Standart raqamlarni manfiy kuch bilan taqqoslash. Raqamning salbiy kuchi: qurilish qoidalari va misollar

Birinchi daraja

Daraja va uning xususiyatlari. To'liq qo'llanma (2019)

Nima uchun darajalar kerak? Ular qayerda sizga foydali bo'ladi? Nega ularni o'rganishga vaqt ajratishingiz kerak?

Darajalar, ular nima uchun ekanligi, bilimlaringizdan qanday foydalanish haqida hamma narsani bilib oling Kundalik hayot ushbu maqolani o'qing.

Va, albatta, darajalarni bilish sizni muvaffaqiyatga yaqinlashtiradi imtihondan o'tish yoki Yagona davlat imtihoni va orzuingizdagi universitetga kirish.

Kelinglar ... (Ketaylik!)

Muhim eslatma! Agar formulalar o'rniga ma'nosiz so'zlarni ko'rsangiz, keshni tozalang. Buning uchun CTRL + F5 (Windows-da) yoki Cmd + R (Mac-da) tugmalarini bosing.

BIRINCHI DARAJA

Ko'rsatkichni ko'tarish qo'shish, ayirish, ko'paytirish yoki bo'lish kabi bir xil matematik amaldir.

Endi men hamma narsani inson tilida juda aniq tushuntiraman oddiy misollar... E'tibor qarating. Misollar oddiy, lekin ular muhim narsalarni tushuntiradi.

Qo'shish bilan boshlaylik.

Tushuntirish uchun hech narsa yo'q. Siz allaqachon hamma narsani bilasiz: biz sakkiz kishimiz. Har birida ikkita shisha kola bor. Qancha kola bor? To'g'ri - 16 shisha.

Endi ko'paytirish.

Xuddi shu kola misoli boshqacha yozilishi mumkin:. Matematiklar ayyor va dangasa odamlardir. Ular avval ba'zi naqshlarni payqashadi, keyin esa ularni tezda "hisoblash" usulini o'ylab topishadi. Bizning holatda, ular sakkiz kishining har birida bir xil miqdordagi kola idishlari borligini payqashdi va ko'paytirish deb nomlangan texnikani o'ylab topishdi. Qabul qilaman, bu osonroq va tezroq hisoblanadi.

Shunday qilib, tezroq, osonroq va xatosiz hisoblash uchun siz shunchaki eslab qolishingiz kerak ko'paytirish jadvali... Siz, albatta, hamma narsani sekinroq, qiyinroq va xatolar bilan qilishingiz mumkin! Lekin…

Mana ko'paytirish jadvali. Takrorlang.

Va yana bir, yanada chiroyli:

Yana nima hiyla-nayranglar dangasa matematiklar hisoblarni ixtiro qilganmi? To'g'ri - raqamni kuchga ko'tarish.

Raqamni quvvatga ko'tarish

Agar raqamni besh marta ko'paytirish kerak bo'lsa, matematiklar bu raqamni beshinchi darajaga ko'tarish kerakligini aytishadi. Masalan, . Matematiklar ikkidan beshinchi darajagacha ekanligini eslashadi. Va ular bunday muammolarni boshlarida hal qilishadi - tezroq, osonroq va xatosiz.

Siz qilishingiz kerak bo'lgan yagona narsa raqamlarning kuchlari jadvalida nima ta'kidlanganini eslang... Ishoning, bu sizning hayotingizni ancha osonlashtiradi.

Aytgancha, nima uchun ikkinchi daraja deyiladi kvadrat raqamlar, uchinchisi - kub? Bu nimani anglatadi? Yuqori darajada yaxshi savol... Endi siz kvadrat va kublarga ega bo'lasiz.

Hayotiy misol №1

Keling, kvadrat yoki sonning ikkinchi darajasidan boshlaylik.

Kvadrat metrli hovuzni tasavvur qiling. Hovuz sizning qishloq uyingizda. Havo issiq va men suzishni juda xohlayman. Lekin ... tubsiz hovuz! Hovuzning pastki qismini plitkalar bilan qoplash kerak. Sizga qancha plitka kerak? Buni aniqlash uchun siz hovuz tubining maydonini bilishingiz kerak.

Hovuzning tubi metr metrli kublardan iborat ekanligini barmog'ingizni qo'yib, shunchaki hisoblashingiz mumkin. Agar sizda plitka metr bo'lsa, sizga bo'laklar kerak bo'ladi. Bu oson ... Lekin bunday plitkalarni qaerda ko'rgansiz? Plitka sm sm bo'lishi ehtimoldan yiroq.Va keyin siz "barmoqlarni hisoblash" bilan qiynoqqa solasiz. Keyin ko'paytirish kerak. Shunday qilib, hovuzning pastki qismining bir tomonida biz plitkalar (bo'laklar), ikkinchisida esa plitkalarni o'rnatamiz. ga ko'paytirsangiz, siz plitkalarni olasiz ().

Hovuz tubining maydonini aniqlash uchun biz bir xil sonni o'zimiz ko'paytirganimizni payqadingizmi? Bu nimani anglatadi? Xuddi shu sonni ko'paytirgandan so'ng, biz "ko'rsatkich" texnikasidan foydalanishimiz mumkin. (Albatta, sizda faqat ikkita raqam bo'lsa, siz ularni baribir ko'paytirasiz yoki ularni bir darajaga ko'tarasiz. Lekin agar sizda ular ko'p bo'lsa, unda bir darajaga ko'tarish ancha osonlashadi va hisob-kitoblarda ham kamroq xatolar bo'ladi. imtihon, bu juda muhim).
Shunday qilib, ikkinchi darajali o'ttiz () bo'ladi. Yoki o'ttiz kvadrat bo'ladi, deb ayta olasiz. Boshqacha qilib aytganda, sonning ikkinchi darajasi har doim kvadrat shaklida ifodalanishi mumkin. Aksincha, agar siz kvadratni ko'rsangiz, u DOIMA sonning ikkinchi darajasidir. Kvadrat sonning ikkinchi darajasining ifodasidir.

Haqiqiy hayot misoli №2

Mana siz uchun vazifa, raqamning kvadratidan foydalanib shaxmat taxtasida qancha kvadrat borligini hisoblang ... Hujayralarning bir tomonida va boshqa tomonida ham. Ularning sonini hisoblash uchun sakkizni sakkizga ko'paytirish kerak yoki agar buni sezsangiz ... Shaxmat taxtasi tomoni bo'lgan kvadrat bo'lsa, unda siz sakkizta kvadratni olishingiz mumkin. Siz hujayralarni olasiz. () Xo'sh?

Hayotiy misol № 3

Endi kub yoki raqamning uchinchi darajasi. Xuddi shu hovuz. Ammo endi siz ushbu hovuzga qancha suv quyish kerakligini bilib olishingiz kerak. Ovozni hisoblashingiz kerak. (Aytgancha, hajmlar va suyuqliklar o'lchanadi kub metr... Kutilmagan, to'g'rimi?) Hovuzni chizing: pastki qismi bir metr o'lchamda va bir metr chuqurlikda va sizning hovuzingizga necha metr kubik tushishini hisoblab ko'ring.

Barmog'ingizni ko'rsating va hisoblang! Bir, ikki, uch, to'rt ... yigirma ikki, yigirma uch ... Qancha chiqdi? Yo'qolmadimi? Barmog'ingiz bilan hisoblash qiyinmi? Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida! Matematiklardan misol keltiring. Ular dangasa, shuning uchun ular hovuz hajmini hisoblash uchun uning uzunligini, kengligini va balandligini bir-biriga ko'paytirish kerakligini payqashdi. Bizning holatda, hovuzning hajmi kublarga teng bo'ladi ... Osonroq, to'g'rimi?

Endi tasavvur qiling-a, matematiklar qanchalik dangasa va ayyor, agar ular buni ham soddalashtirsalar. Ular hamma narsani bitta harakatga qisqartirishdi. Ular uzunlik, kenglik va balandlik teng ekanligini va bir xil son o'z-o'zidan ko'paytirilishini payqashdi ... Bu nimani anglatadi? Bu siz diplomdan foydalanishingiz mumkin degan ma'noni anglatadi. Shunday qilib, bir marta barmog'ingiz bilan hisoblagan narsangizni ular bitta harakatda bajaradilar: kubdagi uchtasi teng. Bu shunday yozilgan:.

Faqatgina qoladi darajalar jadvalini eslang... Albatta, siz matematiklar kabi dangasa va ayyor bo'lmasangiz. Agar siz qattiq ishlashni va xato qilishni yoqtirsangiz, barmog'ingiz bilan hisoblashni davom ettirishingiz mumkin.

Nihoyat, sizni ilmiy darajalarni bekorchilar va ayyor odamlar o'zlarining hayotiy muammolarini hal qilish uchun o'ylab topilganiga ishontirish uchun va sizga muammo tug'dirmaslik uchun hayotdan yana bir nechta misollar.

Hayotiy misol № 4

Sizda million rubl bor. Har yilning boshida siz har milliondan yana million ishlab olasiz. Ya'ni, sizning har bir millioningiz yil boshida ikki baravar ko'payadi. Yillar ichida qancha pulingiz bo'ladi? Agar siz hozir o'tirib, "barmog'ingiz bilan hisoblasangiz", demak, siz juda mehnatkash odamsiz va .. ahmoqsiz. Ammo, ehtimol, siz bir necha soniya ichida javob berasiz, chunki siz aqllisiz! Shunday qilib, birinchi yilda - ikki marta ikki ... ikkinchi yilda - sodir bo'lgan narsa yana ikkita edi, uchinchi yilda ... To'xtang! Raqam bir marta o'ziga ko'paytirilishini payqadingiz. Shunday qilib, ikkidan beshinchi daraja millionga teng! Endi tasavvur qiling-a, sizda raqobat bor va o'sha millionlarni tezroq hisoblaydigan kishi oladi... Raqamlarning darajalarini eslab qolishga arziydimi, nima deb o'ylaysiz?

Haqiqiy hayot misoli № 5

Sizda million bor. Har yilning boshida siz har milliondan ikki ko'proq pul olasiz. Ajoyib, shunday emasmi? Har million uch marta. Yillar ichida qancha pulingiz bo'ladi? Keling, hisoblaylik. Birinchi yil - ko'paytiring, keyin boshqa natija ... Bu allaqachon zerikarli, chunki siz allaqachon hamma narsani tushundingiz: uch marta o'z-o'zidan ko'paytiriladi. Shunday qilib, to'rtinchi kuch millionga teng. Faqat esda tutishingiz kerakki, uchdan to'rtinchi darajagacha yoki.

