Kvadrat tenglamaning ildizlarining formulalari. Jarayon holatlari, ko'p tarmoqli ildizlar ko'rib chiqiladi. Faktorizatsiya kvadrat uch oyoq. Geometrik talqin. Ko'plab ko'paytirgichlarning ildizlarini va parchalanishiga misollar.

Asosiy formulalar

Kvadrat tenglamasini ko'rib chiqing:
(1) .
Ildizlar maydoni tenglama (1) formulalar tomonidan belgilanadi:
; .
Ushbu formulalar quyidagicha birlashtirilishi mumkin:
.
Kvadrat tenglamaning ildizlari ma'lum bo'lganida, ikkinchi darajali polinomni omillar ishi sifatida taqdim etilishi mumkin (ko'paytirgichlarda parchalanadi):
.

Keyingi, biz bunga ishonamiz - haqiqiy raqamlar.
O'ylab ko'ring kamsituvchi kvadrat tenglamasi:
.
Agar kamsituvchi ijobiy bo'lsa, unda kvadrat tenglamasi (1) ikki xil haqiqiy ildizga ega:
; .
Keyin kvadratning parchalanishi uch baravar pasayadi, omillar tarkibiga ega:
.
Agar kamsituvchi nol bo'lsa, unda kvadrat tenglama (1) ikkita (teng) haqiqiy ildizga ega:
.
Faktorizatsiya:
.
Agar kamsituvchi salbiy bo'lsa, unda kvadrat tenglamasi (1) ikkita har tomonlama konjulangan ildiz mavjud:
;
.
Bu erda - xayoliy birlik;
Va - ildizlarning haqiqiy va xayoliy qismlari:
; .
Keyin

.

Grafik izoh

Agar qurilsa jadval funktsiyasi
,
bu parabola, keyin grafikning kesish nuqtasi eksas bilan tenglamaning ildizlari bo'ladi
.
Qachonki, jadvallar abkissa o'qini (o'q) ikki ochkodan kesib o'tadi.
Qachonki, grafik bo'shliqni bir nuqtada o'zgartiradi.
Qachon, jadval abkissa o'qini kesib o'tmaydi.

Quyida bunday grafikalarga misollar keltirilgan.

Kvadrat tenglama bilan bog'liq foydali formulalar

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalar chiqish

Biz o'zgarishlarni amalga oshiramiz va formulalarni (F.1) va (F.3) amal qilamiz:




,
Qayerda
; .

Shunday qilib, biz ikkinchi darajali shaklda ko'payish uchun formula oldik:
.
Bu erdan tenglamani ko'rish mumkin

ijro etilgan
va.
Ya'ni, kvadrat tenglamaning ildizlari ildizlarga ega
.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini aniqlashning misollari

1-misol.

(1.1) .

Qaror

.
Bizning tenglamaimiz bilan taqqoslaganda (1.1), biz koeffitsientlarning qadriyatlarini topamiz:
.
Biz kamsituvchi deb bilamiz:
.
Isitma ijobiy bo'lsa, tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega:
;
;
.

Bu yerdan ko'paytirgichlar bo'yicha kvadrat uchlikning parchalanishini olamiz:

.

Jadval funktsiyasi y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 Abskissa o'qini ikki ochkodan kesib o'tadi.

Biz funktsiyalar jadvaliga quramiz
.
Ushbu funktsiya jadvali Parabola. U abkissa o'qini (o'qi) ikkita nuqtada joylashtiradi:
va.
Ushbu fikrlar boshlang'ich tenglamaning ildizlari (1.1).

Javob

;
;
.

2-misol.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(2.1) .

Qaror

Biz kvadrat tenglamasini umumiy shaklda yozamiz:
.
Boshlang'ich tenglama bilan taqqoslaganda (2.1), biz koeffitsientlarning qadriyatlarini topamiz:
.
Biz kamsituvchi deb bilamiz:
.
Kamsituvchi noldanganligi sababli, tenglama ikki ko'p (teng) ildizga ega:
;
.

Keyin ko'paytirgichlar bo'yicha uchta qarorning parchalanishi shakli:
.

Funktsiyasi g \u003d x 2 - 4 X + 4 Bir nuqtada abkissa o'qini so'raydi.

