Peshqa o'xshash funktsiyasi 3 x. "Prot-ga" ma'ruzasi
Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "peshqadamga o'xshash funktsiya".
Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, sharhlaringizni, sharhlaringizni, mulohazalaringizni tark etishni unutmang! Barcha materiallar antivirus dasturi tekshiriladi.
11-sinf uchun o'quv qo'llanmalari va simulyatorlari "integral"
Parametrlar bilan algebraik vazifalar, 9-11 sinflar
"10 va 11 sinflar uchun kosmosda qurish uchun interfaol vazifalar"
Bosib chiqarish funktsiyasi. Kirish
Bolalar, siz turli xil formula va qoidalar yordamida olingan funktsiyalarni topishingiz mumkin. Bugun biz amaliyotni bekor qilish operatsiyasini o'rganamiz. Differ kontseptsiyasi ko'pincha ishlatiladi haqiqiy hayot. Sizga eslatma: Difati funktsiyaning o'zgarishi tezligi muayyan nuqta. Harakat va tezlik bilan bog'liq jarayonlar ushbu atamalarda yaxshi tavsiflangan.Keling, bu vazifani ko'rib chiqamiz: "Ob'ekt harakatining tezligi, to'g'ri chiziqda, $ V \u003d GT $ formulasi tomonidan tavsiflanadi. Harakat qonunini tiklash talab etiladi.
Qaror.
Biz yaxshi formulani bilamiz: $ s "\u003d v (t) $, bu erda harakat qonuni.
Bizning vazifamiz $ s \u003d s (t) $, uning hativalenti $ GT $ ekanligini qidirish uchun qisqartirildi. Ehtiyotkorlik bilan qarasangiz, siz (t) \u003d \\ t ^ 2) (2) $ ni taxmin qilishingiz mumkin.
Ushbu muammoni hal qilishning to'g'riligini tekshiramiz: $ s "(g * t ^ 2) (2))" \u003d \\ FRAC (2) * 2t \u003d g * t $.
Differentsiyani bilish, biz funktsiyani o'zi topdik, ya'ni ular teskari operatsiyani bajardilar.
Ammo bu lahzaga e'tibor berishga arziydi. Bizning vazifamizning echimi aniqlashni talab qiladi, agar topilgan funktsiya har qanday raqamga qo'shilsa, u o'zgarmaydi: $ s (t) \u003d \\ t ^ 2) (2) + c, C \u003d Cont $.
$ (T) \u003d (g * t ^ 2) (2)) "+ c" \u003d g * t + 0 \u003d g * t $.
Yigitlar, diqqat qiling: Bizning vazifamiz cheksiz echimlar to'plamiga ega!
Agar vazifa boshlang'ich yoki boshqa shartlar ko'rsatilmagan bo'lsa, echimga doimiy ravishda qo'shishni unutmang. Masalan, bizning vazifamizda, tanamizning harakatning boshida pozitsiyasini belgilash mumkin. Keyin doimiy tenglamaga doimiy ravishda almashtirish qiyin emas, natijada doimiy ahamiyatga ega.
Bunday operatsiyaning nomi nima?
Operatsiyaviy foydalanish integratsiya deb nomlanadi.
Berilgan hosila - integratsiya uchun funktsiyani topish.
Funktsiyaning o'zi oddiy, ya'ni, tasvir, keyin olingan funktsiya olindi.
Birinchi harfni birinchi harf yozadi $ y \u003d F "\u003d F (x) $.
Ta'rif. $ Y \u003d f (x) $ deb nomlangan peshtoqli funktsiya $ y \u003d f (x) $ $ F '\u003d F (x) $ (x) $ XX sekundi uchun qondiriladi.
Keling, har xil funktsiyalar uchun ibtidoiy ishlaylik. Uni eslatma va o'rganish sifatida bosish kerak.
Bizning stolimizda dastlabki shartlar bo'lmagan. Bu stolning o'ng tomonida har bir iborani doimiy ravishda qo'shishi kerak. Keyinchalik biz ushbu qoidani aniqlaymiz.
Birlamchi deb topish qoidalari
Keling, ibtidoiy topishda bizga yordam beradigan bir nechta qoidalarni yozaylik. Ularning barchasi farqlanish qoidalariga o'xshash.1-qoida. Birinchi shaklli miqdori ibtidoiy miqdorga teng. $ F (x + y) \u003d f (x) + F (y) $.
Misol.
Birinchisini toping $ y \u003d 4x ^ 3 + cos (x) $ ni toping.
Qaror.
Birinchi shaklli miqdori oddiy miqdorga teng, keyin taqdim etilgan har bir funktsiyalarning birlamchi qismini topish kerak.
$ F (x) \u003d 4x ^ 3 $ \u003d\u003e $ f (x) \u003d x ^ $ 4.
$ f (x) \u003d cos (x) $ \u003d\u003e $ F (x) \u003d Gunt (x) $.
Keyin dastlabki manba funktsiyasi quyidagicha bo'ladi: $ Y \u003d x ^ 4 + Sin (x) $ yoki har qanday funktsiyaning $ Y \u003d x ^ 4 + Sin (X) + C $.
2-qoida. Agar $ f (x) $ bu oddiy $ f (x) $, undan keyin $ K * F (x) (x) funktsiyaning $ K * F (x) $ hisoblanadi. (Koeffitsient funktsiyaga dosh bera oladi).
Misol.
Asosiy funktsiyalarni toping:
a) $ Y \u003d 8SIN (x) $.
b) $ Y \u003d - \\ FRAC (2) cos (x) $.
c) $ y \u003d (3x) ^ 2 + 4x + $ 5.
