozishingiz mumkin.

Misol 6 va 9 raqamlari uchun.
Biz 6 raqamini ketma-ket 1, 2, 3, 4, 5 ga ko'paytiramiz.
Biz olamiz: 6, 12, 18 , 24, 30
Biz 9 raqamini ketma-ket 1, 2, 3, 4, 5 ga ko'paytiramiz.
Biz olamiz: 9, 18 , 27, 36, 45
Ko'rib turganingizdek, 6 va 9 raqamlari uchun LCM 18 bo'ladi.

Bu usul ikkala raqam ham kichik va butun sonlar ketma-ketligiga ko'paytirish oson bo'lganda qulaydir. Biroq, LCMni ikki raqamli yoki uchun topishingiz kerak bo'lgan paytlar mavjud uch xonali raqamlar shuningdek, asl raqamlar uch yoki undan ko'p bo'lsa.

2-usul... Asl raqamlarni tub omillarga kengaytirish orqali LCMni topishingiz mumkin.
Kengaytirilgandan so'ng, paydo bo'lgan tub omillar qatoridan bir xil raqamlarni o'chirish kerak. Birinchi raqamning qolgan raqamlari ikkinchisiga koeffitsient bo'ladi va ikkinchisining qolgan raqamlari birinchisiga koeffitsient bo'ladi.

Misol 75 va 60 raqamlari uchun.
75 va 60 ning eng kichik umumiy karralini bu sonlarning karralarini ketma-ket yozmasdan topish mumkin. Buning uchun biz 75 va 60 ni tub omillarga ajratamiz:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Ko'rib turganingizdek, ikkala qatorda 3 va 5 omillar mavjud. Aqliy jihatdan biz ularni "chiqib chiqaramiz".
Keling, ushbu raqamlarning har birining parchalanishiga kiritilgan qolgan omillarni yozamiz. 75 raqamini kengaytirganda bizda 5 raqami qoladi va 60 raqamini kengaytirganda bizda 2 * 2 bo'ladi.
Shunday qilib, 75 va 60 raqamlari uchun LCMni aniqlash uchun biz 75 (bu 5) parchalanishidan qolgan raqamlarni 60 ga va 60 raqamining parchalanishidan qolgan raqamlarni (bu 2 * 2) ko'paytirishimiz kerak. ) 75 ga ko'paytiring. Ya'ni, tushunish qulayligi uchun biz "o'zaro" ko'paytiramiz, deymiz.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Biz 60 va 75 raqamlari uchun LCMni shunday topdik. Bu 300 raqami.

Misol... 12, 16, 24 raqamlari uchun LCMni aniqlang
Bunday holda, bizning harakatlarimiz biroz murakkabroq bo'ladi. Lekin, avvalo, har doimgidek, keling, barcha raqamlarni tub omillarga ajratamiz
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
LCMni to'g'ri aniqlash uchun biz barcha raqamlardan eng kichigini tanlaymiz (bu 12 raqam) va ketma-ket uning omillarini ko'rib chiqamiz, agar boshqa raqamlar seriyasining kamida bittasida bir xil, hali chizilmagan omil bo'lsa, ularni kesib o'tamiz.

1-qadam. Biz 2 * 2 raqamlarning barcha qatorlarida sodir bo'lishini ko'ramiz. Ularni kesib tashlang.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

2-qadam. 12 sonining tub omillarida faqat 3 raqami qoladi, lekin u 24 sonining tub omillarida mavjud. Ikkala qatordan 3 raqamini kesib tashlang, 16 soni uchun esa hech qanday harakat qabul qilinmaydi.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Ko'rib turganingizdek, 12 raqamini kengaytirganda, biz barcha raqamlarni "chizib tashladik". Bu MOQning xulosasi yakunlanganligini anglatadi. Faqat uning qiymatini hisoblash uchun qoladi.
12 raqami uchun biz 16 raqamining qolgan omillarini olamiz (o'sish tartibida eng yaqin)
12 * 2 * 2 = 48
Bu MOQ

Ko'rib turganingizdek, bu holda LCMni topish biroz qiyinroq edi, lekin siz uni uch yoki undan ortiq raqam uchun topishingiz kerak bo'lganda, Bu yerga tezroq bajarishga imkon beradi. Biroq, LCMni topishning ikkala usuli ham to'g'ri.

