Paghahambing ng mga karaniwang numero na may negatibong kapangyarihan. Negatibong kapangyarihan ng isang numero: mga panuntunan sa pagtatayo at mga halimbawa

Unang antas

Ang antas at mga katangian nito. Komprehensibong gabay (2019)

Bakit kailangan ang mga degree? Saan sila magiging kapaki-pakinabang sa iyo? Bakit kailangan mong maglaan ng oras upang pag-aralan ang mga ito?

Upang matutunan ang lahat tungkol sa mga degree, para saan ang mga ito, kung paano gamitin ang iyong kaalaman Araw-araw na buhay basahin ang artikulong ito.

At, siyempre, ang kaalaman sa mga degree ay magdadala sa iyo na mas malapit sa isang matagumpay pagpasa sa pagsusulit o ang Unified State Exam at pagpasok sa unibersidad na iyong pinapangarap.

Let "s go... (Let's go!)

Mahalagang paalaala! Kung sa halip na mga formula ang nakikita mong kalokohan, i-clear ang cache. Upang gawin ito, pindutin ang CTRL + F5 (sa Windows) o Cmd + R (sa Mac).

UNANG ANTAS

Ang exponentiation ay ang parehong mathematical operation bilang karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon, o paghahati.

Ngayon ay ipapaliwanag ko ang lahat sa wika ng tao sa isang napaka mga simpleng halimbawa... Bigyang-pansin. Ang mga halimbawa ay elementarya, ngunit ipinapaliwanag nila ang mahahalagang bagay.

Magsimula tayo sa karagdagan.

Walang dapat ipaliwanag. Alam mo na ang lahat: walo kami. Bawat isa ay may dalawang bote ng cola. Magkano ang cola? Tama iyon - 16 na bote.

Ngayon multiplication.

Ang parehong halimbawa ng cola ay maaaring isulat sa ibang paraan:. Ang mga mathematician ay tuso at tamad na tao. Una nilang napansin ang ilang mga pattern, at pagkatapos ay gumawa ng isang paraan upang mabilis na "mabilang" ang mga ito. Sa aming kaso, napansin nila na ang bawat isa sa walong tao ay may parehong bilang ng mga bote ng cola at nakabuo sila ng isang pamamaraan na tinatawag na multiplication. Sumang-ayon, ito ay itinuturing na mas madali at mas mabilis kaysa sa.

Kaya, upang mabilang nang mas mabilis, mas madali at walang mga error, kailangan mo lamang tandaan talaan ng multiplikasyon... Maaari mong, siyempre, gawin ang lahat nang mas mabagal, mas mahirap at may mga pagkakamali! Pero…

Narito ang talahanayan ng pagpaparami. Ulitin.

At isa pa, mas maganda:

Ano pa nakakalito na mga trick mga tamad na mathematician ang nag-imbento ng mga account? tama - pagtataas ng isang numero sa isang kapangyarihan.

Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa sarili nitong limang beses, pagkatapos ay sinabi ng mga mathematician na kailangan mong itaas ang numerong ito sa ikalimang kapangyarihan. Halimbawa, . Naaalala ng mga mathematician na dalawa hanggang ikalimang antas ay. At nalulutas nila ang mga naturang problema sa kanilang mga ulo - mas mabilis, mas madali at walang mga pagkakamali.

Ang kailangan mo lang gawin ay tandaan kung ano ang naka-highlight sa talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga numero... Maniwala ka sa akin, gagawin nitong mas madali ang iyong buhay.

Nga pala, bakit second degree ang tawag parisukat mga numero, at ang pangatlo - kubo? Ano ang ibig sabihin nito? mataas magandang tanong... Ngayon ay magkakaroon ka ng parehong mga parisukat at mga cube.

Halimbawa ng buhay #1

Magsimula tayo sa isang parisukat o sa pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Isipin ang isang square meter-by-meter pool. Ang pool ay nasa iyong country house. Ang init at gusto ko talagang lumangoy. Ngunit ... isang pool na walang ilalim! Kinakailangan na takpan ang ilalim ng pool na may mga tile. Ilang tile ang kailangan mo? Upang matukoy ito, kailangan mong malaman ang lugar ng ilalim ng pool.

Maaari mo lamang bilangin, na tinutusok ang iyong daliri, na ang ilalim ng pool ay binubuo ng metro bawat metrong cube. Kung mayroon kang tile meter sa pamamagitan ng metro, kakailanganin mo ng mga piraso. Madali lang ... Ngunit saan ka nakakita ng gayong mga tile? Ang tile ay mas malamang na cm sa cm. At pagkatapos ay pahihirapan ka ng "bilang ng daliri". Pagkatapos ay kailangan mong magparami. Kaya, sa isang gilid ng ilalim ng pool, magkakasya kami ng mga tile (piraso) at sa kabilang banda, din, mga tile. Pag-multiply sa, makakakuha ka ng mga tile ().

Napansin mo ba na pinarami namin ang parehong numero sa aming sarili upang matukoy ang lugar ng ilalim ng pool? Ano ang ibig sabihin nito? Kapag na-multiply na ang parehong numero, magagamit natin ang "exponentiation" technique. (Siyempre, kapag dalawa lang ang numero mo, i-multiply mo pa rin o itataas ang mga ito sa isang power. Pero kung marami ka, mas madali ang pagtaas sa isang power at mas kaunti rin ang mga error sa kalkulasyon. Ito ay napakahalaga para sa pagsusulit).
Kaya, tatlumpu sa ikalawang antas ay magiging (). O maaari mong sabihin na tatlumpung parisukat ang magiging. Sa madaling salita, ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang parisukat. Sa kabaligtaran, kung makakita ka ng isang parisukat, ito ay LAGING pangalawang kapangyarihan ng isang numero. Ang parisukat ay isang representasyon ng pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Halimbawa sa totoong buhay #2

Narito ang isang gawain para sa iyo, bilangin kung gaano karaming mga parisukat ang nasa chessboard gamit ang parisukat ng numero ... Sa isang gilid ng mga cell at sa kabilang banda, masyadong. Upang mabilang ang kanilang bilang, kailangan mong i-multiply ang walo sa walo o ... kung mapapansin mo iyon Chess board ay isang parisukat na may gilid, pagkatapos ay maaari mong kuwadrado ang walo. Makakakuha ka ng mga cell. () Kaya?

Halimbawa ng buhay blg

Ngayon ang kubo o ang ikatlong kapangyarihan ng numero. Ang parehong pool. Ngunit ngayon kailangan mong malaman kung gaano karaming tubig ang kailangang ibuhos sa pool na ito. Kailangan mong kalkulahin ang lakas ng tunog. (Ang mga volume at likido, sa paraan, ay sinusukat sa metro kubiko... Hindi inaasahan, tama ba?) Gumuhit ng pool: ang ibaba ay isang metro ang laki at isang metro ang lalim at subukang kalkulahin kung gaano karaming mga cube sa metro bawat metro ang mapupunta sa iyong pool.

Ituro ang iyong daliri at magbilang! Isa, dalawa, tatlo, apat ... dalawampu't dalawa, dalawampu't tatlo ... Magkano ang naging resulta? Hindi nawala? Mahirap bang magbilang gamit ang iyong daliri? Kaya yun! Kumuha ng isang halimbawa mula sa mga mathematician. Ang mga ito ay tamad, kaya napansin nila na upang makalkula ang dami ng pool, kailangan mong i-multiply ang haba, lapad at taas nito sa bawat isa. Sa aming kaso, ang dami ng pool ay magiging katumbas ng mga cube ... Mas madali, tama?

Ngayon isipin kung gaano katamad at tuso ang mga mathematician kung pinasimple rin nila ito. Binawasan nila ang lahat sa isang aksyon. Napansin nila na ang haba, lapad at taas ay pantay at ang parehong bilang ay pinarami sa sarili nito ... Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na maaari mong samantalahin ang degree. Kaya, kung ano ang minsan mong binilang gamit ang iyong daliri, ginagawa nila sa isang aksyon: tatlo sa isang cube ay pantay. Ito ay nakasulat tulad nito:.

Ito ay nananatili lamang tandaan ang talahanayan ng mga degree... Maliban kung, siyempre, ikaw ay tamad at tuso bilang mga mathematician. Kung gusto mong magtrabaho nang husto at magkamali, maaari kang magpatuloy sa pagbibilang gamit ang iyong daliri.

Buweno, upang sa wakas ay makumbinsi ka na ang mga degree ay naimbento ng mga tamad at tusong tao upang malutas ang kanilang mga problema sa buhay, at hindi upang lumikha ng mga problema para sa iyo, narito ang ilang higit pang mga halimbawa mula sa buhay.

Halimbawa ng buhay bilang 4

Mayroon kang isang milyong rubles. Sa simula ng bawat taon, kumikita ka ng isa pang milyon mula sa bawat milyon. Ibig sabihin, doble ang bawat milyon mo sa simula ng bawat taon. Magkano ang pera mo sa mga taon? Kung nakaupo ka ngayon at "nagbibilang gamit ang iyong daliri," kung gayon ikaw ay isang napakasipag na tao at .. tanga. Ngunit malamang na magbibigay ka ng sagot sa loob ng ilang segundo, dahil matalino ka! Kaya, sa unang taon - dalawang beses dalawa ... sa ikalawang taon - ang nangyari ay dalawa pa, sa ikatlong taon ... Stop! Napansin mo na ang bilang ay pinarami ng sarili nitong isang beses. Kaya ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay isang milyon! Ngayon isipin na mayroon kang isang kumpetisyon at ang milyun-milyong iyon ay matatanggap ng isa na mas mabilis na nagkalkula ... Ito ba ay nagkakahalaga ng pag-alala sa mga antas ng mga numero, ano sa palagay mo?

