Ang video tutorial na "Equation ng isang tangent sa graph ng isang function" ay nagpapakita materyal na pang-edukasyon upang makabisado ang paksa. Sa panahon ng aralin sa video, ang teoretikal na materyal na kinakailangan upang mabuo ang konsepto ng equation ng tangent sa graph ng isang function sa isang naibigay na punto ay ipinakita, isang algorithm para sa paghahanap ng naturang tangent, mga halimbawa ng paglutas ng mga problema gamit ang pinag-aralan na teoretikal na materyal ay inilarawan.

Gumagamit ang video tutorial ng mga diskarte na nagpapahusay sa kalinawan ng materyal. Sa pagtatanghal, ang mga larawan, mga diagram ay ipinasok, ang mga mahahalagang komento sa boses ay ibinigay, inilapat ang animation, pag-highlight na may kulay at iba pang mga tool.

Ang video tutorial ay nagsisimula sa paglalahad ng paksa ng aralin at ang larawan ng tangent sa graph ng ilang function na y = f (x) sa puntong M (a; f (a)). Alam na ang slope ng tangent line na iginuhit sa graph sa isang naibigay na punto ay katumbas ng derivative ng function f΄ (a) sa puntong ito. Gayundin, mula sa kurso ng algebra, ang equation ng tuwid na linya na y = kx + m ay kilala. Ang solusyon sa problema ng paghahanap ng equation ng isang tangent sa isang punto ay ipinakita sa eskematiko, na nabawasan sa paghahanap ng mga coefficient k, m. Alam ang mga coordinate ng punto na kabilang sa graph ng function, mahahanap natin ang m sa pamamagitan ng pagpapalit ng halaga ng mga coordinate sa tangent equation f (a) = ka + m. Mula dito makikita natin ang m = f (a) -ka. Kaya, alam ang halaga ng derivative sa isang naibigay na punto at ang mga coordinate ng punto, maaari nating katawanin ang equation ng tangent sa ganitong paraan y = f (a) + f΄ (a) (x-a).

Ang sumusunod ay isang halimbawa ng pagguhit ng isang tangent equation kasunod ng scheme. Ang isang function ay binibigyan ng y = x 2, x = -2. Sa pagkuha ng = -2, makikita natin ang halaga ng function sa puntong ito f (a) = f (-2) = (- 2) 2 = 4. Tukuyin ang derivative ng function f΄ (x) = 2x. Sa puntong ito, ang derivative ay f΄ (a) = f΄ (-2) = 2 · (-2) = - 4. Upang mabuo ang equation, ang lahat ng mga coefficient ay matatagpuan a = -2, f (a) = 4, f΄ (a) = - 4, samakatuwid ang equation ng tangent y = 4 + (- 4) (x + 2) . Pinapasimple ang equation, nakukuha natin ang y = -4-4x.

Ang sumusunod na halimbawa ay nagmumungkahi na isulat ang equation ng tangent sa pinanggalingan sa graph ng function na y = tgx. Sa puntong ito a = 0, f (0) = 0, f΄ (x) = 1 / cos 2 x, f΄ (0) = 1. Kaya ang tangent equation ay mukhang y = x.

Bilang isang pangkalahatan, ang proseso ng pagguhit ng equation ng tangent sa graph ng isang function sa isang tiyak na punto ay pormal sa anyo ng isang algorithm na binubuo ng 4 na hakbang:

• Ang pagtatalaga ng abscissa ng punto ng tangency ay ipinakilala;
• F (a) ay kinakalkula;
• Ang F (x) ay tinutukoy at ang f΄ (a) ay kinakalkula. Ang nahanap na mga halaga a, f (a), f΄ (a) ay pinapalitan sa formula ng tangent equation y = f (a) + f΄ (a) (x-a).

Isinasaalang-alang ng Halimbawa 1 ang pagguhit ng equation ng tangent sa graph ng function na y = 1 / x sa puntong x = 1. Upang malutas ang problema, gumagamit kami ng isang algorithm. Para sa isang ibinigay na function sa punto a = 1, ang halaga ng function f (a) = - 1. Ang derivative ng function f΄ (x) = 1 / x 2. Sa puntong a = 1, ang derivative f΄ (a) = f΄ (1) = 1. Gamit ang data na nakuha, ang isang equation ay iginuhit para sa tangent y = -1 + (x-1), o y = x-2.