Qaror.
a) $ gunoh uchun birlamchi (x) $ minus $ co (x) $. Keyin ibtidoiy manbaning funktsiyasi shaklni oladi: $ y \u003d -8cos (x) $.
B) $ COS (x) uchun birlamchi - bu $ gunoh (x) $. Keyin ibtidoiy manbaning funktsiyasi shaklni oladi: $ y \u003d - \\ FRAC (2) (x) $.
C) birinchi $ X ^ 2 $ uchun birinchi marta $ \\ FRAC (x ^ 3) (3) $. X uchun birinchi $ \\ FRAC (x ^ 2) (2) $. 1 xizmat uchun birinchi Keyin ibtidoiy manbali funktsiya shaklni oladi: $ y \u003d 3 * \\ frac (x ^ 2) (2) + 5 * x \u003d x ^ 2x ^ 2 + 5x $.
3-qoida. Agar $ Y \u003d F (x) funktsiyasi uchun - $ y \u003d f (x) funktsiyasi, avval $ y \u003d f (kx + m) funktsiyasi $ y \u003d \\ FRAC funktsiyasi ( 1) (k) * f (kx + m) $.
Misol.
Asosiy funktsiyalarni toping:
a) $ Y \u003d cos (7x) $.
b) $ Y \u003d GIN (\\ frac (x) (2)) $.
c) $ y \u003d (- 2x + 3) ^ $ 3.
d) $ y \u003d e ^ (\\ frac (2x + 1) (5)) $.
Qaror.
a) $ COS (x) $ birlamchi - bu $ gunoh (x) $. Keyin birinchi funktsiya $ Y \u003d cos (7x) funktsiyasi $ y \u003d \\ FRAC (1) (7x) \u003d \\ FRAC (7x)) (7x)) (7x) (7x)) (7x) (7x)) funktsiyasi bo'ladi.
B) $ gunoh (x) uchun birlamchi (x) $ minus $ co (x) $. Keyin birinchi marta $ Y \u003d GIN (\\ FRAC (2) (2) funktsiyasi bo'ladi (1) (1) (\\ frac (x)) (2)) \u003d - 2co (x) (2)) $.
C) $ x ^ 3 $ uchun ibtidoiy javob (4) - $ 4), keyin ibtidoiy manbaning funktsiyasi $ y \u003d - \\ FRAC (2) (2) + 3)) (4) \u003d - \\ FRAC (((- 2x + 3)) ^ 4) (8) $ (8).
D) $ \\ FRAC (2X + 1) darajasiga biroz soddalashtiradi (5) \u003d \\ FRAC (5) X + \\ FRAC (5) (5).
Birlamchi eksponent funktsiyasi eksponensial funktsiyasidir. Manba funktsiyasi $ Y \u003d \\ FRAC (1) (5) (\\ FRAC (2) (5) x + \\ FRAC (5)) \u003d \\ FRAC (5)) 5) (2) * e ^ (\\ frac (2x + 1) (5)) $.
Teorema. Agar $ Y \u003d F (x) $ bu o'rtacha $ - bu $ y \u003d F (x) $ bu funktsiya - bu $ y \u003d F (x) $ juda ko'p va ularning barchasida juda ko'p emas $ y \u003d f (x) + $ bilan.
Agar yuqorida ko'rib chiqilgan barcha misollar bo'lsa, ko'pchilik juda ibratli ravishda topish kerak bo'ladi, keyin hamma joyda doimiy S. ga ergashadi.
$ Y \u003d cos (7x) $, birinchi bo'lib formada: $ y \u003d \\ frace (7x)) (7x))
$ Y \u003d (- 2x + 3) funktsiyasi uchun, birinchi bo'lib forma bor: $ y \u003d ((2x + 3)) ^ 4) (8) + C $.
Misol.
Tananing tanasini vaqti-vaqti bilan o'zgartirish uchun $ v \u003d -3sin (4t) $ (T) 1,75 koordinatsiyasini topib, $ s \u003d s (t) turini topish qonuniga ko'ra berilgan qonunga muvofiq Vaqtning dastlabki lahzasida.
Qaror.
V \u003d S '(t) $ yildan-da, biz ibtidoiy tezlikni topishimiz kerak.
$ S \u003d -3 * FRAC (1) (4) (4T)) + C \u003d \\ FRAC (4) cos (4T) + c $.
Ushbu vazifada qo'shimcha shart - vaqtning dastlabki lahzasi beriladi. Bu $ t \u003d 0 $ ni anglatadi.
$ (0) \u003d \\ FRAC (3) (4) cos (4 * 0) + C \u003d \\ FRAC (4).
$ \\ FRAC (3) (4) cos (0) + C \u003d \\ FRAC (4).
$ \\ FRAC (3) (4) * 1 + C \u003d \\ FRAC (7).
$ C \u003d 1 $.
Keyin harakat qonuni formula tomonidan tavsiflanadi: $ s \u003d \\ frac (4) cos (4T) + 1 $.
O'z-o'zini hal qilish uchun vazifalar
1. Asosiy funktsiyalarni toping:a) $ Y \u003d -10SIN (x) $.
b) $ Y \u003d \\ frace (5) (6) cos (x) $.
c) $ y \u003d (4x) ^ 5 + (3x) ^ 2 + 5x $.
2. Asosiy funktsiyalarni toping:
a) $ Y \u003d cos (\\ FRAC (3) (4) x) $.
b) $ Y \u003d Gal (8x) $.
c) $ y \u003d (((7x + 4)) ^ $ 4.
d) $ y \u003d e ^ (\\ frac (3x + 1) (6)) $.