Halimbawa sa totoong buhay blg. 5

Mayroon kang isang milyon. Sa simula ng bawat taon, kikita ka pa ng dalawa sa bawat milyon. Mahusay, hindi ba? Bawat milyong triple. Magkano ang pera mo sa mga taon? Magbilang tayo. Ang unang taon - i-multiply sa pamamagitan ng, pagkatapos ay ang resulta sa pamamagitan ng isa pa ... Ito ay nakababagot, dahil naiintindihan mo na ang lahat: tatlong beses ay pinarami ng kanyang sarili. Kaya ang pang-apat na kapangyarihan ay katumbas ng isang milyon. Kailangan mo lang tandaan na ang tatlo hanggang ikaapat na kapangyarihan ay o.

Ngayon alam mo na na sa pamamagitan ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan, lubos mong mapadali ang iyong buhay. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa mga degree at kung ano ang kailangan mong malaman tungkol sa mga ito.

Mga tuntunin at konsepto ... para hindi malito

Kaya, una, tukuyin natin ang mga konsepto. Ano sa tingin mo, ano ang exponent? Ito ay napaka-simple - ito ang numero na "nasa itaas" ng kapangyarihan ng numero. Hindi siyentipiko, ngunit naiintindihan at madaling tandaan ...

Well, at the same time that naturang degree na batayan? Kahit na mas simple - ito ang numero na nasa ibaba, sa base.

Narito ang isang guhit upang makatiyak.

Well, sa pangkalahatang pananaw, upang maibuod at mas matandaan ... Ang isang degree na may base na "" at isang exponent "" ay binabasa bilang "sa degree" at isinusulat tulad ng sumusunod:

Degree ng numero na may natural na exponent

Marahil ay nahulaan mo na: dahil ang exponent ay natural na numero... Oo, pero ano natural na numero? elementarya! Ang mga natural na numero ay ang mga ginagamit sa pagbibilang kapag naglilista ng mga bagay: isa, dalawa, tatlo ... Kapag nagbibilang tayo ng mga bagay, hindi natin sinasabi: "minus lima", "minus anim", "minus pito". Hindi rin namin sinasabi: "one third", o "zero point, five tenths." Ang mga ito ay hindi natural na mga numero. Ano sa tingin mo ang mga ito?

Ang mga numero tulad ng "minus five", "minus six", "minus seven" ay tumutukoy sa buong numero. Sa pangkalahatan, kasama sa mga buong numero ang lahat ng natural na numero, mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero (iyon ay, kinuha na may minus sign), at isang numero. Madaling maunawaan ang Zero - ito ay kapag wala. Ano ang ibig sabihin ng mga negatibong ("minus") na numero? Ngunit sila ay naimbento lalo na upang ipahiwatig ang mga utang: kung mayroon kang rubles sa iyong telepono, nangangahulugan ito na may utang ka sa operator na rubles.

Ang anumang mga fraction ay mga rational na numero. Paano sa palagay mo nangyari ang mga ito? Napakasimple. Ilang libong taon na ang nakalilipas, natuklasan ng ating mga ninuno na kulang sila ng mga natural na numero upang sukatin ang haba, timbang, lawak, atbp. At nakaisip sila mga rational na numero... Kawili-wili, hindi ba?

Mayroon ding mga hindi makatwirang numero. Ano ang mga numerong ito? Sa madaling salita, walang katapusan desimal... Halimbawa, kung hahatiin mo ang circumference ng isang bilog sa diameter nito, makakakuha ka ng hindi makatwirang numero.

Buod:

Tukuyin natin ang konsepto ng isang degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (iyon ay, isang integer at positibo).

Anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito:
Ang pag-square ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nito:
Ang pag-cube ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nitong tatlong beses:

Kahulugan. Ang pagpapataas ng isang numero sa isang natural na kapangyarihan ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:
.

Mga katangian ng kapangyarihan

Saan nagmula ang mga ari-arian na ito? Ipapakita ko sa iyo ngayon.

Tingnan natin: ano ang at ?

A-priory:

Ilang mga kadahilanan ang mayroon sa kabuuan?

Napakasimple nito: nagdagdag kami ng mga multiplier sa mga multiplier, at ang kabuuan ay mga multiplier.

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan, ito ay ang antas ng isang numero na may isang exponent, iyon ay, bilang kinakailangan upang patunayan.

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon:

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon: Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan kinakailangan dapat may parehong mga batayan!
Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

para lang sa produkto ng degrees!

Sa anumang kaso maaari mong isulat iyon.

2.iyon ay -ika-kapangyarihan ng isang numero

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ito ay lumiliko na ang expression ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa esensya, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo dapat gawin ito sa kabuuan:

Alalahanin natin ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami: ilang beses natin gustong sumulat?

Ngunit ito ay hindi totoo, pagkatapos ng lahat.

Degree na may negatibong base

Hanggang sa puntong ito, tinalakay lang natin kung ano ang dapat na exponent.

Ngunit ano ang dapat na maging pundasyon?

Sa mga degree na may natural na rate maaaring maging batayan kahit anong numero... Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang mga numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na.

Isipin natin kung aling mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga kapangyarihan ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? A? ? Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, naaalala namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang minus sa pamamagitan ng minus ay nagbibigay ng plus." Iyon ay, o. Ngunit kung tayo ay dumami, ito ay gumagana.

Magpasya sa iyong sarili kung aling tanda ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Inayos mo ba?

Narito ang mga sagot: Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa halimbawa 5), ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo.

Well, maliban kung ang base ay zero. Hindi pantay ang pundasyon, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na ganoon kadali!

6 na mga halimbawa upang sanayin

Pag-parse ng solusyon 6 na mga halimbawa

Kung papansinin natin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Naaalala namin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang formula para sa pinaikling multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat! Nakukuha namin:

Tingnan natin ang denominator. Mukha itong isa sa mga multiplier sa numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung ibabalik ang mga ito, maaaring ilapat ang panuntunan.

Ngunit paano gawin iyon? Ito ay naging napakadali: dito ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa atin.

Ang mga tuntunin ay mahiwagang baligtad. Ang "phenomenon" na ito ay naaangkop sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket.

Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

buo tinatawag namin ang mga natural na numero sa tapat ng mga ito (iyon ay, kinuha gamit ang sign "") at ang numero.

positibong integer, ngunit hindi ito naiiba sa natural, kung gayon ang lahat ay mukhang eksaktong katulad sa nakaraang seksyon.

Ngayon tingnan natin ang ilang mga bagong kaso. Magsimula tayo sa isang tagapagpahiwatig na katumbas ng.

Ang anumang numero sa zero degree ay katumbas ng isa:

Gaya ng dati, itanong natin sa ating sarili ang tanong: bakit ganito?

Isaalang-alang ang isang degree na may batayan. Kunin, halimbawa, at i-multiply sa:

Kaya, pinarami namin ang numero sa pamamagitan ng, at nakuha ang parehong bilang ito ay -. At anong numero ang dapat mong i-multiply para walang magbago? Tama iyon, sa. ibig sabihin.

Magagawa natin ang parehong sa isang arbitrary na numero:

Ulitin natin ang panuntunan:

Ang anumang numero sa zero degree ay katumbas ng isa.

Ngunit may mga pagbubukod sa maraming mga patakaran. At narito din doon - ito ay isang numero (bilang base).

Sa isang banda, ito ay dapat na katumbas ng anumang antas - gaano man karami mo sa iyong sarili, makakakuha ka pa rin ng zero, ito ay malinaw. Ngunit sa kabilang banda, tulad ng anumang numero sa zero degree, dapat itong pantay. Kaya alin dito ang totoo? Nagpasya ang mga mathematician na huwag makisali at tumanggi na itaas ang zero sa zero. Iyon ay, ngayon ay hindi lamang natin mahahati sa zero, ngunit itataas din ito sa isang zero na kapangyarihan.

Tayo ay pumunta sa karagdagang. Bilang karagdagan sa mga natural na numero at numero, nabibilang ang mga negatibong numero sa mga integer. Upang maunawaan kung ano ang negatibong kapangyarihan, gawin natin ang katulad ng huling pagkakataon: i-multiply ang ilang normal na numero sa parehong negatibong kapangyarihan:

Mula dito madali nang ipahayag ang iyong hinahanap:

Ngayon ay palawigin natin ang resultang panuntunan sa isang di-makatwirang antas:

Kaya, gumawa tayo ng isang panuntunan:

Ang isang numero sa negatibong kapangyarihan ay kabaligtaran sa parehong numero sa positibong kapangyarihan. Ngunit sa parehong oras ang base ay hindi maaaring null:(dahil hindi mo mahati sa).

Ibuod natin:

I. Hindi tinukoy ang pagpapahayag sa kaso. Kung, kung gayon.

II. Anumang numero sa zero degree ay katumbas ng isa:.

III. Ang isang numero na hindi katumbas ng zero ay nasa negatibong kapangyarihan na kabaligtaran sa parehong numero sa isang positibong kapangyarihan:.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Well, at, gaya ng dati, mga halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Pagsusuri ng mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Alam ko, alam ko, ang mga numero ay kakila-kilabot, ngunit sa pagsusulit kailangan mong maging handa para sa anumang bagay! Lutasin ang mga halimbawang ito o suriin ang kanilang solusyon kung hindi mo malutas at matututunan mo kung paano madaling makayanan ang mga ito sa pagsusulit!

