Ushbu maqolada o'zgarish mavzusini davom ettirmoqda algebraik fraktsiyalar: Bunday harakatni algebraik fraktsiyalarning kamayishi deb hisoblang. Keling, o'z atamaning ta'rifini beraylik, biz amaliy misollarni qisqartirish va amaliy misollarni tahlil qilamiz.

Yandex.rtb R-A-339285-1

Algebraik fraktsiyalarning kamayishining ma'nosi

Oddiy kasr bo'yicha materiallarda biz uning pasayishini ko'rib chiqdik. Biz oddiy kvadratning umumiy omil uchun uning raqami va denominatorining bo'linishi sifatida kamayishni aniqladik.

Algebraik kasrni kamaytirish shunga o'xshash harakatdir.

1-ta'rif.

Algebraik fraktsiyalarni kamaytirish - Bu uning hisoblagich va denominatorning umumiy omili uchun bo'linishidir. Shu bilan birga, oddiy kasrni kamaytirishdan farqli o'laroq (umumiy denominator faqat raqam bo'lishi mumkin), algebraik fraktsiyaning umumiy sonining ko'payishi, xususan yoki raqamga yoki son.

Masalan, algebraik fraktsiya 3 · x 2 + 6 xed y̱ 2 x · y + 12 x x yasaba uchun 2-raqamga kamaytirilishi mumkin, natijada biz: x 2 + 2 x · 6 X 3 Yu Yi + 12 x x 2 y. 2. Biz X o'zgaruvchiga bir xil miqdorni kesishimiz mumkin va bu 3 · + 6 va Yusum 6 x x 2 yy yyuu y + 12 xasanami 2. Shuningdek, bir tomonlama ravishda ma'lum bir fraktsiya kamaytirish mumkin 3 x xyoki har qanday polinomlar X + 2 ò, 3 x x + 6 va yau y, x 2 + 2 xamu yoki 3 · X 2 + 6 xasan.

Algebraik fraktsiyalarning pasayishining asosiy maqsadi ko'proq narsaning kassasi oddiy ko'rinish, in eng yaxshi holat - Kuchli kasr.

Barcha algebraik fraktsiyalar kamayadimi?

Yana, oddiy kasrlardagi materiallardan biz bilamiz va talqin qilinmaydigan fraksiyalar mavjudligini bilamiz. Beqaror - bu 1-sonli hisoblovchi va denroinatorning ko'paytirgichlari bo'lmagan bir fraktsiya, 1 dan farq qiladi.

Algreebraik fraktsiyalar bilan hamma narsa bir xil: ular hisoblagich va denominatorning ko'paytirgichlari bo'lishi mumkin emas. Umumiy omillarning mavjudligi boshlang'ich qismni kamaytirish orqali soddalashtirishga imkon beradi. Umumiy ko'paytirgich bo'lmaganda, qisqarishning belgilangan miqdorini optimallashtirish mumkin emas.

Umumiy holatlarda sozlamoq Fraktsiya kamayishiga bog'liqligini tushunish juda qiyin. Albatta, ba'zi hollarda, hisoblovchi va denominatorning umumiy mulozimlari mavjudligi aniq. Masalan, algebraik fraktsiyalarda 3 x x so'm. Umumiy omil - bu 3-sonning umumiyligi aniq.

Fraktsiyasida - x yü y · tanhe 3 Biz darhol uni x yoki y yoki x da kamaytirish mumkinligini darhol tushunamiz. Shunga qaramay, algebraik fraktsiyalarning umumiy namunalari, umumiy sonni ko'paytirish va denominatorni ko'rish juda oson emas va hatto tez-tez - u shunchaki yo'q.

Masalan, X 3 - 1 x 2 - 1 ning kasrini kesib olishimiz mumkin, biz yozishda ko'rsatilgan umumiy umumiy multiplikator yo'q. Ammo fraktsiya x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 + 4 · 4 · 4 + 4 1 - 4 · 4 o'lchami kamayishni kamaytira olmaydi, chunki hisoblagich va denominatorning umumiy omillari mavjud emas.

Shunday qilib, algebraik fraktsiyaning pasayishini aniqlash juda oddiy emas va ko'pincha ushbu turning fraktsiyasini kamaytirishga urinishdan ko'ra osonroq. Shu bilan birga, xususan, aniq holatlarda raqamning umumiy sonini va denominatorning umumiy ko'payuvchisini va fraksiyalikning mo'rtligini aniqlash imkonini beradi. Ushbu savolni maqolaning keyingi qismida batafsil tahlil qilamiz.

Algebraik fraktsiyalarning pasayish qoidasi

Algebraik fraktsiyalarning pasayish qoidasi ketma-ket ikkita harakatdan iborat:

• hisoblovchi va denominatorning umumiy ko'paytirgichlarini topish;
• agar bunday bo'lsa, kasrning kesish ta'sirini amalga oshirish to'g'ridan-to'g'ri.