Keling, biz "LCM - Eng kichik umumiy ko'paytma, ta'rif, misollar" bo'limida boshlagan eng kichik umumiy ko'paytma haqida gapirishni davom ettiramiz. Ushbu mavzuda biz uchta yoki undan ko'p sonlar uchun LCMni topish usullarini ko'rib chiqamiz, salbiy sonning LCM ni qanday topish kerakligi haqidagi savolni tahlil qilamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Eng kichik umumiy ko'paytmani (LCM) gcd bo'yicha hisoblash

Biz allaqachon eng kichik umumiy karra va eng katta umumiy bo'luvchi o'rtasidagi munosabatni o'rnatdik. Endi biz LCMni GCD nuqtai nazaridan qanday aniqlashni bilib olamiz. Keling, birinchi navbatda ijobiy raqamlar uchun buni qanday qilishni aniqlaylik.

Ta'rif 1

Eng kattaning eng kichik umumiy karralini toping umumiy bo'luvchi LCM (a, b) = a b formulasi bo'yicha bo'lishi mumkin: gcd (a, b).

1-misol

126 va 70 raqamlarining LCM ni toping.

Yechim

a = 126, b = 70 ni olaylik. Eng katta umumiy bo'luvchi LCM (a, b) = a b orqali eng kichik umumiy karrali hisoblash uchun formuladagi qiymatlarni almashtiring: GCD (a, b).

70 va 126 sonlarining gcd ni topadi. Buning uchun bizga Evklid algoritmi kerak: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, shuning uchun GCD (126 , 70) = 14 .

Biz LCMni hisoblaymiz: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Javob: LCM (126, 70) = 630.

2-misol

68 va 34 raqamlarining taqillatilishini toping.

Yechim

Bu holda GCD qiyin emas, chunki 68 34 ga bo'linadi. Eng kichik umumiy ko'paytmani quyidagi formula yordamida hisoblaymiz: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Javob: LCM (68, 34) = 68.

Bu misolda biz a va b musbat butun sonlar uchun eng kichik umumiy karralini topish qoidasidan foydalandik: agar birinchi son ikkinchisiga boʻlinadigan boʻlsa, bu sonlarning LCM birinchi songa teng boʻladi.

Raqamlarni tub omillarga ajratish orqali LCMni topish

Endi raqamlarni tub omillarga ajratishga asoslangan LCM ni topish usulini ko'rib chiqamiz.

Ta'rif 2

Eng kichik umumiy ko'paytmani topish uchun biz bir necha oddiy amallarni bajarishimiz kerak:

• LCM ni topishimiz kerak bo'lgan raqamlarning barcha tub omillarining mahsulotini tuzing;
• olingan mahsulotlardan barcha asosiy omillarni istisno qilamiz;
• umumiy tub omillarni bartaraf qilgandan keyin olingan mahsulot bu raqamlarning LCM ga teng bo'ladi.

Eng kichik umumiy karralini topishning bu usuli LCM (a, b) = a b tengligiga asoslanadi: GCD (a, b). Agar siz formulaga qarasangiz, aniq bo'ladi: a va b sonlarining ko'paytmasi bu ikki raqamning parchalanishida ishtirok etadigan barcha omillarning ko'paytmasiga teng. Bunday holda, ikkita raqamning GCD bu ikki raqamning faktorizatsiyasida bir vaqtning o'zida mavjud bo'lgan barcha tub omillarning mahsulotiga tengdir.