Patuloy nating palawakin ang bilog ng mga numero na "angkop" bilang isang exponent.

Ngayon isaalang-alang mga rational na numero. Anong mga numero ang tinatawag na rational?

Sagot: lahat ng iyon ay maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer, bukod dito.

Upang maunawaan kung ano ang Fractional degree, isaalang-alang ang fraction:

Itaas natin ang magkabilang panig ng equation sa kapangyarihan:

Ngayon tandaan natin ang tuntunin tungkol sa "Degree to degree":

Anong numero ang dapat itaas sa isang kapangyarihan para makuha?

Ang pagbabalangkas na ito ay ang kahulugan ng ika-ugat.

Paalalahanan ko kayo: ang ugat ng ika-kapangyarihan ng isang numero () ay isang numero na, kapag itinaas sa isang kapangyarihan, ay katumbas ng.

Iyon ay, ang ugat ng ika kapangyarihan ay ang kabaligtaran na operasyon ng exponentiation:.

Lumalabas na. Malinaw na ito espesyal na kaso maaaring palawakin:.

Ngayon idagdag namin ang numerator: ano ito? Ang sagot ay madaling makuha gamit ang degree-to-degree na panuntunan:

Ngunit maaari bang maging anumang numero ang base? Pagkatapos ng lahat, ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa lahat ng mga numero.

wala!

Tandaan ang panuntunan: anumang numero na itinaas sa pantay na kapangyarihan ay isang positibong numero. Iyon ay, hindi mo maaaring kunin ang mga ugat ng pantay na antas mula sa mga negatibong numero!

At nangangahulugan ito na ang mga naturang numero ay hindi maaaring itaas sa isang fractional na kapangyarihan na may pantay na denominator, iyon ay, ang expression ay walang kahulugan.

Paano naman ang expression?

Ngunit dito lumalabas ang problema.

Ang numero ay maaaring katawanin bilang iba, mga nakanselang fraction, halimbawa, o.

At lumalabas na ito ay umiiral, ngunit wala, ngunit ang mga ito ay dalawang magkaibang mga talaan ng parehong numero.

O isa pang halimbawa: isang beses, pagkatapos ay maaari kang magsulat. Ngunit kung isusulat natin ang tagapagpahiwatig sa ibang paraan, at muli ay nakakakuha tayo ng istorbo: (iyon ay, nakakuha tayo ng ganap na naiibang resulta!).

Upang maiwasan ang gayong mga kabalintunaan, isaalang-alang namin positive radix lang na may fractional exponent.

Kaya kung:

- natural na numero;
- isang integer;

Mga halimbawa:

Ang mga rational exponents ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pag-convert ng mga rooted na expression, halimbawa:

5 mga halimbawa upang sanayin

Pagsusuri ng 5 halimbawa para sa pagsasanay

At ngayon ang pinakamahirap na bahagi. Ngayon ay susuriin natin di-makatuwirang antas.

Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban sa

Sa katunayan, ayon sa kahulugan, ang mga hindi makatwirang numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga buong numero (iyon ay, ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, buo at makatwirang tagapagpahiwatig, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang uri ng "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino.

Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses;

...zero-degree na numero- ito ay, tulad nito, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsimulang dumami, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang uri lamang ng "blangko na numero ", ibig sabihin ang numero;

...integer negatibong exponent- parang ilang uri ng "reverse process" ang naganap, ibig sabihin, ang bilang ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Sa pamamagitan ng paraan, sa agham, ang isang degree na may isang kumplikadong tagapagpahiwatig ay madalas na ginagamit, iyon ay, ang tagapagpahiwatig ay hindi kahit isang tunay na numero.

Ngunit sa paaralan hindi namin iniisip ang tungkol sa gayong mga paghihirap, magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

KUNG SAAN KAMI SIGURO PUPUNTA KA! (kung matutunan mo kung paano lutasin ang mga ganitong halimbawa :))

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Pagsusuri ng mga solusyon:

1. Magsimula tayo sa dati nang panuntunan para sa pagtataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan:

Ngayon tingnan ang tagapagpahiwatig. May naaalala ba siya sa iyo? Naaalala namin ang formula para sa pinaikling multiplikasyon, ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Sa kasong ito,

Lumalabas na:

Sagot: .

2. Dinadala namin ang mga fraction sa exponents sa parehong anyo: alinman sa parehong decimal, o parehong ordinaryo. Kunin natin, halimbawa:

Sagot: 16

3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang katangian ng mga degree:

ADVANCED LEVEL

Pagpapasiya ng antas

Ang isang degree ay isang pagpapahayag ng anyo:, kung saan:

— base ng degree;
- exponent.

Degree na may natural na exponent (n = 1, 2, 3, ...)

Ang pagtaas ng isang numero sa isang natural na kapangyarihan n ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong beses:

Integer degree (0, ± 1, ± 2, ...)

Kung ang exponent ay buong positibo numero:

Paninigas sa zero degree:

Ang expression ay hindi tiyak, dahil, sa isang banda, sa anumang antas - ito, at sa kabilang banda - anumang numero sa ika-degree - ito.

Kung ang exponent ay buong negatibo numero:

(dahil hindi mo mahati sa).

Muli tungkol sa mga zero: ang expression ay hindi natukoy kung sakali. Kung, kung gayon.

Mga halimbawa:

Rational grade

- natural na numero;
- isang integer;

Mga halimbawa:

Mga katangian ng kapangyarihan

Upang gawing mas madali ang paglutas ng mga problema, subukan nating maunawaan: saan nagmula ang mga katangiang ito? Patunayan natin sila.

Tingnan natin: ano ang at?

A-priory:

Kaya, sa kanang bahagi ng expression na ito, nakukuha namin ang sumusunod na produkto:

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan, ito ay ang antas ng isang numero na may isang exponent, iyon ay:

Q.E.D.

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : .

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan kinakailangan dapat magkaroon ng parehong mga batayan. Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

Isa pang mahalagang tala: ang panuntunang ito ay - para sa produkto ng mga degree lamang!

Hinding hindi ko dapat isulat iyon.

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ayusin natin ang pirasong ito tulad nito:

Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa esensya, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo dapat gawin ito sa kabuuan:!

Alalahanin natin ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami: ilang beses natin gustong sumulat? Ngunit ito ay hindi totoo, pagkatapos ng lahat.

Isang degree na may negatibong base.

Hanggang sa puntong ito, napag-usapan lang natin kung paano ito dapat index degree. Ngunit ano ang dapat na maging pundasyon? Sa mga degree na may natural tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero .

Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang mga numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na. Isipin natin kung aling mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga kapangyarihan ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? A? ?

Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

At iba pa hanggang sa kawalang-hanggan: sa bawat kasunod na pagpaparami, magbabago ang tanda. Ang isa ay maaaring magbalangkas ng ganoon simpleng tuntunin:

kahit degree, - numero positibo.
Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
Ang isang positibong numero sa anumang antas ay isang positibong numero.
Ang zero sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng zero.

Magpasya sa iyong sarili kung aling tanda ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Inayos mo ba? Narito ang mga sagot:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

Sa halimbawa 5), ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng batayan - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo. Well, maliban kung ang base ay zero. Hindi pantay ang pundasyon, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na gaanong simple. Dito kailangan mong malaman kung alin ang mas kaunti: o? Kung naaalala mo iyon, nagiging malinaw iyon, na nangangahulugan na ang base ay mas mababa sa zero. Ibig sabihin, inilalapat namin ang panuntunan 2: magiging negatibo ang resulta.

At muli ginagamit namin ang kahulugan ng degree:

Ang lahat ay tulad ng dati - isinulat namin ang kahulugan ng mga degree at, hatiin ang mga ito sa bawat isa, hatiin ang mga ito sa mga pares at makuha:

Bago suriin ang huling tuntunin, lutasin natin ang ilang mga halimbawa.

Kalkulahin ang mga halaga ng mga expression:

Mga solusyon :

Nakukuha namin:

Tingnan natin ang denominator. Mukha itong isa sa mga multiplier sa numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung mababaligtad ang mga ito, maaaring ilapat ang Rule 3. Ngunit paano ito gagawin? Ito ay naging napakadali: dito ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa atin.

Kung i-multiply mo ito, walang magbabago di ba? Ngunit ngayon lumalabas ang sumusunod:

Ang mga tuntunin ay mahiwagang baligtad. Ang "phenomenon" na ito ay naaangkop sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket. Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago nang sabay-sabay! Hindi ito mapapalitan ng pagbabago lamang ng isang kawalan na hindi natin gusto!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

Kaya ngayon ang huling tuntunin:

Paano natin ito mapapatunayan? Siyempre, gaya ng dati: palawakin natin ang konsepto ng degree at pasimplehin:

Ngayon buksan natin ang mga bracket. Gaano karaming mga titik ang magkakaroon? beses sa pamamagitan ng mga multiplier - ano ang hitsura nito? Ito ay walang iba kundi isang kahulugan ng isang operasyon pagpaparami: mayroon lamang multipliers. Iyon ay, ito ay, sa pamamagitan ng kahulugan, ang antas ng isang numero na may isang exponent:

Halimbawa:

Hindi makatwiran na grado

Bilang karagdagan sa impormasyon tungkol sa mga degree para sa intermediate na antas, susuriin namin ang degree na may hindi makatwirang exponent. Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban sa lahat - pagkatapos ng lahat, sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga hindi makatwiran na numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga buong numero (na ay, ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, buo at makatwirang tagapagpahiwatig, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang uri ng "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino. Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses; ang isang numero sa zero degree ay, kumbaga, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsisimulang i-multiply, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang uri lamang ng "blangko na numero", katulad ng numero; ang isang degree na may negatibong integer exponent ay parang ilang uri ng "reverse process" ang naganap, iyon ay, ang numero ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Napakahirap isipin ang isang degree na may hindi makatwiran na exponent (tulad ng mahirap isipin ang isang 4-dimensional na espasyo). Sa halip, ito ay isang purong matematikal na bagay na nilikha ng mga mathematician upang palawigin ang konsepto ng isang antas sa buong espasyo ng mga numero.