Oddiy denomorlarni topishning eng qulay usuli - bu kiritilgan algebraik fraksiyaning raqami va hisoblagichida mavjud bo'lgan polinomiyalarning parchalanishi. Bu sizga umumiy ko'paytirgichlarning mavjudligini yoki yo'qligini darhol ko'rish imkonini beradi.

Algebraik fraktsiyaning pasayishi ta'siri aniqlanmagan algebraik fraktsiyaning asosiy xususiyatiga asoslanadi, u erda A, B, C ba'zi polinomlar, b va C - nolga teng emas. Birinchi qadam, kasr A · C shakliga beriladi, unda biz umumiy omilni darhol sezamiz. Ikkinchi bosqich - kamaytirish, ya'ni A shaklining frakiga o'tish A b.

Xarakterli misollar

Ba'zi dalillarga qaramay, aniqlik xususiy holatAlgebraik fraksiyaning raqami va denroinatori tengdir. Shunga o'xshash fraktsiyalar ushbu frakning toq o'zgaruvchisida bir-biriga teng:

5 5 \u003d 1; - 2 3 - 2 3 \u003d 1; x x \u003d 1; - 3, 2 İF 3 - 3, 2 x 3 \u003d 1; 1 2 · X 2 va Y 1 2 · X - x 2 · Y;

Oddiy kasrlar - algebraik fraktsiyalar alohida holatda, biz ularni qanday kamaytirishni eslatamiz. Rumerator va Denominatorda qayd etilgan tabiiy raqamlar oddiy ko'payuvchilarga beriladi, keyin umumiy omillar kamayadi (agar mavjud bo'lsa).

Masalan, 24 1260 \u003d 2 · 2 · 2 2 · · 3 · · 3 · 5 3 · · 5 105

Oddiy bir xil omillarning ishlashi daraja deb yozilishi mumkin va darajadagi mulkni bir xil bazalar bilan ishlatish uchun fraktsiyani kamaytirish jarayonida. Keyin yuqoridagi qaror quyidagilar bo'ladi:

24 1260 \u003d 2 3 3 2 2 2 · · 2 \u003d 2 3 - 2 3 - 2 3 - 1 \u003d 2 105

(Rumerator va denroinator umumiy omilga bo'lingan 2 2 · 3). Yoki ko'paytirish va bo'linish xususiyatlariga tayanib, aniqlik uchun biz ushbu qarorni beramiz:

24 1260 \u003d 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 \u003d 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 \u003d 2 1 · 1 3 · 1 35 \u003d 2 105

O'yoq tomonidan algebraik fraktsiyalar kamayadi, unda raqamli va denominator butun sonli koeffitsientlar bilan umumlashtirilgan.

1-misol.

Algebraik fraktsiya beriladi - 27 · Bal 2 prisatial 6 va b · 2 · 2 · 2 Uni kamaytirish kerak.

Qaror

Oddiy ko'paytirgichlar va o'zgaruvchilar mahsuloti sifatida berilgan kasrning raqami va mazhabini yozish mumkin, shundan keyin:

27 · 5 · b 2 · c · z 6 · 2 · b 2 · C 7 · z \u003d - 3 · 3 · 3 · a · bir · bir · bir · bir · b · b · c · z 2 · 2oz                    langan · 3gusi kati · CA íislani \u003d - 9 · 3 2 · c 6

Biroq, yanada oqilona usul, darajalar bilan ifoda shaklida:

27 · 5 B B 2 B 2 B 2-C 7 - 3 32-B 2-B 2O Z 2 · 2 b · b 2 · 2 b · 2 b · 2 2 b. z \u003d 3 3 3 2 2 2 a 5 b 2 b 2 · CC 7 - 3 - 1 2 - 1 1 C 7 - 1 C 7 - 1 C 7 - 1 1 3 2 2 · 3 2 2 · 6 \u003d · - 9 2 2-c 6.

Javob: - 27 A 5-Z 6 · 2-B 2 · 2 27-C 7 - 9 · 3 2 2 · 1

Rummerlik va denominatorda algebraik koeffitsientlar mavjud bo'lganda, qo'shimcha harakatlar qilishning ikkita usuli mavjud: yoki ushbu farmental koeffitsientlar yoki kassativ koeffitsientlarni ajratish yoki tabiiy koeffitsientlardan xalos bo'lish yoki tabiiy koeffitsientlarni taqsimlash yoki boshqa tabiiy tabiiy ravishda yo'q qilish raqam. So'nggi o'zgarishlar algebraik fraktsiyaning asosiy xususiyatlari tufayli amalga oshiriladi (bu haqda "yangi denominatorga algebraik fraktsiyani qo'llash mumkin").

2-misol.

Fraktsiya 2 5 · X 0, 3 · X 3 beriladi. Uni kamaytirish kerak.

Qaror

Ushbu tarzda fraktsiyani kamaytirish mumkin:

2 5 5 x x 0, 3 · x 3 \u003d 2 5 3 10 · x 3 \u003d 4 3 x 2 \u003d 4 3 3 x 4

Keling, muammoni hal qilishga harakat qilaylik, farmental koeffitsientlardan xalos bo'lish - ushbu koeffitsientlarning eng kichik geneffitsientlarining eng kichik umumiy denefitomorlariga raqamni ko'paytirish va denominatorni ko'paytirishga harakat qilaylik. I.E. MOQda (5, 10) \u003d 10. Keyin biz olamiz:

2 5 5 · X 0, 3 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · X 10 \u003d 4 · 3 \u003d 4 3 · X 2.