3. Tananing tanasini vaqti-vaqti bilan o'zgartirish uchun tananing tanasini o'zgartirish to'g'risidagi qonun $ s \u003d s (t) $ 2-koordinatsiyani topish uchun $ s \u003d s \u003d s). vaqtning dastlabki lahzasi.
Funktsiya F (x. ) chaqqon oldindan shakllangan Funktsiya uchun f (x.) Agar hamma uchun bo'lsa, berilgan vaqt oralig'ida x. tenglik ushbu bo'shliqdan amalga oshiriladi
F "(x. ) = f.(x. ) .
Masalan, funktsiya F (x) \u003d x 2 f (x. ) = 2h. kabi
F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x \u003d f (x). ◄
Asosiy mulk - bu ibtidoiy
Agar a F (x) - funktsiya uchun juda mos keladi f (x) Ko'rsatilgan bo'shliqda, keyin funktsiya f (x) Bu juda ko'p ibtidoiy va bu barcha ibtidoiy tarzda yozilishi mumkin F (x) + bilanqayerda Dan - o'zboshimchalik bilan doimiydir.
Masalan. Funktsiya F (x) \u003d x 2 + 1 funktsiya uchun birlamchi f (x. ) = 2h. kabi F "(x) \u003d (x 2 + 1 )" = 2 x \u003d f (x); funktsiya F (x) \u003d x 2 - 1 funktsiya uchun birlamchi f (x. ) = 2h. kabi F "(x) \u003d (x 2 - 1)" = 2x \u003d f (x) ; funktsiya F (x) \u003d x 2 - 3 funktsiya uchun birlamchi f (x.) = 2h. kabi F "(x) \u003d (x 2 - 3)" = 2 x \u003d f (x); har qanday xususiyat F (x) \u003d x 2 + Dan qayerda Dan - o'zboshimchalik bilan doimiy ravishda va faqat bunday funktsiya funktsiya uchun ibtidoiy f (x.) = 2h. . ◄ |
Birlamchi deb hisoblash qoidalari
- Agar a F (x) - PRANGA-ga o'xshash F (x) , lekin G (x) - PRANGA-ga o'xshash g (x) T. F (x) + g (x) - PRANGA-ga o'xshash f (x) + g (x) . Boshqa so'zlar bilan aytganda, birinchi summa - riaqatalning yig'indisiga teng .
- Agar a F (x) - PRANGA-ga o'xshash F (x) , I. k K. - Doimiy, keyin k K. · F (x) - PRANGA-ga o'xshash k K. · f (x) . Boshqa so'zlar bilan aytganda, doimiy multiplikator deriativ belgisi uchun amalga oshirilishi mumkin .
- Agar a F (x) - PRANGA-ga o'xshash F (x) , I. k K., B.- Doimiy va shilimshiq 0 T. 1 / K K. · F (k K. x +.b. ) - PRANGA-ga o'xshash f.(k K. x +. b.) .
Noaniq integral
Noaniq integral funktsiyadan F (x) ifoda deb nomlangan F (x) + bilan, ya'ni ushbu xususiyatning barcha birlamchi qismi f (x) . Noma'lum integralni bildiradi:
∫ f (x) dx \u003d f (x) + bilan ,
f (x)- qo'ng'iroq qilmoq integratsiyalashgan funktsiya ;
f (x) dx - qo'ng'iroq qilmoq aniq ifoda ;
x. - qo'ng'iroq qilmoq o'zgaruvchan integratsiya ;
F (x) - ibtidoiy funktsiyalardan biri F (x) ;
Dan - o'zboshimchalik bilan doimiydir.
Masalan, ∫ 2 x dx \u003d.h. 2 + Dan , ∫ cos.x dx \u003d.gunoh. h. + Dan va boshqalar. ◄
"Integral" so'zi lotin so'zidan keladi butun son "Qayta tiklangan" degani nimani anglatadi. Noma'lum integralni hisobga olgan holda 2 x. , biz funktsiyani tiklaymiz h. 2 bu teng bo'lgan 2 x. . Funktsiyani hosilasi bilan tiklash yoki bu integratsiynizm funktsiyasida hal etilmagan integralni topish deyiladi integratsiya Bu xususiyat. Integratsiya - bu operatsiya, teskari tafovut. Integratsiya to'g'ri bajarilganligini tekshirish uchun, natijani rad etish va manba funktsiyasini olish kifoya.
Noma'lum integralning asosiy xususiyatlari
- Noma'lum integralning hosilasi - bu integratorlik funktsiyasiga teng:
- Integratsiyalashgan iboraning doimiy multipleyasi integral belgisi uchun berilishi mumkin:
- Vazifalar miqdoridan (farq) integratsiya bu funktsiyalarning integrallari miqdoriga teng (farq):
- Agar a k K., B.- Doimiy va shilimshiq 0 T.
(∫ f (x) dx )" \u003d F (x) .
∫ k K. · f (x) dx = k K. · ∫ f (x) dx .
∫ ( f (x) ± g (x ) ) dX. = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x.) ) dX. .
∫ f ( k K. x +. b.) dX. = 1 / K K. · F (k K. x +.b. ) + S. .