Sa halimbawa 2, kailangan mong hanapin ang equation ng tangent sa graph ng function na y = x 3 + 3x 2 -2x-2. Ang pangunahing kondisyon ay ang parallelism ng tangent at ang tuwid na linya y = -2x + 1. Una, nakita natin ang slope ng tangent, katumbas ng slope ng tuwid na linya y = -2x + 1. Dahil f΄ (a) = - 2 para sa isang naibigay na linya, kung gayon k = -2 para sa nais na padaplis. Hanapin ang derivative ng function (x 3 + 3x 2 -2x-2) ΄ = 3x 2 + 6x-2. Alam na f΄ (a) = - 2, makikita natin ang mga coordinate ng punto 3a 2 + 6a-2 = -2. Paglutas ng equation, makakakuha tayo ng 1 = 0, at 2 = -2. Gamit ang nakitang mga coordinate, mahahanap mo ang tangent equation gamit ang isang kilalang algorithm. Hanapin ang halaga ng function sa mga puntos na f (a 1) = - 2, f (a 2) = - 18. Ang halaga ng derivative sa punto f΄ (a 1) = f΄ (a 2) = - 2. Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga sa tangent equation, nakuha namin para sa unang punto a 1 = 0 y = -2x-2, at para sa pangalawang punto a 2 = -2 ang tangent equation y = -2x-22.

Ang halimbawa 3 ay naglalarawan ng compilation ng equation ng tangent line upang iguhit ito sa punto (0; 3) sa graph ng function na y = √x. Ang solusyon ay ginawa ayon sa isang kilalang algorithm. Ang tangent point ay may mga coordinate x = a, kung saan a> 0. Ang halaga ng function sa punto f (a) = √x. Ang derivative ng function na f΄ (x) = 1 / 2√x, samakatuwid sa puntong ito f΄ (a) = 1 / 2√a. Ang pagpapalit ng lahat ng nakuhang halaga sa tangent equation, nakukuha natin ang y = √a + (x-a) / 2√a. Pagbabago ng equation, nakukuha natin ang y = x / 2√a + √a / 2. Alam na ang padaplis ay dumadaan sa punto (0; 3), nakita natin ang halaga ng a. Maghanap ng isang mula sa 3 = √a / 2. Kaya √a = 6, a = 36. Hanapin ang equation ng tangent line y = x / 12 + 3. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na isinasaalang-alang at ang itinayong nais na tangent line.

Ang mga mag-aaral ay pinapaalalahanan ng mga tinatayang equalities Δy = ≈f΄ (x) Δx at f (x + Δx) -f (x) ≈f΄ (x) Δx. Sa pagkuha ng x = a, x + Δx = x, Δx = x-a, nakukuha natin ang f (x) - f (a) ≈f΄ (a) (x-a), kaya f (x) ≈f (a) + f΄ ( a) (xa).

Sa halimbawa 4 ito ay kinakailangan upang makahanap ng isang tinatayang halaga ng expression 2.003 6. Dahil kinakailangan upang mahanap ang halaga ng function f (x) = x 6 sa puntong x = 2.003, maaari nating gamitin ang kilalang formula, kumukuha ng f (x) = x 6, a = 2, f (a ) = f (2) = 64, f ΄ (x) = 6x 5. Ang derivative sa puntong f΄ (2) = 192. Samakatuwid, 2.003 6 ≈65-192 0.003. Ang pagkalkula ng expression, makakakuha tayo ng 2.003 6 ≈64.576.

Ang video lesson na "Equation of a tangent to a graph of a function" ay inirerekomenda para sa paggamit sa isang tradisyonal na aralin sa matematika sa paaralan. Para sa isang online na guro, makakatulong ang video na ipaliwanag ang paksa nang mas malinaw. Ang video ay maaaring irekomenda para sa sariling pagsusuri ng mga mag-aaral kung kinakailangan upang mapalalim ang kanilang pag-unawa sa paksa.