Endi bilasizki, raqamni kuchga ko'tarib, hayotingizni sezilarli darajada osonlashtirasiz. Keling, darajalar bilan nima qilishingiz mumkinligini va ular haqida nimani bilishingiz kerakligini ko'rib chiqaylik.

Atamalar va tushunchalar ... chalkashmaslik uchun

Shunday qilib, birinchi navbatda, tushunchalarni aniqlaymiz. Qanday o `ylaysan, ko'rsatkich nima? Bu juda oddiy - bu raqamning kuchining "tepasida" joylashgan raqam. Ilmiy emas, lekin tushunarli va eslash oson ...

Xo'sh, ayni paytda shunday daraja asosi? Bundan ham oddiyroq - bu quyida, bazada joylashgan raqam.

Ishonch hosil qilish uchun bu erda chizma.

Xo'sh, ichida umumiy ko'rinish, umumlashtirish va yaxshiroq eslab qolish uchun ... "" asosi va ko'rsatkichi "" bo'lgan daraja "darajada" deb o'qiladi va quyidagicha yoziladi:

Natural ko'rsatkichli sonning darajasi

Ehtimol, siz allaqachon taxmin qilgansiz: chunki eksponent natural son... Ha, lekin nima natural son? Boshlang'ich! Ob'ektlarni sanab o'tishda sanoqda qo'llaniladigan natural sonlar: bir, ikki, uch ... Biz ob'ektlarni sanashda: "minus besh", "minus olti", "minus etti" demaymiz. Biz ham aytmaymiz: "uchdan bir", yoki "nol ball, besh o'ndan". Bular natural sonlar emas. Sizningcha, ular qanday raqamlar?

"Minus besh", "minus olti", "minus etti" kabi raqamlarga ishora qiladi butun sonlar. Umuman olganda, butun sonlarga barcha natural sonlar, natural sonlarga qarama-qarshi sonlar (ya’ni minus belgisi bilan olingan) va son kiradi. Nolni tushunish oson - bu hech narsa yo'q bo'lganda. Salbiy ("minus") raqamlar nimani anglatadi? Ammo ular birinchi navbatda qarzlarni ko'rsatish uchun ixtiro qilingan: agar sizning telefoningizda rubl bo'lsa, demak, siz operatorga rubl qarzingiz bor.

Har qanday kasrlar ratsional sonlardir. Sizningcha, ular qanday paydo bo'lgan? Juda oddiy. Bir necha ming yil oldin ota-bobolarimiz uzunlik, vazn, maydon va hokazolarni o'lchash uchun tabiiy raqamlar etishmasligini aniqladilar. Va ular o'ylab topishdi ratsional sonlar... Qiziq, shunday emasmi?

Bundan tashqari, irratsional raqamlar ham mavjud. Bu raqamlar nima? Qisqasi, cheksiz kasr... Misol uchun, agar siz aylananing aylanasini uning diametriga bo'lsangiz, siz irratsional sonni olasiz.

Xulosa:

Ko‘rsatkichi natural son (ya’ni butun va musbat) bo‘lgan daraja tushunchasini aniqlaymiz.

Birinchi darajadagi har qanday raqam o'ziga teng:
Raqamni kvadratga aylantirish uni o'ziga ko'paytirishni anglatadi:
Raqamni kub qilish uchun uni o'ziga uch marta ko'paytirish kerak:

Ta'rif. Raqamni tabiiy darajaga ko'tarish sonni o'z-o'zidan marta ko'paytirishni anglatadi:
.

Quvvat xususiyatlari

Bu xususiyatlar qayerdan kelgan? Men sizga hozir ko'rsataman.

Keling, ko'rib chiqaylik: nima va ?

A-prior:

Jami nechta omil bor?

Bu juda oddiy: biz ko'paytiruvchilarga ko'paytiruvchilarni qo'shdik va jami ko'paytiruvchidir.

Ammo ta'rifga ko'ra, bu ko'rsatkichli sonning darajasi, ya'ni isbotlash uchun talab qilinadigan darajada.

Misol: Ifodani soddalashtiring.

Yechim:

Misol: Ifodani soddalashtiring.

Yechim: Bizning qoidamizda shuni ta'kidlash kerak albatta bir xil asoslarga ega bo'lishi kerak!
Shuning uchun biz darajalarni baza bilan birlashtiramiz, lekin alohida omil bo'lib qoladi:

faqat darajalar mahsuloti uchun!

Hech qanday holatda buni yoza olmaysiz.

2.ya'ni -sonning darajasi

Oldingi xususiyatda bo'lgani kabi, daraja ta'rifiga murojaat qilaylik:

Ma'lum bo'lishicha, ifoda o'z-o'zidan bir marta ko'paytiriladi, ya'ni ta'rifga ko'ra, bu raqamning 1-chi darajasi:

Aslini olganda, buni "indikatorni qavslash" deb atash mumkin. Ammo buni hech qachon umuman qilmaslik kerak:

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini eslaylik: biz necha marta yozmoqchi edik?

Ammo bu haqiqat emas, axir.

Salbiy asosli daraja

Shu nuqtaga qadar biz faqat ko'rsatkich nima bo'lishi kerakligini muhokama qildik.

Lekin poydevor nima bo'lishi kerak?

bilan darajalarda tabiiy stavka asos bo'lishi mumkin har qanday raqam... Darhaqiqat, biz har qanday raqamlarni bir-biriga ko'paytirishimiz mumkin, ular ijobiy, salbiy yoki hatto.

Keling, o'ylab ko'raylik, qaysi belgilar ("" yoki "") ijobiy va salbiy sonlarning vakolatlariga ega bo'ladi?

Masalan, raqam ijobiy yoki salbiy bo'ladimi? A? ? Birinchisi bilan hamma narsa aniq: biz qancha ijobiy sonlarni bir-birimizga ko'paytirsak ham, natija ijobiy bo'ladi.

Ammo salbiy biroz qiziqroq. Axir, biz 6-sinfdan oddiy qoidani eslaymiz: "minus minus ortiqcha beradi". Ya'ni, yoki. Ammo agar biz ko'paytirsak, u ishlaydi.

Quyidagi iboralar qaysi belgiga ega bo'lishini o'zingiz hal qiling:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Siz boshqardingizmi?

Mana javoblar: Birinchi to'rtta misolda, umid qilamanki, hamma narsa aniqmi? Biz faqat asos va ko'rsatkichga qaraymiz va tegishli qoidani qo'llaymiz.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5-misolda), hamma narsa ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas: baza nimaga teng bo'lishi muhim emas - daraja teng, ya'ni natija har doim ijobiy bo'ladi.

Xo'sh, agar baza nolga teng bo'lmasa. Poydevor teng emas, shunday emasmi? Shubhasiz, yo'q, chunki (chunki).

6-misol) endi unchalik oson emas!

Trening uchun 6 ta misol

Yechimni tahlil qilish 6 ta misol

Agar sakkizinchi darajani e'tiborsiz qoldirsak, bu erda nimani ko'ramiz? Biz 7-sinf dasturini eslaymiz. Xo'sh, eslaysizmi? Bu qisqartirilgan ko'paytirish formulasi, ya'ni kvadratlar farqi! Biz olamiz:

Lekin buni qanday qilish kerak? Bu juda oson bo'lib chiqdi: bu erda maxrajning teng darajasi bizga yordam beradi.

Shartlar sehrli tarzda teskari. Ushbu "hodisa" har qanday iboraga teng darajada qo'llaniladi: biz qavs ichidagi belgilarni erkin o'zgartirishimiz mumkin.

Ammo eslash muhim: barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgaradi!

Keling, misolga qaytaylik:

Va yana formula:

Butun biz ularga qarama-qarshi bo'lgan natural sonlarni (ya'ni "" belgisi bilan olingan) va raqam deb ataymiz.

musbat butun son, lekin u tabiiydan farq qilmaydi, keyin hamma narsa avvalgi bo'limdagi kabi ko'rinadi.

Keling, ba'zi yangi holatlarni ko'rib chiqaylik. ga teng ko'rsatkichdan boshlaylik.

Nol darajadagi har qanday raqam bittaga teng:

Har doimgidek, keling, o'zimizga savol beraylik: nega bunday?

Baza bilan darajani ko'rib chiqing. Masalan, oling va ko'paytiring:

Shunday qilib, biz raqamni ko'paytirdik va xuddi shunday bo'ldi -. Va hech narsa o'zgarmasligi uchun qaysi raqamni ko'paytirish kerak? To'g'ri, davom eting. anglatadi.

Biz ixtiyoriy raqam bilan ham shunday qilishimiz mumkin:

Keling, qoidani takrorlaymiz:

Nol darajadagi har qanday raqam bittaga teng.

Ammo ko'plab qoidalardan istisnolar mavjud. Va bu erda ham bor - bu raqam (asosiy sifatida).

Bir tomondan, u har qanday darajaga teng bo'lishi kerak - o'zingizga qancha ko'paytirsangiz ham, siz nolga erishasiz, bu aniq. Ammo boshqa tomondan, nol darajadagi har qanday raqam kabi, u teng bo'lishi kerak. Xo'sh, bularning qaysi biri to'g'ri? Matematiklar aralashmaslikka qaror qilishdi va nolni nolga oshirishdan bosh tortishdi. Ya'ni, endi biz nafaqat nolga bo'linibgina qolmay, balki uni nol darajaga ko'taramiz.

Keling, oldinga boraylik. Natural sonlar va sonlardan tashqari manfiy sonlar ham butun sonlarga tegishli. Salbiy kuch nima ekanligini tushunish uchun, keling, oxirgi marta xuddi shunday qilaylik: ba'zi bir oddiy sonni bir xil salbiy kuchga ko'paytiramiz:

Bu erda siz qidirayotgan narsangizni ifodalash allaqachon oson:

Endi biz olingan qoidani ixtiyoriy darajada kengaytiramiz:

Shunday qilib, qoidani shakllantiramiz:

Salbiy darajadagi son musbat quvvatdagi bir xil songa teskari. Lekin ayni paytda baza null bo'lishi mumkin emas:(chunki siz bo'linmaysiz).

Keling, xulosa qilaylik:

I. Holda ko‘rsatilmagan ifoda. Agar, keyin.

II. Nol darajagacha bo'lgan har qanday raqam bittaga teng:.

III. Nolga teng bo'lmagan son musbat darajadagi bir xil songa teskari manfiy kuchda bo'ladi:.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Xo'sh, va odatdagidek, mustaqil yechim uchun misollar:

Mustaqil hal qilish uchun vazifalarni tahlil qilish:

Bilaman, bilaman, raqamlar dahshatli, lekin imtihonda siz hamma narsaga tayyor bo'lishingiz kerak! Agar siz hal qila olmasangiz, ushbu misollarni yeching yoki ularning yechimini tahlil qiling va imtihonda ularni qanday qilib osonlikcha engish kerakligini bilib olasiz!