Sa pamamagitan ng paraan, sa agham, ang isang degree na may isang kumplikadong tagapagpahiwatig ay madalas na ginagamit, iyon ay, ang tagapagpahiwatig ay hindi kahit isang tunay na numero. Ngunit sa paaralan hindi namin iniisip ang tungkol sa gayong mga paghihirap, magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

Kaya ano ang gagawin natin kapag nakakita tayo ng hindi makatwiran na exponent? Sinusubukan namin nang buong lakas para maalis ito! :)

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Mga sagot:

Naaalala namin ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat. Sagot: .
Dinadala namin ang mga fraction sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal na lugar, o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa:.
Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang mga katangian ng degree:

BUOD NG SEKSYON AT MGA BATAYANG FORMULA

Degree ay tinatawag na pagpapahayag ng anyo:, kung saan:

Integer degree

degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (i.e. buo at positibo).

Rational grade

degree, ang exponent nito ay negatibo at fractional na mga numero.

Hindi makatwiran na grado

degree, ang exponent nito ay isang infinite decimal fraction o root.

Mga katangian ng kapangyarihan

Mga tampok ng degree.

Negatibong numero itinaas sa kahit degree, - numero positibo.
Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
Ang isang positibong numero sa anumang antas ay isang positibong numero.
Ang zero ay katumbas ng anumang kapangyarihan.
Ang anumang numero sa zero degree ay katumbas ng.

NGAYON ANG IYONG SALITA...

Paano mo gusto ang artikulo? Isulat sa mga komento tulad ng kung gusto mo ito o hindi.

Sabihin sa amin ang tungkol sa iyong karanasan sa mga katangian ng degree.

Marahil ay mayroon kang mga katanungan. O mga mungkahi.

Sumulat sa mga komento.

At good luck sa iyong mga pagsusulit!

Noong ikalimang siglo BC, ang sinaunang pilosopong Griyego na si Zeno ng Elea ay nagbalangkas ng kanyang tanyag na aporias, na ang pinakatanyag ay ang aporia na "Achilles at ang pagong". Ganito ang tunog:

Sabihin nating tumakbo si Achilles ng sampung beses na mas mabilis kaysa sa pagong at nasa likod nito ng isang libong hakbang. Sa oras na kailangan ni Achilles upang tumakbo sa distansyang ito, ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Kapag nakatakbo na si Achilles ng isang daang hakbang, gagapang pa ng sampung hakbang ang pagong, at iba pa. Ang proseso ay magpapatuloy nang walang katiyakan, hindi na maaabutan ni Achilles ang pagong.

Ang pangangatwiran na ito ay dumating bilang isang lohikal na pagkabigla sa lahat ng kasunod na henerasyon. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Lahat sila, sa isang paraan o iba pa, ay itinuturing na aporias ni Zeno. Napakalakas ng shock kaya" ... ang mga talakayan ay nagpapatuloy sa kasalukuyang panahon, ang komunidad na pang-agham ay hindi pa nakarating sa isang karaniwang opinyon tungkol sa kakanyahan ng mga kabalintunaan ... mathematical analysis, set theory, bagong pisikal at pilosopiko na mga diskarte ay kasangkot sa pag-aaral ng isyu ; wala sa kanila ang naging pangkalahatang tinatanggap na solusyon sa tanong..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Naiintindihan ng lahat na sila ay niloloko, ngunit walang nakakaintindi kung ano ang panlilinlang.

Mula sa pananaw ng matematika, malinaw na ipinakita ni Zeno sa kanyang aporia ang paglipat mula sa magnitude hanggang. Ang paglipat na ito ay nagpapahiwatig ng aplikasyon sa halip na mga constants. Sa pagkakaintindi ko, ang mathematical apparatus para sa paggamit ng mga variable na unit ng pagsukat ay hindi pa nabubuo, o hindi pa ito nailalapat sa aporia ni Zeno. Ang paglalapat ng ating karaniwang lohika ay humahantong sa atin sa isang bitag. Kami, sa pamamagitan ng pagkawalang-galaw ng pag-iisip, ay naglalapat ng pare-parehong mga yunit ng pagsukat ng oras sa kapalit. Sa pisikal na pananaw, parang paglawak ng oras hanggang sa tuluyang huminto sa sandaling kapantay ni Achilles ang pagong. Kung titigil ang oras, hindi na maabutan ni Achilles ang pagong.

Kung ibabalik natin ang lohika na nakasanayan natin, lahat ay nahuhulog sa lugar. Tumatakbo si Achilles sa patuloy na bilis. Ang bawat kasunod na bahagi ng kanyang landas ay sampung beses na mas maikli kaysa sa nauna. Alinsunod dito, ang oras na ginugol sa pagtagumpayan ito ay sampung beses na mas mababa kaysa sa nauna. Kung ilalapat natin ang konsepto ng "infinity" sa sitwasyong ito, tama na sabihing "Achilles will infinitely fast catch up with the turtle."

Paano mo maiiwasan ang lohikal na bitag na ito? Manatili sa patuloy na mga yunit ng oras at huwag bumalik. Sa wika ni Zeno, ganito ang hitsura:

Sa panahon kung saan tatakbo si Achilles ng isang libong hakbang, ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Sa susunod na agwat ng oras, katumbas ng una, si Achilles ay tatakbo ng isa pang libong hakbang, at ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang. Ngayon si Achilles ay walong daang hakbang sa unahan ng pagong.

Ang diskarte na ito ay sapat na naglalarawan sa katotohanan nang walang anumang mga lohikal na kabalintunaan. Ngunit hindi ito kumpletong solusyon sa problema. Ang pahayag ni Einstein tungkol sa hindi masusupil na bilis ng liwanag ay halos kapareho ng Zeno aporia na "Achilles at ang Pagong". Kailangan pa nating pag-aralan, pag-isipang muli at lutasin ang problemang ito. At ang solusyon ay dapat hanapin hindi sa walang katapusang malalaking numero, ngunit sa mga yunit ng pagsukat.

Ang isa pang kawili-wiling aporia Zeno ay nagsasabi tungkol sa isang lumilipad na palaso:

Ang lumilipad na palaso ay hindi gumagalaw, dahil sa bawat sandali ng oras ito ay nagpapahinga, at dahil ito ay nakapahinga sa bawat sandali ng oras, ito ay palaging nasa pahinga.

Sa aporia na ito, ang lohikal na kabalintunaan ay nagtagumpay nang napakasimple - sapat na upang linawin na sa bawat sandali ng oras ang isang lumilipad na arrow ay nakasalalay sa iba't ibang mga punto sa kalawakan, na, sa katunayan, ay paggalaw. Isa pang punto ang dapat tandaan dito. Mula sa isang larawan ng isang kotse sa kalsada, imposibleng matukoy ang alinman sa katotohanan ng paggalaw nito o ang distansya dito. Upang matukoy ang katotohanan ng paggalaw ng kotse, kailangan ng dalawang litrato, na kinuha mula sa parehong punto sa iba't ibang mga punto sa oras, ngunit imposibleng matukoy ang distansya mula sa kanila. Upang matukoy ang distansya sa kotse, kailangan mo ng dalawang litrato na kinuha mula sa magkakaibang mga punto sa espasyo nang sabay, ngunit hindi nila matukoy ang katotohanan ng paggalaw (siyempre, kailangan pa rin ng karagdagang data para sa mga kalkulasyon, makakatulong sa iyo ang trigonometrya). Ano ang gusto kong liko Espesyal na atensyon, kaya't ang dalawang punto sa oras at dalawang punto sa espasyo ay magkaibang mga bagay na hindi dapat malito, dahil nagbibigay sila ng magkakaibang mga pagkakataon para sa pananaliksik.

Miyerkules, 4 Hulyo 2018

Ang pagkakaiba sa pagitan ng set at multiset ay napakahusay na naidokumento sa Wikipedia. Tumingin kami.

Tulad ng nakikita mo, "hindi maaaring magkaroon ng dalawang magkaparehong elemento sa isang set", ngunit kung mayroong magkaparehong elemento sa isang set, ang naturang set ay tinatawag na "multiset". Ang gayong lohika ng kahangalan ay hindi kailanman mauunawaan ng mga makatuwirang nilalang. Ito ang antas ng pagsasalita ng mga parrot at sinanay na unggoy, na kulang sa katalinuhan mula sa salitang "ganap". Ang mga mathematician ay kumikilos bilang mga ordinaryong tagapagsanay, na ipinangangaral sa amin ang kanilang mga walang katotohanan na ideya.

Minsan ang mga inhinyero na nagtayo ng tulay ay nasa isang bangka sa ilalim ng tulay sa panahon ng mga pagsubok sa tulay. Kung gumuho ang tulay, namatay ang walang kakayahan na inhinyero sa ilalim ng mga durog na bato ng kanyang nilikha. Kung ang tulay ay makayanan ang karga, ang isang mahuhusay na inhinyero ay gagawa ng iba pang mga tulay.