Javob: 2 5 · X 0, 3 · X 3 \u003d 4 3 3-2

Biz algebraik fraktsiyalarni kamaytirsak umumiy ko'rinishBunda raqamlar va denominatorlar bitta qanot va polinomlar bo'lishi mumkin, umumiy omil har doim ham har doim ham ko'rinmasa. Yoki u shunchaki mavjud emas. Keyin, umumiy omilni aniqlash yoki uning yo'qligi, raqami va algebraik fraktsiyaning denominatori ko'paytirgichlarda yotadi.

3-misol.

Ratsional fraktsiya 2 · 2 2 28 · 2 28 · 2 + 98 · 2 2 - 2-B 3 - 49 · 3 berilgan. Uni kesish kerak.

Qaror

Biz molnyiallarni raqamli va denominatorda parchalaymiz. Qavslar uchun amalga oshirish:

2 · 2 B B 2 28 · 2 + 28 · 2 + 98 · 2 - 49 · 2 \u003d 2 + 14 · 2 + 14 · + 49) b 3 · (a 2 - 49)

Qavslardagi ifoda qisqartirilgan oshtirish uchun formulalar yordamida o'zgartirilishi mumkinligini ko'rmoqdamiz:

2 bis 2 (2 + 149) B 32 - B 2 - 7) 2 B dan 2 (+ 7) · (A + 7)

Umumiy fabrikaga kasrni kamaytirish mumkinligi aniq seziladi B 2 · dan (+ 7). Biz kamaytiramiz:

2 bis 2 b (a + 7) 2 B 3) \u003d 2 (a + 7) b · (a - 7) \u003d 2uta + 14 ABA ABA A + 2 7 bada.

Ta'rifsiz qisqacha qarorimiz, biz tengdoshlar targ'aboti sifatida yozamiz:

2 · 2-B 2 + 28 · 2 + 28 · 2 + 98 · 2 - 49 · 2 - 2 + 14 A 2 dan (2 + 14 + 49) b 3 · (2 - 49) \u003d \u003d 2 · B 2 · dan (a + 7) · (a + 7) \u003d 2 · (a + 7) b · · (a - 7) \u003d 2 · a 14 ABA B - 7 basi

Javob: 2-B 2 2 28 · 28 · 2 28 · 2 + 98 · 2 2 - 49 · 2 \u003d 2 · 2 [2 · 14 ABA · 14

Bu umumiy omillar raqamli koeffitsientlar tomonidan yashiringanligi sodir bo'ladi. Keyin fraktsiyalar kesilganda, raqamlar va zinetlar ortida joylashgan raqamli darajalar va denominatorning maqbul miqdordagi raqamli omillar.

4 misol.

Dana Algebraik Frantsiya 1 5 · X XX - 2 7 XE 3 YU Y 5 x x · y - 3 1 2. Iloji bo'lsa, uning pasayishini amalga oshirish kerak.

Qaror

Bir qarashda, soniyotator va mazhabsiz umumiy denominatorda mavjud emas. Biroq, keling, ushbu kasrni o'zgartirishga harakat qilaylik. Men Rumeratorda metrikiper-ni olib kelaman:

1 5 · X - 2 7 · X 3 x 3 yyu 5 · 2 \u003d x · 1 5 - 2 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 XE 2U Y5 x x 2 · 1 - 3 1 2

Endi x 2ofilyatsiyaning qavslar va iboralaridagi iboralar o'xshashligi . Ushbu polinomlarning yuqori darajasiga ega bo'lgan qavs uchun sonli koeffitsientlarni keltiraman:

x · 1 5 - 2 7 7 x x Ju yasa 5 - 3 1 \u003d X 27 5 + X 2-E 5 + X 2-E 5 + x 2-e + x 2-y 5 x x 2-y - 1 5 · 1 5 + x 2 xame y - 1 5 · 1 5 · 3 1 2 \u003d - - 2 7 7 X 2 va Yusum 5 · 2 x 2 · y - 7 10

Endi umumiy multiplikator ko'rinadi, biz qisqartiramiz:

2 7 7 XOR - 7 10 + x 2-y 5 · x 2 · y - 7 10 \u003d - 2 7 · 5 \u003d - 2 35 · x

Javob: 1 5 · XE XUV - 2 7DO X3 X 3 YUM 5 - 3 35 \u003d - 25 · X.

Ratsional kasrlarni kamaytirish qobiliyati polinomlarni ko'paytiruvchilarga tarqatish qobiliyatiga e'tibor bermasligiga e'tibor bering.