TEXT CODE:

Alam natin na kung ang puntong M (a; f (a)) (em na may mga coordinate a at ff mula sa a) ay kabilang sa graph ng function na y = f (x) at kung sa puntong ito ang isang tangent ay maaaring iguguhit sa graph ng function na hindi patayo sa axis abscissa, kung gayon ang slope ng tangent ay katumbas ng f "(a) (eff prime mula sa a).

Hayaang maibigay ang isang function na y = f (x) at isang punto M (a; f (a)), at alam din na mayroong f´ (a). Iguhit ang equation ng tangent line sa graph isang ibinigay na function v set point... Ang equation na ito, tulad ng equation ng anumang tuwid na linya na hindi parallel sa ordinate axis, ay may anyo na y = kx + m (ang laro ay katumbas ng ka x plus em), kaya ang gawain ay upang mahanap ang mga halaga ng mga coefficient. k at m. (Ka at em)

Slope k = f "(a). Upang kalkulahin ang halaga ng m, ginagamit namin ang katotohanan na ang hinahanap na linya ay dumadaan sa puntong M (a; f (a)). Nangangahulugan ito na kung papalitan natin ang mga coordinate ng puntong M sa equation ng tuwid na linya, nakukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay : f (a) = ka + m, kung saan makikita natin na m = f (a) - ka.

Ito ay nananatiling palitan ang mga nahanap na halaga ng mga coefficients k at m sa equation ng tuwid na linya:

y = kx + (f (a) -ka);

y = f (a) + k (x-a);

y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( ang halaga ay katumbas ng eff mula sa isang plus eff ang stroke mula sa isang pinarami ng x minus a).

Nakuha namin ang equation ng tangent sa graph ng function na y = f (x) sa puntong x = a.

Kung, sabihin nating, y = x 2 at x = -2 (i.e. a = -2), kung gayon f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´ (x) = 2x, kaya f "(a) = f´ (-2) = 2 · (-2) = -4. ef stroke mula sa a ay katumbas ng minus apat)

Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga a = -2, f (a) = 4, f "(a) = -4 sa equation, makuha natin ang: y = 4 + (- 4) (x + 2), ibig sabihin, y = -4x -4.

(y ay katumbas ng minus apat x minus apat)

Buuin natin ang equation ng tangent sa graph ng function na y = tgx (y ay katumbas ng tangent ng x) sa pinanggalingan. Mayroon kaming: a = 0, f (0) = tg0 = 0;

f "(x) =, kaya f" (0) = l. Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga a = 0, f (a) = 0, f´ (a) = 1 sa equation, nakukuha natin ang: y = x.

I-generalize natin ang ating mga hakbang para sa paghahanap ng equation ng tangent sa graph ng function sa point x gamit ang algorithm.

ALGORITHM PARA SA PAGBUO NG EQUATION NG TANGENTIAL SA GRAPH FUNCTION у = f (x):

1) Italaga ang abscissa ng punto ng tangency na may titik a.

2) Kalkulahin ang f (a).

3) Hanapin ang f´ (x) at kalkulahin ang f´ (a).

4) Palitan ang mga nahanap na numerong a, f (a), f´ (a) sa formula y= f(a)+ f"(a) (x- a).

Halimbawa 1. Iguhit ang equation ng tangent sa graph ng function na y = - in

punto x = 1.

Solusyon. Gagamitin namin ang algorithm, isinasaalang-alang iyon sa halimbawang ito

2) f (a) = f (1) = - = -1

3) f´ (x) =; f´ (a) = f´ (1) = = 1.

4) Palitan ang nahanap na tatlong numero: a = 1, f (a) = -1, f "(a) = 1 sa formula. Nakukuha namin ang: y = -1+ (x-1), y = x-2 .

Sagot: y = x-2.

Halimbawa 2. Given a function y = x 3 + 3x 2 -2x-2... Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function na y = f (x), parallel sa tuwid na linya y = -2x +1.

Gamit ang algorithm para sa pagbuo ng equation ng tangent, isasaalang-alang namin na sa halimbawang ito f (x) = x 3 + 3x 2 -2x-2, ngunit ang abscissa ng tangent point ay hindi ipinahiwatig dito.

Simulan natin ang pag-iisip ng ganito. Ang nais na padaplis ay dapat na kahanay sa tuwid na linya y = -2x + 1. At ang mga parallel na linya ay may pantay na slope. Nangangahulugan ito na ang slope ng tangent ay katumbas ng slope ng ibinigay na tuwid na linya: k cas. = -2. Hok cas. = f "(a). Kaya, mahahanap natin ang halaga ng a mula sa equation f ´ (a) = -2.