Biz funktsiyalar jadvaliga quramiz
.
Ushbu funktsiya jadvali Parabola. Bu bo'sh joyni (o'q) bir nuqtaga tegishli:
.
Bu nuqta boshlang'ich tenglamaning ildizi (2.1). Bu ildiz ko'paytirgichning kengayishiga ikki marta kiradi:
,
Bunday ildiz bir nechta deb ataladi. Ya'ni, ikkita teng ildiz borligiga ishoniladi:
.

Javob

;
.

3-misol.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(3.1) .

Qaror

Biz kvadrat tenglamasini umumiy shaklda yozamiz:
(1) .
Boshlang'ich tenglamani qayta yozamiz (3.1):
.
C (1) ni taqqoslang, biz koeffitsientlarning qadriyatlarini topamiz:
.
Biz kamsituvchi deb bilamiz:
.
Kamsituvchi salbiy. Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Siz murakkab ildizlarni topishingiz mumkin:
;
;
.

Keyin


.

Funktsiya grafik abkissa o'qini kesib o'tmaydi. Haqiqiy ildizlar yo'q.

Biz funktsiyalar jadvaliga quramiz
.
Ushbu funktsiya jadvali Parabola. Bu abkissa o'qi (o'qi) ni kesib o'tmaydi. Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Javob

Haqiqiy ildizlar yo'q. Towing Integratsiya qilinadi:
;
;
.

Ko'proq oddiy usul. Buning uchun zılçetkani olib tashlang. Siz olasiz: z (AZ + B) \u003d 0. Murakkabliklar yozilishi mumkin: Z \u003d 0 va Az + B \u003d 0, ikkalasi ham nolga teng bo'lishi mumkin. AZ + B \u003d 0, biz ikkinchisini boshqa belgi bilan o'ngga joylashtiramiz. Bu yerdan biz z1 \u003d 0 va z2 \u003d -ni olamiz. Bu asl nusxalarning ildizlari.

Agar turdagi AZ² + C \u003d 0 turining to'liq tenglamasi bo'lsa, bu holda bepul a'zoning pul o'tkazmasining soddaligi o'ng taraf tenglamalar. Shuningdek, belgini bir vaqtning o'zida o'zgartiring. Bu rekord azo \u003d -c. Express Z² \u003d -C / a. Ildizni oling va ikkita echimni yozing - kvadrat ildizning ijobiy va salbiy qiymati.

Eslatma

Korpusda kasr koeffitsientlar mavjud bo'lganda, kasrlardan xalos bo'lish uchun mos keladigan multiplikatorga teng hajmga ko'paytiring.

Kvadrat tenglamalarini qanday yechish haqida bilim, maktab o'quvchilari va talabalar uchun zarur bo'lgan, ba'zan bu katta hayotda yordam berishi mumkin. Bir nechta ma'lum bir echimlar usullari mavjud.

Kvadrat tenglamalarini echim

Shaklning kvadrat tenglamasi A * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0. X koeffitsienti kerakli o'zgaruvchi, A, B, C koeffitsientlari. "+" Belgisi "" belgisida farq qilishi mumkinligini unutmang.

Ushbu tenglamani hal qilish uchun siz Veta teoremasini ishlatishingiz yoki kamsituvchi topishingiz kerak. Eng keng tarqalgan usul - kamsituvchilarni topishdir, chunki A, B, C-dan Vieta teoremadan foydalanish mumkin emas.

Kirlik (D) ni topish uchun (d), formulasini yozish kerak D \u003d B ^ 2 - 4 * a. D qiymati noldan katta yoki teng bo'lishi mumkin. Agar D noldan kattaroq yoki kamroq bo'lsa, ildiz bo'lsa, ildiz ikkitadan bo'ladi, shunda faqat bitta ildiz, shundaki, bizda ikkita ekvivalent ildizi bor deb ayta olamiz. A, b, c formulada taniqli koeffitsientlarni yuboring va qiymatni hisoblang.

Siz kamsituvchi topganingizdan so'ng, X-dan foydalanish shakllarini topish uchun: X (1) \u003d (d)) / 2 * a; X (2) \u003d (d) (d)) / 2 * a, u erda SQRT funktsiyali funktsiyani ma'lum miqdordagi kvadrat ildizni qazib olishni anglatadi. Ushbu iboralarni hisobga olgan holda, siz tenglamaning ikkita ildizini topasiz, shundan so'ng tenglama hal qilinadi.