Keling, ko'rsatkich sifatida "mos" sonlar doirasini kengaytirishni davom ettiramiz.

Endi o'ylab ko'ring ratsional sonlar. Qanday raqamlar ratsional deb ataladi?

Javob: kasr sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan hamma narsa, bu erda va butun sonlar.

Nima ekanligini tushunish uchun Fraksiyonel daraja, kasrni hisobga oling:

Keling, tenglamaning ikkala tomonini quvvatga ko'taramiz:

Endi qoidani eslaylik "Darajdan darajagacha":

Quvvat olish uchun qanday raqamni ko'tarish kerak?

Ushbu formula th ildizning ta'rifidir.

Sizga eslatib o'taman: sonning () darajasining ildizi darajaga ko'tarilganda teng bo'lgan sondir.

Ya'ni, th darajaning ildizi ko'rsatkichning teskari amalidir:.

Shunday bo'ladi. Shubhasiz, bu maxsus holat kengaytirilishi mumkin:.

Endi hisoblagichni qo'shamiz: bu nima? Javobni daraja-daraja qoidasi yordamida osongina olish mumkin:

Lekin asos har qanday raqam bo'lishi mumkinmi? Axir, ildizni barcha raqamlardan chiqarib bo'lmaydi.

Yo'q!

Qoidani eslang: juft darajaga ko'tarilgan har qanday raqam ijobiy raqamdir. Ya'ni, manfiy sonlardan juft darajali ildizlarni ajratib bo'lmaydi!

Va bu shuni anglatadiki, bunday raqamlarni teng maxraj bilan kasr darajasiga ko'tarib bo'lmaydi, ya'ni ifoda mantiqiy emas.

Ifoda haqida nima deyish mumkin?

Ammo bu erda muammo paydo bo'ladi.

Raqam boshqa, bekor qilinadigan kasrlar sifatida ifodalanishi mumkin, masalan, yoki.

Va ma'lum bo'lishicha, u bor, lekin yo'q, lekin bu bir xil raqamning ikki xil yozuvi.

Yoki boshqa misol: bir marta, keyin yozishingiz mumkin. Ammo agar biz indikatorni boshqacha yozsak va yana bir noqulaylik paydo bo'ladi: (ya'ni, biz butunlay boshqacha natijaga erishdik!).

Bunday paradokslardan qochish uchun biz ko'rib chiqamiz faqat kasr ko'rsatkichli musbat ildiz.

Shunday qilib, agar:

- natural son;
- butun son;

Misollar:

Ratsional ko'rsatkichlar ildizli ifodalarni aylantirish uchun juda foydali, masalan:

Trening uchun 5 ta misol

Trening uchun 5 ta misol tahlili

Va endi eng qiyin qismi. Endi biz tahlil qilamiz irratsional daraja.

Bu erda darajalarning barcha qoidalari va xususiyatlari ratsional ko'rsatkichli daraja bilan bir xil, bundan mustasno.

Darhaqiqat, ta'rifiga ko'ra, irratsional sonlar kasr sifatida ifodalanmaydigan sonlar bo'lib, bu erda va butun sonlardir (ya'ni irratsional sonlar ratsional raqamlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir).

Darajalarni tabiiy, yaxlit va ratsional ko'rsatkich bilan o'rganayotganda, biz har safar o'ziga xos "tasvir", "analogiya" yoki ko'proq tanish bo'lgan ta'riflarni yaratamiz.

Masalan, natural ko‘rsatkich o‘ziga bir necha marta ko‘paytiriladigan sondir;

...nol darajali raqam- bu go'yo bir marta o'z-o'zidan ko'paytirilgan son, ya'ni u hali ko'paytirilmagan, demak bu raqamning o'zi ham paydo bo'lmagan - shuning uchun natija faqat bir turdagi "bo'sh raqam" ", ya'ni raqam;

...butun manfiy ko'rsatkich- go'yo qandaydir "teskari jarayon" sodir bo'ldi, ya'ni son o'z-o'zidan ko'paytirilmaydi, balki bo'linadi.

Aytgancha, fanda ko'pincha murakkab ko'rsatkichli daraja qo'llaniladi, ya'ni ko'rsatkich hatto haqiqiy son ham emas.

Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, siz institutda ushbu yangi tushunchalarni tushunish imkoniyatiga ega bo'lasiz.

QAYERGA BORISHINGIZGA ISHLAB CHIQAMIZ! (agar siz bunday misollarni qanday hal qilishni o'rgansangiz :))

Masalan:

O'zingiz qaror qiling:

Yechimlarni tahlil qilish:

1. Quvvatni kuchga ko'tarishning odatiy qoidasidan boshlaylik:

Endi indikatorga qarang. U sizga biror narsani eslatadimi? Biz qisqartirilgan ko'paytirish formulasini, kvadratchalar farqini eslaymiz:

Ushbu holatda,

Ma'lum bo'lishicha:

Javob: .

2. Ko‘rsatkichli kasrlarni bir xil ko‘rinishga keltiramiz: yo o‘nli kasr, yoki ikkalasi ham oddiy. Keling, misol uchun:

Javob: 16

3. Hech qanday maxsus narsa yo'q, biz darajalarning odatiy xususiyatlarini qo'llaymiz:

ILG'IY DARAJA

Darajani aniqlash

Daraja quyidagi shaklning ifodasidir:, bu erda:

— ilmiy daraja bazasi;
- ko'rsatkich.

Tabiiy ko'rsatkichli daraja (n = 1, 2, 3, ...)

Raqamni tabiiy n darajaga ko'tarish sonni o'z-o'zidan marta ko'paytirishni anglatadi:

Butun son darajasi (0, ± 1, ± 2, ...)

Agar ko'rsatkich bo'lsa butunlay ijobiy raqam:

O'rnatish nol darajaga:

Ifoda noaniq, chunki, bir tomondan, har qanday darajada - bu, ikkinchidan - th darajaga qadar har qanday raqam - bu.

Agar ko'rsatkich bo'lsa butunlay salbiy raqam:

(chunki siz bo'linmaysiz).

Yana bir bor nollar haqida: iborada aniqlanmagan. Agar, keyin.

Misollar:

Ratsional baho

- natural son;
- butun son;

Misollar:

Quvvat xususiyatlari

Muammolarni hal qilishni osonlashtirish uchun, keling, tushunishga harakat qilaylik: bu xususiyatlar qaerdan paydo bo'lgan? Keling, ularni isbotlaylik.

Keling, ko'rib chiqaylik: nima va?

A-prior:

Shunday qilib, ushbu ifodaning o'ng tomonida biz quyidagi mahsulotni olamiz:

Ammo ta'rifga ko'ra, bu ko'rsatkichli sonning kuchi, ya'ni:

Q.E.D.

Misol : Ifodani soddalashtiring.

Yechim : .

Misol : Ifodani soddalashtiring.

Yechim : Bizning qoidamizda shuni ta'kidlash muhimdir albatta bir xil asoslarga ega bo'lishi kerak. Shuning uchun biz darajalarni baza bilan birlashtiramiz, lekin alohida omil bo'lib qoladi:

Yana bir muhim eslatma: bu qoida - faqat darajalar mahsuloti uchun!

Hech qanday holatda buni yozmasligim kerak.

Oldingi xususiyatda bo'lgani kabi, daraja ta'rifiga murojaat qilaylik:

Keling, ushbu qismni quyidagicha tartibga keltiramiz:

Ma'lum bo'lishicha, ifoda o'z-o'zidan bir marta ko'paytiriladi, ya'ni ta'rifga ko'ra, bu raqamning 1-chi darajasi:

Aslini olganda, buni "indikatorni qavslash" deb atash mumkin. Lekin siz buni hech qachon umuman qilmasligingiz kerak :!

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini eslaylik: biz necha marta yozmoqchi edik? Ammo bu haqiqat emas, axir.

Salbiy asosga ega daraja.

Shu paytgacha biz faqat qanday bo'lishi kerakligini muhokama qildik indeks daraja. Lekin poydevor nima bo'lishi kerak? bilan darajalarda tabiiy ko'rsatkich asos bo'lishi mumkin har qanday raqam .

Darhaqiqat, biz har qanday raqamlarni bir-biriga ko'paytirishimiz mumkin, ular ijobiy, salbiy yoki hatto. Keling, o'ylab ko'raylik, qaysi belgilar ("" yoki "") ijobiy va salbiy sonlarning vakolatlariga ega bo'ladi?

Masalan, raqam ijobiy yoki salbiy bo'ladimi? A? ?

Birinchisi bilan hamma narsa aniq: biz qancha ijobiy sonlarni bir-birimizga ko'paytirsak ham, natija ijobiy bo'ladi.

Ammo salbiy biroz qiziqroq. Axir, biz 6-sinfdan oddiy qoidani eslaymiz: "minus minus ortiqcha beradi". Ya'ni, yoki. Ammo () ga ko'paytirsak - hosil bo'ladi.

Va shunga o'xshash abadiylikka: har bir keyingi ko'payish bilan belgi o'zgaradi. Bunday formulani shakllantirish mumkin oddiy qoidalar:

hatto daraja, - raqam ijobiy.
Manfiy raqam ko'tarildi g'alati daraja, - raqam salbiy.
Har qanday darajadagi ijobiy raqam ijobiy sondir.
Har qanday quvvat nol nolga teng.

Quyidagi iboralar qaysi belgiga ega bo'lishini o'zingiz hal qiling:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Siz boshqardingizmi? Mana javoblar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Birinchi to'rtta misolda, umid qilamanki, hamma narsa aniqmi? Biz faqat asos va ko'rsatkichga qaraymiz va tegishli qoidani qo'llaymiz.

5-misolda), hamma narsa ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas: baza nimaga teng bo'lishi muhim emas - daraja teng, ya'ni natija har doim ijobiy bo'ladi. Xo'sh, agar baza nolga teng bo'lmasa. Poydevor teng emas, shunday emasmi? Shubhasiz, yo'q, chunki (chunki).

6-misol) endi unchalik oddiy emas. Bu erda qaysi biri kamroq ekanligini bilib olishingiz kerak: yoki? Agar buni eslasangiz, bu aniq bo'ladi, ya'ni baza noldan kichikdir. Ya'ni, biz 2-qoidani qo'llaymiz: natija salbiy bo'ladi.