Gaano man magtago ang mga mathematician sa likod ng pariralang "chur, nasa bahay ako", o sa halip ay "pag-aaral ng matematika ng mga abstract na konsepto," mayroong isang pusod na hindi mapaghihiwalay na nag-uugnay sa kanila sa katotohanan. Ang pusod na ito ay pera. Ilapat natin ang mathematical set theory sa mga mathematician mismo.

Nag-aral kami ng mabuti sa matematika at ngayon ay nakaupo kami sa checkout, nagbibigay ng suweldo. Narito ang isang mathematician sa amin para sa kanyang pera. Binibilang namin ang buong halaga sa kanya at inilalatag sa aming mesa sa iba't ibang mga tambak, kung saan naglalagay kami ng mga bill ng parehong denominasyon. Pagkatapos ay kukuha kami ng isang bill mula sa bawat tumpok at ibibigay sa mathematician ang kanyang "mathematical set of salary". Ipaliwanag natin ang matematika na matatanggap lamang niya ang natitirang mga bayarin kapag napatunayan niya na ang isang set na walang magkatulad na elemento ay hindi katumbas ng isang set na may magkaparehong elemento. Dito nagsisimula ang saya.

Una sa lahat, gagana ang lohika ng mga kinatawan: "Maaari mong ilapat ito sa iba, hindi mo ito mailalapat sa akin!" Dagdag pa, sisimulan naming tiyakin sa amin na mayroong iba't ibang mga numero ng banknote sa mga bill ng parehong denominasyon, na nangangahulugan na hindi sila maaaring ituring na parehong mga elemento. Okay, bilangin natin ang suweldo sa mga barya - walang mga numero sa mga barya. Dito magsisimulang maalala ng mathematician ang pisika: ang iba't ibang mga barya ay may iba't ibang dami ng dumi, ang kristal na istraktura at pag-aayos ng mga atomo sa bawat barya ay natatangi ...

At ngayon mayroon akong pinaka-kagiliw-giliw na tanong: nasaan ang linya kung saan ang mga elemento ng isang multiset ay nagiging mga elemento ng isang set at vice versa? Ang gayong linya ay hindi umiiral - ang lahat ay napagpasyahan ng mga shaman, ang agham ay hindi nagsisinungaling kahit saan malapit dito.

Tumingin dito. Pumili kami ng mga football stadium na may parehong pitch. Ang lugar ng mga patlang ay pareho, na nangangahulugang mayroon kaming multiset. Ngunit kung isasaalang-alang natin ang mga pangalan ng parehong mga istadyum, marami tayong makukuha, dahil magkaiba ang mga pangalan. Gaya ng nakikita mo, ang parehong hanay ng mga elemento ay parehong set at multiset sa parehong oras. Paano ito tama? At dito ang mathematician-shaman-shuller ay kumuha ng trump ace mula sa kanyang manggas at nagsimulang sabihin sa amin ang tungkol sa set o tungkol sa multiset. Sa anumang kaso, kukumbinsihin niya tayo na tama siya.

Upang maunawaan kung paano gumagana ang mga modernong shaman sa teorya ng set, tinali ito sa katotohanan, sapat na upang sagutin ang isang tanong: paano naiiba ang mga elemento ng isang set mula sa mga elemento ng isa pang set? Ipapakita ko sa iyo, nang walang anumang "thinkable as not a single whole" o "not thinkable as a whole."

Linggo, 18 Marso 2018

Ang kabuuan ng mga digit ng numero ay isang sayaw ng mga shaman na may tamburin, na walang kinalaman sa matematika. Oo, sa mga aralin sa matematika ay tinuturuan tayong hanapin ang kabuuan ng mga digit ng isang numero at gamitin ito, ngunit iyon ang dahilan kung bakit sila ay mga shaman upang maituro sa kanilang mga inapo ang kanilang mga kasanayan at karunungan, kung hindi, ang mga shaman ay mamamatay lamang.

Kailangan ng patunay? Buksan ang Wikipedia at subukang hanapin ang Kabuuan ng mga Digit ng isang pahina ng Numero. Wala ito. Walang formula sa matematika kung saan makikita mo ang kabuuan ng mga digit ng anumang numero. Pagkatapos ng lahat, ang mga numero ay mga graphic na simbolo kung saan isinusulat namin ang mga numero at sa wika ng matematika ang gawain ay ganito ang tunog: "Hanapin ang kabuuan ng mga graphic na simbolo na kumakatawan sa anumang numero." Hindi malulutas ng mga matematiko ang problemang ito, ngunit mga shaman - elementarya ito.

Tingnan natin kung ano at paano natin gagawin upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng isang naibigay na numero. At kaya, magkaroon tayo ng numerong 12345. Ano ang dapat gawin upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito? Dumaan tayo sa lahat ng mga hakbang sa pagkakasunud-sunod.

1. Isinulat namin ang numero sa isang piraso ng papel. Ano'ng nagawa natin? Na-convert namin ang numero sa graphic na simbolo ng numero. Ito ay hindi isang mathematical operation.

2. Pinutol namin ang isang nagresultang larawan sa ilang mga larawan na naglalaman ng magkakahiwalay na mga numero. Ang pagputol ng larawan ay hindi isang mathematical operation.

3. I-convert ang mga indibidwal na graphic na simbolo sa mga numero. Ito ay hindi isang mathematical operation.

4. Pagsamahin ang mga resultang numero. Ngayon ay matematika na.

Ang kabuuan ng mga digit ng 12345 ay 15. Ito ang "mga kurso sa pagputol at pananahi" mula sa mga shaman na ginagamit ng mga mathematician. Ngunit hindi lang iyon.

Mula sa punto ng view ng matematika, hindi mahalaga kung aling sistema ng numero ang isinusulat namin ang numero. Kaya, sa iba't ibang mga sistema ng numero, mag-iiba ang kabuuan ng mga digit ng parehong numero. Sa matematika, ang sistema ng numero ay ipinahiwatig bilang isang subscript sa kanan ng numero. Sa malaking bilang na 12345, ayaw kong lokohin ang aking ulo, isaalang-alang ang numero 26 mula sa artikulo tungkol sa. Isulat natin ang numerong ito sa binary, octal, decimal at hexadecimal number system. Hindi natin titingnan ang bawat hakbang sa ilalim ng mikroskopyo, nagawa na natin iyon. Tingnan natin ang resulta.

Tulad ng nakikita mo, sa iba't ibang mga sistema ng numero, ang kabuuan ng mga digit ng parehong numero ay iba. Ang resultang ito ay walang kinalaman sa matematika. Ito ay katulad ng kung makakakuha ka ng ganap na magkakaibang mga resulta kapag tinutukoy ang lugar ng isang parihaba sa metro at sentimetro.

Ang zero sa lahat ng mga sistema ng numero ay mukhang pareho at walang kabuuan ng mga digit. Ito ay isa pang argumento para sa katotohanang iyon. Isang tanong para sa mga mathematician: paano itinalaga sa matematika ang isang bagay na hindi isang numero? Ano, para sa mga mathematician, walang iba kundi mga numero ang umiiral? Para sa mga shaman, maaari kong payagan ito, ngunit para sa mga siyentipiko - hindi. Ang katotohanan ay hindi lahat tungkol sa mga numero.

Ang resultang nakuha ay dapat ituring bilang patunay na ang mga sistema ng numero ay mga yunit ng pagsukat para sa mga numero. Pagkatapos ng lahat, hindi natin maihahambing ang mga numero sa iba't ibang mga yunit ng pagsukat. Kung ang parehong mga aksyon na may iba't ibang mga yunit ng pagsukat ng parehong dami ay humantong sa iba't ibang resulta pagkatapos ikumpara ang mga ito, nangangahulugan ito na wala itong kinalaman sa matematika.

Ano ang tunay na matematika? Ito ay kapag ang resulta ng isang mathematical na aksyon ay hindi nakadepende sa magnitude ng numero, ang yunit ng pagsukat na ginamit at kung sino ang nagsasagawa ng pagkilos na ito.

Sign sa pinto Binuksan ang pinto at sinabing:

Aray! Hindi ba ito palikuran ng mga babae?
- Batang babae! Isa itong laboratoryo para sa pag-aaral ng walang pinipiling kabanalan ng mga kaluluwa sa panahon ng pag-akyat sa langit! Halo sa itaas at arrow na nakaturo pataas. Anong palikuran?

Babae ... Ang nimbus sa itaas at ang pababang arrow ay lalaki.

Kung ang isang piraso ng sining ng disenyo na tulad nito ay kumikislap sa harap ng iyong mga mata ng ilang beses sa isang araw,

Kung gayon hindi nakakagulat na bigla kang makakita ng kakaibang icon sa iyong sasakyan:

Sa personal, nagsusumikap ako sa aking sarili upang sa isang taong tumatae (isang larawan), maaari kong makita ang minus apat na degree (isang komposisyon ng ilang mga larawan: isang minus sign, numero apat, ang pagtatalaga ng mga degree). At hindi ko akalain na ang babaeng ito ay isang hangal na hindi marunong sa pisika. Mayroon lang siyang stereotype ng perception ng mga graphic na larawan. At patuloy itong itinuturo sa amin ng mga mathematician. Narito ang isang halimbawa.

Ang 1A ay hindi "minus four degrees" o "one a". Ito ay "pooping man" o ang bilang na "dalawampu't anim" sa hexadecimal notation. Ang mga taong patuloy na nagtatrabaho sa sistema ng numero na ito ay awtomatikong nakikita ang numero at ang titik bilang isang graphic na simbolo.