Hanapin ang derivative ng function y =f(x):

f"(x) = (x 3 + 3x 2 -2x-2) ´ = 3x 2 + 6x-2;f"(a) = 3a 2 + 6a-2.

Mula sa equation f "(a) = -2, i.e. 3a 2 + 6a-2= -2 nakita namin ang isang 1 = 0, isang 2 = -2. Nangangahulugan ito na mayroong dalawang tangent na nakakatugon sa kondisyon ng problema: isa sa isang punto na may abscissa 0, ang isa sa isang punto na may abscissa -2.

Ngayon ay maaari mong sundin ang algorithm.

1) a 1 = 0, at 2 = -2.

2) f (a 1) = 0 3 + 3 0 2 -2 ∙ 0-2 = -2; f (a 2) = (-2) 3 + 3 (-2) 2 -2 (-2) -2 = 6;

3) f "(a 1) = f" (a 2) = -2.

4) Ang pagpapalit ng mga halaga a 1 = 0, f (a 1) = -2, f "(a 1) = -2 sa formula, nakukuha namin:

y = -2-2 (x-0), y = -2x-2.

Ang pagpapalit ng mga halaga a 2 = -2, f (a 2) = 6, f "(a 2) = -2 sa formula, nakukuha namin:

y = 6-2 (x + 2), y = -2x + 2.

Sagot: y = -2x-2, y = -2x + 2.

Halimbawa 3. Mula sa punto (0; 3) gumuhit ng tangent sa graph ng function na y =. Solusyon. Gamitin natin ang algorithm para sa pagbuo ng tangent equation, na isinasaalang-alang na sa halimbawang ito f (x) =. Tandaan na dito, tulad ng sa halimbawa 2, ang abscissa ng touching point ay hindi tahasang ipinahiwatig. Gayunpaman, kumikilos kami ayon sa algorithm.

1) Hayaang x = a ang abscissa ng punto ng tangency; malinaw na ang a> 0.

3) f´ (x) = () ´ =; f´ (a) =.

4) Pagpapalit ng mga halaga a, f (a) =, f "(a) = sa formula

y = f (a) + f "(a) (x-a), nakukuha namin ang:

Sa pamamagitan ng hypothesis, ang padaplis ay dumadaan sa punto (0; 3). Ang pagpapalit ng mga halaga ng x = 0, y = 3 sa equation, nakukuha namin ang: 3 =, at higit pa = 6, a = 36.

Tulad ng nakikita mo, sa halimbawang ito, sa ika-apat na hakbang lamang ng algorithm, nagawa naming mahanap ang abscissa ng tangency point. Ang pagpapalit ng halaga a = 36 sa equation, makuha natin ang: y = + 3

Sa fig. Ang 1 ay nagpapakita ng isang geometric na paglalarawan ng itinuturing na halimbawa: isang graph ng function na y = ay naka-plot, isang tuwid na linya ay iginuhit y = +3.

Sagot: y = +3.

Alam namin na para sa function na y = f (x) na mayroong derivative sa puntong x, ang tinatayang pagkakapantay-pantay ay wasto: Δyf' (x) Δx

o, nang mas detalyado, ang f (x + Δx) -f (x) f´ (x) Δx (eff mula sa x plus delta x minus eff mula sa x ay tinatayang katumbas ng eff mula x hanggang delta x).

Para sa kaginhawaan ng karagdagang pangangatwiran, binago namin ang notasyon:

sa halip na x kami ay magsusulat a,

sa halip na x + Δx, isinusulat namin ang x

sa halip na Δx isusulat namin ang x-a.

Pagkatapos ang tinatayang pagkakapantay-pantay na nakasulat sa itaas ay kukuha ng anyo:

f (x) -f (a) f´ (a) (x-a)

f (x) f (a) + f´ (a) (x-a). (ang ef mula sa x ay tinatayang katumbas ng ef mula sa isang plus ef prime mula sa a, na pinarami ng pagkakaiba sa pagitan ng x at a).

Halimbawa 4. Hanapin ang tinatayang halaga ng isang numerical expression 2.003 6.