Boshlang'ich va noaniq integrallar jadvali
| f (x)
| F (x) + c
| ∫
f (x) dx \u003d f (x) + bilan
|
|
| I. | $$0$$ | $$ c $$. | $$ \\ int 0dx \u003d c $$ |
| II. | $$ k $$ | $$ kx + c $$ | $$ \\ int kdx \u003d kx + c $$ |
| III. | $$ x ^ n ~ (n \\ nQ-1) $$ | $$ \\ FRAC (x ^ (n + 1)) (N + 1) + C $$ | $$ \\ int X ^ ndx \u003d \\ frac (X ^ (N + 1)) (N + 1) + C $$ |
| IV. | $$ \\ fra (1) (x) $$ | $$ \\ ln | x | + C $$ | $$ \\ int \\ frac (x) \u003d \\ ln | x | + C $$ | |
| V. | $$ \\ SIN X $$ | $$ - \\ cos x + c $$ | $$ \\ int \\ Sin X ~ DX \u003d - \\ cos x + c $$ |
| VI. | $$ \\ cos x $ $ | $$ \\ Sin X + C $$ | $$ \\ int \\ cos x ~ dx \u003d 'Sin X + C $$ |
| VII. | $$ \\ FRAC (1) (\\ Cos ^ 2x) $$ | $$ \\ TEXTRM (TG) ~ x + c $$ | $$ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos ^ 2x) \u003d \\ TEXTM (TG) ~ x + C $$ |
| VIII. | $$ \\ FRAC (1) (\\ Sin ^ 2x) $$ | $$ - \\ TEXTRM (CTG) ~ x + C $$ | $$ \\ int \\ FRAC (DX) (\\ Sin ^ 2x) \u003d - \\ Textrm (CTG) ~ x + c $ $$ |
| IX. | $$ e ^ x $$ | $$ e ^ x + c $$ | $$ \\ int e ^ xdx \u003d e ^ x + c $$ |
| X. | $$ a ^ x $$ | $$ \\ FRAC (A ^ x) (\\ ln a) + c $$ | $$ \\ int A ^ xdx \u003d \\ FRAC (A ^ x) + C $$ |
| Xi. | $$ \\ FRAC (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ | $$ \\ arcsin x + c $$ | $$ \\ int \\ frac (dx) (1-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin x + c $$ |
| XII. | $$ \\ FRAC (1) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) $$ | $$ \\ arcsin \\ frac (x) (a) + C $$ | $$ \\ int \\ FRAC (DX) (A ^ 2-X ^ 2)) \u003d \\ arcsin \\ Frac (A) + C $ $$ |
| XIII. | $$ \\ FRAC (1) (1 + x ^ 2) $$ | $$ \\ TEXTRM (ARCTG) ~ x + C $$ | $$ \\ int \\ frac (dx) (1 + x ^ 2) \u003d \\ Textrm (Arctg) ~ x + C $$ |
| XIV. | $$ \\ FRAC (1) (a ^ 2 + x ^ 2) $$ | $$ \\ FRAC (1) (a) \\ TEXTM (ARCTG) ~ \\ Frac (A) + C $$ | $$ \\ int \\ FRAC (A ^ 2 + x ^ 2) \u003d \\ FRAC (A) \\ TEXTM (A) ~ Fracg (a) + C $$ |
| XV | $$ \\ FRAC (1) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) $$ | $$ \\ ln | x + ^ 2 + x ^ 2) | + C $$ | $$ \\ int \\ frac (dx) (A ^ 2 + x ^ 2)) \u003d \\ ln | ^ ^ 2) | / 2 + x ^ 2) | + C $$ |
| XVI. | $$ \\ FRAC (1) (x ^ 2-a ^ 2) ~ (a \\ nq0) $$ | $$ \\ FRAC (1) (2a) \\ ln \\ boshlang'ich (x-a) (x-a) (x + a) \\ end (VMTRIX) + C $$ | $$ \\ int \\ FRAC (x ^ 2-a ^ 2) \u003d \\ FRAC (2a) \\ ln \\ boshlang'ich (XA) \\ Frace \\ Frace \\ Frace (X + A) \\ End (VMTRIX) C $$. |
| XVII. | $$ \\ TEXTRM (TG) ~ x $$ | $$ - \\ ln | \\ cos x | + C $$ | $$ \\ int \\ tekstm (tg) ~ x ~ dx \u003d \\ ln | \\ cos x | + C $$ | + C $$ |
| XVIII. | $$ \\ TEXTRM (CTG) ~ x $$ | $$ \\ ln | Sin X | + C $$ | $$ \\ int \\ TEXTRM (CTG) ~ x ~ dx \u003d \\ ln | Sin x | + C $$ |
| XIX. | $$ \\ FRAC (1) (\\ Sin x) $$ | $$ \\ ln \\ boshlang'ich (VMATRRIX) \\ TEXTRM (TGEM) ~ \\ Frac (2) \\ tugash (VMATRIX) + C $$ | $$ \\ int \\ frac (dx) \u003d \\ ln \\ boshlang'ich (VMATRIXS) \\ TEXTRM (X) ~ \\ Fracs (2) \\ C $ 5. C $$ |
| XX. | $$ \\ FRAC (1) (\\ Cos x) $$ | $$ \\ ln \\ boshlang'ich (VMATTTRM (TEXTRM (x) chap (2) (\\ pi) (\\ pi) \\ tugaydi (4) \\ the (VMATRRIX) + C $$ | $$ \\ int \\ frac (dx) (\\ ln \\ boshlang'ich (vmcrix) \\ tekstm (\\ pi) (\\ pi) (4) \\ o'ng ) \\ Oxir (VMATRIX) + C $$ |
| Ushbu jadvalda keltirilgan birinchi va noaniq integratsiyalar odatiy deb nomlanadi. jadvallar - ibtidoiy
va jadval integrallari
. |
|||
Muayyan integral
Intervalda bo'lsin [a.; B.] Uzluksiz funktsiya belgilangan y \u003d f (x) keyin a dan b gacha o'zgargan Vazifalar f (x) O'sish - bu ibtidoiy F (x) bu funktsiya, ya'ni
$$ \\ Int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d f (x) | (_a ^ b) \u003d ~~ f (b). $$
Raqamlar a.va b. mos ravishda chaqiriladi nizina va yuqori integratsiya chegaralari.