Sa artikulong ito ay malalaman natin kung ano ang antas ng... Dito ay magbibigay kami ng mga kahulugan ng antas ng isang numero, habang isinasaalang-alang nang detalyado ang lahat ng posibleng exponent, na nagsisimula sa isang natural na exponent at nagtatapos sa isang hindi makatwiran. Sa materyal ay makakahanap ka ng maraming mga halimbawa ng mga degree, na sumasaklaw sa lahat ng mga subtleties na lumabas.

Pag-navigate sa pahina.

Degree na may natural na exponent, parisukat ng numero, kubo ng numero

Magsimula tayo sa. Sa hinaharap, sinasabi namin na ang kahulugan ng antas ng isang numero a na may natural na exponent n ay ibinigay para sa a, na tatawagin natin antas ng batayan, at n, na tatawagin natin exponent... Tandaan din namin na ang antas na may natural na exponent ay tinutukoy sa pamamagitan ng produkto, kaya upang maunawaan ang materyal sa ibaba, kailangan mong magkaroon ng ideya ng pagpaparami ng mga numero.

Kahulugan.

Kapangyarihan ng numero a na may natural na exponent n ay isang pagpapahayag ng anyong a n, ang halaga nito ay katumbas ng produkto ng n salik, na ang bawat isa ay katumbas ng a, ibig sabihin,.
Sa partikular, ang kapangyarihan ng isang numero a na may exponent 1 ay ang numero a mismo, iyon ay, a 1 = a.

Dapat itong sabihin kaagad tungkol sa mga patakaran para sa pagbabasa ng mga degree. Universal na paraan read record a n ay: "a sa kapangyarihan ng n". Sa ilang mga kaso, tinatanggap din ang mga sumusunod na opsyon: "a sa n-th power" at "n-th power ng number a". Halimbawa, kunin natin ang kapangyarihan ng 8 12, na "walo sa kapangyarihan ng labindalawa", o "walo hanggang sa ikalabindalawang kapangyarihan", o "ikalabindalawang kapangyarihan ng walo".

Ang pangalawang antas ng isang numero, pati na rin ang ikatlong antas ng isang numero, ay may sariling mga pangalan. Ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay tinatawag sa pamamagitan ng parisukat ng numero halimbawa, ang 7 2 ay nagbabasa ng "pitong parisukat" o "ang parisukat ng bilang pito". Ang pangatlong kapangyarihan ng isang numero ay tinatawag mga numero ng kubo halimbawa, ang 5 3 ay maaring basahin bilang “cube of five” o “cube of number 5”.

Oras na para manguna mga halimbawa ng degree na may natural na halaga... Magsimula tayo sa exponent 5 7, dito 5 ang base ng exponent at 7 ang exponent. Magbigay tayo ng isa pang halimbawa: 4.32 ang base, at ang natural na numero 9 ay ang exponent (4.32) 9.

Tandaan na sa huling halimbawa, ang base ng 4.32 degree ay nakasulat sa panaklong: upang maiwasan ang pagkalito, ilalagay namin sa panaklong ang lahat ng mga base ng degree na iba sa natural na mga numero. Bilang halimbawa, binibigyan namin ang mga sumusunod na degree na may mga natural na tagapagpahiwatig , ang kanilang mga base ay hindi natural na mga numero, kaya ang mga ito ay nakasulat sa panaklong. Well, para sa kumpletong kalinawan sa sandaling ito, ipapakita namin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga entry ng form (−2) 3 at −2 3. Ang expression (−2) 3 ay ang kapangyarihan ng −2 na may natural na exponent na 3, at ang expression na −2 3 (maaari itong isulat bilang - (2 3)) ay tumutugma sa numero, ang halaga ng kapangyarihan 2 3 .

Tandaan na mayroong notasyon para sa antas ng isang numero a na may exponent n ng anyong a ^ n. Bukod dito, kung ang n ay isang multivalued na natural na numero, kung gayon ang exponent ay kinuha sa mga panaklong. Halimbawa, ang 4 ^ 9 ay isa pang notasyon para sa kapangyarihan ng 4 9. At narito ang ilan pang halimbawa ng pagsulat ng mga degree gamit ang simbolo na "^": 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Sa mga sumusunod, pangunahing gagamitin natin ang notasyon para sa antas ng anyo a n.

Ang isa sa mga gawain, ang kabaligtaran ng pagtaas sa isang kapangyarihan na may natural na exponent, ay ang problema sa paghahanap ng base ng isang degree mula sa isang kilalang halaga ng degree at isang kilalang exponent. Ang gawaing ito ay humahantong sa.

Ito ay kilala na ang hanay ng mga rational na numero ay binubuo ng mga integer at fractional na mga numero, at bawat isa isang fractional number maaaring ipakita bilang positibo o negatibo karaniwang fraction... Tinukoy namin ang degree na may integer exponent sa nakaraang talata, samakatuwid, upang makumpleto ang kahulugan ng isang degree na may rational exponent, kailangan naming bigyan ng kahulugan ang antas ng isang numero a na may fractional exponent m / n, kung saan ang m ay isang integer at ang n ay isang natural na numero. Gawin natin.

Isaalang-alang ang isang degree na may fractional exponent ng form. Para manatiling wasto ang ari-arian ng degree hanggang degree, ang pagkakapantay-pantay ... Kung isasaalang-alang natin ang nakuhang pagkakapantay-pantay at ang paraan ng pagtukoy natin dito, lohikal na tanggapin, sa kondisyon na para sa ibinigay na m, n at a, ang pagpapahayag ay may katuturan.

Madaling i-verify iyon para sa lahat ng katangian ng isang degree na may integer exponent (ito ay ginagawa sa seksyon ng mga katangian ng isang degree na may rational exponent).

Ang pangangatwiran sa itaas ay nagpapahintulot sa atin na gawin ang mga sumusunod. output: kung para sa ibinigay na m, n at a ang expression ay may katuturan, kung gayon ang kapangyarihan ng numero a na may fractional exponent m / n ay tinatawag na nth root ng a sa kapangyarihan ng m.

Ang pahayag na ito ay nagdudulot sa atin ng napakalapit sa pagtukoy ng antas na may fractional exponent. Ito ay nananatiling lamang upang ilarawan kung saan ang m, n at a ang ekspresyon ay may katuturan. Mayroong dalawang pangunahing diskarte depende sa mga hadlang sa m, n at a.

Ang pinakamadaling paraan ay ang paghigpitan ang a sa pamamagitan ng pag-aakalang a≥0 para sa positibong m at a> 0 para sa negatibong m (dahil para sa m≤0 ang degree na 0 m ay hindi tinukoy). Pagkatapos ay makukuha natin ang sumusunod na kahulugan ng isang fractional exponent.

Kahulugan.

Ang kapangyarihan ng isang positibong numero a na may isang fractional exponent m / n, kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero, ay tinatawag na nth root ng numero a sa kapangyarihan ng m, iyon ay,.

Tinutukoy din ang fractional power ng zero na may tanging proviso na dapat na positibo ang indicator.

Kahulugan.

Kapangyarihan ng zero na may positibong fractional exponent m / n, kung saan ang m ay isang positibong integer at n ay isang natural na numero, ay tinukoy bilang .
Kapag ang degree ay hindi natukoy, iyon ay, ang antas ng isang numerong zero na may fractional na negatibong exponent ay hindi makatwiran.

Dapat pansinin na sa ganoong kahulugan ng isang degree na may fractional exponent, mayroong isang nuance: para sa ilang negatibong a at ilang m at n, ang expression ay may katuturan, at itinapon namin ang mga kasong ito sa pamamagitan ng pagpapakilala ng kondisyon na a≥0. Halimbawa, makatuwirang magsulat o, at pinipilit tayo ng kahulugang ibinigay sa itaas na sabihin na ang mga degree na may fractional exponent ng form huwag magkaroon ng kahulugan, dahil hindi dapat negatibo ang base.

Ang isa pang diskarte sa pagtukoy ng exponent na may fractional exponent m / n ay upang isaalang-alang nang hiwalay ang kakaiba at kahit na mga exponent ng ugat. Ang diskarte na ito ay nangangailangan ng karagdagang kundisyon: ang antas ng numero a, ang tagapagpahiwatig kung saan ay, ay itinuturing na kapangyarihan ng numero a, ang tagapagpahiwatig kung saan ay ang kaukulang hindi mababawasang bahagi (ang kahalagahan ng kundisyong ito ay ipapaliwanag sa ibaba). Iyon ay, kung ang m / n ay isang irreducible fraction, kung gayon para sa anumang natural na numero k, ang degree ay paunang pinalitan ng.

Para sa kahit na n at positibong m, ang expression ay may katuturan para sa anumang di-negatibong a (ang pantay na ugat ng isang negatibong numero ay walang katuturan), para sa negatibong m, ang bilang a ay dapat na nonzero pa rin (kung hindi, magkakaroon ng dibisyon ng zero. ). At para sa kakaibang n at positibong m, ang numero a ay maaaring maging anuman (ang ugat ng isang kakaibang antas ay tinukoy para sa anumang tunay na numero), at para sa negatibong m, ang bilang a ay dapat na nonzero (upang walang paghahati sa zero) .

Ang pangangatwiran sa itaas ay humahantong sa amin sa gayong kahulugan ng antas na may fractional exponent.

Kahulugan.