Va yana biz daraja ta'rifidan foydalanamiz:

Hammasi odatdagidek - biz darajalarning ta'rifini yozamiz va ularni bir-biriga ajratamiz, ularni juftlarga ajratamiz va olamiz:

Oxirgi qoidani ko'rib chiqishdan oldin, keling, bir nechta misollarni hal qilaylik.

Ifodalar qiymatlarini hisoblang:

Yechimlar :

Agar sakkizinchi darajani e'tiborsiz qoldirsak, bu erda nimani ko'ramiz? Biz 7-sinf dasturini eslaymiz. Xo'sh, eslaysizmi? Bu qisqartirilgan ko'paytirish formulasi, ya'ni kvadratlar farqi!

Biz olamiz:

Keling, maxrajni batafsil ko'rib chiqaylik. Bu hisoblagichdagi ko'paytiruvchilardan biriga juda o'xshaydi, lekin nima noto'g'ri? Shartlarning noto'g'ri tartibi. Agar ular o'zgartirilsa, 3-qoida qo'llanilishi mumkin edi.Lekin buni qanday qilish kerak? Bu juda oson bo'lib chiqdi: bu erda maxrajning teng darajasi bizga yordam beradi.

Agar siz uni ko'paytirsangiz, hech narsa o'zgarmaydi, to'g'rimi? Ammo endi quyidagilar aniqlandi:

Shartlar sehrli tarzda teskari. Ushbu "hodisa" har qanday iboraga teng darajada qo'llaniladi: biz qavs ichidagi belgilarni erkin o'zgartirishimiz mumkin. Ammo eslash muhim: barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgaradi! Biz istamagan faqat bitta kamchilikni o'zgartirish bilan uni almashtirib bo'lmaydi!

Keling, misolga qaytaylik:

Va yana formula:

Endi oxirgi qoida:

Biz buni qanday isbotlaymiz? Albatta, odatdagidek: daraja tushunchasini kengaytiramiz va soddalashtiramiz:

Endi qavslarni ochamiz. Qancha harf bo'ladi? marta multiplikatorlar bo'yicha - bu nimaga o'xshaydi? Bu operatsiya ta'rifidan boshqa narsa emas ko'paytirish: faqat ko'paytiruvchilar bor edi. Ya'ni, ta'rifga ko'ra, ko'rsatkichli sonning darajasi:

Misol:

Irratsional daraja

O'rta darajadagi darajalar haqidagi ma'lumotlarga qo'shimcha ravishda, biz darajani irratsional ko'rsatkich bilan tahlil qilamiz. Bu erda darajalarning barcha qoidalari va xususiyatlari ratsional ko'rsatkichli daraja bilan bir xil, bundan mustasno - axir, ta'rifga ko'ra, irratsional sonlar kasr sifatida ko'rsatilmaydigan sonlar bo'lib, bu erda va butun sonlar (bu erda). ya'ni, irratsional sonlar ratsionaldan tashqari barcha haqiqiy sonlardir).

Darajalarni tabiiy, yaxlit va ratsional ko'rsatkich bilan o'rganayotganda, biz har safar o'ziga xos "tasvir", "analogiya" yoki ko'proq tanish bo'lgan ta'riflarni yaratamiz. Masalan, natural ko‘rsatkich o‘ziga bir necha marta ko‘paytiriladigan sondir; nol darajagacha bo'lgan raqam, go'yo bir marta o'z-o'zidan ko'paytiriladigan son, ya'ni u hali ko'paytirilmagan, bu raqamning o'zi ham paydo bo'lmaganligini anglatadi - shuning uchun natija faqat turdir. "bo'sh raqam", ya'ni raqam; manfiy butun ko‘rsatkichli daraja go‘yo qandaydir “teskari jarayon” sodir bo‘lgan, ya’ni son o‘z-o‘zidan ko‘paytirilmagan, balki bo‘lingan.

Irratsional ko'rsatkichli darajani tasavvur qilish juda qiyin (xuddi 4 o'lchovli fazoni tasavvur qilish qiyin). Toʻgʻrirogʻi, bu matematiklar daraja tushunchasini butun sonlar fazosiga kengaytirish uchun yaratgan sof matematik obʼyektdir.

Aytgancha, fanda ko'pincha murakkab ko'rsatkichli daraja qo'llaniladi, ya'ni ko'rsatkich hatto haqiqiy son ham emas. Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, siz institutda ushbu yangi tushunchalarni tushunish imkoniyatiga ega bo'lasiz.

Xo'sh, irratsional ko'rsatkichni ko'rganimizda nima qilamiz? Biz undan qutulish uchun bor kuchimiz bilan harakat qilamiz! :)

Masalan:

O'zingiz qaror qiling:

Javoblar:

Kvadratlar farqi formulasini eslaymiz. Javob: .
Biz kasrlarni bir xil shaklga keltiramiz: ikkala o'nli kasr yoki ikkala oddiy. Biz, masalan:.
Hech qanday maxsus narsa yo'q, biz odatiy daraja xususiyatlarini qo'llaymiz:

BO'LIM XULOSASI VA ASOSIY FORMULALAR

Daraja shakl ifodasi deyiladi:, bu yerda:

Butun son darajasi

daraja, ko'rsatkichi natural son (ya'ni butun va musbat).

Ratsional baho

daraja, ko'rsatkichi manfiy va kasr sonlardir.

Irratsional daraja

daraja, ko'rsatkichi cheksiz o'nli kasr yoki ildiz.

Quvvat xususiyatlari

Darajaning xususiyatlari.

Manfiy raqam ko'tarildi hatto daraja, - raqam ijobiy.
Manfiy raqam ko'tarildi g'alati daraja, - raqam salbiy.
Har qanday darajadagi ijobiy raqam ijobiy sondir.
Nol har qanday quvvatga teng.
Har qanday raqam nol darajaga teng.

ENDI SIZNING SO'ZINGIZ ...

Sizga maqola qanday yoqadi? Yoqdimi yoki yoqmasligini izohlarda yozib qoldiring.

Diplom xususiyatlari bilan tajribangiz haqida bizga xabar bering.

Balki savollaringiz bordir. Yoki takliflar.

Izohlarda yozing.

Va imtihonlaringizga omad!

Miloddan avvalgi V asrda qadimgi yunon faylasufi Eleyalik Zenon o'zining mashhur aporiyalarini tuzgan, ulardan eng mashhuri "Axilles va toshbaqa" aporiyasidir. Bu shunday eshitiladi:

Aytaylik, Axilles toshbaqadan o'n barobar tezroq yuguradi va undan ming qadam orqada. Bu masofani bosib o'tish uchun Axilles kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Axilles yuz qadam yugurganida, toshbaqa yana o'n qadam sudraladi va hokazo. Jarayon cheksiz davom etadi, Axilles hech qachon toshbaqaga yetib bormaydi.

Bu mulohaza barcha keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Gegel, Gilbert... Ularning barchasi u yoki bu tarzda Zenonning aporiyalarini hisoblagan. Shok shu qadar kuchli ediki " ... hozirgi vaqtda munozaralar davom etmoqda, ilmiy jamoatchilik hali paradokslarning mohiyati haqida umumiy fikrga kela olmadi ... masalani o'rganishga matematik tahlil, to'plamlar nazariyasi, yangi fizik va falsafiy yondashuvlar jalb qilindi. ; ularning hech biri bu savolga umumiy qabul qilingan yechimga aylanmadi ..."[Vikipediya," Zenonning Aporias "]. Hamma ularni aldashayotganini tushunadi, lekin aldash nima ekanligini hech kim tushunmaydi.

Zenon matematika nuqtai nazaridan o'z aporiyasida kattalikdan kattalikka o'tishni aniq ko'rsatdi. Bu o'tish doimiylar o'rniga qo'llanilishini nazarda tutadi. Men tushunganimdek, o'zgaruvchan o'lchov birliklaridan foydalanish uchun matematik apparat hali ishlab chiqilmagan yoki Zenon aporiyasiga tatbiq etilmagan. Odatdagi mantiqimizni qo'llash bizni tuzoqqa olib boradi. Biz fikrlash inertsiyasiga ko'ra, o'zaro vaqt o'lchovining doimiy birliklarini qo'llaymiz. Jismoniy nuqtai nazardan, bu Axilles toshbaqa bilan teng bo'lgan paytda to'liq to'xtaguncha vaqtning kengayishi kabi ko'rinadi. Vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqadan o'tib keta olmaydi.

Agar biz ko'nikkan mantiqni ag'darib tashlasak, hammasi joyiga tushadi. Axilles doimiy tezlikda yuguradi. Uning yo'lining har bir keyingi qismi avvalgisidan o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engish uchun sarflangan vaqt avvalgisidan o'n baravar kam. Agar bu vaziyatda “cheksizlik” tushunchasini qo‘llasak, “Axilles toshbaqaga cheksiz tezlikda yetib oladi” desak to‘g‘ri bo‘ladi.

Qanday qilib bu mantiqiy tuzoqdan qochish mumkin? Doimiy vaqt birliklarida qoling va orqaga qaytmang. Zenon tilida bu shunday ko'rinadi:

Axilles ming qadam yuguradigan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Keyingi vaqt oralig'ida, birinchisiga teng, Axilles yana ming qadam yuguradi va toshbaqa yuz qadam sudraladi. Endi Axilles toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.

Bu yondashuv hech qanday mantiqiy paradokslarsiz voqelikni adekvat tarzda tasvirlaydi. Ammo bu muammoning to'liq yechimi emas. Eynshteynning yorug'lik tezligining engib bo'lmasligi haqidagi bayonoti Zeno aporiyasining "Axilles va toshbaqa" ga juda o'xshash. Biz bu muammoni hali o'rganishimiz, qayta o'ylab ko'rishimiz va hal qilishimiz kerak. Va yechimni cheksiz ko'p sonlarda emas, balki o'lchov birliklarida izlash kerak.

Yana bir qiziqarli aporiya Zeno uchadigan o'q haqida gapiradi:

Uchib yuruvchi o'q harakatsiz, chunki u har daqiqada dam oladi va har daqiqada tinch holatda bo'lgani uchun u doimo dam oladi.