Agar D noldan kam bo'lsa, u hali ham ildizga ega. Maktabda ushbu bo'lim deyarli o'rganilmaydi. Universitet o'quvchilari nima paydo bo'lishini bilishlari kerak salbiy raqam ildiz ostida. Bu xayoldan, ya'ni -1 doimo ildiz ostida bir xil ijobiy songa ko'paytirilgan ildiz ostidadir. Masalan, agar D \u003d SQRT (-20), konversiyadan so'ng, D \u003d SQRT (20) * Men olinadi. Ushbu o'zgarishlardan so'ng, yuqorida aytilganidek, tenglama echimi bir xil deb qisqartirildi.

Vieta teoremasi X (1) va X (2) qiymatlarini tanlashda yotadi. Ikkita bir xil tenglama ishlatiladi: X (1) + X (2) \u003d -b; x (1) * x (2) \u003d s. Va hokazo muhim nuqta B koeffitsientining oldidagi belgidir, esda tutingki, ushbu belgi tenglamada turganga qarama-qarshi. Bir qarashda, X (1) va x va x (2) ni ko'rib chiqish juda oson deb o'ylaydi, lekin siz hal qilishda siz raqamlarni olib ketishi kerakligini hisobga olasiz.

Kvadrat tenglamalarni echish elementlari

Matematika qoidalariga ko'ra, ba'zi birlari ko'paytirgichlarda parchalanishi mumkin: (A + x (1)) * (2)) * (2)) \u003d 0, agar u formulada formulalar bilan aylantirish mumkin bo'lsa matematikadan keyin javobni jasorat bilan qayd eting. X (1) va x (2) qavslardagi keyingi ish joylariga teng bo'ladi, ammo qarama-qarshi belgi bilan.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari haqida ham unutmang. Agar shunday bo'lsa, sizda ba'zi shartlar bo'lishi mumkin, agar shunday bo'lsa, uning barcha koeffitsientlari nolga teng. Agar x ^ 2 yoki x oldin hech narsa bo'lmasa, a va b koeffitsientlari 1 ga teng.

5x (x - 4) \u003d 0

5 x \u003d 0 yoki X - 4 \u003d 0

x \u003d ± √ 25/4

Birinchi mamlakat tenglamalarini hal qilishni o'rganib, men boshqalar bilan, xususan, kvadrat deb nomlangan ikkinchi darajali tenglamalar bilan ishlashni xohlayman.

Kvadrat tenglamalari - bu tipdagi tenglamalar. Vazir x ni, raqamlar esa n nolga teng bo'ladi.

Agar bitta yoki boshqa koeffitsient (C yoki b) kvadrat tenglamada nol bo'lsa, unda ushbu tenglama to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaga tegishli bo'ladi.

Agar talabalar hali ham birinchi darajali tenglamalarni qanday hal qilishni bilishgan bo'lsa, to'liq kvadrat tenglamani qanday hal qilish kerak? To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarini ko'rib chiqing turli xil turlar va ularni hal qilishning oddiy usullari.

a) Agar C koeffitsienti 0 ga teng bo'lsa, B koeffitsi nolga teng bo'lmaydi, keyin ah, + bx + 0 \u003d 0 shakl tenglamasiga kamayadi.

Bunday tenglamani hal qilish uchun siz uni ko'paytirgichlarga ajratish uchun uni ko'paytirgichlarga ajratish uchun ajratish uchun siz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasini hal qilish uchun formulani botiradi.

Masalan, 5x ² - 20x \u003d 0. An'anaviy matematik operatsiyani amalga oshirayotganda omillarning chap qismini belgilab bo'lmaydi: qavslar uchun umumiy omillar bitimi

5x (x - 4) \u003d 0

Biz asarlar nolga teng bo'lgan holatidan foydalanamiz.

5 x \u003d 0 yoki X - 4 \u003d 0

Javob: Birinchi ildiz - 0; Ikkinchi ildiz 4.

b) agar b \u003d 0 bo'lsa, erkin atama nolga teng emas, keyin tenglama tenglama, bu tenglamalarni ikki yo'nalishda hal qiladi: a) ko'paytirgichlarning chap tomonida polinomlial tenglamani buzish; b) arifmetik kvadrat ildizining xususiyatlaridan foydalanish. Bunday tenglama usullardan biri bilan hal qilinadi, masalan:

x \u003d ± √ 25/4

x \u003d ± 5/2. Javob bo'ladi: birinchi ildiz 5/2; Ikkinchi ildiz teng bo'ladi - 5/2.

c) agar b 0 va C ga teng bo'lsa, u 0, + 0 + 0 \u003d 0 shakl tenglamasiga qisqartirildi. Ushbu tenglamada x 0 bo'ladi.