Hayaang ang m / n ay isang irreducible fraction, m isang integer, at n isang natural na numero. Para sa anumang nakanselang fraction, ang exponent ay pinapalitan ng. Ang kapangyarihan ng isang numero na may hindi mababawasan na fractional exponent m / n ay para sa

Ipaliwanag natin kung bakit ang isang degree na may reducible fractional exponent ay dating pinalitan ng isang degree na may hindi mababawasan na exponent. Kung tinukoy lang natin ang antas bilang, at hindi gumawa ng isang reserbasyon tungkol sa hindi mababawas na bahagi ng m / n, kung gayon ay mahaharap tayo sa mga sitwasyong katulad ng mga sumusunod: dahil 6/10 = 3/5, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay dapat hawakan , ngunit , isang .

Sa isa sa mga nakaraang artikulo, nabanggit na natin ang antas ng bilang. Ngayon ay susubukan nating i-orient ang ating sarili sa proseso ng paghahanap ng kahulugan nito. Sa scientifically speaking, pag-iisipan natin kung paano maayos na magtaas sa isang kapangyarihan. Malalaman natin kung paano isinasagawa ang prosesong ito, sa parehong oras ay hawakan natin ang lahat ng posibleng mga tagapagpahiwatig ng antas: natural, hindi makatwiran, makatuwiran, buo.

Kaya, tingnan natin ang mga solusyon ng mga halimbawa at alamin kung ano ang ibig sabihin nito:

Kahulugan ng konsepto.
Pagtaas sa negatibong Art.
Buong tagapagpahiwatig.
Pagtaas ng numero sa isang hindi makatwirang kapangyarihan.

Narito ang isang kahulugan na tumpak na sumasalamin sa kahulugan: "Ang exponentiation ay ang kahulugan ng kahulugan ng kapangyarihan ng isang numero."

Alinsunod dito, ang pagtataas ng bilang a sa Art. r at ang proseso ng paghahanap ng halaga ng exponent a na may exponent r ay magkaparehong konsepto. Halimbawa, kung ang gawain ay kalkulahin ang halaga ng kapangyarihan (0.6) 6 ″, maaari itong gawing simple sa expression na "Itaas ang numero 0.6 sa kapangyarihan ng 6".

Pagkatapos nito, maaari kang magpatuloy nang direkta sa mga panuntunan sa pagtatayo.

Negatibong exponentiation

Para sa kalinawan, dapat mong bigyang pansin ang sumusunod na hanay ng mga expression:

110 = 0.1 = 1 * 10 sa minus 1 st.,

1100 = 0.01 = 1 * 10 sa minus 2 hakbang.,

11000 = 0.0001 = 1 * 10 minus 3 st.,

110000 = 0.00001 = 1 * 10 sa minus 4 na degree.

Salamat sa mga halimbawang ito, malinaw mong makikita ang kakayahang agad na kalkulahin ang 10 sa anumang minus na kapangyarihan. Para sa layuning ito, medyo corny na ilipat ang bahagi ng decimal:

10 hanggang -1 degrees - bago ang unit 1 zero;
sa -3 - tatlong zero bago ang isa;
sa -9 ay 9 zero at iba pa.

Madali itong maunawaan ayon sa pamamaraang ito, kung magkano ang magiging 10 hanggang minus 5 tbsp. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Paano magtaas ng natural na numero

Recalling ang kahulugan, isinasaalang-alang namin na ang natural na numero a sa Art. n ay katumbas ng produkto ng n salik, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Ilarawan natin: (a * a * ... a) n, kung saan ang n ay ang bilang ng mga numero na pinarami. Alinsunod dito, upang mapataas ang a hanggang n, kinakailangang kalkulahin ang produkto ng sumusunod na anyo: a * a * ... at hatiin ng n beses.

Mula dito nagiging malinaw na paninigas sa likas na sining. umaasa sa kakayahang magparami(Ang materyal na ito ay sakop sa seksyon sa pagpaparami ng tunay na mga numero). Tingnan natin ang problema:

Erect -2 sa 4th st.

Nakikitungo kami sa isang natural na tagapagpahiwatig. Alinsunod dito, ang takbo ng desisyon ay ang mga sumusunod: (-2) sa art. 4 = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Ngayon ay nananatili lamang upang isagawa ang pagpaparami ng mga buong numero: (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Kumuha kami ng 16.

Sagot sa problema:

(-2) sa sining. 4 = 16.

Halimbawa:

Kalkulahin ang halaga: three point two sevens squared.

Ang halimbawang ito ay katumbas ng sumusunod na produkto: three point two sevenths multiplied by three point two sevenths. Ang pag-alala kung paano isinasagawa ang pagpaparami ng halo-halong mga numero, nakumpleto namin ang pagtatayo:

3 point 2 sevenths multiply sa kanilang mga sarili;
katumbas ng 23 ikapitong pinarami ng 23 ikapito;
katumbas ng 529 apatnapu't siyam;
paikliin at makakuha ng 10 tatlumpu't siyam apatnapu't siyam.

Sagot: 10 39/49

Tungkol sa isyu ng pagtaas sa isang hindi makatwiran na tagapagpahiwatig, dapat tandaan na ang mga kalkulasyon ay nagsisimulang isagawa pagkatapos makumpleto ang paunang pag-ikot ng batayan ng antas sa isang tiyak na kategorya na magpapahintulot sa pagkuha ng isang halaga na may isang naibigay na katumpakan. . Halimbawa, kailangan nating i-square ang numero P (pi).

Magsisimula tayo sa pamamagitan ng pag-round sa P hanggang hundredths at makuha ang:

P squared = (3.14) 2 = 9.8596. Gayunpaman, kung babawasan natin ang P hanggang sampung libo, makakakuha tayo ng P = 3.14159. Pagkatapos ang pag-squaring ay makakakuha ng ganap na naiibang numero: 9.8695877281.

Dapat pansinin dito na sa maraming problema ay hindi na kailangang itaas ang hindi makatwiran na mga numero sa isang kapangyarihan. Bilang isang patakaran, ang sagot ay nakasulat alinman sa anyo ng isang degree, halimbawa, ang ugat ng 6 hanggang sa kapangyarihan ng 3, o, kung pinapayagan ng expression, ang pagbabagong-anyo nito ay isinasagawa: ang ugat ng 5 hanggang ika-7 na antas. = 125 ugat ng 5.

Paano itaas ang isang numero sa isang buong kapangyarihan

Angkop ang algebraic manipulation na ito isaalang-alang ang mga sumusunod na kaso:

para sa buong numero;
para sa isang zero indicator;
para sa isang buong positibong tagapagpahiwatig.

Dahil halos lahat ng mga positibong integer ay nag-tutugma sa masa ng mga natural na numero, kung gayon ang pagtatakda sa isang positibong antas ng integer ay ang parehong proseso tulad ng pagtatakda sa Art. natural. Inilarawan namin ang prosesong ito sa nakaraang talata.

Ngayon pag-usapan natin ang pagkalkula ng Art. wala. Nalaman na namin sa itaas na ang zero degree ng numero a ay maaaring matukoy para sa anumang nonzero a (real), habang a sa Art. 0 ay katumbas ng 1.

Alinsunod dito, ang pagtataas ng anumang tunay na numero sa zero st. magbibigay ng isa.

Halimbawa, 10 sa st. 0 = 1, (-3.65) 0 = 1, at 0 sa st. 0 ay hindi matukoy.

Upang makumpleto ang pagtaas sa isang integer na kapangyarihan, nananatili itong magpasya sa mga opsyon para sa mga negatibong halaga ng integer. Naaalala namin ang Art. mula sa isang may integer exponent -z ay tutukuyin bilang isang fraction. Ang denominator ng fraction ay Art. na may positibong integer na halaga, ang halaga na natutunan na nating hanapin. Ngayon ay nananatili lamang na isaalang-alang ang isang halimbawa ng konstruksiyon.

Halimbawa:

Kalkulahin ang halaga ng numero 2 sa isang kubo na may negatibong integer exponent.

Proseso ng solusyon:

Ayon sa kahulugan ng isang degree na may negatibong tagapagpahiwatig, tinutukoy namin: dalawa sa minus 3 tbsp. katumbas ng isa hanggang dalawa sa ikatlong antas.

Ang denominator ay kinakalkula lamang: dalawang cubed;

3 = 2*2*2=8.

Sagot: dalawa sa minus 3rd tbsp. = isang ikawalo.

Unang antas

Ang antas at mga katangian nito. Komprehensibong gabay (2019)

Bakit kailangan ang mga degree? Saan sila magiging kapaki-pakinabang sa iyo? Bakit kailangan mong maglaan ng oras upang pag-aralan ang mga ito?

Upang malaman ang lahat tungkol sa mga degree, para saan ang mga ito, kung paano gamitin ang iyong kaalaman sa pang-araw-araw na buhay, basahin ang artikulong ito.

At, siyempre, ang kaalaman sa mga degree ay maglalapit sa iyo sa matagumpay na pagpasa sa OGE o USE at sa pagpasok sa unibersidad na iyong mga pangarap.

Let "s go... (Let's go!)

Mahalagang paalaala! Kung sa halip na mga formula ang nakikita mong kalokohan, i-clear ang cache. Upang gawin ito, pindutin ang CTRL + F5 (sa Windows) o Cmd + R (sa Mac).

UNANG ANTAS

Ang exponentiation ay ang parehong mathematical operation bilang karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon, o paghahati.

Ngayon ay ipapaliwanag ko ang lahat sa wika ng tao gamit ang napakasimpleng mga halimbawa. Bigyang-pansin. Ang mga halimbawa ay elementarya, ngunit ipinapaliwanag nila ang mahahalagang bagay.

Magsimula tayo sa karagdagan.

Walang dapat ipaliwanag. Alam mo na ang lahat: walo kami. Bawat isa ay may dalawang bote ng cola. Magkano ang cola? Tama iyon - 16 na bote.