3-misol

Bizda ikkita raqam bor, 75 va 210. Biz ularni quyidagicha faktor qilishimiz mumkin: 75 = 3 5 5 va 210 = 2 3 5 7... Agar siz ikkita asl sonning barcha omillari ko'paytmasini tuzsangiz, siz quyidagilarni olasiz: 2 3 3 5 5 5 7.

Agar ikkala raqam uchun umumiy bo'lgan 3 va 5 omillarni chiqarib tashlasak, biz quyidagi ko'rinishdagi mahsulotga ega bo'lamiz: 2 3 5 5 7 = 1050... Ushbu mahsulot 75 va 210 raqamlari uchun bizning LCM bo'ladi.

4-misol

Raqamlarning LCM ni toping 441 va 700 ikkala raqamni tub omillarga kengaytirish orqali.

Yechim

Shartda berilgan sonlarning barcha tub omillarini topamiz:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Biz ikkita son zanjirini olamiz: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 va 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7.

Ushbu raqamlarning parchalanishida ishtirok etgan barcha omillarning mahsuloti quyidagi shaklga ega bo'ladi: 2 2 3 3 5 5 7 7 7... Umumiy omillarni toping. Bu raqam 7 ta. Keling, uni umumiy ishdan chiqarib tashlaylik: 2 2 3 3 5 5 7 7... Ma'lum bo'lishicha, MOQ (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Javob: LCM (441, 700) = 44 100.

Keling, raqamlarni tub omillarga ajratish orqali LCMni topish usulining yana bir formulasini keltiramiz.

Ta'rif 3

Ilgari biz ikkala raqam uchun umumiy omillarning umumiy sonidan chiqarib tashladik. Endi biz buni boshqacha qilamiz:

• Keling, ikkala raqamni tub omillarga ajratamiz:
• ikkinchi sonning etishmayotgan ko‘paytmalarini birinchi sonning tub ko‘paytmalari ko‘paytmasiga qo‘shing;
• biz mahsulotni olamiz, bu ikki raqamning kerakli LCM bo'ladi.

5-misol

Keling, 75 va 210 raqamlariga qaytaylik, buning uchun biz oldingi misollardan birida LCMni qidirgan edik. Keling, ularni asosiy omillarga ajratamiz: 75 = 3 5 5 va 210 = 2 3 5 7... 3, 5 va omillar ko'paytmasiga 5 75 raqamiga etishmayotgan omillar qo'shiladi 2 va 7 210 raqami. Biz olamiz: 2 · 3 · 5 · 5 · 7. Bu 75 va 210 raqamlarining LCMidir.

6-misol

84 va 648 raqamlarining LCM ni hisoblang.

Yechim

Keling, raqamlarni shartdan tub omillarga ajratamiz: 84 = 2 2 3 7 va 648 = 2 2 2 3 3 3 3... Mahsulotga 2, 2, 3 va omillarni qo'shing 7 soni 84 etishmayotgan omillar 2, 3, 3 va
3 raqami 648. Biz ishni olamiz 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Bu 84 va 648 ning eng kichik umumiy karrali.

Javob: LCM (84, 648) = 4,536.

Uch yoki undan ortiq raqamlarning LCM ni topish

Biz qancha raqam bilan ishlayotganimizdan qat'i nazar, harakatlarimiz algoritmi har doim bir xil bo'ladi: biz ketma-ket ikkita raqamning LCM ni topamiz. Bu holat uchun bir teorema mavjud.

Teorema 1

Faraz qilaylik, bizda butun sonlar bor a 1, a 2,…, a k... MOQ m k bu raqamlardan m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3),…, m k = LCM (m k - 1, a k) ni ketma-ket hisoblash yo'li bilan topiladi.

Endi keling, teoremadan qanday qilib aniq masalalarni yechishda qo‘llash mumkinligini ko‘rib chiqamiz.

7-misol

140, 9, 54 va 4 ta sonning eng kichik umumiy karralini hisoblang 250 .