Ko'rinib turibdiki, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari ikki dan oshmasligi kerak.

Tenglamalardan foydalanish bizning hayotimizda keng tarqalgan. Ular ko'plab hisob-kitoblarda, tuzilmalar va hatto sportda qo'llaniladi. Antik davrda ishlatiladigan shaxsning tenglamalari va shu vaqtdan beri ularning arizasi oshmoqda. Kirsinitant har qanday kvadrat tenglamalarni quyidagi shaklga ega bo'lgan umumiy formuladan foydalangan holda hal qilishga imkon beradi:

Dirliqlar formulasi ko'payish darajasiga bog'liq. Yuqorida keltirilgan formula quyidagi turdagi kvadrat tenglamasini echish uchun mosdir:

Kamsituvchi quyidagi xususiyatlarga ega, uni ma'lum qilish kerak:

* "D" 0 tadan iborat bo'lsa, bir nechta ildiz (teng ildiz);

* "D" - bu polinomning ildizlariga nisbatan nosimmetrik polmetriya va shuning uchun uning koeffitsientlarining ko'payganligi; Bundan tashqari, ushbu polinom koeffitsientlari ildiz otgan tomonlarning kengayishidan qat'i nazar, to'liqdir.

Aytaylik, bizga quyidagi shaklning kvadrat tenglamasi berilgan:

1 tenglama

Bizda quyidagilar bor:

BAFTIONA BILAN ILOVA 2 ildizga ega. Biz ularni aniqlaymiz:

Tenglamani kamsituvchi onlayn hal qiluvchi orqali hal qila olamanmi?

Siz HTTPS: // Sayt veb-saytimizdagi tenglamani hal qilishingiz mumkin. Bepul onlayn hal qiluvchi har qanday murakkablikning bir necha soniya ichida onlayn tenglamani hal qiladi. Siz qilishingiz kerak bo'lgan narsa faqat sizning ma'lumotingizni Solverda kiriting. Siz shuningdek video-yo'riqnomani tomosha qilishingiz va veb-saytimizdagi tenglamani qanday hal qilishni o'rganishingiz mumkin. Agar sizda biron bir savol bo'lsa, siz ulardan Vkontakte guruhimizda http://vk.com/poketteATer-dan so'rashingiz mumkin. Guruhimizga qo'shiling, biz har doim sizga yordam berishdan xursandmiz.

Umid qilamanki, ushbu maqolani o'rganaman, siz to'liq kvadrat tenglamaning ildizlarini topishni o'rganasiz.

Kamsituvchi yordamida faqat to'liq kvadrat tenglamalari tugatiladi, to'liq emas kvadrat tenglamalari "To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarining qarori" maqolasida boshqa usullardan foydalaning.

Qaysi kvadrat tenglamalar to'liq deb nomlanadi? u 1-chi tenglamalar Ah 2 + b x + c \u003d 0Koeffitsientlar A, B va nolga teng emas. Shunday qilib, to'liq kvadrat tenglamasini hal qilish uchun kamsituvchi D. ni hisoblash kerak.

D \u003d B 2 - 4AS.

Biz qanday ahamiyatga ega ekanligiga qarab biz javobni yozamiz.

Agar kamsituvchi salbiy raqam bo'lsa (D< 0),то корней нет.

Agar kamsituvchi nol bo'lsa, x \u003d (-b) / 2a. Kamsituvchi ijobiy raqam (D\u003e 0) bo'lsa,

keyin x 1 \u003d (-b - √) / 2a, va x 2 \u003d (-b + √) / 2a.

Masalan. Tenglashtiring x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 · 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Javob: 2

2 tengni hal qiling. x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 · 2 \u003d - 23

Javob: Hech qanday ildiz emas.

2 tengni hal qiling. x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · · · (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 · 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √) / (2 · 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Javob: - 3.5; biri.

Shunday qilib, keling, to'liq kvadrat tenglamalarini haqiqiy sxema bo'yicha 1-rasmda tasavvur qilaylik.