Agar siz matnda xatoga duch kelsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing

Fraktsiyalar bilan ishlash, ko'plab talabalar xuddi shu xatolarga yo'l olishadi. Va barchasi boshlang'ich qoidalarni unutishadi arifmetik. Bugun biz ushbu qoidalarni men darslarimda beradigan muayyan vazifalar bo'yicha takrorlaymiz.

Men matematikada imtihonga tayyorlanayotgan har bir kishini taklif qiladigan vazifa:

Vazifa. Dengiz cho'chqasi kuniga 150 gramm ozuqa iste'mol qiladi. Ammo u o'sib, 20% ko'proq ovqatlana boshladi. Endi qancha gramm ozuqa cho'chqani eydi?

Noto'g'ri eritma. Bu qiziqishning vazifasi, bu tenglamaga bog'liq bo'lgan:

Ko'pchilik (juda ko'p) FRASI raqami va Denomoter-da 100 raqamini kamaytiradi:

Ushbu xatoni ushbu maqolani yozgan kunimdagi huquqimga yo'l qo'ydi. Qizil ranglar qisqartirildi.

Javob noto'g'ri ekanligini aytish uchun keraksiz. O'zingiz uchun sudya: cho'chqaning 150 gramm va u 3150 grammga aylandi. O'sish 20% emas, lekin 21 marta, I.E. 2000% da.

Bunday tushunmovchiliklarning oldini olish uchun asosiy qoidani eslab qoling:

Faqat ko'paytirgichni kesish mumkin. Bekorni bekor qilish mumkin emas!

Shunday qilib, avvalgi vazifaning to'g'ri qarori shunga o'xshash ko'rinadi:

Reds hisoblovchi va denominatorda kamaytirilgan raqamlar. Ko'rinib turibdiki, raqamning a-denominatori - oddiy songa ega. Shuning uchun pasayish mutlaqo qonuniydir.

Nisbatlar bilan ishlash

Yana bir muammoli joy - nisbat. Ayniqsa, ikkala tomonning o'zgaruvchan stendlari. Masalan:

Vazifa. Tenglamani hal qiling:

Noto'g'ri eritma - ba'zi tom ma'noda hamma narsani kesish uchun qisqartiriladi:

Kamaytirilgan o'zgaruvchilar qizil rangda ko'rsatilgan. Bu 1/4 \u003d 1/5-iborasi bo'lib chiqadi - to'liq bema'nilik, bu raqamlar hech qachon teng bo'lmaydi.

Va endi - to'g'ri qaror. Aslida bu oddiy chiziqli tenglama . Bu barcha elementlarning bir yo'nalishda yoki mutanosib bo'lmagan asosiy mol-mulkka etkazilishi bilan hal qilinadi:

Ko'plab o'quvchilar qaytib kelishadi: "Birinchi echimda xato qayerda?" Yaxshi, tushunaylik. Tenglamalar bilan ishlash qoidasini eslang:

Har qanday tenglamani har qanday raqamga ko'paytirish va ko'paytirish mumkin noldan bo'lmagan.

Chip paydo bo'ldimi? Faqat raqamlarga bo'lish mumkin noldan bo'lmagan. Xususan, uni o'zgaruvchan m ichiga bo'lish mumkin, faqat m! \u003d 0 bo'lsa, nima qilish kerak, agar hali m \u003d 0 bo'lsa? Zaxiralash va tekshirish:

To'g'ri raqamli tenglikni talab qildi, i.e. M \u003d 0 - tenglamaning ildizi. Qolgan m uchun! \u003d 0 Biz 1/4 \u003d 1/5 shaklining ifodasini olamiz, tabiiyki, tabiiyki, noto'g'ri. Shunday qilib, noldan boshqa ildizlar yo'q.

Xulosa: Hammasini yig'ing

Shunday qilib, farmaklikni oqilona echish uchun uchta qoidani eslab qoling:

1. Faqat ko'paytirgichni kesish mumkin. Komponentlar mumkin emas. Shuning uchun ko'paytirgichlar uchun raqamni va denominatorni yotqizishni o'rganing;
2. Monalning asosiy xususiyati: ekstremal elementlarning mahsuloti o'rtacha mahsulotga teng;
3. Tenglamalar ko'payishi va faqat k raqamlariga bo'linishi mumkin, noldan farq qiladi. K \u003d 0 alohida tekshirilishi kerak.

Ushbu qoidalarni eslang va xatolarga yo'l qo'ymang.

Fraktsiyalarni qanday qisqartirishni tushunish uchun, avval bitta misolni ko'rib chiqaylik.

Bir xil narsada sonni ajratish va denominatorni taqsimlashni anglatadi. Va 360 va 420 raqami, shuning uchun biz ushbu kasrni 2. yangi frantsuz va 210 ga kamaytirishimiz mumkin, shuningdek, 90 va 105 raqami, raqamlar miqdori 3 ga bo'linadi, shuning uchun ikkalasi ham 3 dan 3 gacha bo'linib ketamiz, 30 va 5 dan 5 gacha, ikkala raqam ham 5 dan 5 gacha bo'linadi, shuning uchun biz ham kamayamiz 5 ning kasr maydoni oltinchi ettinchi ettinchisi qurilmagan. Bu yakuniy javob.