Ushbu aporiyada mantiqiy paradoks juda sodda tarzda engib o'tiladi - har bir vaqtning har bir lahzasida uchuvchi o'q kosmosning turli nuqtalarida turishini aniqlab berish kifoya, bu aslida harakatdir. Shu o‘rinda yana bir jihatga e’tibor qaratish lozim. Yo'lda avtomobilning bitta fotosuratidan uning harakatlanish faktini ham, unga bo'lgan masofani ham aniqlab bo'lmaydi. Avtomobilning harakatlanish faktini aniqlash uchun vaqtning turli nuqtalarida bir nuqtadan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ulardan masofani aniqlab bo'lmaydi. Avtomobilgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun sizga bir vaqtning o'zida kosmosning turli nuqtalaridan olingan ikkita fotosurat kerak bo'ladi, lekin ular harakat faktini aniqlay olmaydi (albatta, hisob-kitoblar uchun qo'shimcha ma'lumotlar hali ham kerak, trigonometriya sizga yordam beradi). Men nimani aylantirmoqchiman Maxsus e'tibor, demak, vaqtning ikki nuqtasi va kosmosdagi ikkita nuqta bir-biridan farq qiladigan narsadir, ularni chalkashtirmaslik kerak, chunki ular tadqiqot uchun turli imkoniyatlar yaratadi.

2018 yil 4-iyul, chorshanba

To'plam va multiset o'rtasidagi farq Vikipediyada juda yaxshi hujjatlashtirilgan. Biz qaraymiz.

Ko'rib turganingizdek, "to'plamda ikkita bir xil element bo'lishi mumkin emas", lekin to'plamda bir xil elementlar mavjud bo'lsa, bunday to'plam "ko'p to'plam" deb ataladi. Bunday absurd mantiqini aqlli mavjudotlar hech qachon tushuna olmaydi. Bu "to'liq" so'zidan aql-zakovatga ega bo'lmagan gapiradigan to'tiqushlar va o'qitilgan maymunlarning darajasi. Matematiklar oddiy murabbiy sifatida harakat qilib, o'zlarining bema'ni g'oyalarini bizga targ'ib qilishadi.

Bir marta ko'prikni qurgan muhandislar ko'prik sinovlari paytida ko'prik ostidagi qayiqda edi. Agar ko'prik qulab tushsa, qobiliyatsiz muhandis o'zi yaratgan vayronalar ostida vafot etdi. Agar ko‘prik yukga bardosh bera olsa, iste’dodli muhandis boshqa ko‘priklarni ham qurardi.

Matematiklar “chur, men uydaman”, to‘g‘rirog‘i, “matematika mavhum tushunchalarni o‘rganadi” iborasi ortiga qanchalik yashirinmasin, ularni voqelik bilan chambarchas bog‘laydigan bitta kindik bor. Bu kindik puldir. Keling, matematik to'plamlar nazariyasini matematiklarning o'zlariga tatbiq qilaylik.

Biz matematikani juda yaxshi o'rgandik va hozir biz kassada o'tirib, maoshlarni beramiz. Mana, bir matematik o'z puliga bizga keladi. Biz unga to'liq miqdorni hisoblaymiz va stolimizga turli xil qoziqlarga joylashtiramiz, unda biz bir xil nomdagi veksellarni joylashtiramiz. Keyin har bir qoziqdan bitta hisob-kitobni olib, matematikaga uning "ish haqining matematik to'plamini" topshiramiz. Keling, matematikani tushuntirib beraylik, u bir xil elementlari bo'lmagan to'plam bir xil elementlari bo'lgan to'plamga teng emasligini isbotlagandagina qolgan hisoblarni oladi. Qiziq shu erda boshlanadi.

Avvalo, deputatlarning “Boshqalarga qo‘llayverasiz, menga qo‘llay olmaysiz!” degan mantiqi ishlaydi. Bundan tashqari, biz bir xil nomdagi veksellarda turli xil banknot raqamlari mavjudligiga ishontirishni boshlaymiz, ya'ni ularni bir xil elementlar deb hisoblash mumkin emas. Mayli, maoshni tangalarda hisoblaylik – tangalarda raqamlar yo‘q. Bu erda matematik fizikani hayajon bilan eslay boshlaydi: har xil tangalar har xil miqdordagi axloqsizlikka ega, kristal tuzilishi va har bir tangadagi atomlarning joylashishi o'ziga xosdir ...

Va endi menda eng qiziqarli savol bor: ko'p to'plamning elementlari to'plam elementlariga aylanadigan chiziq qayerda va aksincha? Bunday chiziq mavjud emas - hamma narsani shamanlar hal qiladi, ilm-fan bu erga yaqin joyda yotmagan.

Mana qarang. Biz bir xil maydonga ega futbol stadionlarini tanlaymiz. Maydonlarning maydoni bir xil, ya'ni bizda multiset mavjud. Ammo bir xil stadionlarning nomlarini hisobga oladigan bo'lsak, nomlari har xil bo'lgani uchun ko'p narsa olamiz. Ko'rib turganingizdek, bir xil elementlar to'plami bir vaqtning o'zida ham to'plam, ham multisetdir. Qanday to'g'ri? Va bu erda matematik-shaman-shuller yengidan ko'zni olib, bizga to'plam yoki multiset haqida gapira boshlaydi. Har holda, u bizni o'zining haq ekanligiga ishontiradi.

Zamonaviy shamanlar to'plamlar nazariyasi bilan qanday ishlashini, uni haqiqatga bog'lashini tushunish uchun bitta savolga javob berish kifoya: bir to'plamning elementlari boshqa to'plamning elementlaridan qanday farq qiladi? Men sizga hech qanday "bir butun sifatida o'ylash mumkin emas" yoki "bir butun sifatida o'ylash mumkin emas" holda ko'rsataman.

Yakshanba, 18 mart 2018 yil

Raqamning raqamlari yig'indisi - bu matematikaga hech qanday aloqasi bo'lmagan shamanlarning daf bilan raqsi. Ha, matematika darslarida bizga son raqamlari yig'indisini topish va undan foydalanish o'rgatiladi, lekin shuning uchun ular o'z avlodlariga o'z mahoratini va donoligini o'rgatish uchun shamanlardir, aks holda shamanlar shunchaki o'lib ketadi.

Dalil kerakmi? Vikipediyani oching va raqamlarning yig'indisini topishga harakat qiling. U mavjud emas. Matematikada biron bir raqamning raqamlari yig'indisini topish mumkin bo'lgan formula yo'q. Axir, raqamlar grafik belgilar bo'lib, biz raqamlarni yozamiz va matematika tilida vazifa quyidagicha eshitiladi: "Har qanday raqamni ifodalovchi grafik belgilar yig'indisini toping". Matematiklar bu muammoni hal qila olmaydi, ammo shamanlar - bu elementar.

Keling, berilgan sonning raqamlari yig'indisini topish uchun nima va qanday qilishimizni ko'rib chiqaylik. Shunday qilib, 12345 raqamini olamiz. Bu raqamning raqamlari yig'indisini topish uchun nima qilish kerak? Keling, barcha bosqichlarni tartibda ko'rib chiqaylik.

1. Biz raqamni qog'ozga yozamiz. Biz nima qildik? Biz raqamni raqamning grafik belgisiga aylantirdik. Bu matematik operatsiya emas.

2. Olingan bitta rasmni alohida raqamlarni o'z ichiga olgan bir nechta rasmga kesib tashladik. Rasmni kesish matematik operatsiya emas.

3. Alohida grafik belgilarni raqamlarga aylantirish. Bu matematik operatsiya emas.

4. Olingan sonlarni qo‘shing. Endi bu matematika.

12345 raqamlari yig'indisi 15 ga teng. Bu matematiklar tomonidan qo'llaniladigan shamanlardan olingan "kesish va tikish kurslari". Lekin bu hammasi emas.

Matematika nuqtai nazaridan raqamni qaysi sanoq sistemasida yozishimiz muhim emas. Demak, turli sanoq sistemalarida bir xil son raqamlari yig’indisi har xil bo’ladi. Matematikada sanoq sistemasi sonning o'ng tomonida pastki qator sifatida ko'rsatilgan. Katta raqam bilan 12345, men boshimni aldashni xohlamayman, maqoladagi 26 raqamini ko'rib chiqing. Bu sonni ikkilik, sakkizlik, o‘nlik va o‘n oltilik sanoq sistemalarida yozamiz. Biz har bir qadamni mikroskop ostida ko'rib chiqmaymiz, biz buni allaqachon qilganmiz. Keling, natijani ko'ramiz.

Ko'rib turganingizdek, turli sanoq tizimlarida bir xil son raqamlari yig'indisi har xil bo'ladi. Bu natijaning matematikaga hech qanday aloqasi yo'q. To'rtburchakning maydonini metr va santimetrda aniqlashda siz butunlay boshqacha natijalarga erishganingiz bilan bir xil.

Barcha sanoq tizimlarida nol bir xil ko'rinadi va raqamlar yig'indisiga ega emas. Bu haqiqat uchun yana bir dalil. Matematiklar uchun savol: matematikada raqam bo'lmagan narsa qanday qilib belgilanadi? Matematiklar uchun raqamlardan boshqa hech narsa mavjud emasmi? Shamanlar uchun men bunga ruxsat berishim mumkin, ammo olimlar uchun - yo'q. Haqiqat hammasi raqamlardan iborat emas.

Olingan natija sanoq sistemalarining sonlar uchun o'lchov birliklari ekanligiga dalil sifatida qaralishi kerak. Axir, biz raqamlarni turli o'lchov birliklari bilan taqqoslay olmaymiz. Agar bir xil miqdorning turli o'lchov birliklari bilan bir xil harakatlar olib kelsa turli natijalar ularni solishtirgandan so'ng, bu matematikaga hech qanday aloqasi yo'qligini anglatadi.

Haqiqiy matematika nima? Bu matematik harakatning natijasi raqamning kattaligiga, ishlatiladigan o'lchov birligiga va bu harakatni kim bajarishiga bog'liq bo'lmaganda.

Eshikda imzo qo'ying Eshikni ochadi va aytadi:

Voy! Bu ayollar hojatxonasi emasmi?
- Yosh ayol! Bu osmonga ko'tarilish paytida ruhlarning beg'araz muqaddasligini o'rganish uchun laboratoriya! Yuqorida halo va yuqoriga qaragan strelka. Yana qanday hojatxona?

Ayol ... Yuqoridagi nimbus va pastga o'q erkakdir.

Agar bunday dizayn san'ati kuniga bir necha marta ko'z oldingizda porlab tursa,

Shunda siz to'satdan mashinangizda g'alati belgini topsangiz ajablanarli emas:

Shaxsan men o'zim uchun harakat qilaman, shunda kaka qilayotgan odamda (bitta rasm) minus to'rt darajani ko'ra olaman (bir nechta rasmlarning kompozitsiyasi: minus belgisi, to'rtinchi raqam, daraja belgisi). Va menimcha, bu qiz fizikani bilmaydigan ahmoq emas. U shunchaki grafik tasvirlarni idrok etish stereotipiga ega. Va matematiklar buni bizga doimiy ravishda o'rgatadi. Mana bir misol.