Solusyon. Pinag-uusapan natin ang paghahanap ng halaga ng function na y = x 6 sa puntong x = 2.003. Gamitin natin ang formula f (x) f (a) + f´ (a) (xa), na isinasaalang-alang na sa halimbawang ito f (x) = x 6, a = 2, f (a) = f (2) = 2 6 = 64; x = 2.003, f "(x) = 6x 5 at samakatuwid f" (a) = f "(2) = 6 · 2 5 = 192.

Bilang resulta, nakukuha namin ang:

2.003 6 64 + 192 0.003, ibig sabihin. 2.003 6 = 64.576.

Kung gagamit tayo ng calculator, makukuha natin ang:

2,003 6 = 64,5781643...

Tulad ng nakikita mo, ang katumpakan ng pagtatantya ay lubos na katanggap-tanggap.

Hayaang maibigay ang isang function na f, na sa isang punto x 0 ay may hangganang derivative f (x 0). Pagkatapos ang tuwid na linya na dumadaan sa punto (x 0; f (x 0)), na may slope f '(x 0), ay tinatawag na tangent line.

At paano kung ang derivative sa puntong x 0 ay wala? Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. Ang tangent sa graph ay wala rin. Ang isang klasikong halimbawa ay ang function na y = | x | sa punto (0; 0).
2. Ang padaplis ay nagiging patayo. Ito ay totoo, halimbawa, para sa function na y = arcsin x sa punto (1; π / 2).

Tangent equation

Ang anumang di-vertical na tuwid na linya ay ibinibigay ng isang equation ng form na y = kx + b, kung saan ang k ay ang slope. Ang tangent line ay walang pagbubukod, at upang mabuo ang equation nito sa ilang punto x 0, sapat na upang malaman ang halaga ng function at ang derivative sa puntong ito.

Kaya, hayaang maibigay ang isang function na y = f (x), na mayroong derivative na y = f ’(x) sa isang segment. Pagkatapos sa anumang punto x 0 ∈ (a; b) isang tangent ay maaaring iguguhit sa graph ng function na ito, na ibinibigay ng equation:

y = f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Dito ang f '(x 0) ay ang halaga ng derivative sa puntong x 0, at ang f (x 0) ay ang halaga ng mismong function.

Gawain. Ang isang function na y = x 3 ay ibinigay. Isulat ang equation ng tangent line sa graph ng function na ito sa puntong x 0 = 2.

Tangent equation: y = f ’(x 0) · (x - x 0) + f (x 0). Ang punto x 0 = 2 ay ibinibigay sa amin, ngunit ang mga halaga f (x 0) at f ’(x 0) ay kailangang kalkulahin.

Una, hanapin natin ang halaga ng function. Madali ang lahat dito: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Ngayon ay nakita natin ang hinango: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Palitan sa hinalaw na x 0 = 2: f ’(x 0) = f’ (2) = 3 · 2 2 = 12;
Kabuuang nakukuha natin: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Ito ang tangent equation.

Gawain. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function na f (x) = 2sin x + 5 sa puntong x 0 = π / 2.

Sa pagkakataong ito, hindi namin ilalarawan nang detalyado ang bawat aksyon - ipahiwatig lamang namin ang mga pangunahing hakbang. Meron kami:

f (x 0) = f (π / 2) = 2sin (π / 2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f '(x 0) = f' (π / 2) = 2cos (π / 2) = 0;

Tangent equation:

y = 0 (x - π / 2) + 7 ⇒ y = 7

Sa huling kaso, ang tuwid na linya ay naging pahalang, dahil ang slope nito ay k = 0. Walang masama doon - napadpad lang kami sa isang matinding punto.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang partikular na tao o makipag-ugnayan sa kanya.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nag-iwan ka ng kahilingan sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Kinokolekta namin Personal na impormasyon nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at mag-ulat natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang notification at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin tulad ng pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pag-aaral upang mapagbuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, kumpetisyon, o katulad na kaganapang pang-promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hukuman, sa mga paglilitis sa korte, at / o batay sa mga pampublikong pagtatanong o mga kahilingan mula sa mga awtoridad ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - upang ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mahalagang kadahilanan sa lipunan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na ikatlong partido - ang legal na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at pang-aabuso, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, dinadala namin ang mga patakaran ng pagiging kumpidensyal at seguridad sa aming mga empleyado, at mahigpit na sinusubaybayan ang pagpapatupad ng mga hakbang sa pagiging kumpidensyal.