Biz shu tarzda xuddi shu javobga kelishimiz mumkin.

Va 360 va 420 Nol bilan tugaydi, ular 10 ga bo'linganligini anglatadi. Natijada 42 ga bo'linadi. Fraktsiya va raqam va denroinator 21, bu esa bizning fraktsiyani kamaytirishimizni anglatadi. Natijada olti ettinchi.

Va yana bir eritma echimi.

Keyingi safar biz kasrlarni kamaytirishga misollar ko'rib chiqamiz.

Fraktsiyani qanday kamaytirishni bilmasdan va bunday misollarni hal qilishda barqaror mahoratning mavjudligi maktabda algebrani o'rganish juda qiyin. Bundan tashqari, oddiy fraktsiyalarni kamaytirishning asosiy bilimlari yangi ma'lumotlar bilan juda katta. Birinchidan, darajalar paydo bo'ladi, keyin ko'paytiruvchilar keyinchalik ko'paytiriladi.

Qanday qilib chalkashib ketmaslik kerak? Bu avvalgi mavzularda mahoratni uyg'unlashtiradi va asta-sekin Astavozni yilidan qanday kamaytirish bo'yicha bilim olishga tayyorgarlik ko'rilmoqda.

Asosiy bilimlar

Ularsiz har qanday darajadagi vazifalarni engish mumkin emas. Tushunish uchun siz ikkita oddiy nuqtalarni tushunishingiz kerak. Birinchidan: Faqat ko'paytirgichni kesish mumkin. Rummerlik yoki denominatorda polinomlar paydo bo'lganda bu nuans juda muhimdir. Keyin ko'paytirgich mavjud bo'lgan va turgan joyning qayerdaligini aniq ajratib olishingiz kerak.

Ikkinchi nuqta shuni ko'rsatadiki, har qanday raqamni ko'paytiruvchilar sifatida tasvirlash mumkin. Bundan tashqari, kamayish natijasida bunday fraktsiya, raqam va denroinator endi kamaytirish uchun mumkin emas.

Oddiy kasrlarni kamaytirish qoidalari

Boshlash uchun, raqam sotuvchiga denominatorga bo'linganligini tekshirish kerak yoki aksincha. Keyin bu raqamni kamaytirishingiz kerak. Bu eng oson variant.

Ikkinchisi bu tahlil tashqi ko'rinish raqamlar. Agar ikkalasi ham bir yoki bir nechta nolga ega bo'lsa, ular 10, 100 yoki mingga kamayishi mumkin. Bu erda siz raqamlarni ham ko'rishingiz mumkin. Agar shunday bo'lsa, siz ikkiga bo'ling.

Frantsiyani qanday kamaytirishning uchinchi qoidasi, hisobni oddiy ko'paytirgichlarning va denominatorining ajralib chiqishi haqida. Bu vaqtda siz raqamlarning ajralish belgisining barcha bilimlaridan faol foydalanishingiz kerak. Bunday parchalanishdan keyin faqat barcha takrorlanadigan, ko'payib, ko'payish raqamini kamaytiradi.

Qanday bo'lish kerak, agar fraktsiya algebraik ifoda bo'lsa?

Birinchi qiyinchiliklar bu erda paydo bo'ladi. Chunki bu erda atama paydo bo'lishi mumkin, ular ko'paytiruvchi bo'lishi mumkin. Ular chindan ham kesishni xohlashadi va bu mumkin emas. Algebraik fraktsiyani kesishdan oldin, u ko'paytiruvchilarni ko'paytirish uchun o'zgartirish kerak.

Buning uchun bir nechta harakatlarni talab qiladi. Hammasini o'tkazish kerak yoki ehtimol birinchilar tegishli variantni berishlari kerak bo'lishi mumkin.

Rumerator va denominator ajratilmagan yoki ularda belgi uchun ifoda qilinayotganligini tekshiring. Bunday holda, siz qavs uchun minus blokini berishingiz kerak. Shunday qilib, bir xil muloziklar kamayishi mumkin.

Umumiy ko'paytirgichni ko'paytirish mumkinligini ko'rib chiqish mumkin. Ehtimol, u qavs bo'lishlari mumkin, uni kamaytirish mumkin yoki bu unrochne bo'ladi.

Umumiy fabrikani ularga bir nechta bir qanot bilan shug'ullanishga harakat qiling, shunda ular umumiy fabrikasi olinadi. Shundan so'ng, ko'paytirgich paydo bo'lishi mumkin, uni kamaytirish mumkin yoki ular qavslar uchun umumiy elementlarni taqdim etishni takrorlaydilar.

Qisqartirilgan ko'payish formulasi yozuvida ko'rib chiqishga harakat qiling. Ularning yordami bilan ko'paytirgichlarni ko'paytirish uchun ko'paytirish oson.

Fraktsiyalar bilan jihatlar ketma-ketligi

Nomreditlar bilan fraktsiyani qanday kamaytirish masalasini tushunish uchun ular bilan asosiy harakatlarni qat'iy yodda tutish kerak. Ulardan birinchisi, darajalar ko'payishi bilan bog'liq. Bunday holda, agar asoslar bir xil bo'lsa, ko'rsatkichlar katlanmilishi kerak.