Ushbu formulalarga ko'ra, siz har qanday to'liq kvadrat tenglamani hal qilishingiz mumkin. Siz faqat diqqat bilan kuzatib borishingiz kerak tenglama polinom bilan qayd etildi standart ko'rinish

lekin x 2 + Bx + c, Aks holda siz xato qilishingiz mumkin. Masalan, X + 3 + 2x 2 \u003d 0 tenglama yozuvida, u xato bilan hal qilinishi mumkin

a \u003d 1, b \u003d 3 va c \u003d 2. Keyin

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 1 \u003d 1, so'ngra tenglama ikkita ildizga ega. Va bu noto'g'ri. (Yuqoridagi 2-misolning echimi).

Shuning uchun, agar tenglama standart turlarning ko'payishiga imkon bermasa, dastlabki kvadrat tenglamani standart turlarning ko'payishi bilan qayd etilsa (birinchi navbatda eng katta ko'rsatkich bilan olinishi kerak) lekin x 2 keyin kichikroq – bx.va keyin bepul dik dan.

Ushbu kvadrat tenglamani va hatto kvadrat tenglama bilan bir necha kvadrat tenglamani, ikkinchi muddatli boshqa formulalardan foydalanish mumkin. Keling, ushbu formulalar bilan tanishamiz. Agar ikkinchi muddatda to'liq kvadrat tenglama bo'lsa, koeffitsient hatto (b \u003d 2k), keyin 2-rasmdagi formulalar bo'yicha tenglama hal qilinishi mumkin.

To'liq kvadrat tenglama, agar koeffitsient bo'lsa, deyiladi x 2 bittaga teng va tenglama shaklni oladi x 2 + px + q \u003d 0. Bunday tenglamani yechish yoki barcha koeffitsientlarni koeffitsient tenglamaga bo'lish orqali olish mumkin lekinturish x 2 .

3-rasmda yuqorida ko'rsatilgan maydonni hal qilish sxemasi ko'rsatilgan
tenglamalar. Ushbu moddada ko'rib chiqilgan formulalarni qo'llash misolida e'tibor bering.

Misol. Tenglashtiring

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Ushbu tenglamani 1-rasmda ko'rsatilgan formulalar yordamida hal qilaylik.

D \u003d 6 2 - 4 · 36) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√d \u003d √108 \u003d √ (36 · 3) \u003d 6√

x 1 \u003d (-6 - 6√) / (2 · 3) \u003d (6 (-1- √ (3)))) / 6 \u003d -1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√) / (2 · 3) \u003d (-1+ (-1+ (-1+ (3)))) / 6 \u003d -1 + √3

Javob: -1 - √3; -1 + √3

Ushbu tenglamada X-da kokarofi, ya'ni, b \u003d 6 yoki b \u003d 2k, bu erda k \u003d 3.. Diagrammada ko'rsatilgan formulalar bo'yicha tenglamani hal qilishga harakat qilamiz 1 \u003d 3 2 - 3 · 3 (- 6) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 · 3) \u003d 3 -√

x 1 \u003d (-3 - 3√) / 3 \u003d (-1 (-1 - √ (3)))) / 3 \u003d √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ bu

x 2 \u003d (-3 + 3-raqam) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3)))) / 3 \u003d 1 + √3

Javob: -1 - √3; -1 + √3. Ushbu kvadrat tenglamadagi barcha koeffitsientlar 3 ga bo'linganligini va bo'linma-bo'linma teng bo'lgan kvadrat tenglamani aniqlangan kvadrat teng bo'linadi va 2 \u003d 0 ni ma'lum bir kvadrat uchun hal qilamiz
tenglamalar 3-rasm.

D 2 \u003d 2 2 - 4 · 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (d 2) \u003d √12 \u003d √ (4 · 3) \u003d 2 -√3

x 1 \u003d (-2 - 2√) / 2 \u003d (-1 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d √ - √ - √ - √ - √ - √ - 1

x 2 \u003d (-2 + 2-3) / 2 \u003d (-1+ √ (3)))) / 2 \u003d 1 + √3

Javob: -1 - √3; -1 + √3.

Ko'rinib turibdiki, ushbu tenglamani turli xil formulalarda hal qilishda biz xuddi shu javobni oldik. Shuning uchun, 1-rasmda ko'rsatilgan formulalarni yaxshi biladi, har doim har qanday to'liq kvadrat tenglamani hal qilishingiz mumkin.

blog.secet, asl manbaga nisbatan materialning to'liq yoki qisman nusxasini nusxalash kerak.