Halimbawa 1. Ang function ay ibinigay f(x) = 3x 2 + 4x- 5. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function f(x) sa punto ng graph na may abscissa x 0 = 1.

Solusyon. Derivative ng isang function f(x) ay umiiral para sa anumang x R ... Hanapin natin ito:

= (3x 2 + 4x- 5) ′ = 6 x + 4.

Pagkatapos f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Ang tangent equation ay:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Sagot. y = 10x – 8.

Halimbawa 2. Ang function ay ibinigay f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function f(x) parallel sa tuwid na linya y = 2x – 11.

Solusyon. Derivative ng isang function f(x) ay umiiral para sa anumang x R ... Hanapin natin ito:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5) ′ = 3 x 2 – 6x + 2.

Dahil ang padaplis sa graph ng function f(x) sa puntong may abscissa x 0 parallel sa tuwid na linya y = 2x- 11, kung gayon ang slope nito ay 2, ibig sabihin. ( x 0) = 2. Hanapin natin ang abscissa na ito mula sa kondisyon na 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay may bisa lamang para sa x 0 = 0 at para sa x 0 = 2. Dahil sa parehong mga kaso f(x 0) = 5, pagkatapos ay ang tuwid na linya y = 2x + b hinawakan ang graph ng function alinman sa punto (0; 5), o sa punto (2; 5).

Sa unang kaso, ang numerical equality ay totoo 5 = 2 × 0 + b, saan b= 5, at sa pangalawang kaso, ang numerical equality ay totoo 5 = 2 × 2 + b, saan b = 1.

Kaya mayroong dalawang tangents y = 2x+ 5 at y = 2x+ 1 sa function graph f(x) parallel sa tuwid na linya y = 2x – 11.

Sagot. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Halimbawa 3. Ang function ay ibinigay f(x) = x 2 – 6x+ 7. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function f(x) na dumadaan sa punto A (2; –5).

Solusyon. kasi f(2) –5, pagkatapos ay ituro A ay hindi kabilang sa graph ng function f(x). Hayaan x Ang 0 ay ang abscissa ng touch point.

Derivative ng isang function f(x) ay umiiral para sa anumang x R ... Hanapin natin ito:

= (x 2 – 6x+ 1) ′ = 2 x – 6.

Pagkatapos f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Ang tangent equation ay:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Since the point A nabibilang sa padaplis na linya, pagkatapos ay ang numerical equality

–5 = (2x 0 - 6) × 2– x+ 7,

saan x 0 = 0 o x 0 = 4. Nangangahulugan ito na sa pamamagitan ng punto A maaari kang gumuhit ng dalawang tangent sa graph ng function f(x).

Kung x 0 = 0, pagkatapos ay ang tangent equation ay may anyo y = –6x+ 7. Kung x 0 = 4, pagkatapos ay ang tangent equation ay may anyo y = 2x – 9.

Sagot. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Halimbawa 4. Mga binigay na function f(x) = x 2 – 2x+ 2 at g(x) = –x 2 - 3. Isulat natin ang equation ng common tangent line sa mga graph ng mga function na ito.

Solusyon. Hayaan x 1 - abscissa ng punto ng tangency ng nais na tuwid na linya na may graph ng function f(x), a x 2 - abscissa ng punto ng tangency ng parehong tuwid na linya na may graph ng function g(x).

Derivative ng isang function f(x) ay umiiral para sa anumang x R ... Hanapin natin ito:

= (x 2 – 2x+ 2) ′ = 2 x – 2.

Pagkatapos f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Ang tangent equation ay:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Hanapin ang derivative ng function g(x):

= (–x 2 - 3) ′ = –2 x.

Hinahanap ng math program na ito ang equation ng tangent sa graph ng function na \ (f (x) \) sa isang point na tinukoy ng user \ (a \).

Hindi lamang ipinapakita ng programa ang equation ng tangent line, ngunit ipinapakita din ang proseso ng paglutas ng problema.