Muayyan integralni hisoblashning asosiy qoidalari
1. \\ (\\ int_ (a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\);
2. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) d (x) dx \u003d \\ int_ (a) f (x) dx \\);
3. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) dx \u003d k \\ inst (a) ^ (b) f (x) dx, \\) qayerda k K. - Doimiy;
4. \\ (\\ int_ (a) ^ (x) ± g (x)) dx \u003d \\ int_ (b) f (x) dx \\ \\ int_ (b) ^ (b) ^ (b) g (x) dx \\);
5. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) dx \u003d \\ int \u003d \\ int \u003d \\ int (x) dx + \\ int (x) dx \\) ;
6. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) F (x) dx \u003d 2 \\ int_ (a) f (x) dx \\) F (x) - hatto funktsiya;
7. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\), bu erda f (x) - g'alati xususiyati.
Sharh . Barcha holatlarda, chegaralar integratsiyalash chegaralari bo'lgan raqamli oraliqlarda kiritilishi mumkin bo'lgan funktsiyalar deb taxmin qilinadi.
Muayyan integral va jismoniy mazmunli
| Geometrik ma'no ajralmas ajralmas | Jismoniy ma'no
ajralmas ajralmas |
 |  |
Maydoni S. Curvilineare Trapzium (Fotosuratlar oraliq jadvali bilan cheklangan [a.; B.] Vazifalar f (x) , o'q Ho'kiz. Va to'g'ri x \u003d a. , x \u003d B. ) formulaga qarab hisoblanadi $$ s \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx. $$ | Yo'l s.Tezlik o'zgarishi bo'yicha to'g'ri o'zgarib, moddiy nuqtai nazarni qonun bilan to'ldiradi v (t)
, vaqt o'tishi bilan a ;
B.], keyin ushbu funktsiyalarning grafikasi va to'g'ridan-to'g'ri chizig'i bilan cheklangan raqam maydoni x \u003d a.
, x \u003d B.
formulasi bilan hisoblangan $$ s \u003d \\ int_ (a) ^ (b) (x) (x)) dx. $$ |
 | Masalan. Rasmning maydonini hisoblang, cheklangan chiziqlar y \u003d x. 2 va y \u003d.2 - X. . Men ushbu funktsiyalarning sxematik ravishda grafikasini namoyish qilaman va siz maydonni topishni istagan raqamni ta'kidlayman. Yo'lni echish orqali integratsiya chegarasini topish: x. 2 = 2 - X. ; x. 2 + x -2 = 0 ; x. 1 = -2, X. 2 = 1 . $$ s \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) ((2-x) -x ^ 2) Dx \u003d $$ |
$$ \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) (2-Xx ^ 2) dx \u003d \\ chap (x ^ 2) (2) - \\ FRAC (x ^ 3) (2) \\ O'ngda) \\ Bigm | (_ (- 1) ^ (~ 1)) \u003d 4 \\ FRAC (1) (2). $$. ◄ |
|
Aylanish hajmi
 | Agar tanasi o'q yaqinidagi aylanish natijasida olinsa Ho'kiz. vaqt oralig'ida doimiy va salbiy bo'lmagan diapazon bilan cheklangan Curvilineareare Trapezium [a.; B.] vazifalar y \u003d f (x) Va to'g'ri x \u003d a.va x \u003d B. Keyin u chaqiriladi aylanish organi . Aylanish hajmi formulaga qarab hisoblanadi $$ v \u003d \\ pi \\ int_ (a) ^ (b) f ^ 2 (x) dx. $$ Agar aylanish organi ushbu rasmni aylantirish natijasida olingan bo'lsa, yuqoridan va pastdan pastroq funktsiyalarning grafikasi bilan cheklangan y \u003d f (x) va y \u003d g (x) Shunga ko'ra, keyin $$ v \u003d \\ pi \\ int_ (a) ^ (b) (x) -g ^ 2 (x)) dx. $$ |
 | Masalan. Radiusi bilan konus hajmini hisoblang r.
va bo'yi h.
. Konusni o'q bilan birlashishi uchun to'rtburchaklar koordinata tizimiga joylashtiring Ho'kiz.
Va poydevorning markazi koordinatlarning boshida joylashgan edi. Shakllantirishning burilishi Ab Konusni aniqlaydi. Tenglama uchun Ab $$ \\ FRAC (X) (H) + \\ FRAC (R) \u003d 1, $$ $$ y \u003d R- \\ FRAC (H) $$ |
| va konusning hajmi uchun bizda bor $$ v \u003d \\ pi \\ int_ (h) (H) (h) (h) (h) (h) (h)) ^ 2dx \u003d 2 \\ int_ (h) ^ (h) (1- frac (1- frac) x) (h)) ^ 2dx \u003d \\ pi r ^ 2h \\ cdot \\ frast \\ frace ((1- \\ frace \\ frast (3) | (\\ pi r ^) 2h \\ chap (0- frac (1) (3) \\ o'ng) \u003d \\ frac (\\ pi r ^ 2h) (3). $$ ◄ |
|
Peshtoqli funktsiya f (x) Intervalda (a; b) Ushbu xususiyat deyiladi F (x)bu tenglik har qanday uchun amalga oshiriladi h. Belgilangan bo'shliqdan.