Ikkinchi - bo'linma. Shunda bir xil asoslarga ega bo'lganlar, ko'rsatkichlarni ushlab qolish kerak bo'ladi. Bundan tashqari, dizimdagi sonni ushlab turish kerak va aksincha emas.

Uchinchisi - bu darajadagi oxiri. Bunday vaziyatda ko'rsatkichlar o'zgaruvchan.

Muvaffaqiyatli qisqarish uchun, bir xil sabablarga ko'ra darajaga ega bo'lish qobiliyati ham kerak bo'ladi. Ya'ni, to'rttasi maydonda ikkitadan. Yoki 2 kub uchta. Chunki kvadratda 9 va Kubada 3 kesish qiyin. Ammo agar siz birinchi iborani (3 2) 2 sifatida o'zgartirsangiz, qisqartirish muvaffaqiyatli bo'ladi.

Agar biz 497-ni 4 tadan 4-ni ajratishimiz kerak bo'lsa, unda bo'lingan bo'lsak, 497 4 kishiga yo'naltirilganligi, i.e. Balans bo'linish qoldiqlari qolmoqda. Bunday holatlarda ular shunday deyishadi qolganlari bilan bo'linishVa eritma ushbu shaklda yozilgan:
497: 4 \u003d 124 (1 qoldiq).

Tenglikning asosiy qismida bo'linish komponentlari qoldiqsiz bo'lishda bir xil deb nomlanadi: 497 - dividend, 4 - ajratuvchi. Qoldiq bilan bo'lishda bo'linish natijasi deyiladi tugallanmagan shaxsiy. Bizning holatlarimizda, bu 124 raqami. Va nihoyat, odatiy bo'linishda bo'lmagan oxirgi tarkibiy qism - qoldiq. Qoldiq bo'lmagan hollarda, ular bitta raqam boshqasiga bo'lingan deb aytishadi qoldiqsiz yoki maqsadsiz. Bu bo'linish bilan qoldiq nolga teng deb ishoniladi. Bizning holatda, qoldiq 1.

Qoldiq har doim bo'linmadan kam.

Tekshirishni tekshirish ko'paytirish mumkin. Agar, masalan, tenglik 64: 32 \u003d 2, keyin chekni bajaring: 64 \u003d 32 * 2.

Ko'pincha qoldiq bilan bo'linadigan holatlarda, tenglikni ishlatish qulay
a \u003d b * n + r,
Qayerda a bo'linadigan, b - ajratuvchi, n - to'liqsiz xususiy, R qoldiq.

Tabiiy sonlarni ajratishdan shaxsiy xususiy, kasr shaklida yozilishi mumkin.

Fraktsiya ajralib turuvchi va denominator divid qiluvchi.

Fraktsiya hisoblagich taqsimlanmaganligi sababli, denominator divid qiluvchi, belgilangan kassa bo'linishning harakatini anglatadi. Ba'zan ":" belgisidan foydalanmasdan kasr shaklida ajratish uchun qulaydir.

M va N tabiiy holatlar bo'linmasidan x va N fraktsiyalar shaklida, raqamli bo'linadi va denroinorbucor pivid qiluvchi:
\\ (M: n \u003d \\ frac (m) (n) \\)

Quyidagi qoidalar to'g'ri:

Frading \\ (\\ frac (n) (n) (n)) ni olish uchun jihozni teng qismlar (kasrlar) va shu qismlarni olish kerak.

Frading \\ (\\ FRAC (M) (n) \\) ni olish uchun n sonini ajratish kerak.

Umuman olganda, butun kishiga mos keladigan raqamni topish uchun, denominatorni ajratib oling va natijada bu qismni ifoda etadigan fluktma raqamiga ko'payadi.

O'z navbatida butun sonni topish uchun ushbu qismga mos keladigan raqam kerak, raqamga bo'linadi va natijani ifoda etadigan fraktsiya denomoteriga ko'payadi.

Agar summa va denominator bo'lsa, bir xil raqamga (noldan tashqari) ko'paytirilsa, kasr o'zgarmaydi:
\\ (\\ Katta \\ frac (a) (b) \u003d \\ frac (a \\ cdot n) (b \\ cdot n) \\)

Agar raqamli va Denomoter Denomoter bir xil raqamga bo'linadi va bir xil raqamga (noldan tashqari) bo'linadi, kasr o'zgarmaydi:
\\ (\\ Katta \\ frac (a) (b) \u003d \\ FRAC (A: m) (B: \u200b\u200bM) \\)
Ushbu mulk chaqiriladi fACIning asosiy mulki.

So'nggi ikkita o'zgarishlar deyiladi fACIni kamaytirish.

Agar fraktsiya bir xil denominator bilan fraktsiyalar ko'rinishida bo'lsa, unda bunday harakat deyiladi fraktsiyalarni umumiy denominatorga olib kelish.