1A "minus to'rt daraja" yoki "bir a" emas. Bu "pooping man" yoki o'n oltilik tizimda "yigirma olti" raqami. Doimiy ravishda ushbu sanoq tizimida ishlaydigan odamlar raqam va harfni avtomatik ravishda bitta grafik belgi sifatida qabul qiladilar.

Ushbu maqolada biz nima ekanligini aniqlaymiz darajasi... Bu erda biz tabiiy ko'rsatkichdan boshlanib, irratsional darajagacha bo'lgan barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarni batafsil ko'rib chiqqan holda sonning darajasining ta'riflarini beramiz. Materialda siz yuzaga keladigan barcha nozikliklarni o'z ichiga olgan darajalarning ko'plab misollarini topasiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Natural ko'rsatkichli daraja, sonning kvadrati, sonning kubi

dan boshlaylik. Oldinga qarab, tabiiy ko'rsatkichi n bo'lgan a sonining darajasining ta'rifi a uchun berilgan, biz uni chaqiramiz. asosiy daraja, va n, biz ularni chaqiramiz ko'rsatkich... Shuni ham ta'kidlaymizki, tabiiy ko'rsatkichli daraja mahsulot orqali aniqlanadi, shuning uchun quyidagi materialni tushunish uchun siz raqamlarni ko'paytirish haqida tasavvurga ega bo'lishingiz kerak.

Ta'rif.

n natural ko‘rsatkichli a sonining kuchi a n ko`rinishdagi ifoda bo`lib, uning qiymati n ta omil ko`paytmasiga teng, ularning har biri a ga teng, ya'ni,.
Xususan, ko'rsatkichi 1 bo'lgan a sonining kuchi a sonining o'zi, ya'ni a 1 = a.

Darhol darajalarni o'qish qoidalari haqida gapirish kerak. Universal usul o'qish yozuvi a n: "a n kuchiga". Ba'zi hollarda quyidagi variantlar ham qabul qilinadi: "a sonining n-chi darajasiga" va "a sonining n-chi darajasi". Masalan, 8 12 ning kuchini olaylik, ya'ni "sakkizdan o'n ikki darajaga", yoki "sakkizdan o'n ikkinchi darajaga" yoki "sakkizning o'n ikkinchi darajasi".

Sonning ikkinchi darajasi ham, sonning uchinchi darajasi ham o‘z nomlariga ega. Raqamning ikkinchi darajasi deyiladi raqamning kvadrati bo'yicha masalan, 7 2 "etti kvadrat" yoki "etti sonining kvadrati" ni o'qiydi. Raqamning uchinchi darajasi deyiladi kub raqamlari masalan, 5 3 ni “beshlik kub” yoki “5 sonli kub” deb o‘qish mumkin.

Etakchilik vaqti keldi tabiiy qiymatlarga ega darajalarga misollar... 5 7 ko'rsatkichdan boshlaylik, bu erda 5 ko'rsatkichning asosi va 7 ko'rsatkichdir. Yana bir misol keltiramiz: 4.32 asos, natural son 9 esa koʻrsatkich (4.32) 9.

E'tibor bering, oxirgi misolda 4,32 daraja asosi qavs ichida yozilgan: chalkashmaslik uchun biz natural sonlardan farq qiluvchi barcha daraja asoslarini qavs ichiga qo'yamiz. Misol tariqasida tabiiy ko'rsatkichlar bilan quyidagi darajalarni beramiz , ularning asoslari natural sonlar emas, shuning uchun ular qavs ichida yoziladi. Xo'sh, hozir to'liq ravshanlik uchun biz (−2) 3 va −2 3 shaklidagi yozuvlar o'rtasidagi farqni ko'rsatamiz. (−2) 3 ifodasi natural ko‘rsatkichi 3 bo‘lgan −2 ning kuchi va −2 3 (uni - (2 3) shaklida yozish mumkin) ifodasi 2 3 darajali songa mos keladi. .

E'tibor bering, a ^ n ko'rinishdagi n ko'rsatkichli a sonining darajasi uchun yozuv mavjud. Bundan tashqari, agar n ko'p qiymatli natural son bo'lsa, unda ko'rsatkich qavs ichida olinadi. Masalan, 4 ^ 9 4 9 kuchining yana bir belgisidir. Va bu erda "^" belgisi yordamida darajalarni yozishning yana bir nechta misollari: 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Keyinchalik, biz asosan a n shaklining darajasi uchun belgidan foydalanamiz.

Vazifalardan biri, tabiiy ko'rsatkichli darajaga ko'tarilishning teskarisi, darajaning ma'lum qiymati va ma'lum ko'rsatkichdan daraja asosini topish masalasidir. Bu vazifa olib keladi.

Ma'lumki, ratsional sonlar to'plami butun va kasr sonlardan iborat bo'lib, har biri kasr son ijobiy yoki salbiy sifatida ko'rsatilishi mumkin oddiy kasr... Oldingi paragrafda biz darajani butun ko'rsatkich bilan aniqlagan edik, shuning uchun ratsional ko'rsatkich bilan daraja ta'rifini yakunlash uchun m / n kasr ko'rsatkichli a sonining darajasiga ma'no berishimiz kerak, bu yerda m butun son, n natural son. Qani buni bajaraylik.

Shaklning kasr ko'rsatkichi bilan darajani ko'rib chiqing. Daraja xossasi haqiqiy boʻlishi uchun tenglik ... Agar olingan tenglikni va uni aniqlash usulini hisobga oladigan bo'lsak, berilgan m, n va a uchun ifoda ma'noli bo'lishi sharti bilan qabul qilish mantiqan to'g'ri keladi.

Butun ko'rsatkichli darajaning barcha xossalari uchun ekanligini tekshirish oson (bu ratsional darajali darajaning xususiyatlari bo'limida amalga oshiriladi).

Yuqoridagi fikrlash bizga quyidagilarni amalga oshirishga imkon beradi. chiqish: agar berilgan m, n va a uchun ifoda ma’noli bo’lsa, kasr ko’rsatkichi m/n bo’lgan a sonining m ning n-darajali ildizi deyiladi.

Ushbu bayonot bizni darajani kasr ko'rsatkichi bilan aniqlashga juda yaqinlashtiradi. Qaysi m, n va a ifodasi mantiqiy ekanligini tasvirlashgina qoladi. m, n va a cheklovlariga qarab ikkita asosiy yondashuv mavjud.

Eng oson yo'li a ni musbat m uchun a≥0, manfiy m uchun a>0 deb qabul qilish orqali cheklashdir (chunki m≤0 uchun 0 m darajasi aniqlanmagan). Keyin kasr ko'rsatkichining quyidagi ta'rifini olamiz.

Ta'rif.

Kasr ko'rsatkichli musbat a sonining kuchi m / n, bu yerda m butun son va n natural son, a sonining m darajasidagi n- ildizi deyiladi, ya’ni,.

Nolning kasr kuchi ham indikator ijobiy bo'lishi kerak bo'lgan yagona shart bilan aniqlanadi.

Ta'rif.

Musbat kasr ko'rsatkichi m / n bilan nolning kuchi, bu yerda m musbat butun son va n natural son sifatida aniqlanadi .
Daraja aniqlanmaganda, ya'ni kasr manfiy ko'rsatkichli nol sonining darajasi mantiqiy bo'lmaydi.

Shuni ta'kidlash kerakki, kasr ko'rsatkichli darajaning bunday ta'rifi bilan bitta nuance mavjud: ba'zi manfiy a uchun va ba'zi m va n uchun ifoda ma'noga ega va biz a≥0 shartini kiritish orqali bu holatlardan voz kechdik. Masalan, yozish mantiqiy yoki, va yuqorida berilgan ta'rif bizni darajalarni shaklning kasr ko'rsatkichi bilan aytishga majbur qiladi mantiqiy emas, chunki baza salbiy bo'lmasligi kerak.

Kasr ko'rsatkichi m / n bilan ko'rsatkichni aniqlashning yana bir yondashuvi ildizning toq va juft ko'rsatkichlarini alohida ko'rib chiqishdir. Ushbu yondashuv qo'shimcha shartni talab qiladi: a sonining darajasi, ko'rsatkichi a sonining kuchi deb hisoblanadi, uning ko'rsatkichi mos keladigan qaytarilmas kasr (bu shartning ahamiyati quyida tushuntiriladi). Ya'ni, agar m / n qaytarilmas kasr bo'lsa, u holda har qanday k natural soni uchun daraja oldindan almashtiriladi.

Hatto n va musbat m uchun ifoda har qanday manfiy bo'lmagan a uchun (manfiy sonning juft ildizi mantiqiy emas), manfiy m uchun a soni baribir nolga teng bo'lmasligi kerak (aks holda nolga bo'linish bo'ladi). ). Va toq n va musbat m uchun a soni har qanday bo'lishi mumkin (toq darajaning ildizi har qanday haqiqiy son uchun aniqlanadi), manfiy m uchun esa a soni nolga teng bo'lmasligi kerak (nolga bo'linish bo'lmasligi uchun) .

Yuqoridagi mulohaza bizni kasr ko'rsatkichi bilan darajaning shunday ta'rifiga olib keladi.

Ta'rif.

m / n qaytarilmas kasr, m butun son va n natural son bo'lsin. Har qanday bekor qilinadigan kasr uchun daraja ko'rsatkichi bilan almashtiriladi. Kamaytirilmas kasr ko'rsatkichi m / n bo'lgan sonning kuchi uchun

Keling, nima uchun kamaytiriladigan kasr ko'rsatkichli daraja ilgari qaytarilmas darajali darajaga almashtirilganligini tushuntirib beraylik. Agar biz darajani oddiygina qilib belgilagan bo'lsak va m / n kasrning qaytarilmasligi to'g'risida shart qo'ymagan bo'lsak, unda biz quyidagiga o'xshash vaziyatlarga duch kelamiz: 6/10 = 3/5 bo'lgani uchun, u holda tenglik saqlanib qolishi kerak. , lekin , a.