Agar doimiyning derivasiativligini hisobga olsa Dan nolga teng, keyin tenglik to'g'ri. Shunday qilib, funktsiya f (x) Uning ko'pi juda ko'p F (x) + co'zboshimchalik bilan doimiydir DanBundan tashqari, bu oddiylik bir-biridan o'zboshimchalik bilan doimiy ravishda farq qiladi.
Aniqlanmagan integralni aniqlash.
Barcha ko'plab eng ko'p funktsiyalar f (x) ushbu funktsiyaning noaniq integral deb nomlanadi va ko'rsatilgan 
.
Ifoda deyiladi aniq ifoda, lekin f (x) – integratsiyalashgan funktsiya. Intsion - bu differentsial funktsiya f (x).
Noma'lum funktsiyani aniqlaydigan differentsial deb topish harakati deyiladi noaniq integratsiya, chunki integratsiya natijasi bitta funktsiya emas F (x)va uning aksariyati ibtidoiy F (x) + c.
Aniqlanmagan integralning geometrik ma'nosi. Birlamchi D (x) grafi integral egri deb ataladi. X0U Koordinatalar tizimida ushbu funktsiyaning barcha boshlang'ich grafikasi 0u o'qi bo'ylab parallel siljishning doimiy C va ikkinchisidan olingan boshqalarning qiymatiga qarab egrilar oilasini anglatadi. Masalan, yuqorida muhokama qilingan, bizda:
J 2 x ^ x \u003d x2 + C.
Klasvitriya oilasi (x + c) geometrik jihatdan parabola kombinatsiyasi tomonidan izohlanadi.
Agar oiladan biri birinchi bo'lib, odatdagidek amalga oshiriladigan qo'shimcha shartlar, odatda, dastlabki shartlar aniqlanadi, odatda, dastlabki shartlar aniqlanadi: argument x \u003d x0, funktsiya qiymati mavjud d (x0) \u003d y0.
Misol. X0 \u003d 1-da 3 qiymatni olish uchun eng muhim funktsiyalardan birini topish talab qilinadi.
Istalgan ibtidoiy: d (x) \u003d x2 + 2.
Qaror. ^ 2x ^ x \u003d x2 + c; 12 + C \u003d 3; C \u003d 2.
2. noaniq integral xususiyatlarning asosiy xususiyatlari
1. Noma'lum integralning hosilasi qo'llanmasi funktsiyasiga teng:
2. Noma'lum integralning farqlanishi jonli ifodaga teng:
3. Ba'zi funktsiyaning differentsial ajralmasining ajralmas ajralmas qismi ushbu funktsiyaning o'zi va o'zboshimchalik bilan doimiy doimiydir:
4. Integral belgisi uchun doimiy multiplikator qilinishi mumkin:
5. Sumning ajralmas qismi integratsiyalarning miqdoriga teng (farq):
6. Mulk 4 va 5 xususiyatlarning kombinatsiyasi:
7. Noma'lum integratsiyaning sub'ekti:
Agar a 
T.
8. Mulk:
Agar a 
T.
Aslida, ushbu mulk alohida almashtirish usulidan foydalanadigan maxsus integratsiya ishidir, bu batafsilroq tavsiflangan bo'limda keltirilgan.
Misolni ko'rib chiqing:
3. Integratsiya usuli Bu integratsiyalashgan funktsiyaning (yoki iboralar) integratsiyalashgan o'zgarishlar va noma'lum integralning xususiyatlaridan foydalanish, deyiladi, deyiladi zudlik bilan integratsiya. Ushbu integral ko'pincha ishlatilganda, quyidagi farqlanishlar ko'pincha ishlatiladi (operatsiya) differentsial belgisini saqlash»):
Umuman, f '(U) du \u003d d (f (u)). Bu (formulalar integratsiyalarni hisoblashda ko'pincha ishlatiladi.
Integral toping
Qaror. Biz bu integral jadvalni bir nechta jadvalga berish uchun biz integral xususiyatlardan foydalanamiz.
4. Almashtirish orqali integratsiya.
Usulning mohiyati shundan iboratki, biz yangi o'zgaruvchini taqdim etamiz, natijada biz ushbu o'zgaruvchining manbasini ifoda etamiz, natijada biz stol (yoki yanada sodda) integral turga etib boramiz.
Ko'pincha, almashtirish usuli trigonometrik funktsiyalar va funktsiyalarni radikallar bilan birlashtirishga yordam beradi.
Misol.
Noma'lum integralni toping 
.
Qaror.
Biz yangi o'zgaruvchini taqdim etamiz. Ifoda etmoq h. orqali z.:
Qabul qilingan iboralarning o'rnini dastlabki integralga almashtiramiz: 
Bizda ibtidoiy narsadan 
.
U manba o'zgaruvchisiga qaytish qoladi h.:
Javob:
Ibtidoiy ta'rifi.
Fonitiv funktsiyasi F (x) oraliqda (A; B) ushbu bo'sh joydan har qanday x uchun amalga oshiriladigan bunday funktsiya deb ataladi.
Agar siz doimiy c leyti nolga teng ekanligini hisobga olsangiz, unda tenglik to'g'ri 
. Shunday qilib, F (x) funktsiyasi o'zboshimchalik bilan doimiy C (x) + C funktsiyasi, va bu birinchi shaklda bir-biridan o'zboshimchalik bilan doimiy ravishda farq qiladi.