To'g'ri va noto'g'ri kasrlar. Aralash raqamlari

Agar u butun songa bo'linsa va bir nechta bunday qismlarga bo'linsa, fraktsiya olish mumkinligini allaqachon bilasiz. Masalan, fraktsiya \\ (\\ frac (3) (4) \\) jihozning uch to'rtinchi aktsiyalarini anglatadi. Oldingi paragrafning ko'p vazifalarida oddiy kasrlar butun qismni ko'rsatish uchun ishlatilgan. Aqlli ma'noda qismi har doim ham birdan ham kamroq bo'lishi kerak, ammo, masalan, \\ (\\ (5) (5) \\ (5) \\). Bu jihozning bir qismi emasligi aniq. Shunday qilib, hisob-kitoblarga ko'proq denominatorga ega yoki unga teng bo'lgan bunday fraktsiyalar chaqirilgan noto'g'ri kasrlar. Boshqa fraktsiyalar, ya'ni, raqamli fraktsiyalar kamroq denominator, Qo'ng'iroq qilmoq oddiy fraktsiyalar.

Qanday qilib biron bir narsani bilasiz oddiy kasrTo'g'ri va noto'g'ri, raqamni denominatorga bo'lish natijasi sifatida ko'rib chiqish mumkin. Shuning uchun, matematikadan, odatiy tildan farqli o'laroq, "noto'g'ri fraktsiya" atamasi, biz biron bir noto'g'ri ish qildik, ammo faqat ushbu kasr bu raqamni mazmuni yoki unga tenglashtirish.

Agar raqam butun qismi va kasrdan iborat bo'lsa, unda bunday fraktsiyalar aralashtirilgan deb nomlanadi.

Masalan:
\\ (5: 3 \u003d Frac (2) (3) \\ (3) \\): 1 - butun qism, A \\ (\\ FRAC (2) \\) - fraktsiya qismi.

Agar fraktsion raqam bo'lsa (b) (b) \\) n tabiiy songa bo'linadi, keyin ushbu kasrni N ga ajratish uchun uning raqamiga bo'lish kerak:
\\ (\\ Katta \\ frac (a) (b) (b): n \u003d \\ frac (a: n) (b) \\)

Agar fraktsion raqam bo'lsa (b) (b) (b) \\) tabiiy songa bo'linmagan bo'lsa, bu fraktsiyani N ga ajratish uchun uning denominatorini ko'paytirish kerak:
\\ (\\ Katta \\ frac (a) (b): n \u003d \\ frac (a) (bn) \\)

E'tibor bering, ikkinchi qoida haqiqiy va hisobda N. ga bo'linadi. Shuning uchun, biz birinchi qarashda aniqlash qiyin bo'lganda, biz uni aniqlash qiyin bo'lganda, fraktsiya hisoblagich n yoki yo'q.

Kasrlar bilan harakatlar. Qo'shimcha kasrlar.

Fraksion raqamlar bilan, tabiiy sonlar kabi, arifmetik harakatlar amalga oshirilishi mumkin. Birinchi fraktsiyalarni birinchi qo'shishni ko'rib chiqing. Bir xil denomomorlar bilan fraktsiyalarni qoplash oson. Biz, masalan, miqdorini (\\ Frac (2) (7) \\ (\\ Frac (3) (7)) topamiz. Bu \\ (\\ FRAC (2) (7) + \\ FRAC (7) \u003d \\ Frac (7) (7) (7) \\) ni tushunish juda oson.

Bir xil denomomorlar bilan fraktsiyalarni bukish uchun siz ularning raqamlarini qirqishingiz kerak va denominator ham xuddi shunday qoldiriladi.

Bir xil denomomorlar bilan fraktsiyalarning ulushi quyidagicha yozilishi mumkin:
\\ (\\ Katta \\ frac (a) (C) + \\ FRAC (C) \u003d \\ Frac (A + B) (C) \\)

Agar siz turli xil denominatorlar bilan fraktsiyalarni yig'ish kerak bo'lsa, unda ular umumiy denominatorga olib kelishi kerak. Masalan:
\\ (\\ Katta \\ frac (2) (3) + \\ FRAC (5) \u003d \\ Frach 5) (3 \\ cdot 5) (4 \\ cdot 3) (5 \\ cdot 3) ) \u003d \\ FRAC (10) (15) + \\ FRAC (15) \u003d \\ FRAC (15) \u003d \\ FRAC (15) (15)

Fraktsiyalar uchun tabiiy raqamlar uchun o'tish va kombinatsiyalanadigan qo'shimchalar haqiqiydir.

Aralash fraktsiyalar qo'shilishi

Bunday yozuvlar \\ (2 \\ frac (2) (3) \\) deb nomlanadi aralash fraktsiyalar. Bunday holda, 2 raqami deb nomlanadi butun qism aralash fraktsiya va raqam \\ (\\ FRAC (2) \\) - u kasr qismi. Yozuv \\ (2 \\ frac (2) (3) \\) quyidagicha o'qiladi: "Ikki va uchdan ikki qismi".