Ngayon multiplication.

Narito ang talahanayan ng pagpaparami. Ulitin.

At isa pa, mas maganda:

Anong iba pang matalinong trick sa pagbibilang ang naisip ng mga tamad na mathematician? tama - pagtataas ng isang numero sa isang kapangyarihan.

Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan

Ang kailangan mo lang gawin ay tandaan kung ano ang naka-highlight sa talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga numero... Maniwala ka sa akin, gagawin nitong mas madali ang iyong buhay.

Nga pala, bakit second degree ang tawag parisukat mga numero, at ang pangatlo - kubo? Ano ang ibig sabihin nito? Napakagandang tanong iyan. Ngayon ay magkakaroon ka ng parehong mga parisukat at mga cube.

Halimbawa ng buhay #1

Magsimula tayo sa isang parisukat o sa pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Halimbawa sa totoong buhay #2

Narito ang isang gawain para sa iyo, bilangin kung gaano karaming mga parisukat ang nasa chessboard gamit ang parisukat ng numero ... Sa isang gilid ng mga cell at sa kabilang banda, masyadong. Upang mabilang ang kanilang bilang, kailangan mong i-multiply ang walo sa walo o ... kung mapapansin mo na ang chessboard ay isang parisukat na may gilid, maaari mong kuwadrado ang walo. Makakakuha ka ng mga cell. () Kaya?

Halimbawa ng buhay blg

Ngayon ang kubo o ang ikatlong kapangyarihan ng numero. Ang parehong pool. Ngunit ngayon kailangan mong malaman kung gaano karaming tubig ang kailangang ibuhos sa pool na ito. Kailangan mong kalkulahin ang lakas ng tunog. (Ang mga volume at likido, sa pamamagitan ng paraan, ay sinusukat sa metro kubiko. Nakakagulat, tama?) Gumuhit ng isang pool: ang ilalim ay isang metro ang laki at isang metro ang lalim at subukang kalkulahin kung gaano karaming kubiko metro bawat metro ang papasok sa iyong pool.

Halimbawa ng buhay bilang 4

Halimbawa sa totoong buhay blg. 5

Mga tuntunin at konsepto ... para hindi malito

Well, at the same time that naturang degree na batayan? Kahit na mas simple - ito ang numero na nasa ibaba, sa base.

Narito ang isang guhit upang makatiyak.

Buweno, sa mga pangkalahatang tuntunin, upang mas ma-generalize at matandaan ... Ang isang degree na may base na "" at isang indicator "" ay binabasa bilang "sa degree" at isinusulat tulad ng sumusunod:

Degree ng numero na may natural na exponent

Marahil ay nahulaan mo na ngayon: dahil ang exponent ay isang natural na numero. Oo, pero ano natural na numero? elementarya! Ang mga natural na numero ay ang mga ginagamit sa pagbibilang kapag naglilista ng mga bagay: isa, dalawa, tatlo ... Kapag nagbibilang tayo ng mga bagay, hindi natin sinasabi: "minus lima", "minus anim", "minus pito". Hindi rin namin sinasabi: "one third", o "zero point, five tenths." Ang mga ito ay hindi natural na mga numero. Ano sa tingin mo ang mga ito?

Mayroon ding mga hindi makatwirang numero. Ano ang mga numerong ito? Sa madaling salita, isang infinite decimal fraction. Halimbawa, kung hahatiin mo ang circumference ng isang bilog sa diameter nito, makakakuha ka ng hindi makatwirang numero.

Buod:

Tukuyin natin ang konsepto ng isang degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (iyon ay, isang integer at positibo).

Anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito:
Ang pag-square ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nito:
Ang pag-cube ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nitong tatlong beses:

Kahulugan. Ang pagpapataas ng isang numero sa isang natural na kapangyarihan ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:
.

Mga katangian ng kapangyarihan

Saan nagmula ang mga ari-arian na ito? Ipapakita ko sa iyo ngayon.

Tingnan natin: ano ang at ?

A-priory:

Ilang mga kadahilanan ang mayroon sa kabuuan?

Napakasimple nito: nagdagdag kami ng mga multiplier sa mga multiplier, at ang kabuuan ay mga multiplier.

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan, ito ay ang antas ng isang numero na may isang exponent, iyon ay, bilang kinakailangan upang patunayan.

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon:

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

para lang sa produkto ng degrees!

Sa anumang kaso maaari mong isulat iyon.

2.iyon ay -ika-kapangyarihan ng isang numero

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ito ay lumiliko na ang expression ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa esensya, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo dapat gawin ito sa kabuuan:

Alalahanin natin ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami: ilang beses natin gustong sumulat?

Ngunit ito ay hindi totoo, pagkatapos ng lahat.

Degree na may negatibong base

Hanggang sa puntong ito, tinalakay lang natin kung ano ang dapat na exponent.

Ngunit ano ang dapat na maging pundasyon?

Isipin natin kung aling mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga kapangyarihan ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? A? ? Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Magpasya sa iyong sarili kung aling tanda ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Inayos mo ba?

Narito ang mga sagot: Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa halimbawa 5), ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo.

Well, maliban kung ang base ay zero. Hindi pantay ang pundasyon, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na ganoon kadali!

6 na mga halimbawa upang sanayin

Pag-parse ng solusyon 6 na mga halimbawa

Ngunit paano gawin iyon? Ito ay naging napakadali: dito ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa atin.

Ang mga tuntunin ay mahiwagang baligtad. Ang "phenomenon" na ito ay naaangkop sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket.

Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

buo tinatawag namin ang mga natural na numero sa tapat ng mga ito (iyon ay, kinuha gamit ang sign "") at ang numero.

positibong integer, ngunit hindi ito naiiba sa natural, kung gayon ang lahat ay mukhang eksaktong katulad sa nakaraang seksyon.

Ngayon tingnan natin ang ilang mga bagong kaso. Magsimula tayo sa isang tagapagpahiwatig na katumbas ng.

Ang anumang numero sa zero degree ay katumbas ng isa:

Gaya ng dati, itanong natin sa ating sarili ang tanong: bakit ganito?

Isaalang-alang ang isang degree na may batayan. Kunin, halimbawa, at i-multiply sa:

Kaya, pinarami namin ang numero sa pamamagitan ng, at nakuha ang parehong bilang ito ay -. At anong numero ang dapat mong i-multiply para walang magbago? Tama iyon, sa. ibig sabihin.

Magagawa natin ang parehong sa isang arbitrary na numero:

Ulitin natin ang panuntunan:

Ang anumang numero sa zero degree ay katumbas ng isa.

Ngunit may mga pagbubukod sa maraming mga patakaran. At narito din doon - ito ay isang numero (bilang base).

Mula dito madali nang ipahayag ang iyong hinahanap:

Ngayon ay palawigin natin ang resultang panuntunan sa isang di-makatwirang antas:

Kaya, gumawa tayo ng isang panuntunan:

Ang isang numero sa negatibong kapangyarihan ay kabaligtaran sa parehong numero sa positibong kapangyarihan. Ngunit sa parehong oras ang base ay hindi maaaring null:(dahil hindi mo mahati sa).

Ibuod natin:

I. Hindi tinukoy ang pagpapahayag sa kaso. Kung, kung gayon.

II. Anumang numero sa zero degree ay katumbas ng isa:.

III. Ang isang numero na hindi katumbas ng zero ay nasa negatibong kapangyarihan na kabaligtaran sa parehong numero sa isang positibong kapangyarihan:.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Well, at, gaya ng dati, mga halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Pagsusuri ng mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Patuloy nating palawakin ang bilog ng mga numero na "angkop" bilang isang exponent.

Ngayon isaalang-alang mga rational na numero. Anong mga numero ang tinatawag na rational?

Sagot: lahat ng iyon ay maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer, bukod dito.

Upang maunawaan kung ano ang Fractional degree, isaalang-alang ang fraction:

Itaas natin ang magkabilang panig ng equation sa kapangyarihan:

Ngayon tandaan natin ang tuntunin tungkol sa "Degree to degree":

Anong numero ang dapat itaas sa isang kapangyarihan para makuha?

Ang pagbabalangkas na ito ay ang kahulugan ng ika-ugat.

Paalalahanan ko kayo: ang ugat ng ika-kapangyarihan ng isang numero () ay isang numero na, kapag itinaas sa isang kapangyarihan, ay katumbas ng.

Iyon ay, ang ugat ng ika kapangyarihan ay ang kabaligtaran na operasyon ng exponentiation:.

Lumalabas na. Malinaw, ang partikular na kaso na ito ay maaaring palawigin:.

Ngayon idagdag namin ang numerator: ano ito? Ang sagot ay madaling makuha gamit ang degree-to-degree na panuntunan:

Ngunit maaari bang maging anumang numero ang base? Pagkatapos ng lahat, ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa lahat ng mga numero.

wala!

At nangangahulugan ito na ang mga naturang numero ay hindi maaaring itaas sa isang fractional na kapangyarihan na may pantay na denominator, iyon ay, ang expression ay walang kahulugan.

Paano naman ang expression?

Ngunit dito lumalabas ang problema.

Ang numero ay maaaring katawanin bilang iba, mga nakanselang fraction, halimbawa, o.

At lumalabas na ito ay umiiral, ngunit wala, ngunit ang mga ito ay dalawang magkaibang mga talaan ng parehong numero.

Upang maiwasan ang gayong mga kabalintunaan, isaalang-alang namin positive radix lang na may fractional exponent.

Kaya kung:

- natural na numero;
- isang integer;