Aniqlanmagan integralni aniqlash.
F (x) ning barcha asosiy funktsiyalari ushbu funktsiyaning noaniq integraliga aylanadi va ko'rsatilgan 
.
Ifoda deyiladi aniq ifodava f (x) - integratsiyalashgan funktsiya. Intrum-differentsial funktsiyadir. F (x).
Noma'lum funktsiyani aniqlaydigan differentsial deb topish harakati deyiladi noaniq Bir integratsiya, chunki integratsiya natijasi F (x), ammo uning ibtidoiy f (x) + c to'plami.
Differentning xususiyatlariga asoslanib, siz shakllantirishingiz va isbotlashingiz mumkin noaniq integral xususiyatlari (Payg'ambar shaklidagi xususiyatlar).
Vaqtinchalik narsalarning birinchi va ikkinchi xususiyatlariga teng farqliligi tushuntirishga beriladi.
Uchinchi va to'rtinchi xususiyatlarni isbotlash uchun, tenglikning o'ng tomonlaridan lotinlarni topish kifoya: 
Ushbu derivativlar birinchi mulkning fazilati bo'yicha isbotlangan inhiberiter funktsiyalariga teng. U oxirgi o'tish davrida qo'llaniladi.
Shunday qilib, integratsiya vazifasi - bu teskari tabaqalanish muammosi va bu vazifalar o'rtasida juda yaqin munosabatlar mavjud:
- birinchi mulk integratsiyani tekshirish imkonini beradi. Integratsiyaning to'g'riligini tekshirish uchun olingan natijaning loterativini hisoblash kifoya qiladi. Agar farqlanish natijasida olingan funktsiya - bu integratmand va funktsiyaga teng bo'ladi, bu integratsiya to'g'ri amalga oshirilishini anglatadi;
- noma'lum integralning ikkinchi mulki xususiy funktsiyasini taniqli differentsiyada topishga imkon beradi. Ushbu mulkda noaniq integratsiyalarni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash asoslanadi.
Misolni ko'rib chiqaylik.
Misol.
X \u003d 1da birlashtirilgan ibtidoiy funktsiyani toping.
Qaror.
Bilamiz differentsial hisoblash, nima 
(Asosiy elementar funktsiyalarning stol loterlariga qarash kifoya). Shunday qilib, 
. Ikkinchi mulkka ko'ra 
. Ya'ni, bizda juda ko'p narsa bor. X \u003d 1-da biz qiymat olamiz. Bu shart bo'yicha ushbu qiymat bir-biriga teng bo'lishi kerak, shuning uchun c \u003d 1. Istalgan ibtidoiy ko'rinadi.
Misol.
Noma'lum integralni toping 
Va natijada farqlashni tekshiring.
Qaror.
Trigonometriyaning ikki burchakning sinchali formulasiga ko'ra 
, shunday qilib 
Avvalroq, turli xil formulalar va qoidalarga rahbarlik qilgan ushbu funktsiyada, biz uni topdik. Lifasi ko'plab dasturlarga ega: bu harakatlanish tezligi (yoki umuman har qanday jarayon oqishi tezligi); Burchak koeffitsienti grafikasi grafikasi; Differentdan foydalanib, siz Monotoniya va ekstremi bilan ishlash funktsiyasini o'rganishingiz mumkin; Bu optimallashtirish vazifalarini hal qilishga yordam beradi.
Ammo taniqli qonunga tezlikni aniqlash vazifasi bilan bir qatorda, teskari muammo, shuningdek, ma'lum tezlikda harakatlanish qonunini tiklash vazifasi topilgan. Ushbu vazifalardan birini ko'rib chiqaylik.
1-misol. Moddiy nuqta to'g'ri, uning harakatlanishi tezligi V \u003d GT formulasi tomonidan beriladi. Harakat qonunini toping.
Qaror. S \u003d s (t) kerakli harakat qonuni bo'lsin. Bu S "\u003d V (t) ma'lum bo'ladi. Shunday qilib, muammoni hal qilish uchun S \u003d S (t) funktsiyasini tanlash kerak, uning hosilasi gtni taxmin qilish qiyin emas. Buni taxmin qilish qiyin emas. Buni taxmin qilish qiyin emas \\ (s (t) \u003d \\ frace (gt ^ 2) (2) \\). Aslida
\\ (S »(s) \u003d \\ chap (\\ FRAC (GT ^ 2) (2) (g) (2) (G) (2) CDOT 2T \u003d GT \\)
Javob: \\ (s (t) \u003d \\ FRAC (GT ^ 2) (2) \\)
Shuni ta'kidlash kerakki, misol to'g'ri hal qilingan, ammo to'liq emas. Bizda (s (t) \u003d \\ Frac (GT ^ 2) (2) \\) oldik. Aslida, vazifa juda ko'p sonli echimlarga ega: formaning har qanday funktsiyasi (gt ^ 2) (2) + c \\), bu o'zboshimchalik bilan bog'liq bo'lgan qonun bo'lib xizmat qilishi mumkin Harakat, chunki \\ (\\ chap (gt ^ 2) (2) + c \\ o'ng) "\u003d gt \\)
Masalan, ma'lum bir vaziyatni aniqlash vazifasi uchun biz dastlabki vaziyatni belgilashimiz kerak: Masalan, T \u003d 0. Agar, ayting, agar s 0, keyin Tenglik s (t) \u003d (gt 2) / 2 + C Biz olamiz: S (0) \u003d 0 + S, i.e. c 0. Endi harakat qonuni noyob deb ta'riflanadi: S (T) \u003d (GT 2) / 2 + S 0.