Oldingi maqolalardan birida biz allaqachon raqam darajasini eslatib o'tdik. Bugun biz uning ma'nosini topish jarayonida o'zimizni yo'naltirishga harakat qilamiz. Ilmiy nuqtai nazardan, biz kuchni qanday qilib to'g'ri ko'tarish kerakligini aniqlaymiz. Biz bu jarayon qanday amalga oshirilayotganini aniqlaymiz, shu bilan birga darajaning barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlariga to'xtalamiz: tabiiy, irratsional, oqilona, butun.

Shunday qilib, keling, misollarning echimlarini batafsil ko'rib chiqamiz va bu nimani anglatishini bilib olaylik:

Kontseptsiyaning ta'rifi.
Salbiy darajaga ko'tarish Art.
To'liq ko'rsatkich.
Raqamni irratsional kuchga ko'tarish.

Mana, ma'noni to'g'ri aks ettiruvchi ta'rif: "Darslash - sonning kuchi ma'nosining ta'rifi".

Shunga ko'ra, a raqamini Art ga oshirish. r va ko‘rsatkichi r bo‘lgan a ko‘rsatkichning qiymatini topish jarayoni bir xil tushunchalardir. Masalan, agar vazifa (0,6) 6 ″ quvvatning qiymatini hisoblash bo'lsa, uni "0,6 sonini 6 ga ko'taring" iborasiga soddalashtirish mumkin.

Shundan so'ng siz to'g'ridan-to'g'ri qurilish qoidalariga o'tishingiz mumkin.

Salbiy eksponentsiya

Aniqlik uchun siz quyidagi iboralar zanjiriga e'tibor berishingiz kerak:

110 = 0,1 = 1 * 10 minus 1 st.,

1100 = 0,01 = 1 * 10 minus 2 qadamda.,

11000 = 0,0001 = 1 * 10 minus 3 st.,

110000 = 0,00001 = 1 * 10 minus 4 daraja.

Ushbu misollar tufayli siz har qanday minus quvvatga 10 ni darhol hisoblash qobiliyatini aniq ko'rishingiz mumkin. Shu maqsadda o'nli komponentni o'zgartirish juda jozibali:

10 dan -1 darajagacha - birlik 1 noldan oldin;
-3 da - bittadan oldin uchta nol;
-9 da 9 nol va hokazo.

Ushbu sxema bo'yicha tushunish juda oson, 10 dan minus 5 osh qoshiq qancha bo'ladi. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Natural sonni qanday ko'tarish kerak

Ta'rifni eslab, biz san'atdagi natural sonni hisobga olamiz. n har biri a ga teng bo'lgan n ta omilning mahsulotiga teng. Keling, misol qilib keltiramiz: (a * a * ... a) n, bu erda n - ko'paytiriladigan sonlar soni. Shunga ko'ra, a ni n ga ko'tarish uchun quyidagi ko'rinishdagi hosilani hisoblash kerak: a * a * ... va n marta bo'linadi.

Bundan ma'lum bo'ladiki tabiiy san'atda erektsiya. ko'payish qobiliyatiga tayanadi(Ushbu material haqiqiy sonlarni ko'paytirish bo'limida yoritilgan). Keling, muammoni ko'rib chiqaylik:

4-da -2 tik.

Biz tabiiy ko'rsatkich bilan shug'ullanamiz. Shunga ko'ra, qaror qabul qilish jarayoni quyidagicha bo'ladi: (-2) san'atda. 4 = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Endi faqat butun sonlarni ko'paytirishni amalga oshirish qoladi: (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Biz 16 ni olamiz.

Muammoga javob:

(-2) san'atda. 4 = 16.

Misol:

Qiymatni hisoblang: uch nuqta ikki etti kvadrat.

Bu misol quyidagi mahsulotga teng: uch nuqta ikki ettidan uch nuqta ikki ettidan ko'paytiriladi. Aralash raqamlarni ko'paytirish qanday amalga oshirilishini eslab, biz qurilishni yakunlaymiz:

3 ball 2 ettinchi o'z-o'zidan ko'payadi;
23 ettidan 23 ga ko'paytiriladi;
529 qirq to'qqizinchiga teng;
qisqartiring va 10 o'ttiz to'qqiz qirq to'qqizni oling.

Javob: 10 39/49

Irratsional ko'rsatkichga ko'tarish masalasiga kelsak, shuni ta'kidlash kerakki, hisob-kitoblar daraja asosini ma'lum bir toifaga oldindan yaxlitlash tugagandan so'ng amalga oshirila boshlaydi, bu ma'lum bir aniqlik bilan qiymatni olish imkonini beradi. . Masalan, P (pi) raqamini kvadratga olishimiz kerak.

Biz P ni yuzdan birgacha yaxlitlashdan boshlaymiz va quyidagilarni olamiz:

P kvadrat = (3,14) 2 = 9,8596. Biroq, agar biz P ni o'n mingdan biriga kamaytirsak, biz P = 3,14159 ni olamiz. Keyin kvadratlash butunlay boshqacha raqamni oladi: 9,8695877281.

Bu erda shuni ta'kidlash kerakki, ko'p muammolarda irratsional sonlarni kuchga ko'tarishning hojati yo'q. Qoidaga ko'ra, javob daraja shaklida yoziladi, masalan, 6 ning ildizi 3 ning darajasiga yoki agar ifoda imkon bersa, uni o'zgartirish amalga oshiriladi: 5 dan 7 darajagacha. = 5 ning 125 ildizi.

Raqamni butun kuchga qanday oshirish mumkin

Ushbu algebraik manipulyatsiya mos keladi quyidagi holatlar uchun e'tiborga oling:

butun sonlar uchun;
nol ko'rsatkichi uchun;
butun ijobiy ko'rsatkich uchun.

Deyarli barcha musbat sonlar natural sonlar massasiga toʻgʻri kelganligi sababli, musbat butun son darajasiga oʻrnatish Sanʼatdagi oʻrnatish bilan bir xil jarayondir. tabiiy. Biz bu jarayonni avvalgi xatboshida tasvirlab bergan edik.

Keling, San'atni hisoblash haqida gapiraylik. null. San'atda a sonining nol darajasi har qanday nolga teng bo'lmagan a (haqiqiy) uchun aniqlanishi mumkinligini yuqorida bilib oldik. 0 1 ga teng bo'ladi.

Shunga ko'ra, har qanday haqiqiy sonni nolga ko'tarish st. birini beradi.

Masalan, st.da 10 0 = 1, (-3,65) 0 = 1 va stda 0. 0 ni aniqlash mumkin emas.

Butun son darajasiga ko'tarishni yakunlash uchun butun manfiy qiymatlar variantlari to'g'risida qaror qabul qilish qoladi. Biz san'atni eslaymiz. a dan butun ko'rsatkichli -z kasr sifatida aniqlanadi. Kasrning maxraji Art. musbat butun son qiymati bilan, uning qiymatini biz allaqachon topishni o'rgandik. Endi faqat qurilish misolini ko'rib chiqish qoladi.

Misol:

Manfiy butun ko‘rsatkichli kubdagi 2 raqamining qiymatini hisoblang.

Yechim jarayoni:

Salbiy ko'rsatkichli daraja ta'rifiga ko'ra, biz quyidagilarni belgilaymiz: ikkita minus 3 osh qoshiqda. uchinchi darajada birdan ikkiga teng.

Maxraj oddiygina hisoblanadi: ikkita kub;

3 = 2*2*2=8.

Javob: minus 3 osh qoshiqda ikkita. = sakkizdan bir.

Birinchi daraja

Daraja va uning xususiyatlari. To'liq qo'llanma (2019)

Nima uchun darajalar kerak? Ular qayerda sizga foydali bo'ladi? Nega ularni o'rganishga vaqt ajratishingiz kerak?

Darajalar, ular nimaga mo'ljallanganligi, bilimlaringizni kundalik hayotda qanday ishlatish haqida hamma narsani bilish uchun ushbu maqolani o'qing.

Va, albatta, darajalar haqidagi bilim sizni OGE yoki USE ni muvaffaqiyatli topshirishga va orzuingizdagi universitetga kirishga yaqinlashtiradi.

Kelinglar ... (Ketaylik!)

Muhim eslatma! Agar formulalar o'rniga ma'nosiz so'zlarni ko'rsangiz, keshni tozalang. Buning uchun CTRL + F5 (Windows-da) yoki Cmd + R (Mac-da) tugmalarini bosing.

BIRINCHI DARAJA

Ko'rsatkichni ko'tarish qo'shish, ayirish, ko'paytirish yoki bo'lish kabi bir xil matematik amaldir.

Endi men hamma narsani inson tilida juda oddiy misollar yordamida tushuntiraman. E'tibor qarating. Misollar oddiy, lekin ular muhim narsalarni tushuntiradi.

Qo'shish bilan boshlaylik.

Tushuntirish uchun hech narsa yo'q. Siz allaqachon hamma narsani bilasiz: biz sakkiz kishimiz. Har birida ikkita shisha kola bor. Qancha kola bor? To'g'ri - 16 shisha.

Endi ko'paytirish.

Mana ko'paytirish jadvali. Takrorlang.

Va yana bir, yanada chiroyli:

Dangasa matematiklar yana qanday aqlli hisoblash hiylalarini o'ylab topishdi? To'g'ri - raqamni kuchga ko'tarish.

Raqamni quvvatga ko'tarish

Siz qilishingiz kerak bo'lgan yagona narsa raqamlarning kuchlari jadvalida nima ta'kidlanganini eslang... Ishoning, bu sizning hayotingizni ancha osonlashtiradi.

Aytgancha, nima uchun ikkinchi daraja deyiladi kvadrat raqamlar, uchinchisi - kub? Bu nimani anglatadi? Bu juda yaxshi savol. Endi siz kvadrat va kublarga ega bo'lasiz.

Hayotiy misol №1

Keling, kvadrat yoki sonning ikkinchi darajasidan boshlaylik.

Haqiqiy hayot misoli №2

Mana siz uchun vazifa, raqamning kvadratidan foydalanib shaxmat taxtasida qancha kvadrat borligini hisoblang ... Hujayralarning bir tomonida va boshqa tomonida ham. Ularning sonini hisoblash uchun siz sakkizni sakkizga ko'paytirishingiz kerak yoki ... agar shaxmat taxtasi bir tomoni bo'lgan kvadrat ekanligini sezsangiz, sakkizni kvadratga olishingiz mumkin. Siz hujayralarni olasiz. () Xo'sh?

Hayotiy misol № 3

Endi kub yoki raqamning uchinchi darajasi. Xuddi shu hovuz. Ammo endi siz ushbu hovuzga qancha suv quyish kerakligini bilib olishingiz kerak. Ovozni hisoblashingiz kerak. (Aytgancha, hajmlar va suyuqliklar kubometr bilan o'lchanadi. Ajablanarlisi, shunday emasmi?) Hovuzni chizing: pastki qismi bir metr o'lchamda va bir metr chuqurlikda va sizning hovuzingizga necha metr kubometr kirishini hisoblashga harakat qiling.