8 raqamini 3 raqamiga ajratishda ikkita javobni olish mumkin: \\ (\\ Frac (8) (3) \\) va \\ (2 \\ Frac (2) \\). Ular bir xil fraktsiya raqamni ifodalaydilar, i.e. \\ (\\ FRAC (8) \u003d 2 \\ FRAC (2) \\)

Shunday qilib, noto'g'ri fraktsiya \\ (\\ frac (8) (3) \\) aralash fraktsiya sifatida tasvirlangan \\ (2 \\ frac (3) \\). Bunday hollarda, ular noto'g'ri fraktsiyadan deyishadi butun qism ajratilgan.

Fraktsiyalarni ajratish (kasrli raqamlar)

Ajratish fraksion raqamlarBundan tashqari, qo'shimcha amal qilish uchun aniqlangan tabiiy: bir sonni ushlab qolish uchun - bu ikkinchisiga qo'shilganda birinchi raqamni topishni anglatadi. Masalan:
\\ (\\ FRAC (8) (9) - \\ FRAC (9) \u003d \\ Frac (7) (9) (9) + \\ FRAC (9) (9) (9) \u003d \\ Frac (8) (9) \\)

Xuddi shu fraktortor bilan fraktsiyalar bo'yicha fraktsiyalar ushlab turish qoidalariga o'xshashdir:
bir xil denominatorlar bilan fraktsiyalardagi farqni topish uchun, ikkinchisining sonini topish uchun birinchi fraktsiyaning raqami va denroinator ham xuddi shunday qoldiriladi.

Harflar yordamida ushbu qoida quyidagicha yozilgan:
\\ (\\ Katta \\ frac (a) (C) - \\ FRAC (C) \u003d \\ Frac (A-B) (c) \\)

Fraktsiyalarni ko'paytirish

Fraktsiyani fraktsiyaga ko'paytirish uchun siz ularning raqamlarini ko'paytirish va raqamli mahsulotni raqamini yozib olish uchun siz ularning hisob raqamlarini va birinchi mahsulotni ko'paytirishingiz kerak va ikkinchisi - bu denominator.

Harflar yordamida fraktsiyalar etishmasligi bilan:
\\ (\\ Katta \\ frac (a) (b) \\ cdot \\ frac (d) \u003d \\ cdot c) (b \\ cdot d) \\)

Natijada hosil bo'lgan qoidadan foydalanib, tabiiy songa, aralash fraktsiyalarga ko'paytiring, shuningdek aralashtirilgan fraktsiyalarni ko'paytiring. Buning uchun, denominator 1, aralash fraktsiyaning fraktsiyasini fraktsiya shaklida yozish kerak.

Ko'plab ko'payish natijasi soddalashtirilgan bo'lishi kerak (agar bo'lsa), kasrni kamaytiradi va noto'g'ri kasrning butun qismini ta'kidlaydi.

Fraktsiyalar, shuningdek, tabiiy sonlar, o'zgaruvchan va birlashtirilgan ko'payish xususiyatlari, shuningdek ko'paytirishning qo'shimcha mulki.

Fraktsiyalar bo'limi

Frading \\ (\\ FRAC (2) (3) \\) va joylarda hisoblovchi va denominatorni o'zgartiring. Biz fraktsiya olamiz \\ (\\ frac (3) (2) \\). Ushbu kasr deb nomlanadi teskari fraktsiyalar \\ (\\ frac (2) (3) \\).

Agar biz hozir fraktsiya \\ (\\ FRAC (3) \\ (2) \\ (2) (2) (3) \\) ni olamiz. Shuning uchun \\ (\\ frac (2) (3) \\) kabi fraktsiyalar va \\ (3) \\) deb nomlanadi o'zaro orqaga.

O'zaro teskari o'zgaradi, masalan, fraktsiyalar \\ (\\ Frac (6) (5) \\ (\\ FRAC (5) (6) (18) (18) (18) \\ (\\) Frak (18) (7) \\).

Harflar yordamida o'zaro teskari fraktsiyalar quyidagicha yozilishi mumkin: \\ (\\ Frac (a) \\ (b) (a) \\)

Bu aniq o'zaro teskari fraksiyalar ishi 1. Masalan: \\ (\\ frac (2) (3) \\ CDOT \\ FRAC (2) \u003d 1 \\)

O'zaro teskari fraktsiyalardan foydalanish, ko'payishiga qisqartirilgan freymlarni taqsimlash mumkin.

Fraktsiya kasrning bo'limi:
bir fraktsiyani boshqasiga ajratish uchun siz teskari bo'linuvchi, teskari bo'linmadan ko'payishingiz kerak.

Xatlardan foydalanish, kasrlarni chiqarish:
\\ (\\ Keng \\ frac (a) (b): \\ FRAC (d) \u003d \\ Frac (b) \\ cdot \\ frac (c) \\)

Agar bo'luvchi yoki bo'luvchi bo'lsa tabiiy son yoki aralash fraktsiyaFraktsiyalar bo'linmasidan foydalanish uchun u noto'g'ri kasr shaklida oldindan taqdim etilishi kerak.