Ang online na calculator na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school pangkalahatang edukasyon na mga paaralan bilang paghahanda sa gumaganang kontrol at pagsusulit, kapag sinusuri ang kaalaman bago ang pagsusulit, ang mga magulang upang kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang gawin nang mabilis hangga't maaari takdang aralin sa math o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagtuturo at/o pagtuturo sa iyong mga nakababatang kapatid, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga problemang nilulutas.

Kung kailangan mong hanapin ang derivative ng isang function, para dito mayroon kaming Find derivative task.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng mga function, inirerekumenda namin na pamilyar ka sa mga ito.

Ipasok ang expression ng function \ (f (x) \) at numero \ (a \)

f (x) =
a =

Hanapin ang equation ng tangent line

Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Marahil ay pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Naka-disable ang JavaScript sa iyong browser.
Para lumitaw ang solusyon, kailangan mong paganahin ang JavaScript.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.

kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Maghintay, mangyaring sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka at kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Medyo teorya.

Slope ng isang tuwid na linya

Alalahanin na ang graph ng linear function \ (y = kx + b \) ay isang tuwid na linya. Ang numerong \ (k = tg \ alpha \) ay tinatawag slope ng tuwid na linya, at ang anggulo \ (\ alpha \) ay ang anggulo sa pagitan ng linyang ito at ng Ox axis

Kung \ (k> 0 \), kung gayon \ (0 Kung \ (k Equation ng tangent sa graph ng function

Kung ang puntong M (a; f (a)) ay kabilang sa graph ng function na y = f (x) at kung sa puntong ito ang isang tangent ay maaaring iguhit sa graph ng function, hindi patayo sa abscissa axis, kung gayon mula sa geometric na kahulugan ng derivative sumusunod na ang slope ng tangent ay f "(a). Susunod, bubuo tayo ng algorithm para sa pagbuo ng equation ng tangent sa graph ng anumang function.

Hayaang magbigay ng function na y = f (x) at isang punto M (a; f (a)) sa graph ng function na ito; ipaalam na mayroong f "(a). Buuin natin ang equation ng tangent sa graph ng isang ibinigay na function sa isang partikular na punto. Ang equation na ito, tulad ng equation ng anumang tuwid na linya na hindi parallel sa ordinate axis, ay may ang form y = kx + b, kaya ang problema ay upang mahanap ang mga halaga ng mga coefficients k at b.

Sa slope k, ang lahat ay malinaw: ito ay kilala na k = f "(a). Upang kalkulahin ang halaga ng b, ginagamit namin ang katotohanan na ang hinahangad na linya ay dumadaan sa puntong M (a; f (a)). Nangangahulugan ito na kung papalitan natin ang mga coordinate ng point M sa equation ng linya, makukuha natin ang tunay na pagkakapantay-pantay: \ (f (a) = ka + b \), ie \ (b = f (a) - ka \ ).

Ito ay nananatiling palitan ang mga nahanap na halaga ng mga coefficients k at b sa equation ng tuwid na linya:

$$ y = kx + b $$ $$ y = kx + f (a) - ka $$ $$ y = f (a) + k (xa) $$ $$ y = f (a) + f "( a ) (xa) $$

Nakatanggap kami equation ng tangent sa graph ng isang function\ (y = f (x) \) sa puntong \ (x = a \).

Algorithm para sa paghahanap ng equation ng tangent sa graph ng function \ (y = f (x) \)
1. Italaga ang abscissa ng punto ng tangency na may titik na \ (a \)
2. Kalkulahin ang \ (f (a) \)
3. Hanapin ang \ (f "(x) \) at kalkulahin ang \ (f" (a) \)
4. Palitan ang mga nahanap na numero \ (a, f (a), f "(a) \) sa formula \ (y = f (a) + f" (a) (x-a) \)

Mga Aklat (mga aklat-aralin) Mga Abstract Mga pagsusulit sa USE at OGE online Mga laro, palaisipan Mga function ng Plotting Graphing diksyunaryo ng wikang Ruso Dictionary of youth slang Catalog of Russian schools Catalog of Russian secondary schools Catalog of Russian universities Listahan ng mga gawain Paghahanap ng GCD at NOC Pagpapasimple ng isang polynomial ( pagpaparami ng polynomials)