Hayotiy misol № 4

Haqiqiy hayot misoli № 5

Atamalar va tushunchalar ... chalkashmaslik uchun

Xo'sh, ayni paytda shunday daraja asosi? Bundan ham oddiyroq - bu quyida, bazada joylashgan raqam.

Ishonch hosil qilish uchun bu erda chizma.

Umuman olganda, umumlashtirish va yaxshiroq eslab qolish uchun ... "" bazasi va "" ko'rsatkichi bo'lgan daraja "darajada" deb o'qiladi va quyidagicha yoziladi:

Natural ko'rsatkichli sonning darajasi

Siz hozir taxmin qilgandirsiz: chunki ko'rsatkich natural sondir. Ha, lekin nima natural son? Boshlang'ich! Ob'ektlarni sanab o'tishda sanoqda qo'llaniladigan natural sonlar: bir, ikki, uch ... Biz ob'ektlarni sanashda: "minus besh", "minus olti", "minus etti" demaymiz. Biz ham aytmaymiz: "uchdan bir", yoki "nol ball, besh o'ndan". Bular natural sonlar emas. Sizningcha, ular qanday raqamlar?

Bundan tashqari, irratsional raqamlar ham mavjud. Bu raqamlar nima? Qisqasi, cheksiz o'nli kasr. Misol uchun, agar siz aylananing aylanasini uning diametriga bo'lsangiz, siz irratsional sonni olasiz.

Xulosa:

Ko‘rsatkichi natural son (ya’ni butun va musbat) bo‘lgan daraja tushunchasini aniqlaymiz.

Birinchi darajadagi har qanday raqam o'ziga teng:
Raqamni kvadratga aylantirish uni o'ziga ko'paytirishni anglatadi:
Raqamni kub qilish uchun uni o'ziga uch marta ko'paytirish kerak:

Ta'rif. Raqamni tabiiy darajaga ko'tarish sonni o'z-o'zidan marta ko'paytirishni anglatadi:
.

Quvvat xususiyatlari

Bu xususiyatlar qayerdan kelgan? Men sizga hozir ko'rsataman.

Keling, ko'rib chiqaylik: nima va ?

A-prior:

Jami nechta omil bor?

Bu juda oddiy: biz ko'paytiruvchilarga ko'paytiruvchilarni qo'shdik va jami ko'paytiruvchidir.

Ammo ta'rifga ko'ra, bu ko'rsatkichli sonning darajasi, ya'ni isbotlash uchun talab qilinadigan darajada.

Misol: Ifodani soddalashtiring.

Yechim:

Misol: Ifodani soddalashtiring.

Yechim: Bizning qoidamizda shuni ta'kidlash kerak albatta bir xil asoslarga ega bo'lishi kerak!
Shuning uchun biz darajalarni baza bilan birlashtiramiz, lekin alohida omil bo'lib qoladi:

faqat darajalar mahsuloti uchun!

Hech qanday holatda buni yoza olmaysiz.

2.ya'ni -sonning darajasi

Oldingi xususiyatda bo'lgani kabi, daraja ta'rifiga murojaat qilaylik:

Ma'lum bo'lishicha, ifoda o'z-o'zidan bir marta ko'paytiriladi, ya'ni ta'rifga ko'ra, bu raqamning 1-chi darajasi:

Aslini olganda, buni "indikatorni qavslash" deb atash mumkin. Ammo buni hech qachon umuman qilmaslik kerak:

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini eslaylik: biz necha marta yozmoqchi edik?

Ammo bu haqiqat emas, axir.

Salbiy asosli daraja

Shu nuqtaga qadar biz faqat ko'rsatkich nima bo'lishi kerakligini muhokama qildik.

Lekin poydevor nima bo'lishi kerak?

bilan darajalarda tabiiy stavka asos bo'lishi mumkin har qanday raqam... Darhaqiqat, biz har qanday raqamlarni bir-biriga ko'paytirishimiz mumkin, ular ijobiy, salbiy yoki hatto.

Keling, o'ylab ko'raylik, qaysi belgilar ("" yoki "") ijobiy va salbiy sonlarning vakolatlariga ega bo'ladi?

Masalan, raqam ijobiy yoki salbiy bo'ladimi? A? ? Birinchisi bilan hamma narsa aniq: biz qancha ijobiy sonlarni bir-birimizga ko'paytirsak ham, natija ijobiy bo'ladi.

Ammo salbiy biroz qiziqroq. Axir, biz 6-sinfdan oddiy qoidani eslaymiz: "minus minus ortiqcha beradi". Ya'ni, yoki. Ammo agar biz ko'paytirsak, u ishlaydi.

Quyidagi iboralar qaysi belgiga ega bo'lishini o'zingiz hal qiling:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Siz boshqardingizmi?

Mana javoblar: Birinchi to'rtta misolda, umid qilamanki, hamma narsa aniqmi? Biz faqat asos va ko'rsatkichga qaraymiz va tegishli qoidani qo'llaymiz.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5-misolda), hamma narsa ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas: baza nimaga teng bo'lishi muhim emas - daraja teng, ya'ni natija har doim ijobiy bo'ladi.

Xo'sh, agar baza nolga teng bo'lmasa. Poydevor teng emas, shunday emasmi? Shubhasiz, yo'q, chunki (chunki).

6-misol) endi unchalik oson emas!

Trening uchun 6 ta misol

Yechimni tahlil qilish 6 ta misol

Lekin buni qanday qilish kerak? Bu juda oson bo'lib chiqdi: bu erda maxrajning teng darajasi bizga yordam beradi.

Shartlar sehrli tarzda teskari. Ushbu "hodisa" har qanday iboraga teng darajada qo'llaniladi: biz qavs ichidagi belgilarni erkin o'zgartirishimiz mumkin.

Ammo eslash muhim: barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgaradi!

Keling, misolga qaytaylik:

Va yana formula:

Butun biz ularga qarama-qarshi bo'lgan natural sonlarni (ya'ni "" belgisi bilan olingan) va raqam deb ataymiz.

musbat butun son, lekin u tabiiydan farq qilmaydi, keyin hamma narsa avvalgi bo'limdagi kabi ko'rinadi.

Keling, ba'zi yangi holatlarni ko'rib chiqaylik. ga teng ko'rsatkichdan boshlaylik.

Nol darajadagi har qanday raqam bittaga teng:

Har doimgidek, keling, o'zimizga savol beraylik: nega bunday?

Baza bilan darajani ko'rib chiqing. Masalan, oling va ko'paytiring:

Shunday qilib, biz raqamni ko'paytirdik va xuddi shunday bo'ldi -. Va hech narsa o'zgarmasligi uchun qaysi raqamni ko'paytirish kerak? To'g'ri, davom eting. anglatadi.

Biz ixtiyoriy raqam bilan ham shunday qilishimiz mumkin:

Keling, qoidani takrorlaymiz:

Nol darajadagi har qanday raqam bittaga teng.

Ammo ko'plab qoidalardan istisnolar mavjud. Va bu erda ham bor - bu raqam (asosiy sifatida).

Bu erda siz qidirayotgan narsangizni ifodalash allaqachon oson:

Endi biz olingan qoidani ixtiyoriy darajada kengaytiramiz:

Shunday qilib, qoidani shakllantiramiz:

Salbiy darajadagi son musbat quvvatdagi bir xil songa teskari. Lekin ayni paytda baza null bo'lishi mumkin emas:(chunki siz bo'linmaysiz).

Keling, xulosa qilaylik:

I. Holda ko‘rsatilmagan ifoda. Agar, keyin.

II. Nol darajagacha bo'lgan har qanday raqam bittaga teng:.

III. Nolga teng bo'lmagan son musbat darajadagi bir xil songa teskari manfiy kuchda bo'ladi:.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Xo'sh, va odatdagidek, mustaqil yechim uchun misollar:

Mustaqil hal qilish uchun vazifalarni tahlil qilish:

Keling, ko'rsatkich sifatida "mos" sonlar doirasini kengaytirishni davom ettiramiz.

Endi o'ylab ko'ring ratsional sonlar. Qanday raqamlar ratsional deb ataladi?

Javob: kasr sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan hamma narsa, bu erda va butun sonlar.

Nima ekanligini tushunish uchun Fraksiyonel daraja, kasrni hisobga oling:

Keling, tenglamaning ikkala tomonini quvvatga ko'taramiz:

Endi qoidani eslaylik "Darajdan darajagacha":

Quvvat olish uchun qanday raqamni ko'tarish kerak?

Ushbu formula th ildizning ta'rifidir.

Sizga eslatib o'taman: sonning () darajasining ildizi darajaga ko'tarilganda teng bo'lgan sondir.

Ya'ni, th darajaning ildizi ko'rsatkichning teskari amalidir:.

Shunday bo'ladi. Shubhasiz, bu alohida holat uzaytirilishi mumkin:.

Endi hisoblagichni qo'shamiz: bu nima? Javobni daraja-daraja qoidasi yordamida osongina olish mumkin:

Lekin asos har qanday raqam bo'lishi mumkinmi? Axir, ildizni barcha raqamlardan chiqarib bo'lmaydi.

Yo'q!

Qoidani eslang: juft darajaga ko'tarilgan har qanday raqam ijobiy raqamdir. Ya'ni, manfiy sonlardan juft darajali ildizlarni ajratib bo'lmaydi!

Va bu shuni anglatadiki, bunday raqamlarni teng maxraj bilan kasr darajasiga ko'tarib bo'lmaydi, ya'ni ifoda mantiqiy emas.

Ifoda haqida nima deyish mumkin?

Ammo bu erda muammo paydo bo'ladi.

Raqam boshqa, bekor qilinadigan kasrlar sifatida ifodalanishi mumkin, masalan, yoki.

Va ma'lum bo'lishicha, u bor, lekin yo'q, lekin bu bir xil raqamning ikki xil yozuvi.

Yoki boshqa misol: bir marta, keyin yozishingiz mumkin. Ammo agar biz indikatorni boshqacha yozsak va yana bir noqulaylik paydo bo'ladi: (ya'ni, biz butunlay boshqacha natijaga erishdik!).

Bunday paradokslardan qochish uchun biz ko'rib chiqamiz faqat kasr ko'rsatkichli musbat ildiz.

Shunday qilib, agar:

- natural son;
- butun son;