Matematikada o'zaro teskari operatsiyalar turli nomlar ajratilgan, maxsus belgilar ixtirolari, masalan: kvadrat (x 2) va qazib olish va qazib olish kvadrat ildiz (\\ (\\ sqrt (x))), Sinus (Sin X) va Arcsin X) va boshqalar, deya qo'yilgan ushbu funktsiyani aniqlash jarayoni farqlash, va teskari foydalanish, i.e., ushbu hosilaga muvofiq funktsiyalarni topish jarayoni - integratsiya.
"Liferativ" atamasi "pasayish" iborasi "pasayish" ni oqlaydi: Y \u003d F (x) "\u003d F" (x) da yangi funktsiyani keltirib chiqaradi. Y \u003d F (x) funktsiyasi "ota-ona", tabiiyki, uni "ota-ona" yoki "ishlab chiqaruvchi" deb atashmaydi, deyishadi "\u003d F". "(x), asosiy rasm yoki ibtidoiy.
Ta'rif. Y \u003d F (x) funktsiyasi X (x) tenglik f "funktsiyasida y \u003d F (x) funktsiyasi uchun ibtidoiy deb ataladi (x) \u003d f (x)
Amaliyotda x vaqt oralig'i odatda ko'rsatilmagan, ammo (tabiiy maydonni aniqlash zonasi sifatida).
Biz misollar keltiramiz.
1) y \u003d x 2 funktsiyasi y \u003d 2x funktsiyasidir, bu har qanday X tengligi (x 2) "\u003d 2x
2) y \u003d x 3 funktsiyasi y \u003d 3x 2 funktsiyasi uchun ibtidoiy javobdir, chunki X har qanday i tenglik (x 3) "\u003d 3x 2
3) y \u003d Gal (x) funktsiyasi y \u003d cos (x) funktsiyasi uchun ibtidoiy, chunki har qanday X tenglik uchun (GUS (x)) "\u003d X)
Birlamchi, shuningdek, derivasilar, balki ba'zi qoidalardan foydalaniladi. Ular hosilalarni hisoblashning tegishli qoidalari bilan bevosita bog'liq.
Biz bilamizki, miqdorning hosilasi derivativlar miqdoriga teng. Ushbu qoida boshlang'ich topilmaning tegishli qoidasini yaratadi.
1-qoida. Birinchi shaklli miqdori ibtidoiy miqdorga teng.
Doimiy mulozimlar lotining belgisi uchun doimiy multiplikatsiyani qabul qilishini bilamiz. Ushbu qoida boshlang'ich topilmaning tegishli qoidasini yaratadi.
2-qoida. Agar F (x) bo'lsa, F (x), keyin kf (x) kf (x) uchun ibratli.
1 teorema 1. Agar y \u003d f (x) funktsiyaning y \u003d F (x) funktsiyasi uchun ibtidoiy bo'lsa, unda funktsiya \\ (k) f (k) f (k kx + m) funktsiya uchun amal qiladi \\ (y \u003d \\ FAC (1) (k) f (kx + m) \\)
Teorema 2. Agar y \u003d f (x) funktsiyaning y \u003d f (x) funktsiyasida ibtidoiy bo'lsa, unda y \u003d f (x) funktsiyani cheksiz va ularning barchasi y \u003d F (x) shaklida juda ko'p mos keladi + C..
Integratsiya usullari
O'zgaruvchini almashtirish usuli (almashtirish usulini)
O'zgartirishni birlashtirish usuli yangi integratsiya o'zgaruvchisini (ya'ni almashtirishni) joriy etishdir. Shu bilan birga, belgilangan integral, yangi integral, bu stol yoki unga qisqartirilgan. Umumiy usullar O'zgartirishlarni tanlash mavjud emas. O'zgartirishni to'g'ri aniqlash qobiliyati amaliyot orqali sotib olinadi.
Keling, integral \\ (\\ matnstyle \\ int f (x) dx \\ ni hisoblaymiz. Biz almashtiruvchi \\ (x \u003d \\ varpri (t) \\) ni u erda doimiy hosilasi bilan shug'ullanadigan funktsiya bo'lgan.
Keyin \\ (dx \u003d \\ \\ \\ \\ CDOT DT \\) va integratsiyaning integratsiyasining integratsion formulasining mulki bo'lmagan holda, biz almashtirishning integratsion formulasini olamiz:
\\ (\\ int f (x) dx \u003d \\ int (t) \\ CDOT \\ Varpri (t) dt \\)
Shaklning iboralarini birlashtirish \\ (\\ matnstyle \\ sth \\ n x x \\ cos ^ m x dx \\)
Agar m toq bo'lsa, m\u003e 0, almashtirishning gunohini olish uchun qulayroq bo'ladi X \u003d t.
Agar n toq, n\u003e 0 bo'lsa, COS X \u003d t-ni almashtirish uchun qulayroq.
Agar n va m o'qilsa, almashtirish tg x \u003d t qilish qulayroq.
Qismlarga integratsiya
Qismlarga integratsiya - integratsiya uchun quyidagi formulani qo'llash:
\\ (\\ Matnstyle \\ sthal \\ cdot DV \u003d u \\ cdot v - \\ int ddot du \\)
yoki:
\\ (\\ matnstam \\ sthot v "\\ cdot dx \u003d u \\ cdot v - \\ intDot v - \\ cdot dx \\)