Yechim

Belgilanishni kiritamiz: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Keling, m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9) ni hisoblashdan boshlaylik. 140 va 9 raqamlarining GCD ni hisoblash uchun Evklid algoritmidan foydalanamiz: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Biz olamiz: GCD (140, 9) = 1, LCM (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1 260. Shuning uchun, m 2 = 1,260.

Endi biz bir xil algoritm bo'yicha hisoblaymiz m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Hisob-kitoblar jarayonida biz m 3 = 3 780 ni olamiz.

Biz uchun m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) ni hisoblash qoladi. Biz bir xil algoritmga amal qilamiz. Biz m 4 = 94,500 ni olamiz.

Misol shartidagi to'rtta raqamning LCM ko'rsatkichi 94500 ga teng.

Javob: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.

Ko'rib turganingizdek, hisob-kitoblar oddiy, ammo juda mashaqqatli. Vaqtni tejash uchun siz boshqa yo'l bilan borishingiz mumkin.

Ta'rif 4

Sizga quyidagi harakatlar algoritmini taklif qilamiz:

• barcha sonlarni tub omillarga ajratish;
• birinchi sonning ko'paytmalari ko'paytmasiga ikkinchi sonning ko'paytmasidan etishmayotgan ko'paytmalarni qo'shing;
• oldingi bosqichda olingan mahsulotga uchinchi raqamning etishmayotgan omillarini qo'shing va hokazo.;
• hosil bo'lgan mahsulot shartdagi barcha sonlarning eng kichik umumiy karrali bo'ladi.

8-misol

84, 6, 48, 7, 143 beshta raqamning LCM ni topish kerak.

Yechim

Keling, barcha beshta sonni tub ko‘paytuvchilarga ajratamiz: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Bosh sonlar, ya'ni 7 raqamini tub omillarga ajratib bo'lmaydi. Bunday raqamlar ularning asosiy faktorizatsiyasi bilan mos keladi.

Endi 84 ning 2, 2, 3 va 7 tub ko‘paytuvchilari ko‘paytmasini oling va ularga ikkinchi sonning etishmayotgan ko‘paytmalarini qo‘shing. Biz 6 raqamini 2 va 3 ga ajratamiz. Bu omillar allaqachon birinchi raqamning mahsulotida. Shuning uchun biz ularni o'tkazib yuboramiz.

Biz etishmayotgan omillarni qo'shishda davom etamiz. Biz 2 va 2 ni oladigan tub omillar ko'paytmasidan 48 raqamiga o'tamiz. Keyin to'rtinchi sonning 7 ning tub koeffitsientini va beshinchisi uchun 11 va 13 koeffitsientini qo'shing. Biz olamiz: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Bu asl besh raqamning eng kichik umumiy karrali.

Javob: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Manfiy sonlarning eng kichik umumiy karralini topish

Eng kichik umumiy karralini topish uchun manfiy raqamlar, bu raqamlar birinchi navbatda qarama-qarshi belgili raqamlar bilan almashtirilishi kerak, so'ngra hisob-kitoblar yuqoridagi algoritmlarga muvofiq amalga oshirilishi kerak.

9-misol

LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) va LCM (- 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Agar biz buni qabul qilsak, bunday harakatlar joizdir a va - a- qarama-qarshi raqamlar;
keyin ko'paytmalar to'plami a ko'paytmalar to'plamiga mos keladi - a.

10-misol

Salbiy raqamlarning LCM ni hisoblash kerak − 145 va − 45 .

Yechim

Keling, raqamlarni almashtiramiz − 145 va − 45 qarama-qarshi raqamlarda 145 va 45 ... Endi algoritmga ko'ra, biz LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305 ni hisoblaymiz, bundan oldin Evklid algoritmi bo'yicha GCD ni aniqlaymiz.

Biz raqamlarning LCM 145 va ekanligini bilib olamiz − 45 teng 1 305 .

Javob: LCM (- 145, - 45) = 1,305.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing